On the Existence and Stability of Variable Order Caputo Type Fractional Differential Equations

Sarwar, Shahzad

doi:10.3390/fractalfract6020051

开放式访问第条

变阶Caputo型分数阶微分方程的存在性和稳定性

通过

沙赫扎德·萨瓦尔

沙特阿拉伯达兰法赫德国王石油矿产大学计算与数学学院数学系，邮编31261

分形。 2022,6(2), 51;https://doi.org/10.3390/fractalfract6020051

收到的提交文件：2021年10月3日/修订日期：2021年12月21日/接受日期：2022年1月5日/发布日期：2022年1月18日

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摘要

:

在微分方程理论中，研究解的存在性和唯一性是很重要的。在过去的几十年里，许多研究人员对求常微分方程的存在唯一解产生了浓厚的兴趣，但有关变阶的文献却很少。本文考虑一类Caputo型变阶分数阶微分方程。首先，我们给出了所考虑问题解的存在唯一性。其次，借鉴常微分方程理论的思想，推广了变阶分数阶微分方程的延拓定理。进一步，我们证明了全局存在的结果。最后，我们给出了不同类型的Ulam–Hyers稳定性结果，对于Caputo型变阶分数阶微分方程，这些结果以前从未被研究过。

关键词：

变阶分数微积分;存在-唯一;延拓定理;Ulam–海尔斯稳定性

1.简介

在过去的几年里，分数微积分的研究[1,2,三,4,5]由于其在几乎所有科学和工程学科中的应用而得到了扩展。与整数阶导数相比，整数阶的非导数是弱奇异和非局部的。由于动力系统的下一阶段不仅取决于其当前阶段，还取决于其所有正在进行的阶段，因此理论研究更加复杂。1993年，参考[6]首先介绍了变阶分数阶微积分的概念。最近，一些研究人员将分数阶微积分从常分数阶推广到了可变分数阶。据我们所知，变阶分数阶算子依赖于其非平稳幂律核，它更准确地描述了许多复杂物理现象和过程的记忆和遗传特性[7]. 因此，变阶分数阶微分方程由于其建模的适用性以及涉及科学和工程许多领域的大量现象而受到了更多的关注[8,9,10,11].

分数阶微分方程解的存在唯一性是一个有趣的研究领域[12,13,14,15]. 有一些文献讨论了变阶FDE解的存在性，结果很有趣。在[16]，作者研究了非自治变阶广义FDE解的存在性。Yufeng等人[17]利用压缩映射原理考虑迭代级数，讨论了变阶FDE的存在唯一性。Jiang等人[18]给出了一类具有两点边值的变阶分数阶微分方程解的存在性。对回火变阶FDE进行了研究[19]Mittag–Leffler稳定性。我们可以在中找到关于可变阶FDE的更有趣的结果[20,21,22].

研究人员也对研究科学和工程中分数阶问题的稳定性分析有着浓厚的兴趣。在文献中，我们可以找到许多方法来进行稳定性分析。一些研究人员[23,24]研究了常阶FDE的局部稳定性和Mittag–Leffler稳定性；据我们所知，关于常阶FDE的Ulam稳定性的研究有限，但对于变阶FDE则没有。Uram–Hyers（UH）稳定性是研究分数阶微分系统的简单易行的方法。超高压稳定的历史可以追溯到19世纪中期。1940年，乌拉姆[25,26]在威斯康星大学举行的一次研讨会上提出了一个问题——“在什么条件下，近似加性映射附近存在加性映射？”[27]通过考虑巴拿赫空间，获得了乌拉姆问题的有趣解决方案。因此，这种稳定性称为乌拉姆-海尔斯稳定性。1978年，Rassias进一步研究了线性和非线性映射的UH稳定性。许多研究人员随后将这些发现推广到各个领域。

受上述工作的启发，我们首先建立了关于局部存在唯一性的一个结果，然后将常微分方程（ODE）的连续性定理推广到Caputo型变阶分数阶微分方程（VOFDE）的持续性定理。此外，我们认为(1)解决方案。据我们所知，连续定理、整体存在性和Ulam–Hyers型稳定性(1)之前没有进行过研究。

现在，考虑Caputo型变阶分数初值问题

\{\begin{matrix} _{C类} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} u个 (t吨) & = （f） (t吨, 单位), & 0 < α (t吨) < 1, \\ {u个 (t吨) |}_{t吨 = 0} & = {u个}_{0}, & u个 \in R（右）, t吨 \in (0, + \infty), \end{matrix}

(1)

哪里

_{C类} {D类}^{α (t吨)} (\cdot)

是可变阶的卡普托导数

α (t吨)

定义见（3）。

其余工作如下所示：第2节为可变分数微积分提供了一些定义和引理。第3节讨论了变阶FDE的存在唯一性和延拓定理。变阶FDE的整体解在第4节Ulam–Hyers稳定性在第5节最后给出了结论。

2.前期工作

本文主要研究变阶卡普托导数。通过对常阶分数导数和积分的推广，得到了变阶分数导数与积分[1,4,28,29].

