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数学
第3卷
第4版
10.3390/每小时3040945
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第条

一些图运算的重构第一萨格勒布指数

通过
尼兰詹·德
1,*,
Sk.Md.Abu Nayeem公司
2和
安妮塔·帕尔
三
1
印度加尔各答工程与管理学院基础科学与人文（数学）系，邮编700040
2
印度加尔各答盐湖五区DN-20 Aliah大学数学系，邮编700091
三
印度杜尔加布尔国立理工学院数学系，邮编：713209
*
信件应寄给的作者。
数学 2015,三(4), 945-960;https://doi.org/10.3390/math3040945
收到的提交文件：2015年7月18日/接受时间：2015年10月13日/发布日期：2015年10月16日
版本注释

摘要

:
图的重新计算的萨格勒布指数是从经典的萨格列布指数中获得的，方法是将顶点度数替换为边度数，其中边的度数是边的端点度数之和减去2。在本文中，我们研究了重新制定的第一萨格勒布指数的行为，并将我们的结果应用于不同的化学有趣的分子图和纳米结构。
关键词：
拓扑指数;顶点度数;萨格勒布指数;重新制定的萨格勒布指数;图形运算
MSC分类：
一次：05C35；次要：05C07、05C40

1.简介

假设∑表示所有图的类，然后是一个函数 T型 : ∑ → R（右） + 对于每个图，称为拓扑索引H（H）同构于G公司, T型 ( G公司 ) = T型 ( H（H） ) 不同的拓扑指数在异构体鉴别、结构-性能关系、结构-活性关系、药物设计、，等。化学、生物化学和纳米技术。假设G公司是一个简单的连通图 V（V） ( G公司 ) 和 E类 ( G公司 ) 分别表示的顶点集和边集G公司让，对于任何顶点 v（v） ∈ V（V） ( G公司 ) , d日 G公司 ( v（v） ) 表示其程度，即v（v）.让n个的顶点G公司用表示 v（v） 1 , v（v） 2 , . . . . , v（v） n个 如果G公司是 ( v（v） 1 , v（v） 2 ) , ( v（v） 2 , v（v） 三 ) .... ( v（v） n个 - 1 , v（v） n个 ) , ( v（v） n个 - 1 , v（v） n个 ) 则该图称为路径图，由 对 n个 轮图，表示为 W公司 n个 ，通过向循环添加新顶点获得 C类 n个 并将这个新顶点连接到 C类 n个 类似地，扇形图 如果 n个 ，通过向路径图中添加新顶点获得 对 n个 并将这个新顶点连接到 对 n个 图的第一和第二萨格勒布指数，表示为 M（M） 1 ( G公司 ) 和 M（M） 2 ( G公司 ) 是最古老、最流行和研究最广泛的基于顶点度的拓扑索引。1972年，Gutman和Trinajstić在一篇论文中介绍了这些指数[1]研究总量的结构依赖性π-电子能量(ε)和分别定义为
M（M） 1 ( G公司 ) = ∑ v（v） ∈ V（V） ( G公司 ) d日 G公司 ( v（v） ) 2 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 ) [ d日 G公司 ( u个 ) + d日 G公司 ( v（v） ) ]
和
M（M） 2 ( G公司 ) = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 ) d日 G公司 ( u个 ) d日 G公司 ( v（v） )
这些指数在（化学）图论中得到了广泛的研究。参考感兴趣的读者[2,三]最近关于这个主题的一些评论。Milićević等。[4]以边度数而不是顶点度数重新计算萨格勒布指数，其中边的度数 e（电子） = u个 v（v） 定义为 d日 ( e（电子） ) = d日 ( u个 ) + d日 ( v（v） ) - 2 因此，重新计算了图的第一和第二萨格勒布指数G公司定义为
E类 M（M） 1 ( G公司 ) = ∑ e（电子） ∈ E类 ( G公司 ) d日 ( e（电子） ) 2 和 E类 M（M） 2 ( G公司 ) = ∑ e（电子） ∼ （f） d日 ( e（电子） ) d日 ( （f） )
哪里 e（电子） ∼ （f） 意味着边缘e（电子）和（f）在中共享公共顶点G公司,即，它们相邻。重新制定的萨格勒布指数的不同数学性质已在[5]. 在[6]，伊里奇等。，建立重新制定的萨格勒布指数的进一步数学性质。在[7]，至多连通图的重新计算的第一个萨格勒布指数的界k个获得。德[8]根据其他一些图不变量，找到了这些指数的一些上下界，并导出了一类树状大分子的重整萨格勒布指数[9]. 吉等。[10,11]计算了非循环图、单循环图、双循环图和三环图的这些指数。
图运算在数学化学中起着非常重要的作用，因为通过不同的图运算可以从一些简单的图中得到一些化学上有趣的图。在[12]哈利法赫等。导出了一些图运算的第一和第二萨格勒布指数的精确表达式。阿什拉菲等。[13]导出了萨格勒布创造不同图形操作的显式表达式。达斯等。[14]导出了不同图操作的乘法萨格勒布指数的一些上界。阿扎里和伊朗[15]给出了计算不同图形操作偏心距和的显式公式。在[16]和[17]给出了不同图运算的连接偏心指数和F指数的一些界和精确公式。还有其他几篇关于不同图运算的拓扑指数的论文。有关不同图操作的拓扑指数的更多结果，感兴趣的读者可以参考论文[18,19,20,21,22].
本文给出了图的连接、笛卡尔积、合成、冠积、拼接和连接等不同图操作的重新计算的第一萨格勒布指数的精确表达式。此外，我们通过专门化这些图形操作的组件来应用我们的结果，计算一些重要类别的分子图和纳米结构的重新计算的第一萨格勒布指数。

