Error Bound for Non-Zero Initial Condition Using the Singular Perturbation Approximation Method

Daraghmeh, Adnan; Qatanani, Naji

doi:10.3390/math6110232

开放式访问第条

用奇异摄动逼近法确定非Zero初始条件的误差界

通过

阿德南·达拉赫梅

^*和

纳吉·卡塔纳尼

巴勒斯坦纳布卢斯44830 An-Najah国立大学科学院数学系

^*

信件应寄给的作者。

数学 2018,6(11), 232;https://doi.org/10.3390/math6110232

收到日期：2018年9月12日/修订日期：2018年10月18日/接受日期：2018年10月26日/发布日期：2018年10月30日

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版本注释

摘要

:

在本文中，我们给出了线性控制系统平衡模型降阶技术的最新结果，特别是奇异摄动近似。这种方法最重要的特点之一是它允许先验

{L（左）}^{2}

和

{H（H）}^{\infty}

近似误差的界限。该方法已成功应用于具有齐次初始条件的系统，然而，本工作的主要重点是推导

{L（左）}^{2}

非均匀初始条件下系统奇异摄动近似的误差界，推广了Antoulas等人的工作。理论结果得到了数值验证。

关键词：

互惠制;奇异摄动近似;错误界限;非均相物系

1.简介

由于线性系统在物理、数学和工程中的广泛应用，人们对其进行了很长一段时间的研究。然而，这是一门基础性和深度很深的学科，毫无疑问，线性系统将在未来很长一段时间内继续成为研究的主要焦点。

离散化偏微分方程对许多物理、化学或生物现象的建模导致了线性时不变（LTI）系统的众所周知的表示

\begin{matrix} \begin{matrix} \dot{x个} & = 一 x个 + B类 单位 \\ 年 & = C类 x个 + D类 单位 \\ x个 ({t吨}_{0}) & = {x个}_{0} \end{matrix} \end{matrix}

(1)

哪里

一 \in ℜ^{n个 \times n个}

,

B类 \in ℜ^{n个 \times 米}

,

C类 \in ℜ^{第页 \times n个}

和

{D类}^{第页 \times 米}

是常数矩阵。

订单n个在大型柔性空间结构的控制问题中，该系统的范围从几十到几百。所用模型的一个共同特点是它是高维的，并显示各种时间尺度。如果系统中的时间尺度很好地分离，则可以消除快速自由度，并使用平均和均匀化技术导出低阶简化模型。线性控制系统的均匀化已被许多作者广泛研究[1,2,三,4].

2.准备工作

方程中描述的线性时不变连续系统(1)，假设

D类 = 0

，可以用以下状态空间方程表示：

\begin{matrix} \begin{matrix} \dot{x个} & = 一 x个 + B类 单位 \\ 年 & = C类 x个 \\ x个 (0) & = {x个}_{0} \end{matrix} \end{matrix}

(2)

哪里

x个 (t吨) \in ℜ^{n个}

是状态向量，

单位 (t吨) \in ℜ^{米}

是输入控件

年 (t吨) \in ℜ^{第页}

是系统的输出。

让

G公司 (秒) = C类 {(秒 我 - 一)}^{- 1} B类

是这个系统的传递函数。

假设 答：。

我们假设一个系统是渐近稳定的

(一, B类)

是可控的，并且

(一, C类)

可以观察到[13].

由于这个系统是可控的和可观测的，那么可控性和可观测性是格拉曼的

{W公司}_{c（c）}

和

{W公司}_{o个}

是正半定的并且满足Lyapunov方程

\begin{matrix} \begin{matrix} 一 {W公司}_{c（c）} + {W公司}_{c（c）} 一^{T型} + B类 {B类}^{T型} & = 0 \\ {W公司}_{o个} 一 + 一^{T型} {W公司}_{o个} + {C类}^{T型} C类 & = 0 \end{matrix} \end{matrix}

如果我们提到[12,14,15]，然后是降阶模型

第页 \times 第页

通过平衡截断法（BT）获得的结果由以下等式表示：

\begin{matrix} \begin{matrix} {\dot{x个}}_{第页} & = 一_{11} {x个}_{第页} + {B类}_{1} 单位 \\ 年_{第页} & = {C类}_{1} {x个}_{第页} \end{matrix} \end{matrix}

(3)

该简化系统的传递函数定义为：

{G公司}_{第页} (秒) = {C类}_{1} {(秒 我 - 一_{11})}^{- 1} {B类}_{1}

(4)

对于零初始条件，我们有以下误差界[12,13,15,16]:

引理 1

我们有这个

∥ G公司 - {G公司}_{第页} ∥_{\infty} \leq 2 (σ_{第页 + 1} + σ_{第页 + 2} + \dots \dots + σ_{n个})

(5)

哪里

σ_{第页 + 1}

是第一个删除的（HSV）

G公司 (秒)

.

