1.简介
早期宇宙充满了不同的粒子。宇宙大爆炸后的一小部分秒，当时的温度是，标准模型中的所有颗粒均存在，且大致相同。此外，早期宇宙处于热平衡状态。在这个时候，基本上所有的粒子都以接近光速的速度运动。这些超相对论粒子的平均飞行距离和寿命非常短。频繁的相互作用导致粒子的不断产生和湮灭，只要粒子种类的产生速率等于湮灭速率，它们的丰度就保持不变。大质量粒子的产生需要很高的能量，因此当宇宙膨胀，温度下降时，大质量粒子产生的速度无法跟上它们的湮灭速度。我们所知道的最重的粒子，顶部夸克及其反粒子，仅在一皮秒后就开始消失()大爆炸之后。在接下来的几分钟里，除了光子和中微子之外，几乎所有的粒子种类都一一消失了。由于重子不对称（宇宙中物质和反物质之间的不平衡），构成当今宇宙中所有物质的质子、中子和电子中只有极少数幸存下来。物质与光子和中微子相比所占的比例不足十亿分之一，这一比例在宇宙第一阶段的宏伟计划中是可以忽略不计的。
通过研究宇宙微波背景辐射（CMB），我们知道早期宇宙接近热平衡。自1964年发现以来[1]，CMB已经被彻底测量，最近一次是由普朗克卫星测量的[2]. 在对前景效果进行补偿后，CMB几乎完全符合黑体光谱，偏差约为十万分之一[三]. 在中微子解耦之前，情况一直如此。对于处于热平衡状态的系统，我们可以使用统计力学计算能量密度、压力和熵密度等量。这些数量都取决于任何给定时间出现的粒子数密度。不同的粒子对这些量的贡献取决于它们的性质——最重要的是它们的质量和简并度。所有粒子的全部贡献是所有粒子物种有效自由度之和的结果。我们称这些函数为温度依赖函数，每个数量都有一个，例如与数量密度相关，以及，、和分别与能量密度、压力和熵密度有关。 在本文中，我们将展示如何计算这四个量(n个，¦Β，，秒)以及相关的有效自由度(，，，). 后一个函数描述了不同粒子的数量是如何演变的，我们将这些值绘制在图1。在本文中，我们将更仔细地研究五个主题。首先快速了解标准模型的基本粒子及其简并性(第3节)，我们讨论了当一切都处于热平衡时的标准方法第4节接下来，我们进一步研究QCD相变过程中的行为；即，从夸克胶子等离子体（QGP）到热强子气体（HG）的转变第5节然后，我们观察中微子去耦过程中的行为(第6节). 对于第五个主题，我们研究了温度是如何随时间降低的(第8节). 在附录A，我们还包括一个表，其中包含所有四个值s、 以及从10TeV到10keV的温度的时间。该表包括从QGP到HG的三种不同转变温度。本文的灵感来自Baumann的课堂讲稿[4]和库尔基·索尼奥[5]. 关于这个主题的其他重要书籍是温伯格写的[6，7]、科尔布和特纳[8]、多德尔森[9]、莱登[10]、Lesgougues、Mangano、Miele和Pastor[11]。 2.符号和约定
粒子种类的有效自由度是相对于光子定义的。这不仅仅是一个任意的选择，而是因为光子是无质量的，其密度历史最为人所知。关于早期宇宙最重要的信息来源来自CMB光子。尽管光子是作为参考粒子的自然选择，但从技术上讲，任何粒子都可以使用。此外，当谈论有效自由度时，我们通常是在能量密度的背景下这样做的，这在大多数教科书中只是被称为“”. 这里，我们使用符号因此，以及作为四个量的统称。
本文中经常出现“粒子湮灭”一词。严格地说，我们一直都有粒子的产生和湮灭，但在这种情况下，“粒子湮灭”是指湮灭速度（明显）快于粒子种类产生速度的时期。
在许多教科书中，光速的价值(c（c）)，波尔兹曼常数()，普朗克约化常数（ℏ）设为一。我们选择在方程式中保留这些单位，以避免在实际计算过程中出现量纲分析问题。使用的优点之一我们可以互换使用温度、能量和质量。对于我们的方程式，我们使用和当我们想以MeV为单位来表示温度和质量时，但在正文中，当我们讨论温度和质量的时候，暗示它们是和。
