Characterizing the Incentive Compatible and Pareto Optimal Efficiency Space for Two Players, k Items, Public Budget and Quasilinear Utilities

Lerner, Anat; Gonen, Rica

doi:10.3390/g5020097

开放式访问第条

两个参与者、k项、公共预算和准线性公用事业的激励相容和帕累托最优效率空间的特征

通过

阿纳特·勒纳

¹和

Rica Gonen公司

^2,*

¹

以色列拉纳纳大学路1号以色列开放大学数学与计算机科学系，邮编：4353701

²

以色列拉纳纳大学路1号以色列开放大学管理与经济系，邮编：4353701

^*

信件应寄给的作者。

游戏 2014,5(2), 97-115;https://doi.org/10.3390/g5020097

收到的意见：2013年12月9日/修订日期：2014年4月1日/接受日期：2014年4月17日/发布日期：2014年4月30日

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摘要

:

在一个有两个参与者的模型中，我们刻画了确定性、主导策略激励相容、个体理性和帕累托最优组合拍卖的效率空间k个不相同的项目。我们研究了一个具有多维类型、私人价值和准线性偏好的模型，其中一个玩家有一个放松：其中一个参与者受到公开的预算约束。我们表明，如果众所周知，最大捆绑的估值低于至少一个参与者的预算，那么维克雷-克拉克-格罗夫斯（VCG）唯一地满足确定性、主导战略激励相容性、个体理性和帕累托最优的基本属性。我们对确定性预算约束组合拍卖的有效空间的描述在精神上与Maskin 2000对贝叶斯单项目约束效率拍卖的描述相似，并与Ausubel和Milgrom 2002对非约束组合拍卖进行的描述相似。

关键词：

预算限制;帕累托效率;奖励性协调

1.简介

我们在一个有两个参与者和k个不相同项目(

2^{k个}

结果）。我们的模型有多维类型1私人价值、非负价格和准线性偏好，对于一个放松的参与者：其中一个参与者受到众所周知的预算约束。这种设置比普通拍卖文献的设置要复杂一些，因为它增加了预算和异质性，更准确地描述了实际使用的机制。

所研究的空间更好地描述了许多现实世界中的问题，例如通常研究的带宽（组合）拍卖。想想2000年初德国和英国的3G无线电频谱拍卖，电信公司竞标过高，危及其财务生存能力，从而大大减缓了对3G设备的资本投资。另一个当代例子来自全球化的供应链。全球化大大增加了供应商之间的竞争。因此，有许多供应商试图赢得业务，但却无法交付合同规定数量/质量的采购货物。

德国和英国3G无线电频谱拍卖中的现象，以及目前供应商的激增，突显了支付意愿和支付能力之间的潜在差距，以及更好地理解预算限制如何影响拍卖设计的潜力。进一步考虑到大多数商品不是以统一的捆绑销售或作为单一商品使用。虽然无线电带宽块显然是统一的，但它们并不完全相同，供应链拍卖中的货物也可以这么说，这些货物捆绑在一起以满足不同的物料清单。异质性这一看似微不足道的维度的加入，深刻影响了拍卖设计的复杂性。

我们的结果描述了这种情况下有效结果和价格的空间。例如，特征描述回答了小型电信公司在带宽拍卖中是否以及在何种条件下有可能与资金状况较好的公司进行有意义的竞争。

的作者[1]结果表明，在贝叶斯环境下，一个不可分割的物品出售时，存在一个阈值，因此如果至少有一个参与者的估值低于阈值，那么该解决方案是有效的，贝叶斯激励相容的，并且在预期中是个人理性的。最近，它由[2]确定性组合拍卖中存在一类独特的独裁解，这些独裁解具有主导策略激励相容性、个体理性和帕累托最优性，并且具有众所周知的预算约束参与者。此外，还显示了[三]如果独裁机制被自然匿名属性排除，那么设计就不可能实现，并且不存在支配策略激励相容的确定性组合拍卖，个体理性和帕累托最优，其中参与者具有众所周知的预算约束，并且在具有多个不相同项目和非负价格的模型中，所有项目捆绑都是非均衡分配的（一种称为非均衡囤积的特性）。因此，需要假设一些额外的公共知识，以便能够描述可能机制的空间。

更具体地说，我们证明了组合效率空间依赖于参与者对k个-项目包。我们表明，如果公众知道至少有一个参与者重视k个-项目捆绑少于受限玩家的预算和分配k个-项目包是非任意的，然后是维克雷-克拉克-格罗夫斯（VCG）[4,5,6]是主导战略激励相容、个体理性和帕累托最优的独特机制。

的作者[7]在非约束组合拍卖模型中，观察到组合效率空间与参与者偏好之间的相关性。他们[7]研究了参与者联盟偏好的子模块性，即不降低的边际联盟社会福利，对联盟偏差缓解机制的影响，在双参与者模型中，这种机制相当于主导战略激励相容机制。当不存在预算且假设有两个参与者时[7]证明了当玩家的联盟偏好为子模块时，VCG机制是有效的2以及主导型战略激励相容机制。此外，它是有效和主导战略激励相容机制中唯一的帕累托最优机制。

众所周知，在具有对至少三个结果的完全偏好域和非约束参与者的准线性环境中，只有VCG机制满足主导策略-激励相容性[8]三然而，当偏好受到自由处置并且没有外部性假设时，正如组合拍卖中常见的那样，那么多维类型模型中的主导策略激励兼容组合拍卖的可能性空间尚未定义。几篇论文研究了一维私有值的计算可行的主导策略激励相容（但无效）拍卖[11,12]以及多维私有值设置，对偏好空间有一些附加限制[13,14].

