Fractional Model of the Deformation Process

Sheremetyeva, Olga; Shevtsov, Boris

doi:10.3390/fractalfract6070372

开放式访问第条

变形过程的分数模型

通过

奥尔加·谢列梅提耶娃

^*,†

和

鲍里斯·谢夫佐夫

^†

俄罗斯科学院远东分院宇宙物理研究与无线电波传播研究所，地址：俄罗斯堪察加半岛巴拉通卡市米尔纳亚街7号，邮编：684034

^*

信件应寄给的作者。

^†

这些作者为这项工作做出了同等贡献。

分形。 2022,6(7), 372;https://doi.org/10.3390/fractalfract6070372

收到的提交文件：2022年4月6日/修订日期：2022年6月27日/接受日期：2022年6月29日/发布日期：2022年7月1日

（本文属于特刊数学物理中的分数微积分和分形)

下载

浏览地物

版本注释

摘要

:

本文将分数泊松过程视为地震活动区变形活动的数学模型。采用位错方法描述了变形过程的五种模式。模式的变化由事件流强度的变化、位错的重组以及位错之间稳定连接的变化和出现来决定。通过改变所提出模型的三个参数，对变形模式的变化进行建模。具有独立事件的背景模式由标准泊松过程描述。为了描述地震活动背景模式的变化，当位错之间形成连接时，使用分数泊松过程和表征它的Mittag–Leffler函数。基于该模型，对处理地震目录数据所得前震等待时间的经验累积分布函数进行了近似。结果表明，在适当选择Mittag–Leffler函数参数的情况下，模型曲线的结果与实验结果接近，可以用来表征地震活动区的变形过程。

关键词：

分数泊松过程;Mittag–Leffler函数;近似;非局部效应;部分模型;弛豫过程;前震

MSC公司：

60克22

1.简介

大量研究致力于研究地震事件之间的相关性[1,2,三,4]. 古腾堡-里希特和奥莫里-乌苏定律、余震和前震序列中的聚集性以及地震群等都是众所周知的。[5,6,7]. 块层次方法[4]ETAS模型[三,8]，识别主要能源分支的方法[9,10,11,12,13]，以及研究复杂网络的方法[14]已被用于研究相关性和确定地震事件连接性标准，这些地震事件被视为某些体积中的随机事件流。分形和分数过程理论广泛应用于地震过程的研究及其模型的构建。介质特征、故障网络结构[15]以及地震震中的设置[16]具有分形性质，由分数定律决定[三,14,17]. 大量构建的统计模型得出的结论是，根据所选标准考虑的目录中的地震事件之间存在相关性[三,6,7,10,11,12,17,18,19,20]. 在这种情况下，将地震过程表示为一系列独立事件，并用标准泊松过程进行描述是不正确的[2,19,21]. 这些序列中事件之间的关联导致了遗传性（时间非局部性，«记忆»）和空间非局部性的出现。使用分数泊松过程来描述地震变形过程是该方法的逻辑延续，它考虑了非局部性的特性[22].

这篇文章是作品的延续[12,13,22]. 分数泊松过程用于描述不可逆变形变化[22]. 所提出的地震变形过程模型包括五种模式，每种模式都由分数泊松过程参数值的变化决定。为了验证变形过程的分数模型，根据地震目录数据构建了前震序列[23]使用统计模型[12]. 从地震危险性评估的角度来看，地震变形过程激活的这一阶段是令人感兴趣的。变形可以被认为是一系列独立的随机位错变化。标准泊松过程可以作为此类变化的模型。为了解释非局部性效应，作者建议使用分数泊松过程[22]. 本研究中向多参数分数泊松过程的过渡扩大了描述变形变化的可能性。不仅可以考虑地震事件之间的指数相关性，还可以考虑幂律相关性，从而可以对正常和异常的活化和弛豫过程进行建模。分析相关性与基于事件连接性标准获得的目录数据处理结果进行了比较。

2.变形过程的数学模型

如参考文献所述[22]，弹性应力的临界水平由外力的功维持。它们作用的结果是变形模式发生变化的变形过程。这个过程的特征是位错的随机变化率，它由空间尺度和位移矢量值决定。该方法使用位错变化理论描述了不连续性、沿现有断层的运动以及在广泛范围内晶粒或块体的重新包装。

