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第2卷
第3版
10.3390/fractalfract2030021
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第条

分数阶粘弹性Pasternak地基上非局部纳米梁的非线性振动

通过
盖·约瑟夫·埃比
1,*,
甘博·贝彻温
1,
阿里杜·穆罕默德
1和
蒂莫伦·克雷平·科芬
2
1
喀麦隆马鲁阿市马鲁阿大学科学院物理系，邮政信箱814
2
喀麦隆雅温得大学物理与应用博士研究室科学、技术和地球科学研究生院力学、材料与结构实验室，邮政信箱812
*
信件应寄给的作者。
分形。 2018,2(3), 21;https://doi.org/10.3390/fractalfract2030021
收到的提交文件：2018年6月12日/修订日期：2018年8月1日/接受日期：2018年8月3日/发布日期：2018年8月5日
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摘要

:
在本研究中，利用非局部弹性理论研究了分数阶粘弹性Winkler–Pasternak地基上纳米梁的非线性振动。使用D’Alembert原理推导控制方程和相关边界条件。应用多尺度法得到了近似解析解。进行了详细的参数研究，数值计算和描述了应用问题中不同参数的变化对系统的影响。我们注意到分数导数的阶数和系数对振动的固有频率和振幅有显著影响。

1.简介

由于纳米力学最近的快速发展，纳米梁已成为纳米机电系统、光机或纳米谐振器等技术中广泛使用的最重要结构。纳米级光束的独特特性取决于其尺寸，而这种尺寸在静态和动态分析中起着重要作用。针对经典连续体力学在模拟此类结构行为时考虑尺寸效应的困难，发展了各种尺寸相关的连续体理论。这些理论包括非局部连续体理论、应变梯度理论或两者的结合（非局部应变梯度理论）、修正的偶应力理论、微极理论和表面弹性理论。在这些理论中，埃林根的非局部弹性理论[1,2]被许多研究人员用来捕捉尺寸效应。
这类结构可以建模为粘弹性地基上的梁结构。梁可以建模为Timoshenko梁[三,4]或作为瑞利光束[5]或作为Euler–Bernouilli梁[6]基础为Winkler模型[7,8,9]或作为Pasternak模型，或两者的组合（Winkler–Pasternam模型），或作为非线性弹性模型和分数阶粘弹性模型[10]. Winkler模型是一个单参数模型，即Winkler型弹性地基由一系列紧贴空间的弹性弹簧组成。Pasternak模型是一个双参数模型，即Pasternak-型粘弹性地基由Winkler型弹性弹簧和横向剪切变形组成。非线性模型是一个三参数模型，其中层由线弹性弹簧、剪切变形和立方非线性弹性弹簧表示。分数阶Winkler–Pasternak[10]发展良好。这种分数阶是由于某些粘弹性材料的长记忆效应。在纳米结构的振动分析中，评估周围介质对梁动力学的影响是非常重要的。Niknam和Aghdam[11]提出了一种研究非线性弹性支承上非局部功能梯度梁动力特性的解析方法。Kiani提出了一种求解单壁碳纳米管（SWCNT）自由横向振动的无网格方法[12]. 爱林根 ′ 利用s非局部理论和Timoshenko梁理论对单壁碳纳米管在弹性介质上的屈曲进行了分析[13,14]. 提出了粘弹性介质上非局部悬臂碳纳米管（CNT）的非保守动力学[15]. 米哈塞夫[16]研究了单壁碳纳米管自由振动的局域模式。穆斯塔法和钟[17]研究了粘弹性介质中非棱镜单壁碳纳米管的动力学。Lee和Chang[18]研究了粘性流体输送单壁碳纳米管的动力学。基亚尼[19,20]研究了用于输送纳米颗粒的弹性应变双壁碳纳米管（DWCNT）和SWCNT。对CNT输送液进行了不稳定性分析[21]. 亚斯和萨马迪[22]检测了CNT增强复合材料和弹性介质。研究了非均匀CNT输送流体对粘弹性介质的小范围影响[23]. 艾多格杜[24]分析了弹性介质上的纳米棒。Wang对弹性基体上的纳米管进行了动力学分析[25]. 研究了Pasternak弹性地基上弯曲SWCNT的动力学[26]. 艾多杜·阿尔达[27]研究了非局部DWCNT的扭转动力学。内格拉[28]研究了Winkler型基础上非局部纳米梁的非线性振动。阿纳格的作品[10]基于受移动荷载作用的分数阶粘弹性Pasternak地基上的瑞利梁动力学。
许多时空微分方程很难求解；有时，这些方程完全不可能求解。面对这些困难，需要一种复杂的分析和数值方法来找到近似解。Ozturk和Coskun[29]提出了同伦摄动法。采用多尺度方法分析了碳纳米管的非线性振动[30,31,32,33]. 他的变分法显示出更多的优点[12,34,35,36,37]. 直接迭代法用于DWCNT的动力学分析[38]. 有限元法[21,23]和微分求积法[13,22]也表现出更多的优势。
上述研究清楚地表明，文献中提出的大多数研究都与非局部和非线性结构有关，但对非局部和非线性分数阶振动的研究非常有限。在现场观察时，梁的线性频率振幅和非线性频率振幅是主要的研究课题，但嵌入分数阶粘弹性介质中的梁的动力学分析非常少见。利用非局部弹性理论研究了具有阻尼效应的纳米管的非线性自由振动[31]. 据我们所知，目前还没有发表过关于粘弹性地基上纳米梁分数阶非局部非线性振动的研究。该问题的非线性是通过考虑von Karman几何非线性而获得的，该几何非线性将三次非线性引入到方程中。本文利用Eringen非局部弹性理论分析了分数阶粘弹性Winkler–Pasternak地基上纳米梁的非线性振动。绘制了不同端部条件下纳米梁的非线性分数阶频率响应和振型。