在整篇论文中，我们假设确定性机制。为了理解确定性在我们的结果中的作用，我们必须研究非确定性约束拍卖的文献，例如[1]. [1]的工作定义了约束有效拍卖的性质，即在贝叶斯激励相容性和预算约束参与者的条件下，最大化预期社会福利。它[1]指出效率和低效率的领域由阈值决定。阈值的计算利用了期望值，并允许对参与者进行负效用分配。因此[1]的阈值不能在单独的理性确定性设置中使用。从我们的分析中可以得出的效率领域是由预算决定的。预算作为效率阈值的直接含义是，预算不能是私人知道的值，但必须公开。因此，在我们的确定性设置中，预算是公开的，很像[三,15,16,17]; 在中时[1]和[18]预算的不确定性是众所周知的。

1.1. 我们的贡献

我们的贡献包括三个方面。首先，我们证明了在一个丰富的偏好空间中多维类型模型的组合拍卖

2^{k个}

当两个参与者都不受预算约束且所有项目组合的分配是非平均的时，结果只需要VCG就可以实现确定性、主导策略激励相容、个体理性和帕累托最优的基本属性。贡献的这一方面朝着罗伯茨式的结果迈进了一步[8]对于组合拍卖领域。其次，我们展示了这一点[1]的贝叶斯单项目模型中有效结果空间的特征描述适用于更复杂的设置，例如我们的确定性多维类型模型。第三，我们证明了在一个丰富的偏好空间中，具有多维类型模型的组合拍卖

2^{k个}

当其中一个参与者可能受到预算限制且所有项目捆绑包的分配是非任意的时，结果只需要VCG就可以实现上述基本属性。这方面的贡献表明[7]对具有拟线性效用和两人模型的有效非约束组合拍卖的子模块效应的描述，适用于预算设置，因为我们的两人模型通常具有联合子模块特性。

1.2. 先前文献

近年来，有几篇论文研究了预算约束组合拍卖。的作者[16]结果表明，不存在个体理性、主导策略激励相容、具有潜在负价格和私人已知预算的帕累托最优的确定性拍卖，即使参与者是一维类型。的作者[17]结果表明，对于具有不同项目和公开的多项目需求的一维类型，也存在同样的不可能性。的作者[15]同时也表明，如果考虑多维类型（两个相同的项目，有三个结果），公开预算同样不可能实现。

的作者[15,16,17]允许存在负价格。这意味着，一些参与者参与拍卖会的费用由机制或其他参与者支付。实际的拍卖实施通常负担不起或不愿意考虑为投标人的参与支付费用，他们也不想鼓励参与者支付额外费用。因此，类似于[1]的和[三]在模型中，我们选择假设所有价格都是非负的。与多维类型的潜在负价格模型相比，这一假设缩小了可能分配的范围。然而，在非负价格模型中，实现主导战略激励相容、个别理性和帕累托最优三个特性的一些机制不包括在负价格模型的实现相同特性的机制空间中。上述原因源于帕累托最优的性质。由于非负价格模型具有较小的可能分配集，因此存在这样的情况：在负价格模型中，机制不满足Pareto最优性质，但在非负价格的模型中，实现Pareto最佳性质。

的作者[16]还刻画了主导战略激励相容性和帕累托最优预算约束组合拍卖机制的可能性空间。他们的[16]表征仅限于一维类型，因此，它们的可能性空间表征并不意味着我们的多维类型模型中的可能性空间。更具体地说[16]显示，对于多单位需求和相同项目，奥苏贝尔的成交拍卖（假设公共预算和附加估价）唯一满足上述属性。在一个有小的随机修改的类似模型中[18]表明了这一点[16]的结果可以通过私人预算获得。同样，奥苏贝尔的成交拍卖由[17]用于具有不同项目和公开的多项目需求的一维类型。对于一维类型模型中具有私人价值和预算约束的单位需求参与者，有几种确定性机制可以实现激励相容性和帕累托最优性（参见[19,20]). 在具有一维模型（一个不可分割单元）的非确定性机构中[1]描述了约束效率机制，即在非负价格模型中，在贝叶斯激励相容和预算约束下，使预期社会福利最大化的机制。

在预算约束下，很少有其他工作关注收入最大化。的作者[21,22]分析预算是如何改变“标准”拍卖形式的经典结果的，例如，当投标人受到预算限制时，第一价格拍卖比第二价格拍卖能带来更多收入。这些结果还表明，顺序拍卖的收入高于同时递增拍卖的收入。的作者[23,24]构建使卖家收入最大化的单项拍卖。

非约束组合拍卖领域的一个相关结果是[7]. 的作者[7]描述对联盟背叛和假名竞标现象具有弹性的非约束组合拍卖。在我们的拟线性效用假设和两人模型下[7]的结果归结为有效的主导战略激励相容机制表征。他们[7]定义一个对估值的限制（称为bidder-submodularity），这在双人模型中是很常见的。在双人模型下，竞标者-子模块性意味着有效和主导策略的激励相容机制集不为空，因为它包括VCG机制。后者也被证明是唯一的帕累托最优解，是有效的和主导战略激励相容的。[7]的结果在几个方面与我们的不同。首先[7]的模型不假设存在预算。其次，在拟线性效用假设下[7]要求效率，然后证明在子模下VCG是唯一的帕累托最优解。我们的工作并不要求效率，而是根据上述四个属性的要求（以及在某些评估公共知识限制下）得出效率结论。然而，VCG作为唯一解决方案的特征是，它与主导战略激励相容且帕累托最优是一致的[7].

1.3。带回家点和例子

我们研究的要点是，当没有参与者受到预算限制时，具有预算的显性策略激励兼容（以及帕累托最优、匿名）组合拍卖的一般空间很可能只包括VCG机制。此外，即使一个玩家受到预算的限制，VCG仍然是唯一的解决方案。

我们以一个示例结束本节。两家电信公司，

{T型}_{1}

和

{T型}_{2}

，在一个地区与k个不同的广播波段。单位

{T型}_{1}

预算有限，b条，用于带宽。另一方面，公司

{T型}_{2}

是一家大型电信公司，在所讨论的地区拥有几乎无限的资金。如果公司

{T型}_{1}

控制该地区所有可用带宽的价值不超过b条，那么

{T型}_{1}

的和

{T型}_{2}

的带宽分配将由VCG确定并定价。如果公司

{T型}_{2}

控制该地区所有可用带宽的价值不超过b条尽管公司

{T型}_{1}

可能有兴趣控制所有可用带宽，但费用要高于预算，

{T型}_{1}

和

{T型}_{2}

的带宽分配将由VCG决定和定价。

1.4. 组织

论文组织如下。符号和定义见第2节.第3节显示了上述属性对k个-物品的价格。第4节定义并证明了我们的主要结果：有效机制空间。

2.符号和定义

我们考虑组合拍卖机制k个不同类型的项目和两名球员。让

N个 = {1, 2}

成为一组球员

C类 = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}

是一组项目。让

B类

是所有项目子集的集合，

B类 = 2^{C类}

.

