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数学
第10卷
第11期
10.3390/天10111823
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第条

具有非局部积分和依赖低阶分数导数和积分的多点边界条件的耦合高阶分数阶积分微分方程解的存在性

通过
Muthaiah Subramanian语
1,†,
杰哈德·阿尔扎布特
2,3,†,
穆罕默德·阿巴斯
4,†,
Chattai Thaiprayoon公司
5,6,*,†和
Weerawat Sudsutad公司
7,†
1
印度哥印拜陀KPR工程技术学院数学系641407
2
沙特阿拉伯利雅得苏丹王子大学数学与科学系，邮编：11586
三
土耳其安卡拉06374 OST伊姆技术大学工业工程系
4
埃及亚历山大21511亚历山大大学科学院数学和计算机科学系
5
泰国春武里Burapha大学科学院数学系应用科学理论与计算研究小组，20131
6
泰国曼谷Sri Ayutthaya路CHE数学卓越中心10400
7
泰国曼谷拉姆汉大学科学院统计系，邮编：10240
*
信件应寄给的作者。
†
这些作者为这项工作做出了同等贡献。
数学 2022,10(11), 1823;https://doi.org/10.3390/math10111823
收到的提交文件：2022年4月15日/修订日期：2022年5月12日/接受日期：2022年5月20日/发布日期：2022年5月25日
（本文属于特刊分数阶系统的稳定性、周期性及相关问题)
版本注释

摘要

:
在本文中，我们研究了Liouville–Caputo型分数积分微分方程非线性耦合系统解的存在性和唯一性，该系统补充了非局部离散和积分边界条件。非线性依赖于未知函数及其分数阶导数和低阶积分。利用Leray–Schauder的替代性得到了存在性的结果，而唯一性的结果是基于Banach压缩映射的概念。在本文中，我们引入了多点变参数积分边界条件和经典积分边界条件的统一概念。通过实例，很好地证明了主要结果。
关键词：
耦合系统;积分微分方程;卡普托衍生品;多点;积分边界条件;不动点定理
理学硕士：
26A33；34A08；34B15号机组

1.简介

在许多实际问题的数学建模中，分数阶微分方程耦合系统（FDE）的研究得到了极大的关注；例如，混沌系统同步[1,2]，异常扩散[三]，生态模型[4]等。我们参考了一些论文，以了解关于带有FDE的耦合系统的一些最新结果[5,6,7,8,9,10,11,12,13]. 分数阶微积分方法在各种过程和现象的数学建模中的应用非常突出。主要原因是，与整数运算符不同，分数运算符是非局部的，能够跟踪所涉及现象的过去影响；参见[14,15,16,17,18,19]以获取示例和详细信息。一些研究人员已经解决了分数阶边值问题（BVP），并且在最近的文献中可以看到一个显著的趋势；例如，请参见[20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37]以及其中引用的参考文献。一些作者最近开始研究耦合分数BVP。Ahmad等人[38]讨论了具有积分边界条件的下列耦合FDE的可解性：
C类 天 q个 x个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , x个 ( t吨 ) , 年 ( t吨 ) ) , C类 天 对 年 ( t吨 ) = 小时 ( t吨 , x个 ( t吨 ) , 年 ( t吨 ) ) , x个 ′ ( 0 ) = α ∫ 0 ξ x个 ′ ( 秒 ) d日 秒 , x个 ( 1 ) = β ¦Β 0 1 克 ( x个 ′ ( 秒 ) ) d日 秒 , 年 ′ ( 0 ) = α 1 ∫ 0 θ 年 ′ ( 秒 ) d日 秒 , 年 ( 1 ) = β 1 ∫ 0 1 克 ( 年 ′ ( 秒 ) ) d日 秒 , t吨 ∈ [ 0 , 1 ] , 1 < q个 , 对 ≤ 2 , 0 ≤ ξ , θ ≤ 1 ,
哪里 C类 天 q个 , C类 天 对 表示顺序的卡普托分数导数（CFD）q个,对,（f）,小时: [ 0 , 1 ] × R（右） × R（右） → R（右） 给定连续函数，以及 α , β , α 1 , β 1 是实际常数。具有积分和序数分数通量边界条件的FDE
C类 天 α x个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , x个 ( t吨 ) , 年 ( t吨 ) ) , C类 天 β 年 ( t吨 ) = 小时 ( t吨 , x个 ( t吨 ) , 年 ( t吨 ) ) , x个 ( 0 ) + x个 ( 1 ) = 一 ∫ 0 1 x个 ( 秒 ) d日 秒 , x个 ′ ( 0 ) = b条 C类 天 γ x个 ( 1 ) , 年 ( 0 ) + 年 ( 1 ) = 一 1 ∫ 0 1 年 ( 秒 ) d日 秒 , 年 ′ ( 0 ) = b条 1 C类 天 δ 年 ( 1 ) , t吨 ∈ [ 0 , 1 ] , 1 < α , β ≤ 2 , 0 < γ , δ ≤ 1 ,
在中进行了讨论[39]，其中 C类 天 α , C类 天 β , C类 天 γ , C类 天 δ 表示有序的差价合约 α , β , γ , δ ,（f）,小时: [ 0 , 1 ] × R（右） 2 → R（右） 、是给定的连续函数，以及一,b条, 一 1 , b条 1 是实际常数。Ahmad等人在[40]FDE耦合系统的存在性结果：
天 α u个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 , v（v） ( t吨 ) , 天 对 v（v） ( t吨 ) ) , 天 β v（v） ( t吨 ) = 克 ( t吨 , u个 ( t吨 ) , 天 q个 u个 ( t吨 ) ) , u个 ( 0 ) = 0 , u个 ( 1 ) = γ u个 ( η ) , v（v） ( 0 ) = 0 , v（v） ( 1 ) = γ v（v） ( η ) , 0 < t吨 < 1 , 1 < α , β < 2 , 0 < η < 1 ,
哪里 天 α , 天 β , 天 对 , 天 q个 表示Riemann–Liouville分数阶导数 α , β ,对,q个,（f）,克: [ 0 , 1 ] × R（右） 2 → R（右） 给定连续函数，以及 γ 是实际常数。阿加瓦尔等人[41]分析了耦合分数阶系统存在的离散和积分边界条件的结果。在涉及卡普托导数的分数形式的BVP中，Subramanian等人[42]研究了耦合的非局部狭缝条件。
在本文中，我们研究非线性耦合Caputo分数阶积分微分方程解的存在性，
C类 天 ϱ u个 ( τ ) = （f） ( τ , u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) , C类 天 ς 1 v（v） ( τ ) , 我 ξ v（v） ( τ ) ) , τ ∈ [ 0 , T型 ] : = 单位 , C类 天 ς v（v） ( τ ) = 克 ( τ , u个 ( τ ) , C类 天 ϱ 1 u个 ( τ ) , 我 ζ u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) ) , τ ∈ [ 0 , T型 ] : = 单位 ,
辅以非局部积分和多点边界条件，
u个 ( 0 ) = ψ 1 ( v（v） ) , u个 ′ ( 0 ) = ϵ 1 ∫ 0 ν 1 v（v） ′ ( θ ) d日 θ , u个 ” ( 0 ) = 0 , · · · , u个 n个 − 2 ( 0 ) = 0 , u个 ( T型 ) = λ 1 ¦Β 0 δ 1 v（v） ( θ ) d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 v（v） ( ϑ j个 ) , v（v） ( 0 ) = ψ 2 ( u个 ) , v（v） ′ ( 0 ) = ϵ 2 ∫ 0 ν 2 u个 ′ ( θ ) d日 θ , v（v） ” ( 0 ) = 0 , · · · , v（v） n个 − 2 ( 0 ) = 0 , v（v） ( T型 ) = λ 2 ∫ 0 δ 2 u个 ( θ ) d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 u个 ( φ j个 ) ,
哪里 C类 天 ϱ , C类 天 ς , C类 天 ϱ 1 , C类 天 ς 1 是Caputo分数阶导数 n个 − 1 < ϱ , ς < n个 , 0 < ϱ 1 , ς 1 < 1 , 我 ζ , 我 ξ 是Riemann-Liouville分数阶积分吗 ζ , ξ > 0 ,（f）,克: 单位 × R（右） 4 → R（右） , ψ 1 , ψ 2 : C类 ( 单位 , R（右） ) → R（右） 给定连续函数， 0 < ν 1 < ν 2 < δ 1 < δ 2 < ϑ 1 < φ 1 < · · · < ϑ n个 − 2 < φ n个 − 2 < T型 、和 ϵ 我 , λ 我 , μ 我 ( 我 = 1 , 2 ) , ϖ j个 , ω j个 ( j个 = 1 , 2 , ⋯ , k个 − 2 ) 是正实常数。
文章的其余部分已经适当地组装好了。在第2节，我们检索这些概念以供参考，并证明了一个辅助引理，这为解决该问题提供了基础。第3节展示了主要成果，而第4节,第5节和第6节分别提供示例、一些重要观察结果和结束语。

