Periodic Orbits of a Mosquito Suppression Model Based on Sterile Mosquitoes

Zhu, Zhongcai; Shi, Yantao; Yan, Rong; Hu, Linchao

doi:10.3390/math10030462

开放式访问第条

基于无菌蚊子的灭蚊模型的周期轨道

¹

广州大学广州应用数学中心，中国广州510006

²

广州大学数学与信息科学学院，广州510006

^*

信件应寄给的作者。

数学 2022,10(3), 462;https://doi.org/10.3390/math10030462

收到的提交文件：2021年12月24日/修订日期：2022年1月19日/接受日期：2022年1月27日/发布日期：2022年1月31日

（本文属于特刊差分微分方程及其应用)

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摘要

:

在这项工作中，我们研究了基于无菌蚊子的蚊子种群抑制模型的周期轨道的存在性和稳定性。该模型在两个子方程之间切换，因为假设野外无菌蚊子的实际数量交替取两个常量值。采用庞加莱映射方法，我们表明该模型最多有两个T型-当释放量不足以消灭野生蚊子时的周期解，然后获得模型允许唯一或正好两个的一些充分条件T型-周期解。特别是，我们观察到，当模型恰好容纳两个时，它显示出双稳态T型-周期解：原点和较大的周期解是渐近稳定的，较小的周期解是不稳定的。最后，我们给出了两个数值例子来支持我们的引理和定理。

关键词：

无菌蚊子；蚊虫种群抑制；渐近稳定性；周期解；脉冲和周期释放

1.简介

登革热、疟疾、寨卡病毒、黄热病、西尼罗河热等蚊媒疾病严重威胁着热带和亚热带地区人民的健康。最近，全球气温上升和无节制的城市化大大扩大了此类疾病的威胁范围[1,2,三]. 预防和控制这些蚊媒疾病的最直接方法是控制媒介蚊子。无菌昆虫技术（SIT）和不兼容昆虫技术（IIT）是两种很有前途的环保灭蚊方法[4,5,6,7,8,9]包括饲养大量不育或沃尔巴奇亚-受感染的蚊子（以下称为无菌蚊子）在实验室或工厂中，然后释放到野外对野生蚊子进行消毒，从而可以逐步控制蚊子密度。

数学建模在控制和预防蚊媒疾病方面发挥了重要作用。一是研究沃尔巴奇亚蚊虫种群传播动力学研究沃尔巴奇亚蚊子种群[10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]另一个是研究野生蚊子和无菌蚊子的相互作用动力学，旨在将野生蚊子消灭或控制在蚊媒疾病暴发风险以下。大多数早期的交互动力学研究主要集中在模型上，其中无菌蚊子的数量被假定为满足独立动力学方程的独立变量，例如，见[20,21,22,23,24]最近的调查提出了一种动机-注意模型的想法，将不育蚊子的数量视为一个控制函数，而不是一个独立变量，因为不育蚊子的基本和唯一作用是与野生蚊子交配以诱导野生雌性不育，例如，见[25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38].

在[21]，李制定了以下模型

\begin{matrix} \frac{天 w个}{天 t吨} & = \frac{一 w个}{w个 + 克} (1 负极 ξ w个) w个 负极 μ w个, \\ \frac{天 克}{天 t吨} & = B类 (w个) 负极 μ 克, \end{matrix}

(1)

探讨野生蚊虫与无菌蚊虫之间的相互作用动力学。在这个模型中，

w个 = w个 (t吨), 克 = 克 (t吨)

是当时野生和无菌蚊子的数量t吨分别为，一是每只野生蚊子每单位时间产生的后代总数，

\frac{w个}{w个 + 克}

是与野生蚊子交配的比例，

ξ

表示野生蚊子的承载能力

1 负极 ξ w个

描述了依赖密度的生存概率，

μ

是野生和无菌蚊子的密度无关死亡率系数，以及

B类 (\cdot)

是无菌蚊子释放的速率。在三种不同的释放策略下：恒定释放(

B类 (w个) = b

)，比例释放(

B类 (w个) = b w个

)、和部分释放(

B类 (w个) = \frac{b w个}{1 + w个}

)得到了正平衡点存在和稳定的相应条件。

请注意，释放不育雄性蚊子是为了给野生蚊子消毒，还有两个事实：蚊子的寿命很短，而释放不育蚊子的性寿命远短于它们的寿命[39,40]，似乎有理由忽视那些释放出来的无菌蚊子在性活跃和充满活力时的死亡。此外，当时被释放到野外的无菌蚊子数量t吨提前知道[9]. 因此，通过考虑数字

克 (t吨)

当时释放的无菌蚊子数量t吨作为一个任意给定的非负连续函数，作者在[28]在中省略了第二个等式(1)，并通过以下模型研究了野生蚊子的全球动态

\frac{天 w个}{天 t吨} = \frac{一 w个}{w个 + 克} (1 负极 ξ w个) w个 负极 μ w个 .

(2)

这种处理大大简化了模型，使分析在数学上更容易处理。

在设计无菌蚊子的释放策略时，有三个重要参数：c（c），每个批次中的发布编号；T型，两个相邻释放之间的等待时间；

\bar{T型}

不育蚊子的性寿命。从关系的角度来看T型和

\bar{T型}

，有三种情况：

T型 > \bar{T型}, T型 = \bar{T型}

和

T型 < \bar{T型}

.英寸[38]，我们研究了第一种情况，并拆分了方程(2)转化为以下两个子方程

\frac{天 w个}{天 t吨} = \frac{一 {w个}^{2} (1 负极 ξ w个)}{w个 + c（c）} 负极 μ w个, t吨 \in [我 T型, 我 T型 + \bar{T型}),

(3)

和

\frac{天 w个}{天 t吨} = 一 (1 负极 ξ w个) w个 负极 μ w个, t吨 \in [我 T型 + \bar{T型}, (我 + 1) T型),

(4)

哪里

我 = 0, 1, \dots

我们定义了第一个发布量阈值

克^{*} = \frac{{(一 负极 μ)}^{2}}{4 一 μ ξ} .

(5)

假设

c（c） > 克^{*}

，我们进一步获得了第二个释放量阈值

{c（c）}^{*}

和等待时间阈值

{T型}^{*}

如下

{c（c）}^{*} = \frac{一 负极 μ}{μ ξ}, 和 {T型}^{*} = \frac{一}{一 负极 μ} \bar{T型} .

我们研究了方程式(三)和(4)探讨释放无菌蚊虫干扰下野生蚊虫的动态行为。

然而，饲养无菌蚊子需要巨大的经济投入，并使野生蚊子的密度低于给定值，这比消灭它们更现实。考虑到这些事实，在本文中，我们主要讨论模型的动力学(三)和(4)在发布策略下

c（c） \leq 克^{*}

该公司致力于减少野生蚊子的数量，成本低于[38]. 论文的其余部分结构如下。在第2节，我们介绍了一些准备工作，其中主要包括引入Poincaré映射来确定模型的周期解数(三)和(4)，以及一些对证明主要结果至关重要的引理。我们在以下方面给出了主要结果第3节和第4节.英寸第5节，我们提供了两个数值例子来验证我们的引理和定理。最后，对当前和未来的工作进行了一些讨论第6节.

2.准备工作

在这一节中，我们给出了一些引理，它们为我们主要结果的证明提供了一个跳板。

引理 1

([38]).假设

c（c） > 克^{*}

和

T型 > \bar{T型}

那么，以下结论是正确的。

$(1)$: 如果 $c（c） \geq {c（c）}^{*}$ 和 $T型 \leq {T型}^{*}$ 然后，原点，表示为 ${电子}_{0}$ ，全局渐近稳定；
$(2)$: 如果 $T型 > {T型}^{*}$ 或 $克^{*} < c（c） < {c（c）}^{*}$ 和 $T型 = {T型}^{*}$ 然后，模型(三)和(4)具有唯一的T周期解，该解全局渐近稳定；
$(三)$: 如果 $克^{*} < c（c） < {c（c）}^{*}$ .然后， ${电子}_{0}$ 局部渐近稳定当且仅当 $T型 < {T型}^{*}$ .

接下来我们给出模型解的定义(三)和(4)。A函数

w个 (t吨)

据说是模型的解决方案(三)和(4)，如果它同时满足这两个条件(三)和(4)。让

w个 ({T型}^{负极})

是的左极限

w个 (T型)

具有

w个 ({T型}^{负极}) = \underset{t吨 \to {T型}^{负极}}{林} w个 (t吨)

，并定义

w个 (我 T型) = w个 ({(我 T型)}^{负极}), w个 (我 T型 + \bar{T型}) = w个 ({(我 T型 + \bar{T型})}^{负极}), 我 = 0, 1, \dots

然后，

w个 (t吨)

是定义在上的连续且分段可微的函数

[0, + \infty)

.表示的解决方案(三)和(4)具有初始值

w个 (0) = u个 > 0

通过

w个 (t吨) = w个 (t吨 ； 0, u个)

.然后，

w个 (t吨)

是一个T型-模型的周期解(三)和(4)前提是

w个 (T型) = w个 (T型 ； 0, u个) = u个

。为了方便起见，我们设置

小时 (u个) : = w个 (T型 ； 0, u个), \bar{小时} (u个) : = w个 (\bar{T型} ； 0, u个)

贯穿本文始终。显然，两者都是

小时 (u个)

和

\bar{小时} (u个)

是中的连续可微函数

u个 > 0

.