定义 1

参考[6]函数的变阶Riemann–Liouvillei积分

（f） (u个)

是

_{R（右） 我} {D类}_{0, t吨}^{- α (t吨)} （f） (单位) = \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(u个 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ) d日 λ, t吨 > 0, α (t吨) > 0 .

(2)

定义 2

参考[6]函数的变阶Riemann–Liouville导数

（f） (u个)

定义为

_{R（右） 我} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} （f） (u个) = \frac{1}{Γ (n个 - α (t吨))} \frac{{d日}^{n个}}{d日 {t吨}^{n个}} \int_{0}^{t吨} {(u个 - λ)}^{n个 - α (t吨) - 1} （f） (λ) d日 λ,

(3)

哪里

t吨, α (t吨) > 0

.

定义三。

参考[6]的可变阶Caputo导数

（f） (u个)

订单是

_{C类} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} （f） (u个) = \frac{1}{Γ (n个 - α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(u个 - λ)}^{α (t吨) - 1} {（f）}^{(n个)} (λ) d日 λ, t吨 > 0, α (t吨) > 0 .

(4)

定义 4

参考[6]可变阶导数2和3的定义通常不等价；然而，它们可以通过以下关系联系起来[7]

_{R（右） 我} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} （f） (t吨) = \sum_{k个 = 0}^{n个 - 1} \frac{{（f）}^{(k个)} (0) {t吨}^{k个 - α (t吨)}}{Γ (1 + k个 - α (t吨))} =_{C类} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} （f） (t吨) .

（5）

什么时候？

0 < α (t吨) < 1

，则变量阶导数2和3之间的关系可以定义为

_{C类} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} （f） (t吨) =_{R（右） 我} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} [（f） (t吨) - （f） (0)] .

(6)

引理 1

参考文献[2,三,6]. 我们假设

（f） (x个, t吨)

是一个连续函数。然后，第二类非线性Volterra积分方程等价于变阶初始问题(1)作为

u个 (t吨) = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ .

(7)

然而，方程的每个解(7)也是问题的解决方案(1)反之亦然。

证明。

通过应用运算符

_{R（右） 我} {D类}_{0, t吨}^{- α (t吨)}

到的两侧(1)，并使用关系(6)和初始条件

{u个 (t吨) |}_{t吨 = 0} = {u个}_{0}

，我们可以减少问题(1)转化为等价的Volterra非线性积分方程(7). 证据是完整的。□

引理 2

参考文献[2,三,6]. 假设

S公司 \subseteq C类 [0, T型]

.则S称为预紧，如果

{u个 (t吨) : u个 \in M（M）}

在上一致有界且等连续

[0, T型]

.

引理三。

参考文献[2,三,6]. 假设X是一个巴拿赫空间，并且

S公司 \subset X（X）

，其中S是闭有界凸集，并假设

T型 : S公司 \to S公司

是完全连续的。那么S中存在T的不动点。

引理 4

参考文献[2,三,6]. 假设非空闭集S是Banach空间X的子集，并假设

一_{n个} \geq 0,

然后

\sum_{n个 = 0}^{\infty} 一_{n个}

汇聚，

\forall n个 \in N个

。此外，假设，

A类 : S公司 ⟶ S公司

满足

∥{P（P）}^{n个} {u个}_{1} - {P（P）}^{n个} {u个}_{2}∥ \leq 一_{n个} ∥{u个}_{1} - {u个}_{2}∥, {u个}_{1}, {u个}_{2} \in S公司 .

那么，对于任何

{单位}_{1}^{*} \in S公司

定义了P的唯一不动点。

3.存在性、唯一性和连续性定理

首先，我们证明了问题解的局部存在唯一性(1). 为此，我们提出以下假设。

假设1 （H1）。

假设

（f） (t吨, u个) : [0, + \infty) \times R（右） \to R（右）

在里面(1)是一个连续函数。功能（f）满足Lipschitz条件，即。，

|（f） (t吨, {u个}_{1}) - （f） (t吨, {u个}_{2})| \leq 我 |{u个}_{1} - {u个}_{2}|

,哪里

我 > 0

.

假设2 （H2）。

假设

（f） (t吨, u个)

具有弱奇异性，关于t吨然后∃常数

η \in (0.1]

这样的话

(ℑ u个) (t吨) = {t吨}^{η} （f） (t吨, u个)

是在上定义的连续有界映射

[0, T型] \times [0, T型], 一 n个 d日 T型 > 0

.

定理 1

我们假设条件（H1）和（H2）成立。然后是问题(1)至少有一个解决方案，并且

u个 \in C类 [0, {小时}^{*}], （f） o（o） 第页 秒 o（o） 米 电子 {小时}^{*} \in (0, T型]

.

证明。

让

Ω = {u个 \in C类 [0, T型] : ∥ u个 - {u个}_{0} ∥_{C类 [0, T型]} = \underset{t吨 \in [0, T型]}{啜饮} | u个 - {u个}_{0} | \leq ϕ},

哪里

ϕ > 0

.因为ℑ是有界的，所以常数

N个 > 0

出口，以便

啜饮 {| (ℑ u个) (t吨) | : t吨 \in [0, T型], u个 \in Ω} \leq N个 .