2.前期工作

首先，我们记住了一些基本的分数阶微积分定义。
定义 1
函数下限为零的α阶分数积分 （f） 定义为
我 ϱ （f） ( τ ) = 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 τ （f） ( 秒 ) ( τ − 秒 ) 1 − ϱ d日 秒 , τ > 0 , ϱ > 0 ,
假设右边是[0.∞）上定义的点，其中 Γ ( · ) 是伽马函数，由 Γ ( ϱ ) = ∫ 0 ∞ τ ϱ − 1 e（电子） − τ d日 τ .
定义 2
Riemann–Liouville分数阶导数 ϱ > 0 , n个 − 1 < ϱ < n个 , n个 ∈ N个 定义为
天 0 + ϱ （f） ( τ ) = 1 Γ ( n个 − ϱ ) d日 d日 τ n个 ¦Β 0 τ ( τ − 秒 ) n个 − ϱ − 1 （f） ( 秒 ) d日 秒 , τ > 0 ,
其中函数 （f） 有一个绝对连续的导数 ( n个 − 1 ) .
定义 三。
秩序的卡普托导数 ϱ ∈ [ n个 − 1 , n个 ) 对于函数 （f） : [ 0 , ∞ ) → ( R（右） ) 可以写为
C类 天 0 + ϱ （f） ( τ ) = 天 0 + ϱ （f） ( τ ) − ∑ k个 = 0 n个 − 1 τ k个 k个 ! （f） ( k个 ) ( 0 ) , τ > 0 , n个 − 1 < ϱ < n个 .
注意，Caputo分数阶导数 ϱ ∈ [ n个 − 1 , n个 ) 几乎到处都有 [ 0 , ∞ ) 如果 （f） ∈ 自动控制 n个 ( [ 0 , ∞ ) , ( R（右） ) ) .
备注 1
如果 （f） ∈ C类 n个 [ 0 , ∞ ) , 然后
C类 天 0 + ϱ （f） ^ ( τ ) = 1 Γ ( n个 − ϱ ) ∫ 0 τ （f） ( n个 ) ( 秒 ) ( τ − 秒 ) ϱ + 1 − n个 d日 秒 = 我 n个 − ϱ （f） ( n个 ) ( τ ) , τ > 0 , n个 − 1 < ϱ < n个 .
引理 1
对于任何 （f） ^ , 克 ^ ∈ C类 [ 0 , T型 ] FDE线性系统的解
C类 天 ϱ u个 ( τ ) = （f） ^ ( τ ) , τ ∈ 单位 , C类 天 ς v（v） ( τ ) = 克 ^ ( τ ) , τ ∈ 单位 ,
补充边界条件(2)等价于积分方程组
u个 ( τ ) = 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 τ ( τ − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ + ψ 1 ( v（v） ) [ 1 + κ 1 Λ 4 ( τ ) − Λ 三 ( τ ) ] + ψ 2 ( u个 ) [ κ 2 Λ 三 ( τ ) − Λ 4 ( τ ) ] + Λ 2 ( τ ) ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ¦Β 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 1 ( τ ) ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 4 ( τ ) [ λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ ] + Λ 三 ( τ ) [ λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ ] ,
和
v（v） ( τ ) = 1 Γ ( ς ) ∫ 0 τ ( τ − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ + ψ 2 ( u个 ) [ 1 + κ 2 Λ 7 ( τ ) − Λ 8 ( τ ) ] + ψ 1 ( v（v） ) [ κ 1 Λ 8 ( τ ) − Λ 7 ( τ ) ] + Λ 5 ( τ ) ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 6 ( τ ) ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 7 ( τ ) [ λ 1 Γ ( ς ) ¦Β 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ ] + Λ 8 ( τ ) [ λ 2 Γ ( ϱ ) ¦Β 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ ] ,
哪里
ξ 1 = λ 1 δ 1 2 2 + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 , ξ 2 = λ 1 δ 1 n个 n个 + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 n个 − 1 , ξ 三 = λ 2 δ 2 2 2 + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 φ j个 , ξ 4 = λ 2 δ 2 n个 n个 + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 φ j个 n个 − 1 ,
γ ^ 1 = 1 − ν 1 ν 2 ϵ 1 ϵ 2 , γ ^ 2 = T型 2 − ξ 1 ξ 三 , γ ^ 三 = T型 n个 − ξ 1 ξ 4 , γ ^ 4 = T型 n个 − 1 ξ 三 − ξ 4 T型 , γ ^ 5 = ξ 1 T型 n个 − 1 − T型 ξ 2 , γ ^ 6 = T型 n个 − ξ 2 ξ 三 ,
υ 1 = γ ^ 2 ν 1 ν 2 n个 − 1 ϵ 1 ϵ 2 + γ ^ 1 γ ^ 三 , υ 2 = γ ^ 2 ν 2 n个 − 1 ϵ 2 + γ ^ 1 γ ^ 4 , υ 三 = γ ^ 2 ν 1 n个 − 1 ϵ 1 + γ ^ 1 γ ^ 5 , υ 4 = γ ^ 2 ν 1 n个 − 1 ν 2 ϵ 1 ϵ 2 + γ ^ 1 γ ^ 6 , υ = υ 2 υ 三 − υ 1 υ 4 ≠ 0 ,
η 1 = 1 + ( ν 1 ν 2 n个 − 1 ϵ 2 β 1 − ν 1 n个 − 1 β 5 ) ϵ 1 υ , η 2 = ϵ 1 ν 1 + ( ν 1 ν 2 n个 − 1 ϵ 2 β 2 − ν 1 n个 − 1 β 6 ) ϵ 1 υ , η 三 = ( ν 1 ν 2 n个 − 1 ϵ 2 β 三 − ν 1 n个 − 1 β 7 ) ϵ 1 υ , η 4 = ( ν 1 ν 2 n个 − 1 ϵ 2 β 4 − ν 1 n个 − 1 β 8 ) ϵ 1 υ , η 5 = ϵ 2 ν 2 + ( ν 2 n个 − 1 β 1 − ϵ 1 ν 1 n个 − 1 ν 2 β 5 ) ϵ 2 υ , η 6 = 1 + ( ν 2 n个 − 1 β 2 − ϵ 1 ν 1 n个 − 1 ν 2 β 6 ) ϵ 2 υ , η 7 = ( ν 2 n个 − 1 β 三 − ϵ 1 ν 1 n个 − 1 ν 2 β 7 ) ϵ 2 υ , η 8 = ( ν 2 n个 − 1 β 4 − ϵ 1 ν 1 n个 − 1 β 8 ν 2 ) ϵ 2 υ ,
β 1 = γ ^ 2 ( υ 4 − υ 三 ϵ 2 ν 2 ) , β 2 = ( υ 4 ϵ 1 ν 1 − υ 三 ) γ ^ 2 , β 三 = ( υ 三 ξ 三 − υ 4 T型 ) γ ^ 1 , β 4 = γ ^ 1 ( υ 三 T型 − υ 4 ξ 1 ) , β 5 = ( υ 2 − υ 1 ϵ 2 ν 2 ) γ ^ 2 , β 6 = ( υ 2 ϵ 1 ν 1 − υ 1 ) γ ^ 2 , β 7 = ( υ 1 ξ 三 − υ 2 T型 ) γ ^ 1 , β 8 = γ ^ 1 ( υ 1 T型 − υ 2 ξ 1 ) ,
κ 1 = λ 2 δ 2 + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 , κ 2 = λ 1 δ 1 + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ,
Λ 1 ( τ ) = τ η 1 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 1 υ , Λ 2 ( τ ) = τ η 2 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 2 υ , Λ 三 ( τ ) = τ η 三 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 三 υ , Λ 4 ( τ ) = τ η 4 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 4 υ , Λ 5 ( τ ) = τ η 5 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 5 υ , Λ 6 ( τ ) = τ η 6 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 6 υ , Λ 7 ( τ ) = τ η 7 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 7 υ , Λ 8 ( τ ) = τ η 8 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 8 υ .
证明。 
求解FDE(6)按照标准方式，我们得到
年 ( τ ) = ∫ 0 τ ( τ − θ ) ϱ − 1 Γ ( ϱ ) （f） ^ ( θ ) d日 θ + 一 0 + 一 1 τ + · · · + 一 n个 − 1 τ n个 − 1 ,
z（z） ( τ ) = ∫ 0 τ ( τ − θ ) ς − 1 Γ ( ς ) 克 ^ ( θ ) d日 θ + b条 0 + b条 1 τ + · · · + b条 n个 − 1 τ n个 − 1 ,
哪里 一 我 , b条 我 ∈ R（右） , 我 = 0 , 1 , 2 , · · · , n个 − 1 ，是任意常数。使用边界条件(2)英寸(16)和(17)连同符号(9)–(15)，我们获得 一 0 = ϕ 1 ( z（z） ) , b条 0 = ϕ 2 ( 年 ) 、和
一 1 − b条 1 ϵ 1 ν 1 − b条 n个 − 1 ϵ 1 ν 1 n个 − 1 = ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ ,
b条 1 − 一 1 ν 2 ϵ 2 − 一 n个 − 1 ϵ 2 ν 2 n个 − 1 = ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ ,
一 1 T型 + 一 n个 − 1 T型 n个 − 1 − b条 1 ξ 1 − b条 n个 − 1 ξ 2 = λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ¦Β 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ + κ 2 ϕ 2 ( 年 ) − ϕ 1 ( z（z） ) ,
b条 1 T型 + b条 n个 − 1 T型 n个 − 1 − 一 1 ξ 三 − 一 n个 − 1 ξ 4 = λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ + κ 1 ϕ 1 ( z（z） ) − ϕ 2 ( 年 ) .
解决系统问题(18)–(21)对于 一 1 , 一 n个 − 1 , b条 1 和 b条 n个 − 1 ，我们得到
一 1 = 1 γ ^ 1 [ η 1 ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ¦Β 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + η 2 ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + η 三 ( λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ + κ 2 ϕ 2 ( 年 ) − ϕ 1 ( z（z） ) ) + η 4 ( λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ + κ 1 ϕ 1 ( z（z） ) − ϕ 2 ( 年 ) ) ] , b条 1 = 1 γ ^ 1 [ η 5 ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + η 6 ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ¦Β 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + η 7 ( λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ + κ 2 ϕ 2 ( 年 ) − ϕ 1 ( z（z） ) ) + η 8 ( λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ + κ 1 ϕ 1 ( z（z） ) − ϕ 2 ( 年 ) ) ] , 一 n个 − 1 = 1 υ [ β 1 ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + β 2 ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + β 三 ( λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ + κ 2 ϕ 2 ( 年 ) − ϕ 1 ( z（z） ) ) + β 4 ( λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ + κ 1 ϕ 1 ( z（z） ) − ϕ 2 ( 年 ) ) ] , b条 n个 − 1 = − 1 υ [ β 5 ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + β 6 ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ¦Β 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + β 7 ( λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 克 ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ¦Β 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ + κ 2 ϕ 2 ( 年 ) − ϕ 1 ( z（z） ) ) + β 8 ( λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 （f） ^ ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 （f） ^ ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 克 ^ ( θ ) d日 θ + κ 1 ϕ 1 ( z（z） ) − ϕ 2 ( 年 ) ) ] ,
哪里 γ ^ 1 , υ, η 我 和 β 我 我 = 1 , 2 , · · · , 8 ，由给出(10)–(13)分别是。替换的值 一 0 , 一 1 , 一 n个 − 1 , b条 0 , b条 1 和 b条 n个 − 1 ，英寸(16)和(17)，我们得到了解(7)和(8). □

