杂志的下一篇文章
求最大对称秩
下一篇特刊文章
关于Sasaki统计流形的Casorati曲率不等式
期刊上的上一篇文章
求解十阶边值问题的新数值方法
特刊上一篇文章
消失C-Bochner曲率张量的Pinching定理
 
 
搜索用于文章:
标题/关键字
作者/附属机构/电子邮件
日记账
文章类型
 
 
高级搜索
 
章节
特别发行
体积
问题
编号
第页
 
期刊销售
数学
第6卷
第11期
10.3390/路6110246
数学标志
提交到此日志 本期刊的评论 提出特殊问题
► 文章菜单

文章菜单

分享 分享 公告 帮助 format_quote格式 引用 问题_答案 在SciProfiles中讨论 竖起拇指（_U）
...
背书 短信
...
注释
第一页（_P）
设置
订购文章重印
字体类型：
宋体 佐治亚州 宋体，Verdana
字体大小：
Aa公司 Aa公司 Aa公司
行距：
列宽：
背景：
第条

具有Reeb流不变量Ricci算子的Trans-Sasakian 3-流形

通过
燕赵
1,
王文杰
2,*和
刘西敏
2
1
河南工业大学理学院数学系，河南郑州450001
2
王文杰，大连理工大学数学科学学院，大连116024，中国辽宁
*
信件应寄给的作者。
数学 2018,6(11), 246;https://doi.org/10.3390/math6110246
收到的提交文件：2018年9月19日/修订日期：2018年11月3日/接受日期：2018年11月6日/发布日期：2018年11月9日
（本文属于特刊微分几何)
版本注释

摘要

:
让M（M）是一个三维的跨萨萨基流形类型 ( α , β ) 在本文中，我们得到了M（M）当且仅当M（M）是一个 α -Sasakian流形、共符号流形或具有恒定截面曲率的空间。应用这一点，我们给出了正确的反-Sasakian 3-流形的一个新的刻画。

1.简介

跨萨萨基流形通常表示为 ( M（M） , ϕ , ξ , η , 克 , α , β ) ，其中两者都是 α 和 β 是平滑的功能和 ( ϕ , ξ , η , 克 ) 是一种几乎接触的度量结构。M（M）被认为是适当的，如果 α = 0 或 β = 0 .何时 β = 0 , α 是一个常量，如果 昏暗的 M（M） ≥ 5 （请参见[1])在这种情况下M（M）成为 α -Sasakian管汇，如果 α ∈ R（右） * 或共符号流形，如果 α = 0 这一结论不一定适用于维度3。然而，与上述情况不同，当 α = 0 , β 不一定是常量，即使 昏暗的 M（M） ≥ 5 或M（M）尺寸3紧凑（参见[2]). 所有类型的跨萨萨基流形的集合 ( 0 , β ) 与所有情况一致（f）-共符号流形（参见[三])或（f）-Kenmotsu歧管（参见[4,5,6]). 一个维度的跨Sasakian流形 ≥ 5 必须正确（参见[1]). 在trans-Sasakian 3-流形的几何中，存在一个基本的有趣问题，即：
在什么条件下，反式Sasakian 3倍体是合适的？
德[7,8,9,10,11,12]，德斯穆克[13,14,15]、王和刘[16]和Wang[2,17]从不同的角度回答了这个问题。本文在一个新的几何条件下研究了这一问题。在陈述我们的主要结果之前，我们回顾了与这种情况相关的一些结果。
关于几乎接触度量流形 ( M（M） , ϕ , ξ , η , 克 ) ，的Ricci运算符M（M）如果满足，则称为Reeb流不变量
L（左） ξ 问 = 0 ,
哪里 L（左） , ξ 和问分别是Lie导数、Reeb向量场和Ricci算子。Cho in公司[18]证明了接触度量3流形满足方程(1)当且仅当Sasakian或局部等距 S公司 U型 ( 2 ) （或 S公司 O（运行） ( 三 ) ), S公司 L（左） ( 2 , R（右） ) （或 O（运行） ( 1 , 2 ) )，组 E类 ( 2 ) 欧氏2平面的刚性运动。Cho in公司[19]证明了几乎共对称3-流形满足(1)当且仅当它是群的共对称或局部等距 E类 ( 1 , 1 ) Minkowski 2空间的刚性运动。此外，Cho和Kimura[20]证明了几乎Kenmotsu 3-流形满足(1)当且仅当其截面曲率恒定时 − 1 或非幺模李群。此外，还研究了黎曼流形单位切球面丛上的Reeb流不变Ricci算子（参见[21])，即使是在复杂的双平面Grassmannian中的真实超曲面上（请参见[22]). 在本文中，我们利用(1)并证明
定理 1
跨Sasakian 3-流形的Ricci算子在Reeb流上是不变的当且仅当流形是α-Sasakian流形、余对称流形或常截面曲率空间时。
根据中所示的计算第3节，我们观察到利玛窦与列维-思维塔联系的平行性（即。， ∇ 问 = 0 )比Reeb流不变Ricci算子更强。因此，我们有
备注 1
定理1是Wang和Liu的推广[16]（定理3.12）。
最后一节还给出了从定理1导出的一些推论。

