Simultaneous Confidence Intervals for the Ratios of the Means of Zero-Inflated Gamma Distributions and Its Application

Kaewprasert, Theerapong; Niwitpong, Sa-Aat; Niwitpong, Suparat

doi:10.3390/math10244724

开放式访问第条

零膨胀伽马分布均值比值的同时置信区间及其应用

通过

Theerapong Kaewprasert公司

,

Sa-Aat Niwitpong公司

^*

和

Suparat Niwitpong公司

泰国曼谷，曼谷10800，曼谷北部，国王蒙古特科技大学应用科学学院，应用统计系

^*

应向其寄送信件的作者。

数学 2022,10(24), 4724;https://doi.org/10.3390/math10244724

收到的提交文件：2022年11月15日/修订日期：2022年12月1日/接受日期：2022年12月8日/发布日期：2022年12月12日

（本文属于特刊理论与应用统计学的最新发展)

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摘要

:

9月（泰国雨季中期）的大雨可能会在该国许多地区引发意外事件和自然灾害，如洪水。包含零值和正值的降雨量系列属于零膨胀伽马分布，它结合了二项式和伽马分布。一个国家不同地区的降雨量可以通过使用多个零膨胀伽马种群平均值的比值的同时置信区间（CI）进行估算。在此，我们提出了使用基准广义CI方法、基于Jeffreys规则或一致先验的贝叶斯和最高后验密度（HPD）区间方法以及方差估计恢复（MOVER）方法构建的六个同时CI。通过蒙特卡罗模拟，从覆盖概率和期望长度方面评估了所提出的同步CI方法的性能。比较模拟研究的结果表明，基于Jeffreys规则先验的HPD区间在大多数情况下表现最佳，而在某些情况下，基准广义CI表现良好。所有方法均用于估计泰国六个地区自然降雨数据平均值比率的同时CI。

关键词：

零膨胀伽马分布;同时置信区间;贝叶斯估计;基准方法

MSC公司：

62英尺25英寸

1.简介

零膨胀伽马（ZIG）分布适用于拟合包含非负观测值和零观测值的数据：零值的比例是二项分布，而正值遵循具有形状和速率参数的伽马分布。点和区间估计以及假设检验是概率和统计推断中用于估计模型参数的两种基本方法。CI是最流行的区间估计方法，许多研究人员都集中于ZIG分布的CI。与此同时，Kaewprasert等人[1]通过使用基准方法、贝叶斯方法和最高后验密度（HPD）比较两种ZIG分布均值之间的差异，扩大了范围。Wang等人[2]基于基准推断、参数引导（PB）和方差估计恢复（MOVER）方法为ZIG分布的平均值创建CI。Khooriphan等人[三]建议使用ZIG分布对泰国降雨扩散进行贝叶斯估计。Khooriphan等人[4]使用基准量、贝叶斯可信区间和HPD区间为ZIG分布的方差比提出CI。穆拉利德兰和凯尔[5]奇点为零的修正伽马分布平均值的建议CI。

因此，平均值是测量中心趋势最常用的单位。如果每个总体独立且相同分布（i.i.d.），则可以通过同时比较其CI之间的成对差异来估计多个总体的平均值。如果我们使用两个群体的平均值之间的差异来比较，这种差异可能会很小，因此很难做出坚定和结论性的推断。因此，在调查多个人群时，同时比较平均值的比率比平均值之间的差异更准确。与此同时，Ren等人[6]提供了基于基准方法的多个ZIG分布平均值之间的差异的同时CI。Wang等人[7]两个伽马总体平均值之间差异的建议CI。Maneerat等人[8]为单个平均值和两个增量正态分布平均值之间的差异构建了贝叶斯CI。Maneerat等人[9]为基于PB、基准广义CI（GCI）、MOVER和贝叶斯可信区间的几个增量正态分布的平均值之间的差异创建了同步CI。Malekzadeh和Kharrati-Kopaei[10]为几个异质双参数指数分布的成对分位数差异构造了同时CI。贾纳和乔塔姆[11]使用MOVER和贝叶斯方法，提出了零调整逆高斯分布的差分和均值比CI。Long等人[12]建议使用辅助变量的第一或第三四分位数的人口平均比率估计值。的确，马内拉和尼威彭[13]使用贝叶斯可信区间、基准GCI和MOVER为两个增量正态分布的平均值之比创建CI。Zhang等人[14]使用基准方法和MOVER为几个零膨胀对数正态分布的平均值比率创建了同步CI。因此，选取了2021年9月六个地区的日降雨量数据集。这些数据包含符合伽马分布而非对数正态分布的正值。然而，尚未报告为多个ZIG分布的平均值比率创建同步CI。此外，使用同时CI来计算来自几个地区的符合ZIG分布的降雨数据集平均值比率的适用性也是一个有趣的研究课题。

在这项研究中，我们为几个ZIG种群的平均值比率（k>2）构建了同时的CI，并使用k=3或6来估计9月雨季高峰期泰国六个地区的自然降雨数据集的平均值比率。本研究使用基于Jeffreys规则或统一先验的基准GCI方法、Bayesian和HPD区间方法以及MOVER构建同步CI。Ren等人的研究[6]在Maneerat等人使用多个先验值的同时，我们也受到了采用基准方法构建同步CI的启发[9]为我们开发HPD间期和MOVER差异的同步CI提供了灵感。这些研究激发了我们对基于我们建议的技术创建同步CI这一研究领域的贡献，以阐明多个ZIG分布均值之间的成对比率。我们计算了泰国北部、东北部、中部、东部、西部和南部地区的日降雨量平均值的成对比率，作为实际证明。重要的是，该方法可用于识别和预测特定区域的自然灾害

本文的其余部分组织如下。在第2节，我们提供了估计多个ZIG种群平均值比率的同时CI的方法。在第3节和第4节，我们进行了模拟研究，并分析了泰国六个地区的降雨量数据集。最后，讨论和结论见第5节和第6节分别是。

2.材料和方法

对于k个表示观察到零响应的概率

δ_{我 (0)}

在中我th组，而非零观测值符合伽马分布。对于样品

({X（X）}_{我 1}, {X（X）}_{我 2}, \dots, {X（X）}_{我 {n个}_{我}})

,

我 = 1, 2, \dots, k个

从ZIG分布随机生成

（f） ({x个}_{我})

导出为

（f） ({x个}_{我}) = \{\begin{matrix} δ_{我 (0)} & ; {x个}_{我} = 0 \\ δ_{我 (1)} 克 ({x个}_{我}; α_{我}, β_{我}) & ; {x个}_{我} > 0 \end{matrix},

哪里

克 ({x个}_{我}; α_{我}, β_{我})

是带形状参数的伽马分布的概率密度函数（pdf）

α_{我}

和速率参数

β_{我}

、和

δ_{我 (1)} = 1 - δ_{我 (0)}

。包含零观测值的概率遵循二项式分布，表示为

{n个}_{我 (0)}

\sim B类 ({n个}_{我}, δ_{我 (0)})

，同时

{n个}_{我} = {n个}_{我 (0)} + {n个}_{我 (1)}

，其中

{n个}_{我 (0)}

和

{n个}_{我 (1)}

分别是零值和非零值的数量。

Krishnmoorthy等人[15]Krishnmoorthy和Wang[16]表明了这一点

{X（X）}_{我} \neq 0

可以使用立方根近似进行变换。因此，

{Y（Y）}_{我} = {X（X）}_{我}^{1 / 三} \sim N个 (μ_{我}, σ_{我}^{2})

遵循正态分布，平均值和方差分别由

μ_{我} = {(\frac{α_{我}}{β_{我}})}^{1 / 三} (1 - \frac{1}{9 α_{我}}) 一 n个 d日 σ_{我}^{2} = \frac{1}{9 α_{我}^{1 / 三} β_{我}^{2 / 三}} .

自

{M（M）}_{我} = \frac{α_{我}}{β_{我}}

是伽马分布的平均值，

μ_{我}

和

σ_{我}^{2}

可以分别重写以产生

μ_{我} = {M（M）}_{我}^{1 / 三} (1 - \frac{1}{9 β_{我} {M（M）}_{我}}) 一 n个 d日 σ_{我}^{2} = \frac{1}{9 β_{我} {M（M）}_{我}^{1 / 三}} .

因此，

{M（M）}_{我} = {(\frac{μ_{我}}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2}}{4} + σ_{我}^{2}})}^{三}

是伽马分布的平均值

λ_{我} = δ_{我 (1)} {(\frac{μ_{我}}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2}}{4} + σ_{我}^{2}})}^{三}

，其中

δ_{我 (1)} = 1 - δ_{我 (0)}

，是ZIG分布的平均值。

我们感兴趣的是创建几个ZIG种群平均值比率的同时CI，因此

λ_{我 我} = λ_{我} / λ_{我} = δ_{我 (1)} {(\frac{μ_{我}}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2}}{4} + σ_{我}^{2}})}^{三} / δ_{我 (1)} {(\frac{μ_{我}}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2}}{4} + σ_{我}^{2}})}^{三},

哪里

我, 我 = 1, 2, \dots, k个

和

我 \neq 我

.

一个可以分别替换

δ_{我 (1)}

,

μ_{我}

和

σ_{我}^{2}

其最大似然估计如下：

{\hat{δ}}_{我 (1)} = {n个}_{我 (1)} / {n个}_{我}

,

{\hat{μ}}_{我} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)}} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {x个}_{我 j个}^{1 / 三}

和

{\hat{σ}}_{我}^{2} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)} - 1} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {({x个}_{我 j个}^{1 / 三} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}

.因此

{\hat{λ}}_{我} = {\hat{δ}}_{我 (1)} {(\frac{{\hat{μ}}_{我}}{2} + \sqrt{\frac{{\hat{μ}}_{我}^{2}}{4} + {\hat{σ}}_{我}^{2}})}^{三}

.

