Heat Transfer and Fluid Circulation of Thermoelectric Fluid through the Fractional Approach Based on Local Kernel

Al Owidh, Maryam; Souayeh, Basma; Memon, Imran Qasim; Ali Abro, Kashif; Alfannakh, Huda

doi:10.3390/en15228473

开放式访问第条

基于局部核的分数方法研究热电流体的传热和流体循环

¹

沙特阿拉伯Al-Ahsa 31982，邮政信箱400，费萨尔国王大学科学院物理系

²

突尼斯El-Manar大学突尼斯科学院物理系流体力学实验室，突尼斯2092

^三

巴基斯坦Jamshoro 76062，Mehran工程技术大学基础科学及相关研究系

⁴

南非布隆方丹9401自由邦大学自然与农业科学学院地下水研究所

^*

应向其寄送信件的作者。

能源 2022,15(22), 8473;https://doi.org/10.3390/en15228473

收到的提交文件：2022年10月3日/修订日期：2022年10月27日/接受时间：2022年11月8日/发布日期：2022年11月13日

（本文属于特刊纳米颗粒在工程应用中的强化传热和流体流动特性)

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版本注释

摘要

:

当材料的固有特性直接将施加在其身体上的温差转换为电压时，就会产生热电效应。本手稿通过微分算子的非经典方法预测热电流体的最大和最佳传热效率。建立了分形数学模型，通过温度场和速度场分析热电流体的效率和特性。采用积分变换的综合分析方法和卡达诺方法，提供了包括温度分布和速度场动态研究在内的分析解。基于描述正弦波和余弦正弦波行为的磁化和反磁化理论，对热电流体的温度分布和速度场进行了动态研究。流变参数，即磁化强度，表明通过使用不同的磁场，磁化强度在热电效应期间产生34.66%的磁滞。

关键词：

热电流体循环;磁化和反磁化;积分变换与微分算子;温度预测

图形摘要

1.简介

众所周知，由于功率密度的提高，各种材料的热分析已成为各种热工业和技术的中心点。许多行业中各种功率器件的性能取决于热、光和电子感觉之间的相互作用。由于热电器件在热能传感器、超导体、航空、航天工业等众多领域的重要应用，各种热力工业和技术都希望热电器件能够获得电气和热稳定性。由于热电分析的重要应用，各种研究人员、科学家和数学家对其稳定性进行了研究。Riffat等人[1]研究了热电器件的潜在应用和热电器件的稳定性分析。Chein等人[2]分析了热电在电子冷却冷却器中的应用。他们的研究为散热器的冷却连接温度容量、系数性能和热阻提供了计算技术。Zhang等人[三]研究了高功率封装的热电制冷器性能，并找到了温度结和冷却功率的精确解。Kashif等人[4]利用拉普拉斯变换对具有多孔介质的卡森流体的精确解进行了分形分析。M.埃扎特[5]基于拉普拉斯变换，对具有磁效应的广义热电特性进行了分形分析。Wiriyasat等人[6]研究了热电模块系统，并给出了实验结果。热电性能的研究是广泛的，可以是连续的；有关更多详细信息，请参阅[7,8,9,10,11,12,13,14]. 大多数热研究的微分模型都是基于分数阶导数；这是由于它在各种应用中的动力学意义，例如计算流体动力学、粘弹性问题、生物和物理应用以及工程应用。分数算子中最具活力的性质是分数算子核的非奇异性和非局部性。由于热电问题的遗传特性，对其进行精确分析已成为众多研究人员、数学家和科学家关注的焦点。分数算符从Riemann-Liouville到Caputo，Caputo到Riemann-liouviller的修改，Riemann/Liouville到Caputo-Fabrizio的修改，Caputo-Caputo-Fabrizio，Caputo-Fabrizio到修改后的Caputo-Fabrizio和一种扩展形式的Caputo，在内核中进行修改，Caputo-Fibrizio再到Atangana-Baleanu分数运算符。最初，Abel将Riemann-Liouville分数算子应用于Tautochrone问题，其中Riemann-Liouville分数算子由于其令人反感的初始条件和边界条件而无法在研究领域发挥良好作用。Riemann-Liouville的主要缺点是基于常数的导数。然后，利用Riemann-Liouville分数阶算子克服了Caputo的分数阶导数。几位研究人员建议使用卡普托分数导数。同时，单一的内核成为该操作符的主要缺点，无法收集域的内存影响。在这种连续性中，基于非奇异指数核的断言引入了Caputo-Fabrizio分数算子[15,16]. Owolabi和Gomez-Agular[17]用傅里叶谱算法将经典微分方程组模拟为分数阶微分方程。卡德尔和萨阿德[18]采用有限差分法和谱切比雪夫配点法对分数阶Korteweg-de-Vries、Korteweg-de-Vlies-Burgers方程进行了精确的数值求解。他们将研究重点放在第三类切比雪夫多项式的收敛性分析上。对不同分数算子的研究已经被一些研究人员用于不同的科学领域；例如，化学[19,20]，生物学[21,22]，电力[23,24,25]、流体和纳米流体[26,27,28,29,30,31,32]以及最近在不同领域的一些尝试[33,34,35,36,37,38,39,40,41]. 受上述针对不同研究领域的研究启发，作者的主要目的是通过微分算子的非经典方法预测热电流体的最大和最佳传热效率。建立了一个分形数学模型，通过温度分布和速度场分析热电流体的效率和特性。利用积分变换的综合分析方法和Cardano方法，对温度场和速度场进行动态研究，以获得解析解。在反磁化磁化的基础上，对热电流体的温度分布和速度场进行了动态研究。反磁化磁化描述了正弦波和余弦正弦波的行为。流变参数表明，温差的减小增强了热电效应，从而导致热流中的温度梯度。