每个玩家，我，具有私人价值

{v（v）}_{我} (B类)

对于每个包，

B类 \in B类

，从有效的估价空间中提取，

{V（V）}_{我}

这意味着玩家是多才多艺的，对不同捆绑的物品有不同的私人价值观。我们表示玩家我的私有值

2^{C类}

-元组：

{V（V）}_{我} = {{v（v）}_{我} (B类) | B类 \in B类}

定义1。 我们这么说

{V（V）}_{我}

是一个有效的估值空间，如果

{V（V）}_{我} \in {V（V）}_{我}

，以下两个条件成立：

空捆绑的估值为零，即。， ${v（v）}_{我} (\emptyset) = 0$ .
自由处置，意味着对双方参与者来说，额外物品的分配不能降低他们的估价（组合拍卖中的通常假设）；即。， $\forall B类, {B类}^{'} \in B类, B类 \subset {B类}^{'} \Rightarrow {v（v）}_{我} (B类) \leq {v（v）}_{我} ({B类}^{'})$ .

在本文的某些情况下，我们进一步将赋值空间限制为所有有效赋值空间的子集。

由于玩家是多才多艺的，对不同捆绑的物品有不同的私人价值观，所以一个玩家，我，可以为每个

2^{k个}

可能的结果，意味着我们的估值空间是一个多维估值空间，参与者具有多维类型的估值。

我们假设玩家1的预算有限，

{b条}_{1}

，而玩家2获得物品的预算是无限的。我们还假设这些预算是公开的信息。

我们表示拍卖机制

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}) = ({B类}_{1}, {B类}_{2}, 第页 ({B类}_{1}), 第页 ({B类}_{2}))

，其中

{B类}_{我}

是分配给Player的捆绑包吗我和

第页 ({B类}_{我})

是包裹的价格

{B类}_{我}

.我们假设所有价格都是非负的，即。,

第页 ({B类}_{我}) \geq 0

对于

我 = {1, 2}

.我们还假设拍卖机制，

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})

，至少可以生产

2^{k个} - 1

结果，即。，至少存在

2^{k个} - 1

具有不同输出的输入。

定义2。 玩家1、玩家2和拍卖商的实用程序定义如下：

玩家1的实用程序是：

{u个}_{1} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})) = \{\begin{matrix} {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - 第页 ({B类}_{1}) & 我 （f） 第页 ({B类}_{1}) \leq {b条}_{1} \\ - \infty & o（o） t吨 小时 e（电子） 第页 w个 我 秒 e（电子） \end{matrix}

玩家2的实用程序是

{u个}_{2} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2},, {b条}_{1})) = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - 第页 ({B类}_{2})

.

拍卖商的效用是

{u个}_{一} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})) = 第页 ({B类}_{1}) + 第页 ({B类}_{2})

.

为了简化符号，无论何时

F类, {V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}

和

{b条}_{1}

将从上下文中明确，我们将表示

{u个}_{我} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}))

通过

{u个}_{我}

.

定义3。决定论

拍卖机制，

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})

,如果对于每个给定的输入，它都输出一个结果，则称为确定性。

定义4。专政

拍卖机制，

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})

,如果有玩家，就称为独裁，

我 \in {1, 2}

（独裁者），如此一来

{V（V）}_{我}

,

{V（V）}_{\hat{我}}

,

{V（V）}_{\hat{我}}^{'}

,

{u个}_{我} (F类 ({V（V）}_{我}, {V（V）}_{\hat{我}}, {b条}_{1})) = {u个}_{我} (F类 ({V（V）}_{我}, {V（V）}_{\hat{我}}^{'}, {b条}_{1}))

.

直觉上，如果有玩家，这种机制就称为独裁，我这样，其他参与者的估值，

\hat{我}

，不会影响他的效用。注意，如果独裁者，我，不关心他是否收到一个或另一个分配，然后是Player

\hat{我}

的估值会影响产出。

定义5。琐碎的定价机制

我们说这是一种机制，F类，是一种微不足道的定价机制，如果有输入并且有玩家，那么该玩家将被免费分配一个非空的捆绑包。正式地，

\exists ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}), 一 n个 d日 \exists 我 \in {1, 2}, 秒 . t吨 .

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}) = ({B类}_{1}, {B类}_{2}, 第页 ({B类}_{1}), 第页 ({B类}_{2})) 一 n个 d日 {B类}_{我} \neq \emptyset 一 n个 d日 第页 ({B类}_{我}) = 0

接下来我们定义四个属性[三]不可能性成立：个体理性（IR）、非随机囤积、帕累托最优和真实性。

定义6。属性1：个人理性（IR）

拍卖机制，

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})

，被称为个体理性我,

{u个}_{我} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})) \geq 0

具体而言，必须遵守以下规定：

${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - 第页 ({B类}_{1}) \geq 0$ 和 $第页 ({B类}_{1}) \leq {b条}_{1}$ （玩家1的IR）
${v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - 第页 ({B类}_{2}) \geq 0$ （玩家2的IR）

请注意，拍卖商的效用是非负的，因为我们假设所有价格都是非负。

定义7。属性2：非任意围板

拍卖机制，F类，如果以下两个条件成立，则支持非任意囤积：

如果 ${B类}_{2} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ ，那么 ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}$ .
如果 ${B类}_{1} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ ，那么 $最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})} \geq {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ .

直觉上，一种机制实现了非任意囤积k个物品被分配给一个玩家，玩家的选择是非仲裁的，即根据两个玩家的估价和预算。此外，被选中的玩家必须能够支付k个-物品捆绑比其他玩家多。请注意，非任意囤积的性质不需要当且仅当。也就是说，即使在以下情况下，也可以将机制视为非任意囤积

{v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}

而玩家2没有被分配k个-项目捆绑或当

最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})} \geq {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})

而玩家1未被分配k个-项目包。

定义8。属性3:Pareto最优

拍卖机制，F类对于每个输入，称为Pareto最优

({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})

，其中

({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2})

在里面

({V（V）}_{1} \times {V（V）}_{2})

，没有分配

({B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}), 第页 ({B类}_{2}^{'}))

，使得以下所有不平等都成立，至少有一个强不平等：

${u个}_{1} ({B类}_{1}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}), {B类}_{2}^{'}, 第页 ({B类}_{2}^{'})) \geq {u个}_{1} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}))$
${u个}_{2} ({B类}_{1}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}), {B类}_{2}^{'}, 第页 ({B类}_{2}^{'})) \geq {u个}_{2} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}))$
${u个}_{一} ({B类}_{1}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}), {B类}_{2}^{'}, 第页 ({B类}_{2}^{'})) \geq {u个}_{一} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}))$

定义9。属性4：真实性

拍卖机制，

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})

如果这两个玩家都不能通过报告错误的估价来增加自己的效用，则称之为真实。也就是说，考虑到真实的估值，

({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}) \in ({V（V）}_{1} \times {V（V）}_{2})