2.Trans-Sasakian歧管

关于光滑黎曼流形 ( M（M） , 克 ) 尺寸的 2 n个 + 1 ，我们假设 ϕ , ξ 和 η 是 ( 1 , 1 ) -类型， ( 1 , 0 ) -类型和 ( 0 , 1 ) -分别键入张量字段。根据[23],M（M）称为几乎接触度量流形，如果
ϕ 2 X（X） = − X（X） + η ( X（X） ) ξ , η ( ξ ) = 1 , η ( ϕ X（X） ) = 0 , 克 ( ϕ X（X） , ϕ Y（Y） ) = 克 ( X（X） , Y（Y） ) − η ( X（X） ) η ( Y（Y） ) , η ( X（X） ) = 克 ( X（X） , ξ )
对于任何向量场X（X）和Y（Y）.如果出现以下情况，则称几乎接触的公制歧管正常 [ ϕ , ϕ ] = − 2 d日 η ⊗ ξ ，其中 [ ϕ , ϕ ] 表示的Nijenhuis张量 ϕ .
正常的几乎接触度量流形称为trans-Sasakian歧管（请参见[1])如果
( ∇ X（X） ϕ ) Y（Y） = α ( 克 ( X（X） , Y（Y） ) ξ − η ( Y（Y） ) X（X） ) + β ( 克 ( ϕ X（X） , Y（Y） ) ξ − η ( Y（Y） ) ϕ X（X） )
对于任何向量场 X（X） , Y（Y） 和两个平滑函数 α , β 特别是，三维几乎接触的度量流形是trans-Sasakian的当且仅当它是正常的（参见[24,25]).
正常的几乎接触度量流形称为α-Sasakian流形如果 d日 η = α Φ 和 d日 Φ = 0 ，其中 α ∈ R（右） * （请参见[26]). 安 α -Sasakian管汇简化为Sasakia管汇（参见[23])何时 α = 1 。一个正态几乎接触的度量流形称为β-Kenmotsu管汇如果它满足 d日 η = 0 和 d日 Φ = 2 β η ∧ Φ ，其中 β ∈ R（右） * （请参见[26]). 一 β -当 β = 1 .正常的几乎接触度量流形称为共辛流形如果它满足 d日 η = 0 和 d日 Φ = 0 .
放 Y（Y） = ξ 到(三)和使用(2)，我们有
∇ X（X） ξ = − α ϕ X（X） + β ( X（X） − η ( X（X） ) ξ )
对于任何向量场X（X）在本文中，假设所有流形都是连通的。