2.主要成果

在这一节中，我们研究了图的连接、笛卡尔积、合成、日冕积、链接和拼接下重新制定的第一萨格勒布指数。所有这些操作都是二元的，图的连接和笛卡尔积是交换操作，而合成和日冕积操作是非交换的。这里考虑的所有图都是连通的、有限的和简单的。让 G公司 1 和 G公司 2 是两个简单连通图，因此它们的顶点集和边集表示为 V（V） ( G公司 我 ) 和 E类 ( G公司 我 ) 分别用于 我 ∈ 1 , 2 .

2.1. 图的连接

加入 G公司 1 + G公司 2 是工会吗 G公司 1 ∪ G公司 2 以及连接每个顶点的所有边 V（V） ( G公司 1 ) 到的每个顶点 V（V） ( G公司 2 ) .顶点的度数v（v）属于 G公司 1 + G公司 2 由提供
d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) = d日 G公司 1 ( v（v） ) + | V（V） ( G公司 2 ) | , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 2 ( v（v） ) + | V（V） ( G公司 1 ) | , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 )
在下面的定理中，我们计算了两个图的连接的重新计算的第一个萨格勒布指数。
定理1。 重新制定的第一个萨格勒布指数 G公司 1 + G公司 2 由提供
E类 M（M） 1 ( G公司 1 + G公司 2 ) = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 5 | V（V） ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) + 5 | V（V） ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) + | V（V） ( G公司 1 ) | | V（V） ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 1 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) 2 + 8 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | + 4 ( | V（V） ( G公司 1 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) ( | V（V） ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | ) + 4 | V（V） ( G公司 1 ) | 2 | E类 ( G公司 2 ) | + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 | E类 ( G公司 1 ) | - 8 | V（V） ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | - 8 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | .
定理1的证明。我们有
E类 M（M） 1 ( G公司 1 + G公司 2 ) = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 + G公司 2 ) ( d日 G公司 1 + G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 + G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 + ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 1 + G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 + ∑ u个 v（v） ∈ { u个 v（v） : u个 ∈ V（V） ( G公司 1 ) , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) } ( d日 G公司 1 + G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 = J型 1 + J型 2 + J型 三
哪里 J型 1 , J型 2 和 J型 三 按顺序表示上述各项的总和。接下来我们计算 J型 1 , J型 2 和 J型 三 分别进行。
J型 1 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 + G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) 2 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 ) 2 + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 ) + 4 ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ) | V（V） ( G公司 2 ) | 2 = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 | E类 ( G公司 1 ) | + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | ( M（M） 1 ( G公司 1 ) - 2 | E类 ( G公司 1 ) ) | .
同样，
J型 2 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 1 + G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) + 2 | V（V） ( G公司 1 ) | - 2 ) 2 = ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 + 4 | V（V） ( G公司 1 ) | ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) + 4 ∑ u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 2 ) | V（V） ( G公司 1 ) | 2 = E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 4 | V（V） ( G公司 1 ) | 2 | E类 ( G公司 2 ) | + 4 | V（V） ( G公司 1 ) | ( M（M） 1 ( G公司 2 ) - 2 | E类 ( G公司 2 ) | ) .
最后，
J型 三 = ∑ u个 v（v） ∈ { u个 v（v） : u个 ∈ V（V） ( G公司 1 ) , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) } ( d日 G公司 1 + G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 1 + G公司 2 ( v（v） ) - 2 ) 2 = ∑ u个 ∈ V（V） ( G公司 1 ) , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) ( d日 G公司 1 ( u个 ) + | V（V） ( G公司 2 ) | + d日 G公司 2 ( v（v） ) + | V（V） ( G公司 1 ) | - 2 ) 2 = ∑ u个 ∈ V（V） ( G公司 1 ) , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) { d日 G公司 1 ( u个 ) 2 + d日 G公司 2 ( v（v） ) 2 + 2 d日 G公司 1 ( u个 ) d日 G公司 2 ( v（v） ) + ( | V（V） ( G公司 1 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) 2 + 2 ( d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) ) ( | V（V） ( G公司 1 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) } = | V（V） ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) + | V（V） ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) + 8 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | + | V（V） ( G公司 1 ) | | V（V） ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 1 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) 2 + 4 ( | V（V） ( G公司 1 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) ( | V（V） ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | + | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | ) .
正在添加 J型 1 , J型 2 和 J型 三 ，我们得到了期望的结果。☐
示例1。 完全二部图 K 第页 , q个 定义为的联接 K ¯ 第页 和 K ¯ q个 ,因此，根据定理1，其重新计算的第一个萨格勒布指数如下所示 E类 M（M） 1 ( K 第页 , q个 ) = 第页 q个 ( 第页 + q个 - 2 ) 2 .
图形的暂停G公司定义为 G公司 + K 1 因此，重新计算的图的第一个萨格勒布指数计算如下。
推论2。 图G的悬挂由下式给出
E类 M（M） 1 ( G公司 + K 1 ) = E类 M（M） 1 ( G公司 ) + 5 M（M） 1 ( G公司 ) + n个 三 - 2 n个 2 + n个 - 8 米 + 4 n个 米 .
示例2。 扇形图 如果 n个 在 ( n个 + 1 ) 顶点是 对 n个 .因此，使用推论2，其重新制定的第一萨格勒布指数计算如下
E类 M（M） 1 ( 对 n个 + K 1 ) = n个 三 + 2 n个 2 + 13 n个 - 32 .
示例3。 车轮图 W公司 n个 在 ( n个 + 1 ) 顶点是 C类 n个 .因此，其重新制定的第一个萨格勒布指数如下所示
E类 M（M） 1 ( C类 n个 + K 1 ) = n个 三 + 2 n个 2 + 17 n个 .
示例4。 荷兰风车图或花卉图是指 K 2 ,记为 米 K 2 .因此，其重新制定的第一个萨格勒布指数计算如下
E类 M（M） 1 ( K 1 + 米 K 2 ) = 8 米 三 + 4 米 .