再次，我们让

Λ_{{小时}^{*}} = \{u个 : 单位 \in C类 [0, {小时}^{*}], \underset{t吨 \in [0, T型]}{啜饮} | u个 - {u个}_{0} | \leq ϕ\},

哪里

{小时}^{*} = 最小值 {{(\frac{ϕ Γ (α (t吨) + 1 - η)}{N个 Γ (1 - η)})}^{\frac{1}{α (t吨) - η}}, T型},

α (t吨) > η

.

很明显，

Λ_{{小时}^{*}} \subseteq C类 [0, {小时}^{*}]

是有界闭的，非空的，并且是凸子集。我们可以看到

{小时}^{*} \leq T型

，现在让我们定义ℵ作为

(ℵ u个) (t吨) = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ, t吨 \in [0, {小时}^{*}] .

(8)

通过使用(8)，我们有

| (ℵ u个) (t吨) - {u个}_{0} | \leq \frac{N个}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ \leq \frac{N个 Γ (1 - η)}{Γ (α (t吨) + 1 - η)} {小时}^{α (t吨) - η} \leq ϕ,

对于任何

u个 \in C类 [0, {小时}^{*}]

，这表明

ℵ Λ_{小时} \subset Λ_{小时}

.

接下来，我们证明了算子的连续性ℵ.让

{u个}_{n个}, 单位 \in Λ_{{小时}^{*}}

，因此

∥ {u个}_{n个} {- u个 ∥}_{C类 [0, {小时}^{*}]}

接近0为n个接近∞.因为操作员ℑ是连续的所以

∥ ℑ {u个}_{n个} {- ℑ u个 ∥}_{[0, {小时}^{*}]}

接近0为n个接近∞.现在

\begin{matrix} | (ℵ {u个}_{n个}) (t吨) - (ℵ u个) (t吨) | & = | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, {u个}_{n个} (λ)) d日 λ \\ - \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ \leq \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} | （f） (λ, {单位}_{n个} (λ)) - （f） (λ, u个 (λ)) | d日 λ \\ \leq \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} | (ℑ {u个}_{n个}) (λ) - (ℑ u个) (λ) | d日 λ \\ \leq \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ {∥ (ℑ {u个}_{n个}) (λ) - (ℑ 单位) (λ) ∥}_{[0, {小时}^{*}]} . \end{matrix}

我们有

∥ (ℵ {u个}_{n个}) (λ) - (ℵ u个) (λ) ∥_{[0, {小时}^{*}]} \leq \frac{Γ (1 - α (t吨))}{Γ (α (t吨) + 1 - η)} {小时}^{α (t吨) - η} {∥ (ℑ {u个}_{n个}) (λ) - (ℑ u个) (λ) ∥}_{[0, {小时}^{*}]} .

然后

∥ (ℵ {u个}_{n个}) (λ) - (ℵ u个) (λ) ∥_{[0, {小时}^{*}]}

接近0为n个接近∞因此，ℵ是连续的。

接下来，我们证明了

ℵ Λ_{{小时}^{*}}

为此，我们让

单位 \in Λ_{{小时}^{*}}

和

{t吨}_{1}, {t吨}_{2} \in [0, {小时}^{*}]

、和

{t吨}_{1} \leq {t吨}_{2}

注意，对于任何

ϵ > 0

,

\frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ = \frac{Γ (1 - η)}{Γ (α (t吨) + 1 - λ)} {t吨}^{α (t吨) - η} \to 0, 作为 t吨 \to 0^{+},

哪里

η \in [0, 1)

。然后存在一个

\tilde{η} > 0

,

\frac{2 N个}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ < ϵ, t吨 \in [0, {小时}^{*}],

持有。在这种情况下，对于

{t吨}_{1}, {t吨}_{2} \in [0, \tilde{η}]

，一个有

\begin{matrix} | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ - \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ \leq \frac{N个}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ + \frac{N个}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ \\ < ϵ . \end{matrix}

(9)

一个人可以得到

\frac{\tilde{η}}{2} \leq {t吨}_{1} \leq {t吨}_{2} \leq {小时}^{*}

\begin{matrix} | (ℵ u个) ({t吨}_{1}) - (ℵ u个) ({t吨}_{2}) | & = | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ \\ - \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ \leq | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ + | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, 单位 (λ)) d日 λ | . \end{matrix}

(10)