如果我们使用奇异摄动近似对原系统进行约化，那么对于约化后的传递函数系统有一个可用的误差界

{\bar{G公司}}_{第页}

稳定平衡的系统

(一, B类, C类, D类)

.

以

{H（H）}_{\infty}

范数，误差范围如下[12]:

∥ G公司 - {\bar{G公司}}_{第页} ∥_{\infty} \leq 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我}

(6)

对于非零初始条件，我们使用平衡截断方法获得了以下误差界，然后原始系统和其简化系统的输出之间的误差界为[11]:

∥ 年 - \bar{年} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \leq ∥ \sqrt{Σ} ∥_{2}^{2} ∥ {X（X）}_{0} ∥_{2}^{2} + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} {∥ 单位 ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)}

(7)

为所有人

单位 \in {L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)

.

3.线性连续动力系统的互易系统

在本节中，我们介绍了原始（完整）系统的互惠系统，并讨论了该系统的一些性质。我们希望通过参考我们推导的定理和推论，找到简化倒数系统的误差界（有关更多详细信息，请参阅[11]).

我们首先定义互惠系统，表示为

(\begin{matrix} \hat{一} & \hat{B类} \\ \hat{C类} & \hat{D类} \end{matrix})

线性连续动力系统的

(\begin{matrix} 一 & B类 \\ C类 \end{matrix})

在方程式中描述(2).

倒数系统的状态空间和输出方程可以写成：

\begin{matrix} \begin{matrix} \dot{\hat{x个}} & = \hat{一} \hat{x个} + \hat{B类} 单位 \\ \hat{年} & = \hat{C类} \hat{x个} + \hat{D类} 单位 \end{matrix} \end{matrix}

(8)

哪里

\hat{一} = 一^{- 1}, \hat{B类} = 一^{- 1} B类, \hat{C类} = C类 一^{- 1}, \hat{D类} = D类 - C类 一^{- 1} B类

(9)

该系统的初始条件为

\hat{x个} ({t吨}_{0}) = 一^{- 1} x个 ({t吨}_{0})

现在，如果整个系统

(\begin{matrix} 一 & B类 \\ C类 \end{matrix})

与Gramian平衡

Σ = (\begin{matrix} Σ_{1} & 0 \\ 0 & Σ_{2} \end{matrix})

哪里

Σ_{1} = d日 我 一 克 (σ_{1}, \dots, σ_{第页})

Σ_{2} = d日 我 一 克 (σ_{第页 + 1}, \dots, σ_{n个})

和

σ_{1} \geq σ_{2} \geq \dots \geq σ_{n个} \geq 0

,

第页 < n个

是Hankel奇异值，则倒数系统与相同的Gramian平衡

Σ

[11]和可以使用与中相同的方式进行分区[11]这样简化的互惠体系

(\begin{matrix} {\hat{一}}_{11} & {\hat{B类}}_{1} \\ {\hat{C类}}_{1} & \hat{D类} \end{matrix})

订单的

第页 \times 第页

与Gramian平衡

Σ_{1}

和渐近稳定（参见[11]).

下面的引理向我们展示了互惠系统的平衡实现[12,17].

引理 2

让系统

(一, B类, C类, D类)

用Gramian实现最小和平衡Σ线性、时不变和稳定系统；那么，互惠体系

(\hat{一}, \hat{B类}, \hat{C类}, \hat{D类})

也和同一个格拉曼保持平衡Σ.

证明。

我们知道这一点

Σ

满足Lypunov方程

\begin{matrix} \begin{matrix} 一 Σ + Σ 一^{T型} + B类 {B类}^{T型} & = 0 \\ 一^{T型} Σ + Σ 一 + {C类}^{T型} C类 & = 0 \end{matrix} \end{matrix}

因此，将右边的第一个方程乘以

一^{- 1}

从左边经过

一^{- T型}

，我们得到

\begin{matrix} \begin{matrix} 一^{- 1} (一 Σ) 一^{- T型} + 一^{- 1} (Σ 一^{T型}) 一^{- T型} + 一^{- 1} (B类 {B类}^{T型}) 一^{- T型} & = 0 \\ Σ 一^{- T型} + 一^{- 1} Σ + (一^{- 1} B类) {(一^{- 1} B类)}^{T型} & = 0 \end{matrix} \end{matrix}

替换方程式中的值(9)，我们有

\hat{一} Σ + Σ {\hat{一}}^{T型} + \hat{B类} {\hat{B类}}^{T型} = 0

第二个Lyapunov方程乘以

一^{- T型}

从右边经过

一^{- 1}

从左边，给我们

\begin{matrix} \begin{matrix} 一^{- T型} (一^{T型} Σ) 一^{- 1} + 一^{- T型} (Σ 一) 一^{- 1} + 一^{- T型} ({C类}^{T型} C类) 一^{- 1} & = 0 \\ Σ 一^{- 1} + 一^{- T型} Σ + {(C类 一^{- 1})}^{T型} (C类 一^{- 1}) & = 0 \end{matrix} \end{matrix}