3.存在性和唯一性结果

我们定义空间 G公司 = { u个 | u个 ∈ C类 ( 单位 , R（右） ) , C类 天 ϱ 1 u个 ∈ C类 ( 单位 , R（右） ) } 配备标准 ∥ u个 ∥ G公司 = ∥ u个 ∥ + ∥ C类 天 ϱ 1 u个 ∥ = 支持 τ ∈ 单位 | u个 ( τ ) | + 支持 τ ∈ 单位 | C类 天 ϱ 1 u个 ( τ ) | 此外， H（H） = { v（v） | v（v） ∈ C类 ( 单位 , R（右） ) , C类 天 ς 1 v（v） ∈ C类 ( 单位 , R（右） ) } 配备标准 ∥ v（v） ∥ H（H） = ∥ v（v） ∥ + ∥ C类 天 ς 1 v（v） ∥ = 支持 τ ∈ 单位 | v（v） ( τ ) | + 支持 τ ∈ 单位 | C类 天 ς 1 v（v） ( τ ) | 。显然 ( G公司 , ∥ · ∥ G公司 ) 和 ( H（H） , ∥ · ∥ H（H） ) 是Banach空间，因此是产品空间 ( G公司 × H（H） , ∥ · ∥ G公司 × H（H） ) 是具有范数的Banach空间 ∥ ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 × H（H） = ∥ u个 ∥ G公司 + ∥ v（v） ∥ H（H） 对于 ( u个 , v（v） ) ∈ G公司 × H（H） .
利用引理1，我们考虑一个算子 Π : G公司 × H（H） → G公司 × H（H） 作为
Π ( u个 , v（v） ) ( τ ) = ( Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) , Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) ) ,
哪里
Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) = 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 τ ( τ − θ ) ϱ − 1 S公司 ^ u个 ( θ ) d日 θ + ψ 1 ( v（v） ) [ 1 + κ 1 Λ 4 ( τ ) − Λ 三 ( τ ) ] + ψ 2 ( u个 ) [ κ 2 Λ 三 ( τ ) − Λ 4 ( τ ) ] + Λ 2 ( τ ) ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 S公司 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 1 ( τ ) ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 S公司 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 4 ( τ ) [ λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 S公司 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 S公司 ^ u个 ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 S公司 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ ] + Λ 三 ( τ ) [ λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 S公司 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 S公司 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 S公司 ^ u个 ( θ ) d日 θ ] ,
和
Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) = 1 Γ ( ς ) ∫ 0 τ ( τ − θ ) ς − 1 S公司 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ + ψ 2 ( u个 ) [ 1 + κ 2 Λ 7 ( τ ) − Λ 8 ( τ ) ] + ψ 1 ( v（v） ) [ κ 1 Λ 8 ( τ ) − Λ 7 ( τ ) ] + Λ 5 ( τ ) ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ¦Β 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 S公司 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 6 ( τ ) ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 S公司 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 7 ( τ ) [ λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 S公司 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 S公司 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 S公司 ^ u个 ( θ ) d日 θ ] + Λ 8 ( τ ) [ λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 S公司 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 S公司 ^ u个 ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 S公司 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ ] .
哪里
S公司 ^ u个 ( τ ) = （f） ( τ , u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) , C类 天 ς 1 v（v） ( τ ) , 我 ξ v（v） ( τ ) ) , τ ∈ 单位 , S公司 ˜ v（v） ( τ ) = 克 ( τ , u个 ( τ ) , C类 天 ϱ 1 u个 ( τ ) , 我 ζ u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) ) , τ ∈ 单位 ,
和 Λ 我 ( 我 = 1 , 2 , · · · , 8 ) 由给定(15). 适合计算，我们表示
Δ 1 = 1 Γ ( ϱ + 1 ) T型 ϱ ( 1 + Λ ¯ 三 ) + Λ ¯ 2 ϵ 2 ν 2 ϱ + Λ ¯ 4 λ 2 δ 2 ϱ + 1 ( ϱ + 1 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 φ j个 ϱ ,
Δ 2 = 1 Γ ( ς + 1 ) T型 ς Λ ¯ 4 + Λ ¯ 1 ϵ 1 ν 1 ς + Λ ¯ 三 λ 1 δ 1 ς + 1 ( ς + 1 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς ,
Δ 三 = 1 Γ ( ϱ + 1 ) T型 ϱ Λ ¯ 7 + Λ ¯ 6 ϵ 2 ν 2 ϱ + Λ ¯ 8 λ 2 δ 2 ϱ + 1 ( ϱ + 1 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 φ j个 ϱ ,
Δ 4 = 1 Γ ( ς + 1 ) T型 ς ( 1 + Λ ¯ 8 ) + Λ ¯ 5 ϵ 1 ν 1 ς + Λ ¯ 7 λ 1 δ 1 ς + 1 ( ς + 1 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς ,
Δ ^ 1 = 1 Γ ( ϱ + 1 ) ϱ T型 ϱ − 1 + Λ ¯ 三 ′ T型 ϱ + Λ ¯ 2 ′ ϵ 2 ν 2 ϱ + Λ ¯ 4 ′ λ 2 δ 2 ϱ + 1 ( ϱ + 1 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 φ j个 ϱ ,
Δ ^ 2 = 1 Γ ( ς + 1 ) T型 ς Λ ¯ 4 ′ + Λ ¯ 1 ′ ϵ 1 ν 1 ς + Λ ¯ 三 ′ λ 1 δ 1 ς + 1 ( ς + 1 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς ,
Δ ^ 三 = 1 Γ ( ϱ + 1 ) T型 ϱ Λ ¯ 7 ′ + Λ ¯ 6 ′ ϵ 2 ν 2 ϱ + Λ ¯ 8 ′ λ 2 δ 2 ϱ + 1 ( ϱ + 1 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 φ j个 ϱ ,
Δ ^ 4 = 1 Γ ( ς + 1 ) ς T型 ς − 1 + Λ ¯ 8 ′ T型 ς + Λ ¯ 5 ′ ϵ 1 ν 1 ς + Λ ¯ 7 ′ λ 1 δ 1 ς + 1 ( ς + 1 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς ,
Φ 1 = Δ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Δ ^ 1 + Δ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Δ ^ 三 第页 0 + Δ 2 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Δ ^ 2 + Δ 4 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Δ ^ 4 秒 0 ,
Φ 2 = Δ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Δ ^ 1 + Δ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Δ ^ 三 第页 1 + Δ 2 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Δ ^ 2 + Δ 4 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Δ ^ 4 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) + κ 2 Λ ¯ 三 + Λ ¯ 4 + T型 1 − ϱ 1 ( κ 2 Λ ¯ 三 ′ + Λ ¯ 4 ′ ) Γ ( 2 − ϱ 1 ) + 1 + κ 2 Λ ¯ 7 + Λ ¯ 8 + T型 1 − ς 1 ( κ 2 Λ ¯ 7 ′ + Λ ¯ 8 ′ ) Γ ( 2 − ς 1 ) W公司 2 ,
Φ 三 = Δ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Δ ^ 1 + Δ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Δ ^ 三 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) + Δ 2 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Δ ^ 2 + Δ 4 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Δ ^ 4 秒 4 + 1 + κ 1 Λ ¯ 4 + Λ ¯ 三 + T型 1 − ϱ 1 ( κ 1 Λ ¯ 4 ′ + Λ ¯ 三 ′ ) Γ ( 2 − ϱ 1 ) + κ 1 Λ ¯ 8 + Λ ¯ 7 + T型 1 − ς 1 ( κ 1 Λ ¯ 8 ′ + Λ ¯ 7 ′ ) Γ ( 2 − ς 1 ) W公司 1 ,
Ψ 1 = Δ 1 ι 1 V（V） 1 + Δ 2 ι 2 V（V） 2 + ( 1 + κ 1 Λ ¯ 4 + Λ ¯ 三 ) V（V） 1 + ( κ 2 Λ ¯ 三 + Λ ¯ 4 ) V（V） 2 ,
Ψ 2 = Δ ^ 1 ι 1 V（V） 1 + Δ ^ 2 ι 2 V（V） 2 + ( κ 1 Λ ¯ 4 ′ + Λ ¯ 三 ′ ) V（V） 1 + ( κ 2 Λ ¯ 三 ′ + Λ ¯ 4 ′ ) V（V） 2 ,
Ψ 三 = Δ 4 ι 2 V（V） 2 + Δ 三 ι 1 V（V） 1 + ( 1 + κ 2 Λ ¯ 7 + Λ ¯ 8 ) V（V） 2 + ( κ 1 Λ ¯ 8 + Λ ¯ 7 ) V（V） 1 ,
Ψ 4 = Δ ^ 4 ι 2 V（V） 2 + Δ ^ 三 ι 1 V（V） 1 + ( κ 2 Λ ¯ 7 ′ + Λ ¯ 8 ′ ) V（V） 2 + ( κ 1 Λ ¯ 8 ′ + Λ ¯ 7 ′ ) V（V） 1 ,
P（P） 1 = Δ 1 T型 1 + Δ 2 T型 2 , P（P） 2 = Δ ^ 1 T型 1 + Δ ^ 2 T型 2 , P（P） 三 = Δ 4 T型 2 + Δ 三 T型 1 , P（P） 4 = Δ ^ 4 T型 2 + Δ ^ 三 T型 1 ,
P（P） ¯ = P（P） 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) P（P） 2 , P（P） ^ = P（P） 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) P（P） 4 ,