在(10)，在右侧，第一个术语可以写为

\begin{matrix} | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ | \\ \leq \frac{N个}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} | [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] λ^{- η} | d日 λ \\ \leq \frac{N个}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{\tilde{η} / 2} | [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] λ^{- η} | d日 λ \\ + \frac{N个 {(\frac{\tilde{η}}{2})}^{- η}}{Γ (α (t吨))} \int_{\frac{\tilde{η}}{2}}^{{t吨}_{1}} | [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] | d日 λ \\ \leq \frac{2 N个}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{\frac{η_{1}}{2}} {(\frac{\tilde{δ}}{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ + \frac{N个 {(\frac{\tilde{η}}{2})}^{- η}}{Γ (α (t吨))} [{({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{α (t吨)} \\ + {({t吨}_{1} - \frac{\tilde{η}}{2})}^{α (t吨)} - {({t吨}_{2} - \frac{\tilde{η}}{2})}^{α (t吨)}] \\ \leq ϵ + \frac{N个 {(\frac{\tilde{η}}{2})}^{- η}}{Γ (α (t吨))} [{({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{α (t吨)} + {({t吨}_{1} - \frac{\tilde{η}}{2})}^{α (t吨)} - {({t吨}_{2} - \frac{\tilde{η}}{2})}^{α (t吨)}] . \end{matrix}

在(10)，在右侧，第二个术语可以写为

\begin{matrix} | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | & \leq \frac{N个 {(\frac{η_{1}}{2})}^{- η}}{Γ (α (t吨))} \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} d日 λ \\ \leq \frac{N个 {(\frac{η_{1}}{2})}^{- η}}{Γ (α (t吨) + 1)} {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{α (t吨)} . \end{matrix}

(11)

根据上述讨论，存在一个

(\frac{\tilde{η}}{2} >) \tilde{η_{1}} > 0

对于

\frac{\tilde{η}}{2} \leq {t吨}_{1} \leq {t吨}_{2} \leq {小时}^{*}

和

| {t吨}_{1} - {t吨}_{2} | < \tilde{η_{1}}

,

| (ℵ u个) ({t吨}_{1}) - (ℵ u个) ({t吨}_{2}) | < 2 ϵ .

(12)

通过使用(9)和(12)，很明显

{(ℵ u个) (t吨) : u个 \in Λ_{{小时}^{*}}}

是等连续的。有人很容易找到

{(ℵ u个) (t吨) : u个 \in Λ_{{小时}^{*}}}

一致有界，因为

ℵ Λ_{{小时}^{*}} \subset Λ_{{小时}^{*}}

所以，

ℵ Λ_{{小时}^{*}}

是预紧的，并且运算符ℵ是完全连续的。利用引理3和引理2证明了问题的局部存在性(1). □

定理 2

假设满足条件（H1）和（H2）。那么就存在唯一的IVP解决方案(1)对于

u个 \in C类 [0, {小时}^{*}]

，其中

{小时}^{*} \in [0, T型]

.

证明。

通过使用引理1，问题(1)和方程式(7)是等效的。所以我们只需要证明问题(7)只有一个解决方案。首先，我们有一个Banach空间的非空闭子集，形式如下

Λ_{^{*} 小时} = \{u个 : 单位 \in C类 [0, {小时}^{*}], \underset{t吨 \in [0, T型]}{啜饮} | u个 - {u个}_{0} | \leq ϕ\},

我们再次介绍操作员ℵ作为

(ℵ u个) (t吨) = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ, t吨 \in [0, {小时}^{*}] .

现在，我们从积分方程解的唯一性得到了不动点问题(7)即。，

u个 (t吨) = (ℵ u个) (t吨)

所以，我们只能证明ℵ有一个唯一的固定点。

我们有

\begin{matrix} | (ℵ u个) (t吨) - {u个}_{0} | & \leq \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} |（f） (λ, u个 (λ))| d日 λ \\ \leq \frac{{∥（f）∥}_{C类 [0, {小时}^{*}]} Γ (1 - α (t吨))}{Γ (1 - η)} \frac{ϕ Γ (α (t吨) + 1 - η)}{{∥（f）∥}_{C类 [0, {小时}^{*}]} Γ (1 - α (t吨))} = ϕ, 对于 任何 u个 \in Λ_{{小时}^{*}} . \end{matrix}

因此，

ℵ u个 \in Λ_{{小时}^{*}},

如果

u个 \in Λ_{{小时}^{*}} .

接下来，对于任何

0 \leq {t吨}_{1} \leq {t吨}_{2} \leq {小时}^{*}

,

\begin{matrix} | (ℵ u个) ({t吨}_{1}) - (ℵ u个) ({t吨}_{2}) | \\ = | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ - \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ \leq \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] | （f） (λ, u个 (λ)) | d日 λ \\ + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} | （f） (λ, u个 (λ)) | d日 λ \\ \leq \frac{{∥（f）∥}_{C类 [0, {小时}^{*}]}}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] d日 λ + \frac{{∥（f）∥}_{C类 [0, {小时}^{*}]}}{Γ (α (t吨))} \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} d日 λ \\ = \frac{{∥（f）∥}_{C类 [0, {小时}^{*}]}}{Γ (1 + α (t吨))} [{t吨}_{1}^{α (t吨)} - {t吨}_{2}^{α (t吨)} + {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{α (t吨)}] . \end{matrix}

这表明

ℵ u个

是连续的。

然而，我们已经

{∥ℵ^{n个} u个 - ℵ^{n个} \tilde{u个}∥}_{C类 [0, t吨]} \leq \frac{{(我 δ^{α (t吨)})}^{n个}}{Γ (1 + n个 α (t吨))} {∥u个 - \tilde{单位}∥}_{C类 [0, t吨]}, 对于 每一个 n个 \in N个 和 t吨 \in [0, {小时}^{*}] .