3.Trans-Sasakian 3-流形上的Reeb流不变Ricci算子

在这一节中，我们给出了我们的主要结果定理1的证明。首先，我们引入以下两个重要引理（请参见[12])这对我们的证明很有用。
引理 1
关于类型的trans-Sasakian 3-流形 ( α , β ) 我们有
ξ ( α ) + 2 α β = 0 .
引理 2
关于类型的trans-Sasakian 3-流形 ( α , β ) ，Ricci运算符由下式给出
问 = 第页 2 + ξ ( β ) − α 2 + β 2 身份证件 − 第页 2 + ξ ( β ) − 三 α 2 + 三 β 2 η ⊗ ξ + η ⊗ ( ϕ ( ∇ α ) − ∇ β ) + 克 ( ϕ ( ∇ α ) − ∇ β , · ) ⊗ ξ ,
在何处 ∇ （f） 我们指的是函数f的梯度。
我们还需要以下引理（参见[17])
引理 三。
关于类型的trans-Sasakian 3-流形 ( α , β ) ，以下三个条件等效：
(1) 
Reeb向量场是最小的或调和的。
(2) 
以下等式成立： ϕ ∇ α − ∇ β + ξ ( β ) ξ = 0 (⇔ ∇ α + ϕ ∇ β + 2 α β ξ = 0 ).
(3) 
Reeb向量场是Ricci算子的特征向量场。
引理 4.
同符号3流形上的Ricci算子沿Reeb流是不变的。
上述引理可以在中看到[19]
引理 5
α-Sasakian 3-流形上的Ricci算子沿Reeb流是不变的。
证明。 
根据引理2和 α -Sasakian 3-流形，Ricci算子由下式给出
问 X（X） = 第页 2 − α 2 X（X） − 第页 2 − 三 α 2 η ( X（X） ) ξ ,
对于任何向量场X（X）和某个非零常数 α 此外，根据[16]（推论3.10），我们观察到标量曲率第页沿Reeb向量场不变 ξ 即。， ξ ( 第页 ) = 0 事实上，这样的方程可以用公式直接推导出来 div公司 问 = 1 2 ∇ 第页 和(7). 应用 ξ ( 第页 ) = 0 ，它直接从(7)那个 L（左） ξ 问 = 0 . □
证明 属于 定理 1
让M（M）是一个反式Sasakian 3-manifold和e（电子）是与…正交的单位向量场 ξ .然后， { ξ , e（电子） , ϕ e（电子） } 在每个点的切线空间上形成局部正交基M（M）.Levi–Civita连接M（M）可以写为以下内容（参见[12])
∇ ξ ξ = 0 , ∇ ξ e（电子） = λ ϕ e（电子） , ∇ ξ ϕ e（电子） = − λ e（电子） , ∇ e（电子） ξ = β e（电子） − α ϕ e（电子） , ∇ e（电子） e（电子） = − β ξ + γ ϕ e（电子） , ∇ e（电子） ϕ e（电子） = α ξ − γ e（电子） , ∇ ϕ e（电子） ξ = α e（电子） + β ϕ e（电子） , ∇ ϕ e（电子） e（电子） = − α ξ − δ ϕ e（电子） , ∇ ϕ e（电子） = − β ξ + δ e（电子） ,
哪里 λ , γ 和 δ 是流形的某个开子集上的光滑函数。我们假设Ricci算子沿Reeb流是不变的。发件人(1)和(4)，我们有
0 = ( L（左） ξ 问 ) X（X） = ( ∇ ξ 问 ) X（X） + α ϕ 问 X（X） − α 问 ϕ X（X） + β η ( 问 X（X） ) ξ − β η ( X（X） ) 问 ξ