如中所示[33]，我们定义了以下两个序列

{小时}_{n个} (u个)

和

{\bar{小时}}_{n个} (u个)

通过

\{\begin{matrix} {小时}_{n个} (u个) : = w个 (n个 T型 ； 0, u个), \\ {\bar{小时}}_{n个} (u个) : = w个 (n个 T型 + \bar{T型} ； 0, u个), \end{matrix} n个 = 0, 1, \dots

以下引理建立了符号之间的关系

小时 (u个) 负极 u个

和

{小时}_{n个} (u个) 负极 {小时}_{n个 负极 1} (u个), n个 = 2, 三, \dots

，在判断T型-模型的周期解(三)和(4).

引理 2

（引理2.1英寸[38]).对于任何给定的初始值u，以下结论成立。

$(1)$: 序列 ${{小时}_{n个} (u个)}$ 和 ${{\bar{小时}}_{n个} (u个)}$ 当且仅当 $小时 (u个) > u个$ .
$(2)$: ${小时}_{n个} (u个) \equiv u个, n个 = 1, 2, 三, \dots$ ，当且仅当 $小时 (u个) = u个$ 因此， $w个 (t吨) = w个 (t吨； 0, u个)$ 是模型的T周期解(三)和(4).
$(三)$: 序列 ${{小时}_{n个} (u个)}$ 和 ${{\bar{小时}}_{n个} (u个)}$ 当且仅当 $小时 (u个) < u个$ .

类似于中的引理2.9[30]，我们给出了以下充要条件

{电子}_{0}

渐近稳定。该证明也与[30]我们在这里省略了它。

柠檬三。

原产地

{电子}_{0}

是渐近稳定的当且仅当存在

δ_{0} > 0

这样的话

小时 (u个) < u个, 对于 u个 \in (0, δ_{0}) .

引理2告诉我们

{小时}^{'} (u个) 负极 1

在确定T型-模型的周期解(三)和(4)。为了得到这个符号，我们首先求解方程(三)的

t吨 \in [0, \bar{T型})

获取的表达式

\bar{小时} (u个)

，并求解方程(4)的

t吨 \in [\bar{T型}, T型)

得到以下关系

\bar{小时} (u个)

和

小时 (u个)

然后，我们取上述两个表达式两边的导数，得到

{\bar{小时}}^{'} (u个)

和

{小时}^{'} (u个)

。我们首先考虑方程式(4)因为它独立于c（c）.

什么时候？

t吨 \in [\bar{T型}, T型)

，方程式(4)是

\frac{天 w个}{天 t吨} = 负极 一 ξ w个 (w个 负极 一个),

（6）

哪里

一个 = \frac{一 负极 μ}{一 ξ}

。提供进一步的计算

天 (自然对数 \frac{w个}{| 一个 负极 w个 |}) = 一 一个 ξ 天 t吨 .

(7)

正在集成(7)来自

\bar{T型}

到T型，我们获得

\frac{w个 (T型)}{一个 负极 w个 (T型)} = \frac{w个 (\bar{T型})}{一个 负极 w个 (\bar{T型})} {e（电子）}^{一 一个 ξ (T型 负极 \bar{T型})},

也就是说，

\frac{\bar{小时} (u个)}{一个 负极 \bar{小时} (u个)} = \frac{米 小时 (u个)}{一个 负极 小时 (u个),}

(8)

哪里

米 = {e（电子）}^{负极 一 一个 ξ (T型 负极 \bar{T型})}

.

什么时候？

t吨 \in [0, \bar{T型})

，我们解方程(三)获取的表达式

\bar{小时} (u个)

由于解决方案可能取决于c（c）和

克^{*}

，我们考虑以下三种可能的情况。

案例（1）：

0 < c（c） < 克^{*}

在这种情况下，我们可以重写方程式(三)在表单中

\frac{天 w个}{天 t吨} = 负极 \frac{一 ξ w个}{w个 + c（c）} [{(w个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} 负极 \frac{μ}{一 ξ} (克^{*} 负极 c（c）)],

或者，同等地，

\frac{w个 + c（c）}{w个 [{(w个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} 负极 \frac{μ}{一 ξ} (克^{*} 负极 c（c）)]} 天 w个 = 负极 一 ξ 天 t吨 .

(9)

作为

0 < c（c） < 克^{*}

，我们知道

{(w个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} 负极 \frac{μ}{一 ξ} (克^{*} 负极 c（c）) = 0

有两个真正的根：

{电子}_{1} (c（c）) = \frac{一个}{2} 负极 \sqrt{\frac{μ}{一 ξ} (克^{*} 负极 c（c）)} 和 {电子}_{2} (c（c）) = \frac{一个}{2} + \sqrt{\frac{μ}{一 ξ} (克^{*} 负极 c（c）)} .

然后，我们写(9)作为

\frac{w个 + c（c）}{w个 (w个 负极 {电子}_{1} (c（c）)) (w个 负极 {电子}_{2} (c（c）))} 天 w个 = 负极 一 ξ 天 t吨 .

(10)

通过简单的计算，我们得到

天 \{自然对数 [{w个}^{α_{1}} \cdot | w个 负极 {电子}_{1} {(c（c）) |}^{β_{1}} \cdot {| w个 负极 {电子}_{2} (c（c）) |}^{γ_{1}}]\} = 负极 一 ξ 天 t吨,

(11)

哪里

α_{1} = \frac{c（c）}{{电子}_{1} (c（c）) {电子}_{2} (c（c）)}, β_{1} = 负极 \frac{c（c） + {电子}_{1} (c（c）)}{{电子}_{1} (c（c）) ({电子}_{2} (c（c）) 负极 {电子}_{1} (c（c）))}, γ_{1} = \frac{c（c） + {电子}_{2} (c（c）)}{{电子}_{2} (c（c）) ({电子}_{2} (c（c）) 负极 {电子}_{1} (c（c）))} .

正在集成(11)从0到

\bar{T型}

以及事实

w个 (0) = u个, w个 (\bar{T型}) = \bar{小时} (u个),

我们获得

{(\frac{\bar{小时} (u个)}{u个})}^{α_{1}} \cdot {(\frac{\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{1} (c（c）)}{u个 负极 {电子}_{1} (c（c）)})}^{β_{1}} \cdot {(\frac{\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{2} (c（c）)}{u个 负极 {电子}_{2} (c（c）)})}^{γ_{1}} = {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}} .

(12)

案例（2）：

c（c） = 克^{*}

在这种情况下，

{电子}_{1} (c（c）) = {电子}_{2} (c（c）) = \frac{一个}{2}

.设置

{电子}^{*} = \frac{一个}{2}

然后，方程式(三)是

\frac{天 w个}{天 t吨} = 负极 \frac{一 ξ w个}{w个 + 克^{*}} {(w个 负极 {电子}^{*})}^{2} .

(13)

方程式(13)等于

\frac{w个 + 克^{*}}{w个 {(w个 负极 {电子}^{*})}^{2}} 天 w个 = 负极 一 ξ 天 t吨,

它给出

(\frac{x}{w个} + \frac{年}{w个 负极 {电子}^{*}} + \frac{z（z）}{{(w个 负极 {电子}^{*})}^{2}}) 天 w个 = 负极 一 ξ 天 t吨,

(14)

哪里

x = \frac{克^{*}}{{({电子}^{*})}^{2}}, 年 = 负极 \frac{克^{*}}{{({电子}^{*})}^{2}}, z（z） = 1 + \frac{克^{*}}{{电子}^{*}} .

然后我们转变(14)至

天 \{自然对数 [{w个}^{x} \cdot {| w个 负极 {电子}^{*} |}^{年} \cdot {e（电子）}^{负极 \frac{z（z）}{w个 负极 {电子}^{*}}}]\} = 负极 一 ξ 天 t吨,

通过从0到积分得出

\bar{T型}

,

{\bar{小时}}^{x} (u个) \cdot {(\bar{小时} (u个) 负极 {电子}^{*})}^{年} \cdot {e（电子）}^{负极 \frac{z（z）}{\bar{小时} (u个) 负极 {电子}^{*}}} = {u个}^{x} \cdot {(u个 负极 {电子}^{*})}^{年} \cdot {e（电子）}^{负极 \frac{z（z）}{u个 负极 {电子}^{*}}} \cdot {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}} .

(15)

案例（3）：

c（c） > 克^{*}

。在这种情况下，我们从

(2.4)

英寸[38]

\begin{matrix} {\bar{小时}}^{α_{2}} (u个) \cdot {({(\bar{小时} (u个) 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2})}^{\frac{β_{2}}{2}} \cdot 经验 (\frac{γ_{2}}{b} {棕褐色的}^{负极 1} (\frac{\bar{小时} (u个) 负极 \frac{一个}{2}}{b})) \\ = {u个}^{α_{2}} \cdot {({(u个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2})}^{\frac{β_{2}}{2}} \cdot 经验 (\frac{γ_{2}}{b} {棕褐色的}^{负极 1} (\frac{u个 负极 \frac{一个}{2}}{b})) \cdot {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}}, \end{matrix}

(16)

哪里

α_{2} = \frac{一 ξ}{μ}, β_{2} = 负极 \frac{一 ξ}{μ}, γ_{2} = \frac{一 + μ}{2 μ}, b = \sqrt{\frac{μ}{一 ξ} (c（c） 负极 克^{*})} .

由于上述准备，我们现在给出以下引理，这表明模型(三)和(4)没有T型-周期解，当

u个 \geq 一个

.

