杂志的下一篇文章
给定割边数的图的乘法萨格勒布指数的最大化和最小化
期刊上的上一篇文章
互动植物：多感官视觉触觉互动增强情感体验
 
 
搜索用于文章:
标题/关键字
作者/附属机构/电子邮件
日记账
文章类型
 
 
高级搜索
 
章节
特别发行
体积
问题
编号
第页
 
期刊销售
数学
第6卷
第11期
10.3390/路6110226
数学标志
提交到此日志 本期刊的评论 提出特殊问题
► 文章菜单

文章菜单

分享 分享 公告 帮助 format_quote格式 引用 问题_答案 在SciProfiles中讨论 竖起拇指（_U）
...
背书 短信
...
注释
第一页（_P）
设置
订购文章重印
字体类型：
宋体 佐治亚州 宋体，Verdana
字体大小：
澳大利亚 澳大利亚 澳大利亚
行距：
列宽：
背景：
第条

等距变形(米,n个)-三维欧氏空间中的型螺旋面

通过
埃尔汉·居勒
土耳其巴特大学数学系科学学院，74100巴特
数学 2018,6(11), 226;https://doi.org/10.3390/math6110226
收到的提交文件：2018年9月13日/修订日期：2018年10月23日/接受日期：2018年10月26日/发布日期：2018年10月29日
浏览地物
版本注释

摘要

:
我们考虑一种新的自然数螺旋曲面 ( 米 , n个 ) 在三维欧几里德空间中。我们研究有价值的螺旋面 ( 米 , n个 ) ，它与值的旋转曲面局部等距 ( 米 , n个 ) 此外，我们计算了值的旋转曲面的Laplace–Beltrami算子 ( 0 , 1 ) .

1.简介

欧几里德空间子流形的有限型浸入概念已被用于分类和刻画著名的黎曼子流形[1]. Chen提出了在三维欧氏空间中对有限型曲面进行分类的问题 E类 三 然后，许多几何学家研究了有限型子流形的理论[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21].
劳森[22]在他的课堂讲稿中给出了拉普拉斯-贝尔特拉米算子的一般定义。高桥[23]表示最小曲面和球体是 E类 三 满足条件 Δ 第页 = λ 第页 , λ ∈ R（右） . 费尔南德斯、加雷和卢卡斯[10]证明了 E类 三 令人满意的 Δ H（H） = 一 H（H） , 一 ∈ M（M） 一 t吨 ( 三 , 三 ) 要么是最小的，要么是球体的开口部分，要么是右圆柱体的开口部分。Choi和Kim[5]以第一类点态单型高斯映射的最小螺旋面为特征。
Dillen、Pas和Verstraelen[7]证明了 E类 三 令人满意的 Δ 第页 = 一 第页 + B类 , 一 ∈ M（M） 一 t吨 ( 三 , 三 ) , B类 ∈ M（M） 一 t吨 ( 三 , 1 ) 是最小曲面、球体和圆柱体。塞努西和贝卡[24]研究的螺旋面 M（M） 2 在里面 E类 三 就基本形式而言，它们是Chen意义上的有限类型 我 , 我 我 和 我 我 我 .
在欧几里德空间的经典曲面几何中，右螺旋面（相对链面）是唯一最小的直纹（相对旋转）曲面。如果我们关注直纹（螺旋面）和旋转特征，我们可以在[25]. 法国数学家爱德蒙德·波尔（Edmond Bour）使用了半测地坐标，并在1862年发现了许多表面变形的新情况。他也屈服了[25]关于螺旋面和旋转面的一个著名定理。
Kenmotsu村[26]重点关注具有规定平均曲率的旋转曲面。关于螺旋面，Carmo和Dajczer[三]通过使用Bour的结果证明[25]存在一个与给定螺旋面等距的双参数螺旋面族。Hitt和Roussos[27]还研究了具有恒定平均曲率的螺旋面。池川[14,15]用布尔定理确定曲面对。居勒[28]还研究了值的等距螺旋面和旋转面米Güler和Yayl[12]重点研究了三空间中的广义布尔定理。
我们考虑一种新的螺旋曲面 ( 米 , n个 ) 在欧几里德三空间中 E类 三 在本文中。我们在中给出了三维欧几里德几何的一些基本概念第2节.英寸第3节，我们给出了值为的螺旋曲面的定义 ( 米 , n个 ) 并获得值为的等距螺旋面和旋转面 ( 米 , n个 ) （代表价值 ( 0 , 1 ) 在里面第4节)通过布尔定理。我们还计算了值的旋转曲面的平均曲率和高斯曲率 ( 0 , 1 ) 在里面第4节此外，在第5节，我们计算了有值旋转表面的拉普拉斯-贝尔特拉米算子 ( 0 , 1 ) 最后，我们给出了满足 Δ R（右） 0 , 1 = 一 R（右） 0 , 1 在里面 E类 三 在最后一节。