(13)

对于

n个 = 0

，方程式(13)是真的。根据归纳法的基本概念

n个 - 1

也是真的，你可以得到

\begin{matrix} {∥ℵ^{n个} u个 - ℵ^{n个} \tilde{u个}∥}_{C类 [0, t吨]} & = {∥ℵ (ℵ^{n个 - 1} u个) - ℵ (ℵ^{n个 - 1} \tilde{u个})∥}_{C类 [0, t吨]} \\ \frac{1}{Γ (α (t吨))} \underset{0 \in [δ, t吨]}{最大值} |\int_{0}^{δ} {(δ - λ)}^{α (t吨) - 1} [（f） (λ, ℵ^{n个 - 1} 单位 (λ)) - （f） (λ, ℵ^{n个 - 1} \tilde{u个} (λ))] d日 λ| . \end{matrix}

根据Lipschitz条件和归纳假设，结果(13)很明显。

现在，

\sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(我 δ^{α (t吨)})}^{n个}}{Γ (1 + n个 α (t吨))} = {E类}_{α (t吨)} (我 δ^{α (t吨)}),

哪里

{E类}_{α} (\cdot)

是Mittag–Leffler函数，定义为

{E类}_{α} (z) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{z^{k个}}{1 + α k个}

因此，我们可以应用引理4并推导IVP的唯一性(1). □

定理三。

如果条件（H1）和（H2）保持不变，则

u个 = u个 (t吨),

t吨 \in (0, ς)

是不可中断的

ξ \in (0, \frac{ς}{2})

和任何有界闭子集

X（X） \subset [ξ, + \infty) \times R（右）

然后

\exists {t吨}^{*} \in [ξ, ς)

，因此

({t吨}^{*}, u个 ({t吨}^{*})) \notin X（X）

.

证明。

我们分两步提供证明。让，∃

X（X） \subset [ξ, + \infty) \times R（右）

和

{(t吨, 单位 (t吨)) : t吨 \in [ξ, ς)} \subset X（X）

.压实度X（X）⇒

ς < + \infty

.A积极K（K）存在于（H1）中，因此

{啜饮}_{(t吨, u个) \in X（X）} | （f） (t吨, 单位) | \leq K（K） .

步骤1。对于

林_{t吨 \to ς^{-}} u个 (t吨)

存在。让

G公司 (t吨) = \int_{0}^{ξ} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} λ^{- η} d日 λ, 2 ξ \leq t吨 \leq ς .

大家可以看到

G公司 (t吨)

连续一致打开

[2 ξ, ς]

.面向所有人

2 ξ \leq {t吨}_{1} < {t吨}_{2} \leq ς,

我们有

\begin{matrix} | u个 ({t吨}_{1}) - u个 ({t吨}_{2}) | \\ = | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{1}} {({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ - \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ \leq | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{ξ} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] λ^{- η} (ℑ u个) (λ) d日 λ | \\ + | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{ξ}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ + | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ \leq \frac{{∥ ℑ u个 ∥}_{[0, ξ]}}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{ξ} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] λ^{- η} d日 λ \\ + \frac{K（K）}{Γ (α (t吨))} \int_{ξ}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] d日 λ + \frac{K（K）}{Γ (α (t吨))} \int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} d日 λ \\ \leq | G公司 ({t吨}_{1}) - G公司 ({t吨}_{2}) | \frac{{∥ ℑ u个 ∥}_{[0, ξ]}}{Γ (α (t吨))} + \frac{K（K）}{Γ (α (t吨))} [2 {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{α (t吨)} + {({t吨}_{1} - ξ)}^{α (t吨)} - {({t吨}_{2} - ξ)}^{α (t吨)}] . \end{matrix}

自

G公司 (t吨)

是连续的，根据柯西收敛准则，可以得出

林_{t吨 \to ς^{-}} 单位 (t吨) = {u个}^{*}

存在。

第2步。在这一步中，我们证明了

u个 (t吨)

是可持续的。因为X（X）是闭子集，那么

(ς, {u个}^{*}) \in X（X）

.我们有

u个 (ς) = {u个}^{*}

和

u个 (t吨) \in C类 [0, ς]

，我们定义运算符问如下

(问 x个) (t吨) = {u个}_{1} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{ς}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ,

哪里

{u个}_{1} = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{ς} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ, x个 \in C类 [ς, ς + 1], ς \leq t吨 \leq ς + 1 .

让

{W公司}_{一} = {(t吨, x个) : t吨 \in [ς, ς + 1], | x个 | \leq \underset{t吨 \in [ς, ς + 1]}{最大值} | {单位}_{1} (t吨) | + 一} .