类似地，几个ZIG总体平均值比率的同时CI可以定义为

{\hat{λ}}_{我 我} = {\hat{λ}}_{我} / {\hat{λ}}_{我} = {\hat{δ}}_{我 (1)} {(\frac{{\hat{μ}}_{我}}{2} + \sqrt{\frac{{\hat{μ}}_{我}^{2}}{4} + {\hat{σ}}_{我}^{2}})}^{三} / {\hat{δ}}_{我 (1)} {(\frac{{\hat{μ}}_{我}}{2} + \sqrt{\frac{{\hat{μ}}_{我}^{2}}{4} + {\hat{σ}}_{我}^{2}})}^{三} .

(1)

2.1. 基准GCI方法

Hannig等人[17]首先引入GPQ的子类基准广义枢轴量（GPQ）来构造同步基准方法。让

{X（X）}_{我} = ({X（X）}_{我 1}, {X（X）}_{我 2}, \dots, {X（X）}_{我 {n个}_{我}})

,

我 = 1, 2, \dots, k个

是来自具有感兴趣参数的ZIG分布的随机样本

(μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)})

穿过k个独立样本，并假设

{x个}_{我} = ({x个}_{我 1}, {x个}_{我 2}, \dots, {x个}_{我 {n个}_{我}})

,

我 = 1, 2, \dots, k个

代表

{X（X）}_{我}

观察。的GPQ

R（右） ({X（X）}_{我}; {x个}_{我}, μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)})

如果满足以下两个要求，则称为基准GPQ：

每个条件分布都是无参数的 ${x个}_{我}$ .
观测值 $R（右） ({X（X）}_{我}; {x个}_{我}, μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)})$ 在 ${X（X）}_{我} = {x个}_{我}$ , $第页 ({x个}_{我}; {x个}_{我}, μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)})$ 是感兴趣的参数。

发件人

{Y（Y）}_{我 j个} = {X（X）}_{我 j个}^{1 / 三} \sim N个 (μ_{我}, σ_{我}^{2})

,

\bar{{Y（Y）}_{我}} \approx μ_{我} + Z轴 \frac{σ_{我}}{\sqrt{{n个}_{我 (1)}}}

和

{S公司}_{我}^{2} \approx σ_{我}^{2} \frac{χ_{{n个}_{我 (1)} - 1}^{2}}{({n个}_{我 (1)} - 1)}

是的样本均值和方差

{Y（Y）}_{我 j个}

，其中Z轴和

χ_{{n个}_{我 (1)} - 1}^{2}

是标准正态分布和χ2分布

{n个}_{我 (1)} - 1

自由度。通过更换

(\bar{{Y（Y）}_{我}}, {S公司}_{我})

具有

(\bar{年_{我}}, 秒_{我})

和估算

μ_{我}

和

σ_{我}^{2}

分别从样本均值和方差中，我们得到

μ_{我} = \bar{年_{我}} + \frac{Z轴}{\sqrt{χ_{{n个}_{我 (1)} - 1}^{2}}} \sqrt{\frac{({n个}_{我 (1)} - 1) 秒_{我}^{2}}{{n个}_{我 (1)}}} 一 n个 d日 σ_{我}^{2} = \frac{({n个}_{我 (1)} - 1) 秒_{我}^{2}}{χ_{{n个}_{我 (1)} - 1}^{2}} .

相应地

μ_{我}

,

σ_{我}^{2}

和

δ_{我 (1)}

是

{R（右）}_{μ_{我}} = \bar{年_{我}} + \frac{Z轴}{\sqrt{χ_{{n个}_{我 (1)} - 1}^{2}}} \sqrt{\frac{({n个}_{我 (1)} - 1) 秒_{我}^{2}}{{n个}_{我 (1)}}},

(2)

{R（右）}_{σ_{我}^{2}} = \frac{({n个}_{我 (1)} - 1) 秒_{我}^{2}}{χ_{{n个}_{我 (1)} - 1}^{2}}

(3)

和

{R（右）}_{δ_{我 (1)}} \sim \frac{1}{2} B类 e（电子） t吨 一 ({n个}_{我 (1)}, {n个}_{我 (0)} + 1) + \frac{1}{2} B类 e（电子） t吨 一 ({n个}_{我 (1)} + 1, {n个}_{我 (0)}) .

(4)

随后

λ_{我}

很简单

{R（右）}_{λ_{我}} = {R（右）}_{δ_{我 (1)}} {(\frac{{R（右）}_{μ_{我}}}{2} + \sqrt{\frac{{R（右）}_{μ_{我}}^{2}}{4} + {R（右）}_{σ_{我}^{2}}})}^{三} .

因此，几个ZIG分布平均值比率的基准GPQ可以写成

{R（右）}_{λ_{我 我}} = {R（右）}_{λ_{我}} / {R（右）}_{λ_{我}} = {R（右）}_{δ_{我 (1)}} {(\frac{{R（右）}_{μ_{我}}}{2} + \sqrt{\frac{{R（右）}_{μ_{我}}^{2}}{4} + {R（右）}_{σ_{我}^{2}}})}^{三} / {R（右）}_{δ_{我 (1)}} {(\frac{{R（右）}_{μ_{我}}}{2} + \sqrt{\frac{{R（右）}_{μ_{我}}^{2}}{4} + {R（右）}_{σ_{我}^{2}}})}^{三} .

(5)

因此

100 (1 - γ) %

双边同时CI

λ_{我 我}

基于基准GCI方法，可以写成

{L（左）}_{我 我} \leq λ_{我 我} \leq {U型}_{我 我}

，其中

{L（左）}_{我 我}

和

{U型}_{我 我}

是

γ / 2

th和

(1 - γ / 2)

第个分位数

{R（右）}_{λ_{我 我}}

分别是。

2.2. 贝叶斯方法

联合似然函数k个独立的ZIG分布可以从

{X（X）}_{我}

，用于

我 = 1, 2, \dots, k个

，参数未知

μ_{我}

,

σ_{我}^{2}

、和

δ_{我 (1)}

，如下所示：

\begin{matrix} L（左） (μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)}) & \propto \prod_{我 = 1}^{k个} {(1 - δ_{我 (1)})}^{{n个}_{我 (0)}} {(δ_{我 (1)})}^{{n个}_{我 (1)}} {(σ_{我}^{2})}^{- \frac{{n个}_{我 (1)}}{2}} \\ \times 经验 [- \frac{1}{2 σ_{我}^{2}} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {({x个}_{我 j个}^{1 / 三} - μ_{我})}^{2}] . \end{matrix}

未知参数的Fisher信息矩阵可以表示为对数似然函数对未知参数的二阶偏导数：

\begin{matrix} 我 (μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)}) = 诊断 & [\begin{matrix} \frac{{n个}_{1}}{(1 - δ_{1 (1)}) δ_{1 (1)}} & \frac{{n个}_{1} δ_{1 (1)}}{σ_{1}^{2}} & \frac{{n个}_{1} δ_{1 (1)}}{2 {(σ_{1}^{2})}^{2}} & \dots & \dots & \dots \end{matrix} \\ \begin{matrix} \frac{{n个}_{k个}}{(1 - δ_{k个 (1)}) δ_{k个 (1)}} & \frac{{n个}_{k个} δ_{k个 (1)}}{σ_{k个}^{2}} & \frac{{n个}_{k个} δ_{k个 (1)}}{2 {(σ_{k个}^{2})}^{2}} \end{matrix}] . \end{matrix}

以下小节介绍了用于构建等尾同时CI和同时HPD区间的Jeffreys规则和统一先验。

2.2.1. 杰弗里斯规则优先

Fisher信息矩阵行列式的平方根用于计算Jeffreys规则先验。众所周知，伽马分布和二项式分布包含ZIG分布。从平均值

λ_{我} = δ_{我 (1)} {(\frac{μ_{我}}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2}}{4} + σ_{我}^{2}})}^{三}

，感兴趣的参数是

μ_{我}

,

σ_{我}^{2}

、和

δ_{我 (1)}

; 哈维和范德梅尔[18]在这些参数之前使用了Jeffreys规则

第页 (σ_{我}^{2}) \propto 1 / σ_{我}^{三}

和

第页 (δ_{我 (1)}) \propto {(1 - δ_{我 (1)})}^{- 1 / 2} δ_{我 (1)}^{1 / 2}

分别是。

关节后向密度函数可以表示为ZIG分布的似然函数和先验分布，如下所示：

\begin{matrix} 第页 (μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)} ∣ {x个}_{我 j个}) & = \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{1}{贝塔 ({n个}_{我 (1)} + \frac{三}{2}, {n个}_{我 (0)} + \frac{1}{2})} {(1 - δ_{我 (1)})}^{({n个}_{我 (0)} + \frac{1}{2}) - 1} δ_{我 (1)}^{({n个}_{我 (1)} + \frac{三}{2}) - 1} \\ \times \frac{\sqrt{{n个}_{我 (1)}}}{\sqrt{2 π σ_{我}^{2}}} 经验 (- \frac{{n个}_{我 (1)}}{2 σ_{我}^{2}} {(μ_{我} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}) \frac{{(\frac{({n个}_{我 (1)} + 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2})}^{\frac{{n个}_{我 (1)} + 1}{2}}}{Γ (\frac{{n个}_{我 (1)} + 1}{2})} \\ \times {(σ_{我}^{2})}^{- \frac{{n个}_{我 (1)} + 1}{2} - 1} 经验 (- \frac{({n个}_{我 (1)} + 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2 σ_{我}^{2}}), \end{matrix}

哪里

{\hat{μ}}_{我} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)}} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {x个}_{我 j个}^{1 / 三}

和

{\hat{σ}}_{我}^{2} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)} - 1} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {({x个}_{我 j个}^{1 / 三} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}

.

