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数学
第10卷
第7版
10.3390/马赫10071161
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第条

有限模糊子集的个数与整数序列分析

通过
拉杰什·库马尔·莫哈帕特拉
1,*和
子佩红
2,3
1
印度Krishnankoil，626126，Kalasalingam研究与教育学院数学系
2
台湾高雄811726国立高雄大学计算机科学与信息工程系
三
国立中山大学计算机科学与工程系，台湾高雄804201
*
信件应寄给的作者。
数学 2022,10(7), 1161;https://doi.org/10.3390/math10071161
收到的提交文件：2022年1月19日/修订日期：2022年3月21日/接受日期：2022年3月29日/发布日期：2022年4月3日
（本文属于特刊用模糊集计算数学)
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版本注释

摘要

:
本文解决了数字的确定问题F类n个非空有限集的模糊子集 X（X） 为了解决这个问题，本文在所有模糊子集集合上引入了等价关系 X（X） 。我们推导了两个闭合的显式公式 F类 n个 ，它是二项式数乘积中有限级数的和或 k个 -水平模糊子集 F类 n个 , k个 通过引入分类技术。此外，这些显式公式使我们能够找到 X（X） . 此外，本文还介绍了 F类 n个 , k个 和 F类 n个 .
关键词：
有限模糊子集;α-切割;脆子集链;二项式数;整数序列
MSC公司：
03E72；15B15；05A10；2015年5月

1.简介

一个普通有限集中子集个数的计数问题很简单。只有当集合是无限的时，才会出现挑战。通过引入aleph和aleph-null的概念，Georg Cantor解决了无限性问题[1,2]. 然而，在模糊环境中，由于缺乏清晰的边界，计数问题变得复杂。本文考虑模糊子集情况下的计数问题，即使集合是有限的，也会变得更加复杂。由于成员值的不确定性，这被视为一个具有挑战性的问题。因此，本文试图解决等价关系下模糊子集理论中的计数问题。
考虑数字的顺序 1 ,   三 ,   11 ,   51 ,   299 ,   2163 ,   18 , 731 ,   · ，其中该序列的元素对应于 n个 -套[三,4]，其中 n个 = 0 , 1 , 2 , 三 , 4 , 5 , 6 , · 。此序列在OEIS（在线整数序列百科全书）中指定了标识号A007047[5]. 序列A007047是数学中最基本的整数序列之一，在组合学领域起着至关重要的作用。它还具有与常见的组合整数序列相关的各种解释（参见[4,6,7,8])。本质上，内尔森和施密特[三]引入指数生成函数族 P（P） ( x个 , 吨 ) = e（电子） 吨 x个 2 − e（电子） x个 ，其中 吨 = 0 ,   1 ,   2 ,   · 。的生成函数 吨 = 0 和 吨 = 2 已被证明是 X（X） 和功率集中的链数 X（X） 分别是。后来，生成函数族 P（P） ( x个 , 吨 ) 对以下所有非负整数值进行了简要讨论 吨 在[4,6,9].
对于读者，让我们讨论一个例子；拿 n个 = 2 然后让这套 X（X） 2 = { 1 , 2 } ，电源组 X（X） 2 是 P（P） ( X（X） 2 ) = { ∅ , { 1 } , { 2 } ,   { 1 , 2 } } .中的链数 P（P） ( X（X） 2 ) 按集合包含排序是 | ∅ , { 1 } , { 2 } ,   { 1 , 2 } ,   ∅ ⊂ { 1 } , ∅ ⊂ { 2 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 } , { 1 } ⊂ { 1 , 2 } , { 2 } ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 } | = 11 .英寸[10]证明了非空有限集的模糊子集的所有等价类集合之间存在双射 X（X） 以及动力装置中所有链条的集合 X（X） 模糊子集已被用于表征有限阶的模糊矩阵[11,12]，有限群的模糊子群（模糊正规子群）[13,14,15,16,17,18,19,20].
在[21]Murali和Makamba确定了 n个 -第个学期 F类 n个 通过枚举模糊子集的非等价类，并使用标志、密钥链和固定标志的概念，对序列A007047进行验证。之后，满足以下条件的递归关系 F类 n个 、闭合公式和生成函数 F类 n个 是通过使用 k个 -水平模糊子集与Stirling数[10]. 由于有很多方法可以解决一个问题，每种方法都强调问题的不同方面，因此计数问题提供了展示组合学各种技术的机会。因此，本文为我们的大多数结果提供了不止一条途径。在本文中，我们重点讨论了计算 X（X） 从不同的角度使用二项式数。
本文首先推导了非根数和根数的计算公式 k个 -水平模糊子集 F类 n个 , k个 , F类 n个 , k个 ∅ , 和 F类 n个 , k个 X（X） 然后，推导出清晰子集的最大链数。此外 X（X） 也得到了。在本文中，我们主要关注OEIS中现有整数序列和获得的整数序列之间的组合连接。
本文的大纲安排如下：第2节提供了一些关于模糊子集数计数问题的已知定义、结果和现有工作。第3节提出了有限集模糊子集的分类方法 X（X） 通过自然等价关系和 k个 -水平模糊子集。非根和根的不同数量 k个 -水平模糊子集与任意有限集上不同无根和有根模糊子集的总数 X（X） 使用新的组合技术确定第4节最后，第5节包含论文的结论。

2.前期工作

在本节中，我们提供了所有必要的定义和结果来计算模糊子集的数量（参见[22,23]).

2.1. 模糊子集

在本文中，我们假设 X（X） 为非空有限集，由 n个 元素，其中 n个 是非零正整数。模糊子集 一个 ˜ 集合的 X（X） 由成员函数定义 一个 ˜ : X（X） → 我 ,   哪里 我 = [ 0 ,   1 ] .   的所有模糊子集的集合 X（X） 表示为 我 X（X） ，模糊子集 一个 ˜ , B类 ˜ , C类 ˜ , 等，其成员值由 α , β , γ , 等联盟  ( ∪ ) 和交叉  ( ∩ ) 分别使用上确界和下确界逐点定义了两个模糊子集的互补  ( c（c） ) 模糊子集的 1 − 一个 ˜ 运算符逐点[22,24]. 模糊子集 一个 ˜ 据说是包含在模糊子集中 B类 ˜ ，表示为 一个 ˜ ⊆ B类 ˜ , 如果 一个 ˜ ( x个 ) ≤ B类 ˜ ( x个 ) , ∀ x个 ∈ X（X） .模糊子集 一个 ˜ 据说是包含在模糊子集中 B类 ˜ ，表示为 一个 ˜ ⊆ B类 ˜ , 如果 一个 ˜ ( x个 ) ≤ B类 ˜ ( x个 ) , ∀ x个 ∈ X（X） .通过支持和核心的模糊子集 一个 ˜ ，我们指的是清晰的子集 S公司 u个 第页 第页   ( 一个 ˜ ) = { x个 ∈ X（X） : 一个 ˜ ( x个 ) > 0 } 和 C类 o个 第页 e（电子）   ( 一个 ˜ ) = { x个 ∈ X（X） : 一个 ˜ ( x个 ) = 0 } 分别是。当陈述模糊集的图像时 一个 ˜ ，我们是指 一个 ˜ 记为   我 米 ( 一个 ˜ ) = 一个 ˜ ( X（X） ) .通过 α -切割[22,23]模糊子集的 一个 ˜ 对于 α 属于 我 , 我们有一个清晰的子集 一个 ˜ α = { x个 ∈ X（X） : 一个 ˜ ( x个 ) ≥ α } 属于 X（X） 。这称为虚弱的 α -削减。由坚强的  α -我们的意思是削减 一个 ˜ α = { x个 ∈ X（X） : 一个 ˜ ( x个 ) > α } 在这篇论文中，我们总是面对弱者 α -削减。很容易验证 0 ≤ α ≤ β ≤ 1 ，我们有 一个 ˜ β ⊆ 一个 ˜ α .对于任意模糊子集 一个 ˜ ，我们的结果如下。
命题 1
([10]，建议1）。 对于任何模糊子集  一个 ˜ , 一个 ˜ = ∪ α { α χ 一个 ˜ α : 0 ≤ α ≤ 1 }
,哪里  χ 一个 ˜ α 表示清晰子集的特征函数 一个 ˜ α .

