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数学
第6卷
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第条

希尔伯特空间中松弛余余映射的广义变分不等式组

通过
Kyung Soo Kim（金庆洙）
韩国庆南昌原庆南大学教育研究生院，邮编：51767
数学 2018,6(10), 198;https://doi.org/10.3390/math6100198
收到的提交文件：2018年9月7日/修订日期：2018年10月4日/接受日期：2018年10月9日/发布日期：2018年10月11日
版本注释

摘要

:
在本文中，我们研究了一个具有几个非线性算子的扩展广义变分不等式（SEGVI）系统，更确切地说，是六个松弛算子 ( α , 第页 ) -协同映射。利用投影方法，证明了广义变分不等式组等价于非线性投影方程组。这个替代的等价问题被用来考虑在适当条件下广义变分不等式组解的存在性和收敛性（或近似可解性）。

1.简介

近年来，许多变分不等式类型及其特殊形式的理论得到了扩展和推广，以研究应用数学、最优化、控制理论、平衡问题和非线性规划问题等领域中的各种应用和问题。1964年，Stampacchia提出了一个变分不等式问题[1].
2016年，努尔[2]利用不动点理论引入并研究了具有六个强单调算子的广义变分不等式组解的存在性。
从上述结果出发，我们打算在这篇手稿中考虑一个具有非线性算子的广义变分不等式系统，更准确地说，是放松余强制算子，它比强单调算子更广义。我们证明了一个广义变分不等式组包括广义变分不等和其他几类变分不等式作为特例。利用投影方法，证明了广义变分不等式组（SEGVI）等价于非线性投影方程。这个替代的等价问题被用来考虑在适当的条件下广义变分不等式组解的存在性和收敛性。

