1.简介
泛函方程或微分方程的稳定性问题始于众所周知的乌拉姆问题[1]:让和是一个群和一个具有度量的度量群分别是。鉴于，是否存在这样，如果函数满足不等式为所有人，则存在同态具有为所有人?
简而言之，乌拉姆的问题陈述如下：在什么条件下，在近似加性函数附近存在加性函数？
1941年，海尔斯[2]假设相关函数定义在Banach空间上，给出了Ulam问题的部分解。 定理 1 （海尔斯[2]). 鉴于，假设是Banach空间之间的函数，如下所示为所有人.然后是限制每个都存在和是唯一的加法函数对于任何. 基于定理1，我们说柯西可加函数方程，具有（或满足）Hyers-Ulam稳定性，或者在Hyers和Ulam的意义上是稳定的。从那时起，许多数学家对几个函数方程和微分方程的稳定性问题进行了广泛的研究（参见[三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]以及其中的参考文献）。 让是具有连续偏导数的函数和然后让L（左）是连接不同点的线段和在里面.如果一个点在线段上L（左）满足等式然后称为二维拉格朗日平均值点（f）在里面L（左）. 在第3节证明了二维拉格朗日中值点的Hyers-Ulam稳定性。本文的主要结果是对前人工作的扩展和概括[16]（定理2.2）（或参见下面的定理4）。此外，我们还介绍了一种在实际应用中应用主要定理（定理6）的有效方法。 2.准备工作
Hyers-Ulam稳定性的概念可以应用于其他数学对象的情况。乌拉姆和海尔斯[17]似乎是第一个将海尔斯-乌兰稳定性概念应用于微分表达式的数学家。 定理 2 （乌拉姆和海尔斯[17]). 假设在一个点的邻域n中n次可微和和更改签名于。对于任何，对应于这样，对于每个功能在n中是n次可微的，并且满足为所有人，存在一个点这样的话和. 给定一个，如果我们选择一个足够小的，定理2当然是正确的，但选择足够小的对这个定理的实际使用施加了限制。事实上，我们有兴趣选择尽可能大。因此，我们引入了一种算法来选择强烈基于([17]，定理1）。 备注 1 假设ε和是定理2中给出的量。以下步骤为我们提供了选择δ的有效方法：
ε小于N的半径；
我们选择,和α，这样,,、和，其中和;
我们选择δ尽可能大.
1958年，弗莱特[18]证明了拉格朗日中值定理的一个变种：如果一个函数是连续可微的，并且，那么就存在一个点这样的话. 与乌拉姆问题类似的问题可以用平均值点表示：
如果函数f有一个平均值点η，而g是一个非常接近f的函数，那么g在η附近有一个均值点吗？
的确，达斯、里德尔和萨胡[19]研究了Flett平均值点的稳定性问题。不幸的是，在证明[19]. 2009年，Lee、Xu和Ye[20]证明了Sahoo-Riedel点的Hyers-Ulam稳定性。我们提醒大家，对于一个可微函数，一分被称为Sahoo-Riedel点（f）在里面假如满足此外，作为推论，他们还获得了关于Flett点稳定性的以下定理。 定理 三 （Lee等人[20]). 假设是可微函数，η是f的Sahoo-Riedel点.如果f在η和那么对于任何和任何邻居对于η，存在一个具有每h满足的性质对于和，存在萨胡·里德尔的观点h的. 此后，格夫鲁特、荣格和李[16]证明了拉格朗日中值点的稳定性可微函数的令人满意的. 定理 4 （Gévruté等人[16]). 让是令人满意的实数.假设是一个二次连续可微函数，η是开区间内f的唯一拉格朗日中值点而且.假设是一个可微函数。那么，对于任何给定的，存在一个如果为所有人，则存在拉格朗日平均值点g的. 我们可以将拉格朗日中值点的密切概念推广到二维情况。现在我们将介绍二维拉格朗日中值定理（参见[21]（定理4.1））。库兰特在他的书中介绍了以下定理[22]（或参见Sahoo和Riedel[21]（定理4.1））。 定理 5 （科朗[22]). 对于每个功能具有连续偏导数和对于所有不同的点和在里面，存在一个中间点在连接点的线段L上和这样的话. 定理5的几何解释是，函数在点上的值之间的差异和等于中间点的微分在连接这两点的线段上。
3.主要定理