用与方程式相同的方法(9)，我们有

{\hat{一}}^{T型} Σ + Σ \hat{一} + {\hat{C类}}^{T型} \hat{C类} = 0

这意味着互惠体系

(\hat{一}, \hat{B类}, \hat{C类}, \hat{D类})

与相同的格拉米安平衡

Σ

. ☐

让

\hat{G公司}

是互惠系统的传递函数

(\hat{一}, \hat{B类}, \hat{C类}, \hat{D类})

; 然后，

\hat{G公司} (秒) = \hat{C类} {(秒 我 - \hat{一})}^{- 1} \hat{B类} + \hat{D类}

(10)

对于零初始条件，两个传递函数之间有以下关系G公司和

\hat{G公司}

并给出如下：

\begin{matrix} G公司 (秒) & = C类 {(秒 我 - 一)}^{- 1} B类 + D类 \\ = C类 {(秒 我 - 一)}^{- 1} 一 一^{- 1} B类 + D类 \\ = C类 \frac{我}{秒} {(一^{- 1} - \frac{我}{秒})}^{- 1} 一^{- 1} B类 + D类 \\ = - C类 (\frac{我}{秒} - 一^{- 1} + 一^{- 1}) {(\frac{我}{秒} - 一^{- 1})}^{- 1} 一^{- 1} B类 + D类 \\ = - C类 一^{- 1} B类 - C类 一^{- 1} {(\frac{我}{秒} - 一^{- 1})}^{- 1} 一^{- 1} B类 + D类 \\ = - C类 一^{- 1} {(\frac{我}{秒} - 一^{- 1})}^{- 1} 一^{- 1} B类 + D类 - C类 一^{- 1} B类 \\ = \hat{C类} {(\frac{我}{秒} - \hat{一})}^{- 1} \hat{B类} + \hat{D类} \\ = \hat{G公司} (\frac{1}{秒}) \end{matrix}

(11)

此外，我们可以写出简化互易系统的状态方程和输出方程

(\begin{matrix} {\hat{一}}_{11} & {\hat{B类}}_{1} \\ {\hat{C类}}_{1} & \hat{D类} \end{matrix})

格式为：

\begin{matrix} \begin{matrix} {\dot{\hat{x个}}}_{1} & = {\hat{一}}_{11} {\hat{x个}}_{1} + {\hat{B类}}_{1} 单位 \\ {\hat{年}}_{1} & = {\hat{C类}}_{1} {\hat{x个}}_{1} + \hat{D类} 单位 \end{matrix} \end{matrix}

(12)

哪里

\begin{matrix} \begin{matrix} {\hat{一}}_{11} & = {(一_{11} - 一_{12} 一_{22}^{- 1} 一_{21})}^{- 1} \\ {\hat{B类}}_{1} & = {(一_{11} - 一_{12} 一_{22}^{- 1} 一_{21})}^{- 1} ({B类}_{1} - 一_{12} 一_{22}^{- 1} {B类}_{2}) \\ {\hat{C类}}_{1} & = ({C类}_{1} - {C类}_{2} 一_{22}^{- 1} 一_{21}) {(一_{11} - 一_{12} 一_{22}^{- 1} 一_{21})}^{- 1} \end{matrix} \end{matrix}

简化互易系统的传递函数表示为

{\hat{G公司}}_{第页}

定义为：

{\hat{G公司}}_{第页} (秒) = {\hat{C类}}_{1} {(秒 我 - {\hat{一}}_{11})}^{- 1} {\hat{B类}}_{1} + \hat{D类}

(13)

对于零初始条件，我们有以下几点

{H（H）}_{\infty}

简化互惠系统的规范。

柠檬三。

我们有

∥ \hat{G公司} - {\hat{G公司}}_{第页} ∥_{\infty} \leq 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我}

(14)

这个引理的证明可以在[12].

如果整个系统的初始条件为非零，则如下所示：

\begin{matrix} x个 ({t吨}_{0}) = (\begin{matrix} {x个}_{1} ({t吨}_{0}) \\ {x个}_{2} ({t吨}_{0}) \end{matrix}) \end{matrix}

(15)

则降倒数系统的初始条件定义为

{\hat{x个}}_{1} ({t吨}_{0}) = {(一_{11} - 一_{12} 一_{22}^{- 1} 一_{21})}^{- 1} ({x个}_{1} ({t吨}_{0}) - 一_{12} 一_{22}^{- 1} {x个}_{2} ({t吨}_{0}))

(16)