每个位错由时空坐标定义。位错集在所考虑体积中随时间变化的分布是一个随机过程。如果位错的影响区域不相交，则认为它们是独立的。在这种情况下，位错重新封装的过程被定义为随机行走过程，并用标准泊松过程描述。如果位错密度增加，且其影响范围重叠，则位错相互关联，形成位错簇。然后，在时空表示中，用分数泊松过程描述簇。我们将标准泊松过程的这种推广应用于描述变形过程中不可逆变化的模型。分数泊松过程可以获得三种类型的各种活化和弛豫过程：

{e（电子）}^{\pm t吨}

,

{e（电子）}^{\pm {t吨}^{α}}

、和

{t吨}^{\pm α}

最后一种幂律相关性是由遗传效应引起的，对应于分形特性，并给出了过程的异常激活和松弛。

位错变化过程在变形过程的不同尺度层次上具有相同的结构。因此，为了描述模型，只需考虑一个选定空间尺度的变形过程。

变形活动被分解为五种模式或状态：

秒_{1}

-背景模式（背景或正常脉动）；

秒_{2}

-衰减模式（减速脉动）；

秒_{三}

-前震阶段的激活模式；

秒_{4}

-主冲击阶段的激活模式；和

秒_{5}

-余震阶段的弛豫模式。我们使用分数泊松过程的概念和带有幂律参数的Mittag–Leffler函数来描述每个状态及其保持在相同状态或过渡到另一个状态的概率，该函数定义了变形过程的松弛或激活（取决于符号变化）特征，

{E类}_{ν} (- {(μ t吨)}^{\tilde{ν}}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- {(μ t吨)}^{\tilde{ν}})}^{k个}}{Γ (1 + ν k个)},

(1)

其中参数

ν

(

0 < ν \leq 1

)是泊松过程的分数参数（分数导数的参数）

\tilde{ν}

是非平稳参数，即，如果参数值满足条件，则幂律依赖于非平稳事件流的时间

0 < \tilde{ν} < 1

.功能

{E类}_{ν} (x个)

给出了遗传效应的描述（当

ν

减少，过程的遗传性增加），以及幂律论证

{(μ t吨)}^{\tilde{ν}}

决定了位错流强度的幂律变化。功能

x个 = {e（电子）}^{- {(μ t吨)}^{\tilde{ν}}}

是服从微分方程的幂律指数律，

\frac{d日 x个}{d日 t吨} = - x个 μ \tilde{ν} {(μ t吨)}^{\tilde{ν} - 1}

对于一个过程x个其中位错流的强度根据幂律随时间局部变化。一起，

{(μ t吨)}^{\tilde{ν}}

和

{E类}_{ν} (x个)

定义复杂的延迟松弛（产生非局部效应）(图1（二））。

因此，通过改变参数

ν

和

\tilde{ν}

可以分别利用遗传性（«记忆»或非局部性）或局部性（局部分支过程的幂律指数函数）的优势获得变形过程的不同模式。事件之间具有非指数相关性的波过程的时间和空间特性通过色散关系相关联（例如，声发射的脉冲持续时间与裂纹尺寸有关，脉冲之间的等待时间与裂纹之间的距离有关）；因此，如果过程具有时间非局部性，那么它也具有空间非局部性。当过程的激活阶段开始时，会出现记忆效应，伴随而来的是地震事件分支的空间非局部性效应。

州

秒_{1}

在该方法的框架内，地震形变的背景过程是一个具有平均强度的标准泊松过程（一系列独立事件）

μ

。那么保持相同状态的概率以指数形式取决于时间(图1（一）），定义为

{P（P）}_{11} (t吨) = {e（电子）}^{- μ t吨} = {E类}_{1} (- μ t吨),

(2)

过程向下一状态的转移概率如下所示：

{P（P）}_{12} (t吨) = 1 - {e（电子）}^{- μ t吨} = 1 - {E类}_{1} (- μ t吨)

.

州

秒_{2}

.持续作用的外力导致背景模式发生变化，并导致流变性发生变化。如果，在某些卷中V（V）在空间中，介质在瞬间发生局部硬化

{t吨}^{'}

然后变形过程减慢，强度

μ

事件流的减少并等于

\hat{μ}

（地震间隙区域[24]，其中形成了变形不均匀性）。因此，延期（未完成）事件存在能量积累，这些事件位于卷中V（V）并形成集群。因此，对于接下来发生的每个事件，等待时间间隔都会增加，这表明了进程的遗传性。然后，该进程保持在该状态的概率

秒_{2}

可以由递减的分数Mittag–Leffler函数给出(1)具有以下参数：

\hat{μ} t吨 > {(Γ (1 + ν))}^{- \frac{1}{1 + \tilde{ν}}}

,

0 < ν \leq 1

、和

0 < \tilde{ν} \leq 1

[25,26]

{P（P）}_{22} (t吨) = {E类}_{ν} (- {(\hat{μ} t吨)}^{\tilde{ν}}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- {(\hat{μ} t吨)}^{\tilde{ν}})}^{k个}}{Γ (1 + ν k个)} .