2.2. 图的笛卡尔积

让 G公司 1 和 G公司 2 是两个连通图。笛卡尔积 G公司 1 和 G公司 2 ，表示为 G公司 1 × G公司 2 ，是具有顶点集的图 V（V） ( G公司 1 ) × V（V） ( G公司 2 ) .任意两个顶点 ( u个 第页 , v（v） 第页 ) 和 ( u个 q个 , v（v） 秒 ) 相邻的当且仅当[ u个 第页 = u个 q个 ∈ V（V） ( G公司 1 ) 和 v（v） 第页 v（v） 秒 ∈ E类 ( G公司 2 ) ]或[ v（v） 第页 = v（v） 秒 ∈ V（V） ( G公司 2 ) 和 u个 第页 u个 q个 ∈ E类 ( G公司 1 ) ]和 第页 , 秒 = 1 , 2 , . . . , | V（V） ( G公司 2 ) | .
在下面的定理中，我们获得了两个图的笛卡尔积的重新计算的第一萨格勒布指数。
定理3。 重新制定的第一个萨格勒布指数 G公司 1 × G公司 2 由提供
E类 M（M） 1 ( G公司 1 × G公司 2 ) = | V（V） ( G公司 1 ) | E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + | V（V） ( G公司 2 ) | E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + 12 | E类 ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) + 12 | E类 ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) - 32 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | .
定理证明3。我们有，
E类 M（M） 1 ( G公司 1 × G公司 2 ) = ∑ ( 一 , x个 ) ( b条 , 年 ) ∈ E类 ( G公司 1 × G公司 2 ) ( d日 G公司 1 × G公司 2 ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 × G公司 2 ( b条 , 年 ) - 2 ) 2 = ∑ ( 一 , x个 ) ( 一 , 年 ) , x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 1 × G公司 2 ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 × G公司 2 ( 一 , 年 ) - 2 ) 2 + ∑ ( 一 , x个 ) ( b条 , x个 ) , 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 × G公司 2 ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 × G公司 2 ( b条 , x个 ) - 2 ) 2 = A类 1 + A类 2
哪里 A类 1 和 A类 2 按顺序表示上述各项的总和。接下来我们计算 A类 1 和 A类 2 一个接一个地分开。现在，
A类 1 = ∑ ( 一 , x个 ) ( 一 , 年 ) , x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 1 × G公司 2 ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 × G公司 2 ( 一 , 年 ) - 2 ) 2 = ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) ( 2 d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 ) 2 = 4 ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) 2 + ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 2 + 4 ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 = | V（V） ( G公司 1 ) | E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 8 | E类 ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) + 4 | E类 ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) - 16 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | .
同样，
A类 2 = ∑ ( 一 , x个 ) ( b条 , x个 ) , 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 × G公司 2 ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 × G公司 2 ( b条 , x个 ) - 2 ) 2 = ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) 2 d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 1 ( b条 ) - 2 2 = 4 ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) 2 + ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 1 ( b条 ) - 2 2 + 4 ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 1 ( b条 ) - 2 = | V（V） ( G公司 2 ) | E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + 4 | E类 ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) + 8 | E类 ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) - 16 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | .
通过添加 A类 1 和 A类 2 ，经过简单计算后，预期结果如下。☐
让 对 n个 ( n个 ≥ 1 ) 和 C类 n个 ( n个 ≥ 三 ) 是顺序的路径和循环n个分别，那么我们有 E类 M（M） 1 ( 对 n个 ) = 4 n个 - 10 , E类 M（M） 1 ( K n个 ) = 2 n个 ( n个 - 1 ) ( n个 - 2 ) 2 和 E类 M（M） 1 ( C类 n个 ) = 4 n个 .
例5。 梯形图 L（左） n个 ,由n正方形和 2 n个 + 2 顶点是的笛卡尔积 对 2 和 对 n个 + 1 ,所以重新制定了第一个萨格勒布指数 L（左） n个 由提供 E类 M（M） 1 ( L（左） n个 ) = 48 n个 - 36 .
例6。 对于 C类 4 -纳米孔 T型 C类 4 ( 米 , n个 ) = C类 n个 × C类 米 ,重新制定的第一个萨格勒布指数如下所示 E类 M（M） 1 ( T型 C类 4 ( 米 , n个 ) ) = 72 n个 米 .
例7。 对于 C类 4 -纳米管 T型 U型 C类 4 ( 米 , n个 ) = 对 n个 × C类 米 ,重新制定的第一个萨格勒布指数如下所示 E类 M（M） 1 ( T型 U型 C类 4 ( 米 , n个 ) ) = 72 n个 米 - 98 米 .
示例8。 重新制定的电网第一萨格勒布指数 ( 对 n个 × 对 米 ) 由提供
E类 M（M） 1 ( 对 n个 × 对 米 ) = 72 米 n个 - 98 米 - 98 n个 + 112 .
例9。 n棱柱被定义为 K 2 和 C类 n个 .n棱镜的重新计算的第一萨格勒布指数如下所示 E类 M（M） 1 ( K 2 × C类 n个 ) = 48 n个 .
例10。 例如，rook图被定义为两个完整图的笛卡尔积 K n个 和 K 米 .因此，重新计算的车图的第一个萨格勒布指数如下所示
E类 M（M） 1 ( K n个 × K 米 ) = 2 米 n个 [ ( 米 - 1 ) ( 米 - 2 ) 2 + ( n个 - 1 ) ( n个 - 2 ) 2 + 三 ( n个 - 1 ) ( 米 - 1 ) 2 + 三 ( 米 - 1 ) ( n个 - 1 ) 2 - 4 ( n个 - 1 ) ( 米 - 1 ) ] .