2.热电流体的数学建模

假设热电流体的不可压缩和不稳定流动位于

x个 z（z） -

填充非导电半空间的平面

年 > 0

.在流体和板块的初始阶段，流体和板块都被视为静止状态。当

t吨 = 0^{+}

，板具有正弦变化形式的振荡速度

u个 (0, t吨) = ℛ_{0} 秒 我 n个 (ω t吨)

完全在

x个

方向。强磁场

{H（H）}_{0}

在垂直方向上不断调用。由于流体的运动，浮力产生的电流不会扭曲外加磁场，其中

{T型}_{\infty}

是流体的温度

{T型}_{w个}

是板远离板的温度。这里，参考温度被认为是

{T型}_{0} = {T型}_{w个} - {T型}_{\infty}

，其中室温下的汤姆逊关系为

π_{0} = {T型}_{0} {k个}_{0}

，其中

π_{0}

表示珀尔贴系数和

{k个}_{0}

表示塞贝克系数。在这些假设下

年

和

z（z）

指示。采用修正欧姆定律和广义能量方程对运动方程的通常假设，当介质静止时，控制边界层方程受到适当的初始、边界和自然条件的约束：

\frac{1}{ν} \frac{\partial u个}{\partial t吨} = (\frac{\partial^{2}}{\partial 年^{2}} - \frac{{B类}_{0}^{2} σ_{0}}{ρ ν}) u个 - \frac{{B类}_{0} {k个}_{0} σ_{0}}{ρ ν} \frac{\partial T型}{\partial 年},

(1)

\frac{\partial}{\partial t吨} (1 + τ_{0} \frac{\partial}{\partial t吨}) T型 = \frac{({k个}_{0} σ_{0} π_{0} + k个)}{ρ {C类}_{第页}} \frac{\partial^{2} T型}{\partial 年^{2}} + \frac{{B类}_{0} π_{0} σ_{0}}{ρ {C类}_{第页}} \frac{\partial u个}{\partial 年},

(2)

\begin{matrix} u个 (年, 0) = T型 (年, 0) = {u个}^{'} (年, 0) = 0 \\ u个 (0, t吨) = 对_{0} 罪 (ω t吨), 对_{0} H（H） (t吨) 余弦 (ω t吨) T型 (0, t吨) = 1 \\ u个 (\infty, t吨) = 0, T型 (\infty, t吨) = {T型}_{\infty} \end{matrix}

(3)

通过调用方程（1）和（2）上的无量纲参数，然后根据Caputo-Fabrizio分数算子建立控制偏微分方程，我们得出：

{P（P）}_{第页} \frac{\partial}{\partial t吨} (1 + λ_{1} {}^{C类 F类}{D类}_{t吨}^{α}) θ = λ_{2} \frac{\partial^{2} θ}{\partial 年^{2}} + λ_{三} \frac{\partial u个}{\partial 年},

(4)

{}^{C类 F类}{D类}_{t吨}^{α} u个 = (\frac{\partial^{2}}{\partial 年^{2}} - M（M）) u个 - {K（K）}_{0} \frac{\partial θ}{\partial 年},

(5)

哪里

{}^{C类 F类}{D类}_{t吨}^{α} u个

表示Caputo-Fabrizio分数阶运算符

0 < α < 1

，如先前文献所述[42,43,44,45]. Caputo-Fabrizio分数算子的定义如下：

{}^{C类 F类}{D类}_{t吨}^{α} u个 = \frac{1}{1 - α} \int_{0}^{t吨} {u个}^{'} e（电子） x个 第页 (\frac{- α (z（z） - t吨)}{1 - α}) d日 t吨 .