Ψ = Ψ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Ψ 2 , Ψ ^ = Ψ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Ψ 4 T型 1 = 支持 τ ∈ 单位 （f） ( τ , 0 , 0 , 0 , 0 ) < ∞ , T型 2 = 支持 τ ∈ 单位 克 ( τ , 0 , 0 , 0 , 0 ) < ∞ ,
ι 1 = 1 + T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) , ι 2 = 1 + T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ,
哪里 Λ ¯ 我 = 最大值 τ ∈ H（H） | Λ 我 ( τ ) | 和 Λ ¯ 我 ′ = 最大值 τ ∈ H（H） | Λ 我 ′ ( τ ) | 我 = 1 , 2 , · · · , 8 。在即将进行的分析中，我们需要以下假设：（f）, 克 : 单位 × R（右） 4 → R（右） 和 ψ 1 , ψ 2 : C类 ( 单位 , R（右） ) → R（右） 是连续函数 ψ 1 ( 0 ) = ψ 2 ( 0 ) = 0 .
( F类 1 )
存在正常数 第页 我 和 秒 我 ≥ 0 , 第页 0 > 0 , 秒 0 > 0 , ∀ w个 我 ∈ R（右） , 我 = 1 , 2 , 三 , 4 .
| （f） ( τ , w个 1 , w个 2 , w个 三 , w个 4 ) | ≤ 第页 0 + 第页 1 | w个 1 | + 第页 2 | w个 2 | + 第页 三 | w个 三 | + 第页 4 | w个 4 | , | 克 ( τ , w个 1 , w个 2 , w个 三 , w个 4 ) | ≤ 秒 0 + 秒 1 | w个 1 | + 秒 2 | w个 2 | + 秒 三 | w个 三 | + 秒 4 | w个 4 | .
( F类 2 )
存在正常数 W公司 1 , W公司 2 > 0 ,
| ψ 1 ( v（v） ) | ≤ W公司 1 ∥ v（v） ∥ , | ψ 2 ( u个 ) | ≤ W公司 2 ∥ u个 ∥ , ∀ u个 , v（v） ∈ C类 ( 单位 , R（右） ) .
( F类 三 )
存在正常数 V（V） 我 , 我 = 1 , 2 , ∀ τ ∈ 单位 和 第页 我 , 秒 我 ∈ R（右） ( 我 = 1 , 2 , 三 , 4 ) ，我们有
| （f） ( τ , 第页 1 , 第页 2 , 第页 三 , 第页 4 ) − （f） ( τ , 秒 1 , 秒 2 , 秒 三 , 秒 4 ) | ≤ V（V） 1 | 第页 1 − 秒 1 | + | 第页 2 − 秒 2 | + | 第页 三 − 秒 三 | + | 第页 4 − 秒 4 | , | 克 ( τ , 第页 1 , 第页 2 , 第页 三 , 第页 4 ) − 克 ( τ , 秒 1 , 秒 2 , 秒 三 , 秒 4 ) | ≤ V（V） 2 | 第页 1 − 秒 1 | + | 第页 2 − 秒 2 | + | 第页 三 − 秒 三 | + | 第页 4 − 秒 4 | .
( F类 4 )
存在正常数 V（V） 我 ( 我 = 1 , 2 ) 这样的话
| ψ 1 ( 第页 1 ) − ψ 1 ( 第页 2 ) | ≤ V（V） 1 ∥ 第页 1 − 第页 2 ∥ , | ψ 2 ( 第页 1 ) − ψ 2 ( 第页 2 ) | ≤ V（V） 2 ∥ 第页 1 − 第页 2 ∥ ,
∀ 第页 1 , 第页 2 ∈ R（右） .
定理 1
假设 ( F类 1 ) 和 ( F类 2 ) 保持。此外，如果 Φ ^ = 最小值 { Φ 2 , Φ 三 } < 1 ，然后是问题(1)和(2)上至少有一个解决方案 单位 .
证明。 
在第一步中，我们展示了该运算符 Π : G公司 × H（H） → G公司 × H（H） 是完全连续的。操作员 Π 是连续的（f）,克, ψ 1 , ψ 2 功能。让 Ω ⊂ G公司 × H（H） 有界。那么，∃正常数 我 （f） 和 我 克 这样的话
| S公司 ^ u个 ( τ ) | = | （f） ( τ , u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) , C类 天 ς 1 v（v） ( τ ) , 我 ξ v（v） ( τ ) ) | ≤ 我 （f） | S公司 ˜ v（v） ( τ ) | = | 克 ( τ , u个 ( τ ) , C类 天 ϱ 1 u个 ( τ ) , 我 ζ u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) ) | ≤ 我 克 ,
∀ ( u个 , v（v） ) ∈ Ω 、和常量 我 ψ 1 , 我 ψ 2 > 0 这样的话 | ψ 1 ( v（v） ) | ≤ 我 ψ 1 , | ψ 2 ( u个 ) | ≤ 我 ψ 2 , ∀ u个 , v（v） ∈ C类 ( 单位 , R（右） ) 那么，对于任何 ( u个 , v（v） ) ∈ Ω ，我们有
| Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 τ ( τ − θ ) ϱ − 1 | S公司 ^ u个 ( θ ) | d日 θ + | ψ 1 ( v（v） ) | [ 1 + κ 1 | Λ 4 ( τ ) | + | Λ 三 ( τ ) | ] + | ψ 2 ( u个 ) | [ κ 2 | Λ 三 ( τ ) | + | Λ 4 ( τ ) | ] + | Λ 2 ( τ ) | ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 | S公司 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + | Λ 1 ( τ ) | ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 | S公司 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + | Λ 4 ( τ ) | [ λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ 2 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 | S公司 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 φ j个 ( φ j个 − θ ) ϱ − 1 | S公司 ^ u个 ( θ ) | d日 θ + 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 | S公司 ˜ v（v） ( θ ) | d日 θ ] + | Λ 三 ( τ ) | [ λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ 1 ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 | S公司 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 | S公司 ˜ v（v） ( θ ) | d日 θ + 1 Γ ( ϱ ) ¦Β 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 | S公司 ^ u个 ( θ ) | d日 θ ] ≤ Δ 1 我 （f） + Δ 2 我 克 + [ 1 + κ 1 Λ 4 ¯ + Λ 三 ¯ ] 我 ψ 1 + [ κ 2 Λ 三 ¯ + Λ 4 ¯ ] 我 ψ 2 .
同样，我们得到 | Π 1 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ Δ ^ 1 我 （f） + Δ ^ 2 我 克 + [ κ 1 Λ ¯ 4 ′ + Λ ¯ 三 ′ ] 我 ψ 1 + [ κ 2 Λ ¯ 三 ′ + Λ ¯ 4 ′ ] 我 ψ 2 ，这意味着 | C类 天 ϱ 1 Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) ( Δ ^ 1 我 （f） + Δ ^ 2 我 克 + [ κ 1 Λ ¯ 4 ′ + Λ ¯ 三 ′ ] 我 ψ 1 + [ κ 2 Λ ¯ 三 ′ + Λ ¯ 4 ′ ] 我 ψ 2 ) 因此，我们有
∥ Π 1 ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 ≤ Δ 1 我 （f） + Δ 2 我 克 + [ 1 + κ 1 Λ 4 ¯ + Λ 三 ¯ ] 我 ψ 1 + [ κ 2 Λ 三 ¯ + Λ 4 ¯ ] 我 ψ 2 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) ( Δ ^ 1 我 （f） + Δ ^ 2 我 克 + [ κ 1 Λ ¯ 4 ′ + Λ ¯ 三 ′ ] 我 ψ 1 + [ κ 2 Λ ¯ 三 ′ + Λ ¯ 4 ′ ] 我 ψ 2 ) .
我们得出， | Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ Δ 4 我 克 + Δ 三 我 （f） + [ 1 + κ 2 Λ ¯ 7 + Λ ¯ 8 ] 我 ψ 2 + [ κ 1 Λ ¯ 8 + Λ ¯ 7 ] 我 ψ 1 、和 | Π 2 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ Δ ^ 4 我 克 + Δ ^ 三 我 （f） + [ κ 2 Λ ¯ 7 ′ + Λ ¯ 8 ′ ] 我 ψ 2 + [ κ 1 Λ ¯ 8 ′ + Λ ¯ 7 ′ ] 我 ψ 1 ，这意味着 | C类 天 ς 1 Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) ( Δ ^ 4 我 克 + Δ ^ 三 我 （f） + [ κ 2 Λ ¯ 7 ′ + Λ ¯ 8 ′ ] 我 ψ 2 + [ κ 1 Λ ¯ 8 ′ + Λ ¯ 7 ′ ] 我 ψ 1 ) 因此，我们有
∥ Π 2 ( u个 , v（v） ) ∥ H（H） ≤ Δ 4 我 克 + Δ 三 我 （f） + [ 1 + κ 2 Λ ¯ 7 + Λ ¯ 8 ] 我 ψ 2 + [ κ 1 Λ ¯ 8 + Λ ¯ 7 ] 我 ψ 1 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) ( Δ ^ 4 我 克 + Δ ^ 三 我 （f） + [ κ 2 Λ ¯ 7 ′ + Λ ¯ 8 ′ ] 我 ψ 2 + [ κ 1 Λ ¯ 8 ′ + Λ ¯ 7 ′ ] 我 ψ 1 ) .
因此， Π 被一致限定为(44)和(45). 操作员 Π 必须显示为等连续。
对于 τ 1 , τ 2 ∈ 单位 具有 τ 1 < τ 2 ，我们有
| Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) | ≤ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) [ ( τ 2 − τ 1 ) ϱ + ( τ 2 ϱ − τ 1 ϱ ) ] + | ψ 1 ( v（v） ) | κ 1 ( | Λ 4 ( τ 2 ) − Λ 4 ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 三 ( τ 2 ) − Λ 三 ( τ 1 ) | ) + | ψ 2 ( u个 ) | κ 2 ( | Λ 三 ( τ 2 ) − Λ 三 ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 4 ( τ 2 ) − Λ 4 ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 2 ( τ 2 ) − Λ 2 ( τ 1 ) | ) ϵ 2 ν 2 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 1 ( τ 2 ) − Λ 1 ( τ 1 ) | ) ϵ 1 ν 1 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 4 ( τ 2 ) − Λ 4 ( τ 1 ) | ) λ 2 δ 2 ϱ + 1 我 （f） Γ ( ϱ + 2 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ( φ j个 ) ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + T型 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( Λ 三 ( τ 2 ) − Λ 三 ( τ 1 ) ) λ 1 δ 1 ς + 1 我 克 Γ ( ς + 2 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + T型 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) ,
和