2.3。组成

这种操作也称为词典产品。两个图的合成 G公司 1 和 G公司 2 表示为 G公司 1 [ G公司 2 ] 和任意两个顶点 ( u个 1 , u个 2 ) 和 ( v（v） 1 , v（v） 2 ) 相邻的当且仅当 u个 1 v（v） 1 ∈ E类 ( G公司 1 ) 或[ u个 1 = v（v） 1 和 u个 2 v（v） 2 ∈ E类 ( G公司 2 ) ]. 的顶点集 G公司 1 [ G公司 2 ] 是 V（V） ( G公司 1 ) × V（V） ( G公司 2 ) 以及顶点的度数 ( 一 , b条 ) 属于 G公司 1 [ G公司 2 ] 由提供 d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , b条 ) = n个 2 d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 2 ( b条 ) . 在下面的定理中，我们计算了两个图组成的重新计算的第一个萨格勒布指数。
定理4。 重新制定的第一个萨格勒布指数 G公司 1 [ G公司 2 ] 由提供
E类 M（M） 1 ( G公司 1 [ G公司 2 ] ) = | V（V） ( G公司 1 ) | E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + | V（V） ( G公司 2 ) | 4 E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 | E类 ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) - 2 | E类 ( G公司 1 ) | 4 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 2 ) | + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 1 ) + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 | E类 ( G公司 1 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 1 ) 2 + 16 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) + 10 | E类 ( G公司 1 ) | | V（V） ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) + 8 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | 2 .
定理4的证明。我们有
E类 M（M） 1 ( G公司 1 [ G公司 2 ] ) = ∑ ( 一 , x个 ) ( b条 , 年 ) ∈ E类 ( G公司 1 [ G公司 2 ] ) d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( b条 , 年 ) - 2 2 = ∑ ( 一 , x个 ) ( 一 , 年 ) ∈ E类 ( G公司 1 [ G公司 2 ] ) , x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , 年 ) - 2 2 + ∑ ( 一 , x个 ) ( b条 , 年 ) ∈ E类 ( G公司 1 [ G公司 2 ] ) , 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( b条 , 年 ) - 2 2 = C类 1 + C类 2 .
哪里 C类 1 和 C类 2 按顺序表示上述各项的总和。接下来我们计算 C类 1 和 C类 2 分别进行。
现在，
C类 1 = ∑ ( 一 , x个 ) ( 一 , 年 ) ∈ E类 ( G公司 1 [ G公司 2 ] ) , x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , 年 ) - 2 2 = ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) 2 | V（V） ( G公司 2 ) | d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 2 = 4 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) 2 + ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 2 + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 - 8 | V（V） ( G公司 2 ) | ∑ x个 年 ∈ E类 ( G公司 2 ) ∑ 一 ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) = | V（V） ( G公司 1 ) | E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 | E类 ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) + 8 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) - 16 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | .
也，
C类 2 = ∑ ( 一 , x个 ) ( b条 , 年 ) ∈ E类 ( G公司 1 [ G公司 2 ] ) d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( 一 , x个 ) + d日 G公司 1 [ G公司 2 ] ( b条 , 年 ) - 2 2 = ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 年 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) | V（V） ( G公司 2 ) | d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 2 ( x个 ) + | V（V） ( G公司 2 ) | d日 G公司 1 ( b条 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 2 = ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 年 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) | V（V） ( G公司 2 ) | ( d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 1 ( b条 ) - 2 ) + d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) - 2 + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 = | V（V） ( G公司 2 ) | 2 ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 年 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 1 ( b条 ) - 2 2 + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 一 ) + d日 G公司 1 ( b条 ) - 2 ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 年 ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) + 2 ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 1 ) + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 年 ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( x个 ) 2 + d日 G公司 2 ( 年 ) 2 + 2 d日 G公司 2 ( x个 ) d日 G公司 2 ( 年 ) + 8 | V（V） ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 1 ) ∑ 一 b条 ∈ E类 ( G公司 1 ) ∑ x个 ∈ V（V） ( G公司 2 ) ∑ 年 ∈ V（V） ( G公司 2 ) 4 ( d日 G公司 2 ( x个 ) + d日 G公司 2 ( 年 ) ) + 16 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) = 2 | V（V） ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) - 2 | E类 ( G公司 1 ) | 4 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 2 ) | + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 1 ) + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | 2 | E类 ( G公司 1 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 1 ) 2 + 2 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) + 8 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | 2 + | V（V） ( G公司 2 ) | 4 E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + 16 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) .
现在正在合并 C类 1 和 C类 2 简化后，重新制定了第一个萨格勒布指数 G公司 1 [ G公司 2 ] 如上所述获得。☐
例11。 围栏图和封闭围栏图定义为 对 n个 [ 对 2 ] 和 C类 n个 [ 对 2 ] .因此，根据定理4，这些图的重新计算的第一个萨格勒布指数如下所示
（i） 
E类 M（M） 1 ( 对 n个 [ 对 2 ] ) = 320 n个 - 576
（ii） 
E类 M（M） 1 ( C类 n个 [ 对 2 ] ) = 320 n个 .