(6)

方程（6）的归一化函数为

M（M） (α) = M（M） (0) = M（M） (1)

同时，温度分布和速度场的分数阶偏微分方程的参数在方程（7）中描述为：

\begin{matrix} {P（P）}_{第页} = \frac{{C类}_{第页} μ}{k个}, λ_{1} = τ_{0}, λ_{2} = (1 + Z轴 {T型}_{0}), \\ λ_{三} = \frac{ν {B类}_{0} π_{0} σ_{0}}{{T型}_{0} k个}, M（M） = \frac{{B类}_{0}^{2} ν σ_{0}}{ℛ_{0}^{2} ρ}, {K（K）}_{0} = \frac{{T型}_{0} {B类}_{0} {k个}_{0} σ_{0}}{ℛ_{0}^{2} ρ} \end{matrix},

(7)

3.通过Caputo-Fabrizio方法分析解决问题

3.1. 第一种情况：正弦波 $u个 (0, t吨) = ℛ_{0} 罪 (ω t吨)$

应用拉普拉斯变换[46,47]在偏微分方程（4）和（5）的耦合系统上，借助方程（3），我们得到如下表达式：

(\frac{\partial^{2}}{\partial 年^{2}} + λ_{4} 问 + \frac{问^{2} ϵ_{0} λ_{1} λ_{4}}{(问 + ϵ_{0} α)}) \bar{θ} = λ_{5} \frac{\partial \bar{u个}}{\partial 年},

(8)

(\frac{\partial^{2}}{\partial 年^{2}} - \frac{问 ϵ_{0}}{问 + ϵ_{0} α} - M（M）) \bar{u个} = {K（K）}_{0} \frac{\partial \bar{θ}}{\partial 年},

(9)

哪里

{¦Β}_{0} = \frac{1}{1 - α}

,

λ_{4} = \frac{{P（P）}_{第页}}{λ_{三}}

、和

λ_{5} = \frac{λ_{三}}{λ_{2}}

.为了消除

\bar{θ}

从方程（8）和（9）中，通过同时求解这两个方程，我们得到：

\frac{\partial^{4} \bar{u个}}{\partial 年^{4}} (α_{1} + α_{2} + α_{三}) + \frac{\partial^{2} \bar{u个}}{\partial 年^{2}} (β_{1} + β_{2} + β_{三} + β_{4}) - (γ_{1} + γ_{2} + γ_{三}) = 0,

(10)

现在，将方程式（10）中涉及的允许参数定义如下：

\begin{matrix} α_{1} = 问^{2}, α_{2} = 2 ϵ_{0} α 问, α_{三} = {¦Β}_{0}^{2} α^{2}, β_{1} = 问^{三} (λ_{1} λ_{4} ϵ_{0}), β_{2} = 问^{2} (λ_{4} + λ_{1} λ_{4} ϵ_{0}^{2} α - M（M） - ϵ_{0}), \\ β_{三} = 问 (λ_{4} ϵ_{0} α - 2 M（M） ϵ_{0} α - ϵ_{0}^{2} α), β_{4} = ϵ_{0}^{2} α^{2} M（M）, γ_{1} = 问^{三} (M（M） λ_{4} + M（M） λ_{1} λ_{4} ϵ_{0} + λ_{4} {¦Β}_{0} + ϵ_{0}^{2} λ_{1} λ_{4}), \\ γ_{2} = 问^{2} (M（M） λ_{1} λ_{4} ϵ_{0}^{2} α + λ_{4} ϵ_{0}^{2} α), γ_{三} = 问 (三 M（M） λ_{4} ϵ_{0} α), \end{matrix}

(11)

为了消除方程（10）中涉及的空间变量，傅里叶正弦变换[48,49]在的帮助下调用附录A（A1）–（A3），其中最终形式减少为：

\begin{matrix} (- ξ^{4} {\bar{u个}}_{秒} (ξ, 问) + \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{ℛ_{0} ξ^{三} ω}{问^{2} + ω^{2}} + \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{ℛ_{0} ξ ω^{三}}{问^{2} + ω^{2}}) (α_{1} + α_{2} + α_{三}) + (- ξ^{2} {\bar{u个}}_{秒} (ξ, 问) \\ + \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{ℛ_{0} ξ ω}{问^{2} + ω^{2}}) (β_{1} + β_{2} + β_{三} + β_{4}) - (γ_{1} + γ_{2} + γ_{三}) {\bar{u个}}_{秒} (ξ, 问) = 0 \end{matrix},

(12)

利用方程（12）中的方程（11）并简化方程（12

\begin{matrix} {\bar{u个}}_{秒} (ξ, 问) = \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{对_{0} ω ξ^{- 1}}{问^{2} + ω^{2}} \\ - 对_{0} ω \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{(对_{1} 问^{三} + 对_{2} 问^{2} + 对_{三} 问 + 对_{4}) + ξ^{2} (1 + ξ^{2}) (1 + ω^{2}) (问^{2} + 2 α β 问 + α^{2} β^{2})}{ξ (问^{2} + ω^{2}) (对_{1} 问^{三} + 对_{2} 问^{2} + 对_{三} 问 + 对_{4})}, \\ - 对_{0} ω ξ^{- 1} \sqrt{\frac{2}{π}} \frac{(对_{5} 问^{三} + 对_{6} 问^{2} + 对_{7} 问 + 对_{8})}{(问^{2} + ω^{2}) (对_{1} 问^{三} + 对_{2} 问^{2} + 对_{三} 问 + 对_{4})} \end{matrix}