2.前期工作

2.1. 分数阶粘弹性

分数微积分是数学分析的一部分，在纳米力学中有许多应用。分数阶微积分的作用是研究任意实数或复数阶积分和导数。不同的作者给出了分数阶积分和导数的许多定义。然而，在我们的研究中，我们将只考虑Riemann–Liouville对分数导数的定义，如下所示：如果 x个 ( · ) 是绝对连续的函数 一 , b条 和 0 ≺ 一 ≺ 1 ，然后：
  • 左Riemann–Liouville分数阶导数 α 形式如下：
    一 D类 t吨 α x个 τ = 1 Γ 1 − α d日 d日 t吨 ∫ 一 t吨 x个 τ t吨 − τ α d日 τ , t吨 ∈ 一 , b条
  • 右Riemann–Liouville分数阶导数 α 形式如下：
    t吨 D类 b条 α x个 τ = 1 Γ 1 − α − d日 d日 t吨 ∫ t吨 b条 x个 τ τ − t吨 α d日 τ , t吨 ∈ 一 , b条
分数导数用于流变学的精确建模，以及用于内部阻尼建模的结构力学。在[39]结果表明，经典粘弹性模型无法描述粘弹性固体的阻尼，需要考虑改进的分数导数模型。这种模型几乎没有进步。首先，它们基于分子理论[40]. 其次，这些模型满足热力学定律。至少，它们需要一些参数来描述粘弹性行为。
在下文中，我们给出了分数阶粘弹性Winkler–Pasternak地基梁相互作用力（每单位梁轴线长度）的本构关系，其中包括分数阶导数项，如下所示[10]:
q个 x个 , t吨 = k个 w个 x个 , t吨 + c（c） ⏴ w个 x个 , t吨 ⏴ t吨 − μ e（电子） + μ v（v） D类 t吨 α ⏴ 2 w个 x个 , t吨 ⏴ x个 2 ,
其中变形梁可以用横向挠度来描述 w个 x个 , t吨 ,k个和c（c）是基础刚度和阻尼系数，以及 μ e（电子） 和 μ v（v） 是基础剪切弹性系数和粘度系数。 D类 t吨 α 是分数阶导数 α .

2.2. 非局部理论

在非局部弹性理论中x个是弹性体所有其他点应变的函数。三维结构非局部本构关系的积分形式为：
σ 我 j个 x个 = ∫ χ x个 − x个 ′ , τ t吨 我 j个 x个 ′ d日 V（V） ( x个 ′ ) , ∀ x个 ∈ V（V） ,
哪里 σ 我 j个 是非局部应力张量， t吨 我 j个 是一点上的局部应力张量还是经典应力张量 x个 ′ , χ x个 − x个 ′ , τ 表示将非局部效应纳入本构方程的衰减函数， x个 − x个 ′ 是欧几里德范数中的距离 τ = e（电子） 0 一 / 我 是非局部参数，其中我是外部特征长度（裂纹长度或波长），一是内部特征长度（晶格参数、颗粒等），以及e（电子）0是一个材料常数，可以通过分子动力学模拟或使用晶格动力学的Born–Karman模型的色散曲线来确定。稍后，埃林根[2]提出了本构关系的微分形式，其核函数为：
1 − τ 2 我 2 ∇ 2 σ 我 j个 = t吨 我 j个 .
对于一维情况，局部应力 t吨 x个 x个 在某一点上 x个 ′ 可以根据胡克定律解释为：
t吨 x个 x个 x个 ′ = E类 ε x个 x个 x个 ′ ,
哪里E类表示弹性模量和 ε x个 x个 应变。由此得出一维弹性体非局部本构方程的以下微分形式：
σ x个 x个 − μ ⏴ 2 σ x个 x个 ⏴ x个 2 = E类 ε x个 x个 ,
哪里 μ = e（电子） 0 一 2 是非局部参数，并且 σ x个 x个 是非局部应力。