自（f）持续打开

{W公司}_{一}

，我们可以

M（M） = {最大值}_{(t吨, x个) \in {W公司}_{一}} | （f） (t吨, u个) |

.让

{W公司}_{小时} = {x个 \in C类 [ς, ς + 1] : \underset{t吨 \in [ς, ς + 小时]}{最大值} | x个 (t吨) - {u个}_{1} (t吨) | \leq 一, x个 (ς) = {u个}_{1} (ς)},

哪里

{小时}^{*} = 最小值 \{1, {(\frac{M（M）}{Γ (α (t吨) + 1) 一})}^{α (t吨)}\}

因此问在上完全连续

{W公司}_{一}

.设置

{{x个}_{n个}} \subseteq C类 [ς, ς + {小时}^{*}]

,

∥ {x个}_{n个} {- x个 ∥}_{[ς, ς + {小时}^{*}]}

接近0为n个接近∞.那么我们有

\begin{matrix} | (问 {x个}_{n个}) (t吨) - (问 x个) (t吨) | & = | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{ς}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} [（f） (λ, {x个}_{n个} (λ)) - （f） (λ, 年 (λ))] d日 λ | \\ \leq \frac{{小时}^{α (t吨)}}{Γ (α (t吨) + 1)} {∥ （f） (λ, 年_{n个} (λ)) - （f） (λ, 年 (λ)) ∥}_{[ς, ς + {小时}^{*}]} . \end{matrix}

自（f）是连续的，我们可以

∥ （f） (λ, {x个}_{n个} (λ)) - （f） (λ, x个 (λ)) ∥_{[ς, ς + {小时}^{*}]}

接近0为n个接近∞此外，

∥ (问 {x个}_{n个}) (t吨) - (问 x个) (t吨) ∥_{_{[ς, ς + {小时}^{*}]}}

接近0为n个接近∞，这表明问是连续的。

接下来，我们展示一下

问 {W公司}_{小时}

是等连续的。对于任何

x个 \in {W公司}_{小时}

我们有

(问 x个) (ς) = {u个}_{1} (ς)

和

\begin{matrix} | (问 x个) (t吨) - {u个}_{1} | & = | \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{ς}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ | \\ \leq \frac{M（M） {(t吨 - ς)}^{α (t吨)}}{Γ (α (t吨) + 1)} \leq \frac{M（M） 小时 *^{α (t吨)}}{Γ (α (t吨) + 1)} \leq 一 . \end{matrix}

因此

问 {W公司}_{{小时}^{*}} \subset {W公司}_{{小时}^{*}}

.设置

J型 (t吨) = \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{ς} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ

我们知道

J型 (t吨)

持续打开

[ς, ς + 1]

.面向所有人

x个 \in {W公司}_{{小时}^{*}}, {t吨}_{1}, {t吨}_{2} \in [ς, ς + {小时}^{*}]

，我们有

\begin{matrix} |(问 x个) ({t吨}_{1}) - (问 x个) ({t吨}_{2})| \leq |\frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{ς} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ| \\ + \frac{1}{Γ (α (t吨))} |\int_{ς}^{{t吨}_{1}} [{({t吨}_{1} - λ)}^{α (t吨) - 1} - {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1}] （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ| \\ + \frac{1}{Γ (α (t吨))} |\int_{{t吨}_{1}}^{{t吨}_{2}} {({t吨}_{2} - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, x个 (λ)) d日 λ| \\ \leq | J型 ({t吨}_{1}) - J型 ({t吨}_{2}) | + \frac{M（M）}{Γ (α (t吨) + 1)} [2 {({t吨}_{2} - {t吨}_{1})}^{α (t吨)} + {({t吨}_{1} - ς)}^{α (t吨)} - {({t吨}_{2} - ς)}^{α (t吨)}] . \end{matrix}

自

J型 (t吨)

是否启用均匀连续性

[ς, ς + {小时}^{*}]

和(13)，我们得出结论

{(问 x个) (t吨) : x个 \in {W公司}_{{小时}^{*}}}

是等连续的。因此问是完全连续的。由引理3，算符问有一个固定点

\tilde{u个} (t吨) \in {W公司}_{{小时}^{*}}

即。，

\begin{matrix} \tilde{u个} (t吨) & = {u个}_{1} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{ς}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, \tilde{u个} (λ)) d日 λ, t吨 \in [ς, ς + 小时], \\ = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, \tilde{u个} (λ)) d日 λ, \end{matrix}

(14)

哪里

\tilde{u个} (t吨) = \{\begin{matrix} u个 (t吨), & t吨 \in (0, ς] \\ \tilde{u个} (t吨), & t吨 \in [ς, ς + {小时}^{*}] \end{matrix}

由此可见

\tilde{单位} (t吨) \in C类 [0, ς + {小时}^{*}]

和

\tilde{u个} (t吨) = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α - 1} （f） (λ, \tilde{u个} (λ)) d日 λ .

(15)

根据引理1，

\tilde{单位} (t吨)

方程式的(15)，定义问题的解决方案(1)上的

(0, ς + {小时}^{*}]

。这导致了矛盾，因为

u个 (t吨)

是不可中断的。证据是完整的。□

4.全球解决方案

定理 4

假设（H1）保持不变。我们认为

u个 (t吨)

是问题的解决方案(1)在

(0, ς)

。对于

ε > 0

，如果

u个 (t吨)

限定于

[ε, ς)

，然后

ς = + \infty

.