(13)

式中，方程式（13）的流变学容许变量定义为：

\begin{matrix} 对_{1} = ξ^{2} λ_{1} λ_{三} β + M（M） λ_{三} + M（M） λ_{1} λ_{三} β + λ_{三} β + β^{2} λ_{1} λ_{2}, \\ 对_{2} = ξ^{4} + ξ^{2} λ_{三} + ξ^{2} λ_{1} λ_{三} α β^{2} - M（M） ξ^{2} - ξ^{2} β + M（M） λ_{1} λ_{三} α β^{2} + λ_{三} α β^{2} \\ 对_{三} = 2 ξ^{4} α β + ξ^{2} λ_{三} α β - 2 M（M） ξ^{2} α β - ξ^{2} α β^{2} + 三 M（M） λ_{三} α β, \\ 对_{4} = ξ^{4} α^{2} β^{2} - M（M） ξ^{2} α^{2} β^{2}, \\ 对_{5} = λ_{1} λ_{三} β, \\ 对_{6} = λ_{三} + λ_{1} λ_{三} α β^{2} - M（M） - β, \\ 对_{7} = λ_{三} α β - 2 α β M（M） - α β^{2}, \\ 对_{8} = α^{2} β^{2} M（M）, \end{matrix}

(14)

反演方程（13）[5,50]通过傅里叶正弦变换，根据条件调用积分事实

年 > 0

，积分

\int_{0}^{\infty} \frac{罪 (年 ξ)}{ξ} d日 ξ = \frac{π}{2}

用于验证速度场的附加条件；因此，我们得到：

\begin{matrix} {\bar{u个}}_{秒} (年, 问) = \frac{对_{0} ω}{问^{2} + ω^{2}} - \frac{2 对_{0} ω}{π} {¦Β}_{0}^{\infty} 罪 (年 ξ) \frac{(对_{1} 问^{三} + 对_{9} 问^{2} + 对_{10} 问 + 对_{11})}{ξ (问^{2} + ω^{2}) (对_{1} 问^{三} + 对_{2} 问^{2} + 对_{三} 问 + 对_{4})} d日 ξ \\ - \frac{2 对_{0} ω ξ^{- 1}}{π} \int_{0}^{\infty} 罪 (年 ξ) \frac{(对_{5} 问^{三} + 对_{6} 问^{2} + 对_{7} 问 + 对_{8})}{(问^{2} + ω^{2}) (对_{1} 问^{三} + 对_{2} 问^{2} + 对_{三} 问 + 对_{4})} d日 ξ \end{matrix},

(15)

为了简化方程式（15），采用方程式（16）中的数学假设：

\begin{matrix} 对_{9} = 对_{2} + ξ^{2} (1 + ξ^{2}) (1 + ω^{2}), 对_{10} = 对_{三} + ξ^{2} (1 + ξ^{2}) (1 + ω^{2}) α β \\ 对_{11} = 对_{4} + ξ^{2} (1 + ξ^{2}) (1 + ω^{2}) α^{2} β^{2} \end{matrix},

(16)

\begin{matrix} {\bar{u个}}_{秒} (年, 问) = \frac{对_{0} ω}{问^{2} + ω^{2}} - \frac{2 对_{0} ω}{π} {¦Β}_{0}^{\infty} 秒 我 n个 (年 ξ) \frac{(问^{三} + 对_{12} 问^{2} + 对_{13} 问 + 对_{14})}{ξ (问^{2} + ω^{2}) (问^{三} + 对_{15} 问^{2} + 对_{16} 问 + 对_{17})} d日 ξ \\ - \frac{2 对_{5} 对_{0} ω ξ^{- 1}}{对_{1} π} \int_{0}^{\infty} 罪 (年 ξ) \frac{(问^{三} + 对_{18} 问^{2} + 对_{19} 问 + 对_{20})}{(问^{2} + ω^{2}) (问^{三} + 对_{15} 问^{2} + 对_{16} 问 + 对_{17})} d日 ξ \end{matrix},

(17)

其中，允许参数取为：

对_{12} = \frac{对_{9}}{对_{1}}, 对_{13} = \frac{对_{10}}{对_{1}}, 对_{14} = \frac{对_{11}}{对_{1}}, 对_{15} = \frac{对_{2}}{对_{1}}, 对_{16} = \frac{对_{三}}{对_{1}}, 对_{17} = \frac{对_{4}}{对_{1}}, 对_{18} = \frac{对_{6}}{对_{5}}, 对_{19} = \frac{对_{7}}{对_{5}} 和 对_{20} = \frac{对_{8}}{对_{5}} .