可观测性Gramian

{W公司}_{o个}

可以分解为

{W公司}_{o个} = {L（左）}^{T型} L（左）, L（左） \in ℜ^{n个 \times n个}

我们现在介绍以下定理，其中包含倒数系统及其约化系统的输出之间的误差界。

定理 1

考虑到整个系统

(\begin{matrix} 一 & B类 \\ C类 \end{matrix})

，具有非零初始条件

x个 ({t吨}_{0})

.让可观测性Gramian

{W公司}_{o个}

被分解为

{W公司}_{o个} = {L（左）}^{T型} L（左）, L（左） \in ℜ^{n个 \times n个}

此外，让

Σ = (\begin{matrix} Σ_{1} & 0 \\ 0 & Σ_{2} \end{matrix})

和

\begin{matrix} \begin{matrix} Σ_{1} & = d日 我 一 克 (σ_{1}, \dots, σ_{第页}) \\ Σ_{2} & = d日 我 一 克 (σ_{第页 + 1}, \dots, σ_{n个}) \end{matrix} \end{matrix}

哪里

第页 < n个

和

σ_{1} \geq σ_{2} \geq \dots \geq σ_{n个} \geq 0

是Hankel奇异值。

如果倒数及其约化系统的非零初始条件在方程式中定义(15)和(16)分别为，然后为所有

单位 \in {L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)

，输出之间的误差界限

\hat{年}

倒数系统和输出

{\hat{年}}_{1}

其简化系统的如下所示：

\begin{matrix} ∥ \hat{年} - {\hat{年}}_{1} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} & \leq ∥ L（左） \hat{一} x个 ({t吨}_{0}) ∥_{2}^{2} + {∥ \sqrt{Σ_{1}} {\hat{一}}_{11} ({x个}_{1} ({t吨}_{0}) - 一_{12} 一_{22}^{- 1} {x个}_{2} ({t吨}_{0})) ∥}_{2}^{2} \\ + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} {∥ 单位 ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \end{matrix}

(17)

证明。

我们将结果应用于定理[11]对具有非零初始条件的倒易系统和约化倒易系统，利用因子分解

{W公司}_{o个}

得到误差界并得出结论。☐

推论 1

如果互惠制度

(\begin{matrix} \hat{一} & \hat{B类} \\ \hat{C类} & \hat{D类} \end{matrix})

是平衡的，然后是简化的互惠系统

(\begin{matrix} {\hat{一}}_{11} & {\hat{B类}}_{1} \\ {\hat{C类}}_{1} & \hat{D类} \end{matrix})

与平衡

Σ_{1}

，以及输出之间的错误界限

\hat{年}

和

{\hat{年}}_{1}

是：

∥ \hat{年} - {\hat{年}}_{1} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \leq ∥ \sqrt{Σ} ∥_{2}^{2} ∥ \hat{一} x个 ({t吨}_{0}) ∥_{2}^{2} + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} {∥ 单位 ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)}

(18)

为所有人

单位 \in {L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)

证明。

通过引用推论[11]并使用初始条件

\hat{x个} ({t吨}_{0}) = \hat{一} x个 ({t吨}_{0})

倒数系统和方程中的初始条件(16)对于约化互反系统和可观测性Gramian可以分解为

{W公司}_{o个} = {L（左）}^{T型} L（左）, L（左） \in ℜ^{n个 \times n个}

和

L（左） = \sqrt{Σ}

，我们得到了误差界。☐

4.使用奇异摄动近似方法（SPA）的非齐次线性控制系统的误差界

在这一节中，我们介绍了一种使用奇异摄动近似（SPA）方法来确定初始条件为非零的原始系统和约化系统输出之间的误差界的方法。

为了获得这样的误差界，我们对倒数系统使用了这种方法，并使用奇异摄动近似对其进行了扩展。

考虑线性动力系统，其形式如下：

(\begin{matrix} \dot{x个} \\ ϵ \dot{z（z）} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 一_{11} & 一_{12} \\ 一_{21} & 一_{22} \end{matrix}) (\begin{matrix} x个 \\ z（z） \end{matrix}) + (\begin{matrix} {B类}_{1} \\ {B类}_{2} \end{matrix}) 单位

(19)

这里，再一次

一 \in ℜ^{n个 \times n个}

,

B类 \in ℜ^{n个 \times 米}

,

C类 \in ℜ^{第页 \times n个}

和

x个 ({t吨}_{0}) = (\begin{matrix} {x个}_{0} \\ {z（z）}_{0} \end{matrix})

是初始条件。

标量

ϵ

表示要忽略的所有小参数。该系统的输出方程为：

年 = (\begin{matrix} {C类}_{1} & {C类}_{2} \end{matrix}) (\begin{matrix} x个 \\ z（z） \end{matrix})

(20)

如果我们使用奇异摄动技术来简化方程中的系统(19)，我们选择

第页 < n个

这样，简化系统如下所示：

\begin{matrix} \begin{matrix} \dot{\bar{x个}} & = \bar{一} \bar{x个} + \bar{B类} 单位 \\ \bar{年} & = \bar{C类} \bar{x个} + \bar{D类} 单位 \end{matrix} \end{matrix}