对于任何向量场X（X）.
利用当地基础 { ξ , e（电子） , ϕ e（电子） } 和引理2，Ricci算子可以重写为：
问 ξ = ϕ ∇ α − ∇ β + ( 2 α 2 − 2 β 2 − ξ ( β ) ) ξ , 问 e（电子） = 第页 2 + ξ ( β ) − α 2 + β 2 e（电子） − ( ϕ e（电子） ( α ) + e（电子） ( β ) ) ξ , 问 ϕ e（电子） = 第页 2 + ξ ( β ) − α 2 + β 2 ϕ e（电子） + ( e（电子） ( α ) − ϕ e（电子） ( β ) ) ξ .
更换X（X）英寸(9)由 ξ ，我们获得
∇ ξ ( ϕ ∇ α − ∇ β ) + ξ ( 2 α 2 − 2 β 2 − ξ ( β ) ) ξ + α ( − ∇ α + ξ ( α ) ξ − ϕ ∇ β ) + 2 β ( α 2 − β 2 − ξ ( β ) ) ξ − β ( ϕ ∇ α − ∇ β ) − β ( 2 α 2 − 2 β 2 − ξ ( β ) ) ξ = 0 .
取上述方程的内积 ξ ,e（电子）和 ϕ e（电子） 分别得到
ξ ( ξ ( β ) ) + 2 β ξ ( β ) + 4 α 2 β = 0 , α e（电子） ( α ) − β ϕ e（电子） ( α ) − β e（电子） ( β ) − α ϕ e（电子） ( β ) = 0 , β e（电子） ( α ) + α ϕ e（电子） ( α ) + α e（电子） ( β ) − β ϕ e（电子） ( β ) = 0 ,
其中我们使用了引理1。增加第二项(12)乘以 α 至第三任期(12)乘以 β 给予
( α 2 + β 2 ) ( e（电子） ( α ) − ϕ e（电子） ( β ) ) = 0 .
以下(13)，我们考虑以下几种情况。
案例一: α 2 + β 2 = 0 ，或等效的， α = β = 0 在这种情况下，流形变为共符号3-流形。由于引理4，本例的证明已经完成。
案例二: α 2 + β 2 ≠ 0 。它紧接着从(13)那个 e（电子） ( α ) − ϕ e（电子） ( β ) = 0 或等效地， 克 ( ∇ α + ϕ ∇ β , e（电子） ) = 0 .因为e（电子）假设为任意向量场，则如下所示 ∇ α + ϕ ∇ β = η ( ∇ α + ϕ ∇ β ) ξ 即。，
∇ α + ϕ ∇ β + 2 α β ξ = 0 ,
或同等标准， ϕ ∇ α − ∇ β + ξ ( β ) ξ = 0 ，其中我们使用了引理1。什么时候？ β = 0 ，它来自(14)那个 α 是一个非零常数。因此，可以通过应用引理5进行证明。在下文中，我们考虑最后一种情况。
案例三: α 2 + β 2 ≠ 0 和 β ≠ 0 在这种情况下(10)成为
问 ξ = 2 ( α 2 − β 2 − ξ ( β ) ) ξ , 问 e（电子） = 第页 2 + ξ ( β ) − α 2 + β 2 e（电子） , 问 ϕ e（电子） = 第页 2 + ξ ( β ) − α 2 + β 2 ϕ e（电子） .
更换X（X）通过e（电子）英寸(9)和使用(8), (15)，我们收购
0 = ( L（左） ξ 问 ) e（电子） = ξ 第页 2 + ξ ( β ) − α 2 + β 2 e（电子） .
借助引理1和(12)，根据之前的关系，我们有