，每

({V（V）}_{1}^{'}, {V（V）}_{2}^{'}) \in ({V（V）}_{1} \times {V（V）}_{2})

，保持以下状态：

${u个}_{1} (F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}^{'}, {b条}_{1})) \geq {u个}_{1} (F类 ({V（V）}_{1}^{'}, {V（V）}_{2}^{'}, {b条}_{1}))$
${u个}_{2} (F类 ({V（V）}_{1}^{'}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1})) \geq {u个}_{2} (F类 ({V（V）}_{1}^{'}, {V（V）}_{2}^{'}, {b条}_{1}))$

3.财产对k个-商品捆绑价格

在本节中，我们推导出k个-在任何非平凡的定价机制中，IR、非任意囤积、帕累托最优性和真实性的特性所隐含的商品捆绑价格。

引理1。 在任何满足IR、帕累托最优、非任意囤积和真实性的非平凡定价机制中k个-商品包的价格必须为：

如果 ${B类}_{1} = \emptyset$ 和 ${B类}_{2} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ ，那么 $第页 ({B类}_{1}) = 0$ 和 $第页 ({B类}_{2}) = 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}$ .
如果 ${B类}_{1} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 和 ${B类}_{2} = \emptyset$ ，那么 $第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 和 $第页 ({B类}_{2}) = 0$ .

引理1的证明。 考虑两种情况：

${B类}_{2} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 和 ${B类}_{1} = \emptyset$
（a）
相反，假设 $第页 ({B类}_{2}) < 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}$ .
让 $第页 ({B类}_{2}) = 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})} - 2 \cdot ε$ 对一些人来说 $ε > 0$ .
考虑玩家1的相同估值( ${V（V）}_{1}^{'} = {V（V）}_{1}$ )以及玩家2的以下估值：
${v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})} - ε$ 和
${v（v）}_{2}^{'} (B类) = 0$ 对于任何其他捆绑， $B类 \neq {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ .
然后，从非任意囤积（定义7）开始，玩家2将不会被分配k个-项目包。然而，其他包中的玩家2的效用为零。因此，玩家2最好偏离和陈述 ${V（V）}_{2}$ 而不是 ${V（V）}_{2}^{'}$ 并被分配给k个-正实用程序的项目束。
（b）
假设相反 ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq 第页 ({B类}_{2}) > 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}$ .
让 $第页 ({B类}_{2}) = 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})} + 2 \cdot ε$ 对一些人来说 $ε > 0$ 我们表明，这样的价格对玩家2来说是不真实的。考虑玩家2的以下偏差：
${v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})} + ε$ 和
${v（v）}_{2}^{'} (B类) = 0$ 对于任何捆绑 $B类 \neq {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ .
然后，从非常规囤积中，玩家1将不会被分配k项包。
假设每个玩家都被分配了一个非空的捆绑包， ${B类}_{1}^{'}$ 和 ${B类}_{2}^{'}$ 分别是。那么从玩家2的IR来看，肯定是这样的 $第页 ({B类}_{2}^{'}) = 0$ 然而，这是一种微不足道的定价机制，即。，将免费为玩家分配一个非空捆绑包。因此，必须为玩家2分配k个-以更低的价格捆绑商品。因此，无论何时真实估值 ${V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}$ ，玩家2可以偏离，以更低的价格获得相同的捆绑包。
B类 1 = { c（c） 1 , ⋯ , c（c） k个 } 和 B类 2 = ∅
（a）
证明 $第页 ({B类}_{1}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 不可能类似于1.（a）。
（b）
假设相反 $第页 ({B类}_{1}) > {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ .
让 $第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + 2 \cdot ε$ 对一些人来说 $ε > 0$ 我们表明，这样的价格对玩家1来说是不真实的。考虑玩家1的以下偏差：
${v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + ε$ 和
${v（v）}_{1}^{'} (B类) = 0$ 对于任何捆绑 $B类 \neq {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$
根据玩家1的IR，我们知道 $第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + 2 \cdot ε \leq {b条}_{1}$ ，因此， ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {b条}_{1}$ 。然后，我们从非常规囤积中得出结论，玩家2将不会被分配到k个-项目捆绑包。假设每个玩家都被分配了一个非空的捆绑包， ${B类}_{1}^{'}$ 和 ${B类}_{2}^{'}$ 分别是。那么，从玩家1的IR来看，肯定是这样的 $第页 ({B类}_{1}^{'}) = 0$ 然而，这是一种微不足道的定价机制，即。，将免费为玩家分配一个非空捆绑包。因此，必须为玩家1分配k个-价格较低的商品包。因此，无论何时真正的估值 ${V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}$ ，玩家1可以偏离并以更低的价格获得相同的捆绑包。

4.绘制VCG空间

在本节中，我们推导了满足IR-真实性、帕累托最优性和非任意囤积特性的任何非平凡定价机制的价格结构，前提是众所周知，私人估价存在某些限制。我们使用以下符号描述估价限制：

[R（右） 1] {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \leq {b条}_{1}

[R（右） 2] {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {b条}_{1}

在本节中，我们假设至少有一个限制（R1或R2）是公开的。在上一节中，我们推导了k个-在任何非平凡的定价机制中，IR、非任意囤积、帕累托最优性和真实性的特性所隐含的商品捆绑价格。在下面的引理中，我们推导了任何部分捆绑的价格结构，因为众所周知，私人估价存在某些限制。

引理2。 鉴于至少有一项限制（R1或R2）是公开的，在满足IR、帕累托最优、非任意囤积和真实性的任何非平凡定价机制中，价格必须如下：

$第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$
$第页 ({B类}_{2}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$