3.分数阶粘弹性地基上纳米梁的控制方程

本研究是在非局部Euler–Bernouilli纳米束长度的基础上进行的L（左），横截面积一个，密度 ρ 和横向偏转 w个 x个 , t吨 在中z（z）方向。本工作考虑了两种类型的边界条件，即简单边界条件和夹持边界条件，如所示图1。我们假设横截面积沿x个坐标，纳米束的材料是均匀的。纳米梁位于分数阶粘弹性Winkler–Pasternak基础上，其中k个和c（c）是刚度和阻尼系数，以及 μ e（电子） 和 μ v（v） 是基础剪切弹性系数和粘度系数。我们还考虑到纳米梁受到时变轴向载荷的影响。根据Euler–Bernouilli梁理论，梁任意点的位移场可以表示为：
u个 x个 x个 , z（z） , t吨 = u个 x个 , t吨 − z（z） ⏴ w个 x个 , t吨 ⏴ x个 , u个 年 = 0 , u个 z（z） = w个 x个 , t吨 ,
哪里u个和w个分别为轴向位移和横向位移。通过假设给定位移场的von Karman非线性应变-位移关系，我们得到：
ε 0 = ⏴ u个 ⏴ x个 + 1 2 ⏴ w个 ⏴ x个 2 , ε 1 = − z（z） k个 ¯ , k个 ¯ = ⏴ 2 w个 ⏴ x个 2 .
哪里 ε 0 是非线性拉伸应变 k个 ¯ 是弯曲应变。von Karman非线性正应变可表示为：
ε = ε 0 + ε 1 = ⏴ u个 ⏴ x个 + 1 2 ⏴ w个 ⏴ x个 2 − z（z） ⏴ 2 w个 ⏴ x个 2 .
通过将D’Alembert原理应用于纳米束的无穷小元素，可以得到平衡方程：
ρ 一个 ⏴ 2 u个 ⏴ t吨 2 = ⏴ T型 ⏴ x个 ,
ρ 一个 ⏴ 2 w个 ⏴ t吨 2 = ⏴ 问 ⏴ x个 + T型 ⏴ 2 w个 ⏴ x个 2 − q个 x个 , t吨 ,
ρ 我 ⏴ 三 w个 ⏴ x个 ⏴ t吨 2 = 问 − ⏴ 米 ⏴ x个 ,
其中应力合力定义为：
问 , T型 , 米 = ∫ 0 一个 τ ¯ x个 z（z） , σ ¯ x个 x个 , z（z） σ ¯ x个 x个 d日 一个 ,
哪里问,T型和米分别是横向力、轴向力和弯矩。 τ ¯ x个 z（z） 和 σ ¯ x个 x个 是剪切和法向应力分量。纵向惯性 ⏴ 2 u个 ⏴ t吨 2 基于对连续系统非线性振动的讨论，可以忽略不计[41,42]，然后是轴向法向力T型可以表示为：
T型 = F类 余弦 Ω t吨 + E类 一个 2 L（左） ∫ 0 L（左） ⏴ w个 ⏴ x个 2 d日 x个 .
假设轴向力是周期性和时间相关的，并结合方程（7）和（11），得到分数阶粘弹性Pasternak型基础上纳米梁的横向位移非线性振动方程如下：
ρ 一个 ⏴ 2 w个 ⏴ t吨 2 − ρ 我 ⏴ 4 w个 ⏴ x个 2 ⏴ t吨 2 − F类 余弦 Ω t吨 + E类 一个 2 L（左） ∫ ⏴ w个 ⏴ x个 2 d日 x个 ⏴ 2 w个 ⏴ x个 2 + k个 w个 + c（c） ⏴ w个 ⏴ t吨 − μ e（电子） + μ v（v） D类 t吨 α ⏴ 2 w个 ⏴ x个 2 + E类 我 ⏴ 4 w个 ⏴ x个 4 − μ ⏴ 2 ⏴ x个 2 ρ 一个 ⏴ 2 w个 ⏴ t吨 2 − ρ 我 ⏴ 4 w个 ⏴ x个 2 ⏴ t吨 2 + μ ⏴ 2 ⏴ x个 2 F类 余弦 Ω t吨 + E类 一个 2 L（左） ∫ ⏴ w个 ⏴ x个 2 d日 x个 ⏴ 2 w个 ⏴ x个 2 − μ ⏴ 2 ⏴ x个 2 k个 w个 + c（c） ⏴ w个 ⏴ t吨 − μ e（电子） + μ v（v） D类 t吨 α ⏴ 2 w个 ⏴ x个 2 = 0 ,