ξ ( 第页 ) = 0 .
发件人(15)，我们计算Ricci算子的导数如下：
( ∇ ξ 问 ) ξ = 0 , ( ∇ e（电子） 问 ) e（电子） = e（电子） ( 一 ) e（电子） − β 一 ξ + 2 β ( α 2 − β 2 − ξ ( β ) ) ξ , ( ∇ ϕ e（电子） 问 ) ϕ e（电子） = ϕ e（电子） ( 一 ) ϕ e（电子） − β 一 ξ + 2 β ( α 2 − β 2 − ξ ( β ) ) ξ ,
其中我们使用了(8)和(12)为了简单起见，我们把
一 = 第页 2 + ξ ( β ) − α 2 + β 2 .
在黎曼流形上，我们有 div公司 问 = 1 2 ∇ 第页 在这种情况下，它相当于
克 ( ( ∇ ξ 问 ) ξ + ( ∇ e（电子） 问 ) e（电子） + ( ∇ ϕ e（电子） 问 ) ϕ e（电子） , X（X） ) = 1 2 X（X） ( 第页 )
对于任何向量场X（X）.更换X（X）英寸(19)由 ξ 和回忆(16)和第一学期(12)，我们获得 2 β ( 一 − 2 α 2 + 2 β 2 + 2 ξ ( β ) ) = 0 ，或等效的，
ξ ( β ) − α 2 + β 2 = − 第页 6 ,
我们使用了这个假设 β ≠ 0 和(18). 根据(15)，可以清楚地看到流形是爱因斯坦，即， 问 = 第页 三 身份证件 .由于歧管尺寸为3，因此必须具有恒定的截面曲率。□
黎曼流形称为局部对称，如果 ∇ R（右） = 0 这相当于 ∇ 问 = 0 对于尺寸3。王和刘[16]证明了跨Sasakian 3-流形是局部对称的当且仅当它对球面空间是局部等距的 S公司 三 ( c（c） 2 ) ，双曲线空间 H（H） 三 ( − c（c） 2 ) ，欧几里德空间 R（右） 三 ，产品空间 R（右） × S公司 2 ( c（c） 2 ) 或 R（右） × H（H） 2 ( − c（c） 2 ) ，其中c（c）是一个非零常数。根据[16]在局部对称的跨Sasakian 3-流形上，Reeb向量场是Ricci算子的特征向量场。因此，遵循引理3和关系(9)和(10)，我们观察到Ricci并行性比Reeb流不变Ricci算子更强。因此，本文的主要结果扩展了[16]（定理3.12）。
从定理1中，我们得到了正确反-Sasakian 3-流形的一个新的刻画。
定理 2
带有Reeb流不变量Ricci算子的紧致trans-Sasakian 3-流形与Sasakia流形或共对称流形相似。
证明。 
如定理1的证明所示，带有Reeb流不变Ricci算子的trans-Sasakian 3-流形是一个 α -Sasakian流形，共符号流形或具有恒定截面曲率的空间。众所周知 α -Sasakian流形与Sasakian流形是同构的。此外，还存在紧致Sasakian流形和共对称流形。为了完成证明，我们只需要证明案例三在定理1的证明中不可能发生。
让M（M）成为一个令人满意的trans-Sasakian 3流形案例三。根据(14)和引理5，我们知道Reeb向量场是极小的或调和的。它已经在[17]（引理5.1）当 ξ 紧致的trans-Sasakian 3-流形是极小的或调和的，那么 α 是一个常量。由于流形具有恒定的截面曲率，因此标量曲率第页也是一个常量。因此(20)沿着 ξ 给予
ξ ( ξ ( β ) ) + 2 β ξ ( β ) = 0 .