2.2. 计数方法工具

本小节介绍组合学领域的一些已知定义和结果，以处理我们的主要结果。
定义 1
([25]).的数量 米 -的元素子集 n个 -元素集（也就是说，我们可以选择的方式的数量 米 -不同于 n个 -元素集）称为二项式数或二项式系数，表示为 ( n个 米 ) （替代符号， C类 ( n个 , 米 ) ).
我们显示了它的一些基本属性，如下所示：
  • ( n个 0 ) = ( n个 n个 ) = 1 ,
  • ( n个 1 ) = ( n个 n个 − 1 ) = n个 ,
  • ( n个 米 ) = ( n个 n个 − 米 ) , 0 ≤ 米 ≤ n个 和
  • ( n个 米 ) = ( n个 − 1 米 ) + ( n个 − 1 米 − 1 ) , 1 ≤ 米 < n个 .
第四项是二项式数最重要的递推关系。
我们为二项式数提供了一个熟悉的公式，如下所示（根据定义， 0 ！ = 1 )（请参见表1):
引理 1
([25,26]).对于 n个 ≥ 米 ≥ 0 ,
( n个 米 ) = n个 ！ 米 ！ ( n个 − 米 ) ！  
按照惯例 ( n个 米 ) = 0 , 对于任何 米 > n个 .
接下来，我们提供了一个著名的定理，称为二项式定理.
定理 1
([26]，二项式定理）。对于任何整数 n个 ≥ 0 ,
( 一 + b条 ) n个 = ∑ 米 = 0 n个 ( n个 米 ) 一 米 b条 n个 − 米  
二项式数可以放入一个三角形数组中，称为帕斯卡三角形。帕斯卡三角形由OEIS中的A007318指定。
1
1 1
1 2 1
1 三 三 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
帕斯卡三角形的行和提供了以下序列：
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16,384, 32,768, 65,536, · .
该序列的元素表示 n个 -套， n个 ∈ ℕ * = ℕ ∪ { 0 } 该序列也由OEIS中的A000079指定。
备注 1
帕斯卡三角形的前十条对角线在OEIS中提供了以下序列：A000012（全一序列）、A000027（自然数）、A000217( ( n个 + 1 2 ) ,   n个 ∈ ℕ * )，A000292 ( ( n个 + 2 三 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) ，A000332 ( ( n个 4 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) ，A000389 ( ( n个 5 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) ，A000579 ( ( n个 6 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) ，A000580 ( ( n个 7 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) ，A000581 ( ( n个 8 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) ，A000582 ( ( n个 9 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) 和A001287 ( ( n个 10 ) ,   n个 ∈ ℕ * ) .

2.3. 关于模糊子集的现有工作

本节讨论与模糊子集计数相关的工作。有关更多概念，读者可以参考[27,28,29].
在[28,30]Murali和Makamba引入了等价关系( ≅ )上的 我 X（X） 通过定义 一个 ˜ ≅ B类 ˜ 如果 一个 ˜ ( x个 ) > 一个 ˜ ( 年 ) ⇔ B类 ˜ ( x个 ) > B类 ˜ ( 年 ) , 一个 ˜ ( x个 ) = 0 ⇔ B类 ˜ ( x个 ) = 0 、和 一个 ˜ ( x个 ) = 1 ⇔ B类 ˜ ( x个 ) = 1 为所有人 x个 , 年 ∈ X（X） 当二进制值为 { 0 , 1 } 使用了。
模糊子集由固定标志表示 ( F类 , ℓ ) 通过 α -切割，内容如下：
X（X） 0 1 ⊂ X（X） 0 λ 1 ⊂ X（X） 0 λ 2 ⊂ · ⊂ X（X） 0 λ n个   :   ∪ { λ 我 χ X（X） 我   :   0 ≤ 我 ≤ 1 } = 一个 ˜ ,
哪里 F类 旗子亮了吗 X（X） ，那是一条链子 X（X） 0 ⊂ X（X） 1 ⊂ X（X） 2 ⊂ · ⊂ X（X） n个 = X（X） 调用了最大链（标志）的清晰子集 X（X） , 和 ℓ 是来自的钥匙链 我 即。， 1 ≥ λ 0 ≥ λ 1 ≥ λ 2 ≥ · ≥ λ n个 ≥ 0 [30,31].
让 F类 n个 表示不同模糊子集的数量 X（X） 结束 ≅ 。通过对固定标志的详细研究 F类 n个 是通过累加所有整数分区获得的 τ ⊢ n个 也就是说， τ ⊢ n个 意味着τ是整数的分区 n个 .
定理 2
([21]).对于任何非负整数 n个 ，的不同模糊子集的数量 X（X） n个元素的等式如下：
F类 n个 = ∑ τ ⊢ n个 4 ( k个 1 + k个 2 + k个 三 + · + k个 n个 ) ！ n个 ！ ( k个 1 ！ k个 2 ！ k个 三 ！ · k个 n个 ！ ) ( k个 1 ！ k个 1 k个 2 ！ k个 2 k个 三 ！ k个 三 · k个 n个 ！ k个 n个 ) − 1 ,  
哪里 τ 运行的整体非负整数解 k个 1 + 2 k个 2 + 三 k个 三 + · + n个 k个 n个 = n个 .
上述公式称为 F类 n个 .英寸[10]作者还讨论了计算模糊子集数的几种不同方法。本节介绍了一些主要结果，以集中我们的概念。
提议 2
([10]，循环关系3.4）。对于任何自然数 n个 ,
F类 n个 + 1 = ∑ 第页 = 0 n个 ( n个 + 1 第页 ) F类 第页 + 2 n个 + 1  
具有 F类 0 = 1 .
封闭形式的 F类 n个 由以下定理表示。
定理 三
([10]，定理3.5）。对于正整数 n个 ，不同模糊子集的数量 X（X） 具有 n个 -元素由等式给出：
F类 n个 = 4 ( ∑ j个 = 0 n个 ∑ 我 = 0 j个 ( − 1 ) j个 − 1 ( j个 我 ) 我 n个 ) − 1  
注意到了 j个 = 0 不影响总和中的计数.
表达式为无穷级数 F类 n个 如下所示。
定理 4
([10]，定理3.7）。 对于自然数   n个 ，模糊子集的数量 X（X） 具有 n个 -元素由等式给出：
F类 n个 = ∑ 第页 = 2 ∞ 第页 n个 2 ( 1 − 第页 )  
由于进行了排列，因此在指数生成函数的计算中起着重要作用 F类 n个 ，函数 F类 n个 派生于[10]如下：
一个 ( x个 ) = e（电子） 2 x个 2 − e（电子） x个 .