当我们第一次想接触一个新课题时，简化很重要。我们在本文中的一个假设是，早期宇宙处于完全热平衡状态。然而，有时情况并非如此。在这种情况下，粘性效应将系统（宇宙）推向平衡。这增加了熵。就我们的目的而言，所有粘性效应都被忽略了。一些相关的论文解决了这个问题[12，13，14]。 3.标准模型粒子及其简并
让我们从研究不同粒子种类的简并性开始——它们的固有自由度，克基本粒子的标准模型通常显示为图2夸克、轻子和中微子分为三类，如前三列所示。这些都是费米子。最后两列是玻色子。第四列由力中介粒子组成，也称为规范玻色子。这是八个胶子、光子和三个大质量规范玻色子。2012年在欧洲粒子物理研究所发现的希格斯玻色子[15，16]包括第五列和最后一列。 粒子的简并性取决于其性质及其所具有的属性。我们在表1它们是：（1）不同口味的数量。这些是不同类型的粒子，具有相似的特性，但质量不同。这些列为中的单独条目图2; （2） 反粒子的存在。反粒子的电荷、手性和颜色与它们的粒子伴侣不同。并非所有粒子都有反伙伴（例如光子）；（3） 颜色状态数。强相互作用粒子具有色电荷。对于夸克及其反伙伴，有三种可能（红、绿、蓝或反红、反绿、反蓝）。胶子有八种可能的颜色状态。这些是三色加三色组合状态的叠加；（4） 可能的自旋状态数。我们从量子力学中记住，所有玻色子都有整数自旋，而费米子有半整数自旋，都以ℏ为单位。粒子在某个方向上的自旋排列称为其极化。夸克和带电轻子有两种可能的极化：+½或-½。另一种说法是，他们可以是左手或右手。另一方面，中微子只能是左手的（而反中微子则只能是右手的），所以它们只有一个自旋态。实际上，中微子是狄拉克费米子还是马略那费米子仍是一个悬而未决的问题。马略纳费米子是它们自己的反粒子，而狄拉克费米子有不同的粒子和反粒子。在后一种情况下，我们预计会有额外的右手中微子和左手反中微子，它们的弱相互作用被抑制。与左手中微子和右手反中微子相比，这些“新”中微子的密度可望忽略不计[17]. Lesgougues、Mangano、Miele和Pastor的书[11]还详细讨论了这个主题。大质量自旋-1玻色子(和)有三种可能的极化()：一个纵向和两个横向。无质量自旋-1玻色子（光子和胶子）只有两种可能的极化，即横向极化。希格斯粒子是一个标量粒子，自旋为0。最后，我们应该说强子可以有多个可能的自旋态，这取决于它们的组成。 在标准模型的所有粒子都存在的高温下，我们有28个玻色子自由度和90个费米子自由度。事实证明，费米子的贡献不如玻色子大，因为它们不能占据相同的状态。我们将在下一节回到这一点，只需说费米子已经能量密度、压力和熵密度的有效自由度。对于数量密度，有效自由度为。
4.热力学平衡中理想量子气体的统计力学
在本节中，我们简要回顾了热平衡中理想量子气体的统计力学。我们还介绍了粒子种类的有效自由度的概念，以及如何将其作为温度的函数进行计算。
4.1. 热力学函数
为了计算热力学函数，我们需要知道系统的单粒子能量。我们考虑一个具有周期边界条件且边长为我和体积.求解粒子的薛定谔方程，我们发现了可能的动量本征值哪里小时是普朗克常数，0, ±1, ±2, ±3, ..., 和，，是三维欧氏空间中的标准单位向量。具有质量的粒子的能量米和动量是。 在热平衡中，具有动量的单粒子态的概率和能源由玻色-爱因斯坦或费米-狄拉克分布函数给出上面的符号是费米子的，下面的符号是玻色子的。此外，是玻尔兹曼常数μ是化学势。为了找出占据能量状态的粒子总数E类，我们必须找到相空间中的态密度。我们从方程式中看到(1)动量空间中可能的状态数是除以体积，还有一个因素.如果存在额外简并克（例如自旋），我们可以把态密度（dos）写成 颗粒的总密度，n个，然后可以写成三动量上的积分，涉及分布函数为 通过乘以分布函数(2)利用能量并积分三个动量，我们得到了能量密度¦Β系统的。压力，P（P），可以通过将分布函数乘以（Baumann给出了一个很好的推导[4]). 这就产生了积分 最后，让我们提到熵密度秒.可根据热力学关系计算其中索引是总化学势。我们将在年回到化学势第4.3节。 4.2. 从动量积分到能量积分