将上述方程式添加到(12)意味着 α = 0 因为 β ≠ 0 。在中使用此(14)，我们有 ∇ β = ξ ( β ) ξ 。以下证据直接来自[2]. 为了完整起见，我们给出了详细的证明。
应用 ∇ β = ξ ( β ) ξ 和(7)，我们获得
∇ X（X） ∇ β = X（X） ( ξ ( β ) ) ξ + ξ ( β ) ( β X（X） − β η ( X（X） ) ξ ) = 0
对于任何向量场X（X）.承包X（X）在前面的关系和用法中(21)，我们获得 Δ β = ξ ( ξ ( β ) ) + 2 β ξ ( β ) = 0 .由于流形被假定为紧流形，因此散度定理的应用给出了 β 是一个非零常量。接下来，我们说明这是不可能的。事实上(4)给出了那个 div公司 ξ = 2 β .由于假设歧管紧凑，因此如下所示 β = 0 ，一个矛盾。这就完成了证明。□
定理2也可以写成如下。
定理 三。
具有Reeb流不变Ricci算子的紧致反-Sasakian三流形是适当的。
曲率张量R（右）trans-Sasakian 3-流形的[10,27])
R（右） ( X（X） , Y（Y） ) Z轴 = B类 ( 克 ( Y（Y） , Z轴 ) X（X） − 克 ( X（X） , Z轴 ) Y（Y） ) − C类 克 ( Y（Y） , Z轴 ) η ( X（X） ) ξ + 克 ( Y（Y） , Z轴 ) ( η ( X（X） ) ( ϕ ∇ α − ∇ β ) − 克 ( ∇ β − ϕ ∇ α , X（X） ) ξ ) + C类 克 ( X（X） , Z轴 ) η ( Y（Y） ) ξ − 克 ( X（X） , Z轴 ) ( η ( Y（Y） ) ( ϕ ∇ α − ∇ β ) − 克 ( ∇ β − ϕ ∇ α , Y（Y） ) ξ ) − ( 克 ( ∇ β − ϕ ∇ α , Z轴 ) η ( Y（Y） ) + 克 ( ∇ β − ϕ ∇ α , Y（Y） ) η ( Z轴 ) ) X（X） − C类 η ( Y（Y） ) η ( Z轴 ) X（X） + ( 克 ( ∇ β − ϕ ∇ α , Z轴 ) η ( X（X） ) + 克 ( ∇ β − ϕ ∇ α , X（X） ) η ( Z轴 ) ) X（X） + C类 η ( X（X） ) η ( Z轴 ) Y（Y）
对于任何向量场 X（X） , Y（Y） , Z轴 ，为了简单起见，我们将
B类 = 第页 2 + 2 ξ ( β ) − 2 α 2 + 2 β 2 , C类 = 第页 2 + ξ ( β ) − 三 α 2 + 三 β 2 .
替换(14)和(20)到(22)，在(23)，我们得到
R（右） ( X（X） , Y（Y） ) Z轴 = 第页 6 ( 克 ( Y（Y） , Z轴 ) X（X） − 克 ( X（X） , Z轴 ) Y（Y） )
对于任何向量场 X（X） , Y（Y） , Z轴 这意味着，在trans-Sasakian 3-流形上，满足案例三在定理1的证明中，我们不知道 α = 0 或者没有。鉴于此，我们提出一个有趣的问题：
问题 1
是否存在截面曲率恒定的非恰当非紧trans-Sasakian 3流形？
备注 2
根据De和Sarkar的说法[10]（定理5.1），我们观察到具有恒定截面曲率的紧致trans-Sasakian 3-流形是α-Sasakian流形或β-Kenmotsu流形。
备注 三。
给定一个trans-Sasakian 3-流形，根据定理1的证明，即使当 α = 0 歧管紧凑（参见[2]).