3.方法

在本节中，我们探讨了对有限集的模糊子集进行分类的不同方法 X（X） 使用等价关系和 k个 -水平模糊子集。

3.1. 模糊子集上的一个等价关系

本小节的目的是简要讨论等价关系 ( ≅ ) 在片场上我X（X）。定义如下：
定义 2
([31]定义3.1）。 假设 一个 ˜ 和 B类 ˜ 是的两个模糊子集 X（X） , 一个 ˜ ≅ B类 ˜   当且仅当所有 x个 , 年 ∈ X（X） :
a。 
一个 ˜ ( x个 ) > 一个 ˜ ( 年 ) 若（iff） B类 ˜ ( x个 ) > B类 ˜ ( 年 ) ;
b。 
一个 ˜ ( x个 ) = 1 若（iff） B类 ˜ ( x个 ) = 1 ; 和
c。 
一个 ˜ ( x个 ) = 0 若（iff） B类 ˜ ( x个 ) = 0 .
事实上，可以验证此关系是上的等价关系 我 X（X） 当隶属度值为 我 = [ 0 , 1 ] 限制为二进制值 我 ′ = { 0 , 1 } 基于此等价关系，等价类具有 一个 ˜ 表示为 [ 一个 ˜ ] 。我们说明了两个模糊子集 一个 ˜ 和 B类 ˜ 是不同的，如果 一个 ˜ 和 B类 ˜ 不是等价的，也就是说， 一个 ˜ ≇ B类 ˜ .
备注 2
1 
在条件（a）中，严格不等式( > )可以替换为 ≥ 不影响等价性的不等式。结论是，这两个不等式都可以得到相同的模糊子集等价类。
2 
一个 ˜ ≅ B类 ˜   得出结论 一个 ˜   和 B类 ˜ 在条件（b）中相等。
3 
从上述定义的条件（c）可以看出，两个等价的模糊子集是相等的支持。此条件是上述等价关系的组成部分，即它不能是冗余的。
4 
如果 一个 ˜ ≅ B类 ˜ ，然后 | 我 米 ( 一个 ˜ ) | = | 我 米 ( B类 ˜ ) | 然而，反之则不然，即如果 | 我 米 ( 一个 ˜ ) | = | 我 米 ( B类 ˜ ) | 或者即使 我 米 ( 一个 ˜ ) = 我 米 ( B类 ˜ ) , C类 o个 第页 e（电子）   ( 一个 ˜ ) = C类 o个 第页 e（电子） ( B类 ˜ ) 和 S公司 u个 第页 第页 ( 一个 ˜ ) = S公司 u个 第页 第页 ( B类 ˜ ) ，我们无法确认 一个 ˜ ≅ B类 ˜ .
5 
一个 ˜ ≅ B类 ˜ 如果且仅当 α > 0 存在一个 β > 0 ，因此 一个 ˜ α = B类 ˜ β .
例子 1
假设 X（X） 是四个元素的集合，   X（X） = { x个 1 , x个 2 , x个 三 , x个 4 } .让我们定义模糊集 一个 ˜ 和 B类 ˜  在 X（X）  以以下方式。
一个 ˜ ( x个 ) = { 1 如果 x个 = x个 1 , 1 2 如果 x个 = x个 2 , 1 4 o个 吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子） ,   一 n个 d日   B类 ˜ ( x个 ) = { 1 如果 x个 = x个 1 , 1 2 如果 x个 = x个 2 , 0 o个 吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子） .
很容易看出 一个 ˜ ( x个 ) > 一个 ˜ ( 年 ) 如果 B类 ˜ ( x个 ) > B类 ˜ ( 年 ) 对所有人来说 x个 , 年 ∈ X（X） , 但是 S公司 u个 第页 第页 ( 一个 ˜ ) ≠ S公司 u个 第页 第页 ( B类 ˜ ) .
例子 2
让 X（X） 是一组标记为 { x个 1 , x个 2 , x个 三 , x个 4 , x个 5 } .假设我们定义了模糊集 一个 ˜ 和 B类 ˜  在X（X）如下所示:
一个 ˜ ( x个 ) = { 0 我 （f） x个 = x个 1 , 1 我 （f） x个 = x个 2 , 1 2 我 （f） x个 = x个 三 ,     1 4 o个 吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子） ,   一 n个 d日   B类 ˜ ( x个 ) = { 0 我 （f） x个 = x个 1 , 1 我 （f） x个 = x个 2 , 1 2 我 （f） x个 = x个 4 , 1 4 o个 吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子） .
可以观察到，在这个例子中， 我 米 ( 一个 ˜ ) = 我 米 ( B类 ˜ ) , C类 o个 第页 e（电子） ( 一个 ˜ ) = C类 o个 第页 e（电子） ( B类 ˜ ) , 和 S公司 u个 第页 第页 ( 一个 ˜ ) = S公司 u个 第页 第页 ( B类 ˜ ) 然而， 一个 ˜ ( x个 三 ) > 一个 ˜ ( x个 4 ) , 但是 B类 ˜ ( x个 三 ) ≯ B类 ˜ ( x个 4 ) 因此，可以得出以下结论： 一个 ˜ 不等于 B类 ˜ .

