1.简介
为了描述非牛顿现象，例如沥青等岩土材料或眼睛中的玻璃体等生物材料所显示的应力松弛、非线性蠕变和正应力差异，通常使用速率型粘弹性流体模型。这些材料表现出一种以上的松弛机制（参见Narayan等人[1]，Sharif-Kashani等人[2])这可以通过实验研究中观察到的不同弛豫时间来确定。不止一个弛豫时间的存在排除了经典麦克斯韦模型（最初由麦克斯韦提出[三]或Oldroyd-B模型（参见Oldroycd[4]他根据自己的考虑，发展了第一个通用的系统三维理论，以开发适当的框架（不同速率类型的粘弹性模型）。另一方面，在蠕变或应力松弛试验中，材料响应中存在多重松弛时间，可以用高阶速率型流体模型很好地描述。能够描述两种不同松弛时间的高阶模型的一个例子是Burgers模型。对于沥青，Monismith和Secor[5]，Narayan等人[1]和Málek等人[6]谢里夫·卡沙尼等人（Sharif-Kashani et al[2]相关实验数据也使用了Burgers模型。 Burgers提出的模型[7]在一个空间维度中，可以与多达四个不同的机械系统（由弹簧和阻尼器组成）相关联。Maxwell流体模型和Kelvin–Voigt固体模型是Burgers模型的特例（参见图1). 应力之间的关系和应变对于这个一维模型，满足二阶微分方程其中常量参数可以用剪切模量表示,和粘度,。我们也可以考虑两个麦克斯韦元件并联的系统，参见图2a、 给出了与中相同的本构关系(1). 由于许多材料具有一些额外的粘性耗散（例如，与水等离子体的特性相连接），因此最好并联添加一个额外的缓冲罐（参见图2b） ●●●●。中所示设置的可能概括图2b到三维的读数为哪里是柯西应力，是恒等式张量，并且是与流体不可压缩这一事实相关的标量（注意第页仅仅是压力的不确定部分，符号给人的印象是压力，一个不易理解的术语，参见[8]. 我们继续使用这个符号第页因为它是一种传统的符号。）。符号表示上对流Oldroyd导数，是速度和是速度梯度的对称部分（请参阅下一节中介绍的运动学量的定义）。然而，这些本构方程存在一些微妙的问题。首先，从一维力学模拟到三维模型的推广并不是唯一的，原则上，可以使用其他客观导数，例如Jaumann–Zaremba或Gordon–Schowalter，代替上对流Oldroyd导数。其次，形式的概括并不明显(2)满足热力学第二定律。 为了克服这些问题，Rajagopal和Srinivasa[9]提出了一种推导热力学一致的粘弹性速率型流体模型的方法。他们的推导基于这样一个概念，即当身体产生熵时，与身体相关的自然形态会进化。随着物体变形而演变的自然形态的存在，允许人们将总变形分解为与纯弹性响应和耗散响应相关的变形。然后通过规定两个标量的两个本构关系：亥姆霍兹自由能（或吉布斯势）描述了物体的弹性响应和熵产生率他们得到了柯西应力张量的形式包括它的演化方程。后来，这种方法被用来推广Burgers的模型（Rajagopal和Srinivasa[10]克里希南和拉贾戈帕尔[11]克里希南和拉贾戈帕尔[12]Karra和Rajagopal[13]，Málek等人[14]). 这些研究中使用的一个新想法是将两种不同的松弛时间与两种不同潜在的自然配置联系起来。即使获得的复杂模型与模型并不完全一致(2)结果表明，当自然位形和当前位形之间的弹性响应线性化时，所有这些模型都简化为模型(2). 乍一看，这可能表明经典的伯格模型本身是一种近似模型，而不是一种合适的模型。 本研究的第一个目的是展示该模型(2)可以直接获得，无需任何额外的线性化或通过简化更复杂的模型。在这方面，我们遵循最近的一项研究Málek等人[15]其中，我们展示了如何使用基于自然构型概念的热力学方法推导经典Maxwell和Oldroyd-B模型。使分析成为可能的基本步骤如下。Maxwell、Oldroyd和Burgers的标准模型通常涉及不可压缩材料。