首先，在继续下一个讨论之前，我们给出了以下引理，这将与我们的分析相关。

引理 5

([30,31]).让r是定义在上的实函数

[0, β] \times [0, + \infty)

.那么假设

\exists c（c） > 0

和

α (t吨) \in (0, 1)

，因此

第页 (t吨) \leq q个 (t吨) + c（c） \int_{0}^{t吨} \frac{第页 (λ)}{{(t吨 - λ)}^{α (t吨)}} d日 λ,

哪里

q个 (\cdot) > 0

是上的局部可积函数

[0, β]

然后

\exists 小时 = 小时 (α (t吨))

，以便

0 \leq t吨 \leq β

，我们有

第页 (t吨) \leq q个 (t吨) + 小时 c（c） \int_{0}^{t吨} \frac{q个 (λ)}{{(t吨 - λ)}^{α (t吨)}} d日 λ .

定理 5

假设（H1）是保持和三个连续函数

克 (t吨) > 0

,

小时 (t吨) >

,

j个 (t吨) > 0

定义于

[0, + \infty) \times [0, + \infty)

，因此

| （f） (t吨, u个) | \leq 克 (t吨) 小时 (| u个 |) + j个 (t吨)

，其中

小时 (秒) \leq 秒

对于

秒 \in [0, \infty)

。那么有一个解决方案(1)在里面

C类 [0, + \infty)

.

证明。

利用定理1，可以很容易地得出(1). 通过使用引理1，

u个 (t吨)

满足以下等式

u个 (t吨) = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ .

让最大间隔

u个 (t吨)

是

[0, ς)

，其中

(ς < + \infty)

。那么

\begin{matrix} | u个 (t吨) | & = | {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ | \\ \leq {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} (克 (λ) 小时 (| 单位 |) + j个 (λ)) d日 λ \\ \leq {u个}_{0} + \frac{{∥ 克 ∥}_{[0, ς]}}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} (小时 (| u个 |) d日 λ + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} j个 (λ) d日 λ . \end{matrix}

拿

第页 (t吨) = | u个 (t吨) |, q个 (t吨) = {u个}_{0} + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} j个 (λ) d日 λ

,

c（c） = \frac{{∥ 克 ∥}_{[0, ς]}}{Γ (α (t吨))}

.根据引理（5），

第页 (t吨) = | u个 (t吨) |

限定于

[0, ς)

因此，对于任何

ε \in (0, ς),

u个 (t吨)

限定于

[ε, ς)

.根据定理4，问题的解决(1)存在于

(0, + \infty)

. □

下一个定理确保了(1)上的

{R（右）}^{+}

.

定理 6

假设（H1）保持不变，且为连续函数

第页 (t吨) > 0

存在并定义于

[0, \infty)

，因此

| （f） (t吨, 单位) - （f） (t吨, \tilde{u个}) | \leq 第页 (t吨) | u个 - \tilde{u个} |

.然后是(1)存在于

C类 [0, + \infty)

.

为了证明这个定理简单明了，我们把它留给感兴趣的读者。

5.乌拉姆稳定性结果

现在，我们考虑乌拉姆的稳定性(1). 让

ϵ > 0

和

φ

是定义在上的连续函数

[0, + \infty) \to {R（右）}^{+}

考虑这些不平等：

|_{C类} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} u个 (t吨) - （f） (t吨, u个 (t吨))| \leq ϵ;

（16）

|_{C类} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} u个 (t吨) - （f） (t吨, u个 (t吨))| \leq φ (t吨);

(17)

|_{C类} {D类}_{0, t吨}^{α (t吨)} u个 (t吨) - （f） (t吨, u个 (t吨))| \leq ϵ φ (t吨) .

（18）

定义 5

体外循环(1)如果存在实数，Ulam–Hyers是否稳定

{c（c）}_{（f）} > 0

，这样每个

ϵ > 0

以及每个解决方案

u个 \in C类 [0, + \infty)

不平等(16)，存在解决方案

v（v） \in C类 [0, + \infty)

第页，共页(1)带有

|u个 (t吨) - v（v） (t吨)| \leq ϵ {c（c）}_{（f）} .

定义 6

如果存在实数

{c（c）}_{（f）} \in ({R（右）}^{+}, {R（右）}^{+})

具有

{c（c）}_{（f）} (0) = 0

，每

ϵ > 0

以及每个解决方案

u个 \in C类

不平等(17)然后是一个解决方案

v（v） \in C类

第页，共页(1)带有

|u个 (t吨) - v（v） (t吨)| \leq {c（c）}_{（f）} (ϵ)

然后是IVP(1)是广义Ulam–Hyers稳定。

定义 7

如果有数字

{c（c）}_{（f）, φ} \in R（右）

，每

ϵ > 0

以及每个解决方案

单位 \in C类

第页，共页(18)然后∃解决方案

v（v） \in C类

第页，共页(1)带有

|u个 (t吨) - v（v） (t吨)| \leq ϵ {c（c）}_{（f）, φ} φ (t吨),

然后是IVP(1)相对于φ，乌拉姆-海尔斯-拉西亚斯稳定。

定义 8

如果有数字

{c（c）}_{（f）, φ} \in R（右）

，针对每个解决方案

u个 \in C类

第页，共页(17)，然后∃解决方案

v（v） \in C类

第页，共页(1)带有

|u个 (t吨) - v（v） (t吨)| \leq {c（c）}_{（f）, φ} φ (t吨) .