有时使用能源更方便，E类而不是动量，，作为积分变量。通过对所有角度进行积分，我们可以替换通过。使用能量-动量关系，我们发现和.我们可以通过引入无量纲变量进一步简化这些公式u个，z（z）、和。 这得出了一个物种的数密度、能量密度和压力的以下表达式j个对于所有物种（因为这只是所有粒子物种的总和）。 如方程（8）所示，我们可以求出单个物种的熵密度j个总熵为： 4.3. 化学势
在我们继续之前，我们简要讨论一下化学势。我们从统计力学中回忆起，我们可以引入化学势对于每个守恒电荷。这是通过替换哈密顿量来实现的H（H）系统的，其中是带电粒子的数字运算符。
在标准模型中，有五个独立的守恒电荷。这些是电荷、重子数、电子轻子数、μ介子轻子数和τ轻子数。这意味着还有五个独立的化学势[7]. 化学势由数密度决定。电荷密度非常接近于零。重子密度估计小于光子密度的十亿分之一[18，19]. 轻子密度也被认为很小，与重子数的顺序相同。据温伯格介绍[7]，对于早期宇宙场景，我们可以将所有这些数字都设置为零，以达到良好的近似值。对于宇宙的正确表示，化学势不可能全部抵消，今天将没有物质存在。对于更一般的计算，包括化学势，推荐温伯格的书[6]. Pastor和Lesgougues讨论了大中微子化学势的含义[20]. Mangano、Miele、Pastor、Pisanti和Sarikasa讨论了化学势及其对中微子物种有效数量的影响[21]（我们将简要提到中微子的有效种类第6.2节). 4.4. 无质量粒子贡献
在方程式（10）–（12）中，我们可以看到无量纲单位，u个，z（z）、和，简化了积分。在超相对论极限下，我们可以忽略粒子质量。此外，由于我们将化学势设为零，我们可以很容易地解析求解方程（10b）、（11b）和（12b）中出现的无量纲积分。由于无质量情况下能量密度和压力的积分相同，我们发现：哪里是参数3的Riemann zeta函数。使用这些结果，我们可以找到n个，¦Β，P（P），和间接秒对于无质量玻色子和费米子： 这里的下标b是玻色子，f是费米子。我们看到，积分的求解给出了费米子和玻色子之间的差异，即数密度的因子¾，能量密度和压力的因子⅞。我们将这两个因素称为“费米子预兆”。我们还看到，压力只是能量密度的三分之一，而熵密度可以通过将能量密度乘以。
4.5. 有效自由度
在大多数情况下，我们不能忽略粒子质量。在这些情况下，我们必须数值求解方程（10b）、（11b）和（12b）中的积分。积分是温度的递减函数，在极限内消失。我们可以通过将其值除以光子的情况来规范化这些值（但使用克等于1）。我们记得，光子具有玻色子性质和这意味着对于高温下的大质量粒子()玻色子的一个实际自由度相当于光子的一个自由度，费米子的自由度稍小。随着温度下降，产生的粒子越少，有效贡献越小。通过包括固有自由度(克)，我们发现每个粒子种类有效自由度，: 在图3，我们绘制了大质量玻色子的有效自由度（面板一)和费米子（面板b条)带有（和)作为温度的函数。我们还将结果列在附录B中的表B1.当温度等于质量时()，与光子相比，玻色子和费米子的能量密度的有效自由度分别约为0.9和0.8。对于数密度、压强和熵密度，它们略低。 有效自由度定义为相应变量和温度的函数。我们发现，、和通过对所有粒子种类的方程式（20）–（23）求和j个: 我们再次强调，方程（24b）、（25b），（26b）和（27b）仅适用于处于热平衡状态的系统（即所有粒子具有相同的温度）。事实证明，在中微子与电磁相互作用的粒子（即光子、电子和正电子）解耦，电子和正负电子湮灭后，我们无法计算这四个粒子这是直截了当的。我们将在年回到中微子解耦第6.1节。 5.宇宙冷却过程中的粒子演化