2.准备工作

我们将用转置来识别向量（a，b，c）。在本节中，我们将获得 E类 三 。读者可以在[29,30].
我们在中定义了旋转面和螺旋面 E类 三 。对于开放式间隔 我 ⊂ R（右） ，让 γ : 我 ⟶ Π 成为平面上的曲线 Π ，并让ℓ成为一条直线 Π .旋转表面 E类 三 定义为旋转曲线的曲面 γ 绕着这条线ℓ（分别称为轮廓曲线和轴）。假设当剖面曲线 γ 绕轴旋转ℓ，同时移动与轴正交的平行线ℓ，使位移速度与旋转速度成正比。然后，生成的曲面称为带轴螺旋曲面ℓ和音高 一 ∈ R（右） + .
让ℓ是向量跨越的直线 ( 0 , 0 , 1 ) 。固定上述向量的正交矩阵如下所示
M（M） ( θ ) = 余弦 θ − 罪 θ 0 罪 θ 余弦 θ 0 0 0 1 , θ ∈ R（右） .
矩阵M（M）通过求解以下方程得到： M（M） ℓ = ℓ , M（M） t吨 M（M） = M（M） M（M） t吨 = 我 三 , det（探测） M（M） = 1 , 同时。当旋转轴为ℓ，有一个欧几里德变换，通过该变换轴ℓ转换为z（z）-的轴 E类 三 剖面曲线由下式给出 γ ( 第页 ) = ( 第页 , 0 , φ 第页 ) , 哪里 φ 第页 : 我 ⊂ R（右） ⟶ R（右） 是所有函数的可微函数 第页 ∈ 我 .三维欧氏空间中由向量跨越的螺旋面 ( 0 , 0 , 1 ) 带螺距一如下所示
H（H） ( 第页 , θ ) = M（M） ( θ ) γ ( 第页 ) + 一 θ ℓ .
什么时候？ 一 = 0 ，螺旋面只是一个旋转面。

3.有价值的螺旋面(米,n个)