以下各项的后验分布

μ_{我}

,

σ 我^{2}

、和

δ_{我 (1)}

通过积分获得

第页 (μ_{我} ∣ {x个}_{我 j个}) \propto \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{\sqrt{{n个}_{我 (1)}}}{\sqrt{2 π σ_{我}^{2}}} 经验 (- \frac{{n个}_{我 (1)}}{2 σ_{我}^{2}} {(μ_{我} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}),

第页 (σ_{我}^{2} ∣ {x个}_{我 j个}) \propto \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{{(\frac{({n个}_{我 (1)} + 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2})}^{\frac{{n个}_{我 (1)} + 1}{2}}}{Γ (\frac{{n个}_{我 (1)} + 1}{2})} {(σ_{我}^{2})}^{- \frac{{n个}_{我 (1)} + 1}{2} - 1} 经验 (- \frac{({n个}_{我 (1)} + 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2 σ 我^{2}}),

和

第页 (δ_{我 (1)} ∣ {x个}_{我 j个}) \propto \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{1}{贝塔 ({n个}_{我 (1)} + \frac{三}{2}, {n个}_{我 (0)} + \frac{1}{2})} {(1 - δ_{我 (1)})}^{({n个}_{我 (0)} + \frac{1}{2}) - 1} δ_{我 (1)}^{({n个}_{我 (1)} + \frac{三}{2}) - 1} .

如所示

μ_{我} (J型) \sim N个 ({\hat{μ}}_{我}, \frac{σ_{我}^{2} (J型)}{{n个}_{我 (1)}})

,

σ_{我}^{2} (J型) \sim IG公司 (\frac{{n个}_{我 (1)} + 1}{2}, \frac{({n个}_{我 (1)} + 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2})

、和

δ_{我 (1)} (J型) \sim 贝塔 ({n个}_{我 (1)} + \frac{三}{2}, {n个}_{我 (0)} + \frac{1}{2})

分别为，

第页 (μ_{我} ∣ {x个}_{我 j个})

遵循正态分布，

第页 (σ_{我}^{2} ∣ {x个}_{我 j个})

遵循逆伽马分布，并且

第页 (δ_{我 (1)} ∣ {x个}_{我 j个})

遵循贝塔分布。结果是

μ_{我} (J型)

,

σ_{我}^{2} (J型)

、和

δ_{我 (1)} (J型)

可以替换，从而

λ_{我 我} (J型) = δ_{我 (1)} (J型) {(\frac{μ_{我} (J型)}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2} (J型)}{4} + σ_{我}^{2} (J型)})}^{三} / δ_{我 (1)} (J型) {(\frac{μ_{我} (J型)}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2} (J型)}{4} + σ_{我}^{2} (J型)})}^{三} .

(6)

因此

100 (1 - γ) %

等尾同步CI和同步HPD间隔

λ_{我 我}

基于贝叶斯方法

{L（左）}_{我 我} (J型) \leq λ_{我 我} (J型) \leq {U型}_{我 我} (J型)

，其中

{L（左）}_{我 我} (J型)

和

{U型}_{我 我} (J型)

分别是区间的上下限。我们计算了

{L（左）}_{我 我} (高性能显示器 . J型)

和

{U型}_{我 我} (高性能显示器 . J型)

使用

HPDinterval公司

R软件包中的包来确定

100 (1 - γ) %

的同时HPD间隔

λ_{我 我}

.

2.2.2. 统一优先权

Bolstad和Curran[19]建议

μ_{我}

,

σ_{我}^{2}

和

δ_{我 (1)}

是1(

第页 (μ_{我}) \propto 1, 第页 (σ_{我}^{2}) \propto 1

和

第页 (δ_{我 (1)}) \propto 1

因为均匀先验对先验概率具有常数函数。随后，

第页 (μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)}) \propto 1

是ZIG分布的均匀先验，其中关节后向密度函数为

\begin{matrix} 第页 (μ_{我}, σ_{我}^{2}, δ_{我 (1)} ∣ {x个}_{我 j个}) & = \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{1}{贝塔 ({n个}_{我 (1)} + 1, {n个}_{我 (0)} + 1)} {(1 - δ_{我 (1)})}^{({n个}_{我 (0)} + 1) - 1} δ_{我 (1)}^{({n个}_{我 (1)} + 1) - 1} \\ \times \frac{\sqrt{{n个}_{我 (1)}}}{\sqrt{2 π σ_{我}^{2}}} 经验 (- \frac{{n个}_{我 (1)}}{2 σ_{我}^{2}} {(μ_{我} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}) \frac{{(\frac{({n个}_{我 (1)} - 2) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2})}^{\frac{{n个}_{我 (1)} - 2}{2}}}{Γ (\frac{{n个}_{我 (1)} - 2}{2})} \\ \times {(σ_{我}^{2})}^{- \frac{{n个}_{我 (1)} - 2}{2} - 1} 经验 (- \frac{({n个}_{我 (1)} - 2) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2 σ_{我}^{2}}), \end{matrix}

哪里

{\hat{μ}}_{我} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)}} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {x个}_{我 j个}^{1 / 三}

和

{\hat{σ}}_{我}^{2} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)} - 1} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {({x个}_{我 j个}^{1 / 三} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}

.

以下各项的后验分布

μ_{我}

,

σ 我^{2}

、和

δ_{我 (1)}

通过积分获得

第页 (μ_{我} ∣ {x个}_{我 j个}) \propto \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{\sqrt{{n个}_{我 (1)}}}{\sqrt{2 π σ_{我}^{2}}} 经验 (- \frac{{n个}_{我 (1)}}{2 σ_{我}^{2}} {(μ_{我} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}),

第页 (σ_{我}^{2} ∣ {x个}_{我 j个}) \propto \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{{(\frac{({n个}_{我 (1)} - 2) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2})}^{\frac{{n个}_{我 (1)} - 2}{2}}}{Γ (\frac{{n个}_{我 (1)} - 2}{2})} {(σ_{我}^{2})}^{- \frac{{n个}_{我 (1)} - 2}{2} - 1} 经验 (- \frac{({n个}_{我 (1)} - 2) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2 σ 我^{2}}),

和

第页 (δ_{我 (1)} ∣ {x个}_{我 j个}) \propto \prod_{我 = 1}^{k个} \frac{1}{贝塔 ({n个}_{我 (1)} + 1, {n个}_{我 (0)} + 1)} {(1 - δ_{我 (1)})}^{({n个}_{我 (0)} + 1) - 1} δ_{我 (1)}^{({n个}_{我 (1)} + 1) - 1} .

因此，后验分布为

μ_{我} (U型) \sim N个 ({\hat{μ}}_{我}, \frac{σ_{我}^{2} (U型)}{{n个}_{我 (1)}})

,

σ_{我}^{2} (U型) \sim IG公司 (\frac{{n个}_{我 (1)} - 2}{2}, \frac{({n个}_{我 (1)} - 2) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{2})

、和

δ_{我 (1)} (U型) \sim 贝塔 ({n个}_{我 (1)} + 1, {n个}_{我 (0)} + 1)

分别是。

为了构建等尾同步CI和同步HPD间隔，

μ_{我} (U型)

,

σ_{我}^{2} (U型)

和

δ_{我 (1)} (U型)

可以代入方程式(1).

2.3. 方差估计恢复方法（MOVER）

首先由Donner和Zou介绍[20]，MOVER方法用于构造

100 (1 - γ) %

双边同时CI

λ_{我 我} = λ_{我} / λ_{我}

，其中

{L（左）}_{我 我} (运动) \leq λ_{我 我} (运动) \leq {U型}_{我 我} (运动)

，其中

{L（左）}_{我 我} (运动)

和

{U型}_{我 我} (运动)

是区间的上界和下界，分别表示为

{L（左）}_{我 我} (运动) = \frac{{\hat{λ}}_{我} {\hat{λ}}_{我} - \sqrt{{({\hat{λ}}_{我} {\hat{λ}}_{我})}^{2} - 我_{我} {u个}_{我} (2 {\hat{λ}}_{我} - 我_{我}) (2 {\hat{λ}}_{我} - {u个}_{我})}}{{u个}_{我} (2 {\hat{λ}}_{我} - {u个}_{我})}

(7)

和

{U型}_{我 我} (推进器) = \frac{{\hat{λ}}_{我} {\hat{λ}}_{我} + \sqrt{{({\hat{λ}}_{我} {\hat{λ}}_{我})}^{2} - {u个}_{我} 我_{我} (2 {\hat{λ}}_{我} - {u个}_{我}) (2 {\hat{λ}}_{我} - 我_{我})}}{我_{我} (2 {\hat{λ}}_{我} - 我_{我})},

(8)

对于

我, 我 = 1, 2, \dots, k个

和

我 \neq 我

.

感兴趣的参数

λ_{我} = δ_{我 (1)} {(\frac{μ_{我}}{2} + \sqrt{\frac{μ_{我}^{2}}{4} + σ_{我}^{2}})}^{三}

是

δ_{我 (1)}

,

μ_{我}

、和

σ_{我}^{2}

，可以为其构造CI。来自Hannig的[21]关于基准GPQ的文件

δ_{我 (1)}

在方程式中(4)，的

100 (1 - γ) %

CI用于

δ_{我 (1)}

可以写为

C类 我_{δ_{我 (1)}} = [我_{δ_{我 (1)}}, {u个}_{δ_{我 (1)}}],

哪里

我_{δ_{我 (1)}}

和

{u个}_{δ_{我 (1)}}

是

(γ / 2)

-th和

(1 - γ / 2)

-第个分位数

δ_{我 (1)}

分别是。

通过使用参数的CI定义

μ_{我}

和

σ_{我}^{2}

在方程式中(2)和(三)，我们可以分别定义

100 (1 - γ) %

CI用于

μ_{我}

作为

C类 我_{μ_{我}} = [我_{μ_{我}}, {u个}_{μ_{我}}],

哪里

我_{μ_{我}} = {\hat{μ}}_{我} - \frac{{Z轴}_{我 (γ / 2)}}{\sqrt{χ_{1 - γ / 2, {n个}_{我 (1)} - 1}^{2}}} \sqrt{\frac{({n个}_{我 (1)} - 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{{n个}_{我 (1)}}},

和

{u个}_{μ_{我}} = {\hat{μ}}_{我} + \frac{{Z轴}_{我 (γ / 2)}}{\sqrt{χ_{γ / 2, {n个}_{我 (1)} - 1}^{2}}} \sqrt{\frac{({n个}_{我 (1)} - 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{{n个}_{我 (1)}}} .