(21)

和

\bar{一} = 一_{11} - 一_{12} 一_{22}^{- 1} 一_{21}, \bar{B类} = {B类}_{1} - 一_{22}^{- 1} {B类}_{2}, \bar{C类} = {C类}_{1} - {C类}_{2} 一_{22}^{- 1} 一_{21}, \bar{D类} = - {C类}_{2} 一_{22}^{- 1} {B类}_{2}

我们假设块矩阵

一_{22}

是有界可逆稳定矩阵。

方程中约化倒数系系数矩阵之间的关系(12)和方程式中的简化系统(21)通过奇异摄动近似得到的结果如下所示[11].

方程式中的简化系统(21)与平衡

Σ_{1}

并且渐近稳定[11].

现在，我们准备介绍我们的主要结果，以找出输出之间的错误界限年原始系统和输出

\bar{年}

采用奇异摄动近似对简化系统进行了分析。

让G公司是原始系统的传递函数

(\begin{matrix} 一 & B类 \\ C类 \end{matrix})

和

\hat{G公司}

是互惠系统的传递函数

(\begin{matrix} \hat{一} & \hat{B类} \\ \hat{C类} & \hat{C类} \end{matrix})

，然后在零初始条件下，我们证明了[11]那个

G公司 (秒) = \hat{G公司} (\frac{1}{秒})

如果我们允许

\bar{G公司}

是简化系统的传递函数

(\begin{matrix} \bar{一} & \bar{B类} \\ \bar{C类} \end{matrix})

和

{\hat{G公司}}^{第页}

是约化互反系统的传递函数

(\begin{matrix} {\hat{一}}_{11} & {\hat{B类}}_{1} \\ {\hat{C类}}_{1} \end{matrix})

，然后我们有：

\bar{G公司} (秒) = {\hat{G公司}}^{第页} (\frac{1}{秒})

有关更多详细信息，请参阅[11].

现在，对于非零初始条件

x个 ({t吨}_{0})

，对于传递函数，我们有以下推论

{G公司}_{x个 ({t吨}_{0})}

原始系统和传递函数

{\hat{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})}

相互作用体系。

推论 2

如果初始条件

x个 ({t吨}_{0})

非零，则传递函数之间的关系

{G公司}_{x个 ({t吨}_{0})}

原始系统和传递函数

{\hat{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})}

互惠系统的如下所示：

{G公司}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) = {\hat{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})} (\frac{1}{秒})

(22)

证明。

初始条件为非零的原始系统的传递函数具有以下形式

{G公司}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) = {G公司}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) + {q个}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒)

(23)

什么时候

x个 ({t吨}_{0}) = 0

，我们有：

\begin{matrix} G公司 (秒) & = C类 {(秒 我 - 一)}^{- 1} B类 \\ = C类 一^{- 1} {(秒 我 - 一^{- 1})}^{- 1} 一^{- 1} B类 \\ = \hat{G公司} (\frac{1}{秒}) \end{matrix}

以及的价值

{q个}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒)

，我们有：

\begin{matrix} {q个}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) & = C类 {(秒 我 - 一)}^{- 1} x个 ({t吨}_{0}) \\ = C类 一^{- 1} {(秒 我 - 一^{- 1})}^{- 1} 一^{- 1} x个 ({t吨}_{0}) \\ = {\hat{q个}}_{\hat{x个} ({t吨}_{0})} (\frac{1}{秒}) \end{matrix}

如果我们将这些值代入方程式(23)，我们得到：

\begin{matrix} {G公司}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) & = \hat{G公司} (\frac{1}{秒}) U型 (秒) + {\hat{q个}}_{\hat{x个} ({t吨}_{0})} (\frac{1}{秒}) \\ = {\hat{G公司}}_{\hat{x个} ({t吨}_{0})} (\frac{1}{秒}) \end{matrix}

☐

对于具有非零初始条件的简化系统

{\bar{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒)

是简化系统的传递函数

(\begin{matrix} \bar{一} & \bar{B类} \\ \bar{C类} \end{matrix})

和

{\hat{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})}^{第页} (\frac{1}{秒})

是约化互反系统的传递函数

(\begin{matrix} {\hat{一}}_{11} & {\hat{B类}}_{1} \\ {\hat{C类}}_{1} \end{matrix})

，那么我们有以下推论，其中包括这些传递函数之间的关系。

推论三。

两个传递函数

{\bar{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒)

和

{\hat{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})}^{第页} (\frac{1}{秒})

对于方程式中描述的简化系统(21)和(12)非零初始条件满足以下结果：

{\bar{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) = {\hat{G公司}}_{\hat{x个} ({t吨}_{0})}^{第页} (\frac{1}{秒})

(24)