我们的分析从标准模型的所有粒子开始。随着宇宙的膨胀和冷却，质量更大的粒子的湮灭速度与它们的生成速度相比将变得越来越小。随着较重的粒子消失，这将再次导致所有剩余较轻粒子物种相对较大的生成速率。因此，移动体积中的总粒子数将保持（几乎）不变。大爆炸发生几分钟后，当温度降至10 keV（相当于1亿开尔文）时，宇宙主要充满了光子和中微子。正如我们在中提到的第1节和第4.3节在这个阶段，由于重子的不对称性，一小部分物质幸存下来。如果没有反粒子的存在，当物质粒子的反应速度（即湮灭和生成速度）慢于宇宙的膨胀速度（或等效地，当弱相互作用的时间尺度长于宇宙的年龄时）时，物质粒子（即核子和电子）就得以存活并“冻结” [8]. 这个过程与中微子的去耦有一些相似之处（我们将在第6节). 这些残余物质粒子仍然与光子相互作用，并保持热平衡，直到宇宙大爆炸后大约38万年的光子解耦之后[2]. 尽管在宇宙早期可以忽略不计，但物质最终在宇宙大爆炸后47000年左右成为主要的能量来源[10]. 这是因为非相对论性（冷）物质主要从其静止质量接收能量这完全是由于颗粒的稀释。动能对能量的贡献可以忽略不计。辐射（无质量粒子）因为随着宇宙的膨胀，它也会发生红移。影响这四个方面的事件的简单概述s在中给出表2。 5.1. 夸克质子等离子体与强子气体
在早期的宇宙中，夸克和胶子可以自由移动。高温下由夸克和胶子组成的气体被称为夸克胶子等离子体，与普通电磁等离子体类似。这与今天不同，在今天我们没有观察到自由夸克，只有强子（例如介子和核子），它们是三夸克、三反夸克或一对夸克-反夸克的束缚态。这些不同的组合称为重子和介子，它们都由胶子结合在一起。当夸克和胶子携带颜色电荷时，我们观察到的强子是颜色中性的。在宇宙的某个临界温度下发生了从夸克胶子等离子体到强子相的相变。我们称相变后立即形成的气体为强子气体。这类似于原子的形成，原子核和电子在电场的作用下结合在一起。当宇宙温度约为150–170 MeV时，发生上述相变[22，23]. 转变温度可以通过所谓的晶格蒙特卡罗模拟来计算。虽然研究夸克胶子等离子体到强子气体的相变相当困难，但我们可以通过评估能量密度的有效自由度来估算临界温度。这个估计可以被认为是一个上限，因为我们不能增加（即能量密度）随着宇宙膨胀 5.2. QGP和HG阶段的有效自由度
让我们在非常高的温度下开始分析，在这个温度下，所有基本粒子都存在并且实际上没有质量。因此处于最大值。随着温度降低，各种粒子湮灭相应地下降。我们追踪有效自由度的数量作为温度的函数图4a.在这里，黄色虚线表示夸克-胶子等离子体相的有效自由度（如果它在所有温度下都存在的话）。如果没有相变，只有当温度降至其静止质量值以下时，夸克才会消失。在天平的最右边（较冷）部分，胶子仍然与光子和中微子一起存在。以类似的方式，我们可以追踪强子相的有效自由度（如果它在所有温度下都存在的话），如紫色破折号曲线所示。与现实世界一样，相对而言，我们只有光子和中微子在低温下存在。当我们转向更高的温度时是由电子-正电子对的存在引起的。μ子和最轻的介子（即介子）是下一个出现的粒子。然后，我们的，起始电压约为100 MeV。这是由于出现了许多较重的强子，它们的数量随着温度的升高几乎呈指数增长。 我们现在可以定义“交叉”温度，这是两条曲线相交的温度。因此，能量密度有效自由度数较低的阶段获胜（在QCD理论中，通常比较两个阶段的压力，压力较高的阶段获胜）。使用“粒子数据组”列出的粒子[19]（和在中列出附录C和附录D)，这个产量墨西哥湾。然而，如果有更多可能的重子态（很可能有），这个温度会更低。这个交叉温度可以被认为是QCD转变温度。为了更准确地估计转变温度，可以使用称为晶格模拟的数值方法。