为了避免方程（17）的冗长和繁琐计算，借助Cardano方法采用以下表达式[51]，定义为：

\begin{matrix} 问_{1} = \sqrt[三]{- \frac{δ_{1}}{2} - \sqrt{\frac{δ_{1}^{2}}{4} + \frac{Δ_{1}^{三}}{27}}} + \sqrt[三]{- \frac{δ_{1}}{2} + \sqrt{\frac{δ_{1}^{2}}{4} + \frac{Δ_{1}^{三}}{27}}} \\ 问_{2} = γ \sqrt[三]{- \frac{δ_{1}}{2} - \sqrt{\frac{δ_{1}^{2}}{4} + \frac{Δ_{1}^{三}}{27}}} + γ^{2} \sqrt[三]{- \frac{δ_{1}}{2} + \sqrt{\frac{δ_{1}^{2}}{4} + \frac{Δ_{1}^{三}}{27}}}, \\ 问_{三} = γ^{2} \sqrt[三]{- \frac{δ_{1}}{2} - \sqrt{\frac{δ_{1}^{2}}{4} + \frac{Δ_{1}^{三}}{27}}} + γ \sqrt[三]{- \frac{δ_{1}}{2} + \sqrt{\frac{δ_{1}^{2}}{4} + \frac{Δ_{1}^{三}}{27}}} \end{matrix}

(18)

哪里

问_{1}, 问_{2}

和

问_{三}

是代数三次方程的根。代数三次方程的根在方程（19）中通过使用Cardano公式获得，如下所示：

(问^{三} + 对_{15} 问^{2} + 对_{16} 问 + 对_{17}) = (问 - 问_{1}) (问 - 问_{2}) (问 - 问_{三}),

(19)

借助方程（19）以最简单的形式求解方程（17），我们得出：

\begin{matrix} {\bar{u个}}_{秒} (年, 问) = \frac{对_{0} ω}{问^{2} + ω^{2}} - \frac{2 对_{0} ω}{π} \int_{0}^{\infty} ξ^{- 1} 秒 我 n个 (年 ξ) \frac{(问^{三} + 对_{12} 问^{2} + 对_{13} 问 + 对_{14})}{(问^{2} + ω^{2}) (问 - 问_{1}) (问 - 问_{2}) (问 - 问_{三})} d日 ξ \\ - \frac{2 对_{5} 对_{0} ω ξ^{- 1}}{对_{1} π} \int_{0}^{\infty} 罪 (年 ξ) \frac{(问^{三} + 对_{18} 问^{2} + 对_{19} 问 + 对_{20})}{(问^{2} + ω^{2}) (问 - 问_{1}) (问 - 问_{2}) (问 - 问_{三})} d日 ξ \end{matrix},

(20)

正在调用附录A（A4）通过对方程（20）进行拉普拉斯逆变换，我们通过指数基本函数获得速度的表达式，如下所示：

\begin{matrix} u个 (年, t吨) = 对_{0} 罪 (ω t吨) - \frac{2 U型 ω}{π} \int_{0}^{\infty} ξ^{- 1} 罪 (年 ξ) \int_{t吨}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - ε) \{\frac{对_{14}}{问_{1} 问_{2} 问_{三}} - (\frac{对_{14} - 问_{1} 对_{13} + 问_{1}^{2} 对_{12} - 问_{1}^{2}}{问_{1} (问_{2} - 问_{1}) (问_{三} - 问_{1})}) \\ \times 经验 (- 问_{1} t吨) - (\frac{对_{14} - 问_{2} 对_{13} + 问_{2}^{2} 对_{12} - 问_{2}^{三}}{问_{2} (问_{1} - 问_{2}) (问_{三} - 问_{2})}) 经验 (- 问_{2} t吨) - (\frac{对_{14} - 问_{三} 对_{13} + 问_{三}^{2} 对_{12} - 问_{三}^{三}}{问_{三} (问_{1} - 问_{三}) (问_{2} - 问_{三})}) 经验 (- 问_{三} t吨)\} d日 ξ d日 ε \\ - \frac{2 对_{5} U型 ω ξ^{- 1}}{对_{1} π} \int_{0}^{\infty} 罪 (年 ξ) \int_{t吨}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - ε) \{\frac{对_{14}}{问_{1} 问_{2} 问_{三}} - (\frac{对_{20} - 问_{1} 对_{19} + 问_{1}^{2} 对_{18} - 问_{1}^{2}}{问_{1} (问_{2} - 问_{1}) (问_{三} - 问_{1})}) 经验 (- 问_{1} t吨) \\ - (\frac{对_{20} - 问_{2} 对_{19} + 问_{2}^{2} 对_{18} - 问_{2}^{三}}{问_{2} (问_{1} - 问_{2}) (问_{三} - 问_{2})}) 经验 (- 问_{2} t吨) - (\frac{对_{20} - 问_{三} 对_{19} + 问_{三}^{2} 对_{18} - 问_{三}^{三}}{问_{三} (问_{1} - 问_{三}) (问_{2} - 问_{三})}) 经验 (- 问_{三} t吨)\} d日 ξ d日 ε . \end{matrix}

(21)