2.前期工作

此后，我们接受H（H）是一个实希尔伯特空间，其范数和内积表示为 ∥ · ∥ 和 〈 · , · 〉 , 分别是。让 Ω 1 , Ω 2 是中的两个闭凸子集H（H）.
对于给定的非线性算子 T型 1 , T型 2 , 克 1 , 克 2 , 小时 1 , 小时 2 : H（H） → H（H） , 考虑一个查找问题 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( x个 ) ∈ Ω 2 这样的话
〈 T型 1 x个 , 克 1 ( ν ) - 小时 1 ( 年 ) 〉 ≥ 0 , ∀ ν ∈ H（H） , 克 1 ( ν ) ∈ Ω 1 , 〈 T型 2 年 , 克 2 ( ν ) - 小时 2 ( x个 ) 〉 ≥ 0 , ∀ ν ∈ H（H） , 克 2 ( ν ) ∈ Ω 2 .
这个问题(1)被称为具有六个非线性算子的扩展广义变分不等式（SEGVI）系统。
我们考虑（SEGVI）的一些特殊情况(1).
一、。 
如果 克 1 = 克 2 = 克 , 小时 1 = 小时 2 = 小时 和 Ω 1 = Ω 2 = Ω , 中的闭凸子集 H（H） , 然后是问题(1)减少以找到 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 ( 年 ) , 小时 ( x个 ) ∈ Ω 这样的话
〈 T型 1 x个 , 克 ( ν ) - 小时 ( 年 ) 〉 ≥ 0 , 〈 T型 2 年 , 克 ( ν ) - 小时 ( x个 ) 〉 ≥ 0 ,
为所有人 ν ∈ H（H） , 克 ( ν ) ∈ Ω . 系统(2)被称为具有四个非线性算子的广义广义变分不等式系统。
二、。 
如果 克 1 = 小时 1 = 克 , 克 2 = 小时 2 = 小时 和 Ω 1 = Ω 2 = Ω , 中的闭凸子集 H（H） , 然后是问题(1)减少以找到 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 克 ( 年 ) , 小时 ( x个 ) ∈ Ω 这样的话
〈 T型 1 x个 , 克 ( ν ) - 克 ( 年 ) 〉 ≥ 0 , 〈 T型 2 年 , 小时 ( ν ) - 小时 ( x个 ) 〉 ≥ 0 ,
为所有人 ν ∈ H（H） , 克 ( ν ) ∈ Ω 和 小时 ( ν ) ∈ Ω . 系统(三)被称为具有四个非线性算子的一般变分不等式系统。
三、。 
如果 T型 1 = T型 2 = T型 , 然后是问题(2)减少以找到 u个 ∈ H（H） 具有 小时 ( u个 ) ∈ Ω 这样的话
〈 T型 u个 , 克 ( ν ) - 小时 ( u个 ) 〉 ≥ 0 ,
为所有人 ν ∈ H（H） , 克 ( ν ) ∈ Ω . 类型问题(4)被称为扩展的广义变分不等式（EGVI），由Noor研究[三].
对于空间和算子的充分和适当条件，我们可以得到几个新的和已知的变分不等式类。最近的应用、迭代方法、存在性问题和收敛理论与上述问题有关（参见[4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]以及其中的其他参考）。
现在，我们消化一些定义和相关的基本性质，这些在下面的讨论中是必不可少的。
引理 1
([15])让Ω是中的闭凸子集 H（H） . 那么，对于给定的 小时 ∈ H（H） , ω ∈ Ω 满足
〈 ω - 小时 , v（v） - 小时 〉 ≥ 0 , ∀ v（v） ∈ Ω ,
当且仅当
ω = P（P） Ω ( 小时 ) ,
哪里 P（P） Ω 是H的投影Ω在里面 H（H） .
备注 1
众所周知，投影算子 P（P） Ω 是非扩展的，即。，
∥ P（P） Ω ( 秒 ) - P（P） Ω ( t吨 ) ∥ ≤ ∥ 秒 - t吨 ∥ , ∀ 秒 , t吨 ∈ H（H） .
有关投影操作符的详细信息 P（P） Ω 可以在中找到第3节第页，共页[16].
定义 1
([17])让H（H）成为希尔伯特空间。
(1)
操作员T型: H（H） → H（H） 据说是α-强单调，如果每个 秒 , t吨 ∈ H（H） , 我们有
〈 T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) , 秒 - t吨 〉 ≥ α ∥ 秒 - t吨 ∥ 2 ,
对于常数 第页 > 0 . 这意味着
∥ T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) ∥ ≥ α ∥ 秒 - t吨 ∥ ,
也就是说，T型是 α -膨胀性和时间 α = 1 , 它是膨胀的。
(2)
操作员T型: H（H） → H（H） 据说是β-Lipschitz连续，如果存在常量 β ≥ 0 这样的话
∥ T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) ∥ ≤ β ∥ 秒 - t吨 ∥ , ∀ 秒 , t吨 ∈ H（H） .
(3)
操作员T型: H（H） → H（H） 据说是μ-催眠药，如果存在常量 μ > 0 这样的话
〈 T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) , 秒 - t吨 〉 ≥ μ ∥ T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) ∥ 2 , ∀ 秒 , t吨 ∈ H（H） .
显然，每个 μ -协同算子T型是 1 μ -Lipschitz连续。
(4)
操作员T型: H（H） → H（H） 据说是放松α-催眠药，如果存在常量 α > 0 这样的话
〈 T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) , 秒 - t吨 〉 ≥ ( - α ) ∥ T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) ∥ 2 , ∀ 秒 , t吨 ∈ H（H） .
(5)
操作员T型: H（H） → H（H） 据说是轻松的 ( α , 第页 ) -作茧自缚的，如果存在常量 α , 第页 > 0 这样的话
〈 T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) , 秒 - t吨 〉 ≥ ( - α ) ∥ T型 ( 秒 ) - T型 ( t吨 ) ∥ 2 + 第页 ∥ 秒 - t吨 ∥ 2 , ∀ 秒 , t吨 ∈ H（H） .
对于 α = 0 , T型是第页-非常单调。这类算子比强单调算子更为广义。可以很容易地看出以下含义：
第页 - 强烈地 单调性 ⇒ 轻松的 ( α , 第页 ) - 催眠 .
引理 2
([18])让 { 秒 n个 } 和 { t吨 n个 } 是满足以下条件的两个非负实数序列：
秒 n个 + 1 ≤ ( 1 - λ n个 ) 秒 n个 + t吨 n个 , ∀ n个 ≥ n个 0 ,
哪里 n个 0 是某个非负整数，并且 λ n个 ∈ [ 0 , 1 ] 是一个序列 ∑ n个 = 0 ∞ λ n个 = ∞ 和 t吨 n个 = o个 ( λ n个 ) . 然后，
林 n个 → ∞ 秒 n个 = 0 .
根据Glowinski等人的辅助原理方法[19]，很容易表明我们有这个系统(1)相当于以下内容：
查找 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( x个 ) ∈ Ω 2 和
〈 ρ 1 T型 1 x个 + 小时 1 ( 年 ) - 克 1 ( x个 ) , 克 1 ( ν ) - 小时 1 ( 年 ) 〉 ≥ 0 , 〈 ρ 2 T型 2 年 + 小时 2 ( x个 ) - 克 2 ( 年 ) , 克 2 ( ν ) - 小时 2 ( x个 ) 〉 ≥ 0 ,
在那里，为了所有人 ν ∈ H（H） , 克 1 ( ν ) ∈ Ω 1 , 克 2 ( ν ) ∈ Ω 2 , ρ 1 > 0 和 ρ 2 > 0 （请参见[三,20]).
我们利用这个等价问题生成一些迭代技术来求解广义变分不等式组及其其他变体。