2.4. 图的拼接

一个拼接 G公司 1 和 G公司 2 由Doslić介绍[23]. 让 年 ∈ V（V） ( G公司 1 ) 和 z（z） ∈ V（V） ( G公司 2 ) 是的两个给定顶点 G公司 1 和 G公司 2 分别是。两个图的拼接 G公司 1 和 G公司 2 在顶点处年和z（z）表示为 ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) 并通过识别顶点获得年和z（z）在 G公司 1 和 G公司 2 。的顶点集 ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) 由提供 V（V） ( ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ) = [ V（V） ( G公司 1 ) ∖ { 年 } ] ∪ [ V（V） ( G公司 2 ) ∖ { z（z） } ] ∪ v（v） 12 ，其中我们表示通过标识获得的顶点年和z（z）通过 v（v） 12 从两个图的拼接结构可以清楚地看出
d日 G公司 1 • G公司 2 ( 年 , z（z） ) ( v（v） ) = d日 G公司 我 ( v（v） ) , 对于 v（v） ∈ V（V） ( G公司 我 ) 和 v（v） ≠ 年 , z（z） d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 2 ( z（z） ) , 对于 v（v） = v（v） 12
让 N个 ( v（v） ) 表示顶点的相邻顶点集v（v），所以 | N个 ( v（v） ) | = d日 G公司 ( v（v） ) 。也让
δ G公司 ( v（v） ) = ∑ u个 ∈ N个 ( v（v） ) d日 G公司 ( u个 ) ,
即，的相邻顶点的度数之和G公司在下面的定理中，我们得到了两个图拼接的重新计算的第一萨格勒布指数。
定理5。 重新计算的图拼接的第一萨格勒布指数 G公司 1 和 G公司 2 由提供
E类 M（M） 1 ( ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ) = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 三 d日 G公司 1 ( 年 ) 2 d日 G公司 2 ( z（z） ) + 三 d日 G公司 1 ( 年 ) d日 G公司 2 ( z（z） ) 2 + 2 d日 G公司 1 ( 年 ) δ G公司 2 ( z（z） ) + 2 d日 G公司 2 ( z（z） ) δ G公司 1 ( 年 ) - d日 G公司 1 ( 年 ) - d日 G公司 2 ( z（z） ) .
定理5的证明。根据重新制定的第一个萨格勒布指数的定义，我们有
E类 M（M） 1 ( ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ) = ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ) d日 ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ( u个 ) + d日 ( G公司 1 • G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ( v（v） ) - 2 2 = ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) u个 v（v） ≠ 年 d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 v（v） ≠ z（z） d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 = z（z） , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 = ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) u个 v（v） ≠ 年 d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 v（v） ≠ z（z） d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 = z（z） , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 2 ( z（z） ) 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 = z（z） , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 1 ( 年 ) 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) 2 d日 G公司 2 ( z（z） ) d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 = z（z） , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) 2 d日 G公司 1 ( 年 ) d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + d日 G公司 1 ( 年 ) 2 d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 1 ( 年 ) d日 G公司 2 ( z（z） ) 2 + 2 d日 G公司 2 ( z（z） ) d日 G公司 1 ( 年 ) 2 + δ G公司 1 ( 年 ) - 2 d日 G公司 1 ( 年 ) + 2 d日 G公司 1 ( 年 ) d日 G公司 2 ( z（z） ) 2 + δ G公司 2 ( z（z） ) - 2 d日 G公司 2 ( z（z） ) .
根据以上，经过简单计算，预期结果如下。☐