这意味着所有允许的变形必须是等容的。由于引入自然构型的概念，可以将任何过程从演化的自然构型和描述自然构型（不可逆）变化的耗散过程中分离为弹性响应，因此，如果整个过程是等容的，那么要求这样做似乎是合理的，那么它的瞬时弹性部分也是等容的。然而，Málek等人[6]发现，如果他们放弃弹性和耗散响应均为等容响应的要求，只要求复合响应为等容，那么他们就能够在不使用任何近似的情况下发展Maxwell和Oldroyd-B模型。我们建议读者参考[15]以详细讨论此问题。以下[15]在这项研究中，我们将要求总变形过程是等容的，而其瞬时弹性部分和纯耗散部分不一定是等容的。 亥姆霍兹能量的本构假设和熵产生率以简单的方式提供先验能量估算（参见示例[16,17])，得出温度演化方程的正确完整形式([18])并自动保证静止状态的稳定性。此外，与此类复杂系统相关联的李亚普诺夫泛函的知识有助于构造一个距离测度，该距离测度可用于研究稳态的稳定性、两个解（正则解和弱解、离散解和连续解）之间的误差等（参见[19,20,21,22]). 广义Burgers模型是使用两种自然配置获得的，这两种配置产生了Cauchy应力张量部分的两个一阶微分方程组。这立即提供了两条信息。首先，由于其物理解释清晰，更容易提供适当的初始条件。否则，对于经典的二阶微分方程(2)，我们需要为未知及其导数提供初始条件，这是一项困难的任务[23]). 其次，拆分为两个对称的一阶方程使得Burgers模型的数值实现更容易，因为如果没有这样的拆分，则很难在数值上实现标准的二阶方程（参见Hron等人[24]，Málek等人[14]，Tůma等人[25]). 本文的第二个目的是开发一种新的粘弹性速率型流体模型层次，即Maxwell型、Oldroyd-B型和Burgers型。这是通过修改对应于经典Burgers模型的熵产生率来实现的。此外，通过仅限制一个自然构型，我们还获得了Maxwell和Oldroyd-B型模型的新变体，这取决于一个额外的标量参数。
本文的结构如下。在第2节，我们引入了基本的运动学量，用于区分运动学设置是由两个（参考、电流）、三个（参考，电流、自然）还是四个（基准、电流和两个自然）配置组成。我们还描述了本研究中使用的热力学框架，并通过举例说明其有效性；这些示例也激发了中假设的本构方程的形式第3节和第4节.英寸第3节，我们首先回顾如何推导一阶三维粘弹性速率型流体模型（Maxwell、Oldroyd-B、Giesekus），同时确保这些模型符合热力学第二定律。然后，我们将此方法推广到更一般的一类粘弹性速率型流体模型。最后一节将进行类似的讨论，但在二阶粘弹性速率型流体模型的背景下，以及Burgers模型的几个变体的发展。 2.运动学和热力学方法
2.1. 运动量
让，其中是固定的，表示时间并让B类表示抽象的三维物体。让我们，为了任何,表示绘制地图的砂矿B类到配置中。为了方便起见，我们确定了初始配置使用参考配置并写入（或者简单地说)而不是，而（或)将始终表示当前配置（请参见图3). 砂矿应该是一对一和全家人称为运动（参见[26]详细讨论这些概念）。然后介绍映射通过设置基本的运动学量，即变形梯度和速度通过定义 符号表示（不一定是张量）量的材料时间导数.让表示张量的转置然后，通过定义左右柯西-格林张量 我们还将介绍对称和反对称部分的标准符号L（左）通过： 请注意，它来自于关系(5)–(7)那个哪里是张量的轨迹即。，.张量的引入，符号中的第一个身份(8)可以重写为 在这项研究中，我们仅限于那些体积保持的过程，这意味着因此 设置为一种自然配置。接下来是[9]，可以将配置与当前配置关联（或很快)分裂了整个变形进入其纯弹性部分和零件G公司与变形过程中所有不可逆变化相关，因此 配置称为自然构型。注意，如果，其中是恒等式张量，那么,以及两者之间的响应和具有弹性。另一方面，如果（或单位张量的标量乘数），则.