哪里F类是轴向载荷的振幅 Ω 是此负载的频率。以下无量纲量旨在研究一般形式的问题：
x个 ¯ = x个 L（左） , w个 ¯ = w个 L（左） , t吨 ¯ = t吨 L（左） 2 E类 我 ρ 一个 , η 2 = μ L（左） 2 , K（K） = k个 L（左） 4 E类 我 , ε C类 = c（c） L（左） 4 ρ 一个 E类 我 , K（K） P（P） = μ e（电子） L（左） 2 E类 我 , ε F类 ¯ = F类 L（左） 2 E类 我
ε C类 P（P） = μ v（v） L（左） 2 1 − α ρ 一个 1 2 α E类 我 1 2 2 − α , δ = 我 一个 L（左） 2 .
无量纲方程（14）和（15）可以表示为：
⏴ 2 w个 ¯ ⏴ t吨 ¯ 2 − δ ⏴ 4 w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 ⏴ t吨 ¯ 2 − ϵ F类 ¯ 余弦 Ω ¯ t吨 ¯ + 1 2 ϵ ∫ ⏴ w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 d日 x个 ¯ ⏴ 2 w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 + K（K） w个 ¯ + ϵ C类 ⏴ w个 ¯ ⏴ t吨 ¯ + K（K） P（P） + ϵ C类 P（P） D类 t吨 ¯ α ⏴ 2 w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 + ⏴ 4 w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 4 − η 2 ⏴ 2 ⏴ x个 ¯ 2 ⏴ 2 w个 ¯ ⏴ t吨 ¯ 2 − δ ⏴ 4 w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 ⏴ t吨 ¯ 2 + η 2 ⏴ 2 ⏴ x个 ¯ 2 ϵ F类 ¯ 余弦 Ω ¯ t吨 ¯ + 1 2 ϵ ∫ ⏴ w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 d日 x个 ¯ ⏴ 2 w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 − η 2 ⏴ 2 ⏴ x个 ¯ 2 K（K） w个 ¯ + ϵ C类 ⏴ w个 ¯ ⏴ t吨 ¯ + K（K） P（P） + ¦Β C类 P（P） D类 t吨 ¯ α ⏴ 2 w个 ¯ ⏴ x个 ¯ 2 = 0 ,
在哪儿K（K）和C类表示无量纲刚度和粘度介质， K（K） P（P） 和 C类 P（P） 表示无量纲剪切弹性和粘度系数， F类 ¯ 表示轴向载荷的无量纲振幅 η , w个 ¯ 和 t吨 ¯ 分别以无量纲形式表示非局部参数、横向位移和时间。小簿记参数 ϵ 与其他项相比，用于强调横向变形、粘度系数和张力波动。
边界条件的无量纲形式可以表示为
简单案例：
w个 ¯ 0 = 0 , w个 ¯ 1 = 0 , w个 ¯ ″ 0 = 0 , w个 ¯ ″ 1 = 0 ;
夹紧式外壳：
w个 ¯ 0 = 0 , w个 ¯ 1 = 0 , w个 ¯ ′ 0 = 0 , w个 ¯ ′ 1 = 0 .