使用后一种方法，可以获得转变温度在150–170 MeV范围内。这个值取决于计算中使用的夸克数量及其质量。因此，我们的简单估计给出了正确的数量级，但有点过高。然而，推测起来，它可能被认为是一个上限。 在图4b、 我们放大到转变温度附近。我们认识到面板a中部分覆盖的黄色和紫色曲线，代表QGP和HG场景。绿色曲线表示上述214MeV的转变温度。如果我们坚持临界温度为170MeV，我们会沿着QGP右侧的黄色曲线，当我们达到这个温度时，我们会跳到HG曲线。这个不连续的曲线以带虚线的红色显示。我们稍后再看(第8节)这可以解释为温度在一段时间内保持恒定，而自由度减小。同样的备注也适用于代表150 MeV过渡的蓝色曲线。 5.3. 仔细查看每个粒子组
让我们更仔细地看一下每一组粒子物种是如何促成。图5a显示了随着宇宙温度下降，不同的粒子群如何对能量密度作出贡献。让我们先看看最简单的情况——光子（如黑色虚线所示）。它总是有两个自由度，因此贡献是恒定的，，等于2。带电轻子（l）由τ、μ子、电子及其反粒子组成。它们是费米子，有两个可能的自旋态。每一代的简并度为3.5，在高温下加起来为10.5。中的洋红色虚线曲线图5a显示了当温度为()低于粒子质量(). τ和反τ的质量为1777MeV，因此当温度降至该值以下时，它们的丰度将下降，在几百MeV时，它们几乎都消失了，并且将下降到7点左右。同样的过程也发生在来自和，当的值为降至3.5，最后为零。对于大质量玻色子（W，Z轴、和H). 它们的总简并度为10，质量都在100GeV左右，这意味着它们的湮灭将重叠，如红点曲线所示。对于中微子（实心蓝色曲线），我们可以看到当它们解耦后，电子&正电子开始湮灭。我们仔细看一下第6.1节。 对于带颜色电荷的粒子（胶子和夸克），由于QCD相变前后的差异，事情有点复杂。在图5a、 我们绘制了没有任何跃迁的夸克胶子等离子体和强子气体。相反，我们将其值标记为三个不同的过渡值：（标有○），（标有Δ），以及（用Ş标记）。胶子的情况是直接的，它们有16个自由度，后面为零。夸克具有63个有效自由度，随着顶部、底部和魅力粒子的消失，夸克将逐渐减少。在相变时，该值降至约～32，取决于。 在相变之后，我们需要计算强子的自由度。我们可以通过重子和介子来区分它们，如图5b.质量小于的唯一强子是三个介子，用于大约有三个自由度。然而，有许多较重的强子，它们单独在低温下贡献不大，但不同强子态的绝对数量导致了集体显著贡献。从低温到高温图5b、 介子（红色虚线）和重子（蓝色虚线）的有效自由度几乎呈指数级增加。此值在不同的。沿着强子（绿色曲线）从右到左，我们可以在，C 12有效自由度。在，此数字约为19，我们大约有48个，与自由夸克和胶子的自由度。 6.解耦
正如我们在中提到的第1节粒子通过不断碰撞（相互作用）保持热平衡。碰撞率取决于两个因素——横截面σ以及颗粒密度n个横截面取决于几个因素，但最重要的是粒子相互作用的作用力。那些感受到强大电磁力的人相互作用强烈，而那些只感受到微弱电磁力的人们相互作用较弱。与不同作用力相关的横截面取决于温度，或者更准确地说，取决于反应所涉及的能量。这四种力的相互作用强度如何变化是不同的。一般来说，温度越高，它们的强度就越接近。 当宇宙膨胀、稀释和冷却时，粒子在相互作用之前传播得越来越远。也就是说，它们的平均自由路径和寿命增加。如中所述第5节在某些时候，某些粒子的相互作用速率可能会慢于宇宙的膨胀速率，而且（平均而言）这些粒子将永远不会再相互作用。发生这种情况的时间被定义为解耦时间。对于中微子来说，这大约发生在宇宙大爆炸后的一秒钟（我们将在下一节讨论这个问题），而对于光子来说，这发生在几年后（由于重组和中性原子的形成）。让我们看看一般情况。首先，我们需要介绍移动坐标和体积的概念。坐标随宇宙静止框架移动；也就是说，它们不会随着宇宙的膨胀而改变。类似的例子是在气球上画点。随着气球充气，圆点之间的实际距离增加，但它们的移动距离保持不变。对于具有恒定熵的运动体积S公司，我们可以写 其后果之一是，在粒子湮灭期间（即当有效自由度降低时），温度下降较慢。为了理解这一点，我们需要看看粒子产生和湮灭过程中发生了什么，以及静止质量能量与动能之间的关系。