引理2的证明。 我们考虑两个价格：

第页 ( B类 1 ) = v（v） 2 ( c（c） 1 , ⋯ , c（c） k个 ) − v（v） 2 ( B类 2 )
- 假设相反 $第页 ({B类}_{1}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ .
  让 $第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - 2 \cdot ε$ 对一些人来说 $ε > 0$ .
  考虑玩家2的相同估值( ${V（V）}_{2}^{'} = {V（V）}_{2}$ )以及玩家1的以下估值：
  ——
  ${v（v）}_{1}^{'} (B类) = 0$ 对于任何捆绑 $B类 ⊉ {B类}_{1}$
  ——
  ${v（v）}_{1}^{'} ({B类}^{'}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - ε$ 对于任何捆绑 ${B类}^{'} \supseteq {B类}_{1}$
  正在分配k个-玩家1的物品捆绑与非轨道囤积相矛盾 ${v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 。所有分配，其中 ${B类}_{1}^{'} ⊉ {B类}_{1}$ 对玩家1来说并不真实，因为玩家1从这种分配中获得的效用为零，玩家1可以偏离并声明 ${V（V）}_{1}$ 而不是 ${V（V）}_{1}^{'}$ 在这种情况下，将分配玩家1 ${B类}_{1}^{'} = {B类}_{1}$ 对于 $第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - 2 \cdot ε$ 他的效用是绝对积极的， ${u个}_{1} = ε > 0$
  为了完成这个论证，我们现在展示了分配 ${B类}_{1}^{''} \supseteq {B类}_{1}$ 和 ${B类}_{2}^{''} = C类 - {B类}_{1}^{''} \neq {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 在任何非平凡的定价机制中，玩家2都不可行。由于我们假设所有价格都是非负的，因此我们反驳了以下假设： $第页 ({B类}_{1}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ .
  考虑以下估值：
  ——
  ${V（V）}_{1}^{''} = {V（V）}_{1}^{'}$
  ——
  ${v（v）}_{2}^{''} (B类) = 0$ 对于任何捆绑 $B类 \neq {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$
  ——
  ${v（v）}_{2}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ .
  分配 ${B类}_{1}^{''} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 反对非强制性囤积 ${v（v）}_{1}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ ;
  现在，考虑任何非空包 ${B类}_{2}^{''}$ ，因此 ${B类}_{2}^{''} \neq {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ .作为 ${v（v）}_{2}^{''} ({B类}_{2}^{''}) = 0$ ，玩家2的IR意味着 $第页 ({B类}_{2}^{''}) = 0$ 然而， ${B类}_{2}^{''} \neq \emptyset$ 因此，该机制是一种微不足道的定价机制。
- 假设相反 $第页 ({B类}_{1}) > {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ .
  让 $第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + 2 \cdot ε$ 对一些人来说 $ε > 0$ .
  我们声称，玩家1的真实性属性不成立。考虑玩家1的偏差：
  ——
  ${v（v）}_{1}^{'} (B类) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + ε$ 对于任何捆绑， $B类 \supseteq {B类}_{1}$ .
  ——
  ${v（v）}_{1}^{'} ({B类}^{'}) = 0$ 对于任何捆绑， ${B类}^{'} ⊉ {B类}_{1}$ .
  我们显示当玩家1宣布 ${V（V）}_{1}^{'}$ ，没有其他分配，但 ${B类}_{1}^{'} = {B类}_{1}$ 可以保持IR、帕累托最优和非任意囤积的特性，因此分配玩家1 ${B类}_{1}$ 以更低的价格。我们首先显示分配 ${B类}_{2}^{'} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 与帕累托最优或非任意囤积相矛盾。我们在引理1中表明 $第页 ({B类}_{2}^{'} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}) = 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}$ .
  ——
  如果 ${v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \leq {b条}_{1}$ ，这意味着 $第页 ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + ε$ 。我们认为这种分配不是帕累托最优的，因为 ${B类}_{1}^{''} = {B类}_{1}$ , $第页 ({B类}_{1}^{''}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + ε$ , ${B类}_{2}^{''} = {B类}_{2}$ 和 $第页 ({B类}_{2}^{''}) = 0$ 对于玩家2来说，绝对更好，而拍卖商和玩家1则对这两种分配漠不关心：
  *
  ${u个}_{1}^{''} = {v（v）}_{1}^{'} ({B类}_{1}^{''}) - 第页 ({B类}_{1}^{''}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + ε - {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - ε = 0 = {u个}_{1}^{'}$
  *
  ${u个}_{2}^{''} = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{''}) - 第页 ({B类}_{2}^{''}) = {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ 然而， ${v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + ε$ ，因此， ${v（v）}_{2} ({B类}_{2}) > {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {u个}_{2}^{'}$
  *
  ${u个}_{一}^{''} = {u个}_{一}^{'}$ .
  ——
  如果 ${v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) > {b条}_{1}$ 由于至少有一个限制R1或R2是公开的，那么R2必须是公开的并且 ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {b条}_{1}$ 因此，分配 ${B类}_{2}^{'} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 与非任意囤积相矛盾。
  遵循玩家1的IR，任何分配， ${B类}_{1}^{'}$ , ${B类}_{2}^{'}$ , $第页 ({B类}_{2}^{'})$ , $第页 ({B类}_{1}^{'})$ ，因此 ${B类}_{1}^{'}$ 不包含 ${B类}_{1}$ 和 ${B类}_{1}^{'} \neq \emptyset$ ，意味着 $第页 ({B类}_{1}^{'}) = 0$ 因此是微不足道的定价。因此，分配给玩家1 ${B类}_{1}$ 价格更低，这与以下假设相矛盾： $第页 ({B类}_{1}) > {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ .
第页 ( B类 2 ) = v（v） 1 ( c（c） 1 , ⋯ , c（c） k个 ) − v（v） 1 ( B类 1 )
- 假设相反 $第页 ({B类}_{2}) < {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ .
  让 $第页 ({B类}_{2}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - 2 \cdot ε$ 对一些人来说 $ε > 0$ 考虑以下估价：
  ——
  ${V（V）}_{1}^{'} = {V（V）}_{1}$
  ——
  ${v（v）}_{2}^{'} (B类) = 0$ 对于任何捆绑 $B类 ⊉ {B类}_{2}$ .
  ——
  ${v（v）}_{2}^{'} ({B类}^{'}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - ε$ 对于任何捆绑 ${B类}^{'} \supseteq {B类}_{2}$ .
  如果R1为公众所知，则 ${v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - ε < {b条}_{1}$ 如果R2是公开的，那么 ${v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {b条}_{1}$ 因此，我们认为 ${v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < 米我 n个 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}$ ，并分配k个-玩家2的物品捆绑与非常规囤积相矛盾。任何分配， ${B类}_{2}^{'}$ ，因此 ${B类}_{2}^{'} ⊉ {B类}_{2}$ ，对于玩家2来说是不真实的，因为玩家2的效用为零。玩家2可以偏离并陈述 ${V（V）}_{2}$ 而不是 ${V（V）}_{2}^{'}$ .有了这个偏差，他将被分配 ${B类}_{2}$ 对于正效用，如： ${u个}_{2}^{'} = {v（v）}_{2}^{'} ({B类}_{2}) - 第页 ({B类}_{2}) = {v（v）}_{2}^{'} ({B类}_{2}) - {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + 2 \cdot ε = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - ε - {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + 2 \cdot ε = ε > 0$ .
  为了完成这个论证，我们现在声明，在分配时，玩家1的真实性属性不成立 ${B类}_{1}$ 和 ${B类}_{2}$ 分别发给这两名球员。考虑玩家1的偏差：
  ——
  ${v（v）}_{1}^{''} (B类) = 0$ 对于任何捆绑 $B类 \neq {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$
  ——
  ${v（v）}_{1}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{1}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$
  我们显示当玩家1宣布 ${V（V）}_{1}^{''}$ ，没有其他分配，但 ${B类}_{1}^{''}$ ，可以保持IR、帕累托最优和非任意囤积的特性，因此，玩家1被分配 ${B类}_{1}^{''}$ 以获得更高的效用。
  我们首先展示了如何分配k个-玩家2的物品捆绑与非常规囤积相矛盾 ${v（v）}_{2}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{1}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 和 ${v（v）}_{2}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {b条}_{1}$ .分配任何其他分配，以便 ${B类}_{1}^{''} \notin {\emptyset, {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}}$ ，必须是微不足道的定价，因为玩家1被免费分配了一个非空捆绑包。
  我们在引理1中证明了，在满足四个属性的任何非平凡定价机制中，如果玩家1被分配给k个-项目包，然后 $第页 ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = 最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{2}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})}$ .
  我们现在显示，玩家1在分配k项包时可以获得更高的效用。 ${u个}_{1}^{''} = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - 第页 ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2}^{''} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + ε$ .
  也就是说，玩家1从k项包中获得的效用高于他从分配中获得的功效 ${B类}_{1}$ ，即使 ${B类}_{1}$ 是免费分配的。
- 假设与此相反 $第页 ({B类}_{2}) > {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$
  让 $第页 ({B类}_{2}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + 2 \cdot ε$ 对一些人来说 $ε > 0$ .
  我们声称，玩家2的真实性属性不成立。考虑玩家2的以下偏差：
  ——
  ${v（v）}_{2}^{'} (B类) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + ε$ 对于任何捆绑， $B类 \supseteq {B类}_{2}$ .
  ——
  ${v（v）}_{2}^{'} ({B类}^{'}) = 0$ 对于任何捆绑， ${B类}^{'} ⊉ {B类}_{2}$ .
  当玩家2宣布 ${V（V）}_{2}^{'}$ ，没有其他分配，但 ${B类}_{2}^{'} = {B类}_{2}$ ，可以保持IR和Pareto最优的属性，因此分配了玩家2 ${B类}_{2}$ 以更低的价格。我们首先显示分配 ${B类}_{1}^{'} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 与帕累托最优相矛盾。我们在引理1中表明 $第页 ({B类}_{1}^{'} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}) = {v（v）}_{2}^{'} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + ε$ 。我们认为这种分配不是帕累托最优的，因为 ${B类}_{1}^{''} = {B类}_{1}$ , ${B类}_{2}^{''} = {B类}_{2}$ 和 $第页 ({B类}_{2}^{''}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + ε$ , $第页 ({B类}_{1}^{''}) = 0$ 对于玩家1来说，绝对更好，而拍卖商和玩家2则对这两种分配漠不关心：
  ——
  ${u个}_{1}^{''} = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{''}) - 第页 ({B类}_{1}^{''}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{''}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ .然而， ${u个}_{1}^{'} = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - 第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - ε$ 因此， ${u个}_{1}^{''} > {u个}_{1}^{'}$ .
  ——
  ${u个}_{2}^{''} = {v（v）}_{2}^{'} ({B类}_{2}^{''}) - 第页 ({B类}_{2}^{''}) = 0 = {u个}_{2}^{'}$ .
  ——
  ${u个}_{一}^{''} = {u个}_{一}^{'}$ .
  遵循玩家2的IR，任何分配， ${B类}_{1}^{'}$ , ${B类}_{2}^{'}$ , $第页 ({B类}_{1}^{'})$ , $第页 ({B类}_{2}^{'})$ ，因此 ${B类}_{2}^{'}$ 不包含 ${B类}_{2}$ 、和 ${B类}_{2}^{'} \neq \emptyset$ 意味着 $第页 ({B类}_{2}^{'}) = 0$ 因此是微不足道的定价。因此，分配了玩家2 ${B类}_{2}$ 价格更低，这与以下假设相矛盾： $第页 ({B类}_{2}) > {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ .

4.1. VCG机制可能性空间

在本节中，我们表明至少有一个限制（R1或R2）是公开的，那么应用VCG价格的有效机制是满足这四个属性的唯一机制。效率定义如下。

定义10。 让

F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}) = ({B类}_{1}, {B类}_{2}, 第页 ({B类}_{1}), 第页 ({B类}_{2}))

成为一种拍卖机制。我们这么说F类是有效的，如果

{B类}_{1} \in {argmax（最大值）}_{B类 \in B类} ({v（v）}_{1} (B类) + {v（v）}_{2} (C类 - B类))

定理1。 如果至少有一个限制（R1或R2）是公开的，那么满足这四个属性的唯一机制是应用VCG价格的有效机制。

我们将定理1的证明分为两部分。一部分证明充分，另一部分证明必要。证据的充分部分表明，如果众所周知，R1或R2中至少有一个限制成立，那么具有VCG价格的有效机制满足这四个属性。证明的必要部分表明，如果众所周知，至少有一个限制R1或R2有效，那么满足这四个属性的任何机制都必须对VCG价格有效。

定理1的证明。 我们从证明充分性开始。

第一部分：任何具有VCG价格的有效机制都满足这四个属性。

IR：我们将证明分为两个分配案例。在第一种情况下，为玩家1分配了空包，在第二种情况下为玩家1配置了非空包。
- ${B类}_{1} = \emptyset 一 n个 d日 {B类}_{2} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$
  播放器1的假定VCG价格为 $第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) = 0$ 因此，具有VCG价格的有效机制满足玩家1的IR特性。
  播放器2的假定VCG价格为 $第页 ({B类}_{2}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 。由于我们假设该机制是有效的，因此对于任何捆绑包，B类, ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq {v（v）}_{1} (B类) + {v（v）}_{2} (C类 - B类)$ 特别是， ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 因此，具有VCG价格的有效机制满足播放器2的IR属性。
- ${B类}_{1} \neq \emptyset$
  ——
  玩家1的IR：假设相反，玩家1的IR不满足，即。， $最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({B类}_{1})} < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ .
  如果限制R1有效，则自由处置意味着 $最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({B类}_{1})} = {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ 因此，我们得出结论 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ 最后一个不等式意味着 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ ，这与分配有效的假设相矛盾。
  如果限制R2成立，则：
  *
  一方面，如果， ${b条}_{1} < {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ ，意思是 ${b条}_{1} < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ ，所以加上限制R2，我们有 ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) > {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + {b条}_{1} > {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 然而，最后一个不等式意味着 ${v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < 0$ ，这与我们的估价定义相矛盾 ${v（v）}_{2} (\emptyset) = 0$ ，我们假设可以自由处置。
  *
  另一方面，如果， ${b条}_{1} > {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ ，意思是 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ ，所以 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 这与效率相矛盾。
  ——
  玩家2的IR：假设相反，玩家2的IR不满足，即。， ${v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ .如果 ${B类}_{2} = \emptyset$ 则相反假设给出的不等式意味着 ${v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < 0$ 这与我们的估值定义相矛盾。如果 ${B类}_{2} \neq \emptyset$ 则相反假设给出的不等式意味着 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ ，这与分配有效的假设相矛盾，因为 ${B类}_{2} = \emptyset$ 应该被选中。
帕累托最优：假设相反，分配， ${B类}_{1}$ 、和 ${B类}_{2} = C类 - {B类}_{1}$ ，用VCG定价是有效的，但不是帕累托最优的。也就是说，还有另一个分配 ${B类}_{1}^{'} \neq {B类}_{1}$ 和 ${B类}_{2}^{'} = C类 - {B类}_{1}^{'}$ 有价格 $第页 ({B类}_{1}^{'}) \leq {b条}_{1}$ 和 $第页 ({B类}_{2}^{'})$ ，使得以下所有条件都成立，并且条件2b–2d中的至少一个条件严格更好。
（a）
${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) \leq {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ ，表示分配 ${B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}$ 不会使估值总和最大化。
（b）
$第页 ({B类}_{1}^{'}) + 第页 ({B类}_{2}^{'}) \geq 第页 ({B类}_{1}) + 第页 ({B类}_{2})$ ，这意味着拍卖商对分配更好或更漠不关心 ${B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}$ .
（c）
${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - 第页 ({B类}_{1}^{'}) \geq {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - 第页 ({B类}_{1})$ ，这意味着玩家1对分配比较满意或漠不关心 ${B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}$ .
（d）
${v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - 第页 ({B类}_{2}^{'}) \geq {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - 第页 ({B类}_{2})$ ，这意味着玩家2对分配比较满意或漠不关心 ${B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}$ .
然而，根据条件2c和2d，我们得出结论 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) \geq 第页 ({B类}_{1}^{'}) + 第页 ({B类}_{2}^{'}) - 第页 ({B类}_{1}) - 第页 ({B类}_{2})$ .
根据条件2b，我们得出结论，右手边必须是正的，因此，对于一个严格的不等式，它必须是这样的情况 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) > 0$ 与条件2a相矛盾。因此，分配 ${B类}_{1}, {B类}_{2}$ 是帕累托最优的。
非任意囤积：如果限制R1是公共知识，那么我们需要证明：
- 如果分配了玩家1k个-项目包，然后 ${v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$
- 如果分配了玩家2k个-项目包，然后 ${v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \geq {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$
假设相反 ${v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ ，那么 ${B类}_{1} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}$ 不会使估值之和最大化。对于玩家2被分配k个-项目包。
如果限制R2为公众所知，则分配 ${B类}_{1} = \emptyset$ 效率不高，因此不可行。因此，为了证明非任意囤积，我们只需要证明，如果玩家1被分配了k个-项目包，然后 $最小值 {{b条}_{1}, {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})} \geq {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 然而，这个不等式是直接从限制R2中隐含的。
玩家1的真实性：假设 $F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}) = ({B类}_{1}, {B类}_{2}, 第页 ({B类}_{1}), 第页 ({B类}_{2}))$ 玩家1可以通过偏离和陈述其他估值来获得效用， ${V（V）}_{1}^{'}$ .通过以下方式表示虚假估价的结果 $F类 ({V（V）}_{1}^{'}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}) = ({B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}), 第页 ({B类}_{2}^{'}))$ 从该机制的有效性和适用VCG价格的事实来看，我们知道：
（a）
${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) \geq {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'})$
（b）
$第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$
（c）
$第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'})$
（d）
${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - 第页 ({B类}_{1}) < {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - 第页 ({B类}_{1}^{'})$ ，这意味着玩家1通过偏离严格增加了自己的效用。
我们从4b到4d得出结论 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'})$ ，这是 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) < {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'})$ 然而，最后一个不等式与4a相矛盾。
玩家2的真实性：证明玩家2真实性的类似论点也成立。

我们继续证明必要性。

第二部分：任何满足这四个属性的机制都必须在VCG价格下有效。

在引理2中，我们证明了如果至少一个限制（R1或R2）是公开的，那么满足这四个属性的任何非平凡定价机制都必须使用VCG价格。相反，假设存在一种非平凡的定价机制，F类，它满足四个属性，但不是有效的。我们把证据分为两种情况。在第一种情况下，为玩家1分配了一个空集，在第二种情况下为玩家1配置了一个非空集。

假设 $F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}) = ({B类}_{1} = \emptyset, {B类}_{2} = {{c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}}, 第页 ({B类}_{1}) = 0, 第页 ({B类}_{2}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}))$ 。根据玩家2的IR，限制R2无法维持。假设限制R1成立，即。， ${v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) \leq {b条}_{1}$ 。由于我们假设效率不成立，因此存在一个捆绑 ${B类}_{1}^{'} \neq \emptyset$ ，因此 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{1} (\emptyset) + {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个})$ 。我们表明，上述不平等意味着F类不是帕累托最优的。分配 $({B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'} = C类 - {B类}_{1}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}), 第页 ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}))$ 对玩家2来说绝对更好，而玩家1和拍卖商对这两种选择漠不关心。
——
在这两种情况下，玩家1的效用都为零； ${u个}_{1}^{'} = {u个}_{1} = 0$ R1和自由处置使我们得出以下结论 $第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) < {b条}_{1}$ ，因此， $第页 ({B类}_{1}^{'})$ 在玩家1的预算限制内。
——
拍卖人的效用是一样的； ${u个}_{一} = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = 第页 ({B类}_{1}^{'}) + 第页 ({B类}_{2}^{'}) = {u个}_{一}^{'}$
——
玩家2的效用被严格增加； ${u个}_{2}^{'} = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) > {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) = {u个}_{2}$ .
假设 $F类 ({V（V）}_{1}, {V（V）}_{2}, {b条}_{1}) = ({B类}_{1} \neq \emptyset, {B类}_{2}, 第页 ({B类}_{1}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}), 第页 ({B类}_{2}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}))$ 。由于我们假设效率不成立，因此存在一个捆绑 ${B类}_{1}^{'} \neq {B类}_{1}$ ，因此 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ 。我们表明，上述不等式意味着F类不是帕累托最优的。
考虑以下玩家2的估值情况：
——
${v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ 和 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ .
考虑以下分配：