3.2. 一种新的模糊子集分类概念

这一小节背后的动机是集中精力对 X（X） 使用 k个 -水平模糊子集。现在，我们引入了一些定义，以在下一节中导出本文的主要结果。
定义 3
对于 n个 ∈ ℕ 和 0 ≤ k个 ≤ n个 ，一个 k个 -水平模糊子集 一个 ˜ 意味着 一个 ˜ 有 k个 开放单位区间I〃中的不同隶属度值，即I\{0,1}。请注意0-水平模糊子集是指一个清晰的子集.
人们可以看到 α ∈ 我 和 1 ≤ k个 ≤ n个 , α -a的切割 k个 -水平模糊子集 一个 ˜ 属于 X（X） 形成了一系列 ( k个 + 1 ) -长度的一对清晰子集k个按通常的集合包含排序，如下所示：
Λ : 一个 ˜ α 0 ⊂ 一个 ˜ α 1 ⊂ 一个 ˜ α 2 ⊂ · ⊂ 一个 ˜ α k个 ,  
具有：
1 ≥ α 0 > α 1 > α 2 > · > α k个 ≥ 0 ,
按降序写，不一定有 0 和 1 .
也就是说，一个模糊子集 一个 ˜ ,   一个 ˜ = ∪ α 我 { α 我 χ 一个 ˜ α 我 : 0 ≤ α 我 ≤ 1 } 有它的 α 我 -切割等于 一个 ˜ α 我 的。在这里， 一个 ˜ α 我 的是上述链条的各个组件 Λ 我们说过 k个 -如果水平模糊子集不等价，则它们是不同的。因此，可以得出以下结论： 一个 ˜ ≅ B类 ˜ 如果且仅当， 一个 ˜ 和 B类 ˜ 具有相同类型的清晰子集链 Λ .
的模糊子集 X（X） 有 n个 元素可以具有最大值 n个 -中的不同成员身份值 我 ，然后是 α -模糊子集的割 X（X） 将是 n个 + 1 。对于 k个 = n个 在上面的链中 Λ ，可以获得最大链，称为标志。因此 X（X） 是 n个 .
为了理解定义4，让我们通过以下示例来说明定义：
例子 3
假设 X（X） = { x个 1 , x个 2 , x个 三 ,   x个 4 } 让我们定义一个模糊集 一个 ˜ 由提供
一个 ˜ = { ( x个 1 ,   0.2 ) ,   ( x个 2 , 0.7 ) ,   ( x个 三 , 0.7 ) , ( x个 4 , 1 ) } .
自 一个 ˜ 在中有两个不同的成员身份值 ( 0 , 1 ) ，我们标记为 一个 ˜ 作为的两级模糊子集 X（X） . The α -a的切割 吨 w个 o个 -水平模糊子集 一个 ˜ 属于 X（X） 是：
对于 0.7 < α 0 ≤ 1 ,   0.2 < α 1 ≤ 0.7 、和 0 ≤ α 2 ≤ 0.2 ，我们有 一个 ˜ α 0 = { x个 4 } , 一个 ˜ α 1 = { x个 2 , x个 三 ,   x个 4 } 、和 一个 ˜ α 2 = { x个 1 , x个 2 , x个 三 ,   x个 4 } 分别是。这些 α -切割还形成了由通常的集合包含排序的清晰子集链，如下所示：
一个 ˜ α 0 ⊂ 一个 ˜ α 1 ⊂ 一个 ˜ α 2 .
定义 5
一系列清晰的 X（X） 按集合排序的包含声明为 ∅ -根（分别为， X（X） -root）如果包含 ∅ （分别为， X（X） ). 否则，它被声明为无根或简单地称为 X（X） .
从上面的讨论中可以看出，在所有不同的 k个 -水平模糊子集 X（X） 和的子集的所有crip链的集合 X（X） 长度的 k个 按集合包含排序。类似地，在所有不同的 ∅ -根（分别为， X（X） -根深蒂固的) k个 -水平模糊子集 X（X） 以及所有这些 ∅ -根（分别为， X（X） -根深蒂固的)子集的脆链 X（X） 长度的 k个 分别按集合包含排序。
定义 6
假设 n个 ∈ ℕ 和 0 ≤ k个 ≤ n个 .让 P（P） ( X（X） ) 是的所有清晰子集的集合 X（X） 然后让 C类 是所有链的清晰子集的集合 X（X） 按集合包含排序。现在，我们设置：
ℱ n个 , k个 = { Γ ∈ C类   :  的长度 Γ 是 k个 初始项和终止项为 Γ 不一定是null集 ∅ 和全套 X（X） ，分别}，
ℱ n个 , k个 ∅ = { Γ ∈ C类   : 的初始期限 Γ 是 ∅ 长度的 k个 } 、和
ℱ n个 , k个 X（X） = { Γ ∈ C类   : 终端 Γ 是 X（X） 长度的 k个 } .
注意，如果 Γ 是一条链，其初始项和终止项重合，然后 Γ 是一条长链 0 .
那就是， ℱ n个 , k个 ,   ℱ n个 , k个 ∅ 和 ℱ n个 , k个 X（X） 是所有链的清晰子集的集合 X（X） 长度的 k个 ，收集所有 ∅ -的脆子集的根链 X（X） 长度的 k个 , 以及所有 X（X） -的脆子集的根链 X（X） 长度的 k个 分别按集合包含排序。我们使用了符号 F类 n个 , k个 , F类 n个 , k个 ∅ , 和 F类 n个 . k个 X（X） 表示基数 ℱ n个 , k个 , ℱ n个 , k个 ∅ , 和 ℱ n个 , k个 X（X） 分别是。我们进一步定义 F类 0 , 0 = 1 ,   F类 0 , 0 ∅ = 1 和 F类 0 , 0 X（X） = 1 .
让 ℱ n个 , ℱ n个 ∅ , 和 ℱ n个 X（X） 是的所有清晰子集链的集合 X（X） ，这套 ∅ -的脆子集的根链 X（X） ，以及所有 X（X） -的脆子集的根链 X（X） 分别按集合包含排序。Take（获取） F类 n个 = | ℱ n个 | , F类 n个 ∅ = | ℱ n个 ∅ | , 和 F类 n个 X（X） = | ℱ n个 X（X） | .假设 F类 0 = 1 , F类 0 ∅ = 1 , 和 F类 0 X（X） = 1 对于的计数公式 F类 n个 , F类 n个 ∅ , 和 F类 n个 X（X） 对于 n个 = 0 分别作为空集的模糊子集没有常规意义。也可以得出结论，所有不同模糊子集的集合之间也存在双射 X（X） （分别，不同 ∅ -根模糊子集 X（X） ，不同 X（X） -根模糊子集 X（X） )，以及 X（X） （分别为， ∅ -的脆子集的根链 X（X） ,   X（X） -的脆子集的根链 X（X） )按集合包含排序。

4.结果

本节重点介绍了寻找 F类 n个 , F类 n个 ∅ , 和 F类 n个 X（X） 为了实现这一点，我们首先确定了数字 F类 n个 , k个 , F类 n个 , k个 ∅ , 和 F类 n个 , k个 X（X） .

4.1. 数量 k个 -水平模糊子集

这一小节推动了数字 F类 n个 , k个 , F类 n个 , k个 ∅ , 和 F类 n个 . k个 X（X） 根据二项式系数。为了计算这些数字，我们首先研究了其中一个，例如。， F类 n个 , k个 .
我们取了一个包含三个元素的集合，例如。， X（X） 三 = { 1 ,   2 ,   三 } . 晶格 P（P） ( X（X） 三 ) ，表示 L（左） ( P（P） ( X（X） 三 ) ) ，由以下子集生成（请参见图1):
P（P） ( X（X） 三 ) = { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 三 } , { 1 , 2 } , { 1 , 三 } , { 2 , 三 } , { 1 , 2 , 三 } } .
列出这些子集是很重要的，因为它们是绘制晶格图和计算清晰子集链数的关键 X（X） 三 （请参见图1和图2). 可以手动确定数字 F类 三 通过描述由集合包含排序的所有链 ( ⊂ ) 在以下四种情况下。
案例 我
 
| ℱ 三 , 0 | = | { ∅ , { 1 } , { 2 } , { 三 } , { 1 , 2 } , { 1 , 三 } , { 2 , 三 } , { 1 , 2 , 三 } } | = 8 , | ℱ 三 , 0 ∅ | = | { ∅ } | = 1 , | ℱ 三 , 0 X（X） | = | { { 1 , 2 , 三 } } | = 1 ;
案例 二
 
| ℱ 三 , 1 | = | { ∅ ⊂ { 1 } , ∅ ⊂ { 2 } , ∅ ⊂ { 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 1 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 }             ⊂ { 1 , 2 } , { 1 } ⊂ { 1 , 三 } , { 2 } ⊂ { 1 , 2 } , { 2 } ⊂ { 2 , 三 } , { 三 } ⊂ { 1 , 三 } , { 三 }             ⊂ { 2 , 三 } , { 1 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ,   { 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 , 三 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } } | = 19 , | ℱ 三 , 1 ∅ | = | { ∅ ⊂ { 1 } , ∅ ⊂ { 2 } , ∅ ⊂ { 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 1 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 , 三 } } | = 7 , | ℱ 三 , 1 X（X） | = | { ∅ ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 , 三 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } ,   { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } } | = 7 ;
案例 三
 
| ℱ 三 , 2 | = | { ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 }             ⊂ { 1 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ,   { 2 } ⊂ { 1 , 2 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 2 } ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 三 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 三 } ⊂ { 2 , 三 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } } | = 18 , | ℱ 三 , 2 ∅ | = | { ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 }             ⊂ { 1 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } } | = 12 , | ℱ 三 , 2 X（X） | = | { { 1 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 1 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 2 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 2 } ⊂ { 2 , 三 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 三 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , { 三 } ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅             ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } } | = 12 ;
案例 四、
 