引理 4

假设

u个 \geq 一个

.然后，

小时 (u个) < u个

.

证明。

由于解对初始数据的持续依赖性

w个 (t吨 ； 0, u个)

严格来说u个，相对于t吨对于

t吨 \in [0, \bar{T型})

什么时候

u个 \geq 一个

。然后，存在一个唯一的

{u个}_{一个} > 一个

这样的话

w个 (\bar{T型} ； 0, {u个}_{一个}) = 一个

、和

w个 (t吨 ； 0, {u个}_{一个}) \equiv 一个

什么时候

t吨 \in [\bar{T型}, T型)

，这意味着

小时 ({u个}_{一个}) = 一个 < {u个}_{一个}

因此，解决方案

w个 (t吨 ； 0, u个)

正在严格减少

t吨 \in [0, T型]

什么时候

u个 > {u个}_{一个}

，如所示图1A.因此，当

u个 > {u个}_{一个}

，我们有

小时 (u个) = w个 (T型 ； 0, u个) < u个

，这表明这个引理在这种情况下成立。什么时候？

u个 \in [一个, {u个}_{一个})

，我们有

小时 (u个) = w个 (T型 ； 0, u个) < w个 (T型 ； 0, {u个}_{一个}) = 一个 \leq u个,

因此，在这种情况下，引理也成立。这就完成了证明。□

下面的引理告诉我们模型(三)和(4)没有T型-周期解，当

u个 \in [{电子}_{1} (c（c）), {电子}_{2} (c（c）)]

具有

c（c） \in (0, 克^{*}]

.

引理 5

假设

0 < c（c） \leq 克^{*}

.那么，我们有

小时 (u个) > u个

对于

u个 \in [{电子}_{1} (c（c）), {电子}_{2} (c（c）)]

.

证明。

如果

c（c） = 克^{*}

，我们有

{电子}_{1} (c（c）) = {电子}_{2} (c（c）) = {电子}^{*} = \frac{一个}{2}

，它来自(6)和(13)那个

小时 ({电子}^{*}) > {电子}^{*}

，这证明了本例中的引理。

如果

c（c） < 克^{*}

，我们有，根据(12),

{\bar{小时}}^{α_{1}} (u个) \cdot {(\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{1} (c（c）))}^{β_{1}} \cdot {(\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{2} (c（c）))}^{γ_{1}} = {u个}^{α_{1}} \cdot {(u个 负极 {电子}_{1} (c（c）))}^{β_{1}} \cdot {(u个 负极 {电子}_{2} (c（c）))}^{γ_{1}} \cdot {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}} .

(17)

设置

κ (u个) = {u个}^{α_{1}} \cdot {(u个 负极 {电子}_{1} (c（c）))}^{β_{1}} \cdot {(u个 负极 {电子}_{2} (c（c）))}^{γ_{1}} .

(18)

然后，

κ (u个) < 0

、和(17)成为

κ (\bar{小时} (u个)) = κ (u个) {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}}

，这表明

κ (\bar{小时} (u个)) > κ (u个)

。通过对两边求导(18)，我们获得

κ^{'} (u个) = κ (u个) \frac{u个 + c（c）}{u个 (u个 负极 {电子}_{1} (c（c）)) (u个 负极 {电子}_{2} (c（c）))} > 0, u个 \in ({电子}_{1} (c（c）), {电子}_{2} (c（c）)) .

因此，我们获得

\bar{小时} (u个) > u个

此外，从事实来看

0 < {电子}_{1} (c（c）) < {电子}_{2} (c（c）) < 一个

（参见图1B），我们看到了

w个 (t吨 ； 0, u个)

正在严格增加

t吨 \in [\bar{T型}, T型]

等等

小时 (u个) = w个 (T型 ； 0, u个) > w个 (\bar{T型}, 0, u个) = \bar{小时} (u个) > u个

显然，当

u个 = {电子}_{1} (c（c）)

或

u个 = {电子}_{2} (c（c）)

，我们也有

小时 (u个) > u个

。证明已完成。□

什么时候？

u个 \in (0, {电子}_{1} (c（c）))

，以下引理意味着模型(三)和(4)最多有一个T型-周期解。

引理 6

假设

0 < c（c） \leq 克^{*}

.然后，

小时 (u个) 负极 u个 = 0

当

u个 \in (0, {电子}_{1} (c（c）))

.

证明。

我们把证据分为两种情况

0 < c（c） < 克^{*}

和

c（c） = 克^{*}

.定义

H（H） (u个) = 小时 (u个) 负极 u个

。对于以下情况

0 < c（c） < 克^{*}

自相矛盾地认为

H（H） (u个) = 0

至少有两个正实根

u个 \in (0, {电子}_{1} (c（c）))

，表示最大的两个相邻根

{u个}_{1}

和

{u个}_{2}

，使用

0 < {u个}_{1} < {u个}_{2} < {电子}_{1} (c（c）)

。请注意，我们已经有

H（H） ({电子}_{1} (c（c）)) = 小时 ({电子}_{1} (c（c）)) 负极 {电子}_{1} (c（c）) > 0

来自引理5。因此，我们必须

{H（H）}^{'} ({u个}_{2}) \geq 0

。请参阅图2用于图示。

为了方便起见，我们

{电子}_{我} (c（c）) = {电子}_{我}

具有

我 = 1, 2

此后。发件人(12)，我们有

{\bar{小时}}^{α_{1}} (u个) \cdot {({电子}_{1} 负极 \bar{小时} (u个))}^{β_{1}} \cdot {({电子}_{2} 负极 \bar{小时} (u个))}^{γ_{1}} = {u个}^{α_{1}} \cdot {({电子}_{1} 负极 u个)}^{β_{1}} \cdot {({电子}_{2} 负极 u个)}^{γ_{1}} \cdot {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}} .

(19)

计算两边的导数(19)，我们获得

\begin{matrix} {\bar{小时}}^{α_{1}} (u个) \cdot {({电子}_{1} 负极 \bar{小时} (u个))}^{β_{1}} \cdot {({电子}_{2} 负极 \bar{小时} (u个))}^{γ_{1}} \cdot \frac{\bar{小时} (u个) + c（c）}{\bar{小时} (u个) (\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{1}) (\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{2})} \cdot {\bar{小时}}^{'} (u个) \\ = {u个}^{α_{1}} \cdot {({电子}_{1} 负极 u个)}^{β_{1}} \cdot {({电子}_{2} 负极 u个)}^{γ_{1}} \cdot {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}} \cdot \frac{u个 + c（c）}{u个 (u个 负极 {电子}_{1}) (u个 负极 {电子}_{2})}, \end{matrix}

其中，结合(19)，给出

{\bar{小时}}^{'} (u个) = \frac{\bar{小时} (u个) (\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{1}) (\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{2}) (u个 + c（c）)}{u个 (u个 负极 {电子}_{1}) (u个 负极 {电子}_{2}) (\bar{小时} (u个) + c（c）)} .

(20)

发件人(8)，我们得到

小时 (u个) = \frac{一个 \bar{小时} (u个)}{米 一个 + (1 负极 米) \bar{小时} (u个)} 或 \bar{小时} (u个) = \frac{米 一个 小时 (u个)}{一个 负极 (1 负极 米) 小时 (u个)},

(21)

这表明

\begin{matrix} 一个 负极 \bar{小时} (u个) = \frac{一个 (一个 负极 小时 (u个))}{一个 负极 (1 负极 米) 小时 (u个)}, & \bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{1} = \frac{负极 一个 {电子}_{1} + (米 {电子}_{2} + {电子}_{1}) 小时 (u个)}{一个 负极 (1 负极 米) 小时 (u个)}, \\ \bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{2} = \frac{负极 一个 {电子}_{2} + (米 {电子}_{1} + {电子}_{2}) 小时 (u个)}{一个 负极 (1 负极 米) 小时 (u个)}, & \bar{小时} (u个) + c（c） = \frac{c（c） 一个 + (米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）) 小时 (u个)}{一个 负极 (1 负极 米) 小时 (u个)} . \end{matrix}

(22)

此外，通过对(21)，我们到达

{\bar{小时}}^{'} (u个) = \frac{米 {一个}^{2} {小时}^{'} (u个)}{{(一个 负极 (1 负极 米) 小时 (u个))}^{2}},

或者，同等地，

\frac{{\bar{小时}}^{'} (u个)}{\bar{小时} (u个) (一个 负极 \bar{小时} (u个))} = \frac{{小时}^{'} (u个)}{小时 (u个) (一个 负极 小时 (u个))},

它产生了，以及(20),

{小时}^{'} (u个) = \frac{小时 (u个) (一个 负极 小时 (u个)) (\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{1}) (\bar{小时} (u个) 负极 {电子}_{2}) (u个 + c（c）)}{u个 (一个 负极 \bar{小时} (u个)) (u个 负极 {电子}_{1}) (u个 负极 {电子}_{2}) (\bar{小时} (u个) + c（c）)} .

(23)

替换(22)到(23)，我们获得

{小时}^{'} (u个) = \frac{小时 (u个) [一个 {电子}_{1} 负极 (米 {电子}_{2} + {电子}_{1}) 小时 (u个)] [一个 {电子}_{2} 负极 (米 {电子}_{1} + {电子}_{2}) 小时 (u个)] (u个 + c（c）)}{一个 u个 ({电子}_{1} 负极 u个) ({电子}_{2} 负极 u个) {c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] 小时 (u个)}} .