(3)

概率

{P（P）}_{22} (t吨)

(三)在初始阶段，下降速度比指数函数快(2)，并且随着时间间隔的增加，它的减小速度会变慢(图1（二）），即过程被延迟。这表明，由于地震间隙中未发生的事件的聚集，分数过程中存在后效或遗传效应。

我们应该注意，参数

ν

定义了时间间隔内事件分布的分数维[26]. 因此，中等硬度改变了过程的分数阶（事件统计），它检测由硬化引起的遗传效应引起的延迟松弛。

州

秒_{三}

.该州赛事短缺

秒_{2}

导致弹性应力增加，从而克服了介质硬化和强度

\hat{μ}

的值增加并取

\tilde{μ}

释放累积的附加弹性能。其结果是在瞬间发生变形扰动

{t吨}^{'}

以及向国家的过渡

秒_{三}

前震阶段，以主震结束（过渡到状态

秒_{4}

). 这种激活可被视为与地震间隙中未实现的事件相关的更高规模的事件，变形扰动的能量应与未实现事件的能量之和相对应。

对于状态的分析描述

秒_{三}

，我们使用主震在某一时刻发生的概率

{t吨}^{*}

(

t吨 < {t吨}^{*}

)即概率

{P（P）}_{34} (t吨)

从状态转换的

秒_{三}

到州

秒_{4}

.我们给出了概率

{P（P）}_{34} (t吨)

通过增加Mittag–Leffler分数函数(1)如下(图2):

{P（P）}_{34} (t吨) = {E类}_{ν} (- {[\tilde{μ} ({t吨}^{*} - t吨)]}^{\tilde{ν}}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- {[\tilde{μ} ({t吨}^{*} - t吨)]}^{\tilde{ν}})}^{k个}}{Γ (1 + ν k个)},

(4)

哪里

\tilde{μ}

-是变形扰动中事件流的平均强度，

0 < ν \leq 1

,

0 < \tilde{ν} \leq 1

在这种情况下，不改变状态的概率

秒_{三}

由表达式给出

{P（P）}_{33} (t吨) = 1 - {P（P）}_{34} (t吨) = 1 - {E类}_{ν} (- {[\tilde{μ} ({t吨}^{*} - t吨)]}^{\tilde{ν}})

.

区分表达式(4)，我们得到了前震增加流分布的概率密度，可以解释为逆Omori–Utsu定律，

\frac{d日 {P（P）}_{34} (t吨)}{d日 t吨} = \frac{d日 {E类}_{ν} (- {[\tilde{μ} ({t吨}^{*} - t吨)]}^{\tilde{ν}})}{d日 t吨} = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k个 + 1} \tilde{μ} \tilde{ν} k个 {(\tilde{μ} ({t吨}^{*} - t吨))}^{\tilde{ν} k个 - 1}}{Γ (1 + ν k个)} .

前震阶段以及前震之前的阻尼阶段对于地震预测来说非常有趣。应力释放的能量可以从衰减时间来评估，变形扰动的发展速度可以从前震周期来预测，从而给出短期预测的时间。

州

秒_{4}

.当函数

{P（P）}_{34} (t吨)

达到等于1的值时，进程进入状态

秒_{4}

位错密度最大的主震。概率

{P（P）}_{44} (t吨)

仍然处于状态

秒_{4}

瞬间发生的主震

{t吨}^{*}

，对于值

t吨 > {t吨}^{*}

，由递减的Mittag–Leffler分数函数给出(1):

{P（P）}_{44} (t吨) = 1 - {E类}_{ν^{'}} (- {[\tilde{μ} (t吨 - {t吨}^{*})]}^{{\tilde{ν}}^{'}}) = 1 - \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- {[\tilde{μ} (t吨 - {t吨}^{*})]}^{{\tilde{ν}}^{'}})}^{k个}}{Γ (1 + ν^{'} k个)},

哪里

0 < ν^{'} \leq 1

,

0 < {\tilde{ν}}^{'} \leq 1

.

州

秒_{5}

由于主震，介质变弱（流变性改变），导致位错密度和事件流强度逐渐降低

\tilde{μ}

，该值为

{\tilde{μ}}^{'}

该过程与前震阶段相反；因此，余震的阶段可以被定义为与状态类似

秒_{三}

.概率

{P（P）}_{45} (t吨)

过渡到状态

秒_{5}

，余震阶段，被定义为非保存性主震的概率(图3).

