1.简介
微分算子和积分算子是数学模型的基础，它们也被用来理解自然和人工系统的工作原理。因此，微分方程和积分方程在理论和实践上都具有重要意义。这样的方程有着广泛的应用，包括在物理科学（如物理和工程）以及社会科学中。微分方程组，如微分方程，经常用于弹性理论、动力学、流体力学、振荡和量子动力学等问题。
对微分算子和积分算子的兴趣导致了对分数微分算子和整数算子的探索，进一步深入研究了这些问题。由于一个问题，分数微积分的起源出现在1695年莱布尼茨给L'Hópital的一封信中。近年来，分数微积分因其能够简化许多物理、工程和经济现象而备受关注，例如流体动力学交通模型、阻尼定律、连续介质和统计力学、扩散过程、固体力学、控制理论、有色噪声、粘弹性、电化学、，电磁等。
由于分数阶微分方程（FDE）的各种解无法解析地找到，因此需要数值和近似方法。许多研究人员在数值求解FDE和此类方程组时研究了许多技术。其中一些技术是Song和Wang提出的Adomian分解方法[1]配置法，改进的运算矩阵法[2,三,4]，∑enol和Dolapçonf引入的摄动迭代法[5]，计算矩阵方法，如Khader等人[6]Ertürk和Momani证明的微分变换方法[7]Gupta等人给出的变分迭代法和拉普拉斯变换法[8]以及Ghazanfari和Ghazanfari研究的分数复变换方法[9]等等。Kilbas等人[10]包括研究分数阶微分方程和分数阶积分微分方程。此外，利用勒让德多项式运算矩阵法给出了有限差分方程及其方程组的数值解[11]，伯恩斯坦运算矩阵法[12]，Genocchi运算矩阵法[13]雅可比运算矩阵法[14]切比雪夫小波运算矩阵法[15]多项式最小二乘法（PLSM）[16]，勒让德类小波运算矩阵法（LWPT）[17]和Genocchi类小波运算矩阵方法[18]. 本文利用勒让德小波运算矩阵方法对分数阶微分方程组进行了数值分析。所提出的方法最重要的优点是，它提供了一个可以理解的过程，可以将FDE和此类方程组简化为代数方程组。首先，我们首先介绍一些基本定义和基本关系第2节和第3节分别是。然后，在第4节，分数阶导数的运算矩阵自然地表示为分数阶微分方程的线性和非线性系统。第5节给出了用所介绍的方法进行测试的五个示例。最后，最后一部分包括结论。 2.基本定义
Liouville_Caputo分数阶导数、移位勒让德多项式和勒让德小波的定义如下[19,20]. 定义 1 Liouville_Caputo分数导数定义为[19] Liouville_Caputo分数导数的一些特征如下：哪里是一个常量。此外，还有在哪儿和分别表示最大整数小于或等于，且最小整数大于或等于. Liouville_Caputo分数阶导数是整数阶导数的线性运算哪里和都是常量。 定义 2 让和分别是一个称为母小波的单一函数的伸缩和平移参数。如果和连续变换，得到以下连续小波族[21,22]: 定义 三。 让隐含移位的勒让德多项式.然后可以表述为[21]正交条件为 定义 4 让和为任意正整数，是移位的勒让德多项式的阶，以及是标准化时间。然后是勒让德小波在间隔上定义由[21,22].哪里.系数表示正交。 定义 5 让和是定义的函数然后根据勒让德小波展开为[21,22]哪里，其中意味着内部产品。如果等式（9）中的无穷级数被截断，那么它可以表示为哪里和是矩阵，如下所示 3.基本关系
萨达曼迪和德汉[11]利用移位勒让德多项式导出分数阶导数的运算矩阵。在本节中，我们展示了如何通过借鉴Saadatmandi和Dehghan，在某些特殊条件下导出分数阶导数的Legendre小波运算矩阵[11]. 此外，与Mohammadi所示导数的Legendre小波运算矩阵相关的定理和推论[21]此处引用如下。 定理 1 让是方程（8）中引入的勒让德小波向量。然后表示为[21,22]哪里是导数的运算矩阵，可以表示为哪里是一个矩阵及其元素写入为 推论 1 使用方程（12）导数可以表述为[21]哪里是矩阵的幂. 引理 1 让是方程（8）中引入的勒让德小波向量。假设，然后 证明。 通过使用方程式（8）中的方程式（2）和（4），可以获得所需结果。□