2.5. 图的链接

的链接 G公司 1 和 G公司 2 在顶点处年和z（z）表示为 ( G公司 1 ∼ G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) 并通过连接顶点获得年和z（z）在联盟中 G公司 1 和 G公司 2 从链接图的构造可以清楚地看出
d日 ( G公司 1 ∼ G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ( v（v） ) = d日 G公司 我 ( v（v） ) , v（v） ∈ V（V） ( G公司 我 ) , 我 = 1 , 2 , 和 v（v） ≠ 年 , z（z） , d日 G公司 我 ( v（v） ) + 1 , v（v） = 年 , z（z）
在下面的定理中，我们获得了两个图的链接的重新计算的第一个萨格勒布指数。
定理6。 重新制定的图的链接的第一个萨格勒布指数 G公司 1 和 G公司 2 由提供
E类 M（M） 1 ( ( G公司 1 ∼ G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ) = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 三 d日 G公司 1 ( 年 ) 2 + 三 d日 G公司 2 ( z（z） ) 2 + 2 d日 G公司 1 ( 年 ) d日 G公司 2 ( z（z） ) + 2 δ G公司 1 ( 年 ) + 三 δ G公司 2 ( z（z） ) - 三 d日 G公司 1 ( 年 ) - 三 d日 G公司 2 ( z（z） )
定理证明6。根据重新制定的第一个萨格勒布指数的定义，我们有
E类 M（M） 1 ( ( G公司 1 ∼ G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ) = ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( ( G公司 1 ∼ G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ) d日 ( G公司 1 ∼ G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ( u个 ) + d日 ( G公司 1 ∼ G公司 2 ) ( 年 , z（z） ) ( v（v） ) - 2 2 = ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) u个 v（v） ≠ 年 d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 v（v） ≠ z（z） d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) 1 + d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 = ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) u个 v（v） ≠ 年 d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 v（v） ≠ z（z） d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) 1 + d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) u个 = z（z） , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) 1 + d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + ( d日 G公司 1 ( 年 ) + 1 ) + ( d日 G公司 2 ( z（z） ) + 1 ) - 2 2 = ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + 2 ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 1 ( u个 ) + d日 G公司 1 ( v（v） ) - 2 2 + 2 ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) , u个 = z（z） , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) d日 G公司 2 ( u个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） ) - 2 2 + 2 ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 1 ) , u个 = 年 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) 1 + ∑ ( u个 , v（v） ) ∈ E类 ( G公司 2 ) , u个 = z（z） , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 ) 1 + d日 G公司 2 ( 年 ) + d日 G公司 2 ( z（z） ) 2 = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 2 d日 G公司 1 ( 年 ) 2 + 2 δ G公司 1 ( 年 ) - 4 d日 G公司 1 ( 年 ) + 2 d日 G公司 2 ( z（z） ) 2 + 2 δ G公司 2 ( z（z） ) - 4 d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 2 ( z（z） ) + d日 G公司 1 ( 年 ) + d日 G公司 2 ( z（z） ) 2
通过简单计算，我们得到了期望的结果。☐