(24)

从两个事实来看

小时 ({u个}_{2}) = {u个}_{2}

和

{小时}^{'} ({u个}_{2}) \geq 1

，我们得到

{小时}^{'} ({u个}_{2}) = \frac{[一个 {电子}_{1} 负极 (米 {电子}_{2} + {电子}_{1}) {u个}_{2}] [一个 {电子}_{2} 负极 (米 {电子}_{1} + {电子}_{2}) {u个}_{2}] ({u个}_{2} + c（c）)}{一个 ({电子}_{1} 负极 {u个}_{2}) ({电子}_{2} 负极 {u个}_{2}) {c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] {u个}_{2}}} \geq 1,

（25）

其中，连同

{电子}_{1} + {电子}_{2} = 一个

，给出

B类 {u个}_{2}^{2} + C类 {u个}_{2} + D类 \geq 0,

(26)

其中三个系数

B类, C类, D类

定义为

\begin{matrix} B类 & = (1 负极 米) {电子}_{1} {电子}_{2} + c（c） 一个, \\ C类 & = ((1 负极 米) c（c） 负极 2 一个) {电子}_{1} {电子}_{2} 负极 2 c（c） {一个}^{2}, \\ D类 & = 一个 ((一个 负极 c（c）) {电子}_{1} {电子}_{2} + c（c） {一个}^{2}) . \end{matrix}

（27）

定义

χ (u个) = B类 {u个}^{2} + C类 u个 + D类 .

(28)

然后(26)成为

χ ({u个}_{2}) \geq 0

.对于

{小时}^{'} ({u个}_{1})

和1，我们需要考虑两种情况：（I）

{小时}^{'} ({u个}_{1}) \leq 1

（参见中的面板（A）、（B）和（C）图2用于说明）和（II）

{小时}^{'} ({u个}_{1}) > 1

（参见中的面板（D）图2用于图示）。接下来，我们证明了两种情况（I）和（II）都是不可能的。

对于情况（I），类似于

{小时}^{'} ({u个}_{2}) 负极 1

和

χ ({u个}_{2})

，我们有

χ ({u个}_{1}) \leq 0

此外，我们有以下观察结果：

\begin{matrix} χ (0) = D类 > 0, χ^{'} (0) = C类 = 负极 ((1 + 米) c（c） + 2 一个) {电子}_{1} {电子}_{2} + 2 c（c） ({电子}_{1} {电子}_{2} 负极 {一个}^{2}) < 0, \\ χ ({电子}_{1}) = B类 {电子}_{1}^{2} + C类 {电子}_{1} + D类 = ({电子}_{1} + c（c）) [(1 负极 米) {电子}_{1}^{2} {电子}_{2} + 一个 {电子}_{2} ({电子}_{2} 负极 {电子}_{1})] > 0, \\ χ^{'} ({电子}_{1}) = 2 B类 {电子}_{1} + C类 = 负极 (2 米 {电子}_{1} + (1 + 米) c（c）) {电子}_{1} {电子}_{2} 负极 2 {电子}_{2}^{2} ({电子}_{1} + c（c）) < 0 . \end{matrix}

(29)

因此，我们得到

χ (u个) > 0, u个 \in (0, {电子}_{1}) .

(30)

因此，

χ ({u个}_{1}) > 0

，这与

χ ({u个}_{1}) \leq 0

.

此外，如果情况（II）成立，那么我们得到

{小时}^{'} ({u个}_{2}) = 1

，或等效地，

χ ({u个}_{2}) = 0

，这也与(30)。案件的证据

0 < c（c） < 克^{*}

已完成。

对于以下情况

c（c） = 克^{*}

，使用类似的参数导致(25)，我们有

{小时}^{'} ({u个}_{2}) = \frac{{米 一个 {u个}_{2} 负极 {电子}^{*} [一个 负极 (1 负极 米) {u个}_{2}]}^{2} ({u个}_{2} + 克^{*})}{一个 {({u个}_{2} 负极 {电子}^{*})}^{2} {米 一个 {u个}_{2} + 克^{*} [一个 负极 (1 负极 米) {u个}_{2}]}} \geq 1,

(31)

剩下的证据与案件相似

0 < c（c） < 克^{*}

省略。我们完成了证明。□

下面的引理告诉我们模型(三)和(4)有一个独特的T型-当

u个 \in ({电子}_{2}, 一个)

.

引理 7

假设

0 < c（c） \leq 克^{*}

.然后，

小时 (u个) 负极 u个 = 0

正好有一个正实根

({电子}_{2}, 一个)

.

证明。

我们首先考虑这个案子

0 < c（c） < 克^{*}

.从引理4和5，我们得到

小时 ({电子}_{2}) > {电子}_{2} 和 小时 (一个) < 一个 .

(32)

然后，存在

\hat{u个} \in ({电子}_{2}, 一个)

这样的话

H（H） (\hat{u个}) = 小时 (\hat{u个}) 负极 \hat{u个} = 0

接下来，我们证明

\hat{u个}

是唯一的正实根

H（H） (u个) = 0

对于

u个 \in ({电子}_{2}, 一个)

.

自相矛盾地假设

H（H） (u个) = 0

至少有两个正实根

u个 \in ({电子}_{2}, 一个)

，最小值和最大值表示为

{\bar{u个}}_{1}

和

{\bar{u个}}_{2}

分别是。因此(32)意味着

H（H） (u个) > 0, u个 \in ({电子}_{2}, {\bar{u个}}_{1}), 和 H（H） (u个) < 0, u个 \in ({\bar{u个}}_{2}, 一个) .

因此，我们得到

{H（H）}^{'} ({\bar{u个}}_{我}) \leq 0, 我 = 1, 2

然而，从

H（H） (u个)

，我们知道存在

\bar{u个} \in [{\bar{u个}}_{1}, {\bar{u个}}_{2}]

这样的话

H（H） (\bar{u个}) = 0

。我们考虑两种情况：（一）

{H（H）}^{'} (\bar{u个}) \geq 0

（参见中的面板（A–C图3用于说明）和（II）

{H（H）}^{'} (\bar{u个}) < 0

（请参见图3D）讨论

{H（H）}^{'} (\bar{u个})

.

对于案例（I），我们有

小时 ({\bar{u个}}_{我}) = {\bar{u个}}_{我}, {小时}^{'} ({\bar{u个}}_{我}) \leq 1, 我 = 1, 2, 和 小时 (\bar{u个}) = \bar{u个}, {小时}^{'} (\bar{u个}) \geq 1,

这就产生了

χ ({\bar{u个}}_{1}) \leq 0, χ ({\bar{u个}}_{2}) \leq 0, 和 χ (\bar{u个}) \geq 0,

哪里

χ (u个)

定义于(28)。为了完成证明，我们考虑了两个案例

χ (\bar{u个}) > 0

和

χ (\bar{u个}) = 0

分别进行。既然我们已经知道了

B类 > 0

和

χ (u个)

是二次多项式，第一种情况不成立。现在，我们集中讨论后者。存在两个子案例

χ (\bar{u个}) = 0

，即（a）

\bar{u个} \in ({\bar{u个}}_{1}, {\bar{u个}}_{2})

; 和（b）

\bar{u个} = {\bar{u个}}_{1} 或 \bar{u个} = {\bar{u个}}_{2}

.

根据情况中使用的类似论点

χ (\bar{u个}) > 0

，我们可以证明子情况（a）不成立。对于子情形（b），我们首先使用摄动方法讨论

\bar{u个} = {\bar{u个}}_{1}

.

为此，让

k个 > 1

足够小，以便

小时 (u个) 负极 k个 u个 = 0

正好有三个正实根，表示为

{u个}_{k个}^{(我)}, 我 = 1, 2, 三

，令人满意

0 < {u个}_{k个}^{(1)} < {\bar{u个}}_{1} < {u个}_{k个}^{(2)} < {u个}_{k个}^{(三)} < {\bar{u个}}_{2},

和

{小时}^{'} ({u个}_{k个}^{(1)}) \leq k个, {小时}^{'} ({u个}_{k个}^{(2)}) \geq k个, {小时}^{'} ({u个}_{k个}^{(三)}) \leq k个 .

(33)

请参见图4B用于图示。

替换

小时 ({u个}_{k个}^{(我)}) = k个 {u个}_{k个}^{(我)} (我 = 1, 2, 三)

到(24)，我们有

{小时}^{'} ({u个}_{k个}^{(我)}) = \frac{k个 [(米 {电子}_{2} + {电子}_{1}) k个 {u个}_{k个}^{(我)} 负极 一个 {电子}_{1}] [(米 {电子}_{1} + {电子}_{2}) k个 {u个}_{k个}^{(我)} 负极 一个 {电子}_{2}] ({u个}_{k个}^{(我)} + c（c）)}{一个 ({u个}_{k个}^{(我)} 负极 {电子}_{1}) ({u个}_{k个}^{(我)} 负极 {电子}_{2}) \{c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] k个 {u个}_{k个}^{(我)}\}}, 我 = 1, 2, 三,

其产量，通过(33),

\begin{matrix} B类 (k个) {({u个}_{k个}^{(1)})}^{2} + C类 (k个) {u个}_{k个}^{(1)} + D类 (k个) \leq 0, \\ B类 (k个) {({u个}_{k个}^{(2)})}^{2} + C类 (k个) {u个}_{k个}^{(2)} + D类 (k个) \geq 0, \\ B类 (k个) {({u个}_{k个}^{(三)})}^{2} + C类 (k个) {u个}_{k个}^{(三)} + D类 (k个) \leq 0, \end{matrix}

(34)

具有

B类 (k个), C类 (k个), D类 (k个)

定义如下：

\begin{matrix} B类 (k个) & = {k个}^{2} {(1 负极 米)}^{2} {电子}_{1} {电子}_{2} + k个 米 (k个 负极 1) {一个}^{2} + k个 c（c） (1 负极 米) 一个, \\ C类 (k个) & = k个 (1 负极 米) (k个 c（c） (1 负极 米) 负极 2 一个) {电子}_{1} {电子}_{2} + c（c） (1 + k个) (k个 米 负极 1) {一个}^{2}, \\ D类 (k个) & = (1 负极 k个 米) (c（c） 一个 + {电子}_{1} {电子}_{2}) {一个}^{2} 负极 c（c） k个 (1 负极 米) 一个 {电子}_{1} {电子}_{2} . \end{matrix}

因此，我们有

B类 (k个) > 0

，事实上

米 < 1 < k个

.