控制方程的求解

无量纲分数阶非线性偏微分方程方程（16）描述了放置在分数阶粘弹性地基上的纳米梁在周期性轴向载荷影响下的横向振动。为了获得问题的一阶渐近近似解，将采用多尺度摄动方法。通过应用Galerkin方法，我们假设渐近近似解的形式如下：
w个 ¯ x个 ¯ , t吨 ¯ = q个 t吨 ¯ ϕ x个 ¯ ,
在哪儿 q个 t吨 ¯ 是未知时间函数 ϕ x个 ¯ 是由边界条件确定的线性振型。方程（17）和（18）的线性振型如下所示：
ϕ x个 ¯ = c（c） 1 经验 我 α 1 x个 ¯ + c（c） 2 经验 我 α 2 x个 ¯ + c（c） 三 经验 我 α 三 x个 ¯ + c（c） 4 经验 我 α 4 x个 ¯ .
应用边界条件和常数 c（c） 我 和 α 我 可以获得。线性第一频率的振型绘制于图2和图3.
将方程（19）引入方程（16），将结果乘以线性振型函数 ϕ x个 ¯ 然后将它们积分到纳米梁的长度上，我们得到一个分数阶非线性常微分方程，表示为：
d日 2 q个 d日 t吨 ¯ 2 + ϵ C类 ˜ d日 q个 d日 t吨 ¯ + w个 0 2 + ¦Β γ F类 ¯ 余弦 Ω ¯ t吨 ¯ q个 + 1 4 ϵ χ q个 三 + ϵ C类 ˜ P（P） d日 α q个 d日 t吨 ¯ α = 0 ,
哪里 w个 0 是线性系统的固有频率， C类 ˜ 和 C类 ˜ P（P） 为正常阻尼比和剪切阻尼比， χ 是减小的非线性刚度，以及 γ 是常数：
w个 0 2 = K（K） 一 1 − η 2 一 2 + K（K） P（P） − 一 2 + η 2 一 三 + 一 三 一 1 − η 2 一 2 + δ − 一 2 + η 2 一 三 , C类 ˜ = C类 一 1 − η 2 一 2 一 1 − η 2 一 2 + δ − 一 2 + η 2 一 三 , γ = 一 2 − η 2 一 三 一 1 − η 2 一 2 + δ − 一 2 + η 2 一 三 , χ = 2 一 4 − 一 2 + η 2 一 三 一 1 − η 2 一 2 + δ − 一 2 + η 2 一 三 , C类 ˜ P（P） = C类 P（P） − 一 2 + η 2 一 三 一 1 − η 2 一 2 + δ − 一 2 + η 2 一 三 , 一 1 , 一 2 , 一 三 , 一 4 = ∫ 0 L（左） ϕ 2 , ϕ ϕ ′ , ϕ ϕ 我 V（V） , ϕ ′ 2 .
方程（21）是一种新的参数形式；由于分数阶项的存在，7激励Duffing微分方程。为了确定非线性、参数激励和分数阶阻尼共同作用下的渐近近似解，我们将应用多尺度方法。可以引入一个简单的渐近展开式：
q个 t吨 ¯ ; ϵ = ϵ 0 q个 0 T型 0 , T型 1 + ϵ 1 q个 1 T型 0 , T型 1 ,
哪里 T型 0 = t吨 ¯ 和 T型 1 = ϵ t吨 ¯ 表示快速和低时间尺度。快速时间尺度与线性未扰动系统相关，而慢速时间尺度的特征是在可能发生共振的情况下调制振幅和相位。表示 D类 0 = ⏴ / ⏴ T型 0 , D类 1 = ⏴ / ⏴ T型 1 普通时间导数可以转换为偏导数，如下所示：
d日 d日 t吨 = D类 0 + ϵ D类 1 , d日 2 d日 t吨 2 = D类 0 2 + 2 ϵ D类 0 D类 1 , d日 d日 t吨 α = D类 0 α + ϵ α D类 0 α − 1 D类 1 + … ,
将方程（23）和（24）插入方程（21）中，我们得到以下关系式：
ϵ 0 : D类 0 2 q个 0 + ω 0 2 q个 0 = 0 ,
ϵ 1 : D类 0 2 q个 1 + ω 0 2 q个 1 = − 2 D类 0 D类 1 q个 0 − C类 ˜ P（P） D类 0 α q个 0 − C类 ˜ D类 0 q个 0 − 1 4 χ q个 0 三 + γ F类 ¯ 余弦 Ω ¯ T型 0 ,
通过求解一阶展开得到基频，通过求解二阶展开得到可解条件。一阶方程的解如下：
q个 0 T型 0 , T型 1 = 一个 T型 1 经验 我 ω 0 T型 0 + 一个 ¯ T型 1 经验 − 我 ω 0 T型 0 ,
哪里 我 = − 1 ,一个是慢时间尺度的复杂函数 一个 ¯ 是复共轭。假设励磁频率接近系统的一个固有频率；该激励频率的无量纲形式可以写成：
Ω ¯ = ω 0 + ϵ σ ,
哪里 σ 是一个失谐参数。将方程（26）代入二阶展开式，并使用无量纲形式的激励频率屈服：
D类 0 2 q个 1 + ω 0 2 q个 1 = − 2 我 ω 0 D类 1 一个 + 1 2 C类 ˜ 一个 经验 我 ω 0 T型 0 − 三 4 χ 一个 2 一个 ¯ + 我 ω 0 α C类 ˜ P（P） 一个 + 1 2 γ 一个 ¯ F类 ¯ 经验 σ T型 1 经验 我 ω 0 T型 0 + c（c） c（c） + N个 S公司 T型 ,
哪里 c（c） c（c） 和 N个 S公司 T型 分别表示复共轭项和非长期项。方程（28）的可解性条件如下：
2 我 ω 0 D类 1 一个 + 1 2 C类 ˜ 一个 + 三 4 χ 一个 2 一个 ¯ + 我 ω 0 α C类 ˜ P（P） 一个 + 1 2 γ 一个 ¯ F类 ¯ 经验 σ T型 1 = 0 .
考虑实际振幅一和相位 β ，复振幅一个可以写为：
一个 = 一 T型 1 经验 我 β T型 1 .
然后，振幅和相位调制方程为：
D类 1 一 + 1 2 C类 ˜ 一 + 1 2 ω 0 α − 1 C类 ˜ P（P） 一 罪 α π 2 + 1 4 γ 一 F类 ¯ ω 0 罪 ψ = 0 ,
D类 1 β − 三 χ 8 ω 0 一 2 − 1 2 ω 0 α − 1 C类 ˜ P（P） 余弦 α π 2 − 1 4 γ F类 ¯ ω 0 余弦 ψ = 0 ,
在哪儿 ψ = σ T型 1 − 2 β 是新的相位角。在稳定情况下，方程（31）将在下一节中求解。

