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分形
第7卷
第6版
10.3390/fractalfract7060482
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第条

半线性时间分数阶扩散方程的插值系数混合有限元

通过
李晓武
和
岳龙堂
*
湖南理工大学理学院，永州425100
*
信件应寄给的作者。
分形。 2023，7(6), 482;https://doi.org/10.3390/fractalfract7060482
收到的提交文件：2023年5月14日/修订日期：2023年6月15日/接受日期：2023年6月15日/发布日期：2023年6月16日
（本文属于特刊分数阶偏微分方程时空离散化研究进展)
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摘要

:
本文考虑半线性时间分数阶反应扩散方程的全离散插值系数混合有限元方法。经典 我 1 时间离散采用基于分级网格的格式，空间离散采用基于三角剖分的新型混合有限元。用插值系数法处理半线性项，用类牛顿迭代法求解离散非线性系统。导出了原始变量及其通量的稳定性和收敛性结果。数值实验证实了我们的理论分析。

1.简介

时间分数偏微分方程（FPDEs）在生态学、生物学、金融学、化学、物理和工程等不同领域被广泛用于描述一些具有记忆和遗传性的现象或过程[1]. 由于大多数FPDE无法解析求解[2]，已经提出了许多FPDE的数值方法。系统介绍见[三，4]以及其中的参考文献。
FPDE主要有三种，即时间FPDE、空间FPDE和时空FPDE。在过去的几十年里，许多数值方法，如谱方法[5]，有限差分法[6，7]，有限元法[8，9]，混合有限元法（MFEM）[10，11]，时空有限元[12]，间断Galerkin FEM[13]，有限体积法[14]，虚拟元素方法[15]，基于指数和逼近的快速算法[16，17，18]和高阶格式[19，20]已为时间FPDE开发，主要集中在线性情况下。最近，也有一些关于非线性时间FPDE的工作[21，22，23，24].
对于FEM求解非线性偏微分方程，Xu在[25]，Zlámal和Larsson为中的非线性抛物方程提供了插值系数（IC）FEM[26，27]. 集成电路技术是一个简单而优雅的想法。它不仅简化了非线性项的数值积分计算，而且有助于求解相应的离散非线性系统。最近，IC被扩展到求解一些非线性方程[28].
例如，经典MFEM中使用的离散空间对之间必须满足Ladyćenskaja-Babuška-Brezzi（LBB）条件， P（P） k个 2 − x个 P（P） k个 − 1 拉瓦尔特-托马斯MFEM。这导致可用空间对很少，计算成本巨大。为了摆脱LBB条件，Pani建议 H（H） 1 -Galerkin MFEM公司[29]杨在年提出了分裂正定MFEM[30]. 2010年，陈开发了一种新的 P（P） k个 − 1 2 − P（P） k个 MFEM输入[31]. 与相比 P（P） k个 2 − x个 P（P） k个 − 1 Ravairt-Thomas MFEM，该方法有两个主要优点：一是方程的正则性要求较低；二是计算成本较低。近年来，它被用于求解抛物方程[32].
在本文中，我们将提出一个完全离散的插值系数 P（P） k个 − 1 2 − P（P） k个 结合IC和 P（P） k个 − 1 2 − P（P） k个 MFEM。将导出所有变量的稳定性和收敛性结果。STFRDE可以从具有时间记忆和源的连续时间随机行走模型或人口模型中导出[33，34，35]. 与一般反应扩散模型相比，STFRDEs具有分数导数指数，并表现出自组织现象。
我们对以下STFRDE感兴趣：
D类 吨 α u个 − div公司 ( A类 ∇ u个 ) + ϕ ( u个 ) = （f） ， x个 ∈ Ω ， 吨 ∈ J型 ，
u个 ( x个 ， 吨 ) = 0 ， x个 ∈ ∂ Ω ， 吨 ∈ J型 ¯ ，
u个 ( x个 ， 0 ) = u个 0 ( x个 ) ， x个 ∈ Ω ，
哪里 Ω ⊂ 对 2 是具有边界的凸多边形域 ∂ Ω ， J型 = ( 0 ， T型 ] 、和 D类 吨 α 表示 α -订单 ( 0 < α < 1 ) 左卡普托导数[1]，即
D类 吨 α u个 ( · ， 吨 ) = 1 Γ ( 1 − α ) ∫ 0 吨 ∂ u个 ( · ， 秒 ) ∂ 秒 1 ( 吨 − 秒 ) α d日 秒 。
A类 = A类 ( x个 ) = ( 一 我 j个 ( x个 ) ) 2 × 2 ∈ W公司 2 ， ∞ ( Ω ¯ ) 2 × 2 满足 c（c） * ∥ ξ ∥ 2 ≤ ξ T型 A类 ξ ≤ c（c） * ∥ ξ ∥ 2 ， ∀ ξ ∈ 对 2 具有 c（c） * ， c（c） * > 0 。 ϕ ( · ) ， （f） ( x个 ， 吨 ) ∈ 我 2 ( J型 ; 我 2 ( Ω ) ) 和 u个 0 ( x个 ) ∈ H（H） 1 ( Ω ) 是已知的实值函数，存在常量 M（M） > 0 这样的话
| ϕ ( u个 ) | ≤ M（M） | u个 | ，
和
ϕ ' ( · ) ≥ 0 ， | ϕ ' ( · ) | + | ϕ ” ( · ) | ≤ M（M） 。
此外，我们假设(1)–(三)有解决方案 u个 ( x个 ， 吨 ) ，满足条件[16]
∂ k个 u个 ( x个 ， 吨 ) ∂ 吨 k个 ≤ c（c） 0 吨 α − k个 ， 0 ≤ k个 ≤ 三 ，
哪里 c（c） 0 是一个正常数，它取决于问题，但不取决于网格参数小时和 τ 。
在本文中，我们将Sobolev空间表示为 Ω 作为 W公司 米 ， 第页 ( Ω ) 具有半范数 | · | 米 ， 第页 和规范 ∥ · ∥ 米 ， 第页 由提供 | w个 | 米 ， 第页 = ( ∑ β = 米 ∥ D类 β w个 ∥ 我 第页 ( Ω ) 第页 ) 1 / 第页 和 ∥ w个 ∥ 米 ， 第页 = ( ∑ β ≤ 米 ∥ D类 β w个 ∥ 我 第页 ( Ω ) 第页 ) 1 / 第页 分别是。何时 第页 = 2 ，我们设置 H（H） 米 ( Ω ) = W公司 米 ， 2 ( Ω ) ， H（H） 0 1 ( Ω ) = { v（v） ∈ H（H） 1 ( Ω ) : v（v） | ∂ Ω = 0 } ， ∥ · ∥ 米 = ∥ · ∥ 米 ， 2 和 ∥ · ∥ = ∥ · ∥ 0 ， 2 此外，C类是独立于网格参数的通用正常数小时和 τ 。
本文的计划如下。全离散ICPMFE近似格式(1)–(三)在中给出第2节无条件稳定性见第3节。收敛结果建立在第4节进行了两个数值示例，以证实我们在第5节。