| Π 1 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − Π 1 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) | ≤ ∫ 0 τ 1 [ ( τ 2 − θ ) ϱ − 2 − ( τ 1 − θ ) ϱ − 2 ] Γ ( ϱ − 1 ) × （f） ( θ , u个 ( θ ) , v（v） ( θ ) , C类 天 ς 1 v（v） ( θ ) , 我 ξ v（v） ( θ ) ) d日 θ + ∫ τ 1 τ 2 ( τ 2 − θ ) ϱ − 2 Γ ( ϱ − 1 ) （f） ( θ , u个 ( θ ) , v（v） ( θ ) , C类 天 ς 1 v（v） ( θ ) , 我 ξ v（v） ( θ ) ) d日 θ + | ψ 1 ( v（v） ) | κ 1 ( | Λ 4 ′ ( τ 2 ) − Λ 4 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 三 ′ ( τ 2 ) − Λ 三 ′ ( τ 1 ) | ) + | ψ 2 ( u个 ) | κ 2 ( | Λ 三 ′ ( τ 2 ) − Λ 三 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 4 ′ ( τ 2 ) − Λ 4 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 2 ′ ( τ 2 ) − Λ 2 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 2 ν 2 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 1 ′ ( τ 2 ) − Λ 1 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 1 ν 1 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 4 ′ ( τ 2 ) − Λ 4 ′ ( τ 1 ) | ) λ 2 δ 2 ϱ + 1 我 （f） Γ ( ϱ + 2 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ( φ j个 ) ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + T型 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 三 ′ ( τ 2 ) − Λ 三 ′ ( τ 1 ) | ) λ 1 δ 1 ς + 1 我 克 Γ ( ς + 2 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + T型 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) .
因此，我们有
| C类 天 ϱ 1 Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − C类 天 ϱ 1 Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) | ≤ T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) { 我 （f） Γ ( ϱ ) [ ( τ 2 − τ 1 ) ϱ − 1 + ( τ 2 ϱ − 1 − τ 1 ϱ − 1 ) ] + | ψ 1 ( v（v） ) | κ 1 ( | Λ 4 ′ ( τ 2 ) − Λ 4 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 三 ′ ( τ 2 ) − Λ 三 ′ ( τ 1 ) | ) + | ψ 2 ( u个 ) | κ 2 ( | Λ 三 ′ ( τ 2 ) − Λ 三 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 4 ′ ( τ 2 ) − Λ 4 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 2 ′ ( τ 2 ) − Λ 2 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 2 ν 2 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 1 ′ ( τ 2 ) − Λ 1 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 1 ν 1 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 4 ′ ( τ 2 ) − Λ 4 ′ ( τ 1 ) | ) λ 2 δ 2 ϱ + 1 我 （f） Γ ( ϱ + 2 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ( φ j个 ) ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + T型 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 三 ′ ( τ 2 ) − Λ 三 ′ ( τ 1 ) | ) λ 1 δ 1 ς + 1 我 克 Γ ( ς + 2 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + T型 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) } .
因此，我们得到 ∥ Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) ∥ G公司 → 0 独立于u个和v（v）作为 τ 2 → τ 1 .根据上述，我们得到
| Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) | ≤ 我 克 Γ ( ς + 1 ) [ ( τ 2 − τ 1 ) ς + ( τ 2 ς − τ 1 ς ) ] + | ψ 2 ( u个 ) | κ 2 ( | Λ 7 ( τ 2 ) − Λ 7 ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 8 ( τ 2 ) − Λ 8 ( τ 1 ) | ) + | ψ 1 ( v（v） ) | κ 1 ( | Λ 8 ( τ 2 ) − Λ 8 ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 7 ( τ 2 ) − Λ 7 ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 5 ( τ 2 ) − Λ 5 ( τ 1 ) | ) ϵ 1 ν 1 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 6 ( τ 2 ) − Λ 6 ( τ 1 ) | ) ϵ 2 ν 2 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 7 ( τ 2 ) − Λ 7 ( τ 1 ) | ) λ 1 δ 1 ς + 1 我 克 Γ ( ς + 2 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + T型 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 8 ( τ 2 ) − Λ 8 ( τ 1 ) | ) λ 2 δ 2 ϱ + 1 我 （f） Γ ( ϱ + 2 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ( φ j个 ) ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + T型 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) ,
和
| Π 2 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − Π 2 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) | ≤ ∫ 0 τ 1 [ ( τ 2 − θ ) ς − 2 − ( τ 1 − θ ) ς − 2 ] Γ ( ς − 1 ) × 克 ( θ , u个 ( θ ) , C类 天 ϱ 1 u个 ( θ ) , 我 ζ u个 ( θ ) , v（v） ( θ ) ) d日 θ + ∫ τ 1 τ 2 ( τ 2 − θ ) ς − 2 Γ ( ς − 1 ) 克 ( θ , u个 ( θ ) , C类 天 ϱ 1 u个 ( θ ) , 我 ζ u个 ( θ ) , v（v） ( θ ) ) d日 θ + | ψ 2 ( u个 ) | κ 2 ( | Λ 7 ′ ( τ 2 ) − Λ 7 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 8 ′ ( τ 2 ) − Λ 8 ′ ( τ 1 ) | ) + | ψ 1 ( v（v） ) | κ 1 ( | Λ 8 ′ ( τ 2 ) − Λ 8 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 7 ′ ( τ 2 ) − Λ 7 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 5 ′ ( τ 2 ) − Λ 5 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 1 ν 1 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 6 ′ ( τ 2 ) − Λ 6 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 2 ν 2 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 7 ′ ( τ 2 ) − Λ 7 ′ ( τ 1 ) | ) λ 1 δ 1 ς + 1 我 克 Γ ( ς + 2 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + T型 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 8 ′ ( τ 2 ) − Λ 8 ′ ( τ 1 ) | ) λ 2 δ 2 ϱ + 1 我 （f） Γ ( ϱ + 2 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ( φ j个 ) ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + T型 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) .
因此，我们
| C类 天 ς 1 Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − C类 天 ς 1 Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) | ≤ T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) { 我 克 Γ ( ς + 1 ) [ ( τ 2 − τ 1 ) ς + ( τ 2 ς − τ 1 ς ) ] + | ψ 2 ( u个 ) | κ 2 ( | Λ 7 ′ ( τ 2 ) − Λ 7 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 8 ′ ( τ 2 ) − Λ 8 ′ ( τ 1 ) | ) + | ψ 1 ( v（v） ) | κ 1 ( | Λ 8 ′ ( τ 2 ) − Λ 8 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 7 ′ ( τ 2 ) − Λ 7 ′ ( τ 1 ) | ) + ( | Λ 5 ′ ( τ 2 ) − Λ 5 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 1 ν 1 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + ( | Λ 6 ′ ( τ 2 ) − Λ 6 ′ ( τ 1 ) | ) ϵ 2 ν 2 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 7 ′ ( τ 2 ) − Λ 7 ′ ( τ 1 ) | ) λ 1 δ 1 ς + 1 我 克 Γ ( ς + 2 ) + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) + T型 ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + ( | Λ 8 ′ ( τ 2 ) − Λ 8 ′ ( τ 1 ) | ) λ 2 δ 2 ϱ + 1 我 （f） Γ ( ϱ + 2 ) + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ( φ j个 ) ϱ 我 （f） Γ ( ϱ + 1 ) + T型 ς 我 克 Γ ( ς + 1 ) } ,
也就是说 ∥ Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ 2 ) − Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ 1 ) ∥ H（H） → 0 独立于u个和v（v）作为 τ 2 → τ 1 因此，操作员 Π ( u个 , v（v） ) 是等连续的，因此通过引理它是完全连续的（参见引理1.2[15]). 接下来，我们演示该集合 Φ = { ( u个 , v（v） ) ∈ G公司 × H（H） | ( u个 , v（v） ) = η Π ( u个 , v（v） ) , 0 < η < 1 } 有界。让 ( u个 , v（v） ) ∈ Φ ; 然后， ( u个 , v（v） ) = η Π ( u个 , v（v） ) ，对于任何 τ ∈ 单位 ，我们有 u个 ( τ ) = η Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) , v（v） ( τ ) = η Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) 因此，