我们定义了一种新型螺旋面。利用螺旋曲面上的布尔定理，我们在这一部分中得到了一个等距旋转曲面。
定义 1
有价值的螺旋面 ( 米 , n个 ) 由提供
H（H） 米 , n个 第页 , θ = H（H） 米 1 第页 , θ + H（H） 米 , n个 2 第页 , θ ,
哪里 米 , n个 ∈ N个 , H（H） 米 1 第页 , θ = ℜ 米 1 . γ 米 1 + 1 2 一 θ ℓ , H（H） 米 , n个 2 第页 , θ = ℜ 米 , n个 2 . γ 米 , n个 2 + 1 2 一 θ ℓ , 旋转矩阵 ℜ 米 1 和 ℜ 米 , n个 2 是
ℜ 米 1 θ = 余弦 米 + 1 θ 罪 米 + 1 θ 0 − 罪 米 + 1 θ 余弦 米 + 1 θ 0 0 0 1
和
ℜ 米 , n个 2 θ = 余弦 米 + 2 n个 + 1 θ − 罪 米 + 2 n个 + 1 θ 0 罪 米 + 2 n个 + 1 θ 余弦 米 + 2 n个 + 1 θ 0 0 0 1 .
ℓ = 0 , 0 , 1 是旋转轴，轮廓曲线为
γ 米 1 ( 第页 ) = 第页 米 + 1 米 + 1 , 0 , 1 2 φ 第页 , γ 米 , n个 2 ( 第页 ) = − 第页 米 + 2 n个 + 1 米 + 2 n个 + 1 , 0 , 1 2 φ 第页 ,
米 ∈ R（右） − − 1 在里面 γ 米 1 , 米 ∈ R（右） − − 1 − 2 n个 在里面 γ 米 , n个 2 , 第页 ∈ R（右） + , 0 ≤ θ ≤ 2 π 和球场 一 ∈ R（右） + . 由于螺旋面是通过绕轴У旋转剖面曲线γ并同时移动与轴У正交的平行线而得到的，因此位移速度与旋转速度成正比。
接下来，我们给出了关于值的局部等距螺旋面旋转曲面的一个定理 ( 米 , n个 ) .
定理 1
有价值的螺旋面 ( 米 , n个 )
H（H） 米 , n个 第页 , θ = 第页 米 + 1 米 + 1 余弦 米 + 1 θ − 第页 米 + 2 n个 + 1 米 + 2 n个 + 1 余弦 米 + 2 n个 + 1 θ − 第页 米 + 1 米 + 1 罪 米 + 1 θ − 第页 米 + 2 n个 + 1 米 + 2 n个 + 1 罪 米 + 2 n个 + 1 θ φ 第页 + 一 θ
与值的旋转曲面等距 ( 米 , n个 )
R（右） 米 , n个 ( 第页 R（右） , θ R（右） ) = 第页 R（右） 米 + 1 米 + 1 余弦 米 + 1 θ R（右） − 第页 R（右） 米 + 2 n个 + 1 米 + 2 n个 + 1 余弦 米 + 2 n个 + 1 θ R（右） − 第页 R（右） 米 + 1 米 + 1 罪 米 + 1 θ R（右） − 第页 R（右） 米 + 2 n个 + 1 米 + 2 n个 + 1 罪 米 + 2 n个 + 1 θ R（右） φ R（右） 第页 R（右）
根据布尔定理，其中
φ R（右） ′ 2 = G公司 米 + n个 − 1 { 米 + 三 n个 G公司 2 n个 + 2 米 + 2 n个 G公司 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] − 2 G公司 n个 罪 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 米 + n个 } 2 det（探测） 我 第页 2 米 + 2 n个 { 2 米 + 6 n个 第页 4 n个 − 1 + 4 米 + 8 n个 第页 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 2 米 + 2 第页 − 1 } 2 G公司 + 4 第页 R（右） 4 米 + 4 n个 + 2 罪 2 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ R（右） ] 第页 R（右） 2 米 + 2 第页 R（右） 4 n个 + 2 第页 R（右） 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ R（右） ] + 1 − 第页 R（右） 2 米 第页 R（右） 4 n个 − 2 第页 R（右） 2 n个 余弦 2 米 + n个 + 1 θ R（右） + 1 ,
第页 R（右） = G公司 , θ R（右） = θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 , E类 = 第页 2 米 第页 4 n个 − 2 第页 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 1 + φ ′ 2 , F类 = 2 第页 2 米 + 2 n个 + 1 罪 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 一 φ ′ , G公司 = 第页 2 米 + 2 第页 4 n个 + 2 第页 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 1 + 一 2 , det（探测） 我 = E类 G公司 − F类 2 ,
米 ∈ R（右） − − 1 , − 1 − 2 n个 , n个 ∈ R（右） , 第页 ∈ R（右） + , θ ∈ 我 ⊂ R（右） 和球场 一 ∈ R（右） + .
证明。 
螺旋面的线元素 H（H） 米 , n个 ( 第页 , θ ) 是
d日 秒 2 = { 第页 2 米 ( 第页 4 n个 − 2 第页 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 1 ) + φ ′ 2 } d日 第页 2 + 2 { 2 第页 2 米 + 2 n个 + 1 罪 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 一 φ ′ } d日 第页 d日 θ + { 第页 2 米 + 2 第页 4 n个 + 2 第页 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ ] + 1 + 一 2 } d日 θ 2 .
内螺旋 H（H） 米 , n个 曲线定义为 第页 = c（c） o个 n个 秒 t吨 . 因此，曲线 H（H） 米 , n个 与螺旋正交的提供了正交条件F类 d日 第页 + G公司 d日 θ = 0 . 因此，我们得到 θ = − ∫ F类 G公司 d日 第页 + c（c） , 哪里c（c）是常量。因此，如果我们把 θ ¯ = θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 , 然后通过以下公式给出与螺旋正交的曲线 θ ¯ = c（c） o个 n个 秒 t吨 . 替换方程式 d日 θ = d日 θ ¯ − F类 G公司 d日 第页 在行元素（4）中，我们有
d日 秒 2 = 问 G公司 d日 第页 2 + G公司 d日 θ ¯ 2 ,
哪里 问 : = det（探测） 我 . 设置 第页 ¯ : = 问 G公司 d日 第页 , Ω ( 第页 ¯ ) : = G公司 , (5)成为
d日 秒 2 = d日 第页 ¯ 2 + Ω 2 第页 ¯ d日 θ ¯ 2 .
旋转表面（3）具有线元素
d日 秒 R（右） 2 = 问 R（右） G公司 R（右） d日 第页 R（右） 2 + G公司 R（右） d日 θ ¯ R（右） 2 ,
哪里
E类 R（右） = 第页 R（右） 2 米 ( 第页 R（右） 4 n个 + 1 − 2 第页 R（右） 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ R（右） ] ) + φ R（右） ′ 2 , F类 R（右） = 2 第页 R（右） 2 米 + 2 n个 + 1 罪 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ R（右） ] , G公司 R（右） = 第页 R（右） 2 米 + 2 第页 R（右） 4 n个 + 1 + 2 第页 R（右） 2 n个 余弦 [ 2 ( 米 + n个 + 1 ) θ R（右） ] .
再次，设置 第页 ¯ R（右） : = 问 R（右） G公司 R（右） d日 第页 R（右） , Ω R（右） ( 第页 ¯ R（右） ) : = G公司 R（右） , 那么(7)成为
d日 秒 R（右） 2 = d日 第页 ¯ R（右） 2 + Ω R（右） 2 第页 ¯ R（右） d日 θ ¯ R（右） 2 .
比较(6)带有(8)，如果我们采取 第页 ¯ = 第页 ¯ R（右） , θ ¯ = θ ¯ R（右） , Ω 第页 ¯ = Ω R（右） 第页 ¯ R（右） , 那么我们有一个等距 H（H） 米 , n个 ( 第页 , θ ) 和 R（右） 米 , n个 ( 第页 R（右） , θ R（右） ) 因此
问 G公司 d日 第页 = 问 R（右） G公司 R（右） d日 第页 R（右） .
替换方程式
d日 第页 R（右） = G公司 R（右） G公司 第页 2 G公司 R（右） 第页 2 G公司 d日 第页
在（9）中，我们得到了函数 φ R（右） .  ☐