定理 2 让是方程（8）中引入的勒让德小波向量。假设和，然后哪里是分数阶导数的运算矩阵在Liouville_Caputo意义上，可以说哪里写为在中考虑第一个行都为零. 证明。 假设是向量的元素在方程式（11）中引入，其中.然后可以表示为 接受这一点，通过使用移位的勒让德多项式，我们得到 如果我们使用方程（3）、（4）和（21），那么我们有 近似值通过Legendre小波的项，然后我们得到哪里 利用方程（22）和（24），我们得到在哪儿如方程式（19）所示。此外，如果我们使用引理1，那么我们可以写 结合方程（25）和（27），可以得到结果。□
4.分数阶微分方程的求解系统
在本节中，采用勒让德小波运算矩阵方法获得分数阶微分方程组的数值解。考虑一个分数阶微分方程系统，如下所示：哪里是的线性/非线性函数 是的衍生物按照的顺序在Liouville–Caputo意义上，并受初始条件的约束 首先，近似和，我们获得哪里是未知向量，并且是方程式（8）中引入的向量。如果我们使用方程（17），那么我们有 将方程（29）和（30）代入方程（27），我们得到 如果是的线性函数然后我们生产通过实现线性方程 此外，通过将方程（28）中的初始条件替换为方程（30），我们得到 A类通过组合方程（32）和（33）生成线性方程组。对于向量的未知系数，可以获得这些线性方程的解。因此，可以计算公式（27）中引入的。
如果是的非线性函数然后我们首先计算在点，为了获得更好的结果，请使用第一个移位勒让德的根然后，这些方程与方程（33）一起产生非线性方程组。这些非线性方程的解可以用牛顿迭代法求得。因此，可以计算公式（27）中引入的。
5.示例
在本节中，为了证明所介绍方法的适用性和强大性，我们给出了五个分数阶微分方程线性和非线性系统的解。
例子 1 我们首先考虑以下线性分数阶微分方程组[7,8]:从属于 对该示例进行了检查,、和。当获得的结果与精确解匹配时，如所示图1，我们可以清楚地观察到接近1时，我们的结果接近精确解。我们还使用勒让德多项式运算矩阵法（LPOMM）解决了这个问题，并将结果与LWOMM进行了比较。的数值计算u个(t吨)和v（v）(t吨)何时在中显示表1和表2. 使用参数和，我们将所提出的方法和LPOMM应用于解决此问题，并表明我们的方法更加有效和有用。我们的数值结果支持这样的观点，即我们的解比近似解LPOMM更接近精确解。近似解和精确解的比较见表3和表4. 例子 三。 我们考虑了具有初始条件的非线性分数阶微分方程组[8] 参数、和已被利用。我们的结果与精确解的比较显示在中图2数据支持了这一点近似值为1时，我们的结果近似于精确解。我们还使用LPOMM解决了这个问题，并将结果与LWOMM进行了比较。最后，我们给出了u个(t吨)和v（v）(t吨)何时在里面表5和表6. 对该示例进行了分析,、和当所获得的结果与精确解相匹配时，如所示图3，我们可以清楚地观察到接近1时，我们的结果接近精确解。我们还使用LPOMM解决了这个问题，并将结果与LWOMM进行了比较。的数值计算u个(t吨)和v（v）(t吨)何时也显示在表7和表8. 当和由Chang和Isah使用LWPT提交[17]Bota和Caruntu使用PLSM[16]. 这些解决方案由提供 参数,、和使用了。我们的结果与Bota和Caruntu引入的近似解的比较[16]还有Chang和Isah[17]何时显示在中图4最后，我们还提供了以下方面的数值计算u个(t吨)和v（v）(t吨)何时在里面表9和表10. 6.结论
本文从分数阶导数的一个新的运算矩阵出发，在某些特殊条件下，对分数阶微分方程组进行了研究。为了在Maple中求解分数阶微分方程的线性和非线性系统，我们还系统化了一种非常实用的算法。Maple生成的所有数值结果和图形表示都证实了Legendre小波运算矩阵方法是非常有效和适用的。作为下一步，本文介绍的方法可以应用于分数阶偏微分方程及其系统、分数阶积分方程及其系统以及分数阶积分微分方程。这些方程至少与分数阶微分方程一样重要，在科学、工程和技术中具有非常重要的意义。