| ℱ 三 , 三 | = | { ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 }             ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } , ∅ ⊂ { 三 }             ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } } | = | F类 S公司 三 , 三 ∅ ( X（X） ) | = | F类 S公司 三 , 三 X（X） ( X（X） ) | = 6 .
总数 | ℱ 三 | 的不同模糊子集 X（X） 三 是：
| ℱ 三 | = | ℱ 三 , 0 | + | ℱ 三 , 1 | + | ℱ 三 , 2 | + | ℱ 三 , 三 | = 8 + 19 + 18 + 6 = 51 .
的不同根模糊子集的总数 X（X） 三   是：
F类 三 ∅ = 1 + 7 + 12 + 6 = 26 = F类 三 X（X） .
通过检查上述讨论和分析图1可以得出结论，手动计算耗费了大量时间，这是一项艰巨的任务。因此，这意味着一种新技术对于解决这些问题至关重要。
引理 2
对于每个 n个 ∈ ℕ 和 k个 = 0 , 1 , 2 , · , n个 ，数字 F类 n个 , k个 所有不同的 k个 -水平模糊子集 X（X） 由等式给出：
F类 n个 , 0 = ∑ 0 ≤ 我 0 ≤ n个 ( n个 我 0 ) ; F类 n个 , 1 = ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 ≤ n个 ( n个 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) ; F类 n个 , 2 = ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 ≤ n个 ( n个 我 2 ) ( 我 2 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) ; ⋮ F类 n个 , k个 = ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 ≤ n个 ( n个 我 k个 ) ( 我 k个 我 k个 − 1 ) · ( 我 1 我 0 ) .  
证明。 
我们从确定辅助结构开始证明。让 X（X） k个 表示由以下所有清晰子集组成的集合 X（X） 具有 k个 -元素， | X（X） k个 | = ( n个 k个 ) 对于   n个 ∈ ℕ 和 k个 = 0 , 1 , 2 , · , n个 此外，清晰的子集   X（X） k个 满足以下条件：
X（X） 0 ⊂ X（X） 1 ⊂ X（X） 2 ⊂ · ⊂ X（X） k个 ,   对于   k个 = 0 , 1 , 2 , · , n个 .
现在，
ℱ n个 , 0 = { X（X） k个   :   0 ≤ k个 ≤ n个 } ; ℱ n个 , 1 = { X（X） 我 ⊂ X（X） k个   :   0 ≤ 我 < k个 ≤ n个 } ; ⋮ ℱ n个 , k个 = { X（X） 我 0 ⊂ X（X） 我 1 ⊂ X（X） 我 2 ⊂ · ⊂ X（X） 我 k个   : 0 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 < · < 我 k个 ≤ n个 } .
接下来，我们旨在找出 ℱ n个 , k个 对于 k个 = 0 , 1 , 2 , · , n个 、和 n个 ∈ ℕ .
很容易证明 F类 n个 , 0 = | ℱ n个 , 0 | = 2 n个 . 让 Γ 是中的清晰子集链 ℱ n个 , k个 对于 k个 = 0 , 1 , 2 , · , n个 如下：
Γ : X（X） 0 ⊂ X（X） 1 ⊂ X（X） 2 ⊂ · ⊂ X（X） k个 .
然后，可以获得以下内容 ( k个 + 1 ) -维向量如下：
α = ( | X（X） 0 | , | X（X） 1 | , | X（X） 2 | , · , | X（X） k个 | ) .
为了方便起见，我们打了电话 α 的序向量 Γ 在这里，我们考虑
Ω = { α   : α   是   一个   秩序   矢量   属于   Γ ,   Γ ∈ F类 n个 , k个 } ,
以及每个 α ∈ Ω ,
ℱ n个 , k个 α = { Γ ∈ ℱ n个 , k个   : 这个 秩序 矢量 属于   Γ   是   α } .
然后，很自然地得出这样的结论：
ℱ n个 , k个 = ∪ α ∈ Ω ℱ n个 , k个 α ,
和
ℱ n个 , k个 α ∩ ℱ n个 , k个 β = ∅ ,   如果   α ≠ β .
因此，
F类 n个 , k个 = ∑ α ∈ Ω | ℱ n个 , k个 α | .
现在，很容易发现：
Ω = { α = ( ( n个 我 0 ) , ( n个 我 1 ) , ( n个 我 2 ) , · , ( n个 我 k个 ) )   :   0 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 < · < 我 k个 ≤ n个 } .
因此，对于顺序向量 α 属于 Γ ∈ ℱ n个 , k个 第一学期、第二学期的选项数量， · 、和第k个的期限 α 如下所示：
( n个 我 k个 ) , k个 ≤ 我 k个 ≤ n个 ; ( 我 k个 我 k个 − 1 ) , k个 − 1 ≤ 我 k个 − 1 < 我 k个 ≤ n个 ; ( 我 k个 − 1 我 k个 − 2 ) , k个 − 2 ≤ 我 k个 − 2 < 我 k个 − 1 ≤ n个 − 1 ; ⋮ ( 我 2 我 1 ) , 1 ≤ 我 1 < 我 2 ≤ n个 − k个 + 2 ; ( 我 1 我 0 ) , 0 ≤ 我 0 < 我 1 ≤ n个 − k个 + 1 .
因此，我们可以精确地写出 F类 n个 , k个 如下：
F类 n个 , k个 = ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 ≤ n个 ( n个 我 k个 ) ( 我 k个 我 k个 − 1 ) · ( 我 1 我 0 )
因此，证明了引理。□
以下结果可以提供引理2的另一个版本。
推论 1
根据引理2的相同要求，我们有：
F类 n个 , 0 = ∑ 我 0 = 0 n个 ( n个 我 0 ) ; F类 n个 , 1 = ∑ 我 0 = 0 n个 − 1 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) ; F类 n个 , 2 = ∑ 我 0 = 0 n个 − 2 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − 1 ∑ 我 2 = 1 n个 − 我 0 − 我 1 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) ( n个 − 我 0 − 我 1 我 2 ) ; ⋮ F类 n个 , k个 = ∑ 我 0 = 0 n个 − k个 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − k个 + 1 · ∑ 我 k个 = 1 n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 1 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) · ( n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 1 我 k个 )  
数字 F类 n个 , k个 的形成一个三角形数组 n个 = 0 到6个显示如下：
1
2 1
4 5 2
8 19 18 6
16 65 110 84 24
32 211 570 750 480 120
64 665 2702 5460 5880 3240 720
上述三角形数组由OEIS中的标识号A038719赋值，其行和给出了以下序列（见定理5）：
1、3、11、51、299、2163、18731、189171、2183339、28349043、408990251、。
上述序列的元素表示 n个 -设置，其中 n个 ∈ ℕ * 并由OEIS中的A007047分配。
备注 3
1 
三角形数组A038719的前三条对角线在OEIS中给出了以下序列：A000079（ n个 -套， n个 = 0 , 1 , 2 , 三 , · ) ，A001047 ( 三 n个 − 2 n个 ,   n个 ∈ ℕ * ) 和A038721（函数数 （f） :   { 1 , 2 , · , n个 + 1 } →   { 1 , 2 , 三 , 4 } , 这样的话 我 米 ( （f） ) 包含 吨 w个 o个 固定元件， n个 ≥ 1 和 n个 ∈ ℕ ).
2 
三角形数组A038719的最后一条对角线和紧邻最后一条的对角线给出了序列：A000142（ n个 信件，   n个 ∈ ℕ * ,或阶乘数）和A038720 ( n个 ！ ( n个 + 三 ) / 2 ,   n个 ∈ ℕ *   ) 分别在OEIS中。
以下两个引理和两个推论例证了与引理2中相同的方法，以推导 F类 n个 , k个 ∅ 和 F类 n个 , k个 X（X） .
引理 3
对于每个自然数 n个 和 k个 = 0 , 1 , 2 , · , n个 ，数字 F类 n个 , k个 ∅ 所有不同的 ∅ -根深蒂固的 k个 -水平模糊子集 X（X） 由等式给出：
F类 n个 , 1 ∅ = ∑ 1 ≤ 我 0 ≤ n个 ( n个 我 0 ) ; F类 n个 , 2 ∅ = ∑ 1 ≤ 我 0 < 我 1 ≤ n个 ( n个 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) ; F类 n个 , 三 ∅ = ∑ 1 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 ≤ n个 ( n个 我 2 ) ( 我 2 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) ; ⋮ F类 n个 , k个 ∅ = ∑ 1 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 − 1 ≤ n个 ( n个 我 k个 − 1 ) ( 我 k个 − 1 我 k个 − 2 ) · ( 我 1 我 0 ) ,
具有 F类 n个 , 0 ∅ = 1 对于 n个 > 0 .
推论 2
在相同的引理3假设下，我们得到：