在我们从两个大质量粒子到两个较轻粒子的反应过程中，多余的静止质量能量将转换为动能。因此，较轻粒子平均具有比热“汤”中其他粒子更高的动能。通常情况下，这与反向反应相反，即两个较轻的粒子产生两个较重且动能较小的粒子的反应。在粒子湮灭的整个过程中，会有大量粒子向较轻粒子的净流动，再加上动能。因此，在这段时间里，温度下降得较慢。
为了保持热平衡，粒子需要不断地相互作用。也就是说，它们之间需要一些耦合（直接或间接）。如果某些粒子解耦，这意味着它们平均永远不会再相互作用，因此，如果一个粒子物种在湮灭过程开始之前解耦，那么它们的温度将独立于那些仍然耦合在一起的粒子而降低。因此，将有两种不同的温度：光子耦合温度(T型)（直接或间接与光子相互作用的粒子），以及解耦粒子温度(). 求解方程式(28)光子耦合的湮灭过程前后（用下标“1”和“2”表示）()并解耦()粒子给我们 去耦后，但在湮灭过程之前，这两个温度是相同的。好了，就这么近了，我们将在第8节一旦光子耦合粒子物种开始湮灭，（所有）耦合粒子的自由度将减少，而解耦粒子的自由程度将保持不变。求解湮没后的解耦温度可以得到：我们通常写为 原则上，我们可以对多个解耦粒子物种这样做，并为解耦粒子获得两个或多个不同的温度。
6.1. 中微子解耦
中微子在解耦之前，主要通过与电子和正电子的弱相互作用，与光子耦合粒子保持热平衡。大爆炸后大约一秒钟，中微子与电子的相互作用速度比宇宙膨胀速度慢，H（H）中微子和电子（及其反粒子）之间的碰撞速率，，由给定[6，17]以下为：哪里是电子数密度是中微子-电子散射截面。GeV公司是弱耦合常数[24，25]. 通过使用方程（11c）中的能量密度方程，或更好的方程，快速转到方程（48），同时膨胀率由第一个弗里德曼方程给出： 中的预兆和H（H）粗略地相互抵消，这样我们最终 这是一个粗略的估计，但却是最常用的估计（例如，温伯格[6]). 由于相对论，中微子温度缩放为而能量密度和数密度标度为和分别是。 6.2. 中微子温度和熵自由度
让我们更仔细地看一下中微子解耦后的有效自由度。对于电子和正电子湮灭前的熵密度，它们有10.75个自由度，分为中微子和光子加上电子和正电子。一旦所有的电子和正电子都被湮灭（即。，). 我们现在有了更高的光子温度和更低的中微子温度。使用方程（32），我们发现所有电子和正电子湮灭后的中微子温度为 因此，在电子-正电子湮没后，中微子温度是光子温度的71%。宇宙微波背景（CMB）辐射的测量值为2.73 K。这意味着中微子背景温度应为1.95 K（应提及的是，尚未测量宇宙中微子的背景，或可能在近期进行测量，以证实这一预测）。
较冷的中微子对四种不同粒子的贡献不如较热的粒子s、 在计算不同的有效自由度时，必须考虑到这一点。一般来说，在粒子物种解耦后，我们需要在方程中引入物种相关的温度比；也就是说，.在这里是解耦粒子种类的温度，而T型是光子耦合（参考）温度。因此，我们得到以下结果，，、和电子-正电子湮没完成后 电子-正电子湮灭过程中的中微子贡献是通过以下方式减去电子-正负电子贡献得出的：其中四个是有效电子-正电子贡献。 事实上，可以看出图3和表B1，第一次电子-正电子湮没在中微子退耦完成之前就开始了。因此，衰变的电子-正电子对产生的一些能量会加热中微子。这导致与上述值的微小偏差，从而导致中微子物种的有效数量略大于三个。Mangano给出的数字为3.046[26]和3.045由de Salas and Pastor创作[27]. 通过使用Mangano的结果，补偿结果将为 7.功能n个，，、和，及其含义