2.6. 图的Corona积

电晕产物 G公司 1 ⊙ G公司 2 通过复制 G公司 1 和 n个 1 的副本 G公司 2 ; 并通过连接我-第个副本 G公司 2 到我-第个顶点 G公司 1 ，其中 1 ≤ 我 ≤ | V（V） ( G公司 1 ) | 。的电晕产物 G公司 1 和 G公司 2 总共有 ( | V（V） ( G公司 1 ) | | V（V） ( G公司 2 ) | + | V（V） ( G公司 1 ) | ) 顶点和 ( | E类 ( G公司 1 ) | + | V（V） ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | + | V（V） ( G公司 1 ) | | V（V） ( G公司 2 ) | ) 边缘。显然，两个图的电晕乘积运算是不可交换的。两个图的日冕积的不同拓扑指数已经在[24,25]. 让的顶点 G公司 1 用表示 V（V） ( G公司 1 ) = u个 1 , u个 2 , . . . , u个 | V（V） ( G公司 1 ) | 和第i个副本的顶点 G公司 2 表示为 V（V） ( G公司 2 我 ) = v（v） 1 我 , v（v） 2 我 , . . . , v（v） n个 2 我 对于 我 = 1 , 2 , . . . , | V（V） ( G公司 1 ) | 。因此 G公司 1 ⊙ G公司 2 由提供 V（V） ( G公司 1 ⊙ G公司 2 ) = V（V） ( G公司 1 ) ⋃ 我 = 1 , 2 , . . . , | V（V） ( G公司 1 ) | V（V） ( G公司 2 , 我 ) 和 E类 ( G公司 1 ⊙ G公司 2 ) = E类 ( G公司 1 ) ⋃ 我 = 1 , 2 , . . . , | V（V） ( G公司 1 ) | E类 ( G公司 2 , 我 ) ⋃ u个 我 , v（v） j个 : u个 我 ∈ V（V） ( G公司 1 ) , v（v） j个 我 ∈ V（V） ( G公司 2 , 我 ) 根据定义，顶点的度数v（v）属于 G公司 1 ⊙ G公司 2 由提供
d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( v（v） ) = d日 G公司 1 ( v（v） ) + n个 2 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) d日 G公司 2 , 我 ( v（v） ) + 1 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 , 我 ) , 我 = 1 , 2 , . . . | V（V） ( G公司 1 ) |
在下文中，我们计算了两张图的电晕乘积的重新公式化的第一个萨格勒布指数。
定理7。 重新制定的第一个萨格勒布指数 G公司 1 ⊙ G公司 2 由提供
E类 M（M） 1 ( G公司 1 ⊙ G公司 2 ) = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + | V（V） ( G公司 1 ) | E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 5 | V（V） ( G公司 2 ) | M（M） 1 ( G公司 1 ) + 5 | V（V） ( G公司 1 ) | M（M） 1 ( G公司 2 ) + 4 | V（V） ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 2 ) + 4 | V（V） ( G公司 2 ) | | E类 ( G公司 1 ) | ( 2 | V（V） ( G公司 2 ) | - 三 ) + 4 | V（V） ( G公司 1 ) | | V（V） ( G公司 2 ) | ( | V（V） ( G公司 2 ) | - 1 ) 2 + 8 | E类 ( G公司 1 ) | | E类 ( G公司 2 ) | .
定理证明7。让 | V（V） ( G公司 我 ) | = n个 我 | E类 ( G公司 我 ) | = e（电子） 我 ，用于 我 ∈ 1 , 2 ，然后是的边集 G公司 1 ⊙ G公司 2 可以划分为三个子集
E类 1 = u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ⊙ G公司 2 ) : u个 , v（v） ∈ V（V） ( G公司 1 ) , 我 = 1 , 2 , . . . , n个 1 ,
E类 2 = u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ⊙ G公司 2 ) : u个 ∈ V（V） ( G公司 1 ) , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 , 我 ) , 我 = 1 , 2 , . . . , n个 1 、和
E类 三 = u个 v（v） ∈ E类 ( G公司 1 ⊙ G公司 2 ) : u个 ∈ V（V） ( G公司 1 ) , v（v） ∈ V（V） ( G公司 2 , 我 ) , 我 = 1 , 2 , . . . , n个 1 .
计算重新计算的第一个萨格勒布指数 G公司 1 ⊙ G公司 2 ，我们考虑以下情况。
案例1。如果 e（电子） ∈ E类 1 然后 d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( e（电子） ) = d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( u个 我 ) + d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( v（v） 我 ) - 2 = d日 G公司 1 ( u个 我 ) + d日 G公司 1 ( v（v） 我 ) + 2 ( n个 2 - 1 ) ，用于 我 = 1 , 2 , . . . , n个 1 因此，这些类型的边对重新计算的第一个萨格勒布指数的贡献 G公司 1 ⊙ G公司 2 是
问 1 = ∑ e（电子） ∈ E类 1 d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( e（电子） ) 2 = ∑ u个 我 v（v） 我 ∈ E类 ( G公司 1 ) ( d日 G公司 1 ( u个 我 ) + d日 G公司 1 ( v（v） 我 ) + 2 ( n个 2 - 1 ) ) 2 = ∑ u个 我 v（v） 我 ∈ E类 ( G公司 1 ) { ( d日 G公司 1 ( u个 我 ) + d日 G公司 1 ( v（v） 我 ) - 2 ) 2 + 4 n个 2 2 + 4 n个 2 ( d日 G公司 1 ( u个 我 ) + d日 G公司 1 ( v（v） 我 ) - 2 ) } = E类 M（M） 1 ( G公司 1 ) + 4 n个 2 2 米 1 + 4 n个 2 M（M） 1 ( G公司 1 ) - 8 n个 2 米 1 .
案例2。让 e（电子） ∈ E类 2 ，然后 d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( e（电子） ) = d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( u个 j个 ) + d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( v（v） j个 ) - 2 = d日 G公司 1 ( u个 我 ) + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) ，用于 j个 = 1 , 2 , . . . , n个 2 因此，这些类型的边对重新制定的第一个萨格勒布指数的贡献 G公司 1 ⊙ G公司 2 由提供