F类 n个 , 0 ∅ = 1 ; F类 n个 , 1 ∅ = ∑ 我 0 = 1 n个 ( n个 我 0 ) F类 n个 , 2 ∅ = ∑ 我 0 = 1 n个 − 1 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) ; ⋮ F类 n个 , k个 ∅ = ∑ 我 0 = 1 n个 − k个 + 1 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − k个 + 2 · ∑ 我 k个 − 1 = 1 n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) · ( n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 我 k个 − 1 ) .
引理 4
对于任何非零正整数 n个 和k， 0 ≤ k个 ≤ n个 , 数字 F类 n个 . k个 X（X） 所有不同的 X（X） -根深蒂固的 k个 -水平模糊子集 X（X）  由等式给出：
F类 n个 , 0 X（X） = 1 ; F类 n个 , 1 X（X） = ∑ 0 ≤ 我 0 ≤ n个 − 1 ( n个 我 0 ) ; F类 n个 , 2 X（X） = ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 ≤ n个 − 1 ( n个 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) ; F类 n个 , 三 X（X） = ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 ≤ n个 − 1 ( n个 我 2 ) ( 我 2 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) ; ⋮ F类 n个 , k个 X（X） = ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 − 1 ≤ n个 − 1 ( n个 我 k个 − 1 ) ( 我 k个 − 1 我 k个 − 2 ) · ( 我 1 我 0 ) ,
具有 F类 n个 , 0 X（X） = 1 对于 n个 > 0 .
推论 3
在相同的引理4假设下，我们得到：
F类 n个 , 0 X（X） = 1 ; F类 n个 , 1 X（X） = ∑ 我 0 = 0 n个 − 1 ( n个 我 0 ) ; F类 n个 , 2 X（X） = ∑ 我 0 = 0 n个 − 2 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − 1 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) ; ⋮ F类 n个 , k个 X（X） = ∑ 我 0 = 0 n个 − k个 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − k个 + 1 · ∑ 我 k个 − 1 = 1 n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 − 1 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) · ( n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 我 k个 − 1 ) .
公式满足的数字 F类 n个 , k个 ∅ ( = F类 n个 , k个 X（X） ) 形成一个三角形，三角形的前几行如下所示：
1
1 1
1 三 2
1 7 12 6
1 15 50 60 24
1 31 180 390 360 120
1 63 602 2100 3360 2520 720
上述三角形由OEIS中的A028246赋值，其行和给出了以下序列（见定理6和7）：
1, 2, 6, 26, 150, 1082, 9366, 94,586, 1,091,670, 14,174,522, 204,495,126, 3,245,265,146, · .
该序列的元素对应于 n个 -设置，其中 n个 ∈ ℕ * 并由OEIS中的身份号A000629分配。
备注 4
1 
三角形A028246的前四条对角线在OEIS中给出了以下序列：A00012（全一序列），A000225（ n个 -套， n个 ∈ ℕ * )，A028243（函数数 （f） :   { 1 , 2 , · , n个 − 1 } →   { 1 , 2 , 三 } , 这样的话 我 米 ( （f） ) 包含两个固定元件， n个 ≥ 三 和 n个 ∈ ℕ )和A028244（函数数 （f） :   { 1 , 2 , · , n个 − 1 } → { 1 , 2 , 三 , 4 } ，因此 我 米 ( （f） ) 包含 吨 小时 第页 e（电子） e（电子） 固定元件， n个 ≥ 4 和 n个 ∈ ℕ ).
2 
三角形A028246的最后七条外对角线在OEIS中给出了以下序列：A000142（ n个 信件，   n个 ∈ ℕ * )和A001710（偶数排列的数量 n个 信件， n个 ∈ ℕ * )，A005460（基本上是第二类斯特林数，偏移量：0,2），A005461，和A005464（基本上是第二类斯特林数，偏移量：5,2）。
通过采取 k个 = n个 在显式表达中 F类 n个 , k个 在引理2中，我们得到了一个令人兴奋的结果。
推论 4
数字 F类 n个 , n个 的脆子集的所有最大链 X（X） 由等式给出：
F类 n个 , n个 = n个 ！ .
证明。 
直接遵循显式公式的证明 F类 n个 , k个 通过替换 k个 = n个
我们有：
F类 n个 , n个 = ( n个 n个 ) ( n个 n个 − 1 ) ( n个 − 1 n个 − 2 ) · ( 2 1 ) ( 1 0 ) = 1 · n个 · ( n个 − 1 ) · 2 · 1               = n个 ！
□
推论 5
数字 F类 n个 , n个 ∅ 和 F类 n个 , n个 X（X） 的脆子集的所有最大链 X（X） 由等式导出：
F类 n个 , n个 ∅ = n个 ！ = F类 n个 , n个 X（X） .
证明。 
通过使用引理3和4，可以类似于推论4来证明这一点。□
从开始 n个 = 0 ，阶乘的前几个项 n个 是：
1 ,   1 ,   2 ,   6 ,   24 ,   120 ,   720 ,   5040 ,   40 , 320 ,   362 , 880 ,   三 , 628 , 800 .
该序列由OEIS中的A000142指定。
的公式 F类 n个 , n个 , F类 n个 , n个 ∅ 、和 F类 n个 , n个 X（X） 也可以通过分别使用推论1-3来证明。为了强调和验证上述结果，我们通过以下示例对其进行了说明。
例子 4
确定数字 F类 4 , 4 , F类 4 , 4 ∅ 、和 F类 4 , 4 X（X） .
解决方案。 
人们可以计算出数字 F类 4 , 4 , F类 4 , 4 ∅ 、和 F类 4 , 4 X（X） 在下面，通过替换 n个 = 4 和 k个 = 4 分别在引理2-4中。我们有：
F类 4 , 4 = ( 4 4 ) ( 4 三 ) ( 三 2 ) ( 2 1 ) ( 1 0 ) = 1 × 4 × 三 × 2 × 1 = 24 , F类 4 , 4 ∅ = ( 4 4 ) ( 4 三 ) ( 三 2 ) ( 2 1 ) = 1 × 4 × 三 × 2 = 24 ,   和 F类 4 , 4 X（X） = ( 4 三 ) ( 三 2 ) ( 2 1 ) ( 1 1 ) = 4 × 三 × 2 × 1 = 24 .
因此，对公式进行了验证。
为了验证上述推论4和5，我们手动计算了 X（X） 4 = { 1 , 2 , 三 , 4 } .我们列出了所有最大链， F类 4 , 4 ，如下所示：
∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 1 } ⊂ { 1 , 4 } ⊂ { 1 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 1 , 2 } ⊂ { 1 , 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 2 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 2 } ⊂ { 2 , 4 } ⊂ { 2 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 1 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 2 , 三 } ⊂ { 2 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 三 , 4 } ⊂ { 1 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 三 } ⊂ { 三 , 4 } ⊂ { 2 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 4 } ⊂ { 1 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 4 } ⊂ { 1 , 4 } ⊂ { 1 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 4 } ⊂ { 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 4 } ⊂ { 2 , 4 } ⊂ { 2 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 4 } ⊂ { 三 , 4 } ⊂ { 1 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } , ∅ ⊂ { 4 } ⊂ { 三 , 4 } ⊂ { 2 , 三 , 4 } ⊂ { 1 , 2 , 三 , 4 } .
这24条最大链与数字一致 F类 4 , 4 , F类 4 , 4 ∅ 、和 F类 4 , 4 X（X） .
我们本可以分析计算的时间复杂性 F类 n个 , n个 如下所示： ( 第页 第页 − 1 ) , 第页 ∈ ℕ 需要 O（运行） ( 1 ) . F类 n个 , n个 需要 n个 上述计算的运算并将其相乘。因此，其时间复杂性是 n个 ∗ O（运行） ( 1 ) + O（运行） ( n个 ) ，这是 O（运行） ( n个 ) .