设置

χ_{k个} (u个) = B类 (k个) {u个}^{2} + C类 (k个) u个 + D类 (k个) .

然后，我们有，从(34),

χ_{k个} ({u个}_{k个}^{(1)}) \leq 0, χ_{k个} ({u个}_{k个}^{(2)}) \geq 0, 和 χ_{k个} ({u个}_{k个}^{(三)}) \leq 0,

这与之相矛盾

B类 (k个) > 0

和

χ_{k个} (u个)

是一个二次多项式。这证明了

\bar{u个} = {\bar{u个}}_{1}

是不可能的。

此外，如果

\bar{u个} = {\bar{u个}}_{2}

，然后

{H（H）}^{'} (\bar{u个}) = 0

，因此

χ (\bar{u个}) = 0

然而，我们发现

χ (一个) = B类 {一个}^{2} + C类 一个 + D类 = 负极 米 {电子}_{1} {电子}_{2} 一个 (一个 + c（c）) < 0,

这引发了矛盾，因为

{\bar{u个}}_{1} < \bar{u个} < 一个

和

B类 > 0

和

χ (u个)

是一个二次多项式。因此，子案例

(b)

也是不可能的，因此情况（I）是不可能的。

对于案例（II），我们得到

{H（H）}^{'} ({\bar{u个}}_{我}) = 0, 我 = 1, 2, 和 {H（H）}^{'} (\bar{u个}) < 0,

这将导致

χ (一个) > 0

，与

χ (一个) < 0

，因此情况（II）也是不可能的，这表明当

0 < c（c） < 克^{*}

.

对于本案

c（c） = 克^{*}

通过使用与案件证明中的论据类似的论据

0 < c（c） < 克^{*}

，我们可以证明这个引理在这种情况下也成立。证明就这样完成了。□

3.最多两个周期解

在本节中，我们给出了主要定理，其证明涉及引理1–7，并在发布策略下处理了三种不同的情况

T型 > \bar{T型}

.

定理 1

假设

T型 > \bar{T型}

然后，模型(三)和(4)最多允许两个T周期解。

证明。

我们将证据分为以下三种情况：

(我) 0 < c（c） \leq 克^{*} ； (ii（ii）) 克^{*} < c（c） < {c（c）}^{*} ； (三) c（c） \geq {c（c）}^{*} .

对于情况（i），引理4-7告诉我们模型(三)和(4)没有T型-周期解，当

u个 \in [{电子}_{1}, {电子}_{2}] \cup [一个, + \infty)

，正好一个T型-周期解，当

u个 \in ({电子}_{2}, 一个)

，最多一个T型-周期解，当

u个 \in (0, {电子}_{1})

; 这些事实表明，模型(三)和(4)最多有两个T型-这种情况下的周期解。

对于情况（ii），从引理1（2），我们知道模型(三)和(4)有一个独特的T型-当

T型 \geq {T型}^{*}

因此，我们只需要考虑

T型 < {T型}^{*}

.

自相矛盾地假设模型(三)和(4)至少有三个T型-周期解。让

{w个}_{1} (t吨) = w个 (t吨 ； 0, {u个}_{1}^{0})

和

{w个}_{2} (t吨) = w个 (t吨 ； 0, {u个}_{2}^{0})

分别是初始值最小和最大的两个周期解。从引理4，我们得到

{u个}_{我}^{0} \in (0, 一个), 我 = 1, 2

从引理1（3）我们知道

{电子}_{0}

是局部渐近稳定的，它给出

小时 (u个) < u个, u个 \in (0, {u个}_{1}^{0}) \cup ({u个}_{2}^{0}, 一个), 和 {小时}^{'} ({u个}_{1}^{0}) \geq 1, {小时}^{'} ({u个}_{2}^{0}) \leq 1 .

如果模型(三)和(4)正好有三个T型-周期解，我们表示第三个T型-周期解

{w个}_{三} (t吨) = w个 (t吨 ； 0, {u个}_{三}^{0})

.对于

{小时}^{'} ({u个}_{三}^{0})

和1，如所示图5，我们需要考虑两种可能的情况：

{小时}^{'} ({u个}_{三}^{0}) < 1

和

{小时}^{'} ({u个}_{三}^{0}) \geq 1

.

在这里，我们只考虑

{小时}^{'} ({u个}_{三}^{0}) \geq 1

，作为案例分析

{小时}^{'} ({u个}_{三}^{0}) < 1

类似，已省略。存在

{u个}_{4}^{0} \in [{u个}_{1}^{0}, {u个}_{三}^{0}]

这样的话

小时 ({u个}_{4}^{0}) = {u个}_{4}^{0}

和

{小时}^{'} ({u个}_{4}^{0}) \leq 1

.让

Φ (u个) = {u个}^{α_{2}} {({(u个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2})}^{\frac{β_{2}}{2}} 经验 \{\frac{γ_{2}}{b} {棕褐色的}^{负极 1} (\frac{u个 负极 \frac{一个}{2}}{b})\} .

(35)

那么，我们有

Φ^{'} (u个) = (\frac{α_{2}}{u个} + \frac{β_{2} (u个 负极 \frac{一个}{2}) + γ_{2}}{{(u个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}}) Φ (u个) = \frac{u个 + c（c）}{u个 ({(u个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2})} Φ (u个) .

(36)

由(35), (16)成为

Φ (\bar{小时} (u个)) = Φ (u个) {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}},

(37)

通过对两边求导，

Φ^{'} (\bar{小时} (u个)) {\bar{小时}}^{'} (u个) = Φ^{'} (u个) {e（电子）}^{负极 一 ξ \bar{T型}},

(38)

替换(36)和(37)到(38)，我们获得

{\bar{小时}}^{'} (u个) = \frac{\bar{小时} (u个) ({(\bar{小时} (u个) 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}) (u个 + c（c）)}{u个 ({(u个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}) (\bar{小时} (u个) + c（c）)} .

(39)

两边取导数(8)，我们得到

\frac{{\bar{小时}}^{'} (u个)}{{(一个 负极 \bar{小时} (u个))}^{2}} = \frac{米 {小时}^{'} (u个)}{{(一个 负极 小时 (u个))}^{2}} .

(40)

替换(8)和(39)到(40)，我们到达

{小时}^{'} (u个) = \frac{小时 (u个) \{\frac{{一个}^{2}}{4} {[一个 负极 (1 + 米) 小时 (u个)]}^{2} + b^{2} {[一个 负极 (1 负极 米) 小时 (u个)]}^{2}\} (u个 + c（c）)}{一个 u个 ({(u个 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}) \{c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] 小时 (u个)\}} .

那么，我们有

\begin{matrix} {小时}^{'} ({u个}_{1}^{0}) = \frac{\{\frac{{一个}^{2}}{4} {[一个 负极 (1 + 米) {u个}_{1}^{0}]}^{2} + b^{2} {[一个 负极 (1 负极 米) {u个}_{1}^{0}]}^{2}\} ({u个}_{1}^{0} + c（c）)}{一个 ({({u个}_{1}^{0} 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}) \{c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] {u个}_{1}^{0}\}} \geq 1, \\ {小时}^{'} ({u个}_{2}^{0}) = \frac{\{\frac{{一个}^{2}}{4} {[一个 负极 (1 + 米) {u个}_{2}^{0}]}^{2} + b^{2} {[一个 负极 (1 负极 米) {u个}_{2}^{0}]}^{2}\} ({u个}_{2}^{0} + c（c）)}{一个 ({({u个}_{2}^{0} 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}) \{c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] {u个}_{2}^{0}\}} \leq 1, \\ {小时}^{'} ({u个}_{三}^{0}) = \frac{\{\frac{{一个}^{2}}{4} {[一个 负极 (1 + 米) {u个}_{三}^{0}]}^{2} + b^{2} {[一个 负极 (1 负极 米) {u个}_{三}^{0}]}^{2}\} ({u个}_{三}^{0} + c（c）)}{一个 ({({u个}_{三}^{0} 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}) \{c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] {u个}_{三}^{0}\}} \geq 1, \end{matrix}

(41)

和

{小时}^{'} ({u个}_{4}^{0}) = \frac{\{\frac{{一个}^{2}}{4} {[一个 负极 (1 + 米) {u个}_{4}^{0}]}^{2} + b^{2} {[一个 负极 (1 负极 米) {u个}_{4}^{0}]}^{2}\} ({u个}_{4}^{0} + c（c）)}{一个 ({({u个}_{4}^{0} 负极 \frac{一个}{2})}^{2} + b^{2}) \{c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] {u个}_{4}^{0}\}} \leq 1 .