现在，我们可以用它们的有效自由度来表示完整的数密度、能量密度、压力和熵密度： 我们绘制了这些函数以及中的值图6能量密度和压力具有相同的维数，而熵密度和数密度的维数因玻尔兹曼常数而不同（单位：J K). 当考虑到前置因子时秒和n个、和P（P）和¦Β，取决于和、和、和。那么，让我们进一步讨论一下实际发生的情况。每粒子熵的增加和压力的降低（我们将其视为面板中的凹凸(克)和(小时)英寸图6)是由于粒子在半相对论和非相对论温度下的存在。在我们进一步讨论之前，我们应该讨论QCD相变。不是所有四个s可以是连续的（正如我们在面板中看到的(b条)–(d日)英寸图6)，我们得到了不一致和一些非物理的结果。对于我们的大多数情节，我们使用，保持连续，离开，、和在这一点上是不连续的。 我们从面板上看到(一)英寸图6在湮灭期间，数密度和熵密度下降得更快。然而，这有点欺骗性，因为我们将它们的值视为温度的函数。事实上，总熵保持不变（如果没有完美的热平衡，它实际上会稍微增加）。两者秒和n个当我们通过转变温度时，下降一点。因此，此时每个粒子的熵发生了跳跃，如图中所示(克)英寸图6。每个粒子的熵的其他颠簸是连续的。当某些大质量粒子的剩余质量变得更显著时，每个粒子的熵将开始增加。秒然后，随着这些粒子数量逐渐减少，它会变平并再次下降。在所有这些大质量粒子湮灭并消失之后秒返回其原始值（在毁灭开始之前）。如中所述图3在里面第4.5节静止质量能量显著的粒子具有较高的总能量，因此具有较高的熵。这种熵在其余粒子湮灭后最终传递给它们。重要的是要强调，改变的不是总熵，而是（总）粒子数的下降和上升。中微子去耦后熵密度的变化，我们可以在面板中的最低温度下看到(b条)英寸图6这是因为中微子的温度较低，因此贡献较小。 同样的解释也适用于压力下降，如图所示(小时)英寸图6非相对论性粒子施加（相对）零压力。因此，当半相对论粒子和非相对论粒子的比率达到最高时，压力处于最低。我们看到，两个最显著的压降发生在QCD相变之后和正负电子湮没的中间。我们对QCD相变使用了一个简单的定义，即最低能量密度的定义。事实上，这种转变相当复杂，我们应该对我们的结果持怀疑态度。考虑到这一点，我们从几乎纯相对论气体（QGP）转向大多数粒子是半相对论或非相对论（HG）的情况，这就是压力在墨西哥湾。 正如我们将在下一节中回到的那样，与以辐射为主的宇宙相比，以物质为主的宇宙膨胀得更快。因此，尽管早期宇宙是后者，但我们从研究中知道，我们有相当一部分半相对论粒子的周期。因此，人们可以认为一在这些时候应该生长得稍微快一点。
8.时间-温度关系
如中所述第1节，CMB热谱的测量值非常接近完美黑体的测量值[28]. 早期宇宙应该是非常同质的，到处都有相同的特征。早期宇宙的膨胀速度取决于哪种能量贡献者占主导地位，即相对论粒子（辐射）或非相对论性粒子（冷物质）。通过求解无宇宙学常数的平坦绝热宇宙的Friedmann方程，我们发现了标度因子之间的关系(一)和时间(吨)将成为对于纯辐射情况，以及对于一个纯冷物质的例子。Ryden给出了这方面的简单推导[10]和Liddle[29]. 类似地，两种极端情况下的比例因子和温度之间的关系如下所示和对于这两个案例[8，30]. 这为我们提供了三个量之间的以下关系： 对于这两种粒子的混合物，我们应该在这两种单组分情况之间有一些东西。因此，如果辐射是更主要的能量来源，一增长几乎与，或更成比例就此事而言。关于温度，对于以辐射为主的情况，温度和时间（大爆炸后）之间的关系可以计算为以下函数，如下所示[19]以下为： 宇宙在大约大爆炸后的几年，这篇文章的范围已经很久了。然而，应该注意的是，光子和物质的温度都会随着比例因子的倒数而下降，即使在这种辐射-物质相等之后很长一段时间。这是因为温度是由粒子的动能决定的，而辐射或物质主导的宇宙的定义是总能量的定义（其中包括静止质量）。由于数量超过10亿比1，物质无法冷却光子，宇宙的温度以比例因子的倒数下降，直到物质与光子解耦。