假设是具有连续偏导数的函数和和L（左）是连接不同点的线段吗和在里面我们提醒大家在L（左）称为二维拉格朗日平均值点（f）在里面L（左）前提是满足等式 利用定理2，我们将证明关于二维拉格朗日中值点Hyers-Ulam稳定性的主要定理。
定理 6 假设L是连接两个不同点的线段和还有那个是一个两次连续的偏微分函数。假设是L中f的唯一二维拉格朗日平均值点和该点满足哪里和那么，对于任何给定的，对应于这样如果一个部分可微函数满足为所有人，则存在一个二维拉格朗日平均值点在L中的g. 证明。 我们知道线段上每个点的坐标L（左）由提供对一些人来说.我们定义了一个辅助函数通过并将其导数计算为 我们定义了另一个辅助函数通过为所有人显然，是两倍连续可微的因此，根据罗尔定理，存在一个具有这意味着是唯一的二维拉格朗日平均值点（f）在里面L（左）. 此外，鉴于(1)，我们得到和是连续的。因此，存在一个邻域属于这样为所有人或为所有人.自,更改签名于. 我们现在将定理2转化为语句(2)替换如下表所示。（功能H（H）将稍后选择。） 对于任何给定的，让哪里选择的语句(2)保持正确。让是满足条件的偏微分函数为所有人.如果我们定义了一个可微函数通过为所有人，然后它保持为所有人. 因此，根据(2)带有，存在一个点这样的话和。我们注意到意味着哪里是线段上的点L（左）的确，是二维拉格朗日平均值点克在里面L（左）此外，它认为 因此，关键是是二维拉格朗日平均值点克在里面L（左）具有，这就完成了证明。 □
我们现在有兴趣选择合适的在定理6中，因为似乎对这个定理的实际应用很重要。我们只需要应用备注1中的算法，并参考中的语句(2)对于以下算法。 备注 2 对于符号r，,、和，我们引用定理6的证明，并介绍了一个有效的算法来选择δ：
通过考虑，我们选择这样的话;
我们选择,和α，这样,,、和;
我们选择尽可能大;
我们通过以下公式确定δ.
以下两个推论表明，我们的主要结果（定理6）是对[16]（定理2.2）。如果我们把在定理6中，则条件(1)减少到因此，我们得到了以下推论。 推论 1 假设L是连接两个不同点的线段和还有那个是一个两次连续的偏微分函数。假设是L中f的唯一二维拉格朗日平均值点那么，对于任何给定的，存在一个具有如果是偏微分函数的性质满足为所有人，则有一个二维拉格朗日平均值点g（单位：L）特别是，在这个推论的陈述中。
如果我们把在定理6中，则条件(1)减少到因此，我们得到了以下推论。 推论 2 假设L是连接两个不同点的线段和还有那个是一个两次连续的偏微分函数。假设是L中f的唯一二维拉格朗日平均值点那么，对于任何给定的，存在一个具有如果是偏微分函数的性质满足为所有人，则有一个二维拉格朗日平均值点g（单位：L）特别是，贯穿于这个推论的整个陈述。
4.示例
假设L（左）是连接点的线段上所有点的集合和还有那个是一个两次连续的偏微分函数，定义为 那么我们有,,、和此外，是唯一的二维拉格朗日平均值点（f）在里面L（左）和即。，（f）满足条件(1). 参考定理6的证明，我们现在定义然后根据方程式得出那个此外，因此，我们得出结论：为所有人和为所有人即。，更改签名于我们可以任意选择（我们看到了在定理6的证明中，我们采用备注2考虑在内）。
我们现在遵循备注2然后选择,、和具有,、和这样的话 如果我们设置,、和，然后我们得到 因此，通过考虑(三)和备注2，我们可以选择这与 根据定理6和备注2，对于任何给定，如果是偏微分函数满足为所有人，则存在一个二维拉格朗日均值点属于克在里面L（左）具有.
5.讨论
本文证明了二维拉格朗日中值点的Hyers-Ulam稳定性：假设L表示连接平面上两点的线段，并且是一个两次连续的偏微分函数。此外，假设是L中f的唯一二维拉格朗日平均值点和条件已实现。那么，对于任何给定的，存在一个具有如果是偏微分函数的性质满足为所有人，则存在一个二维拉格朗日均值点g（单位：L）.
本文的主要定理是对前人工作的推广和改进[16]（定理2.2）。事实上，即使是推论1或2也是对[16]（定理2.2）。 此外，我们还介绍了一种确定适当常数的算法取决于（f）和只有。较大的选择后，我们在实际应用中越能有效地应用我们的主要定理。这种方法帮助我们选择“大”这样如果一个部分可微函数克满足不等式为所有人，则存在一个二维拉格朗日均值点属于克具有.