因此

100 (1 - γ) %

CI用于

σ_{我}^{2}

可以写为

C类 我_{σ_{我}^{2}} = [我_{σ_{我}^{2}}, {u个}_{σ_{我}^{2}}],

哪里

我_{σ_{我}^{2}} = \frac{({n个}_{我 (1)} - 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{χ_{1 - γ / 2, {n个}_{我 (1)} - 1}^{2}},

和

{u个}_{σ_{我}^{2}} = \frac{({n个}_{我 (1)} - 1) {\hat{σ}}_{我}^{2}}{χ_{γ / 2, {n个}_{我 (1)} - 1}^{2}} .

通过确保

{\hat{μ}}_{我} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)}} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {x个}_{我 j个}^{1 / 三}

和

{\hat{σ}}_{我}^{2} = \frac{1}{{n个}_{我 (1)} - 1} \sum_{j个 = 1}^{{n个}_{我 (1)}} {({x个}_{我 j个}^{1 / 三} - {\hat{μ}}_{我})}^{2}

;

{Z轴}_{我}

,

我 = 1, 2, \dots, k个

遵循标准正态分布

100 (1 - γ) %

的MOVER间隔

λ_{我}

成为

C类 我_{λ_{我}} = [我_{我}, {u个}_{我}] .

同样，我们可以获得

C类 我_{λ_{我}} = [我_{我}, {u个}_{我}]

因此

100 (1 - γ) %

双边同时CI

λ_{我 我}

基于MOVER方法，可以在

[{L（左）}_{我 我} (运动), {U型}_{我 我} (运动)]

，用于

我, 我 = 1, 2, \dots, k个

和

我 \neq 我

此过程在算法1中指定。

算法1所有六种方法。

Begin循环M（M）.
生成 ${X（X）}_{我}$ , $我 = 1, 2, \dots, k个$ 具有样本大小 ${n个}_{1}, {n个}_{2}, \dots, {n个}_{k个}$ 从 $ZIG公司 (α_{我}, β_{我}, δ_{我 (1)})$ .
对执行立方根转换 ${n个}_{我 (1)}$ 非零观测与估计 ${\hat{δ}}_{我 (1)}$ , ${\hat{μ}}_{我}$ 、和 ${\hat{σ}}_{我}^{2}$ .
获取 $λ_{我}$ 和 $λ_{我}$ 通过计算参数。
（a）
基准GCI：计算 ${R（右）}_{δ_{我 (1)}}$ , ${R（右）}_{δ_{我 (1)}}$ , ${R（右）}_{μ_{我}}$ , ${R（右）}_{μ_{我}}$ , ${R（右）}_{σ_{我}^{2}}$ 和 ${R（右）}_{σ_{我}^{2}}$ .
（b）
基于Jeffreys规则先验的贝叶斯和HPD：计算 $δ_{我 (1)} (J型)$ , $δ_{我 (1)} (J型)$ , $μ_{我} (J型)$ , $μ_{我} (J型)$ , $σ_{我}^{2} (J型)$ 和 $σ_{我}^{2} (J型)$ .
（c）
基于统一先验的贝叶斯和HPD：计算 $δ_{我 (1)} (U型)$ , $δ_{我 (1)} (U型)$ , $μ_{我} (U型)$ , $μ_{我} (U型)$ , $σ_{我}^{2} (U型)$ 和 $σ_{我}^{2} (U型)$ .
（d）
移动：计算 $我_{δ_{我 (1)}}$ , $我_{δ_{我 (1)}}$ , ${u个}_{δ_{我 (1)}}$ , ${u个}_{δ_{我 (1)}}$ , $我_{μ_{我}}$ , $我_{μ_{我}}$ , ${u个}_{μ_{我}}$ , ${u个}_{μ_{我}}$ , $我_{σ_{我}^{2}}$ , $我_{σ_{我}^{2}}$ , ${u个}_{σ_{我}^{2}}$ 和 ${u个}_{σ_{我}^{2}}$ .
总共重复步骤（3）和（4）米( $米 = 2000$ )次。
计算 $100 (1 - γ)$ %同步CI $λ_{我我}$ .
（a）
基准GCI：计算 ${R（右）}_{λ_{我我}} (γ / 2)$ 和 ${R（右）}_{λ_{我我}} (1 - γ / 2)$ 使用方程式(5).
（b）
基于Jeffreys规则先验的贝叶斯算法：计算 $λ_{我我} (J型) (γ / 2)$ 和 $λ_{我我} (J型) (1 - γ / 2)$ 使用方程式(6).
（c）
基于Jeffreys规则先验的HPD：使用公式(6)计算 $λ_{我我} (高功率密度 . J型)$ 通过利用 $HPDinterval公司$ 包裹。
（d）
基于统一先验的贝叶斯算法：计算 $λ_{我我} (U型) (γ / 2)$ 和 $λ_{我我} (U型) (1 - γ / 2)$ .
（e）
基于均匀先验的HPD：计算 $λ_{我我} (高性能显示器 . U型) (γ / 2)$ 和 $λ_{我我} (高性能显示器 . U型) (1 - γ / 2)$ .
（f）
MOVER：使用方程式基于MOVER计算并发CI(7)和(8).
结束循环M（M）.

3.模拟研究

我们进行了模拟研究，以评估所提出的方法在使用以下要求的有限样本时的性能：

覆盖概率（CP）：真实参数值包含在间隔内的次数百分比。
预期长度（EL）：同时CI的平均长度。

覆盖概率和预期长度推导如下

人物配对关系 = \sum_{M（M） = 1}^{5000} \frac{{c（c）}^{(M（M）)} ({L（左）}_{我 我}^{(M（M）)} \leq λ_{我 我} \leq {U型}_{我 我}^{(M（M）)})}{5000} 一 n个 d日 EL公司 = \sum_{M（M） = 1}^{5000} \frac{({U型}_{我 我}^{(M（M）)} - {L（左）}_{我 我}^{(M（M）)})}{5000},

哪里

{c（c）}^{(M（M）)} ({L（左）}_{我 我}^{(M（M）)} \leq λ_{我 我} \leq {U型}_{我 我}^{(M（M）)})

是的数字

λ_{我 我}

包含在间隔中，

{L（左）}_{我 我}^{(M（M）)}

和

{U型}_{我 我}^{(M（M）)}

分别是区间的上界和下界，以及M（M）是为该研究运行的模拟总数。

对于每个场景，性能最好的CI的覆盖概率都高于或接近标称置信水平（0.95），并且预期长度最短。借助R统计软件套件，通过蒙特卡罗模拟研究对所提方法的性能进行了比较。对于每组参数，运行5000次模拟迭代。此外，对于每个参数组合，重复2000次基准和贝叶斯方法。图1显示模拟研究的流程图。所选样本大小为30、50或100。如中所述表1和表2，我们使用了12个参数设置

δ_{我 (1)}

,

α_{我}

、和

β_{我} = 1

具有

k个 = 三

或

k个 = 6

.

4.结果

4.1. 模拟研究

使用带有AMD Ryzen 3 3250U和Radeon Graphics 8.00 GB RAM的计算机来执行所有同时CI。对于所有六种拟议方法的每个程序运行，我们还从六种同时CI方法的覆盖概率和预期长度，将CI的时间消耗与各种模拟研究案例进行了比较

k个 = 三

和6英寸表3和表4分别是。基于Jeffreys规则或统一先验的Bayesian和HPD区间的覆盖概率几乎总是等于或大于标称置信水平0.95。设置为4和8时，基准GCI提供的覆盖概率大于0.95，即使其预期长度比其他长度短，而MOVER在所有情况下都小于标称置信水平0.95

k个 = 三

和6。因此，无法使用基于MOVER的方法构造多个ZIG分布平均值比率的同时CI。因此，基于Jeffreys规则或统一先验的Bayesian和HPD区间以及基准GCI应用于计算多个ZIG分布平均值比率的同时CI，因为提供覆盖概率的CI等于或大于0.95。然后，这些CI的预期长度被认为是找到最短长度的最佳CI。在几乎所有设置中，我们发现基于Jeffreys规则先验的HPD间隔的预期长度是覆盖概率超过0.95的最小长度，而设置4和8基准GCI是最短长度。不同样本大小的95%同时CI方法的覆盖概率和预期长度如所示图2和图3，而那些具有各种非零值概率的值显示在图4和图5分别是。

4.2. 同步CI方法在泰国降雨量数据中的实证应用

Kaewprasert等人的研究[1]利用ZIG分布估算降雨量数据。泰国分为六个地区，本分析使用了来自以下雨量站的2021年9月降雨量数据集，如表5:

北部（R1）：清迈[22].
南部（R2）：庄[23].
东北部（R3）：Chaiyaphum[24].
东部（R4）：Prachin Buri[25].
西部（R5）：Kanchanaburi[26].
中部（R6）：磅士卑[27].