(42)

定义

Ω (u个) = {B类}_{0} {u个}^{2} + {C类}_{0} u个 + {D类}_{0},

哪里

{B类}_{0} = \frac{一 负极 米 μ}{一 ξ}, {C类}_{0} = \frac{(1 负极 米) c（c） μ ξ 负极 2 (一 负极 μ)}{一 ξ^{2}}, {D类}_{0} = 负极 \frac{μ (c（c） 负极 {c（c）}^{*})}{一 ξ} 一个 .

然后(41)和(42)暗示

Ω ({u个}_{1}^{0}) \geq 0, Ω ({u个}_{4}^{0}) \leq 0, Ω ({u个}_{三}^{0}) \geq 0, Ω ({u个}_{2}^{0}) \leq 0 .

(43)

请注意

{B类}_{0} > 0

和

Ω (u个)

是一个二次多项式，并且

{u个}_{1}^{0} \leq {u个}_{4}^{0} \leq {u个}_{三}^{0} \leq {u个}_{2}^{0}

，违反了(43)。在这种情况下，证明已经完成。

对于情况（iii），引理1（1）和引理1(三)和(4)最多有一个T型-周期解。我们完成了证明。□

4.唯一精确的两个周期解

引理4-7意味着模型(三)和(4)至少有一个，最多两个T型-周期解，当

0 < c（c） \leq 克^{*}

在本节中，我们给出了模型的相应充要条件(三)和(4)承认一个独特的或正好两个T型-周期性解决方案表明，只有当野生蚊子的初始种群规模小于给定值时，才能将其消灭。

定理 2

假设

0 < c（c） \leq 克^{*}

那么，以下两个结论成立。

$(1)$: 模型(三)和(4)具有唯一全局渐近稳定的T周期解，当且仅当 ${电子}_{0}$ 不稳定；
$(2)$: 模型(三)和(4)正好有两个T周期解当且仅当 ${电子}_{0}$ 是局部渐近稳定的。对于两个T周期解，初值较大的解是渐近稳定的，而另一个解是不稳定的。

证明。

引理7告诉我们模型(三)和(4)有一个独特的T型-周期解，当

u个 \in ({电子}_{2}, 一个)

。表示唯一T型-周期解

\hat{w个} (t吨) = w个 (t吨 ； 0, \hat{u个})

.那么，我们有

小时 (u个) > u个, u个 \in ({电子}_{1}, \hat{u个}), 和 小时 (u个) < u个, u个 \in (\hat{u个}, + \infty) .

(44)

(1)假设

\hat{w个} (t吨)

全局渐近稳定。然后，很明显，

{电子}_{0}

不稳定。此外，假设

{电子}_{0}

不稳定。然后，存在

\bar{δ} > 0

这样的话

小时 (u个) > u个

为所有人保留

u个 \in (0, \bar{δ})

通过引理6和(44),

小时 (u个) > u个, u个 \in (0, {电子}_{1}] .

这个，连同(44)，我们得到

小时 (u个) > u个, u个 \in (0, \hat{u个}), 和 小时 (u个) < u个, u个 \in (\hat{u个}, + \infty) .

的全局渐近稳定性的证明

\hat{w个} (t吨)

类似于中的定理3.4[38]省略。

(2)从引理4-7，我们发现“模型(三)和(4)正好有两个T型-周期解“等价于”

小时 (u个) 负极 u个 = 0

正好有一个正实根

(0, {电子}_{1})

”. 我们首先展示

{电子}_{0}

是渐近稳定的，前提是

小时 (u个) 负极 u个 = 0

正好有一个正实根

(0, {电子}_{1})

.让

{u个}^{*} \in (0, {电子}_{1})

表示这个根。发件人(44)，我们到达

小时 (u个) > u个, u个 \in ({u个}^{*}, \hat{u个}), 和 小时 (u个) < u个, u个 \in (\hat{u个}, + \infty) .

(45)

接下来，我们证明

小时 (u个) < u个, u个 \in (0, {u个}^{*}) .

(46)

矛盾地假设(46)不是真的。请注意

小时 (u个) 负极 u个 = 0

没有积极的真正根源

(0, {u个}^{*})

，然后

小时 (u个) > u个

为所有人保留

u个 \in (0, {u个}^{*})

。这个，连同(45)和

小时 ({u个}^{*}) = {u个}^{*}

，表示

{小时}^{'} ({u个}^{*}) = 1

.如果

c（c） \in (0, 克^{*})

然后我们从(24),

{小时}^{'} ({u个}^{*}) = \frac{[一个 {电子}_{1} 负极 (米 {电子}_{2} + {电子}_{1}) {u个}^{*}] [一个 {电子}_{2} 负极 (米 {电子}_{1} + {电子}_{2}) {u个}^{*}] ({u个}^{*} + c（c）)}{一个 ({电子}_{1} 负极 {u个}^{*}) ({电子}_{2} 负极 {u个}^{*}) {c（c） 一个 + [米 一个 负极 (1 负极 米) c（c）] {u个}^{*}}} = 1,

这就产生了

χ ({u个}^{*}) = B类 {({u个}^{*})}^{2} + C类 {u个}^{*} + D类 = 0,

哪里

B类, C类, D类

定义于(27)。发件人(29)，我们有

χ (0) > 0, χ^{'} (0) < 0, χ ({电子}_{1}) > 0, χ^{'} ({电子}_{1}) < 0

，这表明

χ (u个) > 0

为所有人保留

u个 \in (0, {电子}_{1})

，这与

{u个}^{*} \in (0, {电子}_{1})

和

χ ({u个}^{*}) = 0

因此(46)在以下情况下是正确的

c（c） \in (0, 克^{*})

.

如果

c（c） = 克^{*}

，然后我们从中获得(31),

{小时}^{'} ({u个}^{*}) = \frac{{(1 + 米) {电子}^{*} {u个}^{*} 负极 一个 {电子}^{*}}^{2} ({u个}^{*} + 克^{*})}{一个 {({u个}^{*} 负极 {电子}^{*})}^{2} {米 一个 {u个}^{*} + 克^{*} [一个 负极 (1 负极 米) {u个}^{*}]}} = 1,

这就产生了

{B类}^{*} {({u个}^{*})}^{2} + {C类}^{*} {u个}^{*} + {D类}^{*} = 0,

哪里

\begin{matrix} {B类}^{*} & = (1 负极 米) {({电子}^{*})}^{2} + 克^{*} 一个, \\ {C类}^{*} & = [(1 负极 米) 克^{*} 负极 2 一个] {({电子}^{*})}^{2} 负极 2 克^{*} {一个}^{2}, \\ {D类}^{*} & = 一个 \{一个 {({电子}^{*})}^{2} + 克^{*} [{一个}^{2} 负极 {({电子}^{*})}^{2}]\} . \end{matrix}

让

χ^{*} (u个) = {B类}^{*} {u个}^{2} + {C类}^{*} u个 + {D类}^{*}

.然后，

χ^{*} ({u个}^{*}) = 0

通过简单计算，我们得出

\begin{matrix} χ^{*} (0) = {D类}^{*} > 0, {(χ^{*})}^{'} (0) = {C类}^{*} = 负极 [(1 + 米) 克^{*} + 2 一个] {({电子}^{*})}^{2} 负极 2 克^{*} ({一个}^{2} 负极 {({电子}^{*})}^{2}) < 0, \\ χ^{*} ({电子}^{*}) = {B类}^{*} {({电子}^{*})}^{2} + {C类}^{*} {电子}^{*} + {D类}^{*} = (1 负极 米) {({电子}^{*})}^{三} ({电子}^{*} + 克^{*}) > 0, \\ {(χ^{*})}^{'} ({电子}^{*}) = 2 {B类}^{*} {电子}^{*} + {C类}^{*} = 负极 2 (1 + 米) {({电子}^{*})}^{三} 负极 (三 + 米) 克^{*} {({电子}^{*})}^{2} < 0, \end{matrix}

这将导致

χ^{*} (u个) > 0

为所有人

u个 \in (0, {电子}^{*})

。这与

χ^{*} ({u个}^{*}) = 0

和

{u个}^{*} \in (0, {电子}^{*})

因此(46)在这种情况下也是如此。从引理3我们知道

{电子}_{0}

是渐近稳定的。

接下来，我们证明

小时 (u个) 负极 u个 = 0

正好有一个正实根

(0, {电子}_{1})

前提是

{电子}_{0}

是渐近稳定的。从引理3中，我们看到存在

δ_{0} > 0

这样的话

小时 (u个) < u个

为所有人保留

u个 \in (0, δ_{0})

、和

小时 ({电子}_{1}) > {电子}_{1}

（或

小时 ({电子}^{*}) > {电子}^{*}

什么时候

c（c） = 克^{*}

)来自引理5。因此，有

\tilde{u个} \in (δ_{0}, {电子}_{1})

这样的话

小时 (\tilde{u个}) = \tilde{u个}

此外，根据引理6，我们发现

小时 (u个) 负极 u个 = 0

除此之外没有额外的正实根

\tilde{u个}

对于

u个 \in (0, {电子}_{1})

因此，

\tilde{w个} (t吨) = w个 (t吨 ； 0, \tilde{u个})

是另一个T型-模型的周期解(三)和(4)。到目前为止，我们已经证明了模型(三)和(4)正好有两个T型-周期解，即。，

\hat{w个} (t吨)

和

\tilde{w个} (t吨)

剩下的证明是

\hat{w个} (t吨)

以及

\tilde{w个} (t吨)

事实上，从上述分析来看，我们已经

小时 (u个) < u个, u个 \in (0, \tilde{u个}) \cup (\hat{u个}, + \infty), 和 小时 (u个) > u个, u个 \in (\tilde{u个}, \hat{u个}) .