作者贡献

X.L.介绍了这个问题。Y.Z.调查了这个问题。W.W.写了这篇论文。

鸣谢

本文得到河南工业大学科研基金的资助。作者想感谢评论家们提出的有用意见和建议。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

  1. Marrero，J.C.跨萨萨基亚流形的局部结构。Ann.Mat.Pura应用。 1992,162, 77–86. [谷歌学者] [交叉参考]
  2. Wang，W。；Wang，Y.关于Trans-Sasakian 3-流形的注记。未发表的作品。
  3. 北阿克坦。；伊尔迪林，M。；穆拉坦，C.几乎（f）-共辛流形。梅迪特尔。数学杂志。 2014,11, 775–787. [谷歌学者] [交叉参考]
  4. Mangione，V.上的调和映射和稳定性（f）-Kenmotsu歧管。国际数学杂志。数学。科学。 2008,2008. [谷歌学者] [交叉参考]
  5. 奥尔扎克，Z。；Rosca，R.正规局部共形几乎共对称流形。出版物。数学。德布勒森 1991,39, 315–323. [谷歌学者]
  6. Yildiz，A。；德意志联邦共和国。；Turan，M.论三维（f）-Kenmotsu流形和Ricci孤子。乌克兰数学。J。 2013,65, 684–693. [谷歌学者] [交叉参考]
  7. 德意志联邦共和国。；De，K.关于一类三维跨Sasakian流形。Commun公司。韩国数学。Soc公司。 2012,27, 795–808. [谷歌学者] [交叉参考]
  8. 德意志联邦共和国。；Mondal，A.关于满足某些曲率条件的三维法向几乎接触度量流形。Commun公司。韩国数学。Soc公司。 2009,24, 265–275. [谷歌学者] [交叉参考]
  9. 德意志联邦共和国。；Mondal，A.K.某些类别的三维正态几乎接触度量流形的结构。牛市。马来人。数学。科学。Soc公司。 2013,36, 501–509. [谷歌学者]
  10. 德意志联邦共和国。；Sarkar，A.关于三维跨萨萨基流形。外部。数学。 2008,23, 265–277. [谷歌学者] [交叉参考]
  11. 德意志联邦共和国。；Yildiz，A。；当地A.F.Yalánázφ-维数为3的对称正规几乎接触度量流形。阿普尔。数学。莱特。 2009,22, 723–727. [谷歌学者] [交叉参考]
  12. Deshmukh，S。；Tripathi，M.M.关于紧致跨萨萨基流形的注记。数学。斯洛伐克语 2013,63, 1361–1370. [谷歌学者] [交叉参考]
  13. Deshmukh，S.Trans-Sasakian流形与Sasakian流形相似。中等。数学杂志。 2016,13, 2951–2958. [谷歌学者] [交叉参考]
  14. Deshmukh，S.三维跨Sasakaian流形的几何。安。斯蒂恩。Cuza Iasi Mat大学。 2016,63, 183–192. [谷歌学者] [交叉参考]
  15. Deshmukh，S。；Al-Solamy，F.关于紧致跨Sasakian流形的注记。梅迪特尔。数学杂志。 2016,13, 2099–2104. [谷歌学者] [交叉参考]
  16. Wang，W。；Liu，X.跨Sasakian 3-流形上的Ricci张量。菲洛马 2018，正在印刷中。[谷歌学者]
  17. Wang，Y.跨Sasakian 3-流形上的极小调和Reeb向量场。J.韩国数学。Soc公司。 2018,55, 1321–1336. [谷歌学者]
  18. Cho，J.T.Contact 3-具有Reeb-flow对称性的流形。东北数学。J。 2014,66, 491–500. [谷歌学者] [交叉参考]
  19. Cho，J.T.Reeb在几乎共对称三流形上的流动对称性。牛市。韩国数学。Soc公司。 2016,53, 1249–1257. [谷歌学者] [交叉参考]
  20. Cho，J.T。；Kimura，M.Reeb在几乎接触三流形上的流动对称性。不同。地理。申请。 2014,35, 266–273. [谷歌学者] [交叉参考]
  21. 赵，J.T。；Chun，S.H.Reeb流不变单位切线球束。霍纳姆数学。J。 2014,36, 805–812. [谷歌学者] [交叉参考]
  22. Suh，Y.J.复杂双平面Grassmannian中的实超曲面ξ-不变Ricci张量。《几何杂志》。物理学。 2011,61, 808–814. [谷歌学者] [交叉参考]
  23. D.E.布莱尔。接触流形和辛流形的黎曼几何; 施普林格：德国柏林，2010年。[谷歌学者]
  24. Olszak，Z.维3的正规几乎接触度量流形。安。波隆。数学。 1986,47, 41–50. [谷歌学者] [交叉参考]
  25. 中国，D。；Gonzalez，C.几乎接触度量流形的分类。Ann.Mat.Pura应用。 1990,156, 15–36. [谷歌学者] [交叉参考]
  26. 杨森博士。；Vanhecke，L.几乎接触结构和曲率张量。Kodai数学。J。 1981,4, 1–27. [谷歌学者] [交叉参考]
  27. 德意志联邦共和国。；Tripathi，M.M.Ricci张量在三维反Sasakian流形中。Kyungpook数学。J。 2003,43, 247–255. [谷歌学者]

分享和引用

MDPI和ACS样式

Zhao，Y。；Wang，W。；刘，X。带Reeb流不变量Ricci算子的Trans-Sasakian 3-流形。数学 2018,6, 246.https://doi.org/10.3390/math6110246

AMA风格

赵勇，王伟，刘欣。带Reeb流不变量Ricci算子的Trans-Sasakian 3-流形。数学. 2018; 6(11):246.https://doi.org/10.3390/math6110246

芝加哥/图拉宾风格

赵、燕、王文杰和刘西敏。2018.“带Reeb流不变量Ricci算子的Trans-Sasakian 3-流形”数学6，编号11:246。https://doi.org/10.3390/math6110246

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

文章指标

返回页首顶部