通过此扩展设置，可以引入对应于通过 设置为两种自然配置。相互作用连续统理论（混合物理论）的关键概念是假设混合物的每个组成部分在均质意义上共占混合物的每个点（参见示例[28,29]). 这里，这一思想被应用于自然构型的概念，要求有两种共存的自然构型和与当前配置关联（请参见图5). 在一种自然配置的情况下，我们以与之前相同的方式进行设置,然后得出结论, 2.2. 热力学框架
我们简要描述了我们将在以下章节中纳入的框架，以导出几类速率型粘弹性流体模型。有关更多详细信息，请参阅[10,17,27]. 框架的基本设置由一组平衡方程（质量、线性和角动量以及能量，由热力学第二定律的公式完成）概述，其形式如下 在这里，是密度，是柯西应力，e（电子）是内能，是熵，是能量通量，是熵通量，是熵产生率，是给定作用力的比密度表示重要的时间导数。
在本研究中，我们仅限于等温过程，其中温度是常量，并且介绍亥姆霍兹自由能，平衡方程（20）简化为 接下来，我们陈述了关于材料如何通过选择存储能量的假设表单的哪里是状态变量。插入(22)在（21c）中，使用平衡方程和运动学，最终得到恒等式其中（产品形式的）每个摘要)代表了一种不同的耗散机制。请注意出现在的右侧提供的表达式中(23). 为了保证，我们可以通过两种方式进行。要么我们联系和以这种方式使产品是，每个，总是非负的，我们阅读了根据这些关系，或者我们假设本构假设关于材料如何在形式上耗散能量我们确定了通过最大化关于前提是在这里和对称且可以互换，另请参见下文（PA）与（PB）。如果为平方英寸，则这两个过程都会导致相同的本构方程. 由于粘弹性流体同时表现出粘性和弹性响应，我们认为，在继续开发复杂的粘弹性模型之前，展示如何获得在热力学过程背景下表现出此类响应的模型是很有意义的。鉴于此，我们描述了如何获得既具有弹性又具有粘性的可压缩Navier–Stokes流体模型，以及具有纯弹性行为的可压缩新胡克固体，Kelvin–Voigt固体表现出粘弹性行为，但结构相当简单，因此热力学过程清晰易懂。请注意，当体积粘度和剪切粘度设置为零时，弹性体的理想流体代表一类特殊的可压缩Navier–Stokes流体。
可压缩Navier–Stokes流体。假设然后，通过应用质量平衡，我们得到（21c）哪里,和注意，我们已经表示在表单中，其中,,,第一项和对应于各种等容形式的耗散（如剪切），而第二项对应于与体积变化相关的耗散。需要这样做我们获得 如果我们执行约束最大化，也可以获得相同的本构方程： 关于引入拉格朗日函数L（左）通过在最大值处考虑的必要条件阅读 前提是，这些条件导致方程式：在代入导数后，其形式为 （31a）乘以取（31b）的标量积将这些结果相加，我们得出结论 将（32）插入（31a）和（31b），我们得到(27). 事实上，相同的本构方程(27)如果我们执行对偶约束最大化，也可以得到： 最大值的必要条件在替换了结束z（z）和阅读 （34a）乘以取（34b）的标量积，将这些结果加在一起，我们得出结论 将（35）插入（34a）和（34b），我们再次获得(27). 使用公式（参见示例[6]证明）和(8)，我们获得哪里.需要我们同时获得（因此材料具有弹性）和它描述了一种可压缩的新胡克固体。 可压缩开尔文–Voigt固体。再次假设（36）导致（37），并要求具有和，我们获得它表示可压缩Kelvin–Voigt固体的本构方程。 注意，当前配置中指定的可压缩开尔文-沃伊格特固体的控制方程系统采用以下形式 注意，如果假设粘度为和为零。
由于我们主要对本研究中的不可压缩流体感兴趣，让我们在这里描述一下之前案例的变体。如果（请参见(10))则密度一般满足输运方程 因此，沿方向不变，但可能与到在当前配置中，因为它可以随和.