4.值的螺旋面（0,1）

我们给出了值的螺旋面 ( 0 , 1 ) 在本节中使用布尔定理。
提议 1
有价值的螺旋面 ( 0 , 1 ) ：（请参见图1)
H（H） 0 , 1 第页 , θ = 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ φ 第页 + 一 θ ,
与值的旋转曲面等距 ( 0 , 1 )
R（右） 0 , 1 ( 第页 R（右） , θ R（右） ) = G公司 余弦 θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 − 1 三 G公司 三 余弦 三 θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 − G公司 罪 θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 − 1 三 G公司 三 罪 三 θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 φ R（右） 第页 R（右） ,
哪里
φ R（右） ′ 2 = { 三 G公司 2 + 4 G公司 余弦 4 θ − 2 G公司 罪 4 θ + 1 } 2 det（探测） 我 第页 2 { 6 第页 三 + 8 第页 2 余弦 4 θ + 2 第页 − 1 } 2 G公司 + 4 G公司 三 罪 2 4 θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 G公司 G公司 2 + 2 G公司 余弦 4 θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 + 1 − G公司 2 − 2 G公司 余弦 4 θ + ∫ F类 G公司 d日 第页 + 1 ,
E类 = 第页 4 − 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 + φ ′ 2 , F类 = 2 第页 三 罪 4 θ + 一 φ ′ , G公司 = 第页 2 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 + 一 2 ,
det（探测） 我 = E类 G公司 − F类 2 , 第页 , 一 ∈ R（右） + , 0 ≤ θ ≤ 2 π .
证明。 
拿 米 = 0 , n个 = 1 在前面的定理中，我们很容易得到结果。☐
推论 1
什么时候？ 一 = 0 , φ 第页 = 第页 在里面(10)，我们获得了一个值为的旋转曲面 ( 0 , 1 ) （请参见图2).
推论 2
什么时候？ 一 = 0 和 φ 第页 = 第页 2 余弦 2 θ 在里面(10)，我们有Enneper的最小曲面（参见图3).
提议 2
平均曲率和高斯曲率(10)如下所示
H（H） = 1 2 det（探测） 我 三 / 2 { 第页 ( 第页 4 − 1 ) ( 第页 6 + 2 第页 4 余弦 ( 4 θ ) + 第页 2 + 一 2 ) φ ′ ′ + 第页 2 ( 三 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ − 1 ) φ ′ 三 − 6 一 第页 三 罪 ( 4 θ ) φ ′ 2 + [ 2 第页 2 ( − 5 第页 6 + 第页 2 − 三 一 2 ) 余弦 4 θ + 第页 10 − 8 第页 6 + 4 一 2 第页 4 − 第页 2 − 2 一 2 ] φ ′ + 2 一 第页 6 第页 6 − 2 第页 2 + 一 2 罪 ( 4 θ ) }
和
K（K） = 1 det（探测） 我 2 ( { [ 三 第页 11 + 2 第页 5 ( 第页 4 − 1 ) 余弦 ( 4 θ ) − 4 第页 7 + 第页 三 ] φ ′ − 2 一 第页 5 ( 第页 4 − 1 ) 罪 ( 4 θ ) } φ ′ ′ + [ − 2 第页 6 ( 三 第页 4 + 1 ) − 2 第页 4 ( 第页 6 − 1 ) 余弦 ( 4 θ ) ] φ ′ 2 − 2 一 第页 三 ( 三 − 11 第页 4 ) 罪 ( 4 θ ) ] φ ′ + 4 一 2 第页 2 ( 三 第页 4 − 1 ) 余弦 ( 4 θ ) − 一 2 9 第页 8 − 2 第页 4 + 1 .
分别，其中 det（探测） 我 = E类 G公司 − F类 2 , φ ′ = d日 φ d日 第页 , 第页 , 一 ∈ R（右） + , 0 ≤ θ ≤ 2 π .
证明。 
根据 第页 , θ 到 H（H） 0 , 1 , 我们有
H（H） 0 , 1 第页 = 余弦 θ − 第页 2 余弦 三 θ − 罪 θ − 第页 2 罪 三 θ φ ′ .
和
H（H） 0 , 1 θ = − 第页 罪 ( θ ) + 第页 三 罪 ( 三 θ ) − 第页 余弦 ( θ ) − 第页 三 余弦 ( 三 θ ) 一 ,
曲面第一基本形式的系数为
E类 = 第页 4 − 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 + φ ′ 2 , F类 = 2 第页 三 罪 4 θ + 一 φ ′ , G公司 = 第页 2 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 + 一 2 ,
然后，我们得到
det（探测） 我 = [ 第页 6 + 2 第页 4 余弦 4 θ + 第页 2 ] φ ′ 2 − 4 一 第页 三 罪 4 θ φ ′ + 第页 10 − 2 第页 6 + 一 2 第页 4 − 2 一 2 第页 2 余弦 4 θ + 第页 2 + 一 2 .
使用第二个差速器
H（H） 0 , 1 第页 第页 = − 2 第页 余弦 三 θ − 2 第页 罪 三 θ φ ′ ′ , H（H） 0 , 1 第页 θ = − 罪 ( θ ) + 三 第页 2 罪 ( 三 θ ) − 余弦 ( θ ) − 三 第页 2 余弦 ( 三 θ ) 0 ,
H（H） 0 , 1 θ θ = − 第页 余弦 ( θ ) + 三 第页 三 余弦 ( 三 θ ) 第页 罪 ( θ ) + 三 第页 三 罪 ( 三 θ ) 0 ,
和高斯映射（单位法线）
e（电子） = 1 det（探测） 我 ( 第页 三 余弦 三 θ + 第页 余弦 θ ) φ ′ − 一 ( 第页 2 罪 三 θ + 罪 θ ) ( 第页 三 罪 三 θ − 第页 罪 θ ) φ ′ + 一 ( 第页 2 余弦 三 θ − 余弦 θ ) 第页 5 − 第页
表面的 H（H） 0 , 1 ，曲面第二基本形式的系数如下
L（左） = 1 det（探测） 我 [ ( 第页 5 − 第页 ) φ ′ ′ − 第页 2 ( 第页 2 + 余弦 4 θ ) φ ′ − 2 一 第页 罪 4 θ ] , M（M） = 1 det（探测） 我 [ 2 第页 三 罪 三 θ φ ′ − 三 一 第页 4 + 2 一 第页 2 余弦 4 θ + 一 ] , N个 = 1 det（探测） 我 [ ( 三 第页 6 − 第页 2 + 2 第页 4 余弦 4 θ ) φ ′ − 2 一 第页 三 罪 4 θ ] .
因此，我们可以很容易地看到结果
推论 三。
如果螺旋面的值 ( 0 , 1 ) 是最小的，那么我们得到微分方程如下
第页 ( 第页 4 − 1 ) ( 第页 6 + 2 第页 4 余弦 ( 4 θ ) + 第页 2 + 一 2 ) φ ′ ′ + 第页 2 ( 三 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ − 1 ) φ ′ 三 − 6 一 第页 三 罪 ( 4 θ ) φ ′ 2 + [ 2 第页 2 ( − 5 第页 6 + 第页 2 − 三 一 2 ) 余弦 4 θ + 第页 10 − 8 第页 6 + 4 一 2 第页 4 − 第页 2 − 2 一 2 ] φ ′ + 2 一 第页 6 第页 6 − 2 第页 2 + 一 2 罪 ( 4 θ ) = 0 .
值的螺旋面 ( 1 , 1 ) 值为3 in的相同曲面[28].