3.结果

在本节中，我们研究了一个广义变分不等式组（SEGVI）(7)等价于一个不动点问题系统。这个替代的等价问题用于生成迭代方案来解决问题(7)根据Noor等人的方法[21].
引理 三。
([2])广义变分不等式组(7)有解决方案， x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 ⊂ 克 1 ( H（H） ) , 小时 1 ( H（H） ) 和 小时 2 ( x个 ) ∈ Ω 2 ⊂ 克 2 ( H（H） ) , 小时 2 ( H（H） ) 当且仅当 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( x个 ) ∈ Ω 2 满足关系
小时 1 ( 年 ) = P（P） Ω 1 [ 克 1 ( x个 ) - ρ 1 T型 1 x个 ] ,
小时 2 ( x个 ) = P（P） Ω 2 [ 克 2 ( 年 ) - ρ 2 T型 2 年 ] ,
哪里 ρ 1 > 0 和 ρ 2 > 0 .
引理3暗示了这个问题(7)等价于不动点问题的关系(8)和(9). 使用不动点问题(8)和(9)，我们可以建议和分析一些迭代形式：
年 = ( 1 - β n个 ) 年 + β n个 { 年 - 小时 1 ( 年 ) + P（P） Ω 1 [ 克 1 ( x个 ) - ρ 1 T型 1 x个 ] } ,
x个 = ( 1 - α n个 ) x个 + α n个 { x个 - 小时 2 ( x个 ) + P（P） Ω 2 [ 克 2 ( 年 ) - ρ 2 T型 2 年 ] } ,
哪里 0 ≤ α n个 , β n个 ≤ 1 , n个 ≥ 0 .
这个替代问题用于提出以下迭代方案，以求解扩展广义变分不等式组（SEGVI）(7)及其变体。
算法 1
对于给定的 x个 0 , 年 0 ∈ H（H） : 小时 1 ( 年 0 ) ∈ Ω 1 和 小时 2 ( x个 0 ) ∈ Ω 2 , 找到 x个 n个 + 1 和 年 n个 + 1 通过迭代方案
年 n个 + 1 = ( 1 - β n个 ) 年 n个 + β n个 { 年 n个 - 小时 1 ( 年 n个 ) + P（P） Ω 1 [ 克 1 ( x个 n个 ) - ρ 1 T型 1 x个 n个 ] } , x个 n个 + 1 = ( 1 - α n个 ) x个 n个 + α n个 { x个 n个 - 小时 2 ( x个 n个 ) + P（P） Ω 2 [ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - ρ 2 T型 2 年 n个 + 1 ] } ,
哪里 0 ≤ α n个 , β n个 ≤ 1 , n个 ≥ 0 .
算法1可视为求解广义变分不等式组（SEGVI）的高斯-赛德尔方法(7).
对于空间和算子的充分和适当条件，我们可以得到几个新的和已知的迭代方案来求解扩展广义变分不等式（SEGVI）系统和相关问题。它已经显示出来了[22]那个问题(1)在一些合适的条件下有一个解决方案。
现在，我们研究算法1的收敛性分析。这是我们以下结果的核心。
定理 1
让 T型 1 , T型 2 , 克 1 , 克 2 , 小时 1 , 小时 2 : H（H） → H（H） 放松 ( α T型 1 , k个 T型 1 ) , ( α T型 2 , k个 T型 2 ) , ( α 克 1 , k个 克 1 ) , ( α 克 2 , k个 克 2 ) , ( α 小时 1 , k个 小时 1 ) , ( α 小时 2 , k个 小时 2 ) -催眠药和 我 T型 1 , 我 T型 2 , 我 克 1 , 我 克 2 , 我 小时 1 , 我 小时 2 -Lipschitz连续算子。如果以下条件成立：
（i） 
0 < θ 1 = 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 < 1 ,
0 < θ 2 = 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 < 1 ,
（ii） 
2 k个 小时 1 - ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 < 1 , 2 k个 小时 2 - ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 < 1 ,
2 k个 克 1 - ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 < 1 , 2 k个 克 2 - ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 < 1 ,
（iii） 
α n个 , β n个 ∈ [ 0 , 1 ] 为所有人 n个 ≥ 0 , 1 - ν = α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ≥ 0 ,
1 - ε 1 = α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ≥ 0 , 1 - ε 2 = β n个 ( 1 - μ 1 ) ≥ 0 ,
这样的话
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( δ 2 + θ 2 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ β n个 ( 1 - μ 1 ) = ∞ ,
哪里
δ 1 = 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 , δ 2 = 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 , μ 1 = 1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 , μ 2 = 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 ,
然后是序列 x个 n个 和 { 年 n个 } 从算法中获得1分别收敛到x和y。
证明。 
让 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( 年 ) ∈ Ω 2 是的解决方案(7). 然后，从(11)和(12)，我们有
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ = ∥ ( 1 - α n个 ) x个 n个 + α n个 { x个 n个 - 小时 2 ( x个 n个 ) + P（P） Ω 2 [ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - ρ 2 T型 2 年 n个 + 1 ] } - ( 1 - α n个 ) x个 - α n个 { x个 - 小时 2 ( x个 ) + P（P） Ω 2 [ 克 2 ( 年 ) - ρ 2 T型 2 年 ] } ∥ ≤ ( 1 - α n个 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ∥ x个 n个 - x个 - ( 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ) ∥ + α n个 ∥ P（P） Ω 2 [ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - ρ 2 T型 2 年 n个 + 1 ] - P（P） Ω 2 [ 克 2 ( 年 ) - ρ 2 T型 2 年 ] ∥ ≤ ( 1 - α n个 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ∥ x个 n个 - x个 - ( 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ) ∥ + α n个 ∥ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - ρ 2 T型 2 年 n个 + 1 - 克 2 ( 年 ) + ρ 2 T型 2 年 ∥ ≤ ( 1 - α n个 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ∥ x个 n个 - x个 - ( 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ) ∥ + α n个 ∥ - ( 年 n个 + 1 - 年 ) + 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - 克 2 ( 年 ) ∥ + α n个 ∥ 年 n个 + 1 - 年 - ρ 2 ( T型 2 年 n个 + 1 - T型 2 年 ) ∥ .