2.全离散ICPMFE近似

我们将构造一个完全离散的ICPMFE近似值(1)–(三)在本节中。为了简化演示，我们设置 U型 = 我 2 ( Ω ) ， W公司 = H（H） 0 1 ( Ω ) ， V（V） = ( 我 2 ( Ω ) ) 2 ， H（H） = H（H） ( div公司 ; Ω ) = v（v） ∈ V（V） ， div公司 v（v） ∈ 我 2 ( Ω ) 和相应的 我 2 -内积 ( · ， · ) 定义如下：
( （f） 1 ， （f） 2 ) = ∫ Ω （f） 1 （f） 2 ， ∀ （f） 1 ， （f） 2 ∈ U型 ， ( φ ， ψ ) = ∑ 我 = 1 2 ( φ 我 ， ψ 我 ) ， ∀ φ ， ψ ∈ V（V） 。
让 A类 = A类 − 1 和 第页 = A类 ∇ u个 。如中所示[36]，我们导出了经典的混合弱形式(1)–(三)as：查找 { 第页 ， u个 } : [ 0 ， T型 ] ↦ H（H） × U型 ，因此
D类 吨 α u个 ， w个 − ( ∇ 第页 ， w个 ) + ( ϕ ( u个 ) ， w个 ) = ( （f） ， w个 ) ， ∀ w个 ∈ U型 ，
( A类 第页 ， v（v） ) + ( u个 ， ∇ · v（v） ) = 0 ， ∀ v（v） ∈ H（H） 。
u个 ( x个 ， 0 ) = u个 0 ( x个 ) ， ∀ x个 ∈ Ω 。
类似于[31]，我们导出了一个新的混合变分形式(1)–(三)as：查找 { 第页 ， u个 } : [ 0 ， T型 ] ↦ V（V） × W公司 ，因此
D类 吨 α u个 ， w个 + ( 第页 ， ∇ w个 ) + ( ϕ ( u个 ) ， w个 ) = ( （f） ， w个 ) ， ∀ w个 ∈ W公司 ，
( A类 第页 ， v（v） ) − ( ∇ u个 ， v（v） ) = 0 ， ∀ v（v） ∈ V（V） 。
u个 ( x个 ， 0 ) = u个 0 ( x个 ) ， ∀ x个 ∈ Ω 。
备注 1
与经典混合弱形式相比(5)–(7)，新的混合弱形式有两个优点(8)–(10). 一个是通量 第页 ∈ V（V） 另一个是它避免了复杂空间的使用 H（H） 。

2.1. 时间离散化

分级时间网格为 { 吨 n个 = T型 ( n个 / N个 ) 对 } n个 = 0 N个 ， N个 ∈ Z轴 + ，其中 对 ≥ 1 .设置 u个 ( x个 ， 吨 n个 ) = u个 n个 ， τ n个 = 吨 n个 − 吨 n个 − 1 ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 和 τ = 最大值 { τ n个 } n个 = 1 N个 .然后 我 1 卡普托导数的离散格式如下[7，37]：用于 n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 ，
D类 吨 α u个 n个 = 1 Γ ( 1 − α ) ∑ k个 = 0 n个 − 1 u个 k个 + 1 − u个 k个 τ k个 + 1 ∫ 吨 k个 吨 k个 + 1 d日 秒 ( 吨 n个 − 秒 ) α + 对 u个 n个 = 1 Γ ( 2 − α ) ∑ k个 = 0 n个 − 1 u个 k个 + 1 − u个 k个 τ k个 + 1 ( 吨 n个 − 吨 k个 ) 1 − α − ( 吨 n个 − 吨 k个 + 1 ) 1 − α + 对 u个 n个 = 1 Γ ( 2 − α ) ∑ k个 = 1 n个 − 1 ( d日 n个 ， k个 + 1 − d日 n个 ， k个 ) u个 n个 − k个 − d日 n个 ， 1 Γ ( 2 − α ) u个 n个 − d日 n个 ， n个 Γ ( 2 − α ) u个 0 + 对 u个 n个 : = D类 N个 α u个 n个 + 对 u个 n个 ，
哪里 d日 n个 ， 1 = τ n个 − α 和
d日 n个 ， k个 = ( 吨 n个 − 吨 n个 − k个 ) 1 − α − ( 吨 n个 − 吨 n个 − k个 + 1 ) 1 − α τ n个 − k个 + 1 ， k个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， n个 。
如果 | u个 ” ( 吨 ) | ≤ C类 吨 α − 2 ， 0 ≤ 吨 ≤ T型 ，它来自[18]截断误差有界于
| 对 u个 n个 | : = | D类 吨 α u个 n个 − D类 N个 α u个 n个 | ≤ C类 n个 − 最小值 { 2 − α ， 对 ( 1 + α ) } ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 。