问 2 = ∑ 我 = 1 n个 1 ∑ u个 j个 v（v） j个 ∈ E类 ( G公司 2 ) ( d日 G公司 2 ( u个 j个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) ) 2 = ∑ 我 = 1 n个 1 ∑ u个 j个 v（v） j个 ∈ E类 ( G公司 2 ) { ( d日 G公司 2 ( u个 j个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) - 2 ) 2 + 4 ( d日 G公司 2 ( u个 j个 ) + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) - 2 ) + 4 } = ∑ 我 = 1 n个 1 ( E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 4 M（M） 1 ( G公司 2 ) - 8 米 2 + 4 米 2 ) = n个 1 E类 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 4 n个 1 M（M） 1 ( G公司 2 ) - 4 n个 1 米 2 .
案例3。让 e（电子） ∈ E类 三 ，然后 d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( e（电子） ) = d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( u个 我 ) + d日 G公司 1 ⊙ G公司 2 ( v（v） j个 ) - 2 = d日 G公司 1 ( u个 我 ) + n个 2 + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) + 1 - 2 = d日 G公司 1 ( u个 我 ) + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) + n个 2 - 1 ，用于 我 = 1 , 2 , . . . , n个 1 和 j个 = 1 , 2 , . . . , n个 2 因此，这些类型的边对重新计算的第一个萨格勒布指数的贡献 G公司 1 ⊙ G公司 2 由提供
问 三 = ∑ 我 = 1 n个 1 ∑ j个 = 1 n个 2 ( d日 G公司 1 ( u个 我 ) + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) + n个 2 - 1 ) 2 = ∑ 我 = 1 n个 1 ∑ j个 = 1 n个 2 { d日 G公司 1 ( u个 我 ) 2 + d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) 2 + 2 ( n个 2 - 1 ) 2 + 2 ( n个 2 - 1 ) d日 G公司 1 ( u个 我 ) + 2 ( n个 2 - 1 ) d日 G公司 2 ( v（v） j个 ) } + 2 ∑ 我 = 1 n个 1 ∑ j个 = 1 n个 2 d日 G公司 1 ( u个 我 ) d日 G公司 2 ( u个 j个 ) = n个 2 M（M） 1 ( G公司 1 ) + n个 1 M（M） 1 ( G公司 2 ) + 4 n个 1 n个 2 ( n个 2 - 1 ) 2 + 4 n个 2 米 1 ( n个 2 - 1 ) + 4 n个 1 米 2 ( n个 2 - 1 ) + 8 米 1 米 2 .
重新制定的萨格勒布第一指数 G公司 1 ⊙ G公司 2 通过添加获得 问 1 , 问 2 和 问 三 然后简化表达式。☐
推论8。 图G的瓶颈图定义为 K 2 因此，其重新制定的第一个萨格勒布指数如下所示
E类 M（M） 1 ( K 2 ⊙ G公司 ) = E类 M（M） 1 ( G公司 ) + 10 M（M） 1 ( G公司 ) + 2 n个 2 ( n个 + 2 ) + 8 米 ( n个 - 1 ) .
A类t吨-多刺图是通过连接得到的t吨任何给定图的每个顶点的刺G公司.边缘 e（电子） = ( u个 , v（v） ) 图形的G公司被称为刺，如果 d日 ( u个 ) = 1 或 d日 ( v（v） ) = 1 研究人员已经研究了刺图的各种拓扑指数[26,27,28,29]. 这个t吨-多刺图G公司是由电晕产物G公司和完整图的补码 K t吨 因此，从定理7可以得出以下推论。
推论9。 t-thorny图的重新计算的第一个萨格勒布指数如下所示
E类 M（M） 1 ( G公司 t吨 ) = E类 M（M） 1 ( G公司 ) + 5 t吨 M（M） 1 ( G公司 ) + 4 米 t吨 ( 2 t吨 - 三 ) + n个 t吨 ( t吨 - 1 ) 2 .
例12。 重新制定的t-thorny路径的第一个萨格勒布指数 ( 对 n个 t吨 ) 和t吨-棘手的循环 ( C类 n个 t吨 ) 计算为
（i） 
E类 M（M） 1 ( 对 n个 t吨 ) = n个 t吨 三 + 6 n个 t吨 2 + 9 n个 t吨 - 8 t吨 2 - 18 t吨 + 4 n个 - 10
（ii） 
E类 M（M） 1 ( C类 n个 t吨 ) = n个 t吨 三 + 6 n个 t吨 2 + 9 n个 t吨 + 4 n个 .
接下来，我们计算一些特定桥图的重新计算的第一萨格勒布指数。让 G公司 1 , G公司 2 , . . . , G公司 n个 是一组有限的两两不相交图。关于顶点的桥图 v（v） 1 , v（v） 2 , . . . , v（v） n个 ，表示为 B类 ( G公司 1 , G公司 2 , . . . , G公司 n个 ; v（v） 1 , v（v） 2 , . . . , v（v） n个 ) 是通过连接顶点获得的图形 v（v） 我 和 v（v） 我 + 1 属于 G公司 我 和 G公司 我 + 1 对所有人都有利 我 = 1 , 2 , . . . , ( n个 - 1 ) .如果 G公司 1 ≅ G公司 2 ≅ . . . ≅ G公司 n个 和 v（v） 1 = v（v） 2 = . . . = v（v） n个 = v（v） ，我们定义 G公司 n个 ( G公司 , v（v） ) = B类 ( G公司 , G公司 , . . . , G公司 ; v（v） , v（v） , . . . , v（v） ) 特别地， B类 n个 = G公司 n个 ( 对 三 , v（v） ) 和 T型 n个 , k个 = G公司 n个 ( C类 k个 , u个 ) 是两种特殊类型的桥图。然后，从图的日冕积的定义出发， B类 n个 ≅ 对 n个 ⊙ K ¯ 2 和 T型 n个 , 三 ≅ 对 n个 ⊙ K 2 利用定理7，得到了这些桥图的重新计算的第一萨格勒布指数，如下所示。
例13。 （i） E类 M（M） 1 ( B类 n个 ) = 5 n个 - 78 ，用于 n个 ≥ 三 .
（ii） 
E类 M（M） 1 ( T型 米 , 三 ) = 72 米 - 86 ，用于 米 ≥ 三 .
（iii） 
E类 M（M） 1 ( J型 n个 , 米 + 1 ) = n个 米 ( 米 2 + 10 米 + 33 ) - 2 米 ( 4 米 + 13 ) + 4 n个 - 10 ，用于 n个 ≥ 三 和 米 ≥ 三 .

3.结论

在本文中，我们研究了不同图操作的重新制定的第一萨格勒布指数。此外，我们通过专门化图操作的组件，将我们的结果应用于计算某些类图的重新计算的第一萨格勒布指数。然而，还有许多其他的图操作和特殊类的图没有在这里介绍。为了进一步研究，可以计算第二个重新制定的萨格勒布指数的各种图形运算。

致谢

作者感谢两位审稿人的建设性评论，这些评论极大地改进了手稿。

作者贡献

这三位作者对本文都有重要贡献，本文的最终形式得到了所有三位作者的认可。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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