4.2. 的显式公式 F类 n个 , F类 n个 ∅ 、和 F类 n个 X（X）

本小节推导了 F类 n个 , F类 n个 ∅ 、和 F类 n个 X（X） 现在，我们在下面的定理中给出了最重要的结果。
定理 5
数字 F类 n个 所有不同的模糊子集 X（X） 由等式给出：
F类 n个 = ∑ k个 = 0 n个 F类 n个 , k个 = ∑ k个 = 0 n个 ( ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 ≤ n个 ( n个 我 k个 ) ( 我 k个 我 k个 − 1 ) · ( 我 1 我 0 ) ) ,  
和
F类 n个 = ∑ k个 = 0 n个 F类 n个 , k个 = ∑ k个 = 0 n个 ( ∑ 我 0 = 0 n个 − k个 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − k个 + 1 · ∑ 我 k个 = 1 n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 1 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) · ( n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 1 我 k个 ) )  
哪里 n个 ≥ 1 是任意的。
证明。 
通过总结所有 ′ F类 n个 , k个 在引理2和推论1中，我们有必要的公式 F类 n个 . □
对于 0 ≤ n个 ≤ 10 ，公式 F类 n个 给出了以下带有初始术语的序列（参见表2):
1 ,   三 ,   11 ,   51 ,   299 ,   2163 ,   18 , 731 ,   189 , 171 ,   2 , 183 , 339 ,   28 , 167 , 603 ,   408 , 990 , 251 . 该序列由OEIS中的A007047指定。
定理5的两个直接结果如下：
定理 6
对于固定值 n个 ∈ ℤ + 和 n个 ≥ 1 ，数字 F类 n个 ∅ 所有不同的 ∅ -根模糊子集 X（X） 由等式给出：
F类 n个 ∅ = ∑ k个 = 0 n个 F类 n个 , k个 ∅ = 1 + ∑ k个 = 1 n个 ( ∑ 1 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 − 1 ≤ n个 ( n个 我 k个 − 1 ) ( 我 k个 − 1 我 k个 − 2 ) · ( 我 1 我 0 ) ) ,
和
F类 n个 ∅ = ∑ k个 = 0 n个 F类 n个 , k个 ∅ = 1 + ∑ k个 = 1 n个 ( ∑ 我 0 = 1 n个 − k个 + 1 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − k个 + 2 · ∑ 我 k个 − 1 = 1 n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) · ( n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 我 k个 − 1 ) )
具有 F类 0 ∅ = 1 .
定理 7
数字 F类 n个 X（X） 所有不同的 X（X） -根模糊子集 X（X） 具有 n个 ≥ 1 由等式给出：
F类 n个 X（X） = ∑ k个 = 0 n个 F类 n个 , k个 X（X） = 1 + ∑ k个 = 1 n个 ( ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 ≤ n个 − 1 ( n个 我 k个 ) ( 我 k个 我 k个 − 1 ) · ( 我 1 我 0 ) ) ,
和
F类 n个 X（X） = ∑ k个 = 0 n个 F类 n个 , k个 X（X） = 1 + ∑ k个 = 1 n个 ( ∑ 我 0 = 0 n个 − k个 ∑ 我 1 = 1 n个 − 我 0 − k个 + 1 · ∑ 我 k个 − 1 = 1 n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 − 1 ( n个 我 0 ) ( n个 − 我 0 我 1 ) · ( n个 − 我 0 − 我 1 − 我 2 − · − 我 k个 − 2 我 k个 − 1 ) ) ,
具有 F类 0 X（X） = 1 .
的开始 n个 = 0 到 10 ，理论结果 F类 n个 ∅   ( = F类 n个 X（X） ) 如下所示（参见表3):
1 ,   2 ,   6 ,   26 ,   150 ,   1082 ,   9366 ,   94 , 586 ,   1 , 091 , 670 ,   14 , 174 , 522 ,   204 , 495 , 126 .
该序列在OEIS中由A000629分配。
以下观察结果给出了 F类 n个 , F类 n个 ∅ 、和 F类 n个 X（X） 它类似于[32]和中的定理1[33].
提议 3
对于任何正整数 n个 ，我们有：
F类 n个 , k个 = 2 F类 n个 , k个 ∅ − 1 = 2 F类 n个 . k个 X（X） − 1 .
为了突出和验证上述结果，我们通过以下示例进行了说明（请参见图3):
例子 5
查找数字 F类 三 ,   F类 三 ∅ 、和 F类 三 X（X） .
解决方案。 
通过采取 n个 = 三 在显式公式中 F类 n个 , F类 n个 ∅ 、和 F类 n个 X（X） ，我们有 F类 三 ,   F类 三 ∅ 、和 F类 三 X（X） 按以下方式：
F类 三 = ∑ k个 = 0 三 F类 三 , k个 = F类 三 , 0 + F类 三 , 1 + F类 三 , 2 + F类 三 , 三   = ∑ 0 ≤ 我 0 ≤ 三 ( 三 我 0 ) + ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 ≤ 三 ( 三 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) + ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 ≤ 三 ( 三 我 2 ) ( 我 2 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) + ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 < 我 三 ≤ 三 ( 三 我 三 ) ( 我 三 我 2 ) ( 我 2 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) = ( ( 三 三 ) + ( 三 2 ) + ( 三 1 ) + ( 三 0 ) ) + ( ( 三 三 ) ( 三 2 ) + ( 三 三 ) ( 三 1 ) + ( 三 三 ) ( 三 0 ) + ( 三 2 ) ( 2 1 ) + ( 三 2 ) ( 2 0 ) + ( 三 1 ) ( 1 0 ) ) + ( ( 三 三 ) ( 三 2 ) ( 2 1 ) + ( 三 三 ) ( 三 2 ) ( 2 0 ) + ( 三 三 ) ( 三 1 ) ( 1 0 ) + ( 三 2 ) ( 2 1 ) ( 1 0 ) ) + ( 三 三 ) ( 三 2 ) ( 2 1 ) ( 1 0 ) = ( 1 + 三 + 三 + 1 ) + ( 三 + 三 + 1 + 6 + 三 + 三 ) + ( 6 + 三 + 三 + 6 ) + 6 = 51 , F类 三 ∅ = ∑ k个 = 0 三 F类 三 , k个 ∅ = F类 三 , 0 ∅ + F类 三 , 1 ∅ + F类 三 , 2 ∅ + F类 三 , 三 ∅ = ( 三 0 ) + ∑ 1 ≤ 我 0 ≤ 三 ( 三 我 0 ) + ∑ 1 ≤ 我 0 < 我 1 ≤ 三 ( 三 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) + ∑ 1 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 ≤ 三 ( 三 我 2 ) ( 我 2 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) = ( 三 0 ) + ( ( 三 三 ) + ( 三 2 ) + ( 三 1 ) ) + ( ( 三 三 ) ( 三 2 ) + ( 三 三 ) ( 三 1 ) + ( 三 2 ) ( 2 1 ) ) + ( 三 三 ) ( 三 2 ) ( 2 1 ) = 1 + ( 1 + 三 + 三 ) + ( 三 + 三 + 6 ) + 6 = 26 ,
和
F类 三 X（X） = ∑ k个 = 0 n个 F类 三 , k个 X（X） = F类 三 , 0 X（X） + F类 三 , 1 X（X） + F类 三 , 2 X（X） + F类 三 , 三 X（X） = ( 三 三 ) + ∑ 0 ≤ 我 0 ≤ 2 ( 三 我 0 ) + ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 ≤ 2 ( 三 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) + ∑ 0 ≤ 我 0 < 我 1 < 我 2 ≤ 2 ( 三 我 2 ) ( 我 2 我 1 ) ( 我 1 我 0 ) = ( 三 三 ) + ( ( 三 2 ) + ( 三 1 ) + ( 三 0 ) ) + ( ( 三 2 ) ( 2 1 ) + ( 三 2 ) ( 2 0 ) + ( 三 1 ) ( 1 0 ) ) + ( 三 2 ) ( 2 1 ) ( 1 0 ) = 1 + ( 1 + 三 + 三 ) + ( 6 + 三 + 三 ) + 6 = 26 .
我们可以分析直接计算的时间复杂性 F类 n个 , k个 如下所示。计算二项式系数的最大时间复杂度 ( n个 k个 ) ,   0 ≤ k个 ≤ n个 是 O（运行） ( n个 ) 。对于 ( k个 + 1 )-元组序列 ( 我 0 , 我 1 , · , 我 k个 ) 令人满意的 1 ≤ 我 0 < 我 1 < · < 我 k个 − 1 ≤ n个 ,计算的时间复杂性 ( n个 我 k个 ) ( 我 k个 我 k个 − 1 ) · ( 我 1 我 0 ) 因此， ( k个 + 1 ) ∗ O（运行） ( n个 ) 然而，有 ( n个 + 1 k个 ) 中的序列   F类 n个 , k个 ; 因此 F类 n个 , k个 不是多项式。