5.拉普拉斯–Beltrami操作员

光滑函数的Laplace–Beltrami算子 ϕ = ϕ ( 第页 , θ ) ∣ D类 ( D类 ⊂ R（右） 三 ) 类的 C类 2 关于曲面的第一基本形式 M（M） 是操作员 Δ ，定义如下
Δ ϕ = 1 克 ∑ 我 , j个 = 1 2 ∂ ∂ x个 我 克 克 我 j个 ∂ ϕ ∂ x个 j个 ,
哪里 克 我 j个 = 克 k个 我 − 1 和 克 = det（探测） 克 我 j个 . 显然，我们写 Δ ϕ 如下
Δ ϕ = 1 克 ∂ ∂ x个 1 克 克 11 ∂ ϕ ∂ x个 1 − ∂ ∂ x个 1 克 克 12 ∂ ϕ ∂ x个 2 − ∂ ∂ x个 2 克 克 21 ∂ ϕ ∂ x个 1 + ∂ ∂ x个 2 克 克 22 ∂ ϕ ∂ x个 2 .
使用更透明的符号，我们得到
Δ ϕ = 1 det（探测） 我 ∂ ∂ u个 G公司 ϕ u个 − F类 ϕ v（v） det（探测） 我 − ∂ ∂ v（v） F类 ϕ u个 − E类 ϕ v（v） det（探测） 我 ,
哪里 克 = det（探测） 克 我 j个 = det（探测） 我 .
现在，我们考虑旋转曲面
R（右） 0 , 1 第页 , θ = 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ φ 第页 .
曲面的第一个基本矩阵如下
我 = 第页 4 − 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 + φ ′ 2 2 第页 三 罪 4 θ 2 第页 三 罪 4 θ 第页 2 ( 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 ) .
的逆矩阵我如下所示
我 − 1 = 1 det（探测） 我 第页 2 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 − 2 第页 三 罪 4 θ − 2 第页 三 罪 4 θ 第页 4 − 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 + φ ′ 2 ,
哪里
det（探测） 我 = 第页 2 ( 第页 4 − 2 第页 4 + 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 φ ′ 2 + 1 ) .
拉普拉斯-贝尔特拉米运营商 Δ R（右） 0 , 1 旋转表面的 R（右） 0 , 1 由提供
Δ R（右） = 1 det（探测） 我 ∂ ∂ 第页 U型 − ∂ ∂ θ V（V） ,
哪里
U型 = G公司 R（右） 第页 − F类 R（右） θ det（探测） 我 , V（V） = F类 R（右） 第页 − E类 R（右） θ det（探测） 我 .
然后，我们得到以下结果
U型 = 1 det（探测） 我 − 第页 2 第页 4 − 1 余弦 θ + 第页 2 余弦 三 θ 第页 2 第页 4 − 1 罪 θ − 第页 2 罪 三 θ 第页 2 φ ′ ( 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 ) , V（V） = 1 det（探测） 我 第页 1 + φ ′ 2 − 第页 4 罪 θ + 第页 2 1 − 第页 4 − φ 2 ′ 罪 三 θ 第页 1 + φ 2 ′ − 第页 4 余弦 θ − 第页 2 1 − 第页 4 − φ ′ 2 余弦 三 θ 2 第页 三 φ ′ 罪 4 θ .
使用的差值 第页 , θ 在 U型 , V（V） , 分别得到
Δ 我 R（右） = 1 det（探测） 我 ∂ ∂ 第页 U型 − ∂ ∂ θ V（V） = 第页 三 det（探测） 我 2 J型 1 φ ′ φ ′ ′ + J型 2 φ ′ 4 + J型 三 φ ′ 2 + J型 4 T型 1 φ ′ φ ′ ′ + T型 2 φ ′ 4 + T型 三 φ ′ 2 + T型 4 问 1 φ ′ 三 φ ′ ′ + 问 2 φ ′ 2 φ ′ ′ + 问 三 φ ′ φ ′ ′ + 问 4 φ ′ 三 + 问 5 ,