{P（P）}_{45} (t吨) = 1 - {P（P）}_{44} (t吨) = {E类}_{ν^{'}} (- {[{\tilde{μ}}^{'} (t吨 - {t吨}^{*})]}^{{\tilde{ν}}^{'}}) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- {[{\tilde{μ}}^{'} (t吨 - {t吨}^{*})]}^{{\tilde{ν}}^{'}})}^{k个}}{Γ (1 + ν^{'} k个)} .

(5)

差异化表达(5)，我们得到减少余震流的密度，即Omori–Utsu定律，

\frac{d日 {P（P）}_{45} (t吨)}{d日 t吨} = \frac{d日 {E类}_{ν^{'}} (- {[{\tilde{μ}}^{'} (t吨 - {t吨}^{*})]}^{{\tilde{ν}}^{'}})}{d日 t吨} = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k个} {\tilde{μ}}^{'} {\tilde{ν}}^{'} k个 {({\tilde{μ}}^{'} (t吨 - {t吨}^{*}))}^{{\tilde{ν}}^{'} k个 - 1}}{Γ (1 + ν^{'} k个)} .

3.前震模式统计模型

3.1. 构造前震序列的算法

我们使用作品中定义的标准[12,13]构建统计模型。如果两个事件满足由介质不均匀性决定的空间准则，则它们是相关的[27]从古腾堡-里希特定律导出的时间准则，以及能量准则，根据该准则，主震之前的事件具有较少的能量（震级或能量等级）。根据引入的标准，相关地震事件序列的构成取决于前次事件与起始事件的接近程度。

根据以下算法识别前震。主激波准备的时空区域由空间

{R（右）}_{d日}

和时间

{R（右）}_{t吨}

刻度，取决于正在准备的活动的能量等级[12,13]. 如果满足以下条件，则上一次地震被视为前震，并包含在序列（簇）中：

(1): 主震和前一事件之间的时间间隔不超过时间刻度 ${R（右）}_{t吨}$ : $Δ t吨 = ({t吨}_{j个} - {t吨}_{我}) \leq {R（右）}_{t吨}$ ;
(2): 主震与前一事件之间的距离不超过空间尺度 ${R（右）}_{d日}$ : $Δ d日 = | {第页}_{j个} - {第页}_{我} | \leq {R（右）}_{d日}$ ，其中第页是事件之前的半径矢量；
(3): 前一事件的能量等级小于该等级K（K）主震的。

如果一个事件被标记为前震，则对其应用相同的算法，即，我们转换到较低的能级，并找到该事件的前震，等等。因此，我们继续降低能级。

如果能量较低的事件（前震）进入所考虑事件的时空区域，则该算法有效。否则，算法会返回到更高的一个能级。此过程一直持续到达到初始事件（主电击）。然后，该算法继续工作，直到耗尽能量较低的相关事件（前震）。

3.2. 经验累积前震等待时间分布函数的构造方法 ${P（P）}^{*} (τ)$ 给定能量的主震

我们认为能量的主震K（K）发生在瞬间

{t吨}^{*}

然后，论点

τ

经验累积分布函数（eCDF）

{P（P）}^{*} (τ)

瞬间发生的前震等待时间t吨，其中

t吨 < {t吨}^{*}

，定义为

τ = t吨 - {t吨}^{*}, τ < 0 .

(6)

构建eCDF

{P（P）}^{*} (τ)

前震等待时间取决于主震前的能量K（K），采用了历元叠加的方法。所获得的能量级主震的前震群中包括的所有事件K（K）沿时间轴分布，步长为一天。如果间隔包含的事件少于五个，则将其与相邻的时间间隔组合[28]. eCDF

{P（P）}^{*} (τ)

是前震发生相对频率随时间变化的函数

τ

在这期间，主震是根据所获得的统计数据编制的。这些函数是针对包括所有类别前震的样本和特定类别的前震进行计算的

{K（K）}_{（f）}

（也就是说，我们通过能量尺度对前震进行了排列）。

3.3. 处理目录数据

俄罗斯科学院地球物理调查局堪察加分局1962年1月1日至2002年12月31日期间Kuril-Kamchatka岛弧俯冲带的地震目录用于研究（区域

46^{\circ}

–

62^{\circ}

N、，

158^{\circ}

–

174^{\circ}

E）[23]. 样本量为

n个 = 79, 282

，目录中包含能量等级的事件

4.1

–

16.1

根据能量等级对地震数量的统计表明，能量低于

8.5

超过15人的班级是不具代表性的。在这方面，级别低于

8.5

研究中未使用。

参数

\tilde{μ}

近似Mittag–Leffler函数的(4)确定了形变扰动中事件流的平均密度。该参数是使用Gutenberg–Richter的统计数据估计的，这些统计数据是从考虑中的目录处理结果中获得的。当事件的能量等级值从