5.结论

本文利用二项式数解决了任意有限集的模糊子集数的计数问题。的显式公式 F类 n个 和 F类 n个 ∅   ( = F类 n个 X（X） ) 有限集上不同的无根和有根模糊子集的个数 X（X） 分别导出了。此外，幂集上的组合结构 X（X） 进行了简要研究。此外，本文给出了OEIS中与这些数字密切相关的现有整数序列和获得的整数序列之间的联系。该研究可以成功地用于有限阶模糊矩阵的特殊类的分类。它还可以扩展到许多其他代数结构，例如有限群的子群、有限环的理想和有限域的子域。这必将为进一步加强研究指明方向，并在人工智能、聚类分析、图像处理、机器学习、神经网络等领域产生许多新的发现。
此外，如上所述，直接计算的时间复杂性 F类 n个 , k个 不是多项式。作为未来的工作，我们可以尝试推导一种更好的计算方法 F类 n个 , k个 例如设计一种递归方法来获取其值。

作者贡献

概念化，R.K.M.和T.-P.H。；形式分析，R.K.M。；调查，R.K.M。；方法，R.K.M.和T.-P.H。；监督，T.-P.H。；验证，R.K.M。；可视化、R.K.M.和T.-P.H。；书面原稿，R.K.M。；写作评论和编辑，R.K.M.和T.-P.H.所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

致谢

我们真诚地感谢（S.R.Kannan，印度普杜切里邦迪切里大学）对改进手稿提出的宝贵建议。

利益冲突

提交人声明他们没有利益冲突。

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数学10 01161 g001 550
图1。3个元素的功率集中的链条。
图1。3个元素的功率集中的链条。
数学10 01161 g001
数学10 01161 g002 550
图2。 L（左）( P（P） ({1,2,3,4})).
图2。 L（左）( P（P） （｛1,2,3,4｝））。
数学10 01161 g002
数学10 01161 g003 550
图3。与OEIS中模糊子集相关的序列之间的连接。
图3。与OEIS中模糊子集相关的序列之间的连接。
数学10 01161 g003
表
表1。二项式数， ( n个 米 ) ;   0 ≤ 米 ≤ n个 ,   对于 n个 = 0 , 1 , · , 9 .
表1。二项式数， ( n个 米 ) ;   0 ≤ 米 ≤ n个 ,   对于 n个 = 0 , 1 , · , 9 .
( n个 米 ) ;   米
n个 012三456789 F类 n个 , 0
01 1
111 2
2121 4
三1三三1 8
414641 16
515101051 32
61615201561 64
7172135352171 128
818285670562881 256
9193684126126843691512
表
表2。 F类 n个 , k个 对于 0 ≤ k个 ≤ n个 , n个 ≤ 7 .
表2。 F类 n个 , k个 对于 0 ≤ k个 ≤ n个 , n个 ≤ 7 .
F类 n个 , k个 ;   k个
n个 012三4567 F类 n个
01 1
121 三
2452 11
三819186 51
416651108424 299
532211570750480120 2163
6646652702546058803240720 18,731
7128205912,13835,40657,12052,08025200个5040189,171
表
表3。 F类 n个 , k个 ∅ ( = F类 n个 , k个 X（X） ) ;   k个 和 F类 n个 ∅ ( = F类 n个 X（X） ) 对于 0 ≤ k个 ≤ n个 , n个 ≤ 7 .
表3。 F类 n个 , k个 ∅ ( = F类 n个 , k个 X（X） ) ;   k个 和 F类 n个 ∅ ( = F类 n个 X（X） ) 对于 0 ≤ k个 ≤ n个 , n个 ≤ 7 .
F类 n个 , k个 ∅ ( = F类 n个 , k个 X（X） ) ; k个 F类 n个 ∅ ( = F类 n个 X（X） ) .  
n个 012三4567
01 1
111 2
21三2 6
三17126 26
4115506024 150
5131180390360120 1082
6163602210033602520720 9366
71127193210,20625200个31,92020,160504094,586
出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

马哈帕特拉，R.K。；洪，T.-P。整数序列分析中有限模糊子集的个数。数学 2022,10, 1161.https://doi.org/10.3390/math10071161

AMA风格

Mohapatra RK，Hong T-P。整数序列分析中有限模糊子集的个数。数学. 2022; 10(7):1161.https://doi.org/10.3390/math10071161

芝加哥/图拉宾风格

Mohapatra、Rajesh Kumar和Tzung-Pei Hong。2022.“关于整数序列分析的有限模糊子集的数目”数学10，编号7:1161。https://doi.org/10.3390/math10071161

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