方程（20）是基于正弦波Caputo-Fabrizio分数方法的速度场的一般解；它还验证了所施加的初始和边界条件。

3.2. 第二种情况：余弦正弦波 $u个 (0, t吨) = ℛ_{0} H（H） (t吨) 余弦 (ω t吨)$

为了避免冗长和繁琐的计算，采用案例一中讨论的类似程序研究了余弦正弦波速度场的解：

\begin{matrix} u个 (年, t吨) = 对_{0} H（H） (t吨) 余弦 (ω t吨) - \frac{2 U型 ω}{π} \int_{0}^{\infty} ξ^{- 1} 罪 (年 ξ) \int_{t吨}^{t吨} 罪 ω (t吨 - ε) \{\frac{对_{14}}{问_{1} 问_{2} 问_{三}} - (\frac{对_{14} - 问_{1} 对_{13} + 问_{1}^{2} 对_{12} - 问_{1}^{2}}{问_{1} (问_{2} - 问_{1}) (问_{三} - 问_{1})}) \\ \times 经验 (- 问_{1} t吨) - (\frac{对_{14} - 问_{2} 对_{13} + 问_{2}^{2} 对_{12} - 问_{2}^{三}}{问_{2} (问_{1} - 问_{2}) (问_{三} - 问_{2})}) 经验 (- 问_{2} t吨) - (\frac{对_{14} - 问_{三} 对_{13} + 问_{三}^{2} 对_{12} - 问_{三}^{三}}{问_{三} (问_{1} - 问_{三}) (问_{2} - 问_{三})}) 经验 (- 问_{三} t吨)\} d日 ξ d日 ε \\ - \frac{2 对_{5} U型 H（H） (t吨) ω ξ^{- 1}}{对_{1} π} \int_{0}^{\infty} 罪 (年 ξ) \int_{t吨}^{t吨} 罪 ω (t吨 - ε) \{\frac{对_{14}}{问_{1} 问_{2} 问_{三}} - (\frac{对_{20} - 问_{1} 对_{19} + 问_{1}^{2} 对_{18} - 问_{1}^{2}}{问_{1} (问_{2} - 问_{1}) (问_{三} - 问_{1})}) 经验 (- 问_{1} t吨) \\ - (\frac{对_{20} - 问_{2} 对_{19} + 问_{2}^{2} 对_{18} - 问_{2}^{三}}{问_{2} (问_{1} - 问_{2}) (问_{三} - 问_{2})}) 经验 (- 问_{2} t吨) - (\frac{对_{20} - 问_{三} 对_{19} + 问_{三}^{2} 对_{18} - 问_{三}^{三}}{问_{三} (问_{1} - 问_{三}) (问_{2} - 问_{三})}) 经验 (- 问_{三} t吨)\} d日 ξ d日 ε . \end{matrix}

（22）

同时，通过使分数参数等于方程（21）和（22）中的分数参数，也可以恢复普通/经典微分算子在正弦和余弦正弦波两种情况下的解。此外，可以根据以下方面研究类似的解决方案[52,53,54,55,56]。

4.参数化结果

利用一种新提出的基于非奇异核的Caputo-Fabrizio分数方法构造了热电特性的数学分析。主要贡献是基于分数和非分数方法研究速度场的解析解。通过设置适当的附加条件，通过傅里叶正弦变换和拉普拉斯变换建立了一般解。采用Cardano的方法简化冗长而繁琐的数学表达式。然而，问题的动力学和同步性如下所示：

（i）: 图1为基于热电效应的速度场时间分析做准备。这里，速度场被描绘成三个不同的增加时间 $t吨 = 2 秒, 4 秒, 6 秒$ 观察到热电转换效率随着时间的增加而增加。从物理角度来看，热电效应的增强会导致热流中的温度梯度。此外，条形图如图所示图1，反映了热电效率随时间增加的类似稳定性。此外，良好的隔热材料在材料制造过程中为工业过程提供了良好的隔热性能。
（ii）: 众所周知，热电效应取决于磁化的相对排列。磁场对速度场的影响如所示图2从中描述的行为可以看出图2通过增加磁场的作用，可以获得镶嵌磁畴结构。从实用的角度来看，随着磁场参数的增加，速度场明显减小；这是因为磁场取决于洛伦兹力，这导致热电流体流动的电阻率和延迟。
（iii）: 对流的表征通常基于普朗特数，其中动量扩散率可以通过提供较大的普朗特数来实现，而热扩散率可以在使用较小的普朗特数时感知。在这个分析中，温度场和速度场是耦合的，所以三个不同的较大值 $P（P）第页 = 25, 50, 75$ 用于图3用于热电流体流动。实际上，通过提供较低的普朗特数可以检测到热电流体的较高传热；因此，我们利用更大的普朗特尔数来根据动量扩散率获得合适的速度分布。应该注意的是，大多数常见的热电流体， $P（P）第页属于水 = 1 到 10$ , $P（P）第页属于乙烯乙二醇 = 2 到 30$ , $P（P）第页属于发动机油 = 50 到 2000$ ，由于其较大的普朗特数，具有某些物理方面。
（iv）: 图4阐明了Caputo-Fabrizio分数算符在速度场剖面上的动力学。很明显图4速度场呈现渐近指数衰减行为，这是由于Caputo-Fabrizio算子具有非奇异指数核。需要考虑记忆效应的可能性，因为当分数阶导数的值更接近经典导数时，它有增加的趋势或速度场。
（v）: 比较分析基于三种方法，即（i）Caputo-Fabrizio分数方法的解，（ii）已发布方法的解[5]（Caputo分数算子）和（iii）非分数逼近解（普通算子）。可以从中看到图5与中的解相比，Caputo-Fabrizio分数方法的解具有更大的稳定性和准确性[5]（Caputo分数算子）和非分数方法的解（普通算子）。这可能是因为Caputo-Fabrizio的分数方法是基于非奇异和指数核的，它以更好的方式描述了遗传热电材料的动力学和其他特性。

