1.简介
Carlitz之后[1,2]，许多数学家研究了退化函数和数字（参见[三,4,5,6,7,8,9,10,11]). 他们主要使用而不是退化多项式和数。在[7]T.Kim和D.S.Kim打来电话退化指数函数，并表示为他们还使用.英寸[12]，作者介绍了柯西数的四个退化版本。在第一类和第二类退化柯西数中，使用了，而不是。我们称之为基于指数意义的退化. 根据指数意义，可用于t吨研究退化数和多项式。将退化对数函数视为退化指数函数的逆函数是很自然的。退化对数函数，表示为，由生成函数定义为（请参见[9]). Cauchy数或第二类Bernoulli数，表示为，介绍于[5,8,12,13]. 最近，在[8]，T.Kim引入了退化柯西数。 在本例中，作者使用了而不是用于退化。我们称之为基于对数意义的退化.
众所周知，伯努利数，表示为，由生成函数定义： 伯努利数是从研究幂级数和开始的，它与其他特殊数有许多关系[2,三,13,14,15,16,17,18,19,20,21]. 在[1]，退化的伯努利数如下所示： 这个退化Daehee数 ，介绍为（请参见[4]). 如果转到0，然后收敛到.这些退化Daehee数基于指数意义的退化。最近，D.S.Kim等人提出了退化Daehee多项式和第二类数，如下所示[23]. 什么时候？称为第二类退化Daehee数。这些退化数也基于指数意义。
基于对数意义考虑退化Daehee数是很自然的。我们定义第三类退化Daehee数，表示为，如下所示。 我们注意到对于每个n个.
本文基于对数意义定义了退化Daehee数。我们得到了一些与第二类Daehee数、退化Daehee数和退化Daehere数相关的恒等式。此外，我们利用退化对数函数推导了一个微分方程，并从该微分方程中导出了与退化Daehee数有关的一些恒等式。
2.第三类退化Daehee数
从现在开始，不管怎样x个和非负整数n个，我们表示对于下降阶乘和。我们使用和分别表示第一类和第二类斯特林数。从第三类退化Daehee数的定义出发，我们得到 来自方程式(8)，很容易证明. 现在让我们来研究Daehee数和退化的Daehee数之间的关系。 方程式(9)给出了Daehee数和退化Daehee-数之间的关系。 根据Daehee数的定义，方程式(4)，和退化Daehee数，方程(6)，我们得到以下结果。 在[5]，第一类退化的斯特灵数，表示为，由引入 以下显示了Daehee数和Bernoulli数之间的关系。哪里和分别是第一类和第二类的斯特林数（参见[24]). 在方程式中(12)Daehee数可以用第一类Bernoulli数和Stirling数表示。下一个方程是方程的退化版本(12). 通过比较方程式中的系数(14)，我们可以得到以下定理。 使用方程式(15)以及退化的伯努利数和退化的达希数的定义，我们得到如下。 方程式(16)给出了定理3的一个反演公式，它是方程的退化版本(13). 现在让我们观察第三类退化Daehee数和Bernoulli数之间的关系。 从第三类退化Daehee数的定义中得到以下定理(6)和前面的方程式(17). 替换通过t吨在第二类定义中(5)，方程式左侧(5)成为右边变成 通过比较方程的系数，得出以下定理(18)使用方程式(19). 代表作为，替换通过t吨在第三类退化Daehee数的定义中，方程(6)，左侧变为右边变成 从方程式(20)和(21)，我们得到了定理6的一个反演恒等式。 3.由退化Daehee数的生成函数产生的微分方程
在本节中，我们使用与Martin相似的技术来获得结果（请参见[25,26,27]). 从现在开始，我们使用表示退化对数函数：对于自然数N个,表示N个-的th导数F类; 也就是说， 从方程式(25)和(26)数学归纳法给出了以下定理。 根据方程式(25)，通过比较方程式的系数(26), (27)、和(28)，我们得到以下身份。 4.结果和讨论
本文研究了第三类退化Daehee数。为了定义退化函数，我们使用了退化对数函数首先定义了第三类退化Daehee数。在定理1和定理2中，我们得到了第二类Daehee数和退化Daehee-数与Stirling数之间的两个关系。然后，在定理3和定理4中，我们得到了第三类退化Daehee数和退化Bernoulli数之间的两个关系。在定理6和定理7中，我们得到了第二类和第三类退化Daehee数之间的一些关系。
在第3节，我们从退化对数函数中导出了一个微分方程，定理6。从定理6中的微分方程出发，我们推导了定理10中第三类退化Daehee数的一些恒等式。 5.结论
在[1,2]，L.Carlitz考虑了退化指数函数。利用这个退化指数函数，他研究了由生成函数给出的退化伯努利数和多项式。在退化函数中，如果我们取设置为0，并使用适当的变量t吨，我们可以得到某种形式的多项式或特殊多项式数。从这个观点出发，我们考虑了Carlitz退化指数函数的逆函数，即退化对数函数。从退化对数函数出发，我们导出了几个特殊数的恒等式。通过我们的结果，我们可以看到退化对数函数是研究特殊数论的有用工具。最后我们证明了第三类退化Daehee数是方程中非线性微分方程的解(27). 最近在[28]、T.Kim和D.S.Kim通过观点的数学物理介绍了三角数的一些关系。通过取适当的值和变量t吨在我们的结果中，您可以得到组合和数学物理中有用的特殊数字的有趣结果。