另一方面，当大质量粒子消亡时，它们的湮灭能量转移到热浴中的剩余粒子。这将使温度下降速度随时间而变慢。如果我们假设后一种观点占主导地位，那么当正在减少。图7如方程（53）所示，在假定纯辐射主导的宇宙中，温度是时间的函数。在粒子湮灭过程中，我们有一个平滑的连续函数，但使用我们的模型，QGP到HG的转变并非如此。这里我们必须分别考虑三种不同的转变温度。使用，我们有一个场景，在该场景中，温度将在之后缓慢下降.使用和，自由度()将在。对于，的值从62左右降至33左右，而，该值从61左右降至26。然而，这需要一些时间。使用我们的简单模型，随着宇宙膨胀，宇宙的温度和能量密度将保持不变，直到达到纯强子-气体状态。 这里所建立的QCD转变期间的时间和温度之间的关系是朴素而简单的，其后的数值也是如此。在QCD跃迁期间（以及在常规粒子湮灭期间），与我们的图的微小偏差只会影响现有的周期，并且随着时间的推移可以忽略不计。
9.关于QCD相变和交叉温度
我们的使用方法基于一个计算，我们将所有从夸克胶子态（简单），以及所有另一方面，从强子（不是那么容易）。我们使用了如中所列的强子粒子附录C和附录D。这些是由粒子数据组[19]. 这些名单中还有其他候选人——一些是很好的候选人，还有一些是投机性更强的候选人。也可能存在更难以检测的强子态。对于我们添加到模型中的每一个新强子，交叉温度都会降低。对于大多数的候选人来说，这并不算什么，但对于那些较轻的候选人来说更是如此。 我们使用的相变是一阶的。仅限在这一点上是连续的，并且，、和不是。这将导致一些非物理结果，例如，如果我们假设熵不变，比例因子将瞬时增加约4%。需要一个关于QCD相变的适当理论来解决这个问题，这超出了本文的范围。在QCD跃迁之前和之后，我们在这里提出的理论应该对良好的近似有效。
10.结论
我们对宇宙最初阶段的了解是有限的。为了确定在这些极端能量和温度下发生了什么，我们想使用粒子加速器重新创建条件。欧洲核子研究所的大型强子对撞机能够以13 TeV的能量将质子碰撞在一起，随着希格斯玻色子的发现，粒子物理标准模型预测的所有基本粒子都已被发现。然而，这很可能不是完整的故事。暗物质粒子是最热门的候选粒子，在更高的温度下，几乎可以肯定会有更多的粒子，例如在大统一理论（GUT）尺度下的GeV。
我们在这里使用了统计物理方法来计算早期宇宙中温度低于10 TeV时的有效自由度。已经进行了一些简化，例如将所有粒子的化学势设置为零。本文的目的是对这一主题进行良好的定性介绍，并以图表的形式提供一些定量数据。
早期宇宙通常被认为是纯辐射（只是相对论粒子）。然而，当温度下降到一些大质量粒子的静止质量的近似值时，我们得到了有趣的结果，其中有相对论粒子、半相对论粒子和非相对论粒子的混合。这种混合在电子-正电子湮没期间，以及在夸克-胶子等离子体到强子气体的相变之后最为显著。接近这一点，使用我们的“非化学势”分布函数向我们展示了当半相对论粒子和非相对论粒子的比率变得显著时，每个粒子的熵是如何增加的。
强子的有效自由度在QCD转变温度附近变化很快。我们利用已知的重子和介子发现了214MeV的交叉温度。由于可能存在比我们所解释的更多的强子态，这个交叉温度可能更低。这并不是要宣称一个新的QCD转变温度，而是一个有趣的事实。我们纯粹基于分布函数的一阶方法在交叉温度下存在不一致性。
我们列出了数密度的有效自由度()，能量密度()，压力()，熵密度()、和时间(吨)作为温度的函数(T型)英寸附录A表A1。附录B中的表B1列出了对单个固有自由度的不同有效贡献，与我们在图3。