2.2。空间离散化

让 T型 小时 是…的规则三角剖分 Ω 。 小时 e（电子） 表示的直径e（电子）和 小时 = 最大值 e（电子） ∈ T型 小时 { 小时 e（电子） } 。 P（P） k个 是一个总次数高达k个.让 V（V） 小时 × W公司 小时 ⊂ V（V） × W公司 由以下有限元对定义 P（P） k个 − 1 2 − P（P） k个 [31]:   
V（V） 小时 = { v（v） 小时 = ( v（v） 1 小时 ， v（v） 2 小时 ) ∈ V（V） : v（v） 我 小时 | e（电子） ∈ P（P） k个 − 1 ( e（电子） ) ， ∀ e（电子） ∈ T型 小时 ， 我 = 1 ， 2 } ， W公司 小时 = { w个 小时 ∈ C类 0 ( Ω ¯ ) ∩ W公司 : w个 小时 | e（电子） ∈ P（P） k个 ( e（电子） ) ， ∀ e（电子） ∈ T型 小时 } 。
然后，采用完全离散的MFEM近似(1)–(三)是：查找 ( 第页 小时 n个 ， u个 小时 n个 ) ∈ V（V） 小时 × W公司 小时 ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 ，因此
D类 N个 α u个 小时 n个 ， w个 小时 + ( 第页 小时 n个 ， ∇ w个 小时 ) + ( ϕ ( u个 小时 n个 ) ， w个 小时 ) = ( （f） n个 ， w个 小时 ) ， ∀ w个 小时 ∈ W公司 小时 ，
( A类 第页 小时 n个 ， v（v） 小时 ) − ( ∇ u个 小时 n个 ， v（v） 小时 ) = 0 ， ∀ v（v） 小时 ∈ V（V） 小时 ，
u个 小时 0 = P（P） 小时 u个 0 ，
其中投影 P（P） 小时 稍后将指定。
让 { φ 我 } 我 = 1 M（M） 1 是离散空间的基元函数 W公司 小时 然后，数值解 u个 小时 n个 ∈ W公司 小时 可以表示为 u个 小时 n个 = ∑ 我 = 1 M（M） 1 u个 小时 ， 我 n个 φ 我 .设置 { ψ 我 } 我 = 1 M（M） 2 作为离散空间的边基函数 V（V） 小时 然后，我们可以假设 第页 小时 n个 = ∑ 我 = 1 M（M） 2 第页 小时 ， 我 n个 · ψ 我 。通过选择 w个 小时 = φ 我 ， 我 = 1 ， 2 ， ⋯ ， M（M） 1 在(13)，我们得到以下非线性系统：
D类 N个 α ∑ j个 = 1 M（M） 1 ( φ j个 ， φ 我 ) u个 小时 ， j个 n个 + ∑ j个 = 1 M（M） 2 ψ j个 · 第页 小时 ， j个 n个 ， ∇ φ 我 + ϕ ∑ j个 = 1 M（M） 1 u个 小时 ， j个 n个 φ j个 ， φ 我 = ( （f） n个 ， φ 我 ) ，
通常采用类牛顿法求解。其主要关注点是计算雅可比矩阵(16)如下所示：
D类 N个 α ∑ j个 = 1 M（M） 1 ( φ j个 ， φ 我 ) + ∑ j个 = 1 M（M） 2 ψ j个 ， ∇ φ 我 + ϕ ' ∑ k个 = 1 M（M） 1 u个 小时 ， k个 n个 φ k个 φ j个 ， φ 我 = 0 ， 我 = 1 ， 2 ， ⋯ ， M（M） 1 。
这取决于选择 u个 小时 n个 ，并且需要在迭代过程中重复计算。显然，中的双线性项的积分(17)将导致非常耗时且昂贵的计算。
我们引入一个插值算子 我 小时 : W公司 → W公司 小时  [27]，满足：对于任何 ϑ ∈ W公司 ，
我 小时 ϑ = ∑ 我 = 1 M（M） 1 ϑ 我 φ 我 。
以下误差估计是有效的[27]：用于 0 ≤ 对 ≤ k个 + 1 和 1 ≤ 第页 ≤ ∞ ，
∥ ϑ − 我 小时 ϑ ∥ 对 ， 第页 ≤ C类 小时 k个 + 1 − 对 ∥ ψ ∥ k个 + 1 ， 第页 ， ∀ ϑ ∈ C类 ( Ω ¯ ) ∩ W公司 k个 + 1 ， 第页 ( τ ) ， ∀ τ ∈ T型 小时 。
然后，采用全离散ICPMFE近似(1)–(三)是：查找 ( 第页 小时 n个 ， u个 小时 n个 ) ∈ V（V） 小时 × W公司 小时 ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 ，因此
D类 N个 α u个 小时 n个 ， w个 小时 + ( 第页 小时 n个 ， ∇ w个 小时 ) + ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) ， w个 小时 ) = ( （f） n个 ， w个 小时 ) ， ∀ w个 小时 ∈ W公司 小时 ，
( A类 第页 小时 n个 ， v（v） 小时 ) − ( ∇ u个 小时 n个 ， v（v） 小时 ) = 0 ， ∀ v（v） 小时 ∈ V（V） 小时 ，
u个 小时 0 = P（P） 小时 u个 0 。
通过采取 w个 小时 = φ 我 ， 我 = 1 ， 2 ， ⋯ ， M（M） 1 在(19)，我们得到以下非线性系统：
D类 N个 α ∑ j个 = 1 M（M） 1 ( φ j个 ， φ 我 ) u个 小时 ， j个 n个 + ∑ j个 = 1 M（M） 2 ψ j个 · 第页 小时 ， j个 n个 ， ∇ φ 我 + ∑ j个 = 1 M（M） 1 ϕ ( u个 小时 ， j个 n个 ) ( φ j个 ， φ 我 ) = ( （f） n个 ， φ 我 ) 。
其雅可比矩阵如下：
D类 N个 α ∑ j个 = 1 M（M） 1 ( φ j个 ， φ 我 ) + ∑ j个 = 1 M（M） 2 ψ j个 ， ∇ φ 我 + ∑ j个 = 1 M（M） 1 ϕ ' ( u个 小时 ， j个 n个 ) ( φ j个 ， φ 我 ) = 0 ， 我 = 1 ， 2 ， ⋯ ， M（M） 1 。
例如，让 ϕ ( u个 ) = u个 三 ，然后 ϕ ' ( u个 ) = 三 u个 2 .中的半线性项(17)是
ϕ ' ∑ k个 = 1 M（M） 1 u个 小时 ， k个 n个 φ k个 φ j个 ， φ 我 = 三 ∑ k个 = 1 M（M） 1 u个 小时 ， k个 n个 φ k个 2 φ j个 ， φ 我 = 三 ∑ k个 ， 我 = 1 M（M） 1 u个 小时 ， k个 n个 u个 小时 ， 我 n个 φ k个 φ 我 φ j个 ， φ 我 ，
而中的半线性项(23)是
∑ j个 = 1 M（M） 1 ϕ ' ( u个 小时 ， j个 n个 ) ( φ j个 ， φ 我 ) = 三 ∑ j个 = 1 M（M） 1 ( u个 小时 ， j个 n个 ) 2 ( φ j个 ， φ 我 ) 。
因此，半线性项的积分(23)与相比大大减少(17).