5.结论

本研究通过磁化证明了热电转换效率，这为连续不间断地传递热量提供了一条有希望的途径。建立了基于热电效应的流体流动热分析数学模型，通过局部核方法捕捉流体的流变行为。主要调查结果总结如下：

-: 增强热电效应三个不同的增加时间， $t吨 = 2 秒, 4 秒, 6 秒$ ，导致热流中的温度梯度。这是因为热电转换效率随着时间的增加而增加。
-: 通过增加磁场对速度场的影响，可以实现磁场效应和镶嵌磁畴结构。
-: 温度场和速度场耦合为三个不同的普朗特值， $P（P）第页 = 25, 50, 75$ ，其中检测到热电流体的较高传热，而普朗特尔数较低。
-: 速度场上Caputo-Fabrizio分数阶算子的动力学表现出渐近指数衰减。
-: 对比分析表明，与其他解相比，采用Caputo-Fabrizio分数方法的速度和温度分布具有更大的稳定性和准确性。

作者贡献

调查，K.A.A。；方法、B.S.和I.Q.M。；项目管理，理学学士。；资源，M.A.O。；撰写原稿，H.A.所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项工作得到了沙特阿拉伯费萨尔国王大学研究生研究和科学研究副院长科学研究院长的支持[第1618号批准]，通过其KFU研究暑期倡议。

致谢

这项工作得到了沙特阿拉伯费萨尔国王大学研究生研究和科学研究副院长科学研究院长的支持[第1618号批准]，通过其KFU研究暑期倡议。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

术语

$t吨$	时间参数
$u个$	速度场
${H（H）}_{0}$	磁场强度
${T型}_{w个}$	板远离板的温度
$π_{0}$	珀尔贴系数
${P（P）}_{第页}$	普朗特尔编号
${}^{C类 F类}{D类}_{t吨}^{α} u个$	Caputo-Fabrizio操作员
$ϵ_{0}$	Caputo-Fabrizio分数算子的Letting参数
$ℛ_{0}$	非零参数
$ω$	频率
${T型}_{\infty}$	流体的温度
${T型}_{0}$	参考温度
${k个}_{0}$	塞贝克系数
$M（M）$	磁场
$α$	Caputo-Fabrizio操作员的订单

附录A

附录A（A1）–（A3）用于避免方程式（10）的冗长和繁琐计算。

{F类}_{秒} {\frac{\partial^{4} \bar{（f）}}{\partial {t吨}^{4}}} = - ξ^{4} \bar{{（f）}_{秒}} + ξ^{三} \sqrt{\frac{2}{π}} \overset{=}{{（f）}_{秒}} + ξ \sqrt{\frac{2}{π}} {\overset{=}{{（f）}_{秒}}}^{”},

（A1）

{F类}_{秒} {\frac{\partial^{2} \bar{（f）}}{\partial {t吨}^{2}}} = - ξ^{2} \bar{{（f）}_{秒}} + ξ \sqrt{\frac{2}{π}} \bar{{（f）}_{秒}},

（A2）

{F类}_{秒} {\frac{\partial \bar{（f）}}{\partial t吨}} = \bar{{（f）}_{秒}},

（A3）

附录A（A4）被用于等式（21）的拉普拉斯逆变换。

\begin{matrix} 我^{- 1} {\frac{(问^{三} + 对_{12} 问^{2} + 对_{13} 问 + 对_{14})}{(问 - 问_{1}) (问 - 问_{2}) (问 - 问_{三})}} = \frac{对_{14}}{问_{1} 问_{2} 问_{三}} - (\frac{对_{14} - 问_{1} 对_{13} + 问_{1}^{2} 对_{12} - 问_{1}^{2}}{问_{1} (问_{2} - 问_{1}) (问_{三} - 问_{1})}) \\ \times 经验 (- 问_{1} t吨) - (\frac{对_{14} - 问_{2} 对_{13} + 问_{2}^{2} 对_{12} - 问_{2}^{三}}{问_{2} (问_{1} - 问_{2}) (问_{三} - 问_{2})}) e（电子） x个 第页 (- 问_{2} t吨) \\ - (\frac{对_{14} - 问_{三} 对_{13} + 问_{三}^{2} 对_{12} - 问_{三}^{三}}{问_{三} (问_{1} - 问_{三}) (问_{2} - 问_{三})}) e（电子） x个 第页 (- 问_{三} t吨) . \end{matrix}