图6给出了这些数据的分布，并显示了六个地区的日降雨量数据集的右偏性。我们使用最小Akaike信息准则（AIC）测试各种分布对正降雨量数据集的拟合，定义如下：

AIC公司 = - 2 自然对数 L（左） + 2 小时,

其中h是参数的数量，L是似然函数。研究结果表6证明伽马分布最适合所有正降雨量数据集。此外，图7显示了正的日降雨量数据集的Q-Q图，这证实了它们都遵循伽马分布。

计算了六个地区降雨量的参数估计值，如表7。2021年9月泰国六个地区的日降雨量数据集的95%同时CI报告于表8根据上一节的模拟结果，基于Jeffreys规则先验的HPD区间长度是最合适的，从而证实了其适用于构建多个ZIG分布均值比的同时CI。

5.讨论

我们采用了Kaewprasert等人提出的方法[1]谁使用基准GCI、贝叶斯区间和HPD区间方法为几个ZIG分布的平均值和平均值之间的差异生成CI。基于Jeffreys规则先验的HPD区间是最优方法。此外，通过利用基准GCI，我们扩展了Zhang等人[14]为包含一些零观测值的分布构造同时CI的方法。在本研究中，我们使用基准GCI、贝叶斯、HPD区间和MOVER方法来构建CI，通过模拟研究和使用包含来自泰国六个地区零观测值的真实降雨数据集来比较多个ZIG分布的平均值。

一系列样本大小和非零值概率的模拟研究结果揭示了同时CI的分析行为。对于

k个 = 三

或6，我们发现基于Jeffreys规则先验的HPD间隔是最适合所有测试场景的方法。95%同时CI的覆盖概率和预期长度

k个 = 三

与

k个 = 6

适用于各种样本大小。此外，随着非零值概率的增加，方法的预期长度减小。

重要的是，通过估算2021年9月泰国六个地区多个日降雨量数据集的平均值比率，证明了这些方法的实用性。每个地点选定的雨量站平均雨日数相同，因此非零值的概率大致相同。该经验应用的结果与模拟研究的结果一致，即基于Jeffreys规则先验的HPD区间是最合适的。因此，可以预测第二年9月泰国频繁降雨地区的降雨量比率。因此，我们的方法可以用来对洪水和山体滑坡等自然灾害发出迫在眉睫的自然警报，提醒人们提前做好准备。

6.结论

本文提出了六种基于基准GCI方法、贝叶斯方法和基于Jeffreys规则或一致先验和MOVER的HPD区间方法来构建多个ZIG分布的平均值比率的同时CI的方法。它们的覆盖概率和模拟研究的预期长度表明，基于Jeffreys规则的HPD区间在大多数情况下表现最佳，而在某些情况下，基准GCI在这两种情况下都表现良好

k个 = 三

和6。应用这些方法比较泰国六个地区2021年9月的降雨量数据集，结果表明，基于Jeffreys规则先验的HPD区间和基准GCI再次表现最佳，这与模拟结果一致。因此，应使用基于Jeffreys规则先验的HPD区间，为多个ZIG数据集的平均值比率构建同步CI。对于某些应用，我们提供基准GCI作为替代方法。有兴趣分析降雨平均值的研究人员可以使用我们开发的R包。未来的研究将调查其他统计参数，如变异系数，因为它们在进行统计推断时很重要。此外，我们发现变异系数是评估降雨扩散的有用工具。关于零膨胀伽马种群变异系数的CI，很少有研究发表。因此，我们将很快对此进行调查。

作者贡献

概念化，S.-A.N。；方法，S.-A.N.和S.N。；软件，T.K。；验证、T.K.、S.-A.N.和S.N。；形式分析，T.K.和S.-A.N。；调查，S.-A.N.和S.N。；资源，S.N。；数据管理，T.K。；书面原稿编制，T.K。；书面审查和编辑，S.-A.N.和S.N。；可视化，S.N。；监督、S.-A.N.和S.N。；项目管理，S.N。；所有作者都已经阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究得到了国家科学、研究和创新基金（NSRF）和曼谷北部蒙古国王理工大学的资助：KMUTNB-FF-65-22。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

降雨量的真实数据集来自皇家灌溉部[22,23,24,25,26,27].

致谢

第一作者对泰国科学成就奖学金（SAST）提供的财政支持表示感谢。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：

AIC公司	Akaike信息准则
贝耶。杰夫	基于Jefreys规则先验的贝叶斯置信区间
贝耶。Uni公司	基于一致先验的贝叶斯置信区间
CI公司	置信区间
人物配对关系	覆盖概率
EL公司	预期长度
通用控制接口	广义置信区间
总质量（GPQ）	广义枢轴量
高性能显示器	最高后部密度
HPD公司。杰夫	基于Jefreys规则先验的最高后向密度
HPD公司。Uni公司	基于一致先验的最高后验密度
运动	方差估计恢复方法
PB（聚丁二烯）	参数化引导
ZIG公司	零膨胀伽马

工具书类

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北部地区灌溉水文中心主页。在线可用：http://hydro-1.rid.go.th/（2022年8月12日访问）。（泰语）。
南部地区灌溉水文中心主页。在线可用：http://hydro-8.rid.go.th/（2022年8月12日访问）。（泰语）。
上东北地区灌溉水文中心主页。在线可用：http://hydro-3.rid.go.th/（2022年8月12日访问）。（泰语）。
东部地区灌溉水文中心主页。在线可用：http://hydro-6.rid.go.th/（2022年8月12日访问）。（泰语）。
西部地区灌溉水文中心主页。在线可用：http://hydro-7.rid.go.th/（2022年8月12日访问）。（泰语）。
中部地区灌溉水文中心主页。在线可用：网址：http://hydro-5.rid.go.th/（2022年8月12日访问）。（泰语）。

图1。模拟研究的流程图。

图2。不同样本大小的95%同时CI的覆盖概率：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图2。不同样本大小的95%同时CI的覆盖概率：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图3。具有不同样本大小的95%同时CI的预期长度：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图3。具有不同样本大小的95%同时CI的预期长度：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图4。具有各种非零值概率的95%同时CI的覆盖概率：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图4。具有各种非零值概率的95%同时CI的覆盖概率：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图5。具有各种非零值概率的95%同时CI的预期长度：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图5。具有各种非零值概率的95%同时CI的预期长度：(A类)

k个 = 三

和(B类)

k个 = 6

.

图6。泰国六个地区的降雨量数据集密度：(A类)北方(B类)南方(C类)东北部(D类)东部(E类)西部(F类)中央。

图7。泰国六个地区日降雨量数据集非零部分的Q-Q图：(A类)北方(B类)南方(C类)东北部(D类)东部(E类)西部(F类)中央。

表1。模拟研究参数设置

δ_{我 (1)}

,

α_{我}

、和

β_{我} = 1

具有

k个 = 三

.

表1。模拟研究参数设置

δ_{我 (1)}

,

α_{我}

、和

β_{我} = 1

具有

k个 = 三

.

设置	$δ_{1 (1)}$	$δ_{2 (1)}$	$δ_{三 (1)}$	$α_{1}$	$α_{2}$	$α_{三}$
1	0.3	0.3	0.3	1.5	1.5	1.5
2	0.3	0.3	0.3	2	2	2
三	0.3	0.3	0.3	2.5	2.5	2.5
4	0.3	0.3	0.3	3	3	3
5	0.5	0.5	0.5	2.5	2.5	2.5
6	0.5	0.5	0.5	3	3	3
7	0.5	0.5	0.5	3.5	3.5	3.5
8	0.5	0.5	0.5	4	4	4
9	0.8	0.8	0.8	5	5	5
10	0.8	0.8	0.8	5.5	5.5	5.5
11	0.8	0.8	0.8	6	6	6
12	0.8	0.8	0.8	6.5	6.5	6.5

表2。模拟研究参数设置

δ_{我 (1)}

,

α_{我}

、和

β_{我} = 1

具有

k个 = 6

.

表2。模拟研究参数设置

δ_{我 (1)}

,

α_{我}

、和

β_{我} = 1

具有

k个 = 6

.

设置	$δ_{1 (1)}$	$δ_{2 (1)}$	$δ_{三 (1)}$	$δ_{4 (1)}$	$δ_{5 (1)}$	$δ_{6 (1)}$	$α_{1}$	$α_{2}$	$α_{三}$	$α_{4}$	$α_{5}$	$α_{6}$
1	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	1.5	1.5	1.5	1.5	1.5	1.5
2	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	2	2	2	2	2	2
三	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	2.5	2.5	2.5	2.5	2.5	2.5
4	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	0.3	3	3	3	3	3	3
5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	2.5	2.5	2.5	2.5	2.5	2.5
6	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	3	3	3	3	3	3
7	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	3.5	3.5	3.5	3.5	3.5	3.5
8	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	0.5	4	4	4	4	4	4
9	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	5	5	5	5	5	5
10	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	5.5	5.5	5.5	5.5	5.5	5.5
11	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	6	6	6	6	6	6
12	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	0.8	6.5	6.5	6.5	6.5	6.5	6.5

表3。95%同时CI的覆盖概率和预期长度

λ_{我 我} (k个 = 三)

.

表3。95%同时CI的覆盖概率和预期长度

λ_{我 我} (k个 = 三)

.