(47)

由于不稳定

\tilde{w个} (t吨)

可以从(47)直接来说，我们只需要证明

\hat{w个} (t吨)

是渐近稳定的。对于

{t吨}_{0} \geq 0

和

\forall ε \in (0, 最小值 {\hat{u个} 负极 {电子}_{2}, 一个 负极 \hat{u个}})

，我们证明

| w个 (t吨 ； {t吨}_{0}, u个) 负极 \hat{w个} (t吨) | < ε, t吨 \geq {t吨}_{0},

(48)

前提是存在

δ = δ (ε) > 0

这样的话

| u个 负极 \hat{u个} | < δ

。对于

u个 > \tilde{u个}

，我们有

\underset{t吨 \to + \infty}{林} [w个 (t吨 ； {t吨}_{0}, u个) 负极 \hat{w个} (t吨)] = 0 .

(49)

为了方便起见，我们设置

{t吨}_{0} = 0

.选择

δ = ε

然后，我们需要证明这一点(48)在以下情况下保持

| u个 负极 \hat{u个} | < δ

.自相矛盾地假设(48)不是真的，那么就存在

\bar{t吨} > 0

这样的话

| w个 (\bar{t吨} ； 0, u个) 负极 \hat{w个} (\bar{t吨}) | = ε, 和 | w个 (t吨 ； 0, u个) 负极 \hat{w个} (t吨) | < ε, t吨 \in [0, \bar{t吨}) .

(50)

在不失一般性的情况下，我们假设

w个 (\bar{t吨} ； 0, u个) = \hat{w个} (\bar{t吨}) 负极 ε

。那么，必须存在一些非负整数

λ

这样的话

\bar{t吨} = λ T型

,

\bar{t吨} = λ T型 + \bar{T型}

，或

\bar{t吨} \in (λ T型, λ T型 + \bar{T型}) \cup (λ T型 + \bar{T型}, (λ + 1) T型)

.如果

\bar{t吨} = λ T型

，然后我们得到

{小时}_{λ} (u个) = {小时}_{λ} (\hat{u个}) 负极 ε, 和 {小时}_{n个} (u个) > {小时}_{n个} (\hat{u个}) 负极 ε, n个 = 0, 1, \dots, λ 负极 1,

这表明

{小时}_{λ} (u个) < {小时}_{n个} (u个)

作为

{小时}_{λ} (\hat{u个}) = {小时}_{n个} (\hat{u个}) = \hat{u个}, n个 = 0, 1, \dots, λ 负极 1

.从引理2，我们得到

小时 (u个) < u个, u个 \in (\tilde{u个}, \hat{u个})

，这与(47).

根据第一个案例中显示的相同原因，我们发现

\bar{t吨} = λ T型 + \bar{T型}

也是不可能的。

最后，我们假设

\bar{t吨} \in (λ T型, λ T型 + \bar{T型}) \cup (λ T型 + \bar{T型}, (λ + 1) T型)

一方面，如果

\bar{t吨} \in (λ T型, λ T型 + \bar{T型})

，那么我们有，因为

{w个}^{'} (\bar{t吨}) \leq \hat{w个} (\bar{t吨})

，以及(10),

\frac{w个 (\bar{t吨} ； 0, u个) (w个 (\bar{t吨} ； 0, u个) 负极 {电子}_{1}) (w个 (\bar{t吨} ； 0, u个) 负极 {电子}_{2})}{w个 (\bar{t吨} ； 0, u个) + c（c）} \geq \frac{\hat{w个} (\bar{t吨}) (\hat{w个} (\bar{t吨}) 负极 {电子}_{1}) (\hat{w个} (\bar{t吨}) 负极 {电子}_{2})}{\hat{w个} (\bar{t吨}) + c（c）},

这是不可能的，因为

\frac{w个 (w个 负极 {电子}_{1}) (w个 负极 {电子}_{2})}{w个 + c（c）}

严格来说

w个 \in ({电子}_{2}, + \infty)

另一方面，如果

\bar{t吨} \in (λ T型 + \bar{T型}, (λ + 1) T型)

，来自

{w个}^{'} (\bar{t吨}) \leq \hat{w个} (\bar{t吨})

和(6)，我们得到

w个 (\bar{t吨} ； 0, u个) (一个 负极 w个 (\bar{t吨} ； 0, u个)) \leq \hat{w个} (\bar{t吨}) (一个 负极 \hat{w个} (\bar{t吨})),

或者，同等地，

(\hat{w个} (\bar{t吨}) 负极 ε) (一个 负极 (\hat{w个} (\bar{t吨}) 负极 ε)) \leq \hat{w个} (\bar{t吨}) (一个 负极 \hat{w个} (\bar{t吨})),

这也是不可能的，因为

w个 (一个 负极 w个)

相对于

w个 \in [\frac{一个}{2}, + \infty)

因此(50)持有，以及

\hat{w个} (t吨)

是稳定的。

最后，我们证明(49)是真的。它源自(47)那个

小时 (u个) < u个

对于

u个 \in (\hat{u个}, + \infty)

.根据引理2，我们知道这个序列

{{小时}_{n个} (u个)}

正在严格减少。然后，

\underset{n个 \to \infty}{林} {小时}_{n个} (u个) = \hat{u个}

，这意味着(49)为true，如果

u个 > \hat{u个}

。对于以下情况

u个 \in (\tilde{u个}, \hat{u个})

，该证明类似于

u个 > \hat{u个}

省略。这就完成了证明。□

以下定理提供了一个充分条件，确保模型(三)和(4)正好可以容纳两个T型-周期解。

定理三。

假设

c（c） \in (0, 克^{*}]

和

T型 < {T型}^{*}

然后，模型(三)和(4)正好可以接受两个T周期解。此外，较大的是渐近稳定的，较小的是不稳定的，原点也是渐近稳定的。

证明。

从定理2中，我们只需要证明原点是渐近稳定的。什么时候？

u个 \to 0

，我们有

\bar{小时} (u个) \to 0

和

小时 (u个) \to 0

，这两个事实，结合(8), (12)和(15)，显示

\begin{matrix} \underset{u个 \to 0}{林} \frac{\bar{小时} (u个)}{u个} = {e（电子）}^{负极 \frac{一 ξ}{α_{1}} \bar{T型}} = {e（电子）}^{负极 \frac{一 ξ {电子}_{1} {电子}_{2}}{c（c）} \bar{T型}} = {e（电子）}^{负极 μ \bar{T型}}, 什么时候 c（c） \in (0, 克^{*}), \\ \underset{u个 \to 0}{林} \frac{\bar{小时} (u个)}{u个} = {e（电子）}^{负极 \frac{一 ξ}{x} \bar{T型}} = {e（电子）}^{负极 \frac{一 ξ {({电子}^{*})}^{2}}{克^{*}} \bar{T型}} = {e（电子）}^{负极 μ \bar{T型}}, 什么时候 c（c） = 克^{*}, \end{matrix}

和

\underset{u个 \to 0}{林} \frac{小时 (u个)}{\bar{小时} (u个)} = {e（电子）}^{一 一个 ξ (T型 负极 \bar{T型})} = {e（电子）}^{(一 负极 μ) (T型 负极 \bar{T型})} .

因此，我们得到

\underset{u个 \to 0}{林} \frac{小时 (u个)}{u个} = {e（电子）}^{(一 负极 μ) (T型 负极 {T型}^{*})} < 1,

它与引理3一起产生了原点

{电子}_{0}

是渐近稳定的。我们完成了证明。□

5.数值模拟

在本节中，我们给出了一些数值模拟来支持我们的引理和定理。

例子 1

让

一 = 2, μ = 0.05, ξ = 0.001, 和 \bar{T型} = 14 .

(51)

然后，

一个 = 975, 克^{*} = 9506.25

和

{T型}^{*} \approx 14.36

。我们选择

c（c） = 8000 < 克^{*}

，其中

{电子}_{1} (c（c）) = 293.4478, {电子}_{2} (c（c）) = 681.5522

。然后我们描述

H（H） (u个) = 小时 (u个) 负极 u个

对抗中的u图6通过随机选择8000个点

[0, 1950]

作为模型的初始值(三)和(4),然后解决(三)和(4)得到

H（H） (u个)

在面板（A）中，我们让

T型 = 14.2 < {T型}^{*}

.然后，

H（H） (u个) = 0

正好有两个正根

{u个}^{*}

和

\hat{u个}

，其值约等于

171.8 (\in (0, {电子}_{1} (c（c）)))

和

718.6 (\in ({电子}_{2} (c（c）), 一个))

分别是。与此同时，我们看到了

H（H） (u个) < 0

等待

u个 \in (0, {u个}^{*}) \cup (一个, + \infty)

、和

H（H） (u个) > 0

等待

u个 \in ({u个}^{*}, \hat{u个})

，验证了引理4、5和7。在面板（B）中，我们让

T型 = 14.5 > {T型}^{*}

然后，我们观察到

H（H） (u个) = 0

正好有一个正根

\hat{u个} \approx 866.55 \in ({电子}_{2} (c（c）), 一个)

在这种情况下，该图也与引理4、5和7一致。将面板（A）和（B）放在一起，我们发现引理6和定理2-3也得到了证实。我们在这里提到的是

c（c） = 克^{*}

几乎与的相同图6和被省略。

最后，从不同的角度，我们给出了以下数值例子来验证定理3。

例子 2

让参数在中指定(51).然后，

克^{*} = 9506.25

和

{T型}^{*} \approx 14.36

。如果我们选择

T型 = 14.2 < {T型}^{*}

和

c（c） = 8000 < 克^{*}

或

c（c） = 克^{*}

，则满足定理3中的条件，因此模型(三)和(4)正好可以接受两个T周期解。此外，起源

{电子}_{0}

和较大的T周期解都是渐近稳定的，而另一个T周期解是不稳定的，如所示图7.