然后是IVP(1)关于φ，广义Ulam–Hyers–Rassias稳定吗

备注 1

显然，我们可以看到：（i）定义5⟹定义6；（ii）定义7⟹定义8；（iii）定义7⟹定义5。

假设3 （H3）。

假设

φ

是递增函数，属于

C类 [0, + \infty)

.然后就有了

χ_{φ} > 0

，因此

\frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} φ (λ) d日 λ \leq χ_{φ} φ (t吨), t吨 \in [0, + \infty) .

引理 6

([32]).设x和y是定义在

[0, T型] \times [0, + \infty)

哪里

T型 \leq \infty .

如果y增加并且有常数

μ \geq 0

和

第页 > 0

，因此

x个 (t吨) \leq 年 (t吨) + μ \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{第页 - 1} x个 (λ) d日 λ, t吨 \in [0, T型),

然后

x个 (t吨) \leq 年 (t吨) + \int_{0}^{t吨} [\sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(μ Γ (第页))}^{k个}}{Γ (k个 第页)} {(t吨 - λ)}^{第页 - 1} 年 (λ)] d日 λ, t吨 \in [0, T型) .

如果

年 (t吨) = c（c）,

是上的常量

t吨 \in [0, T型)

，那么我们有

x个 (t吨) \leq c（c） {E类}_{第页} (μ Γ (第页) {t吨}^{第页}), t吨 \in [0, T型),

哪里

{E类}_{第页} (

·)是Mittag–Leffler函数。

定理 7

如果满足条件（H3），则IVP(1)广义Ulam–Hyers–Rassias稳定。

证明。

假设u个是的解决方案(17)上的

C类 [0, + \infty)

，我们假设v（v）是的解决方案(1). 因此，我们有

\begin{matrix} |单位 (t吨) - {u个}_{0} (t吨) - \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ| \\ \leq \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} φ (λ) d日 λ \\ \leq χ_{φ} φ (t吨) . \end{matrix}

从这些关系可以看出

\begin{matrix} | u个 (t吨) - v（v） (t吨) | & \leq |u个 (t吨) - {u个}_{0} (t吨) - \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} （f） (λ, u个 (λ)) d日 λ| \\ + \frac{1}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} |（f） (λ, u个 (λ)) - （f） (λ, v（v） (λ))| d日 λ \\ \leq χ_{φ} φ (t吨) + \frac{我}{Γ (α (t吨))} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - λ)}^{α (t吨) - 1} | u个 (λ) - v（v） (λ) | d日 λ . \end{matrix}

根据引理（6），存在一个常数

我^{*} > 0

独立于

χ_{φ} φ (t吨)

，因此

| u个 (t吨) - v（v） (t吨) | \leq 我^{*} χ_{φ} φ (t吨) : = {c（c）}_{（f）, φ} φ (t吨) .

因此，IVP(1)广义Ulam–Hyers–Rassias稳定。□

推论 1

通过使用定理7的相同参数，可以证明IVP(1)带有不等式(18)乌拉姆-海尔斯-拉西亚斯稳定。

推论 2

在定理7的相同步骤下，带有不等式(16)，可以证明IVP(1)乌勒姆-海尔斯稳定。

6.结论

首先，我们导出了变阶Caputo阶FDE的新的局部存在唯一性定理。接下来，我们证明了新的延拓定理，以证明变阶FDE的全局存在性。最后，我们给出了引理，它表明我们考虑的问题是Ulam–Hyers型稳定的。通过阅读本文，读者可以找到Hadamard、Caputo–HadamardHilfer型变阶微分方程的存在唯一解。

基金

作者感谢沙特阿拉伯王国法赫德国王石油矿产大学（KFUPM）科学研究院长（DSR）提供的资金支持。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

MDPI和ACS样式

萨瓦尔，S。变阶Caputo型分数阶微分方程的存在性和稳定性。分形。 2022,6, 51.https://doi.org/10.3390/fractalfract6020051

AMA风格

萨瓦尔·S。变阶Caputo型分数阶微分方程的存在性和稳定性。分形和分数. 2022; 6(2):51.https://doi.org/10.3390/fractalfract6020051

芝加哥/图拉宾风格

沙赫扎德·萨瓦尔。2022.“关于变阶Caputo型分数阶微分方程的存在性和稳定性”分形和分数第6页，第2页：第51页。https://doi.org/10.3390/fractalfract6020051

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变阶Caputo型分数阶微分方程的存在性和稳定性

摘要

1.简介

2.前期工作

3.存在性、唯一性和连续性定理

4.全球解决方案

5.乌拉姆稳定性结果

6.结论

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