设置	$({n个}_{1}, {n个}_{2}, {n个}_{三})$	覆盖概率（预期长度）						时间（s）
设置	$({n个}_{1}, {n个}_{2}, {n个}_{三})$	基准GCI	Baye公司。杰夫	贝耶。Uni公司	HPD公司。杰夫	HPD公司。Uni公司	运动	时间（s）
1	(30,30,30)	0.9165	0.9602	0.9743	0.9560	0.9700	0.9426	283.39
		(1.6302)	(1.9560)	(2.2115)	(1.7946)	(1.9933)	(2.1646)
	(50,50,50)	0.9033	0.9632	0.9703	0.9602	0.9682	0.9432	284.09
		(1.0923)	(1.4044)	(1.4763)	(1.3293)	(1.3913)	(1.5019)
	(100,100,100)	0.8899	0.9633	0.9666	0.9613	0.9647	0.9505	270.73
		(0.7092)	(0.9389)	(0.9571)	(0.9101)	(0.9269)	(1.0092)
	(30,50,100)	0.9100	0.9609	0.9717	0.9610	0.9690	0.9342	209.83
		(1.2505)	(1.4883)	(1.6258)	(1.4097)	(1.5086)	(1.6496)
2	(30,30,30)	0.9374	0.9765	0.9854	0.9726	0.9804	0.9266	247.25
		(1.4704)	(1.8333)	(2.0313)	(1.6922)	(1.8484)	(1.7522)
	(50,50,50)	0.9273	0.9762	0.9812	0.9767	0.9807	0.9310	269.32
		(1.0177)	(1.3464)	(1.4039)	(1.2778)	(1.3279)	(1.2522)
	(100,100,100)	0.9206	0.9807	0.9827	0.9798	0.9816	0.9386	312.92
		(0.6713)	(0.9094)	(0.9248)	(0.8826)	(0.8969)	(0.8529)
	(30,50,100)	0.9350	0.9791	0.9864	0.9798	0.9826	0.9207	211.88
		(1.1299)	(1.4033)	(1.4983)	(1.3389)	(1.4095)	(1.3463)
三	(30,30,30)	0.9547	0.9869	0.9921	0.9842	0.9888	0.9156	255.33
		(1.3820)	(1.7695)	(1.9318)	(1.6378)	(1.7686)	(1.4955)
	(50,50,50)	0.9495	0.9884	0.9908	0.9870	0.9890	0.9256	263.27
		(0.9710)	(1.3080)	(1.3581)	(1.2435)	(1.2874)	(1.0849)
	(100,100,100)	0.9447	0.9892	0.9903	0.9875	0.9886	0.9345	292.09
		(0.6496)	(0.8912)	(0.9052)	(0.8655)	(0.8786)	(0.7496)
	(30,50,100)	0.9560	0.9893	0.9916	0.9864	0.9881	0.9196	203.86
		(1.0559)	(1.3507)	(1.4220)	(1.2944)	(1.3485)	(1.1532)
4	(30,30,30)	0.9666	0.9938	0.9960	0.9903	0.9928	0.9083	233.40
		(1.3205)	(1.7187)	(1.8600)	(1.5934)	(1.7081)	(1.3274)
	(50,50,50)	0.9640	0.9948	0.9954	0.9922	0.9937	0.9150	257.29
		(0.9448)	(1.2869)	(1.3323)	(1.2242)	(1.2640)	(0.9768)
	(100,100,100)	0.9609	0.9954	0.9953	0.9944	0.9949	0.9240	287.83
		(0.6374)	(0.8824)	(0.8948)	(0.8570)	(0.8689)	(0.6773)
	(30,50,100)	0.9679	0.9935	0.9954	0.9923	0.9934	0.9072	198.29
		(1.0204)	(1.3296)	(1.3894)	(1.2769)	(1.3226)	(1.0352)
5	(30,30,30)	0.9101	0.9705	0.9764	0.9694	0.9742	0.9302	306.95
		(0.8426)	(1.1082)	(1.1637)	(1.0645)	(1.1144)	(1.0624)
	(50,50,50)	0.9057	0.9738	0.9775	0.9712	0.9735	0.9402	298.94
		(0.6205)	(0.8350)	(0.8570)	(0.8130)	(0.8334)	(0.8101)
	(100,100,100)	0.8993	0.9730	0.9746	0.9710	0.9716	0.9435	357.10
		(0.4259)	(0.5801)	(0.5875)	(0.5706)	(0.5776)	(0.5748)
	(30,50,100)	0.9125	0.9724	0.9764	0.9721	0.9735	0.9308	241.91
		(0.6510)	(0.8515)	(0.8732)	(0.8349)	(0.8542)	(0.8332)
6	(30,30,30)	0.9351	0.9857	0.9892	0.9829	0.9872	0.9233	204.06
		(0.8125)	(1.0845)	(1.1347)	(1.0428)	(1.0881)	(0.9480)
	(50,50,50)	0.9296	0.9851	0.9875	0.9823	0.9858	0.9318	263.42
		(0.6036)	(0.8221)	(0.8422)	(0.8009)	(0.8196)	(0.7264)
	(100,100,100)	0.9250	0.9850	0.9864	0.9837	0.9855	0.9379	252.54
		(0.4173)	(0.5741)	(0.5807)	(0.5647)	(0.5711)	(0.5198)
	(30,50,100)	0.9281	0.9816	0.9833	0.9800	0.9800	0.9200	204.76
		(0.6299)	(0.8361)	(0.8548)	(0.8208)	(0.8377)	(0.7459)
7	(30,30,30)	0.9467	0.9894	0.9919	0.9874	0.9898	0.9156	308.69
		(0.7920)	(1.0685)	(1.1148)	(1.0279)	(1.0700)	(0.8608)
	(50,50,50)	0.9454	0.9902	0.9914	0.9881	0.9898	0.9188	220.02
		(0.5940)	(0.8153)	(0.8348)	(0.7944)	(0.8126)	(0.6665)
	(100,100,100)	0.9388	0.9886	0.9898	0.9884	0.9884	0.9316	317.59
		(0.4111)	(0.5694)	(0.5754)	(0.5602)	(0.5659)	(0.4782)
	(30,50,100)	0.9472	0.9890	0.9906	0.9872	0.9865	0.9173	194.66
		(0.6137)	(0.8236)	(0.8397)	(0.8089)	(0.8237)	(0.6842)
8	(30,30,30)	0.9609	0.9934	0.9955	0.9920	0.9942	0.9089	277.01
		(0.7804)	(1.0601)	(1.1047)	(1.0204)	(1.0607)	(0.8020)
	(50,50,50)	0.9559	0.9945	0.9956	0.9936	0.9944	0.9172	270.93
		(0.5865)	(0.8093)	(0.8280)	(0.7887)	(0.8061)	(0.6173)
	(100,100,100)	0.9559	0.9947	0.9955	0.9936	0.9948	0.9303	347.70
		(0.4065)	(0.5652)	(0.5717)	(0.5561)	(0.5623)	(0.4445)
	(30,50,100)	0.9588	0.9924	0.9932	0.9905	0.9910	0.9082	207.91
		(0.6049)	(0.8187)	(0.8332)	(0.8046)	(0.8181)	(0.6339)
9	(30,30,30)	0.8701	0.9589	0.9666	0.9557	0.9655	0.9268	230.70
		(0.3935)	(0.5351)	(0.5624)	(0.5266)	(0.5531)	(0.5321)
	(50,50,50)	0.8590	0.9562	0.9637	0.9534	0.9604	0.9314	306.28
		(0.2979)	(0.4088)	(0.4213)	(0.4040)	(0.4161)	(0.4205)
	(100,100,100)	0.8590	0.9556	0.9591	0.9535	0.9576	0.9456	257.02
		(0.2070)	(0.2858)	(0.2901)	(0.2832)	(0.2874)	(0.3046)
	(30,50,100)	0.8585	0.9493	0.9552	0.9573	0.9524	0.9261	263.90
		(0.3057)	(0.4104)	(0.4228)	(0.4074)	(0.4196)	(0.4235)
10	(30,30,30)	0.8792	0.9627	0.9712	0.9624	0.9707	0.9164	205.61
		(0.3906)	(0.5338)	(0.5607)	(0.5253)	(0.5514)	(0.5066)
	(50,50,50)	0.8777	0.9652	0.9716	0.9632	0.9690	0.9306	239.42
		(0.2951)	(0.4068)	(0.4192)	(0.4020)	(0.4141)	(0.3979)
	(100,100,100)	0.8672	0.9630	0.9656	0.9602	0.9653	0.9409	348.64
		(0.2056)	(0.2847)	(0.2892)	(0.2821)	(0.2865)	(0.2894)
	(30,50,100)	0.8762	0.9602	0.9635	0.9575	0.9612	0.9234	308.76
		(0.3024)	(0.4086)	(0.4205)	(0.4056)	(0.4173)	(0.4017)
11	(30,30,30)	0.8946	0.9718	0.9778	0.9703	0.9768	0.9126	209.98
		(0.3865)	(0.5305)	(0.5570)	(0.5221)	(0.5477)	(0.4789)
	(50,50,50)	0.8875	0.9710	0.9750	0.9700	0.9740	0.9276	299.44
		(0.2938)	(0.4064)	(0.4186)	(0.4016)	(0.4136)	(0.3796)
	(100,100,100)	0.8815	0.9698	0.9728	0.9681	0.9706	0.9354	283.05
		(0.2041)	(0.2839)	(0.2881)	(0.2813)	(0.2855)	(0.2756)
	(30,50,100)	0.8916	0.9683	0.9706	0.9666	0.9687	0.9222	285.78
		(0.3000)	(0.4069)	(0.4186)	(0.4039)	(0.4155)	(0.3833)
12	(30,30,30)	0.9056	0.9750	0.9816	0.9747	0.9802	0.9129	214.65
		(0.3847)	(0.5293)	(0.5560)	(0.5209)	(0.5467)	(0.4609)
	(50,50,50)	0.9020	0.9777	0.9818	0.9763	0.9809	0.9264	281.94
		(0.2917)	(0.4045)	(0.4166)	(0.3997)	(0.4116)	(0.3636)
	(100,100,100)	0.8956	0.9736	0.9751	0.9722	0.9728	0.9303	286.10
		(0.2030)	(0.2829)	(0.2872)	(0.2804)	(0.2846)	(0.2639)
	(30,50,100)	0.8984	0.9750	0.9758	0.9727	0.9748	0.9186	302.18
		(0.2977)	(0.4051)	(0.4166)	(0.4021)	(0.4136)	(0.3660)

注：粗体表示性能最佳的方法。

表4。95%同时CI的覆盖概率和预期长度

λ_{我 我} (k个 = 6)

.

表4。95%同时CI的覆盖概率和预期长度

λ_{我 我} (k个 = 6)

.