证明。

具有非零初始条件的简化系统的传递函数为：

{\bar{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) = \bar{G公司} (秒) + {\bar{q个}}_{\bar{x个} ({t吨}_{0})} (秒)

(25)

在初始条件为零的情况下，我们有：

\begin{matrix} \bar{G公司} (秒) & = \bar{C类} {(秒 我 - \bar{一})}^{- 1} \bar{B类} \\ = {\hat{C类}}_{1} {\hat{一}}_{1}^{- 1} {(秒 我 - {\hat{一}}_{1}^{- 1})}^{- 1} {\hat{一}}_{1}^{- 1} {\hat{B类}}_{1} \\ = {\hat{G公司}}^{第页} (\frac{1}{秒}) \end{matrix}

然后我们可以写出

{\bar{q个}}_{\bar{x个} ({t吨}_{0})} (秒)

如下：

\begin{matrix} {\bar{q个}}_{\bar{x个} ({t吨}_{0})} (秒) & = \bar{C类} {(秒 我 - \bar{一})}^{- 1} \bar{x个} ({t吨}_{0}) \\ = {\hat{C类}}_{1} {\hat{一}}_{1}^{- 1} {(秒 我 - {\hat{一}}_{1}^{- 1})}^{- 1} {\hat{一}}_{1}^{- 1} {x个}_{0} \\ = {\hat{q个}}_{\hat{x个} ({t吨}_{0})}^{第页} (\frac{1}{秒}) \end{matrix}

将这些值替换为方程式(25)，我们得到的结果是：

\begin{matrix} {\bar{G公司}}_{x个 ({t吨}_{0})} (秒) & = {\hat{G公司}}^{第页} (\frac{1}{秒}) + {\hat{q个}}_{\hat{x个} ({t吨}_{0})}^{第页} (\frac{1}{秒}) \\ = {\hat{G公司}}_{\hat{x个} ({t吨}_{0})}^{第页} (\frac{1}{秒}) \end{matrix}

☐

为了利用奇异摄动近似技术找到原始模型和降阶模型输出之间的误差界，我们引入了以下定理。

定理 2

设G是原始系统的传递函数

\bar{G公司}

作为使用奇异摄动近似的简化系统的传递函数，则在整个系统的输出y和

\bar{年}

简化系统的：

\begin{matrix} | 年 - \bar{年} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} & \leq ∥ L（左） 一^{- 1} x个 ({t吨}_{0}) ∥_{2}^{2} + {∥ \sqrt{Σ_{1}} {(\bar{一})}^{- 1} ({x个}_{1} ({t吨}_{0}) - 一_{12} 一_{22}^{- 1} {x个}_{2} ({t吨}_{0})) ∥}_{2}^{2} \\ + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} {∥ 单位 ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \end{matrix}

(26)

哪里

单位 \in {L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)

证明。

请注意

\begin{matrix} ∥ G公司 - \bar{G公司} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} & \leq ∥ G公司 - \hat{G公司} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} + ∥ \hat{G公司} - {\hat{G公司}}^{第页} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} + {∥ {\hat{G公司}}^{第页} - \bar{G公司} ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \\ \leq ∥ \hat{G公司} - {\hat{G公司}}^{第页} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \end{matrix}

但来自第3节，我们知道误差范围如下：

\begin{matrix} ∥ \hat{G公司} - {\hat{G公司}}^{第页} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} & = \frac{∥ \hat{年} - {\hat{年}}^{第页} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)}}{{∥ 单位 ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)}} \\ \leq ∥ L（左） \hat{一} x个 ({t吨}_{0}) ∥_{2}^{2} + {∥ \sqrt{Σ_{1}} {\hat{一}}_{11} ({x个}_{1} ({t吨}_{0}) - 一_{12} 一_{22}^{- 1} {x个}_{2} ({t吨}_{0})) ∥}_{2}^{2} + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} \end{matrix}

然后，我们有：

\begin{matrix} ∥ G公司 - \bar{G公司} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} & \leq ∥ L（左） 一^{- 1} x个 ({t吨}_{0}) ∥_{2}^{2} + {∥ \sqrt{Σ_{1}} {(\bar{一})}^{- 1} ({x个}_{1} ({t吨}_{0}) - 一_{12} 一_{22}^{- 1} {x个}_{2} ({t吨}_{0})) ∥}_{2}^{2} \\ + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} \\ ∥ 年 - \bar{年} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} & \leq ∥ L（左） 一^{- 1} x个 ({t吨}_{0}) ∥_{2}^{2} + {∥ \sqrt{Σ_{1}} {(\bar{一})}^{- 1} ({x个}_{1} ({t吨}_{0}) - 一_{12} 一_{22}^{- 1} {x个}_{2} ({t吨}_{0})) ∥}_{2}^{2} \\ + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} {∥ 单位 ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \end{matrix}

☐

在整个系统平衡的情况下，我们有以下推论来获得原始系统及其降阶系统输出之间的误差界。

推论 4.