3.稳定性分析

后续稳定性分析需要以下结论。
引理 1 ([38]).
让函数 v（v） j个 = v（v） ( · ， 吨 j个 ) 加入 我 2 ( Ω ) 对于 j个 = 0 ， 1 ， ⋯ ， N个 然后，离散 我 1 方案描述为(11)满足
D类 N个 α v（v） n个 ， v（v） n个 ≥ D类 N个 α ∥ v（v） n个 ∥ ∥ v（v） n个 ∥ ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 。
引理 2 ([39]).
假设序列 { ξ n个 } n个 = 1 N个 和 { σ n个 } n个 = 1 N个 非负，即 V（V） 0 ≥ 0 以及序列 { V（V） n个 } n个 = 1 N个 满足
V（V） n个 D类 N个 α V（V） n个 ≤ ξ n个 V（V） n个 + ( σ n个 ) 2 ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 。
然后
V（V） N个 ≤ V（V） 0 + Γ ( 1 − α ) 最大值 j个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， n个 吨 j个 α ξ j个 + Γ ( 1 − α ) 最大值 j个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， n个 吨 j个 α 2 σ j个 ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 。
我们现在展示了(19)–(21).
定理 1
对于 n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 ，我们假设 ( u个 小时 n个 ， 第页 小时 n个 ) 是的解决方案(19)–(21). 然后
∥ u个 小时 n个 ∥ ≤ C类 ∥ u个 小时 0 ∥ + 最大值 0 ≤ 我 ≤ N个 ∥ （f） j个 ∥ ，
∥ 第页 小时 n个 ∥ ≤ C类 ∥ 第页 小时 0 ∥ + 最大值 0 ≤ 我 ≤ N个 ∥ （f） j个 ∥ 。
证明。 
选择 w个 小时 = u个 小时 n个 在(19)和 v（v） 小时 = ∇ u个 小时 n个 在(20)，我们有
D类 N个 α u个 小时 n个 ， u个 小时 n个 + ( 第页 小时 n个 ， ∇ u个 小时 n个 ) + ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) ， u个 小时 n个 ) = ( （f） n个 ， u个 小时 n个 ) ，
( A类 第页 小时 n个 ， ∇ u个 小时 n个 ) − ( ∇ u个 小时 n个 ， ∇ u个 小时 n个 ) = 0 。
替代(29)到(28)，我们得到
D类 N个 α u个 小时 n个 ， u个 小时 n个 + ( A类 ∇ u个 小时 n个 ， ∇ u个 小时 n个 ) = ( （f） n个 ， u个 小时 n个 ) − ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) ， u个 小时 n个 ) 。
从引理1，我们有 D类 N个 α ∥ u个 小时 n个 ∥ ∥ u个 小时 n个 ∥ ≤ D类 N个 α u个 小时 n个 ， u个 小时 n个 .根据以下假设A类，很容易看到 c（c） ∥ ∇ u个 小时 n个 ∥ 2 ≤ ( A类 ∇ u个 小时 n个 ， ∇ u个 小时 n个 ) 。请注意 | ϕ ( u个 小时 n个 ) | ≤ M（M） | u个 小时 n个 | 和财产 ∥ 我 小时 ϑ ∥ ≤ C类 ∥ ϑ ∥ 拉格朗日插值算子 我 小时 ，它来自于柯西不等式和(30)我们到达的地方
D类 N个 α ∥ u个 小时 n个 ∥ ∥ u个 小时 n个 ∥ + c（c） ∥ ∇ u个 小时 n个 ∥ 2 ≤ ∥ （f） n个 ∥ ∥ u个 小时 n个 ∥ + C类 M（M） ∥ u个 小时 n个 ∥ 2 。
因为 u个 小时 n个 ∈ H（H） 0 1 ( Ω ) 根据弗里德里希斯不等式 ∥ u个 小时 n个 ∥ ≲ ∥ ∇ u个 小时 n个 ∥ .然后 C类 M（M） ∥ u个 小时 n个 ∥ 2 ≲ c（c） ∥ ∇ u个 小时 n个 ∥ 2 .通过使用引理2和(31)，我们可以获得(26).
拿 w个 小时 = − ∇ · ( A类 第页 小时 n个 ) 在(19)和 v（v） 小时 = A类 第页 小时 n个 在(20)，我们有
D类 N个 α ∇ u个 小时 n个 ， A类 第页 小时 n个 + ( ∇ · 第页 小时 n个 ， ∇ · ( A类 第页 小时 n个 ) ) + ( ∇ 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) ， A类 第页 小时 n个 ) = ( ∇ （f） n个 ， A类 第页 小时 n个 ) ，
第页 小时 n个 ， 第页 小时 n个 − ( ∇ u个 小时 n个 ， A类 第页 小时 n个 ) = 0 。
替代(33)到(32)，我们得到
D类 N个 α 第页 小时 n个 ， 第页 小时 n个 + ( ∇ · 第页 小时 n个 ， ∇ · ( A类 第页 小时 n个 ) ) = ( A类 ∇ P（P） 小时 （f） n个 ， 第页 小时 n个 ) − ( A类 ∇ 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) ， 第页 小时 n个 ) 。
类似于(30)，它是由引理1和引理2柯西不等式和(34)我们可以推导出(27).    □