6.结论

吸血雌蚊是许多危及生命的蚊媒疾病的罪魁祸首，防治蚊媒疾病最有效的方法是控制媒介蚊子，许多学者一直关注这一项目[13,16,32,41,42,43,44]. 使用杀虫剂可能会迅速减少蚊子种群数量，以减轻疫情，但它也会造成环境污染，并且由于昆虫会产生耐药性，因此只会产生短期影响。SIT和IIT是控制蚊子的有效且环保的方法，它们有两个共同的步骤：（i）在实验室或工厂饲养大量雄性蚊子，（ii）将其释放到野外，对野生蚊子进行消毒，从而抑制野生蚊子种群。考虑到蚊虫饲养和人工释放的成本，释放项目，包括释放量和释放周期，需要仔细分析。

周期性和脉冲性现象在生物种群的人工干预中普遍存在[30,31,33]. 基于SIT或IIT的抑制可以很快将野生蚊子数量减少到较低水平，但很难完全消灭野生蚊子，野生蚊子数量在相对较小的范围内周期性变化[9]. 周期性解决意味着野生蚊子种群是持续存在的，可以在低水平下控制，这可以保证蚊子种群数量低于疫情风险阈值。在本文中，我们假设无菌蚊子在固定的时间点释放

{T型}_{k个} = k个 T型 (k个 = 0, 1, 2, \dots)

具有大小c（c）此外，我们设定性寿命

\bar{T型}

无菌蚊子的数量小于释放期，且释放量不大于

克^{*}

，定义于(5)即。，

T型 > \bar{T型}

和

0 < c（c） \leq 克^{*}

。我们发现T型-周期解取决于原点的稳定性

{电子}_{0}

：如果

{电子}_{0}

是不稳定的，那么模型(三)和(4)具有唯一的全局渐近稳定T型-周期解；如果

{电子}_{0}

是渐近稳定的，那么模型(三)和(4)正好可以容纳两个T型-周期解，初值较大的解是渐近稳定的，而另一个解是不稳定的。这表明了本文和[38]：当前的工作意味着该模型(三)和(4)至少有一个周期性解决方案，这在生物学上意味着完全抑制取决于释放期和野生蚊子的初始密度。具体来说，只有在释放期较短的情况下才能消灭野生蚊子

T型 < {T型}^{*}

野生蚊子的初始大小小于给定的阈值。While期间[38]表明

{电子}_{0}

可能是全球渐近稳定的，这在生物学上意味着无论野生蚊子的初始密度如何，它们都可以在特定条件下被消灭。然而，本文中的发布策略补充了[38]. 结合本文和[38]，我们发现模型(三)和(4)最多有两个T型-周期解，当

T型 > \bar{T型}

.

众所周知，蚊子一生中会经历四个不同的阶段（卵、幼虫、蛹和成虫），前三个阶段发生在水中，最后一个阶段出现在空气中。在我们的ODE模型中(三)和(4)，我们忽略了发展过程，让

w个 (t吨)

表示成虫阶段的蚊子数量。然而，发育滞后可能会影响蚊子种群的动态行为[45]. 因此，考虑滞后因素更为合理和现实[24,31]这将在我们未来的工作中得到体现。

作者贡献

概念化、Z.Z.、Y.S.、R.Y.和L.H。；方法，Z.Z.和L.H。；形式分析，Z.Z.和L.H。；书面原稿编制，Z.Z。；写作审查和编辑，Z.Z.和L.H。；所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

本研究得到了国家自然科学基金（12071095120262212026236）的资助。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：

SIT公司	昆虫不育技术
个人所得税	不相容昆虫技术

工具书类

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朱，Z。；Yan，R。；Feng，X.一个交互式野生和无菌蚊子模型的两个周期解的存在性和稳定性。生物学杂志。动态。 2022，正在印刷中。[谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
朱，Z。；郑，B。；Shi，Y。；Yan，R。；Yu，J.在由两个子模型组成的蚊子种群抑制模型中的稳定性和周期性。非线性动力学。 2022,107, 1383–1395. [谷歌学者] [交叉参考]
疾病预防控制中心。生命周期：蚊子。2019.在线提供：https://www.cdc.gov/dengue/resources/factsheets/mosquitolifecyclefinal.pdf（2021年11月18日访问）。
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默多克·W·。；布里格斯，C。；尼斯贝特，R。消费者资源动态; 普林斯顿大学出版社：美国新泽西州普林斯顿，2003年。[谷歌学者]

图1。(一个)：存在唯一的

{u个}_{一个}

对于模型(三)和(4)使得解决方案

w个 (t吨)

正在严格减少

t吨 \in [0, T型]

什么时候

u个 > {u个}_{一个}

; (B类)：何时

0 < c（c） < 克^{*}

模型解的运动趋势(三)和(4)的

t吨 \in [0, T型]

和

u个 \in [{电子}_{1} (c（c）), {电子}_{2} (c（c）)]

.

图1。(一个)：存在唯一的

{u个}_{一个}

对于模型(三)和(4)这样解决方案

w个 (t吨)

正在严格减少

t吨 \in [0, T型]

什么时候

u个 > {u个}_{一个}

; (B类)：何时

0 < c（c） < 克^{*}

模型解的运动趋势(三)和(4)的

t吨 \in [0, T型]

和

u个 \in [{电子}_{1} (c（c）), {电子}_{2} (c（c）)]

.

图2。面板(一个——D类)有四种可能的情况

H（H） (u个) = 0

正好有两个正实根

u个 \in (0, {电子}_{1} (c（c）))

.

图2。面板(一个——D类)有四种可能的情况

H（H） (u个) = 0

正好有两个正实根

u个 \in (0, {电子}_{1} (c（c）))

.

图3。标志示意图

{H（H）}^{'} (\bar{u个})

.面板(一个——C类)舱单

{H（H）}^{'} (\bar{u个}) \geq 0

、和面板(D类)代表

{H（H）}^{'} (\bar{u个}) < 0

.

图3。标志示意图

{H（H）}^{'} (\bar{u个})

.面板(一个——C类)舱单

{H（H）}^{'} (\bar{u个}) \geq 0

、和面板(D类)代表

{H（H）}^{'} (\bar{u个}) < 0

.

图4。面板(一个)表示方程式的情况

小时 (u个) 负极 k个 u个 = 0

有两个正实根；面板（B）表明，基于面板中的实心曲线，通过小扰动，方程可能正好有三个正实根(B类).

图4。面板(一个)表示方程式的情况

小时 (u个) 负极 k个 u个 = 0

有两个正实根；面板（B）表明，基于面板中的实心曲线，通过小扰动，方程可能正好有三个正实根(B类).

图5。设置

克^{*} < c（c） < {c（c）}^{*}

.面板(一个——D类)当模型出现以下四种情况时(三)和(4)正好有三个T型-周期解。

图5。设置

克^{*} < c（c） < {c（c）}^{*}

.面板(一个——D类)当模型出现以下四种情况时(三)和(4)正好有三个T型-周期解。

图6。当参数

一, μ, ξ, \bar{T型}

在中指定(51)和

c（c） = 8000 < {G公司}^{*}

，我们导出了上述两个图，它们支持引理4-7和定理2和3。

图6。当参数

一, μ, ξ, \bar{T型}

在中指定(51)和

c（c） = 8000 < {G公司}^{*}

，我们导出了上述两个图，它们支持引理4-7和定理2和3。

图7。将参数设置为(51)。选择

T型 = 14.2

。选择

c（c） = 8000 < 克^{*}

面板内(一个)和

c（c） = 克^{*}

面板内(B类)。两个面板都显示模型(三)和(4)正好可以容纳两个T型-周期解。

图7。将参数设置为(51)。选择

T型 = 14.2

。选择

c（c） = 8000 < 克^{*}

面板内(一个)和

c（c） = 克^{*}

面板内(B类)。两个面板都显示模型(三)和(4)正好可以容纳两个T型-周期解。

出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

朱，Z。；Shi，Y。；Yan，R。；胡，L。基于无菌蚊子的蚊子抑制模型的周期轨道。数学 2022,10, 462.https://doi.org/10.3390/math10030462

AMA风格

朱泽，施毅，闫锐，胡磊。基于无菌蚊子的蚊子抑制模型的周期轨道。数学. 2022; 10(3):462.https://doi.org/10.3390/math10030462

芝加哥/图拉宾风格

朱忠才、石延涛、容颜和胡林超。2022.“基于无菌蚊子的蚊子抑制模型的周期轨道”数学10，编号3:462。https://doi.org/10.3390/math10030462

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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基于无菌蚊子的灭蚊模型的周期轨道

摘要

1.简介

2.准备工作

3.最多两个周期解

4.唯一精确的两个周期解

5.数值模拟

6.结论

作者贡献

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