不可压缩Navier–Stokes流体。如果和，然后我们以.需要具有，我们获得作为通常，符号使用而不是米这个量不是像在可压缩材料的情况下那样组成地确定的。 不可压缩的新Hookean和Kelvin–Voigt固体。自，我们假设 需要这样做，我们得到了不可压缩新胡克固体的本构方程，即。， 另一方面，假设具有，我们最终这是不可压缩Kelvin–Voigt固体的本构方程。在这里，不等于平均法向应力米而且它没有构成性规定。 3.Maxwell和Oldroyd-B模型变量的推导
在本节中，我们考虑由三种配置描述的设置：参考、电流和自然配置（请参见图4). 我们首先回顾在[6,9,27]然后提供其扩展。在本文的其余部分中，我们假设但是和G公司不满足. 将（50）插入（21c），也使用(14)和（43），我们得到 这个特性是开发大量麦克斯韦型或奥尔德罗伊德-B型模型的起点。我们说模型是麦克斯韦型的，如果并且是Oldroyd-B型，如果 可以分解耗散项偏差部分的乘积和迹线的乘积（这将区分体积变化过程和等容过程引起的耗散贡献）。我们不这样做的原因有三个。首先，深入了解这些细节往往会阻碍开发中心思想的清晰性。其次，本工作中不需要开发速率型模型。最后，感兴趣的读者可以在[27]其中，它是在一般可压缩体的背景下系统地进行的。 在[9]Rajagopal和Srinivasa治疗此案（此处放松，因此（51）不同于在中获得[9])，考虑到与首先，选择导致 关系式（54）和类似的关系式（56）是导致应力速率型方程的恒等式，如下所示。
将左边的（56）乘以从右边经过，以及召回，我们获得 回忆（52）、（53）和设定，我们得出结论我们还利用了以下事实. 模型（60）是Oldroyd-B型[4]，而（60）与是麦克斯韦模型。 另一方面，从左起将（54）乘以从右边经过和使用(14)，我们到达 再次设置我们最终会这是Giesekus的流体模型[30]. 以上两个模型都可以显示为更通用模型的特殊情况。为了显示这一点，我们设置（而不是（54）和（56）） 这导致哪里来自极性分解即。，. 显然，如果，然后我们得到了导致Giesekus模型的案例，而如果，然后我们得到Maxwell/Oldroyd-B模型，这取决于为零/正。
现在，将左边的（63）乘以从右边经过，我们终于如上所述，它概括了Maxwell、Oldroyd-B、Giesekus开发的三维模型，并将其作为特殊情况包括在内。 4.汉堡模型
最后，我们考虑一个场景，其中有两个与身体相关的进化自然配置（参见图4和运动学总结于(15)–(19)). 再次，我们假设（49）成立，并且受上一节讨论的激励，我们假设 使用将（66）插入（21c）(18), (19)和（49），我们得到 接下来，如中所示第3节，我们假设将这些关系插入到（67）中，得到 利用以下事实，其中是从极分解得到的右拉伸张量即。，，我们从（49）和（71）中得出结论：因此，. 一类Burgers模型的本构方程通过以下方式从（68）–（70）中获得。我们从左起将（69）乘以从右边经过我们还将（70）从左边乘以从右边经过.参考(18)，我们观察到方程（68）–（70）导致 接下来是[6]，我们证明了模型（74）与Burgers模型等价(2). 事实上，首先，我们定义和和。