设置	$({n个}_{1}, {n个}_{2}, {n个}_{三}, {n个}_{4}, {n个}_{5}, {n个}_{6})$	覆盖概率（预期长度）						时间（s）
设置		基准GCI	Baye公司。杰夫	贝耶。Uni公司	HPD公司。杰夫	HPD公司。Uni公司	运动	时间（s）
1	(30,30,30,30,30,30)	0.9183	0.9606	0.9754	0.9581	0.9712	0.9380	457.73
		(1.6233)	(1.9504)	(2.2040)	(1.7896)	(1.9867)	(2.1529)
	(50,50,50,50,50,50)	0.8991	0.9604	0.9681	0.9577	0.9644	0.9419	497.40
		(1.0906)	(1.4020)	(1.4737)	(1.3268)	(1.3888)	(1.5002)
	(100,100,100,100,100,100)	0.8904	0.9633	0.9664	0.9609	0.9642	0.9511	432.44
		(0.7105)	(0.9404)	(0.9588)	(0.9115)	(0.9285)	(1.0127)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9100	0.9616	0.9713	0.9630	0.9702	0.9391	543.09
		(1.2243)	(1.4732)	(1.5988)	(1.3935)	(1.4851)	(1.6181)
2	(30,30,30,30,30,30)	0.9392	0.9770	0.9861	0.9748	0.9824	0.9288	493.07
		(1.4757)	(1.8416)	(2.0410)	(1.6993)	(1.8576)	(1.7567)
	(50,50,50,50,50,50)	0.9270	0.9787	0.9830	0.9758	0.9802	0.9292	485.92
		(1.0121)	(1.3392)	(1.3966)	(1.2713)	(1.3214)	(1.2424)
	(100,100,100,100,100,100)	0.9231	0.9813	0.9824	0.9792	0.9812	0.9421	471.38
		(0.6708)	(0.9089)	(0.9247)	(0.8821)	(0.8967)	(0.8537)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9362	0.9800	0.9852	0.9795	0.9830	0.9311	545.98
		(1.1152)	(1.3976)	(1.4871)	(1.3305)	(1.3977)	(1.3345)
三	(30,30,30,30,30,30)	0.9557	0.9877	0.9922	0.9843	0.9890	0.9177	433.06
		(1.3864)	(1.7734)	(1.9379)	(1.6413)	(1.7738)	(1.5065)
	(50,50,50,50,50,50)	0.9483	0.9895	0.9915	0.9866	0.9893	0.9242	534.74
		(0.9687)	(1.3043)	(1.3540)	(1.2399)	(1.2834)	(1.0823)
	(100,100,100,100,100,100)	0.9436	0.9897	0.9909	0.9873	0.9886	0.9323	549.42
		(0.6498)	(0.8920)	(0.9063)	(0.8662)	(0.8795)	(0.7505)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9503	0.9880	0.9907	0.9862	0.9882	0.9171	419.67
		(1.0499)	(1.3507)	(1.4200)	(1.2905)	(1.3436)	(1.1514)
4	(30,30,30,30,30,30)	0.9694	0.9938	0.9961	0.9911	0.9940	0.9104	480.74
		(1.3289)	(1.7301)	(1.8733)	(1.6042	(1.7203)	(1.3388)
	(50,50,50,50,50,50)	0.9634	0.9939	0.9953	0.9926	0.9940	0.9162	427.10
		(0.9445)	(1.2864)	(1.3321)	(1.2239)	(1.2640)	(0.9716)
	(100,100,100,100,100,100)	0.9622	0.9954	0.9959	0.9941	0.9948	0.9257	522.90
		(0.6384)	(0.8833)	(0.8966)	(0.8580)	(0.8704)	(0.6790)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9664	0.9938	0.9953	0.9924	0.9932	0.9090	494.16
		(1.0107)	(1.3246)	(1.3814)	(1.2683)	(1.3124)	(1.0272)
5	(30,30,30,30,30,30)	0.9084	0.9709	0.9770	0.9672	0.9747	0.9253	561.27
		(0.8430)	(1.1089)	(1.1648)	(1.0653)	(1.1155)	(1.0647)
	(50,50,50,50,50,50)	0.9056	0.9742	0.9778	0.9721	0.9756	0.9374	540.49
		(0.6213)	(0.8367)	(0.8585)	(0.8146)	(0.8350)	(0.8103)
	(100,100,100,100,100,100)	0.9016	0.9744	0.97587	0.9726	0.9738	0.9472	426.37
		(0.4256)	(0.5800)	(0.5870)	(0.5704)	(0.5771)	(0.5747)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9100	0.9729	0.9762	0.9706	0.9732	0.9309	572.72
		(0.6443)	(0.8466)	(0.8680)	(0.8283)	(0.8475)	(0.8255)
6	(30,30,30,30,30,30)	0.9326	0.9826	0.9866	0.9801	0.9842	0.9223	485.01
		(0.8131)	(1.0861)	(1.1363)	(1.0442)	(1.0897)	(0.9503)
	(50,50,50,50,50,50)	0.9270	0.9841	0.9865	0.9823	0.9843	0.9322	539.26
		(0.6044)	(0.8232)	(0.8434)	(0.8017)	(0.8208)	(0.7279)
	(100,100,100,100,100,100)	0.9236	0.9854	0.9863	0.9838	0.9848	0.9387	430.47
		(0.4170)	(0.5740)	(0.5805)	(0.5647)	(0.5708)	(0.5198)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9291	0.9831	0.9850	0.9812	0.9822	0.9244	584.41
		(0.6263)	(0.8348)	(0.8537)	(0.8177)	(0.8349)	(0.7451)
7	(30,30,30,30,30,30)	0.9466	0.9890	0.9918	0.9871	0.9899	0.9145	441.96
		(0.7945)	(1.0719)	(1.1189)	(1.0312)	(1.0738)	(0.8652)
	(50,50,50,50,50,50)	0.9451	0.9902	0.9917	0.9890	0.9904	0.9261	474.42
		(0.5938)	(0.8150)	(0.8344)	(0.7941)	(0.8121)	(0.6662)
	(100,100,100,100,100,100)	0.9412	0.9900	0.9904	0.9884	0.9892	0.9346	493.57
		(0.4106)	(0.5684)	(0.5747)	(0.5592)	(0.5652)	(0.4772)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9454	0.9900	0.9914	0.9889	0.9895	0.9200	452.55
		(0.6122)	(0.8242)	(0.8413)	(0.8078)	(0.8234)	(0.6809)
8	(30,30,30,30,30,30)	0.9569	0.9931	0.9950	0.9912	0.9929	0.9126	445.08
		(0.7807)	(1.0609)	(1.1057)	(1.0211)	(1.0617)	(0.7992)
	(50,50,50,50,50,50)	0.9569	0.9941	0.9951	0.9929	0.9938	0.9191	538.73
		(0.5865)	(0.8093)	(0.8282)	(0.7887)	(0.8063)	(0.6195)
	(100,100,100,100,100,100)	0.9535	0.9937	0.9943	0.9926	0.9933	0.9271	430.94
		(0.4073)	(0.5661)	(0.5725)	(0.5570)	(0.5632)	(0.4445)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9563	0.9921	0.9933	0.9907	0.9910	0.9100	620.11
		(0.6021)	(0.8171)	(0.8324)	(0.8012)	(0.8152)	(0.6300)
9	(30,30,30,30,30,30)	0.8660	0.9564	0.9662	0.9549	0.9645	0.9241	496.95
		(0.3942)	(0.5361)	(0.5632)	(0.5275)	(0.5538)	(0.5322)
	(50,50,50,50,50,50)	0.8614	0.9558	0.9623	0.9547	0.9602	0.9346	461.39
		(0.2976)	(0.4088)	(0.4213)	(0.4039)	(0.4161)	(0.4195)
	(100,100,100,100,100,100)	0.8516	0.9523	0.9558	0.9502	0.9533	0.9414	445.27
		(0.2069)	(0.2856)	(0.2901)	(0.2830)	(0.2874)	(0.3047)
	(30,30,50,50,100,100)	0.8630	0.9540	0.9584	0.9515	0.9564	0.9311	514.16
		(0.3045)	(0.4108)	(0.4229)	(0.4073)	(0.4193)	(0.4222)
10	(30,30,30,30,30,30)	0.8786	0.9638	0.9724	0.9615	0.9702	0.9171	552.72
		(0.3903)	(0.5333)	(0.5600)	(0.5249)	(0.5506)	(0.5045)
	(50,50,50,50,50,50)	0.8754	0.9642	0.9695	0.9623	0.9676	0.9305	560.22
		(0.2953)	(0.4071)	(0.4195)	(0.4022)	(0.4144)	(0.3983)
	(100,100,100,100,100,100)	0.8695	0.9628	0.9651	0.9610	0.9638	0.9393	414.03
		(0.2052)	(0.2843)	(0.2887)	(0.2817)	(0.2860)	(0.2889)
	(30,30,50,50,100,100)	0.8758	0.9623	0.9652	0.9609	0.9634	0.9253	480.58
		(0.3011)	(0.4083)	(0.4203)	(0.4048)	(0.4167)	(0.4000)
11	(30,30,30,30,30,30)	0.8926	0.9716	0.9784	0.9690	0.9767	0.9183	504.72
		(0.3868)	(0.5306)	(0.5569)	(0.5222)	(0.5476)	(0.4806)
	(50,50,50,50,50,50)	0.8893	0.9724	0.9774	0.9706	0.9747	0.9276	514.94
		(0.2928)	(0.4051)	(0.4173)	(0.4003)	(0.4123)	(0.3797)
	(100,100,100,100,100,100)	0.8824	0.9682	0.9706	0.9666	0.9692	0.9378	427.04
		(0.2042)	(0.2837)	(0.2881)	(0.2811)	(0.2855)	(0.2761)
	(30,30,50,50,100,100)	0.8913	0.9697	0.9727	0.9679	0.9705	0.9232	460.11
		(0.2989)	(0.4068)	(0.4189)	(0.4034)	(0.4152)	(0.3817)
12	(30,30,30,30,30,30)	0.9023	0.9770	0.9824	0.9750	0.9810	0.9137	482.03
		(0.3843)	(0.5289)	(0.5553)	(0.5206)	(0.5460)	(0.4600)
	(50,50,50,50,50,50)	0.8995	0.9769	0.9804	0.9751	0.9790	0.9240	453.36
		(0.2914)	(0.4042)	(0.4164)	(0.3994)	(0.4114)	(0.3633)
	(100,100,100,100,100,100)	0.8965	0.9769	0.9797	0.9759	0.9777	0.9323	423.01
		(0.2031)	(0.2829)	(0.2873)	(0.2803)	(0.2847)	(0.2646)
	(30,30,50,50,100,100)	0.9015	0.9750	0.9770	0.9737	0.9754	0.9178	521.84
		(0.2970)	(0.4056)	(0.4175)	(0.4022)	(0.4139)	(0.3659)