哪里
  • J型 1 = 第页 1 + 第页 4 − 2 第页 8 余弦 θ + 第页 三 2 − 第页 4 − 第页 8 余弦 三 θ + 第页 三 1 − 第页 4 余弦 5 θ + 第页 5 1 − 第页 4 余弦 7 θ ,
  • J型 2 = − 余弦 θ + 4 第页 4 余弦 θ + 三 第页 6 余弦 三 θ + 第页 2 余弦 5 θ + 第页 4 余弦 7 θ ,
  • J型 三 = − 三 + 第页 4 + 14 第页 8 余弦 θ + 第页 2 − 6 + 7 第页 4 + 11 第页 8 余弦 三 θ + 第页 2 1 + 三 第页 4 余弦 5 θ + 第页 4 − 三 + 7 第页 4 余弦 7 θ ,
  • J型 4 = 2 − 1 + 三 第页 4 − 三 第页 8 + 第页 12 余弦 θ + 6 第页 2 − 1 + 三 第页 4 − 三 第页 8 + 第页 12 余弦 三 θ ,
  • T型 1 = 第页 1 − 第页 8 罪 θ + 第页 三 − 1 + 第页 8 罪 三 θ + 2 第页 三 1 − 第页 4 余弦 4 θ 罪 θ + 2 第页 5 − 1 + 第页 4 罪 三 θ 余弦 4 θ ,
  • T型 2 = − 1 + 4 第页 4 余弦 θ + 三 第页 6 余弦 三 θ + 第页 2 余弦 5 θ + 第页 4 余弦 7 θ ,
  • T型 三 = − 2 − 三 第页 4 + 5 第页 8 余弦 θ + − 1 + 6 第页 4 + 三 第页 8 罪 θ + 第页 2 三 − 6 第页 4 − 5 第页 8 罪 三 θ + 三 第页 2 − 1 − 第页 4 + 2 第页 8 余弦 三 θ + 第页 2 1 − 第页 4 余弦 5 θ + 8 第页 6 罪 θ 余弦 4 θ + 4 第页 4 1 − 三 第页 4 罪 三 θ 余弦 4 θ + 第页 4 − 1 + 第页 4 余弦 7 θ ,
  • T型 4 = − 1 + 三 第页 4 − 三 第页 8 + 第页 12 余弦 θ + 罪 θ + 余弦 三 θ − 罪 三 θ ,
  • 问 1 = 第页 + 4 第页 三 + 2 第页 5 + 第页 9 + 4 第页 5 第页 2 + 余弦 2 4 θ 余弦 4 θ ,
  • 问 2 = − 第页 − 2 第页 5 − 第页 9 − 4 第页 三 1 + 第页 4 + 第页 2 余弦 4 θ 余弦 4 θ ,
  • 问 三 = 第页 − 第页 5 − 第页 9 + 第页 13 + 2 第页 三 1 − 2 第页 4 + 第页 8 余弦 4 θ ,
  • 问 4 = 1 − 4 第页 4 + 三 第页 8 − 2 第页 2 1 − 第页 4 余弦 4 θ ,
  • 问 5 = 1 + 7 第页 4 − 9 第页 8 + 第页 12 + 第页 2 − 2 + 12 第页 4 − 10 第页 8 余弦 4 θ .
备注 1
当旋转表面 R（右） 0 , 1 有这个等式 Δ R（右） 0 , 1 = 0 , 我们必须解方程组，如下所示
J型 1 φ ′ φ ′ ′ + J型 2 φ ′ 4 + J型 三 φ ′ 2 + J型 4 = 0 , T型 1 φ ′ φ ′ ′ + T型 2 φ ′ 4 + T型 三 φ ′ 2 + T型 4 = 0 , 问 1 φ ′ 三 φ ′ ′ + 问 2 φ ′ 2 φ ′ ′ + 问 三 φ ′ φ ′ ′ + 问 4 φ ′ 三 + 问 5 = 0 .
这里，找到函数φ是一个问题。
推论 4
什么时候？ φ = c（c） = c（c） o个 n个 秒 t吨 . , 然后我们得到
Δ R（右） 0 , 1 = − 1 + 三 第页 4 − 三 第页 8 + 第页 12 第页 2 第页 4 − 2 第页 4 + 1 2 余弦 θ + 6 第页 2 余弦 三 θ 余弦 θ + 罪 θ + 三 第页 2 余弦 三 θ − 罪 三 θ 0 .