使用（74b）和（74c），我们有 将上对流Oldroyd导数应用于（75）并再次使用（74b）和（74c），我们得到 将方程式（75）乘以，将结果加到（76）中，我们得到这与(2). 同样值得一提的是，方程式（73）如何寻找: 什么时候？和，我们得到了一个模型，其中一个响应对应于Giesekus模型，另一个对应于Maxwell模型（注意，自然配置是可交换的）： 最后，我们表明，方程（68）–（70）表示本构方程最终结构的初始形式，可以使用材料如何耗散能量的知识并参考材料响应使熵产生率最大化的假设来获得。
遵循中概述的方法第2.2节，我们首先指定材料如何耗散能量。参考（71），我们设置为（71）右侧的函数。请注意凭借（72）非负，并且在,,，包括和作为参数。在本节的其余部分中，我们通过省略下标来简化注释，即。， 根据中描述的方案第2.2节，我们通过最大化确定本构方程超过一组满足哪里如（67）所示。该约束最大化是通过使用拉格朗日乘子法实现的。我们设置哪里ℓ是与约束（81）相对应的拉格朗日乘数。极值的必要条件是从而导致 取（84a）的标量积和（84a）和（84c）将这些结果相加，我们得到 现在，类似于[9]，我们证明了这一点和通勤。让有一个特征向量对应于特征值然后，具有相同的特征向量对应于特征值.替换后ℓ，我们将84b的两面应用于并获得 自是正定的，是积极的，并且具有相同特征向量的可逆性因此，也就是说也是的特征向量因此，张量和通勤后，我们得到了（69）和（70）中给出的关系，我们希望展示出来。 5.结论
Maxwell、Oldroyd和Burgers开发的描述流体粘弹性响应的模型由弹性和粘性响应组成。最近，Rajagopal和Srinivasa[9]发展了一个热力学框架，其中他们假设了两个标量函数，即储存能量和熵产生率，并进一步假设随着身体变形，熵产生率必须最大化，他们开发了粘弹性流体的非线性模型，这些模型是Maxwell、Oldroyd和Burgers提出的模型的推广。当注意力局限于不可压缩粘弹性流体时，Rajagopal和Srinivasa开发的模型[9]，当弹性响应被线性化时，在位移梯度很小的意义上，使得与位移梯度的范数相比，位移梯度的范数的平方可以被忽略，这正好导致了由Maxwell、Oldroyd和Burgers开发的模型。这可能表明Maxwell、Oldroyd和Burgers的模型只允许很小的弹性响应。在本文中，我们表明情况并非如此，只要我们允许弹性和粘性响应都是非等容的，而组合响应满足等容条件。这种假设意味着瞬时弹性等容响应和瞬时粘性响应是不可能的，因为我们假设弹性响应和粘性响应一开始就不是等容的。“过程可以是瞬时的”这一概念是一种矛盾修饰法，因为单词“过程”意味着需要时间的东西（牛津英语词典[31]将流程定义为“继续进行”，明确表示需要时间）。因此，我们不能期望任何过程都是瞬时的；然而，鉴于某些数学考虑，我们求助于使用这种过程（例如，在线性理论的背景下，这使我们能够使用拉普拉斯变换来研究对Heaviside函数的响应）。在本文中，我们已经表明，在所有其他过程中，所使用的假设导致了Maxwell、Oldroyd和Burgers开发的模型，而不必求助于弹性响应的任何近似值，也就是说，它们正是Maxwell，Oldroid和Burger开发的模型。 我们还介绍了与热力学第二定律兼容的Maxwell、Oldroyd和Burgers型模型的新推广（单参数族）。