| u个 ( τ ) | G公司 ≤ Δ 1 第页 0 + 第页 1 ∥ u个 ∥ G公司 + 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) ∥ v（v） ∥ H（H） + Δ 2 秒 0 + 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ∥ u个 ∥ G公司 + 秒 4 ∥ v（v） ∥ H（H） + 1 + κ 1 | Λ ¯ 4 | + | Λ ¯ 三 | W公司 1 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 2 | Λ ¯ 三 | + | Λ ¯ 4 | W公司 2 ∥ u个 ∥ G公司 ,
| u个 ′ ( τ ) | ≤ Δ ^ 1 第页 0 + 第页 1 ∥ u个 ∥ G公司 + 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) ∥ v（v） ∥ H（H） + Δ ^ 2 秒 0 + 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ∥ u个 ∥ G公司 + 秒 4 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 1 | Λ ¯ 4 ′ | + | Λ ¯ 三 ′ | W公司 1 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 2 | Λ ¯ 三 ′ | + | Λ ¯ 4 ′ | W公司 2 ∥ u个 ∥ G公司 ,
| C类 天 ϱ 1 u个 ( τ ) | ≤ T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) { Δ ^ 1 第页 0 + 第页 1 ∥ u个 ∥ G公司 + 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) ∥ v（v） ∥ H（H） + Δ ^ 2 秒 0 + 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ∥ u个 ∥ G公司 + 秒 4 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 1 | Λ ¯ 4 ′ | + | Λ ¯ 三 ′ | W公司 1 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 2 | Λ ¯ 三 ′ | + | Λ ¯ 4 ′ | W公司 2 ∥ u个 ∥ G公司 } .
因此，我们有
∥ u个 ∥ ≤ Δ 1 第页 0 + 第页 1 ∥ u个 ∥ G公司 + 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) ∥ v（v） ∥ H（H） + Δ 2 秒 0 + 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ∥ u个 ∥ G公司 + 秒 4 ∥ v（v） ∥ H（H） + 1 + κ 1 | Λ ¯ 4 | + | Λ ¯ 三 | W公司 1 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 2 | Λ ¯ 三 | + | Λ ¯ 4 | W公司 2 ∥ u个 ∥ G公司 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) { Δ ^ 1 第页 0 + 第页 1 ∥ u个 ∥ G公司 + 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) ∥ v（v） ∥ H（H） + Δ ^ 2 秒 0 + 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ∥ u个 ∥ G公司 + 秒 4 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 1 | Λ ¯ 4 ′ | + | Λ ¯ 三 ′ | W公司 1 ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 2 | Λ ¯ 三 ′ | + | Λ ¯ 4 ′ | W公司 2 ∥ u个 ∥ G公司 } .
根据以上内容，我们得到
∥ v（v） ∥ ≤ Δ 4 秒 0 + 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ∥ u个 ∥ G公司 + 秒 4 ∥ v（v） ∥ H（H） + Δ 三 第页 0 + 第页 1 ∥ u个 ∥ G公司 + 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) ∥ v（v） ∥ H（H） + 1 + κ 2 | Λ ¯ 7 | + | Λ ¯ 8 | W公司 2 ∥ u个 ∥ G公司 + κ 1 | Λ ¯ 8 | + | Λ ¯ 7 | W公司 1 ∥ v（v） ∥ H（H） + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) { Δ ^ 4 秒 0 + 最大值 { 秒 1 , 秒 2 } + 秒 三 T型 ζ Γ ( ζ + 1 ) ∥ u个 ∥ G公司 + 秒 4 ∥ v（v） ∥ H（H） + Δ ^ 三 第页 0 + 第页 1 ∥ u个 ∥ G公司 + 最大值 { 第页 2 , 第页 三 } + 第页 4 T型 ξ Γ ( ξ + 1 ) ∥ v（v） ∥ H（H） + κ 2 | Λ ¯ 7 ′ | + | Λ ¯ 8 ′ | W公司 2 ∥ u个 ∥ G公司 + κ 1 | Λ ¯ 8 ′ | + | Λ ¯ 7 ′ | W公司 1 ∥ v（v） ∥ H（H） } .
结合符号使用上述不等式(46)和(47)，我们得出以下结果。 ∥ u个 ∥ + ∥ v（v） ∥ ≤ Φ 1 + 最小值 { Φ 2 , Φ 三 } ∥ ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 × H（H） ，这导致 ∥ ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 × H（H） ≤ Φ 1 1 − 最小值 { Φ 2 , Φ 三 } 由此得出结论： 最小值 { Φ 2 , Φ 三 } 有界。因此，操作员 Π 通过定理至少有一个固定点（参见定理1.9[15])，这意味着系统(1)–(2)至少有一个解决方案 单位 . □
定理 2
假设 ( F类 三 ) 和 ( F类 4 ) 持有。此外，如果
Ψ + Ψ ^ < 1 ,
哪里 Ψ , Ψ ^ 由定义(42)，然后打开 单位 这些问题有一个独特的解决方案(1)和(2).
证明。 
让我们解决这个问题 ε ^ ≥ 最大值 P（P） ¯ + P（P） ^ 1 − ( Ψ + Ψ ^ ) ，其中 Ψ , Ψ ^ 和 P（P） ¯ , P（P） ^ 分别由下式给出(41)和(42)，并显示 Π B ε ^ ⊂ B ε ^ ，其中操作员 Π 由提供(22)和 B ε ^ = { ( u个 , v（v） ) ∈ G公司 × H（H） : ∥ ( u个 , v（v） ) ∥ ≤ ε ^ } 。对于 ( u个 , v（v） ) ∈ B ε ^ , τ ∈ H（H） ，我们有
| S公司 ^ u个 ( τ ) | = | （f） ( τ , u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) , C类 天 ς 1 v（v） ( τ ) , 我 ξ v（v） ( τ ) ) | ≤ V（V） 1 ι 1 ∥ ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 × H（H） + T型 1 ≤ V（V） 1 ι 1 ε ^ + T型 1 , | S公司 ˜ v（v） ( τ ) | = | 克 ( τ , u个 ( τ ) , C类 天 ϱ 1 u个 ( τ ) , 我 ζ u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) ) | ≤ V（V） 2 ι 2 ∥ ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 × H（H） + T型 2 ≤ V（V） 2 ι 2 ε ^ + T型 2 , | ψ 1 ( v（v） ) | ≤ V（V） 1 ε ^ , | ψ 2 ( u个 ) | ≤ V（V） 2 ε ^ ,
这导致
| Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ Ψ 1 ε ^ + P（P） 1 ,
哪里 Ψ 1 和 P（P） 1 由提供(36)和(40). 根据上述注释，我们得到
| Π 1 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ Ψ 2 ε ^ + P（P） 2 ,
也就是说
| C类 天 ϱ 1 Π 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Ψ 2 ε ^ + P（P） 2 .
因此，我们得到
∥ Π 1 ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 ≤ Ψ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Ψ 2 ε ^ + P（P） 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) P（P） 2 .
类似地，我们得到
| Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ Ψ 三 ε ^ + P（P） 三 ,
哪里 Ψ 三 和 P（P） 三 由提供(38)和(40). 根据上述注释，我们得到
| Π 2 ′ ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ Ψ 4 ε ^ + P（P） 4 ,
也就是说
| C类 天 ς 1 Π 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) | ≤ T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Ψ 4 ε ^ + P（P） 4 .
因此，我们有
∥ Π 2 ( u个 , v（v） ) ∥ H（H） ≤ Ψ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Ψ 4 ε ^ + P（P） 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) P（P） 4 .
所以(49)和(50)跟随 ∥ Π ( u个 , v（v） ) ∥ G公司 × H（H） ≤ ε ^ 因此， Π B ε ^ ⊂ B ε ^ .
现在，为了 ( u个 1 , v（v） 1 ) , ( u个 2 , v（v） 2 ) ∈ G公司 × H（H） 以及任何 τ ∈ 单位 ，我们有
| Π 1 ( u个 1 , v（v） 1 ) ( τ ) − Π 1 ( u个 2 , v（v） 2 ) ( τ ) | ≤ Ψ 1 ( ∥ u个 1 − u个 2 ∥ G公司 + ∥ v（v） 1 − v（v） 2 ∥ H（H） ) .
接下来，我们发现
| Π 1 ′ ( u个 1 , v（v） 1 ) ( τ ) − Π 1 ′ ( u个 2 , v（v） 2 ) ( τ ) | ≤ Ψ 2 ( ∥ u个 1 − u个 2 ∥ G公司 + ∥ v（v） 1 − v（v） 2 ∥ H（H） ) .
因此，我们有
| C类 天 ϱ 1 Π 1 ( u个 1 , v（v） 1 ) ( τ ) − C类 天 ϱ 1 Π 1 ( u个 2 , v（v） 2 ) ( τ ) | ≤ T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Ψ 2 ( ∥ u个 1 − u个 2 ∥ G公司 + ∥ v（v） 1 − v（v） 2 ∥ H（H） ) ,
因此，我们得到
∥ Π 1 ( u个 1 , v（v） 1 ) − Π 1 ( u个 2 , v（v） 2 ) ∥ G公司 ≤ Ψ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Ψ 2 ( ∥ u个 1 − u个 2 ∥ G公司 + ∥ v（v） 1 − v（v） 2 ∥ H（H） ) .
同样，我们有
∥ Π 2 ( u个 1 , v（v） 1 ) − Π 2 ( u个 2 , v（v） 2 ) ∥ H（H） ≤ Ψ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Ψ 4 ( ∥ u个 1 − u个 2 ∥ G公司 + ∥ v（v） 1 − v（v） 2 ∥ H（H） ) .
所以(51)和(52)跟随
∥ Π ( u个 1 , v（v） 1 ) − Π ( u个 2 , v（v） 2 ) ∥ G公司 × H（H） ≤ Ψ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Ψ 2 + Ψ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Ψ 4 ( ∥ u个 1 − u个 2 ∥ G公司 + ∥ v（v） 1 − v（v） 2 ∥ H（H） ) .
因此，鉴于这种情况(48)，操作员 Π 是一种收缩。因此，根据定理（见定理1.2.2[14])、系统(1)和(2)上有一个独特的解决方案 单位 . □