8.5

到

12.9

，强度的估计值在极限范围内变化

\sim 10^{- 1} \div 10^{- 三}

分别是。

为了构建和调查eCDF

{P（P）}^{*} (τ)

在前震等待时间方面，考虑了12.0～12.9级的主震（大约相当于里氏震级的5～5.5级）。这种选择取决于这些类别（超过50个事件）的事件样本大小、地震准备的足够大的时空区域以及按能量分解前震样本时前震样本的大小。对于高能地震，样本规模较小；例如，对于

13

同学们，只有32场比赛。8.5-10级的事件注册频率最高；因此，它们对前震等待时间eCDF的形式影响最大。

应该注意的是，尽管给定能量的主震（1000–4000次前震）的目录和前震样本规模较大，但在构建前震能量分级分布时，样本规模不超过200–300个事件。

4.结果和讨论

图4绘制eCDF

{P（P）}^{*} (τ)

在对数刻度上，显示所有类别的前震频率，具体取决于时间

τ

在主震之前。函数参数

τ

是时间增量(6)以主震前几天为单位进行测量。价值观

τ = 0

对应于主震。在对数刻度上获得的曲线图是非线性的，但也有接近线性的部分。在双对数标度中没有线性。得到的相关性表明，统计分布比幂律更接近指数律。

这个表1显示了主震类别前震样本的主要特征

12

第12.3、12.7和12.9节。应该指出，主震等级的增加导致前震样本量的增加，因为地震准备的时空区域增加了。然而，与此同时，主震样本量的减少降低了所考虑时间间隔内的事件发生频率。此外，当到达主震的时间增加时，即在分布尾部，间隔中的事件数量减少。分布尾部的事件频率随着样本量的增加而增加，从而导致参数值的减少

ν

和/或

\tilde{ν}

.

基于构造的变形过程模式模型，eCDF

{P（P）}^{*} (τ)

能量级地震（主震）的前震等待时间

12

、12.3、12.7和12.9由Mittag–Leffler函数近似(4)，其中表示法(6)并通过指数函数进行比较。最小二乘法用于eCDF的近似

{P（P）}^{*} (τ)

前震等待时间。Mittag–Leffler函数的表示(4)包括该系列的201个术语(

k个 = 0 \dots 200

). 然后，我们获取参数的值

ν

,

ν^{'}

,

\tilde{μ}

从指定的间隔开始，增量为

0.01

对于

ν

和

ν^{'}

并且增量为

0.001

对于

\tilde{μ}

。当

ν = ν^{'} = 1

，我们得到了一个指数函数。Mittag–Leffler函数与样本值的平方偏差之和最小的参数值用于近似。结果如所示表2和中图5和图6通过比较Mittag–Leffler函数和指数函数的近似结果，表明Mittag-Lefler函数具有更好的精度(表2). Mittag-Lefler函数的近似误差为百分比单位。通常，它比指数函数的近似误差小得多，除非指数函数是最佳近似(

ν = ν^{'} = 1

).

平均密度值

\tilde{μ}

变形扰动中事件流的阶数为

10^{- 2}

当经验法则

{P（P）}^{*} (τ)

由函数近似(4). 这与从目录中获得的估计一致。需要注意的是，eCDF通过Mittag–Leffler函数具有最佳近似值，参数值接近或相等

ν

和

\tilde{ν}

这可能表明非局部过程在时间（遗传性）和空间上的关系。此外，如果主震的能量等级(图5)减小，则参数值

ν

,

\tilde{ν}

值减小

\tilde{μ}

增加。当主震等级增加时，我们观察到相反的情况(图6).