（A4）

工具书类

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图1。Caputo-Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.9, Z轴 {T型}_{0} = 2, ω = 0.5, M（M） = 0.1, α = 0.6, P（P） 第页 = 15

对于不同的时间参数值。

图1。Caputo-Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.9, Z轴 {T型}_{0} = 2, ω = 0.5, M（M） = 0.1, α = 0.6, P（P） 第页 = 15

对于不同的时间参数值。

图2。Caputo-Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.9, Z轴 {T型}_{0} = 4.2, ω = 0.5, t吨 = 1, α = 0.6, P（P） 第页 = 15

对于不同的磁性参数值。

图2。Caputo-Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.9, Z轴 {T型}_{0} = 4.2, ω = 0.5, t吨 = 1, α = 0.6, P（P） 第页 = 15

对于不同的磁性参数值。

图3。Caputo-Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.4, Z轴 {T型}_{0} = 3.7, ω = 0.5, M（M） = 0.5, α = 0.6, t吨 = 1

对于不同的Prandtl数值。

图3。Caputo-Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.4, Z轴 {T型}_{0} = 3.7, ω = 0.5, M（M） = 0.5, α = 0.6, t吨 = 1

对于不同的Prandtl数值。

图4。Caputo-Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.9, Z轴 {T型}_{0} = 2, ω = 0.5, M（M） = 0.1, t吨 = 1, P（P） 第页 = 15

对于不同的分数参数值。

图4。Caputo Fabrizio分数法图解

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.9, Z轴 {T型}_{0} = 2, ω = 0.5, M（M） = 0.1, t吨 = 1, P（P） 第页 = 15

对于不同的分数参数值。

图5。分数方法（Caputo-Fabrizio和Caputo）和非分数方法之间的对比说明

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.53, Z轴 {T型}_{0} = 7, ω = 0.5, M（M） = 0.1, t吨 = 1, P（P） 第页 = 8

.

图5。分数方法（Caputo-Fabrizio和Caputo）和非分数方法之间的比较说明

ℛ_{0} = 1, {K（K）}_{0} = 0.53, Z轴 {T型}_{0} = 7, ω = 0.5, M（M） = 0.1, t吨 = 1, P（P） 第页 = 8

.

出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

MDPI和ACS样式

Al Owidh，M。；Souayeh，B。；Memon，智商。；Ali Abro，K。；H·阿尔芬纳赫。基于局部核的分数方法研究热电流体的传热和流体循环。能源 2022,15, 8473.https://doi.org/10.3390/en15228473

AMA风格

Al Owidh M、Souayeh B、Memon IQ、Ali Abro K、Alfannakh H。基于局部核的分数方法研究热电流体的传热和流体循环。能源. 2022; 15(22):8473.https://doi.org/10.3390/en15228473

芝加哥/图拉宾风格

Al Owidh、Maryam、Basma Souayeh、Imran Qasim Memon、Kashif Ali Abro和Huda Alfannakh。2022.“通过基于局部核的分数方法实现热电流体的传热和流体循环”能源第15页，第22页：8473。https://doi.org/10.3390/en15228473

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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基于局部核的分数方法研究热电流体的传热和流体循环

摘要

1.简介

2.热电流体的数学建模

3.通过Caputo-Fabrizio方法分析解决问题

3.1. 第一种情况：正弦波 $u个 (0, t吨) = ℛ_{0} 罪 (ω t吨)$

3.2. 第二种情况：余弦正弦波 $u个 (0, t吨) = ℛ_{0} H（H） (t吨) 余弦 (ω t吨)$

4.参数化结果

5.结论

作者贡献

基金

致谢

利益冲突

术语

附录A

工具书类

分享和引用

文章指标

文章访问统计

更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

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基于局部核的分数方法研究热电流体的传热和流体循环

摘要

1.简介

2.热电流体的数学建模

3.通过Caputo-Fabrizio方法分析解决问题

3.1. 第一种情况：正弦波 u个 ( 0 , t吨 ) = ℛ 0 罪 ( ω t吨 )

3.2. 第二种情况：余弦正弦波 u个 ( 0 , t吨 ) = ℛ 0 H（H） ( t吨 ) 余弦 ( ω t吨 )

4.参数化结果

5.结论

作者贡献

基金

致谢

利益冲突

术语

附录A

工具书类

分享和引用

文章指标

文章访问统计

更多信息

指导方针

MDPI计划

遵循MDPI

3.1. 第一种情况：正弦波 $u个 (0, t吨) = ℛ_{0} 罪 (ω t吨)$

3.2. 第二种情况：余弦正弦波 $u个 (0, t吨) = ℛ_{0} H（H） (t吨) 余弦 (ω t吨)$