注：粗体表示性能最佳的方法。

表5。泰国各地区2021年9月的日降雨量数据。

地区	日降雨量（mm）
1号机组	0.2	6.5	14.5	0	0	79	0	5	44.5	40
	20	3.6	4.2	16	47.7	26.7	10.1	3	0	4.1
	20.2	27.8	0	13	63.5	50	25	0	7.3	2.4
R2级	22.5	2	0	0	0	0	15.5	22.5	55	2.6
	0.3	9.6	12	9.7	3.2	0	21.2	10.3	14.2	23.4
	34.6	10.5	0	0.8	2	2.6	0.5	69.4	36.8	20.5
R3级	14.4	0.5	22.5	4.6	20.5	2	0	0	24.2	24.4
	0.4	12	8.5	1.9	10	2.5	0	0	16.4	0
	23.4	11.5	8.1	76.2	30.3	22.9	2	1.8	13	0
R4级	1.3	10.2	4.2	40.5	4.9	4	43.4	20.3	16.2	5.6
	0	0	4.5	7.4	9.1	0.6	0	0.2	8.3	15.7
	0	5.6	4.3	22.4	39.1	0	0	8.2	12.1	0
R5级	28.1	11.5	4.2	3.4	0	3.4	4.3	0.2	0	2.9
	10.7	0	1.3	0	9.1	15.9	0	0.8	5.2	15.1
	32.1	3.9	8.9	2.6	15.1	18.1	4	0	1	0
R6级	2.5	5.5	31.5	29.5	0	2	2.5	0	6	1
	1.5	0	6	0	35.5	21	2.5	0.5	19	42
	23	34	11.5	0.5	110.5	39	0	0	0	0

表6。AIC结果用于检查正日降雨量数据的分布。

分发	AIC值
分发	1号机组	R2级	R3级	R4级	R5级	R6级
正常	218.2205	208.7326	204.8500	185.1858	167.2802	206.9620
对数正态分布	205.5462	190.3452	181.1234	169.9121	152.2575	176.9593
柯西	221.9773	208.2171	201.1505	179.0343	167.1753	201.9837
伽马射线	200.9070	186.5715	179.1330	166.2781	149.8757	175.7948
物流	217.8841	206.0280	198.2298	183.1289	165.8773	201.3254
t吨	219.9017	206.4851	197.5618	180.6719	167.3370	200.8800
方形	365.4868	319.1705	280.2808	230.0381	182.1760	356.7011

表7。泰国六个地区的参数估计。

地区	${n个}_{我}$	${\hat{δ}}_{我 (1)}$	${\hat{α}}_{我}$	${\hat{β}}_{我}$	${\hat{μ}}_{我}$	${\hat{σ}}_{我}^{2}$	${\hat{λ}}_{我}$
1号机组	30	0.80	6.04	2.41	2.50	0.91	18.02
R2级	30	0.80	5.03	2.25	2.22	0.87	13.56
R3级	30	0.80	5.50	2.60	2.11	0.76	11.46
R4级	30	0.77	6.61	3.18	2.07	0.58	9.66
R5级	30	0.77	7.02	3.80	1.84	0.45	6.77
R6级	30	0.73	4.24	1.88	2.24	1.17	14.18

表8。2021年9月泰国六个地区日降雨量数据集平均值的比率，标称95%的同时CI。

表8。泰国六个地区2021年9月的日降雨量数据集平均值与标称95%同时CI的比值。

比较	基准GCI			贝耶。杰夫			贝耶。Uni公司			HPD公司。杰夫			HPD公司。Uni公司			运动
比较	下部	上部	长度	下部	上部	长度	下部	上部	长度	下部	上部	长度	下部	上部	长度	下部	上部	长度
R1/R2级	0.9040	1.8757	0.9718	0.8589	1.9924	1.1335	0.8372	2.0129	1.1757	0.8026	1.8847	1.0820	0.8106	1.9693	1.1587	0.6092	2.5053	1.8961
R1/R3级	1.1166	2.2003	1.0837	1.0109	2.3655	1.3546	1.0037	2.3999	1.3963	0.9668	2.2466	1.2798	0.9789	2.3602	1.3813	0.7461	3.0199	2.2738
R1/R4级	1.3216	2.6334	1.3118	1.2689	2.6918	1.4230	1.2289	2.8345	1.6056	1.2299	2.6360	1.4060	1.1582	2.7093	1.5511	0.9295	3.5430	2.6135
R1/R5级	1.9145	3.7167	1.8023	1.7490	3.8849	2.1358	1.7541	3.9409	2.1868	1.6744	3.7701	2.0957	1.6406	3.7805	2.1399	1.3383	5.0636	3.7253
R1/R6级	0.8360	1.8253	0.9893	0.8090	1.9430	1.1340	0.7563	1.9498	1.1935	0.7698	1.8613	1.0916	0.7111	1.8740	1.1629	0.5473	2.5754	2.0281
R2/R3型	0.8228	1.7424	0.9197	0.7836	1.7664	0.9827	0.7537	1.8064	1.0526	0.7794	1.7516	0.9722	0.7201	1.7555	1.0354	0.5805	2.5399	1.9594
R2/R4版本	0.9701	2.0173	1.0472	0.9323	2.0646	1.1323	0.9242	2.1853	1.2611	0.8857	1.9811	1.0954	0.8886	2.0863	1.1977	0.7249	2.9842	2.2593
R2/R5	1.4119	2.8559	1.4440	1.3331	2.9510	1.6179	1.2885	3.0643	1.7758	1.2804	2.8237	1.5434	1.2557	2.9678	1.7120	1.0441	4.2642	3.2201
R2/R6	0.6226	1.4222	0.7995	0.5916	1.4862	0.8947	0.5656	1.4844	0.9189	0.5789	1.4478	0.8690	0.5512	1.4502	0.8990	0.4243	2.1507	1.7264
R3/R4级	0.8275	1.6981	0.8706	0.8017	1.7538	0.9521	0.7839	1.7946	1.0107	0.7799	1.7116	0.9317	0.7612	1.7558	0.9946	0.6018	2.4342	1.8324
R3/R5级	1.1965	2.3640	1.1675	1.1355	2.4876	1.3521	1.1235	2.5914	1.4678	1.0843	2.4185	1.3342	1.0611	2.4607	1.3996	0.8666	3.4784	2.6118
R3/R6级	0.5256	1.1701	0.6444	0.5015	1.2602	0.7587	0.4809	1.2962	0.8153	0.4598	1.1947	0.7349	0.4363	1.2085	0.7723	0.3533	1.7585	1.4051
R4/R5级	1.0225	2.0077	0.9852	0.9767	2.0685	1.0919	0.9266	2.1553	1.2288	0.9451	2.0213	1.0762	0.9048	2.0736	1.1688	0.7385	2.7872	2.0488
R4/R6	0.4439	0.9873	0.5434	0.4303	1.0594	0.6291	0.3974	1.0325	0.6351	0.3871	0.9932	0.6061	0.3793	1.0057	0.6265	0.3005	1.4145	1.1140
R5/R6级	0.3160	0.6915	0.3755	0.3034	0.7365	0.4331	0.2867	0.7564	0.4697	0.2906	0.7127	0.4221	0.2752	0.7307	0.4555	0.2103	0.9829	0.7726

出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

Kaewprasert，T.等人。；南澳州奈维蓬市。；南卡罗来纳州奈维蓬市。零膨胀伽马分布均值比值的同时置信区间及其应用。数学 2022,10, 4724.https://doi.org/10.3390/math10244724

AMA风格

Kaewprasert T、Niwitpong S-A、Niwippong S。零膨胀伽马分布均值比值的同时置信区间及其应用。数学. 2022; 10(24):4724.https://doi.org/10.3390/math10244724

芝加哥/图拉宾风格

Kaewprasert、Theerapong、Sa Aat Niwitpong和Suparat Niwitpong。2022.“零膨胀伽马分布均值比值的同时置信区间及其应用”数学10，24号：4724。https://doi.org/10.3390/math10244724

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

文章菜单

零膨胀伽马分布均值比值的同时置信区间及其应用

摘要

1.简介

2.材料和方法

2.1. 基准GCI方法

2.2. 贝叶斯方法

2.2.1. 杰弗里斯规则优先

2.2.2. 统一优先权

2.3. 方差估计恢复方法（MOVER）

3.模拟研究

4.结果

4.1. 模拟研究

4.2. 同步CI方法在泰国降雨量数据中的实证应用

5.讨论

6.结论

作者贡献

基金

机构审查委员会声明

知情同意书

数据可用性声明

致谢

利益冲突

缩写

工具书类

分享和引用

文章指标

文章访问统计

更多信息

指导方针

MDPI倡议

遵循MDPI

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