5.结论

本文采用分数泊松过程来描述不可逆变形变化。从概率角度来看，变形过程被视为从一种状态（或模式）到另一种状态的过渡。分数Mittag–Leffler函数考虑了非局部性的性质（即过程的历史），用于描述变形过程的模式。该模型是具有独立事件的泊松过程模型的逻辑延续和扩展。此外，分数参数

ν

和

\tilde{ν}

由介质参数决定，从而可以更完整地描述其特性。

目前，余震序列的规律已经得到了很好的研究。本文根据与地震孕育区能量和介质特征有关的判据，构造了前震序列（群）。前震等待时间的eCDF取决于获得主震前的时间。

分数参数的变化

ν

,

\tilde{ν}

和比例因子

\tilde{μ}

Mittag–Leffler函数使近似eCDF成为可能

{P（P）}^{*} (τ)

Mittag–Leffler函数对统计结果的近似表明，该函数的近似精度高于指数函数的近似。eCDF的最佳近似值

{P（P）}^{*} (τ)

获得了接近的参数值

ν

和

\tilde{ν}

Mittag–Leffler函数的。强弱主震的前震行为存在差异。这可以解释为不同能量事件的记忆效果不同。需要注意的是，由于数据量较小，地震学在统计上不足以严格解决选择有利于分数泊松过程的变形模型的问题。然而，由于其普遍性，它仍然是可取的。

该模型可用于诱发地震活动的研究，其中的模式很可能与自然地震活动中的模式相同。在炼油过程中，将流体注入井中，诱发地震具有重要的应用价值[29,30,31].

补充材料

以下支持信息可从以下网址下载：https://www.mdpi.com/article/10.3390/fractalfract6070372/s1.

作者贡献

概念化，O.S.和B.S。；形式分析，O.S。；方法、O.S.和B.S。；项目管理、O.S.和B.S。；软件，O.S。；验证、O.S.和B.S。；可视化，O.S。；书面原稿，O.S。；写作审核和编辑，B.S.所有作者都将通过我们系统或指定助理编辑的电子邮件了解稿件处理的每个步骤，包括提交、修订、修订提醒等。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究由俄罗斯科学基金会资助，编号22-11-00064“考虑遗传的地圈动力学过程建模”。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

包含的数据补充材料.