4.数值结果

本节给出了频率的数值示例。将评估不同边界条件下的线性基频，并在稳态情况下评估自由振动的分数阶非线性频率。为了证明所提出研究的正确性，我们将获得的结果与Mustapha和Zhong提出的结果进行了比较[17]、横山由纪夫[43]和Togun等人[28]. 进行了详细的参数研究，以研究系统参数的影响，如刚度、阻尼、，在简单边界条件下，利用微扰法得到了纳米梁的一维分数阶非线性固有频率的非局部参数和分数阶参数以及频率响应曲线。对于自由振动 F类 ¯ = 0 ，在稳态情况下，我们得到：
D类 1 一 = 0 ⇒ 一 = 一 0 .
通过将方程（32）引入方程（31b），我们得到：
β T型 1 = 三 χ 8 ω 0 一 0 2 + 1 2 ω 0 α − 1 C类 ˜ P（P） 余弦 α π 2 T型 1 + β 0 ,
哪里 一 0 和 β 0 是由初始条件确定的常数的稳态实际振幅和相位。将所得结果引入方程（26）中，得出一阶振动响应：
q个 0 T型 0 , T型 1 = 一 0 经验 我 三 χ 8 ω 0 一 0 2 + 1 2 ω 0 α − 1 C类 ˜ P（P） 余弦 α π 2 ϵ t吨 ¯ × 经验 我 ω 0 t吨 ¯ + β 0 + c（c） c（c） ,
因此，分数阶非线性频率为：
ω n个 我 α = ω 0 + D类 1 β = ω 0 + ϵ 三 χ 8 ω 0 一 0 2 + ϵ 1 2 ω 0 α − 1 C类 ˜ P（P） 余弦 α π 2 ,
哪里 λ = 三 χ 8 ω 0 是非线性校正系数，第三项是由分数阶阻尼项引起的固有频率校正。在稳态时， D类 1 一 = 0 和 D类 1 ψ = 0 失谐参数或幅频响应如下：
σ = 三 χ 4 ω 0 一 0 2 + ω 0 α − 1 C类 ˜ P（P） 余弦 α π 2 ± 1 4 γ 2 F类 ¯ 2 ω 0 2 − C类 ˜ + ω 0 α − 1 C类 ˜ P（P） 罪 α π 2 2 .

验证研究

文献中关于放置在Winkler–Pasternak粘弹性基础上的非线性非局部纳米梁的研究非常有限。为了验证分数阶动态非线性非局部纳米梁在简单边界条件下的幅频响应分析结果，我们比较了Mustapha和Zhong提出的结果[17]、横山由纪夫[43]和Togun等人[28]. 让我们考虑自由振动的情况，只考虑经典阻尼的影响 ( α = 1 ) ; 因此，方程（35）和（36）中没有对固有频率进行分数阶修正，然后，我们认识到非线性频率和失谐参数的常见形式：
ω n个 我 = ω 0 1 + ϵ 三 χ 8 ω 0 2 一 0 2 ,
σ = 三 χ 4 ω 0 一 0 2 ± 1 4 γ 2 F类 ¯ 2 ω 0 2 − μ 2 ,
哪里 λ = 三 χ 8 ω 0 是非线性校正系数 μ = C类 ˜ + C类 ˜ P（P） 阻尼系数。穆斯塔法和钟的作品[17]研究了基于Pasternak型基础上非局部瑞利梁的非均匀单壁碳纳米管。横山由纪夫[43]研究了Winkler–Pasternak地基上经典Euler–Bernouilli梁的自由横向振动，Togun等人[28]利用Euler–Bernouilli梁理论研究了Winkler–Pasternak地基上非局部纳米梁的非线性振动。为了验证本研究的正确性，进行了对比研究。为此，将我们在Winkler–Pasternak基础上放置的纳米梁在简单边界条件下的局部情况的线性频率与Mustapha和Zhong的工作进行了比较[17]、横山由纪夫[43]和Togun等人[28]. 可以从中看到表1和表2这四个结果之间有很好的协调性。
图4显示了非局部参数对分数非线性频率的影响；我们观察到，随着非局部参数的增加，固有频率降低。前三种振动模式的分数非线性频率随振幅的变化如所示图5; 该图表明，分数阶非线性频率随着模式数的增加而增加。
在图6,图7和图8对于第一振型，显示了系统参数不同值的分数非线性频率与振幅的关系。图6显示了Pasternak参数的效果 K（K） 第页 在分数阶非线性频率-振幅曲线上，我们可以在图中观察到分数阶非线性频度随着 K（K） 第页 .英寸图7分数阶非线性频率也随着Winkler刚度参数的增加而增加K（K）.英寸图8分数阻尼系数不同值的分数非线性频率与振幅 C类 第页 我们可以注意到，分数阶非线性频率随着分数阶阻尼系数的增加而缓慢增加。这是正常的，因为分数非线性频率与 C类 第页 此外，硬化行为可以在图6,图7和图8因为分数阶非线性频率随着振幅的增加而增加。
频率响应曲线如所示图9对于不同的无量纲非线性系数值。在该图中，实际观察到非线性。在图10,图11和图12分数贡献频率与Winkler参数K（K）和非局部参数 η 对于不同的分数参数值 α 如图所示。可以从中看到图10,图11和图12当非局部参数增加时，分数贡献频率增加并达到恒定的最大值。对于非局部参数的小值，分数贡献迅速增加，但对于高值，该贡献是恒定的。
在图13和图14分数贡献频率与Pasternak参数 K（K） 第页 和非局部参数 η 分数参数不同值的曲线 α 绘制。观察到分数贡献的变化取决于非局部参数的变化区间 η 。对于较小的值 η ，分数贡献增加，但对于高值 η ，此部分贡献减少。
在图15,图16和图17分数贡献频率与分数阻尼系数 C类 第页 和非局部参数 η 曲线显示了分数参数的不同值 α 可以看出，当 C类 第页 增加。在所有这些观察之前，通常很容易说，每个系统参数都对纳米梁的固有频率有显著影响，尤其是分数参数和分数阻尼系数。