自操作员 T型 2 很放松 ( α T型 2 , k个 T型 2 ) -带有常量的强制 α T型 2 > 0 , k个 T型 2 > 0 和 我 T型 2 -Lipschitz连续，那么它就这样
∥ 年 n个 + 1 - 年 - ρ 2 ( T型 2 年 n个 + 1 - T型 2 年 ) ∥ 2 = ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 - 2 ρ 2 〈 T型 2 年 n个 + 1 - T型 2 年 , 年 n个 + 1 - 年 〉 + ρ 2 2 ∥ T型 2 年 n个 + 1 - T型 2 年 ∥ 2 ≤ ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 + 2 ρ 2 α T型 2 ∥ T型 2 年 n个 + 1 - T型 2 年 ∥ 2 - 2 ρ 2 k个 T型 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 + ρ 2 2 ∥ T型 2 年 n个 + 1 - T型 2 年 ∥ 2 ≤ ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 + 2 ρ 2 α T型 2 我 T型 2 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 - 2 ρ 2 k个 T型 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 + ρ 2 2 我 T型 2 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 = ( 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 .
以类似的方式，我们
∥ x个 n个 - x个 - ( 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ) ∥ 2 = ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 - 2 〈 x个 n个 - x个 , 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) 〉 + ∥ 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ∥ 2 ≤ ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 + 2 α 小时 2 ∥ 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ∥ 2 - 2 k个 小时 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 + ∥ 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ∥ 2 ≤ ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 + 2 α 小时 2 我 小时 2 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 - 2 k个 小时 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 + 我 小时 2 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 = ( 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2
和
∥ 年 n个 + 1 - 年 - ( 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - 克 2 ( 年 ) ) ∥ 2 = ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 - 2 〈 年 n个 + 1 - 年 , 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - 克 2 ( 年 ) 〉 + ∥ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - 克 2 ( 年 ) ∥ 2 ≤ ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 + 2 α 克 2 ∥ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - 克 2 ( 年 ) ∥ 2 - 2 k个 克 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 + ∥ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - 克 2 ( 年 ) ∥ 2 = ( 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ 2 ,
其中我们使用了运算符的属性 小时 2 , 克 2 分别是。组合(13)–(16)，我们获得
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ ≤ ( 1 - α n个 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ + α n个 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ = 1 - α n个 1 - 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 + 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ .
发件人(10)和(12)，我们有
∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ = ∥ ( 1 - β n个 ) 年 n个 + β n个 { 年 n个 - 小时 1 ( 年 n个 ) + P（P） Ω 1 ( 克 1 ( x个 n个 ) - ρ 1 T型 1 x个 n个 ) } - ( 1 - β n个 ) 年 - β n个 { 年 - 小时 1 ( 年 ) + P（P） Ω 1 ( 克 1 ( x个 ) - ρ 1 T型 1 x个 ) } ∥ ≤ ( 1 - β n个 ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 ∥ 年 n个 - 年 - ( 小时 1 ( 年 n个 ) - 小时 1 ( 年 ) ) ∥ + β n个 ∥ P（P） Ω 1 ( 克 1 ( x个 n个 ) - ρ 1 T型 1 x个 n个 ) - P（P） Ω 1 ( 克 1 ( x个 ) - ρ 1 T型 1 x个 ) ∥ ≤ ( 1 - β n个 ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 ∥ 年 n个 - 年 - ( 小时 1 ( 年 n个 ) - 小时 1 ( 年 ) ) ∥ + β n个 ∥ 克 1 ( x个 n个 ) - ρ 1 T型 1 x个 n个 - 克 1 ( x个 ) + ρ 1 T型 1 x个 ∥ ≤ ( 1 - β n个 ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 ∥ 年 n个 - 年 - ( 小时 1 ( 年 n个 ) - 小时 1 ( 年 ) ) ∥ + β n个 ∥ x个 n个 - x个 - ( 克 1 ( x个 n个 ) - 克 1 ( x个 ) ) ∥ + β n个 ∥ x个 n个 - x个 - ρ 1 ( T型 1 x个 n个 - T型 1 x个 ) ∥ .