4.收敛性分析

以下两个投影算子通常用于MFEM的误差分析。首先，我们定义[33] Π 小时 : V（V） → V（V） 小时 ，满足：对于任何 问 ∈ V（V） ，
( 问 − Π 小时 问 ， v（v） 小时 ) = 0 ， ∀ v（v） 小时 ∈ V（V） 小时 ，
∥ 问 − Π 小时 问 ∥ ≤ C类 小时 k个 ∥ 问 ∥ k个 ， 第页 ， ∀ 问 ∈ ( W公司 米 ， 第页 ( Ω ) ) 2 ， 0 ≤ k个 ≤ 米 。
其次，我们定义[40] P（P） 小时 : W公司 → W公司 小时 ，满足：对于任何 v（v） ∈ W公司 ，
( A类 ∇ ( v（v） − P（P） 小时 v（v） ) ， ∇ w个 小时 ) = 0 ， ∀ w个 小时 ∈ W公司 小时 ，
∥ v（v） − P（P） 小时 v（v） ∥ + 小时 ∥ ∇ ( v（v） − P（P） 小时 v（v） ) ∥ ≤ C类 小时 k个 + 1 ∥ v（v） ∥ k个 + 1 ， ∀ v（v） ∈ W公司 ∩ H（H） k个 + 1 ( Ω ) 。
为了方便起见，我们设置
第页 − 第页 小时 = 第页 − Π 小时 第页 + Π 小时 第页 − 第页 小时 : = θ + ρ ， u个 − u个 小时 = u个 − P（P） 小时 u个 + P（P） 小时 u个 − u个 小时 : = η + ζ 。
定理 2
让 ( u个 ， 第页 ) 和 ( u个 小时 n个 ， 第页 小时 n个 ) ， n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 是的解决方案(8)–(10)和(19)–(21)分别是。对于 吨 ∈ ( 0 ， T型 ] ，我们假设 u个 ∈ H（H） 1 ( J型 ， 我 2 ( Ω ) ) ∩ 我 ∞ ( J型 ; H（H） k个 + 1 ( Ω ) ) 和 u个 吨 ∈ 我 2 ( J型 ; H（H） k个 + 1 ( Ω ) ) 然后，对于 n个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， N个 ，有
u个 n个 − u个 小时 n个 ≤ C类 小时 k个 + 1 + N个 − 最小值 { 2 − α ， 对 α } ，
∇ u个 n个 − u个 小时 n个 + 第页 n个 − 第页 小时 n个 ≤ C类 小时 k个 + N个 − 最小值 { 2 − α ， 对 α } 。
证明。 
减法(8)–(9)形式(19)–(20)得到以下误差方程：
D类 N个 α ζ n个 ， w个 小时 + ( ρ n个 ， ∇ w个 小时 ) = ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) − ϕ ( u个 n个 ) ， w个 小时 ) − D类 N个 α η n个 ， w个 小时 − ( θ n个 ， ∇ w个 小时 ) − ( 对 u个 n个 ， w个 小时 ) ， ∀ w个 小时 ∈ W公司 小时 ，
( A类 ρ n个 ， v（v） 小时 ) − ( ∇ ζ n个 ， v（v） 小时 ) = − ( A类 θ n个 ， v（v） 小时 ) + ( ∇ η n个 ， v（v） 小时 ) ， ∀ v（v） 小时 ∈ V（V） 小时 。
拿 v（v） 小时 = ∇ ζ n个 在(42)并注意到 A类 = A类 − 1 ，我们获得
( ρ n个 ， ∇ ζ n个 ) − ( A类 ∇ ζ n个 ， ∇ ζ n个 ) = − ( θ n个 ， ∇ ζ n个 ) + ( A类 ∇ η n个 ， ∇ ζ n个 ) 。
根据的定义 P（P） 小时 我们获得 ( A类 ∇ η n个 ， ∇ ζ n个 ) = 0 .选择 w个 小时 = ζ n个 英寸(41)并使用A、引理1和(43)，我们有