如果系统

(\begin{matrix} 一 & B类 \\ C类 \end{matrix})

与平衡

Σ = (\begin{matrix} Σ_{1} & 0 \\ 0 & Σ_{2} \end{matrix})

哪里

Σ_{1} = d日 我 一 克 (σ_{1}, \dots, σ_{第页})

Σ_{2} = d日 我 一 克 (σ_{第页 + 1}, \dots, σ_{n个})

σ_{1} \geq σ_{1} \geq \dots \geq σ_{n个}) > 0

是Hankel奇异值和约化系统

(\begin{matrix} \bar{一} & \bar{B类} \\ \bar{C类} \end{matrix})

与平衡

Σ_{1}

，则原始系统的输出y与

\bar{年}

降阶系统的：

∥ 年 - \bar{年} ∥_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)} \leq ∥ \sqrt{Σ} ∥_{2}^{2} ∥ 一^{- 1} ∥_{2}^{2} ∥ x个 ({t吨}_{0}) ∥_{2}^{2} + 2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{n个} σ_{我} {∥ 单位 ∥}_{{L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)}

(27)

为所有人

单位 \in {L（左）}_{2} ({t吨}_{0}, \infty)

证明。

通过引用第3节利用推论1的证明中的思想，我们可以证明推论。☐

5.数值示例

在本节中，我们将包括通过奇异摄动近似（SPA）技术获得的所有结果，以确定简化模型的阶数。

开放回路系统

我们首先计算两个动力系统的Hankel奇异值，如[11].图1a、 b表示质量-弹簧阻尼和CD播放器系统的Hankel奇异值（HSV）

{N个}_{秒} = 10

和

{N个}_{c（c）} = 120

分别是。

为了测试目的，我们将奇异摄动近似（SPA）方法应用于两个具有零初始条件的示例，并计算了

{H（H）}^{\infty}

近似误差的界限。质量-弹簧阻尼系统的尺寸为

{N个}_{秒} = 10

简化模型的尺寸为

{第页}_{秒} = 2

.图2显示了最大奇异值分解（MSVD）

σ_{米 一 x个}

属于

(G公司 - {G公司}_{第页})

，其中G公司是原始系统的传递函数，

{G公司}_{第页}

是降阶模型的传递函数，误差界为

2 \sum_{我 = 三}^{10} σ_{我}

.

表1包含的值

∥ G公司 - {G公司}_{第页} ∥_{\infty}

和

2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{10} σ_{我}

计算对象

{N个}_{秒} = 10

和各种值

{第页}_{秒}

将平衡截断和奇异摄动近似应用于质量-弹簧阻尼系统。

为了找到CD机的错误边界，我们将系统的大小设为

{N个}_{c（c）} = 120

对于简化模型为

{第页}_{c（c）} = 14

.通过应用奇异摄动近似方法

(G公司 - {G公司}_{第页})

和错误界限

2 \sum_{我 = 9}^{120} σ_{我}

如所示图3.

表2包含的值

∥ G公司 - {G公司}_{第页} ∥_{\infty}

和错误界限

2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{120} σ_{我}

计算对象

{N个}_{c（c）} = 120

和各种

{第页}_{c（c）}

通过对CD播放器系统使用奇异摄动近似技术。

我们清楚地看到，奇异摄动近似产生了一个降阶模型，在低频时误差趋于零，但在高频时误差变大。

接下来，我们要计算

{L（左）}^{2}

输出之间近似误差的界年原始系统和输出

年_{第页}

具有非零初始条件的约化系统。通过应用降阶模型的奇异摄动近似，我们得到了方程中误差界的公式(26)表示为

E类 第页 第页 o个 {第页}_{秒 第页 一}

.

图4和图5包含输出年原始系统的输出

年_{第页}

简化模型和差异

年 - 年_{第页}

.对于质量弹簧阻尼

{N个}_{秒} = 10

和

{第页}_{秒} = 2

、和用于CD机

{N个}_{c（c）} = 120

和

{第页}_{c（c）} = 14

.