以类似的方式，从操作符的属性 小时 1 , 克 1 ，我们得到
∥ 年 n个 - 年 - ( 小时 1 ( 年 n个 ) - 小时 1 ( 年 ) ) ∥ 2 ≤ ( 1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ 2 ,
∥ x个 n个 - x个 - ( 克 1 ( x个 n个 ) - 克 1 ( x个 ) ) ∥ 2 ≤ ( 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 ,
∥ x个 n个 - x个 - ρ 1 ( T型 1 x个 n个 - T型 1 x个 ) ∥ 2 ≤ ( 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ 2 .
组合(18)–(21)，我们有
∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ ( 1 - β n个 ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ + β n个 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ = 1 - β n个 1 - 1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 + 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ .
发件人(17)和(22)，放置
1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 = μ 1 , 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 = μ 2 , 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 = δ 1 , 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 = δ 2 , 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 = θ 1 , 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 = θ 2 ,
我们获得
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ ( 1 - α n个 ( 1 - μ 2 ) ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ + ( 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ ≤ ( 1 - α n个 ( 1 - μ 2 ) + β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ + ( 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ .
因此，
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ( 1 - α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ ( 1 - α n个 ( 1 - μ 2 ) + β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + ( 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ ,
这意味着
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ν ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ 最大值 { ε 1 , ε 2 } · ( ∥ x个 n个 - x个 ∥ + ∥ 年 n个 - 年 ∥ ) = ε ( ∥ x个 n个 - x个 ∥ + ∥ 年 n个 - 年 ∥ ) ,
哪里
ν = 1 - α n个 ( δ 2 + θ 2 ) , ε 1 = 1 - α n个 ( 1 - μ 2 ) + β n个 ( δ 1 + θ 1 ) , ε 2 = 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) , ε = 最大值 { ε 1 , ε 2 } .
根据条件，我们得到
ε < 1 .
根据引理2，它从(23)那个
林 n个 → ∞ ( ∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ν ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ) = 0 .
这意味着
林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ = 0 = 林 n个 → ∞ ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ .
这就完成了证明。☐
推论 1
([2]，定理4）让 T型 1 , T型 2 , 克 1 , 克 2 , 小时 1 , 小时 2 : H（H） → H（H） 常数强单调 k个 T型 1 > 0 , k个 T型 2 > 0 , k个 克 1 > 0 , k个 克 2 > 0 , k个 小时 1 > 0 , k个 小时 2 > 0 和 我 T型 1 , 我 T型 2 , 我 克 1 , 我 克 2 , 我 小时 1 , 我 小时 2 -Lipschitz连续算子。如果以下条件成立：
（i）
0 < θ 1 = 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ρ 1 2 我 T型 1 2 < 1 , 0 < θ 2 = 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ρ 2 2 我 T型 2 2 < 1 ,
（ii）
2 k个 小时 1 - 我 小时 1 2 < 1 , 2 k个 小时 2 - 我 小时 2 2 < 1 , 2 k个 克 1 - 我 克 1 2 < 1 , 2 k个 克 2 - 我 克 2 2 < 1 ,
（iii）
α n个 , β n个 ∈ [ 0 , 1 ] 为所有人 n个 ≥ 0 , 1 - ν = α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ≥ 0 ,
1 - ε 1 = α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ≥ 0 , 1 - ε 2 = β n个 ( 1 - μ 1 ) ≥ 0 ,
这样的话
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( δ 2 + θ 2 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ β n个 ( 1 - μ 1 ) = ∞ ,
哪里