4.示例

例子 1
考虑以下给出的Caputo型FIDE系统
C类 天 68 25 u个 ( τ ) = （f） ( τ , u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) , C类 天 44 25 v（v） ( τ ) , 我 46 25 v（v） ( τ ) ) , C类 天 62 25 v（v） ( τ ) = 克 ( τ , u个 ( τ ) , C类 天 73 50 u个 ( τ ) , 我 39 25 u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) ) ,
根据边界条件
u个 ( 0 ) = ψ 1 ( v（v） ) , u个 ′ ( 0 ) = ϵ 1 ∫ 0 ν 1 v（v） ′ ( θ ) d日 θ , u个 ( T型 ) = λ 1 ∫ 0 δ 1 v（v） ( θ ) d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 v（v） ( ϑ j个 ) , v（v） ( 0 ) = ψ 2 ( u个 ) , v（v） ′ ( 0 ) = ϵ 2 ∫ 0 ν 2 u个 ′ ( θ ) d日 θ , v（v） ( T型 ) = λ 2 ∫ 0 δ 2 u个 ( θ ) d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 u个 ( φ j个 ) .
在这里， ϱ = 68 25 , ς = 62 25 , ϱ 1 = 73 50 , ς 1 = 44 25 , ξ = 46 25 , ζ = 39 25 , T型 = 1 , δ 1 = 1 8 , δ 2 = 37 200 , ϑ 1 = 37 250 , ϑ 2 = 79 500 , ϑ 三 = 47 250 , ϑ 4 = 11 50 , φ 1 = 113 500 , φ 2 = 59 250 , φ 三 = 6 25 , φ 4 = 49 200 , ϖ 1 = 1 160 , ϖ 2 = 58 625 , ϖ 三 = 29 400 , ϖ 4 = 21 250 , ω 1 = 17 200 , ω 2 = 12 125 , ω 三 = 19 250 , ω 4 = 7 125 , λ 1 = 1 80 , λ 2 = 7 200 , μ 1 = 9 400 , μ 2 = 23 500 , ϵ 1 = 11 400 , ϵ 2 = 19 500 , ν 1 = 53 200 , ν 2 = 133 500 .我们考虑功能，
| （f） ( τ , u个 1 , u个 2 , u个 三 , u个 4 ) | ≤ 1 20 ( τ 2 + 1 ) + 1 70 ( 2 + τ ) 2 2 u个 2 + | u个 1 | 1 + | u个 1 | + 罪 u个 三 700 + 阿卡坦 u个 4 140 ( 三 + τ ) , | 克 ( τ , u个 1 , u个 2 , u个 三 , u个 4 ) | ≤ 1 ( τ 4 + 1 ) 2 + 1 150 ( 1 + τ 2 ) u个 2 三 + 三 u个 1 + 科斯 u个 三 800 + | u个 4 | 400 ( 1 + | u个 4 | ) , | ψ 1 ( v（v） ) | ≤ 1 110 ∥ v（v） ∥ , | ψ 2 ( u个 ) | ≤ 1 600 ∥ u个 ∥ .
很明显
| （f） ( τ , u个 1 , u个 2 , u个 三 , u个 4 ) | ≤ 1 20 + 1 140 | u个 1 | + 1 70 | u个 2 | + 1 700 | u个 三 | + 1 420 | u个 4 | , | 克 ( τ , u个 1 , u个 2 , u个 三 , u个 4 ) | ≤ 1 2 + 1 50 | u个 1 | + 1 450 | u个 2 | + 1 800 | u个 三 | + 1 400 | u个 4 | , | ψ 1 ( v（v） ) | ≤ 1 110 ∥ v（v） ∥ , | ψ 2 ( u个 ) | ≤ 1 600 ∥ u个 ∥ .
根据给定的数据，我们发现 第页 0 = 1 20 , 第页 1 = 1 140 , 第页 2 = 1 70 , 第页 三 = 1 700 , 第页 4 = 1 420 , 秒 0 = 1 2 , 秒 1 = 1 50 , 秒 2 = 1 450 , 秒 三 = 1 800 , 秒 4 = 1 400 , Δ 1 = 0.46845200402823617 , Δ 2 = 0.0007227881649342847 , Δ 三 = 0.0011251030301272463 , Δ 4 = 0.6151822290610394 , Δ ^ 1 = 0.8713184743902467 , Δ ^ 2 = 0.0014641295646385377 , Δ ^ 三 = 0.00186307333192 , Δ ^ 4 = 1.0704190784503973 ，我们发现 Φ ^ = 米 我 n个 { Φ 1 , Φ 2 } < 1 因此，定理1的假设成立，问题(53)和(54)上至少有一个解决方案 [ 0 , 1 ] .
例子 2
我们考虑功能
| （f） ( τ , u个 1 , u个 2 , u个 三 , u个 4 ) | ≤ 1 9 τ 2 + 64 三 τ + 1 + 科斯 ( u个 1 + u个 2 ) + | u个 三 | | u个 三 | + 1 + 阿卡坦 u个 4 , | 克 ( τ , u个 1 , u个 2 , u个 三 , u个 4 ) | ≤ 1 24 36 + τ 2 τ 2 τ + 2 + u个 2 + | u个 1 | 1 + | u个 1 | + 罪 u个 三 + | u个 4 | , | ψ 1 ( v（v） ) | ≤ 1 110 ∥ v（v） ∥ , | ψ 2 ( u个 ) | ≤ 1 60 ∥ u个 ∥ .
使用给定的数据，可以发现 V（V） 1 = 1 72 , V（V） 2 = 1 144 , V（V） 1 = 1 110 , V（V） 2 = 1 60 , Δ 1 = 0.46845200402823617 , Δ 2 = 0.0007227881649342847 , Δ 三 = 0.0011251030301272463 , Δ 4 = 0.6151822290610394 , Δ ^ 1 = 0.8713184743902467 , Δ ^ 2 = 0.0014641295646385377 , Δ ^ 三 = 0.00186307333192 , Δ ^ 4 = 1.0704190784503973 ，使用 Ψ 1 + T型 1 − ϱ 1 Γ ( 2 − ϱ 1 ) Ψ 2 ≈ 0.05140181873251667 、和 Ψ 三 + T型 1 − ς 1 Γ ( 2 − ς 1 ) Ψ 4 ≈ 0.05324949686716335 ; 因此，定理2是成立的，这里的问题(53)–(54)有独特的解决方案 [ 0 , 1 ] .