这个

{L（左）}^{2}

的规范

(年 - 年_{第页})

可以计算不同的

{第页}_{秒}

.表3和表4包含的值

∥ 年 - 年_{第页} ∥_{{L（左）}_{2}}

以及质量弹簧阻尼和CD机系统的误差范围。

表4包含

∥ 年 - 年_{第页} ∥_{{L（左）}_{2}}

CD机系统的范数和误差界限。

6.结论

在本论文中，我们研究了线性控制系统的平衡模型降阶技术，特别是平衡截断和奇异摄动逼近。这些方法已经成功地应用于具有齐次初始条件的系统，但很少关注具有非齐次初始状态的系统或反馈系统。

对于开环控制问题，我们推导了一个

{L（左）}^{2}

具有非齐次初始条件的系统奇异摄动近似的误差界。理论结果已通过数值验证。

作者贡献

形式分析，N.Q。；调查，公元。

基金

巴勒斯坦高等教育部。合同号ANNU-MoHE-1819-ScO14。

鸣谢

巴勒斯坦高等教育部为开展这项工作提供了财政支持，拨款编号为ANNU-MoHE-1819-ScO14，这一点得到了高度认可。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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图1。质量弹簧阻尼和CD机系统的HSV：(一)质量-弹簧阻尼的HSV；和(b条)CD机的HSV。

图2。奇异摄动近似方法的MSVD和质量-弹簧阻尼的误差界。

图3。奇异摄动近似下CD机的MSVD和误差界。

图4。SPA的质量-弹簧阻尼输出。

图5。SPA的CD机输出。

表1。这个

{H（H）}^{\infty}

的规范

(G公司 - {G公司}_{第页})

以及误差边界。

表1。这个

{H（H）}^{\infty}

的规范

(G公司 - {G公司}_{第页})

和错误范围。

${第页}_{秒}$	$∥ G公司 - {G公司}_{第页} ∥_{\infty}$ 通过SPA	$2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{10} σ_{我}$
2	0.2147	0.7025
4	0.0374	0.0873
6	0.0023	0.0061
8	2.6374 $\times 10^{- 4}$	6.7187 $\times 10^{- 4}$
10	2.5247 $\times 10^{- 5}$	6.4759 $\times 10^{- 5}$

表2。这个

{H（H）}^{\infty}

的规范

(G公司 - {G公司}_{第页})

和错误范围。

表2。这个

{H（H）}^{\infty}

的规范

(G公司 - {G公司}_{第页})

和错误范围。

${第页}_{c（c）}$	通过SPA	$2 \sum_{我 = 第页 + 1}^{120} σ_{我}$
2	1.1726 $\times 10^{三}$	8.8112 $\times 10^{三}$
4	564.2177	2.1307 $\times 10^{三}$
6	266.4908	658.1466
8	21.9202	117.6033
10	10.9294	63.0871
12	3.3050	30.4559
14	3.3658	15.9412
16	1.7800	10.3588

表3。这个

{L（左）}^{2}

的规范

年 - 年_{第页}

以及质量-弹簧阻尼的误差范围。

表3。这个

{L（左）}^{2}

的范数

年 - 年_{第页}

以及质量-弹簧阻尼的误差范围。

${第页}_{秒}$	$∥ 年 - 年_{第页} ∥_{{L（左）}_{2}}$ SPA公司	${错误}_{水疗中心}$
2	1.4448 $\times 10^{- 7}$	0.7845
4	1.3092 $\times 10^{- 10}$	0.0975
6	7.8119 $\times 10^{- 11}$	0.0068
8	2.3580 $\times 10^{- 13}$	7.5161 $\times 10^{- 4}$
10	6.2379 $\times 10^{- 15}$	7.3692 $\times 10^{- 5}$

表4。这个

{L（左）}^{2}

的规范

年 - 年_{第页}

以及CD机的错误界限。

表4。这个

{L（左）}^{2}

的规范

年 - 年_{第页}

以及CD机的错误界限。

${第页}_{c（c）}$	$∥ 年 - 年_{第页} ∥_{{L（左）}_{2}}$ SPA公司	${错误}_{水疗中心}$
2	530.9562	1.3932 $\times 10^{4}$
4	13.6649	3.3690 $\times 10^{4}$
6	13.6595	1.0406 $\times 10^{三}$
8	1.0136 $\times 10^{- 4}$	185.9503
10	2.6581 $\times 10^{- 4}$	99.7527
22	1.4723 $\times 10^{- 6}$	5.1515
30	4.9888 $\times 10^{- 8}$	1.2801

分享和引用

MDPI和ACS样式

Daraghmeh，A。；北卡罗来纳州卡塔纳尼。用奇异摄动逼近法确定非零初始条件的误差界。数学 2018,6, 232.https://doi.org/10.3390/math6110232

AMA风格

Daraghmeh A，Qatanani N。用奇异摄动近似方法求解非零初始条件的误差界。数学. 2018; 6(11):232.https://doi.org/10.3390/math6110232

芝加哥/图拉宾风格

Daraghmeh、Adnan和Naji Qatanani。2018.“使用奇异摄动近似法对非Zero初始条件的误差界”数学6，编号11:232。https://doi.org/10.3390/math6110232

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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用奇异摄动逼近法确定非Zero初始条件的误差界

摘要

1.简介

相关工作

2.准备工作

3.线性连续动力系统的互易系统

4.使用奇异摄动近似方法（SPA）的非齐次线性控制系统的误差界

5.数值示例

开放回路系统

6.结论

作者贡献

基金

鸣谢

利益冲突

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