δ 1 = 1 - 2 k个 克 1 + 我 克 1 2 , δ 2 = 1 - 2 k个 克 2 + 我 克 2 2 , μ 1 = 1 - 2 k个 小时 1 + 我 小时 1 2 , μ 2 = 1 - 2 k个 小时 2 + 我 小时 2 2 ,
然后是序列 x个 n个 和 { 年 n个 } 从算法1中获得的结果收敛到x个和年分别是。
证明。 
在定理1中，根据定义1，我们取 α T型 1 = α T型 2 = α 克 1 = α 克 2 = α 小时 1 = α 小时 2 = 0 ，我们得到推论1.☐的结果
另一方面，使用引理3，可以很容易地证明 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( x个 ) ∈ Ω 2 是的解决方案(7)当且仅当 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( x个 ) ∈ Ω 2 满足
小时 1 ( 年 ) = P（P） Ω 1 ( z ) ,
小时 2 ( x个 ) = P（P） Ω 2 ( 周 ) ,
z = 克 1 ( x个 ) - ρ 1 T型 1 x个 ,
周 = 克 2 ( 年 ) - ρ 2 T型 2 年 .
这个可供选择的问题可用于提出和分析以下求解系统的迭代方案(7).
算法 2
对于给定的 x个 0 , 年 0 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 0 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( x个 0 ) ∈ Ω 2 , 找到 x个 n个 + 1 和 年 n个 + 1 通过迭代方案
年 n个 + 1 = ( 1 - β n个 ) 年 n个 + β n个 { 年 n个 - 小时 1 ( 年 n个 ) + P（P） Ω 1 ( z n个 ) } ,
x个 n个 + 1 = ( 1 - α n个 ) x个 n个 + α n个 { x个 n个 - 小时 2 ( x个 n个 ) + P（P） Ω 2 ( 周 n个 ) } ,
z n个 = 克 1 ( x个 n个 ) - ρ 1 T型 1 x个 n个 ,
周 n个 = 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - ρ 2 T型 2 年 n个 + 1 ,
哪里 α n个 , β n个 ∈ [ 0 , 1 ] 为所有人 n个 ≥ 0 .
现在，我们使用定理1的方法考虑算法2的收敛性分析。为了完整性和传达想法，我们包含了所有细节。
定理 2
让操作员 T型 1 , T型 2 , 克 1 , 克 2 , 小时 1 , 小时 2 : H（H） → H（H） 放松 ( α T型 1 , k个 T型 1 ) , ( α T型 2 , k个 T型 2 ) , ( α 克 1 , k个 克 1 ) , ( α 克 2 , k个 克 2 ) , ( α 小时 1 , k个 小时 1 ) , ( α 小时 2 , k个 小时 2 ) -催眠药和 我 T型 1 , 我 T型 2 , 我 克 1 , 我 克 2 , 我 小时 1 , 我 小时 2 -Lipschitz连续。如果以下条件成立：
（i） 
0 < θ 1 = 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 < 1 ,
0 < θ 2 = 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 < 1 ,
（ii） 
2 k个 小时 1 - ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 < 1 , 2 k个 小时 2 - ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 < 1 ,
2 k个 克 1 - ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 < 1 , 2 k个 克 2 - ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 < 1 ,
（iii） 
α n个 , β n个 ∈ [ 0 , 1 ] 为所有人 n个 ≥ 0 , 1 - ν = α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ≥ 0 ,
1 - ε 1 = α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ≥ 0 , 1 - ε 2 = β n个 ( 1 - μ 1 ) ≥ 0
这样的话
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( δ 2 + θ 2 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ β n个 ( 1 - μ 1 ) = ∞ ,
哪里
δ 1 = 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 , δ 2 = 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 , μ 1 = 1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 , μ 2 = 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 ,
然后是序列 x个 n个 和 { 年 n个 } 由Algorithm定义2收敛到x和 年 , 分别是。
证明。 
让 x个 , 年 ∈ H（H） 具有 小时 1 ( 年 ) ∈ Ω 1 , 小时 2 ( x个 ) ∈ Ω 2 是…的解决方案(7). 然后，从(6), (14), (16), (27)和(31)，我们有
∥ 周 n个 - 周 ∥ = ∥ 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - ρ 2 T型 2 年 n个 + 1 - ( 克 2 ( 年 ) - ρ 2 T型 2 年 ) ∥ ≤ ∥ 年 n个 + 1 - 年 - ( 克 2 ( 年 n个 + 1 ) - 克 2 ( 年 ) ) ∥ + ∥ 年 n个 + 1 - 年 - ρ 2 ( T型 2 年 n个 + 1 - T型 2 年 ) ∥ ≤ 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 + 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ .
因此，从(11), (15), (27), (29)和(32),
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ ≤ ( 1 - α n个 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ∥ x个 n个 - x个 - ( 小时 2 ( x个 n个 ) - 小时 2 ( x个 ) ) ∥ + α n个 ∥ P（P） Ω 2 ( 周 n个 ) - P（P） Ω 2 ( 周 ) ∥ ≤ ( 1 - α n个 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 + 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ .
发件人(20), (21), (26)和(30),
∥ z n个 - z ∥ = ∥ 克 1 ( x个 n个 ) - 克 1 ( x个 ) - ρ 1 ( T型 1 x个 n个 - T型 1 x个 ) ∥ ≤ ∥ x个 n个 - x个 - ( 克 1 ( x个 n个 ) - 克 1 ( x个 ) ) ∥ + ∥ x个 n个 - x个 - ρ 1 ( T型 1 x个 n个 - T型 1 x个 ) ∥ ≤ 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ + 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ = 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 + 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ .
因此，从(10), (19), (28)和(34),
∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ ( 1 - β n个 ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 ∥ 年 n个 - 年 - ( 小时 1 ( 年 n个 ) - 小时 1 ( 年 ) ) ∥ + β n个 ∥ P（P） Ω 1 ( z n个 ) - P（P） Ω 1 ( z ) ∥ ≤ ( 1 - β n个 ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 + 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 ∥ x个 n个 - x个 ∥ .
现在，我们把
1 - 2 k个 小时 1 + ( 2 α 小时 1 + 1 ) 我 小时 1 2 = μ 1 , 1 - 2 k个 小时 2 + ( 2 α 小时 2 + 1 ) 我 小时 2 2 = μ 2 , 1 - 2 k个 克 1 + ( 2 α 克 1 + 1 ) 我 克 1 2 = δ 1 , 1 - 2 k个 克 2 + ( 2 α 克 2 + 1 ) 我 克 2 2 = δ 2 , 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ( 2 α T型 1 + ρ 1 ) ρ 1 我 T型 1 2 = θ 1 , 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ( 2 α T型 2 + ρ 2 ) ρ 2 我 T型 2 2 = θ 2 ,
那么(33)和(35)有
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ ≤ ( 1 - α n个 ( 1 - μ 2 ) ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ,
∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ ( 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ + β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ .
正在添加(36)和(37)，我们有
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ 1 - α n个 ( 1 - μ 2 ) + β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ + ( 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ .
因此，
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ( 1 - α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ) ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ 1 - α n个 ( 1 - μ 2 ) + β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ∥ x个 n个 - x个 ∥ + ( 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) ) ∥ 年 n个 - 年 ∥ ,
这意味着
∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ν ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ≤ 最大值 { ε 1 , ε 2 } · ( ∥ x个 n个 - x个 ∥ + ∥ 年 n个 - 年 ∥ ) = ε ( ∥ x个 n个 - x个 ∥ + ∥ 年 n个 - 年 ∥ ) ,
哪里
ν = 1 - α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ≥ 0 , ε 1 = 1 - ( α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ) , ε 2 = 1 - β n个 ( 1 - μ 1 ) , ε = 最大值 { ε 1 , ε 2 } .
根据条件，我们得到
ε < 1 .
因此，根据引理2，它从(38)那个
林 n个 → ∞ ( ∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ + ν ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ ) = 0 .
这意味着
林 n个 → ∞ ∥ x个 n个 + 1 - x个 ∥ = 0 = 林 n个 → ∞ ∥ 年 n个 + 1 - 年 ∥ .
这就完成了证明。☐
推论 2
([2]，定理6）让 T型 1 , T型 2 , 克 1 , 克 2 , 小时 1 , 小时 2 : H（H） → H（H） 常数强单调 k个 T型 1 > 0 , k个 T型 2 > 0 , k个 克 1 > 0 , k个 克 2 > 0 , k个 小时 1 > 0 , k个 小时 2 > 0 和 我 T型 1 , 我 T型 2 , 我 克 1 , 我 克 2 , 我 小时 1 , 我 小时 2 -Lipschitz连续算子。如果以下条件成立：
（i）
0 < θ 1 = 1 - 2 ρ 1 k个 T型 1 + ρ 1 2 我 T型 1 2 < 1 , 0 < θ 2 = 1 - 2 ρ 2 k个 T型 2 + ρ 2 2 我 T型 2 2 < 1 ,
（ii）
2 k个 小时 1 - 我 小时 1 2 < 1 , 2 k个 小时 2 - 我 小时 2 2 < 1 , 2 k个 克 1 - 我 克 1 2 < 1 , 2 k个 克 2 - 我 克 2 2 < 1 ,
（iii）
α n个 , β n个 ∈ [ 0 , 1 ] 为所有人 n个 ≥ 0 , 1 - ν = α n个 ( δ 2 + θ 2 ) ≥ 0 ,
1 - ε 1 = α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) ≥ 0 , 1 - ε 2 = β n个 ( 1 - μ 1 ) ≥ 0 ,
这样的话
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( δ 2 + θ 2 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ α n个 ( 1 - μ 2 ) - β n个 ( δ 1 + θ 1 ) = ∞ ,
∑ n个 = 0 ∞ β n个 ( 1 - μ 1 ) = ∞ ,
哪里
δ 1 = 1 - 2 k个 克 1 + 我 克 1 2 , δ 2 = 1 - 2 k个 克 2 + 我 克 2 2 , μ 1 = 1 - 2 k个 小时 1 + 我 小时 1 2 , μ 2 = 1 - 2 k个 小时 2 + 我 小时 2 2 ,
然后是序列 x个 n个 和 { 年 n个 } 从算法2获得的结果收敛到x个和年分别是。
证明。 
在定理2中，我们取 α T型 1 = α T型 2 = α 克 1 = α 克 2 = α 小时 1 = α 小时 2 = 0 ，我们得到推论2.☐的结果
未解决的问题定理1和2适用于巴拿赫空间还是其他空间？