5.结论

在本研究中，利用分数阶导数研究了分数阶粘弹性Winkler–Pasternak地基上纳米梁的非线性振动。为此，采用了Eringen的非局部弹性理论、von Karman几何非线性和Euler–Bernouilli梁理论。采用D’Alembert原理推导控制方程。在求解过程中，利用Galerkin格式，首先将分数阶积分-偏微分控制方程简化为含时分数阶常微分方程。这个新方程称为分数阶非线性Duffing方程，然后用多尺度法求解。对系统参数进行了详细的参数研究，得到了Winkler刚度参数、Pasternak刚度参数和非局部参数、非线性系数、分数阻尼系数和分数参数对纳米梁分数非线性频率的影响。研究发现，分数阶非线性频率随着非局部参数的增加而减小。此外，当Winkler参数、Pasternak参数、模态、分数阻尼系数和振幅增加时，分数非线性频率增加。进一步发现，系统的各个参数对分数贡献频率都有显著影响。

作者贡献

所有作者都对本文中的工作做出了广泛贡献。G.J.E.和B.G.得到了方程，画出了数字，并写下了主要论文。所有作者讨论了结果和含义，并在各个阶段对手稿进行了评论。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：
CNT公司碳纳米管
SDCNT公司单壁碳纳米管
DWCNT公司双壁碳纳米管