6.旋转表面满足 Δ R（右） 0 , 1 = 一 R（右） 0 , 1 英寸三

定理 2
让 R（右） 0 , 1 : M（M） 2 ⟶ E类 三 是由(15).然后， Δ R（右） 0 , 1 = 一 R（右） 0 , 1 当且仅当 M（M） 2 平均曲率为零。
证明。 
旋转曲面的高斯映射 R（右） 0 , 1 是
e（电子） = 1 W公司 ( 余弦 θ + 第页 2 余弦 三 θ ) φ ′ ( − 罪 θ + 第页 2 罪 三 θ ) φ ′ − 1 + 第页 4 ,
哪里
W公司 = 第页 4 − 2 第页 4 + 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 φ ′ 2 + 1 .
我们使用
− 2 H（H） e（电子） = 一 R（右） 0 , 1 ,
哪里 一 = 一 我 j个 是一个 三 × 三 矩阵。方程式 Δ R（右） 0 , 1 = 一 R（右） 0 , 1 通过
我 = 第页 4 − 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 + φ ′ 2 2 第页 三 罪 4 θ 2 第页 三 罪 4 θ 第页 2 ( 第页 4 + 2 第页 2 余弦 4 θ + 1 ) .
和 Δ R（右） 0 , 1 = − 2 H（H） e（电子） 产生以下ODE系统
Ω ( 余弦 θ + 第页 2 余弦 三 θ ) φ ′ − 一 11 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ − 一 12 − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ = φ 一 13 ,
Ω ( − 罪 θ + 第页 2 罪 三 θ ) φ ′ − 一 21 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ − 一 22 − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ = φ 一 23 ,
Ω − 1 + 第页 4 = 一 31 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ + 一 32 − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ + φ 一 33 ,
哪里 Ω 第页 = 2 H（H） W公司 . 区分ODE θ , 我们有
一 13 = 一 23 = 一 33 = 0 , Ω 第页 = 0 .
从（17）中，我们得到
− 一 11 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ − 一 12 − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ = 0 , − 一 21 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ − 一 22 − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ = 0 , 一 31 第页 余弦 θ − 第页 三 三 余弦 三 θ + 一 32 − 第页 罪 θ − 第页 三 三 罪 三 θ = 0 .
这里，cos和sin是线性无关的函数 θ ，那么我们就有了 一 我 j个 = 0 .来自 Ω 第页 = 2 H（H） W公司 ，我们获得 H（H） = 0 最后， R（右） 0 , 1 是最小旋转超曲面。☐

作者贡献

作者提出了一种求解等距变形问题的思路 ( 米 , n个 ) -三个空间中的类型螺旋面。然后，他检查并润色了草稿。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明，本论文的出版不存在利益冲突。