D类 N个 α ∥ ζ n个 ∥ ∥ ζ n个 ∥ + c（c） ∥ ∇ ζ n个 ∥ 2 ≤ D类 N个 α ζ n个 ， ζ n个 + ( A类 ∇ ζ n个 ， ∇ ζ n个 ) = ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) − ϕ ( u个 n个 ) ， ζ n个 ) − D类 N个 α η n个 ， ζ n个 − ( 对 u个 n个 ， ζ n个 ) − ( θ n个 ， ∇ ζ n个 ) + ( A类 ∇ ζ n个 ， ∇ ζ n个 ) − ( ρ n个 ， ∇ ζ n个 ) = ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) − ϕ ( u个 n个 ) ， ζ n个 ) − D类 N个 α η n个 ， ζ n个 − ( 对 u个 n个 ， ζ n个 ) : = ∑ 我 = 1 三 问 我 。
对于 问 1 ，使用Cauchy不等式 ε 拉格朗日中值定理(18), (38)并注意到 ϕ ' ( · ) ≥ 0 ，有常量 θ 1 ， θ 2 ∈ ( 0 ， 1 ) 这样的话
问 1 = ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) − ϕ ( u个 小时 n个 ) ， ζ n个 ) + ( ϕ ( u个 小时 n个 ) − ϕ ( P（P） 小时 u个 n个 ) ， ζ n个 ) + ( ϕ ( P（P） 小时 u个 小时 n个 ) − ϕ ( u个 n个 ) ， ζ n个 ) = ( 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) − ϕ ( u个 小时 n个 ) ， ζ n个 ) − ( ϕ ' ( P（P） 小时 u个 n个 − θ 1 ζ n个 ) ζ n个 ， ζ n个 ) − ( ϕ ' ( u个 n个 − θ 2 η n个 ) η n个 ， ζ n个 ) ≤ C类 ( ε ) ∥ 我 小时 ϕ ( u个 小时 n个 ) − ϕ ( u个 小时 n个 ) ∥ 2 + M（M） 2 ∥ η n个 ∥ 2 + 2 ε ∥ ζ n个 ∥ 2 ≤ M（M） 2 C类 ( ε ) 小时 2 ( k个 + 1 ) ∥ u个 n个 ∥ k个 + 1 2 + 2 ε ∥ ζ n个 ∥ 2 。
使用的定义 D类 N个 α η n个 、假设(4)和(38)，我们获得
D类 N个 α η n个 = 1 Γ ( 1 − α ) ∑ k个 = 0 n个 − 1 ∫ 吨 k个 吨 k个 + 1 η k个 + 1 − η k个 τ k个 + 1 1 ( 吨 n个 − 秒 ) α d日 秒 ≤ 1 Γ ( 2 − α ) ∑ k个 = 0 n个 − 1 ( 吨 n个 − 吨 k个 ) 1 − α − ( 吨 n个 − 吨 k个 + 1 ) 1 − α ∫ 吨 k个 吨 k个 + 1 η 吨 d日 吨 ≤ 1 Γ ( 2 − α ) ∑ k个 = 0 n个 − 1 ( 吨 n个 − 吨 k个 ) 1 − α − ( 吨 n个 − 吨 k个 + 1 ) 1 − α ∫ 吨 k个 吨 k个 + 1 η 吨 d日 吨 ≤ C类 小时 k个 + 1 ∥ u个 吨 ∥ 我 2 ( J型 ; H（H） k个 + 1 ( Ω ) ) 。
它是根据柯西不等式得出的 ε 和(12)，我们有
| 问 三 | = ( 对 u个 n个 ， ζ n个 ) ≤ C类 ( ε ) N个 − 2 最小值 { 2 − α ， 对 α } + ε ∥ ζ n个 ∥ 2 。
组合(43)–(47)利用引理1和2，我们可以得到
∥ ζ n个 ∥ + ∥ ∇ ζ n个 ∥ ≤ C类 小时 k个 + 1 + N个 − 最小值 { 2 − α ， 对 α } 。
因此(39)以下为(38)和(48).
拿 v（v） 小时 = ρ n个 在(42)和使用(36), (38), (48)，Cauchy不等式 ε ，我们推导
∥ ρ n个 ∥ 2 = ( A类 ∇ ζ n个 ， ρ n个 ) − ( θ n个 ， ρ n个 ) + ( A类 ∇ η n个 ， ρ n个 ) ≤ C类 ( ε ) ∥ ∇ ζ n个 ∥ 2 + ∥ θ n个 ∥ 2 + ∥ ∇ η n个 ∥ 2 + 三 ε ∥ ρ n个 ∥ 2 ≤ C类 ( ε ) 小时 k个 + N个 − 最小值 { 2 − α ， 对 α } 2 + 三 ε ∥ ρ n个 ∥ 2 。
让 ε 那么就足够小了(40)以下为(48)–(49)，三角形不等式(36)和(38).    □