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

Mogi，K.，世界地震带的活动期。构造物理学 1974,22, 265–282. [谷歌学者] [交叉参考]
卡根，Y。；Knopoff，L.地震风险预测是一个随机过程。物理学。地球行星。埋。 1977,14, 97–108. [谷歌学者] [交叉参考]
贝克·P。；克里斯滕森，K。；达农，L。；Scanlon，T.地震统一标度定律。物理学。修订稿。 2002,88, 178501-1–178501-4. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学] [绿色版本]
凯利斯·博洛克，V.I。；A.A.索洛维耶夫。岩石圈非线性动力学和地震预报; 施普林格：柏林/海德堡，德国，2003年；第337页。[谷歌学者]
扎利亚平，I。；加布里埃洛夫，A。；凯利斯·博洛克，V。；Wong，H.地震活动性和余震识别的聚类分析。物理学。修订稿。 2008,101, 018501. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学] [绿色版本]
Pisarenko，V.F。；Rodkin，M.V.，《地震活动流的解簇：统计分析》。伊兹夫。物理学。固体地球 2019,55, 733–745. [谷歌学者] [交叉参考]
扎利亚平，I。；Ben-Zion，Y.在时空震级域中使用最近邻方法进行地震去簇。《地球物理学杂志》。Res.固体地球 2020,125, 1–33. [谷歌学者] [交叉参考]
Manna，S.S.自组织临界的二态模型。《物理学杂志》。数学。消息。 1991,24，L363–L369。[谷歌学者] [交叉参考]
Shebalin，P.N.。地震链显示的大事件之前，地震活动的相关范围增加。构造物理学 2006,424, 335–349. [谷歌学者] [交叉参考]
谢巴林，P。；纳特奥，C.余震揭示的深度相关应力。国家公社。 2017,8, 1317–1318. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
谢巴林，P.N。；纳托，C。；Baranov，S.V.地震生产力法。地球物理学。J.国际。 2020,222, 1264–1269. [谷歌学者] [交叉参考]
不列颠哥伦比亚省谢夫佐夫。；Sagitova，R.N.堪察加地震活动统计分析的扩散方法。J.沃尔卡诺。地震波。 2012,6, 116–125. [谷歌学者] [交叉参考]
不列颠哥伦比亚省谢夫佐夫。；Sagitova，R.N.。基于扩散方法的地震过程统计分析。多克。地球科学。 2009,426, 642–644. [谷歌学者] [交叉参考]
Baiesi，M。；Paczuski，M.地震和余震的复杂网络。非线性过程。地球物理学。 2005,12, 1–11. [谷歌学者] [交叉参考]
戴维·P。；Sornette，A。；Sornette，D.大陆断层分形性质的一些结果。自然 1990,348, 56–58. [谷歌学者] [交叉参考]
卡根，Y.Y。；Knopoff，L.地震的空间分布：两点相关函数。地球物理学。J.R.阿斯特。Soc公司。 1980,62, 303–320. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
塞切夫，A.I。；Zaslavsky，G.M.分数动力学方程：解与应用。混乱 1997,7, 753–764. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学] [绿色版本]
卡蓬，V。；Sorriso-Valvo，L。；Harabaglia，P。；Guerra，I.地震事件之间等待时间的统一标度定律。欧罗普提斯。莱特。 2005,6, 1036–1042. [谷歌学者] [交叉参考]
Kagan，Y.Y.，地震作为非线性动力学过程的观测证据。物理学。D类 1994,77, 160–192. [谷歌学者] [交叉参考]
梅茨勒，R。；Klafter，J.《异常扩散的随机游走指南：分数动力学方法》。物理学。代表。 2000,339, 1–77. [谷歌学者] [交叉参考]
D.特科特。地质学和地球物理学中的分形和混沌第2版。；剑桥大学出版社：英国伦敦，1997年；第416页。[谷歌学者]
谢夫佐夫，B。；Sheremetyeva，O。地震声学和电磁活动的分数模型。E3S Web配置解决方案。 2017,20, 02013. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
俄罗斯科学院地球物理局。在线可用：http://www.gsras.ru/new/eng/catalog/（2022年2月27日访问）。
Fedotov，S.A.堪察加半岛、千岛群岛和日本东北部强震分布规律。Tr.Inst.Phys.公司。地球。阿卡德。科学。苏联 1965,36, 66–93. [谷歌学者]
拉斯金，N.分数泊松过程。Commun公司。非线性科学。数字。模拟。 2003,8, 201–213. [谷歌学者] [交叉参考]
Uchaikin，V.V.自相似异常扩散和稳定定律。物理学。乌斯佩基语 2003,46, 821–849. [谷歌学者] [交叉参考]
Dobrovolsky，I.R。；Zubkov，S.I.公司。；Myachkin，V.I.地震准备区规模估算。纯应用程序。地球物理学。 1979,117, 1025–1044. [谷歌学者] [交叉参考]
J.C.戴维斯。地质统计学与数据分析第2版。；约翰·威利父子公司。公司：美国纽约州纽约市，1986年；第267页。[谷歌学者]
布罗卡多，M。；米南，A。；威默，S。；斯托贾迪诺维奇，B。；Giardini，D.流体诱发地震的分层贝叶斯建模。地球物理学。Res.Lett公司。 2017,44, 11–357. [谷歌学者] [交叉参考] [绿色版本]
Khajehdehi，O。；伊顿，D.W。；Davidsen，J.基斯卡蒂诺地震监测和减灾区地震活动的时空聚类。前面。地球科学。 2022,10, 894549. [谷歌学者] [交叉参考]
沃罗比耶娃，I.A。；格维希亚尼，公元。；Dzeboev，文学学士。；Dzeranov，B.V.公司。；Y.V.巴里基纳。；Antipova，A.O.合并地震目录时识别余震和重复的最近邻方法。前面。地球科学。 2022,10, 820277. [谷歌学者] [交叉参考]

图1。I-概率指数分布图

{P（P）}_{11} (t吨)

(2)，II-概率分布图

{P（P）}_{22} (t吨)

(三).

图1。I-概率的指数分布图

{P（P）}_{11} (t吨)

(2)，II-概率分布图

{P（P）}_{22} (t吨)

(三).

图2。概率分布图

{P（P）}_{34} (t吨)

(4).

图2。概率分布图

{P（P）}_{34} (t吨)

(4).

图3。概率分布图

{P（P）}_{45} (t吨)

(5).

图3。概率分布图

{P（P）}_{45} (t吨)

(5).

图4。eCDF图

{P（P）}^{*} (τ)

在对数尺度上，能量等级12.0、12.3、12.6、12.7和12.9的主震的前震等待时间。

图4。eCDF图

{P（P）}^{*} (τ)

在对数尺度上，能量等级12.0、12.3、12.6、12.7和12.9的主震的前震等待时间。

图5。eCDF的近似值

{P（P）}^{*} (τ)

前震等待时间（类

{K（K）}_{（f）}

)对于主震（类K（K）)通过Mittag–Leffler函数

{E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})

(4)和指数函数

{e（电子）}^{μ τ}

.

图5。eCDF的近似值

{P（P）}^{*} (τ)

前震等待时间（类

{K（K）}_{（f）}

)对于主震（类K（K）)通过Mittag–Leffler函数

{E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})

(4)和指数函数

{e（电子）}^{μ τ}

.