工具书类

  1. 陈，B.Y。有限型的总平均曲率和子流形; 《世界科学：新加坡》，1984年。[谷歌学者]
  2. Arslan，K。；KılıçBayram，B。；布尔卡，B。；𝔼ztürk，G.广义旋转曲面4.结果数学。 2012,61, 315–327. [谷歌学者] [交叉参考]
  3. Do Carmo，M。；具有恒定平均曲率的螺旋曲面。东北数学。J。 1982,34, 351–367. [谷歌学者] [交叉参考]
  4. 陈，B.Y。；Choi，M。；Kim，Y.H.点式1型高斯映射的旋转曲面。韩国数学。Soc公司。 2005,42, 447–455. [谷歌学者] [交叉参考]
  5. Choi，M。；Kim，Y.H.用点式1型高斯映射表征螺旋面作为直纹曲面。牛市。韩国数学。Soc公司。 2001,38, 753–761. [谷歌学者]
  6. Choi，M。；Yoon，D.W.Minkowski 3-空间中第三基本形式的螺旋面。牛市。韩国数学。Soc公司。 2015,52, 1569–1578. [谷歌学者] [交叉参考]
  7. Dillen，F。；帕斯·J。；Verstraelen，L.关于欧几里德3-空间中有限类型的曲面。Kodai数学。J。 1990,13, 10–21. [谷歌学者] [交叉参考]
  8. 杜森，美国。；Turgay，N.C.欧几里得空间中的极小和伪脐旋转曲面𝔼4.中等。数学杂志。 2013,10, 497–506. [谷歌学者] [交叉参考]
  9. Kim，Y.H。；北卡罗来纳州图尔盖表面三具有L（左）1-逐点1型高斯映射。牛市。韩国数学。Soc公司。 2013,50, 935–949. [谷歌学者] [交叉参考]
  10. 费朗德斯，A。；O.J.加雷。；Lucas，P.关于欧几里德超曲面的一类保角曲面。在整体分析与整体微分几何; 施普林格：德国柏林，1990年；第48-54页。[谷歌学者]
  11. Güler，E。；特古特·凡尔，A.布尔的Minkowski 3-空间定理。数学杂志。京都大学。 2006,46, 47–63. [谷歌学者] [交叉参考]
  12. Güler，E。；Yaylı，Y.广义布尔定理。科威特科学杂志。 2015,42, 79–90. [谷歌学者]
  13. Güler，E。；Yayl，Y。；Hacısalihoğlu，H.H.Bour关于3-欧几里得空间中高斯映射的定理。Hacettepe J.数学。斯达。 2010,39, 515–525. [谷歌学者]
  14. 池川，T.布尔定理和高斯映射。横滨数学。J。 2000,48, 173–180. [谷歌学者]
  15. Minkowski几何中的Ikawa，T.Bour定理。东京J.数学。 2001,24, 377–394. [谷歌学者] [交叉参考]
  16. 季凤。；Kim，Y.H.Minkowski 3-空间中一对等距螺旋面和旋转面的平均曲率和高斯映射。数学杂志。分析。申请。 2010,368, 623–635. [谷歌学者] [交叉参考]
  17. 季凤。；Kim，Y.H.Minkowski空间中最小螺旋曲面和旋转曲面之间的等距。申请。数学。计算。 2013,220, 1–11. [谷歌学者] [交叉参考]
  18. Hieu，D。；Ngoc Thang，N.Bour在四维欧氏空间中的定理。牛市。韩国数学。Soc公司。 2017,54, 2081–2089. [谷歌学者]
  19. 甘切夫，G。；Milousheva，V.四维Minkowski空间中的一般旋转曲面。土耳其语。数学杂志。 2014,38, 883–895. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  20. Güler，E。；Magid，M。；四空间中螺旋超曲面的Yaylñ，Y.Laplace Beltrami算子。《几何杂志》。Sym.公司。物理学。 2016,41, 77–95. [谷歌学者] [交叉参考]
  21. Güler，E。；哈科萨利奥卢，H.H。；Kim，Y.H.高斯映射和4-空间中旋转超曲面的第三个Laplace–Beltrami算子。对称 2018,10, 398. [谷歌学者] [交叉参考]
  22. H.B.劳森。极小子流形讲座第2版。；数学系列讲座，第9期；Publish or Perish，Inc.：北卡罗来纳州威明顿，美国，1980年；第一卷[谷歌学者]
  23. Takahashi，T.黎曼流形的最小浸入。数学杂志。Soc.Jpn.公司。 1966,18, 380–385. [谷歌学者] [交叉参考]
  24. 塞努西，B。；Bekkar，M.带Δ的螺旋面J型第页=应收账在三维欧几里德空间中。贝贝什大学博莱艾数学研究生。 2015,60, 437–448. [谷歌学者]
  25. Bour，E.表面形成的理论。J.ácole帝国理工学院。 1862,22–39, 1–148. [谷歌学者]
  26. Kenmotsu，K.具有规定平均曲率的旋转曲面。托库数学。J。 1980,32, 147–153. [谷歌学者] [交叉参考]
  27. Hitt，L。；具有恒定平均曲率的螺旋曲面的计算机图形。美国科学院。巴西。词。 1991,63, 211–228. [谷歌学者]
  28. Güler，E.一种新的有值螺旋曲面米.国际电子几何杂志。 2014,7, 154–162. [谷歌学者]
  29. 艾森哈特，L。曲线曲面微分几何论著; 巴勒莫41吉恩公司：美国马萨诸塞州奥兰市，1909年。[谷歌学者]
  30. 斯皮瓦克，M。微分几何综合导论III; 《跨科学：纽约，纽约，美国》，1969年。[谷歌学者]
数学06 00226 g001 550
图1。价值螺旋面的两个视图 ( 0 , 1 ) , φ 第页 = 第页 2 .
图1。价值螺旋面的两个视图 ( 0 , 1 ) , φ 第页 = 第页 2 .
数学06 00226 g001
数学06 00226 g002 550
图2。值的旋转曲面的两个视图 ( 0 , 1 ) , φ 第页 = 第页 .
图2。价值旋转表面的两个视图 ( 0 , 1 ) , φ 第页 = 第页 .
数学06 00226 g002
数学06 00226 g003 550
图3。Enneper最小值曲面的两个视图 ( 0 , 1 ) , 一 = 0 , φ 第页 = 第页 2 余弦 2 θ .
图3。Enneper最小值曲面的两个视图 ( 0 , 1 ) , 一 = 0 , φ 第页 = 第页 2 余弦 2 θ .
数学06 00226 g003

分享和引用

MDPI和ACS样式

Güler，E。等距变形(米,n个)-三维欧氏空间中的类型螺旋面。数学 2018,6, 226.https://doi.org/10.3390/math6110226

AMA风格

居勒·E。等距变形(米,n个)-三维欧氏空间中的类型螺旋面。数学. 2018; 6(11):226.https://doi.org/10.3390/math6110226

芝加哥/图拉宾风格

格勒，埃尔罕。2018.“等距变形(米,n个)-三维欧氏空间中的类型螺旋面”数学6，编号11:226。https://doi.org/10.3390/math6110226

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

文章指标

返回页首顶部