5.数值实验

我们在本节中提供了一些例子来说明我们的理论发现。对于可接受的错误 T型 o个 我 和最大迭代次数M（M），通过使用ICPMFE离散化方案(19)–(21)至STFRDE(1)–(三)，我们可以提出以下数值算法。为了方便起见，我们去掉了下标小时。
算法1使用基于AFEPack的代码求解了以下两个示例（参见http://dsec.pku.edu.cn/~rli/software.php#AFE包，2007年1月1日访问）。它们的离散化方案描述为(19)–(21)英寸第2节和 k个 = 1 .让 Ω = ( 0 ， 1 ) × ( 0 ， 1 ) ， T型 = 1 ， A类 ( x个 ) = E类 为了简单起见，我们定义 | | | υ | | | = 最大值 0 ≤ n个 ≤ N个 ∥ υ n个 ∥ 。
算法1 ICPMFE
步骤1。初始化 u个 ( 0 ) 0 = P（P） 小时 u个 0 ， 第页 ( 0 ) 0 = Π 小时 ( A类 ∇ u个 0 ) ， 我 = 0 ， n个 = 0 ;
第2步。计算离散非线性系统 u个 ( n个 ) 我 + 1 ∈ W公司 小时 和 第页 ( n个 ) 我 + 1 ∈ V（V） 小时 ，
D类 N个 α u个 ( n个 ) 我 + 1 ， φ j个 + 第页 ( n个 ) 我 + 1 ， ∇ φ j个 + 我 小时 ϕ u个 ( n个 ) 我 + 1 ， φ j个 = （f） 我 + 1 ， w个 ， j个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， M（M） 1 ， A类 第页 ( n个 ) 我 + 1 ， ψ j个 − ∇ u个 ( n个 ) 我 + 1 ， ψ j个 = 0 ， j个 = 1 ， 2 ， ⋯ ， M（M） 2 ;
步骤3。设置 u个 ( n个 + 1 ) 0 = u个 ( n个 ) 0 ， ⋯ ， u个 ( n个 + 1 ) 我 = u个 ( n个 ) 我 猜猜首字母 u个 ( n个 + 1 ) 我 + 1 = u个 ( n个 + 1 ) 我 ，解决(50)
通过牛顿迭代得到 u个 ( n个 + 1 ) 我 + 1 和 第页 ( n个 + 1 ) 我 + 1 ;
步骤4。计算迭代误差： E类 n个 + 1 = u个 ( n个 + 1 ) 我 + 1 − u个 ( n个 ) 我 + 1 ;
步骤5。如果 E类 n个 + 1 ≤ T型 o个 我 或 n个 ≥ M（M） ，停止；else设置 n个 : = n个 + 1 转至步骤3；
步骤6。如果 我 ≥ N个 ，停止；else设置 我 : = 我 + 1 转至步骤2。
例子 1
数据如下：
u个 ( x个 ， 吨 ) = 吨 2 秒 我 n个 ( π x个 1 ) 秒 我 n个 ( π x个 2 ) ， ϕ ( u个 ( x个 ， 吨 ) ) = u个 三 ( x个 ， 吨 ) ， 第页 ( x个 ， 吨 ) = ( π 吨 2 余弦 ( π x个 1 ) 罪 ( π x个 2 ) ， π 吨 2 罪 ( π x个 1 ) 余弦 ( π x个 2 ) ) T型 ， （f） ( x个 ， 吨 ) = D类 吨 α u个 ( x个 ， 吨 ) − d日 我 v（v） ( 第页 ( x个 ， 吨 ) ) + ϕ ( u个 ( x个 ， 吨 ) ) 。
请注意 0 < α < 1 .我们接受 k个 = 1 ， 对 = ( 2 − α ) / α 和 小时 = 1 / N个 ，然后是时间错误率 哦 小时 2 − α 控制着空间错误率 哦 小时 2 在里面 | | | u个 − u个 小时 | | | ，而空间错误率 哦 小时 控制时间错误率 哦 小时 2 − α 在里面 | | | ∇ ( u个 − u个 小时 ) | | | 和 | | | 第页 − 第页 小时 | | | 。序列网格上的错误如所示表1.英寸图1，我们显示了 日志 10 ( e（电子） 对 对 o个 对 ) 和 日志 10 ( n个 o个 d日 e（电子） ) 属于 | | | u个 − u个 小时 | | | ， | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 和 | | | 第页 − 第页 小时 | | | 。很容易看到 | | | u个 − u个 小时 | | | = 哦 小时 2 − α ， | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | = 哦 小时 和 | | | 第页 − 第页 小时 | | | = 哦 小时 对于不同的 α 值。在图2，我们显示了精确解的轮廓u个和数值解 u个 小时 具有 N个 = 40 ， 小时 = 1 / 40 和 吨 = 0.5 。
例子 2
数据如下：
u个 ( x个 ， 吨 ) = E类 α ( − 吨 α ) + 吨 三 秒 我 n个 ( π x个 1 ) 秒 我 n个 ( π x个 2 ) ， ϕ ( u个 ( x个 ， 吨 ) ) = u个 三 ( x个 ， 吨 ) ， 第页 ( x个 ， 吨 ) = π E类 α ( − 吨 α ) + 吨 三 余弦 ( π x个 1 ) 罪 ( π x个 2 ) π E类 α ( − 吨 α ) + 吨 三 罪 ( π x个 1 ) 余弦 ( π x个 2 ) ， （f） ( x个 ， 吨 ) = D类 吨 α u个 ( x个 ， 吨 ) − d日 我 v（v） ( 第页 ( x个 ， 吨 ) ) + ϕ ( u个 ( x个 ， 吨 ) ) ，
哪里 E类 α ( z（z） ) = ∑ 我 = 0 ∞ z（z） 我 / Γ ( 我 α + 1 ) 是Mittag-Lefler函数。解决方案 u个 ( x个 ， 吨 ) 显示附近的典型图层行为 吨 = 0 。
错误 | | | u个 − u个 小时 | | | ， | | | ∇ ( u个 − u个 小时 ) | | | 和 | | | 第页 − 第页 小时 | | | 如所示表2.之间的关系 日志 10 ( e（电子） 对 对 o个 对 ) 和 日志 10 ( n个 o个 d日 e（电子） ) 属于 | | | u个 − u个 小时 | | | ， | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 和 | | | 第页 − 第页 小时 | | | 在中显示图3数值结果和收敛速度与我们的理论结果一致。在图4，我们显示了精确解的轮廓u个和数值解 u个 小时 具有 α = 0.6 ， N个 = 40 ， 小时 = 1 / 40 和 吨 = 0.5 。

6.讨论

本文研究了STFDE的ICPMFE。与经典MFEM相比，它可以显著提高计算效率。我们导出了无条件稳定性和收敛性结果 u个 n个 − u个 小时 n个 = 哦 小时 k个 + 1 + N个 − 最小值 { 2 − α ， 对 ( 1 + α ) } ， 第页 n个 − 第页 小时 n个 = 哦 小时 k个 + N个 − 最小值 { 2 − α ， 对 ( 1 + α ) } ， ∇ u个 n个 − u个 小时 n个 = 哦 小时 k个 + N个 − 最小值 { 2 − α ， 对 ( 1 + α ) } 在未来的工作中，我们可以使用双网格方法和基于指数和技术的快速算法结合有限元或MFEM来解决这个问题。

作者贡献

软件，X.L。；Writing-review&editing，Y.T.作者对这项工作的各个方面都做出了同样的贡献，包括概念化、方法论、形式分析、写作、项目管理和资金获取。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

本研究得到湖南省教育厅科学研究基金（20A211，22A0579）、湖南省自然科学基金（2020JJ4323，2020JJ2015）、湖南理工大学应用特色学科建设项目的支持。

数据可用性声明

文章中包含了用于支持本研究结果的数据。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：
FPDE时间分数阶偏微分方程
有限元法有限元法
货币基金组织混合有限元法
集成电路插值系数
伦敦银行Ladyćenskaja–Babuška–Brezzi女士
ICPMFE公司插值系数 P（P） k个 − 1 2 − P（P） k个 混合有限元
STFRDEs公司半线性时间分数反应-扩散方程