图6。eCDF的近似值

{P（P）}^{*} (τ)

前震等待时间（类

{K（K）}_{（f）}

)对于主震（类K（K）)通过Mittag–Leffler函数

{E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})

(4)和指数函数

{e（电子）}^{μ τ}

.

图6。eCDF的近似值

{P（P）}^{*} (τ)

前震等待时间（类

{K（K）}_{（f）}

)主震K（K）)通过Mittag–Leffler函数

{E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})

(4)和指数函数

{e（电子）}^{μ τ}

.

表1。前震序列特征。

主冲击等级，K（K）	主要冲击的样本量	所有前震的样本量	前震等级， ${K（K）}_{（f）}$	前震样本量
12	116	963	8.5	88
			8.9	71
12.3	95	1245	8.5	107
			9.1	75
12.7	63	2390	8.6	174
			9	140
12.9	62	3875	8.5	322
			8.8	262
			9	236
			9.8	137

表2。近似函数的特性。

K（K）	${K（K）}_{（f）}$	近似函数 $P（P） (τ)$	${S公司}_{最小值}$	近似误差 $ε, %$	溪流密度 $μ$ , $\tilde{μ}$	$ν$	$\tilde{ν}$
12	8.5	${e（电子）}^{μ τ}$	0.113	12.56	0.055
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.031	7.33	0.074	0.81	0.85
12	8.9	${e（电子）}^{μ τ}$	0.183	17.27	0.046
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.011	7.14	0.061	1	0.61
12.3	8.5	${e（电子）}^{μ τ}$	0.064	11.1	0.042
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.006	5.03	0.05	0.96	0.8
12.3	9.1	${e（电子）}^{μ τ}$	0.033	9.97	0.039
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.003	3.55	0.044	0.97	0.84
12.7	8.6	${e（电子）}^{μ τ}$	0.057	7.27	0.0196
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.033	6.84	0.021	1	0.94
12.7	9	${e（电子）}^{μ τ}$	0.069	9.35	0.02
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.01	6.58	0.023	0.95	0.85
12.9	8.5	${e（电子）}^{μ τ}$	0.023	3.9	0.017
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.004	3.6	0.018	0.99	0.93
12.9	8.8	${e（电子）}^{μ τ}$	0.013	2.94	0.018
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.008	3.91	0.019	1	0.95
12.9	9	${e（电子）}^{μ τ}$	0.022	6.54	0.017
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.022	6.54	0.017	1	1
12.9	9.8	${e（电子）}^{μ τ}$	0.054	9.23	0.017
		${E类}_{ν} (- {(\tilde{μ} τ)}^{\tilde{ν}})$	0.006	2.72	0.019	0.99	0.87

出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

O.Sheremetyeva。；谢夫佐夫，B。变形过程的分数模型。分形。 2022,6, 372.https://doi.org/10.3390/fractalfract6070372

AMA风格

Sheremetyeva O，Shevtsov B。变形过程的分数模型。分形和分数. 2022; 6(7):372.https://doi.org/10.3390/fractalfract6070372

芝加哥/图拉宾风格

谢列梅蒂耶娃、奥尔加和鲍里斯·谢夫佐夫。2022.“变形过程的分数模型”分形和分数6，第7期：372。https://doi.org/10.3390/fractalfract6070372

文章菜单

变形过程的分数模型

摘要

1.简介

2.变形过程的数学模型

3.前震模式统计模型

3.1. 构造前震序列的算法

3.2. 经验累积前震等待时间分布函数的构造方法 ${P（P）}^{*} (τ)$ 给定能量的主震

3.3. 处理目录数据

4.结果和讨论

5.结论

补充材料

作者贡献

基金

机构审查委员会声明

知情同意书

数据可用性声明

利益冲突

工具书类

分享和引用

文章指标

文章访问统计

更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

文章菜单

变形过程的分数模型

摘要

1.简介

2.变形过程的数学模型

3.前震模式统计模型

3.1. 构造前震序列的算法

3.2. 经验累积前震等待时间分布函数的构造方法 P（P） * ( τ ) 给定能量的主震

3.3. 处理目录数据

4.结果和讨论

5.结论

补充材料

作者贡献

基金

机构审查委员会声明

知情同意书

数据可用性声明

利益冲突

工具书类

分享和引用

文章指标

文章访问统计

更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

3.2. 经验累积前震等待时间分布函数的构造方法 ${P（P）}^{*} (τ)$ 给定能量的主震