$({B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}), 第页 ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2})) .$

我们首先展示 $0 \leq 第页 ({B类}_{1}^{'}) \leq {b条}_{1}$ 和 $0 \leq 第页 ({B类}_{2}^{'})$ .
$第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) < {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) = 第页 ({B类}_{1})$ .作为F类满足IR， $第页 ({B类}_{1}) \leq {b条}_{1}$ ，因此， $第页 ({B类}_{1}^{'}) < {b条}_{1}$ .
$第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) \geq 0$ 由免费处置产生。
$第页 ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) > {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) \geq 0$ 根据以下假设 ${v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ 以及免费处置。
我们现在表明，玩家1的效用严格来说更好，而玩家2和拍卖商对这两种选择漠不关心：
*
玩家1的工具是 ${u个}_{1}^{'} = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - 第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) = {u个}_{1}$ .
*
拍卖人的效用不变； ${u个}_{一}^{'} = 第页 ({B类}_{1}^{'}) + 第页 ({B类}_{2}^{'}) = 第页 ({B类}_{1}) + 第页 ({B类}_{2}) = {u个}_{一}$
*
玩家2的效用不变； ${u个}_{2}^{'} = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - 第页 ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) + {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) = {u个}_{2}$ .
——
${v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) \leq {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ 和 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2})$ ，意思是 ${v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) > {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ .
考虑以下分配：

$({B类}_{1}^{'}, {B类}_{2}^{'}, 第页 ({B类}_{1}^{'}) = 第页 ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}), 第页 ({B类}_{2}^{'}) = 第页 ({B类}_{2}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}))$

我们首先展示 $0 \leq 第页 ({B类}_{1}^{'}) \leq {b条}_{1}$ 和 $0 \leq 第页 ({B类}_{2}^{'})$ .
*
如果R2是公开的，那么就可以这样 $第页 ({B类}_{1}^{'}) \leq {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) < {b条}_{1}$ .
*
如果R1为公众所知，则 $第页 ({B类}_{1}^{'}) = 第页 ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) < 第页 ({B类}_{1}) + {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ 根据IR $第页 ({B类}_{1}) \leq {v（v）}_{1} ({B类}_{1})$ 因此，我们得出结论： $第页 ({B类}_{1}^{'}) < {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'})$ 。然后我们从R1得出结论： $第页 ({B类}_{1}^{'}) < {b条}_{1}$ .
$第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{2} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) \geq 0$ 由免费处置产生。
$第页 ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) > {v（v）}_{1} ({c（c）}_{1}, \dots, {c（c）}_{k个}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) \geq 0$ 根据以下假设 ${v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) > {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'})$ 以及免费处置。
玩家1的效用绝对更好，而玩家2和拍卖商对这两种选择漠不关心：
*
玩家1的工具是 ${u个}_{1}^{'} = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - 第页 ({B类}_{1}^{'}) = {v（v）}_{1} ({B类}_{1}^{'}) - 第页 ({B类}_{1}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) > {v（v）}_{1} ({B类}_{1}) - 第页 ({B类}_{1}) = {u个}_{1}$ .
*
拍卖人的效用是不变的； ${u个}_{一}^{'} = 第页 ({B类}_{1}^{'}) + 第页 ({B类}_{2}^{'}) = 第页 ({B类}_{1}) + 第页 ({B类}_{2}) = {u个}_{一}$
*
玩家2的效用和以前一样； ${u个}_{2}^{'} = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - 第页 ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) - 第页 ({B类}_{2}) + {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - {v（v）}_{2} ({B类}_{2}^{'}) = {v（v）}_{2} ({B类}_{2}) - 第页 ({B类}_{2}) = {u个}_{2}$ .

5.结论

在一个有两个参与者的模型中，我们刻画了确定性、主导策略激励相容、个体理性和帕累托最优组合拍卖的效率空间k个不相同的项目，其中所有项目捆绑包都是非任意分配的。我们的模型具有多维类型、私人价值和准线性偏好，玩家只需放松一次：其中一个玩家受到公开的预算约束。我们表明，由于公众对球员对k个-项目包和受限玩家的预算。的作者[2]指出非效率解的存在是确定性、主导策略激励相容、个体理性和帕累托最优组合拍卖的空间。的作者[三]提供对存在强制执行低效解决方案的估价领域的见解，即使假设存在非仲裁囤积。我们的结果的一个有趣的结果是描述了可能性空间的剩余部分，并确定在确定性、主导策略激励相容、个别理性和帕累托最优组合拍卖中，哪些估价领域是否实施了无效的解决方案，其中所有项目捆绑包都是非任意分配的。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。作者贡献在报告研究和论文写作的各个方面，作者的贡献是平等的。

作者贡献

作者在报告的研究和论文写作的各个方面的贡献是相等的。

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¹多维类型，意味着玩家可以为每个 $2^{k个}$ 可能的结果。
²在效用拟线性假设下。
^三在拟线性环境中，只有Groves机制满足主导策略激励相容和Pareto最优性质([9,10])

分享和引用

MDPI和ACS样式

勒纳，A。；戈恩，R。描述两个参与者、k项、公共预算和准线性公用事业的激励相容和帕累托最优效率空间。游戏 2014,5, 97-115.https://doi.org/10.3390/g5020097

AMA风格

勒纳A，戈宁R。描述两个参与者，k项，公共预算和拟线性公用事业的激励相容和帕累托最优效率空间。游戏. 2014; 5(2):97-115.https://doi.org/10.3390/g5020097

芝加哥/图拉宾风格

勒纳（Lerner）、阿纳特（Anat）和里卡·戈恩（Rica Gonen）。2014.“描述两个参与者、k项、公共预算和准线性公用事业的激励相容和帕累托最优效率空间”游戏5，编号2:97-115。https://doi.org/10.3390/g5020097

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两个参与者、k项、公共预算和准线性公用事业的激励相容和帕累托最优效率空间的特征

摘要

1.简介

1.1. 我们的贡献

1.2. 先前文献

1.3。带回家点和例子

1.4. 组织

2.符号和定义

3.财产对k个-商品捆绑价格

4.绘制VCG空间

4.1. VCG机制可能性空间

5.结论

利益冲突

作者贡献

参考文献

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