工具书类

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分形02 00021 g001 550
图1。不同梁支座的边界条件。(一)简单案例和(b条)夹紧的箱子。
图1。不同梁支撑的边界条件。(一)简单案例和(b条)夹紧的箱子。
分形02 00021 g001
分形02 00021 g002 550
图2。简单情况边界条件的前三个振动振型。
图2。简单情况边界条件的前三个振动振型。
分形02 00021 g002
分形02 00021 g003 550
图3。夹持壳体边界条件的前三个振动模态形状。
图3。夹持壳体边界条件的前三个振动模态形状。
分形02 00021 g003
分形02 00021 g004 550
图4。分数阶非线性频率的前三个模态和非定域性 η ( α = 0.5 , K（K） = 5 , K（K） 第页 = 2 , C类 第页 = 0.001 ).
图4。分数阶非线性频率的前三个模态和非定域性 η ( α = 0.5 , K（K） = 5 , K（K） 第页 = 2 , C类 第页 = 0.001 ).
分形02 00021 g004
分形02 00021 g005 550
图5。分数阶非线性频率与振幅的前三种模式( α = 0.5 , K（K） = 5 , K（K） 第页 = 2 , C类 第页 = 0.001 , η = 0.5 ).
图5。分数阶非线性频率与振幅的前三种模式( α = 0.5 , K（K） = 5 , K（K） 第页 = 2 , C类 第页 = 0.001 , η = 0.5 ).
分形02 00021 g005
分形02 00021 g006 550
图6。不同值的分数非线性频率与振幅 K（K） 第页 ( α = 0.5 , K（K） = 100 , C类 第页 = 0.001 , η = 0.5 ).
图6。不同值的分数非线性频率与振幅 K（K） 第页 ( α = 0.5 , K（K） = 100 , C类 第页 = 0.001 , η = 0.5 ).
分形02 00021 g006
分形02 00021 g007 550
图7。不同值的分数非线性频率与振幅K（K）( α = 0.5 , K（K） 第页 = 5 , C类 第页 = 0.001 , η = 0.5 ).
图7。不同值的分数非线性频率与振幅K（K）( α = 0.5 , K（K） 第页 = 5 , C类 第页 = 0.001 , η = 0.5 ).
分形02 00021 g007
分形02 00021 g008 550
图8。不同值的分数非线性频率与振幅 C类 第页 ( α = 0.5 , K（K） 第页 = 5 , K（K） = 100 , η = 0.5 ).
图8。不同值的分数非线性频率与振幅 C类 第页 ( α = 0.5 , K（K） 第页 = 5 , K（K） = 100 , η = 0.5 ).
分形02 00021 g008
分形02 00021 g009 550
图9。不同值的频率响应曲线与振幅 χ ( α = 1 , C类 = 0.025 , C类 第页 = 0.025 , w个 哦 = 1 , F类 ¯ = 0.2 ).
图9。不同值的频率响应曲线与振幅 χ ( α = 1 , C类 = 0.025 , C类 第页 = 0.025 , w个 哦 = 1 , F类 ¯ = 0.2 ).
分形02 00021 g009
分形02 00021 g010 550
图10。分数贡献频率与刚度K（K）和非局部性 η ( α = 0.2 ).
图10。分数贡献频率与刚度K（K）和非局部性 η ( α = 0.2 ).
分形02 00021 g010
分形02 00021 g011 550
图11。分数贡献频率与刚度K（K）和非局部性 η ( α = 0.5 ).
图11。分数贡献频率与刚度K（K）和非局部性 η ( α = 0.5 ).
分形02 00021 g011
分形02 00021 g012 550
图12。分数贡献频率与刚度K（K）和非局部性 η ( α = 0.8 ).
图12。分数贡献频率与刚度K（K）和非局部性 η ( α = 0.8 ).
分形02 00021 g012
分形02 00021 g013 550
图13。分数贡献频率与刚度 K（K） 第页 和非局部性 η ( α = 0.2 ).
图13。分数贡献频率与刚度 K（K） 第页 和非局部性 η ( α = 0.2 ).
分形02 00021 g013
分形02 00021 g014 550
图14。分数贡献频率与刚度的关系 K（K） 第页 和非局部性 η ( α = 0.5 ).
图14。分数贡献频率与刚度 K（K） 第页 和非局部性 η ( α = 0.5 ).
分形02 00021 g014
分形02 00021 g015 550
图15。分数贡献频率与分数阻尼系数 C类 第页 和非局部性 η ( α = 0.2 ).
图15。分数贡献频率与分数阻尼系数 C类 第页 和非局部性 η ( α = 0.2 ).
分形02 00021 g015
分形02 00021 g016 550
图16。分数贡献频率与分数阻尼系数 C类 第页 和非局部性 η ( α = 0.5 ).
图16。分数贡献频率与分数阻尼系数 C类 第页 和非局部性 η ( α = 0.5 ).
分形02 00021 g016
分形02 00021 g017 550
图17。分数贡献频率与分数阻尼系数 C类 第页 和非局部性 η ( α = 1 ).
图17。分数贡献频率与分数阻尼系数 C类 第页 和非局部性 η ( α = 1 ).
分形02 00021 g017
表
表1。简单边界条件下Winkler–Pasternak地基上局部Euler–Bernouilli梁的前五个无量纲固有频率( η = 0 , δ = 0 , K（K） = 25 , K（K） 第页 = 25 ) .
表1。简单边界条件下Winkler–Pasternak地基上局部Euler–Bernouilli梁的前五个无量纲固有频率( η = 0 , δ = 0 , K（K） = 25 , K（K） 第页 = 25 ) .
模式出席参考[28]参考[17]参考[43]
119.213319.213319.217819.21
250.700250.700250.780450.71
三100.6767100.677--
4170.0281170.028--
5258.9868258.987--
表
表2。简单边界条件下Winkler–Pasternak地基上局部Euler–Bernouilli梁的前五个无量纲固有频率( η = 0 , δ = 0 , K（K） = 36 , K（K） 第页 = 36 ) .
表2。简单边界条件下Winkler–Pasternak地基上局部Euler–Bernouilli梁的前五个无量纲固有频率( η = 0 , δ = 0 , K（K） = 36 , K（K） 第页 = 36 ) .
模式出席参考[28]参考[17]参考[43]
122.106922.106922.1112-
254.916054.91655.1873-
三105.4698105.47--
4175.0932175.093--
5264.1956264.196--

分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

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芝加哥/图拉比安风格

Eyebe、Guy Joseph、Gambo Betchwe、Alidou Mohamadou和Timoleon Crepin Kofane。2018.“位于分数阶粘弹性Pasternak地基上的非局部纳米梁的非线性振动”分形和分数第2、3、21页。https://doi.org/10.3390/fractalfract2030021

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