工具书类

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分形07 00482 g001 550
图1。例1的收敛阶。
图1。例1的收敛阶。
分形07 00482 g001
分形07 00482 g002 550
图2。确切的解决方案u个(左边)和数值解 u个 小时 (正确的)在 吨 = 0.5 例1。
图2。确切的解决方案u个(左边)和数值解 u个 小时 (正确的)在 吨 = 0.5 例1。
分形07 00482 g002
分形07 00482 g003 550
图3。例2的收敛阶。
图3。例2的收敛阶。
分形07 00482 g003
分形07 00482 g004 550
图4。确切的解决方案u个(左边)和数值解 u个 小时 (正确的)在 吨 = 0.5 例2。
图4。确切的解决方案u个(左边)和数值解 u个 小时 (正确的)在 吨 = 0.5 例2。
分形07 00482 g004
表
表1。错误 | | | u个 − u个 小时 | | | ， | | | 第页 − 第页 小时 | | | 和 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 对于不同的 α ，示例1。
表1。错误 | | | u个 − u个 小时 | | | ， | | | 第页 − 第页 小时 | | | 和 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 对于不同的 α ，示例1。
α N个10204080
小时 1 / 10 1 / 20 1 / 40 1 / 80
| | | u个 − u个 小时 | | | 6.12034 × 10 − 2 1.75796 × 10 − 2 4.99766 × 10 − 三 1.42715 × 10 − 三
0.2 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 6.24873 × 10 − 2 3.12437 × 10 − 2 1.56218 × 10 − 2 7.81091 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 6.63524 × 10 − 2 3.31762 × 10 − 2 1.65881 × 10 − 2 8.29405 × 10 − 三
| | | u个 − u个 小时 | | | 5.42538 × 10 − 2 1.77679 × 10 − 2 5.81595 × 10 − 三 1.88757 × 10 − 三
0.4 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 5.65268 × 10 − 2 2.82642 × 10 − 2 1.41402 × 10 − 2 7.12115 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 6.12468 × 10 − 2 3.06347 × 10 − 2 1.53167 × 10 − 2 7.66258 × 10 − 三
| | | u个 − u个 小时 | | | 4.67578 × 10 − 2 1.76512 × 10 − 2 6.71034 × 10 − 三 2.55501 × 10 − 三
0.6 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 4.43426 × 10 − 2 2.26723 × 10 − 2 1.13316 × 10 − 2 5.66108 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 5.22836 × 10 − 2 2.61318 × 10 − 2 1.30646 × 10 − 2 6.53238 × 10 − 三
| | | u个 − u个 小时 | | | 3.58596 × 10 − 2 1.56068 × 10 − 2 6.72333 × 10 − 三 2.88836 × 10 − 三
0.8 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 3.64268 × 10 − 2 1.82146 × 10 − 2 9.10714 × 10 − 三 4.55317 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 4.31478 × 10 − 2 2.15734 × 10 − 2 1.07516 × 10 − 2 5.37418 × 10 − 三
表
表2。错误 | | | u个 − u个 小时 | | | ， | | | 第页 − 第页 小时 | | | 和 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 对于不同的 α ，示例2。
表2。错误 | | | u个 − u个 小时 | | | ， | | | 第页 − 第页 小时 | | | 和 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 对于不同的 α ，示例2。
α N个10204080
小时 1 / 10 1 / 20 1 / 40 1 / 80
| | | u个 − u个 小时 | | | 8.36251 × 10 − 2 2.40198 × 10 − 2 6.82853 × 10 − 三 1.94998 × 10 − 三
0.2 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 6.45852 × 10 − 2 3.23041 × 10 − 2 1.61823 × 10 − 2 8.07615 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 6.85127 × 10 − 2 3.42632 × 10 − 2 1.71315 × 10 − 2 8.56524 × 10 − 三
| | | u个 − u个 小时 | | | 7.42563 × 10 − 2 2.43186 × 10 − 2 7.96018 × 10 − 三 2.58369 × 10 − 三
0.4 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 5.85276 × 10 − 2 2.93641 × 10 − 2 1.46403 × 10 − 2 7.32116 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 6.25463 × 10 − 2 3.12746 × 10 − 2 1.56407 × 10 − 2 7.82533 × 10 − 三
| | | u个 − u个 小时 | | | 5.86504 × 10 − 2 2.21237 × 10 − 2 8.41062 × 10 − 三 3.20240 × 10 − 三
0.6 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 4.63425 × 10 − 2 2.32720 × 10 − 2 1.16814 × 10 − 2 5.89105 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 5.42638 × 10 − 2 2.72328 × 10 − 2 1.37642 × 10 − 2 6.96223 × 10 − 三
| | | u个 − u个 小时 | | | 4.96425 × 10 − 2 2.16054 × 10 − 2 9.30749 × 10 − 三 3.99852 × 10 − 三
0.8 | | | ∇ u个 − u个 小时 | | | 3.84265 × 10 − 2 1.92145 × 10 − 2 9.62712 × 10 − 三 4.83315 × 10 − 三
| | | 第页 − 第页 小时 | | | 4.51456 × 10 − 2 2.26731 × 10 − 2 1.14805 × 10 − 2 5.74137 × 10 − 三
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MDPI和ACS样式

李，X。；唐，Y。半线性时间分数阶扩散方程的插值系数混合有限元。分形。 2023，7, 482.https://doi.org/10.3390/fractalfract7060482

AMA风格

李X、唐毅。半线性时间分数阶扩散方程的插值系数混合有限元。分形和分数. 2023; 7(6):482.https://doi.org/10.3390/分形7060482

芝加哥/图拉宾风格

李晓武和唐跃龙。2023.“半线性时间分数扩散方程的插值系数混合有限元”分形和分数7，6号：482。https://doi.org/10.3390/分形7060482

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