4.结论

定理1和2推广并改进了中讨论的结果[2]以及其他。广义变分不等式组包括各类变分不等式和优化问题作为特例，本文证明的结果对这些问题仍然成立。预计这门课将激励和启发这一领域的进一步研究。

基金

这项工作得到了2018年京南大学研究基金的支持。

鸣谢

作者感谢审稿人提出的宝贵意见和建议，这些意见和建议改善了这份手稿的呈现。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

  1. Stampacchia，G.在集合上形成胆道胁迫凸。C.R.学院。科学。巴黎 1964,258, 4413–4416. [谷歌学者]
  2. Noor，文学硕士。；印度努尔。；汗，A.G。；Latif，R.求解一般变分不等式组的一些新算法。申请。数学。信息科学。 2016,10, 1–8. [谷歌学者] [交叉参考]
  3. Noor，M.A.推广了一般变分不等式。申请。数学。莱特。 2009,22, 182–186. [谷歌学者] [交叉参考]
  4. Chang，S.S.公司。；H.J.李。；Chan，C.K.Hilbert空间中松弛余强制变分不等式的广义系统。申请。数学。莱特。 2007,20, 329–334. [谷歌学者] [交叉参考]
  5. 吉巴利，A。；Reich，S。；解希尔伯特空间中变分不等式的外部近似方法。优化 2017,66, 417–437. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  6. Kim，J.K。；Kim，K.H。；Kim，K.S.集值拟变分包含和Banach空间中的隐预解方程。动态。Contin公司。谨慎。冲动。系统。序列号。A类 2004,11, 491–502. [谷歌学者]
  7. Kim，J.K。；Kim，K.S.，Hilbert空间中广义非线性混合拟变分不等式和迭代算法的新系统。J.韩国数学。Soc公司。 2007,44, 823–834. [谷歌学者] [交叉参考]
  8. Kim，J.K。；Kim，K.S.关于带二元算子的广义非线性混合拟变分不等式新系统。台湾。数学杂志。 2007,11, 867–881. [谷歌学者] [交叉参考]
  9. Kim，J.K。；Kim，K.S.Hilbert空间中具有非线性映射的广义混合变分不等式新系统。J.计算。分析。申请。 2010,12, 601–612. [谷歌学者]
  10. Kim，K.S.Banach空间中非线性算子可逆半群混合算法的收敛性。非线性分析。 2010,73, 3413–3419. [谷歌学者] [交叉参考]
  11. Kim，K.S.在Hilbert空间中收敛到非扩张映射各种问题的公共解。不动点理论应用。 2012,2012. [谷歌学者] [交叉参考]
  12. Kim，K.S.Hilbert空间中松弛共作映射的广义广义变分不等式。非线性函数。分析。申请。 2018，已接受。[谷歌学者]
  13. Kim，K.S。；Kim，J.K。；Lim，W.H.非线性映射各种问题公共解的收敛定理。J.不平等。申请。 2014,2014, 2. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
  14. Noor，M.A.广义变分不等式的投影迭代方法。J.应用。数学。计算。 2010,32, 83–95. [谷歌学者] [交叉参考]
  15. Kinderlehrer，D。；斯坦帕奇亚，G。变分不等式及其应用简介; 学术出版社：美国纽约州纽约市，1980年。[谷歌学者]
  16. Goebel，K。；Reich，S。一致凸性、双曲几何和非扩张映射; 马塞尔·德克尔：美国纽约州纽约市，1984年。[谷歌学者]
  17. Verma，R.U.松弛余强迫变分不等式的广义系统和投影方法。J.优化。理论应用。 2004,121, 203–210. [谷歌学者] [交叉参考]
  18. 翁，X。局部严格伪压缩映射的不动点迭代。程序。美国数学。Soc公司。 1991,113, 727–731. [谷歌学者] [交叉参考]
  19. 特雷莫列雷斯，R。；Lions，J.L。；格洛温斯基，R。变分不等式的数值分析; 爱思唯尔：荷兰阿姆斯特丹，2011年。[谷歌学者]
  20. Noor，M.A.广义变分不等式的辅助原理技巧。巴纳赫J.数学。分析。 2008,2, 33–39. [谷歌学者] [交叉参考]
  21. Noor，文学硕士。；印度努尔。；Bnouhachem，A.关于变分不等式的统一隐式方法。J.计算。申请。数学。 2013,249, 69–73. [谷歌学者] [交叉参考]
  22. Noor，文学硕士。变分不等式及其应用，课堂讲稿; 信息技术研究所数学系：巴基斯坦伊斯兰堡，2007年。[谷歌学者]

分享和引用

MDPI和ACS样式

K.S.金。希尔伯特空间中松弛余余映射的广义变分不等式组。数学 2018,6, 198.https://doi.org/10.3390/math6100198

AMA风格

Kim KS。希尔伯特空间中松弛余余映射的广义变分不等式组。数学. 2018; 6(10):198.https://doi.org/10.3390/math6100198

芝加哥/图拉宾风格

金敬洙。2018.Hilbert空间中松弛余余映射的广义变分不等式系统数学6，编号10:198。https://doi.org/10.3390/math6100198

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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