5.问题的变体

注意边界条件(1)将边界条件中的板条修改为相同长度时，包括不同长度的板条(1); 然后，问题简化为形式
u个 ( 0 ) = ψ 1 ( v（v） ) , u个 ′ ( 0 ) = ϵ 1 ∫ 0 ν v（v） ′ ( θ ) d日 θ , u个 ” ( 0 ) = 0 , · · · , u个 n个 − 2 ( 0 ) = 0 , u个 ( T型 ) = λ 1 ∫ 0 δ v（v） ( θ ) d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 v（v） ( ϑ j个 ) , v（v） ( 0 ) = ψ 2 ( u个 ) , v（v） ′ ( 0 ) = ϵ 2 ¦Β 0 ν u个 ′ ( θ ) d日 θ , v（v） ” ( 0 ) = 0 , · · · , v（v） n个 − 2 ( 0 ) = 0 , v（v） ( T型 ) = λ 2 ∫ 0 δ u个 ( θ ) d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 u个 ( ϑ j个 ) .
关于这个问题(1)带有(55)而不是(2)，我们获得了运算符 Π ^ : G公司 × H（H） → G公司 × H（H） 由定义
Π ^ ( u个 , v（v） ) ( τ ) = ( Π ^ 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) , Π ^ 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) ) ,
哪里
Π ^ 1 ( u个 , v（v） ) ( τ ) = 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 τ ( τ − θ ) ϱ − 1 问 ^ u个 ( θ ) d日 θ + ψ 1 ( v（v） ) [ 1 + κ 1 Λ 4 ( τ ) − Λ 三 ( τ ) ] + ψ 2 ( u个 ) [ κ 2 Λ 三 ( τ ) − Λ 4 ( τ ) ] + Λ 2 ( τ ) ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 问 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 1 ( τ ) ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 问 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 4 ( τ ) [ λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 问 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ϱ − 1 问 ^ u个 ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ¦Β 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 问 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ ] + Λ 三 ( τ ) [ λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 问 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ¦Β 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 问 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 问 ^ u个 ( θ ) d日 θ ] ,
和
Π ^ 2 ( u个 , v（v） ) ( τ ) = 1 Γ ( ς ) ∫ 0 τ ( τ − θ ) ς − 1 问 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ + ψ 2 ( u个 ) [ 1 + κ 2 Λ 7 ( τ ) − Λ 8 ( τ ) ] + ψ 1 ( v（v） ) [ κ 1 Λ 8 ( τ ) − Λ 7 ( τ ) ] + Λ 5 ( τ ) ϵ 1 Γ ( ς − 1 ) ∫ 0 ν ∫ 0 θ ( θ − σ ) ς − 2 问 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 6 ( τ ) ϵ 2 Γ ( ϱ − 1 ) ∫ 0 ν ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 2 问 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + Λ 7 ( τ ) [ λ 1 Γ ( ς ) ∫ 0 δ ¦Β 0 θ ( θ − σ ) ς − 1 问 ˜ v（v） ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 Γ ( ς ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ς − 1 问 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ϱ ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ϱ − 1 问 ^ u个 ( θ ) d日 θ ] + Λ 8 ( τ ) [ λ 2 Γ ( ϱ ) ∫ 0 δ ∫ 0 θ ( θ − σ ) ϱ − 1 问 ^ u个 ( σ ) d日 σ d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 Γ ( ϱ ) ∫ 0 ϑ j个 ( ϑ j个 − θ ) ϱ − 1 问 ^ u个 ( θ ) d日 θ − 1 Γ ( ς ) ∫ 0 T型 ( T型 − θ ) ς − 1 问 ˜ v（v） ( θ ) d日 θ ] .
哪里
问 ^ u个 ( τ ) = （f） ( τ , u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) , C类 天 ς 1 v（v） ( τ ) , 我 ξ v（v） ( τ ) ) , τ ∈ 单位 , 问 ˜ v（v） ( τ ) = 克 ( τ , u个 ( τ ) , C类 天 ϱ 1 u个 ( τ ) , 我 ζ u个 ( τ ) , v（v） ( τ ) ) , τ ∈ 单位 .
和
ξ 1 = λ 1 δ 2 2 + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 , ξ 2 = λ 1 δ n个 n个 + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 ϑ j个 n个 − 1 , ξ 三 = λ 2 δ 2 2 + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ϑ j个 , ξ 4 = λ 2 δ n个 n个 + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 ϑ j个 n个 − 1 , γ ^ 1 = 1 − ν 2 ϵ 1 ϵ 2 , γ ^ 2 = T型 2 − ξ 1 ξ 三 , γ ^ 三 = T型 n个 − ξ 1 ξ 4 , γ ^ 4 = T型 n个 − 1 ξ 三 − ξ 4 T型 , γ ^ 5 = ξ 1 T型 n个 − 1 − T型 ξ 2 , γ ^ 6 = T型 n个 − ξ 2 ξ 三 , υ 1 = γ ^ 2 ν n个 ϵ 1 ϵ 2 + γ ^ 1 γ ^ 三 , υ 2 = γ ^ 2 ν n个 − 1 ϵ 2 + γ ^ 1 γ ^ 4 , υ 三 = γ ^ 2 ν n个 − 1 ϵ 1 + γ ^ 1 γ ^ 5 , υ 4 = γ ^ 2 ν n个 ϵ 1 ϵ 2 + γ ^ 1 γ ^ 6 , υ = υ 2 υ 三 − υ 1 υ 4 ≠ 0 , η 1 = 1 + ( ν n个 ϵ 2 β 1 − ν n个 − 1 β 5 ) ϵ 1 υ , η 2 = ϵ 1 ν + ( ν n个 ϵ 2 β 2 − ν n个 − 1 β 6 ) ϵ 1 υ , η 三 = ( ν n个 ϵ 2 β 三 − ν n个 − 1 β 7 ) ϵ 1 υ , η 4 = ( ν n个 ϵ 2 β 4 − ν n个 − 1 β 8 ) ϵ 1 υ , η 5 = ϵ 2 ν + ( ν n个 − 1 β 1 − ϵ 1 ν n个 β 5 ) ϵ 2 υ , η 6 = 1 + ( ν n个 − 1 β 2 − ϵ 1 ν n个 β 6 ) ϵ 2 υ , η 7 = ( ν n个 − 1 β 三 − ϵ 1 ν n个 β 7 ) ϵ 2 υ , η 8 = ( ν n个 − 1 β 4 − ϵ 1 ν n个 β 8 ) ϵ 2 υ , β 1 = γ ^ 2 ( υ 4 − υ 三 ϵ 2 ν ) , β 2 = ( υ 4 ϵ 1 ν − υ 三 ) γ ^ 2 , β 三 = ( υ 三 ξ 三 − υ 4 T型 ) γ ^ 1 , β 4 = γ ^ 1 ( υ 三 T型 − υ 4 ξ 1 ) , β 5 = ( υ 2 − υ 1 ϵ 2 ν ) γ ^ 2 , β 6 = ( υ 2 ϵ 1 ν − υ 1 ) γ ^ 2 , β 7 = ( υ 1 ξ 三 − υ 2 T型 ) γ ^ 1 , β 8 = γ ^ 1 ( υ 1 T型 − υ 2 ξ 1 ) , κ 1 = λ 2 δ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 , κ 2 = λ 1 δ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 , Λ 1 ( τ ) = τ η 1 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 1 υ , Λ 2 ( τ ) = τ η 2 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 2 υ , Λ 三 ( τ ) = τ η 三 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 三 υ , Λ 4 ( τ ) = τ η 4 γ ^ 1 + τ n个 − 1 β 4 υ , Λ 5 ( τ ) = τ η 5 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 5 υ , Λ 6 ( τ ) = τ η 6 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 6 υ , Λ 7 ( τ ) = τ η 7 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 7 υ , Λ 8 ( τ ) = τ η 8 γ ^ 1 − τ n个 − 1 β 8 υ .

6.讨论

对于Caputo形式的FIDEs，我们通过Leray–Schauder的替代方案和Banach的不动点定理，研究了由非局部多点和积分边界条件补充的存在唯一性的结果。通过固定参数 ( ϵ 1 , ϵ 2 , λ 1 , λ 2 , μ 1 , μ 2 ) 与问题有关(1)和(2)，我们的结果与某些特定问题相对应。假设 λ 1 = λ 2 = μ 1 = μ 2 = 0 在提供的结果中，我们看到了问题(1)使用表单
u个 ( 0 ) = ψ 1 ( v（v） ) , u个 ′ ( 0 ) = ϵ 1 ∫ 0 ν 1 v（v） ′ ( θ ) d日 θ , u个 ” ( 0 ) = 0 , · · · , u个 n个 − 2 ( 0 ) = 0 , u个 ( T型 ) = 0 , v（v） ( 0 ) = ψ 2 ( u个 ) , v（v） ′ ( 0 ) = ϵ 2 ∫ 0 ν 2 u个 ′ ( θ ) d日 θ , v（v） ” ( 0 ) = 0 , · · · , v（v） n个 − 2 ( 0 ) = 0 , v（v） ( T型 ) = 0 ,
虽然结果是
u个 ( 0 ) = ψ 1 ( v（v） ) , u个 ′ ( 0 ) = 0 , · · · , u个 n个 − 2 ( 0 ) = 0 , u个 ( T型 ) = λ 1 ∫ 0 δ 1 v（v） ( θ ) d日 θ + μ 1 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ϖ j个 v（v） ( ϑ j个 ) , v（v） ( 0 ) = ψ 2 ( u个 ) , v（v） ′ ( 0 ) = 0 , · · · , v（v） n个 − 2 ( 0 ) = 0 v（v） ( T型 ) = λ 2 ∫ 0 δ 2 u个 ( θ ) d日 θ + μ 2 ∑ j个 = 1 k个 − 2 ω j个 u个 ( φ j个 ) ,
然后 ϵ 1 = ϵ 2 = 0 使用上一节中使用的方法，我们可以解决上述相关问题(1)和(2).

作者贡献

概念化，M.S.、J.A.和M.I.A。；方法和验证，M.S.、J.A.和M.I.A。；调查和形式分析，C.T.、J.A.和W.S。；资源，硕士。；数据管理，M.I.A。；撰写初稿，M.S.和J.A。；写作评论和编辑，C.T.和W.S。；资金收购、C.T.和J.A.所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项工作得到了泰国Burapha大学科学学院的资助（批准号SC06/2564）。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

致谢

阿尔扎布特感谢苏丹王子大学和OST伊姆技术大学的不懈支持。C.Thaiprayoon感谢Burapha大学和数学卓越中心（CEM），CHE，Sri Ayutthaya Rd.，Bangkok，10400，Thailand，为本研究提供支持。

利益冲突

提交人表示，他们没有相互竞争的利益。

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出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

Subramanian M、Alzabut J、Abbas MI、Thaiprayoon C、Sudsutad W。具有非局部积分和依赖低阶分数导数和积分的多点边界条件的耦合高阶分数积分微分方程解的存在性。数学. 2022; 10(11):1823.https://doi.org/10.3390/math10111823

芝加哥/图拉宾风格

Subramanian、Muthaiah、Jehad Alzabut、Mohamed I.Abbas、Chattai Thaiprayoon和Weerawat Sudsutad。2022.“具有依赖低阶分数导数和积分的非局部积分和多点边界条件的耦合高阶分数积分微分方程解的存在性”数学第10期，第11期：1823。https://doi.org/10.3390/math10111823

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