Thermodynamic Analysis of Gravity-driven Liquid Film along an Inclined Heated Plate with Hydromagnetic and Viscous Dissipation Effects

Aïboud-Saouli, Soraya; Saouli, Salah; Settou, Noureddine; Meza, Nouredine

doi:10.3390/e8040188

开放式访问第条

重力驱动液膜沿倾斜加热板的磁流体和粘性耗散效应的热力学分析

通过

索拉亚·阿伊布德·索乌利

¹,

萨拉赫·索乌利

^2,*,

努里丁·塞图

²和

努尔丁·梅扎

²

¹

专业培训学院，Said Otba，30000 Ouargla-Algeria

²

阿尔及利亚乌阿尔格拉大学科学与工程科学学院，30000

^*

信件应寄给的作者。

熵 2006,8(4), 188-199;https://doi.org/10.3390/e8040188

收到的来文：2005年12月21日/接受日期：2006年9月13日/发布日期：2006年10月23日

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版本注释

摘要

:

本工作的目的是研究在存在横向磁场的情况下，沿倾斜加热板流动的具有充分发展速度的重力驱动层流导电液膜中的熵产生。液膜的上表面被认为是自由的和绝热的。分析中包括了粘性耗散产生热量的影响。研究了外加磁场和粘性耗散对速度、温度和熵产生的影响。

关键词：

水磁效应;斜板;液体薄膜;热力学分析;粘性耗散

介绍

熵的产生与所有传热过程中遇到的热力学不可逆性密切相关。不同的源负责产生熵，例如传热和粘性耗散[1982；1996]。Bejan[1996；1979]提出了在壁面施加热流的圆形管道中进行熵产生率分析及其延伸，以确定最佳雷诺数作为普朗特数和占空比参数的函数。Sahin[1998]对具有等温边界条件的圆形管道中的粘性流体引入了第二定律分析。在另一篇论文中，Sahin[1999]提出了可变粘度对加热圆形管道熵产生率的影响。Sahin[1998]对不同形状的管道内的熵产生率进行了比较研究，并确定了等温边界条件下的最佳管道形状。Narusawa[1998]对矩形管道内流动和传热的第二定律进行了分析和数值分析。在最近的一篇论文中，Mahmud和Fraser[2003；2002]将第二定律分析应用于基本对流传热问题和通过由两个平行板组成的通道的非牛顿流体流动。Saouli和Aiboud-Sauuli[2004]对沿倾斜加热板下降液膜中的熵产生进行了研究。就磁场对熵产生的影响而言，Mahmud等人[2003]研究了通道内混合对流的情况。

本文的目的是对在横向磁场作用下沿倾斜加热板流动的充分发展的液膜进行热力学分析。分析中包括了粘性耗散产生热量的影响。得到了无量纲速度、温度、熵产生数的表达式。

问题表述和分析解决方案

问题如所示图1关于一个充分发展的牛顿层流重力驱动的厚度液膜

δ

在横向均匀磁场作用下沿倾斜加热板流动

\vec{B类}

.磁雷诺数

R（右） e（电子）

假设很小，因此忽略了感应磁场，忽略了磁流体力学的霍尔效应。

图1。故障示意图。

忽略动量方程中的惯性项与物体力和磁场项相比，动量方程为：

μ \frac{\partial^{2} u个 (年)}{\partial 年^{2}} - σ {B类}^{2} u个 (年) + ρ 克 秒 我 n个 θ = 0

(1)

哪里

μ

是动态粘度，

ρ

流体密度，

σ

电导率和

克

重力加速度。

边界条件为：

无滑移条件 u个 (0) = 0

（2a）

自由表面 \frac{\partial u个 (δ)}{\partial 年} = 0

（2b）

通过积分方程（1）并使用方程（2）给出的边界条件，可以获得速度剖面。可以这样写：

u个 (年) = \frac{ρ 克 秒 我 n个 θ}{σ {B类}^{2}} (1 - \frac{c o（o） 秒 小时 (B类 \sqrt{\frac{σ}{μ}} (δ - 年))}{c o（o） 秒 小时 (B类 δ \sqrt{\frac{σ}{μ}})})

(3)

引入以下速度和横向距离的无量纲变量

U型 (Y（Y）) = \frac{u个 (年)}{{u个}_{米}}

,

Y（Y） = \frac{年}{δ}

，无量纲速度变为：

U型 (Y（Y）) = \frac{c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - c o（o） 秒 小时 (H（H） 一 (1 - Y（Y）))}{c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1}

(4)

哪里

H（H） 一

哈特曼编号定义为：

H（H） 一 = B类 δ \sqrt{\frac{σ}{μ}}

(5)

和

{u个}_{米} = \frac{ρ 克 秒 我 n个 θ}{σ {B类}^{2}} (\frac{c o（o） 秒 小时 (H（H） 一)}{c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1})

(6)

液体质量流量

问

是：

问 = \int_{0}^{δ} ρ u个 (年) d日 年

(7)

将等式（3）代入等式（7），液体质量流速为：

问 = \frac{ρ^{2} 克 秒 我 n个 θ δ^{三}}{μ} [\frac{1}{H（H） 一^{2}} - \frac{1}{H（H） 一^{三}} t吨 一 n个 小时 (H（H） 一)]

(8)

在没有磁场的情况下，液体质量流量为[10]:

问_{0} = \frac{ρ^{2} 克 秒 我 n个 θ δ^{三}}{三 μ}

(9)

因此，液体质量流量可以写为：

\frac{问}{问_{0}} = 三 [\frac{1}{H（H） 一^{2}} - \frac{1}{H（H） 一^{三}} t吨 一 n个 小时 (H（H） 一)]

(10)

本问题的能量方程为：

u个 (年) \frac{\partial T型 (x个, 年)}{\partial x个} = \frac{λ}{ρ {C类}_{P（P）}} \frac{\partial^{2} T型 (x个, 年)}{\partial 年^{2}} + \frac{σ {B类}^{2}}{ρ {C类}_{P（P）}} {u个}^{2} (年) + \frac{μ}{ρ {C类}_{P（P）}} {(\frac{\partial u个 (年)}{\partial 年})}^{2}

(11)

边界条件为：

入口温度 T型 (0, 年) = {T型}_{0}

（12a）

墙壁处的恒定热流 - λ \frac{\partial T型 (x个, 0)}{\partial 年} = q个

（12 b）

绝热上表面 \frac{\partial T型 (x个, δ)}{\partial 年} = 0

（12 c）

使用以下无量纲变量：

X（X） = \frac{λ x个}{ρ {u个}_{米} {C类}_{P（P）} δ^{2}}, Y（Y） = \frac{年}{δ}, U型 (Y（Y）) = \frac{u个 (年)}{{u个}_{米}}, Θ (X（X）, Y（Y）) = \frac{T型 (x个, 年) - {T型}_{0}}{Δ T型}

(13)

哪里

Δ T型

参考温差定义为：

Δ T型 = \frac{q个 δ}{λ}

(14)

能量方程可以用以下无量纲形式表示：

U型 (Y（Y）) \frac{\partial Θ (X（X）, Y（Y）)}{\partial X（X）} = \frac{\partial^{2} Θ (X（X）, Y（Y）)}{\partial {Y（Y）}^{2}} + B类 第页 H（H） 一^{2} {U型}^{2} (Y（Y）) + B类 第页 {(\frac{\partial U型 (Y（Y）)}{\partial Y（Y）})}^{2}

(15)

受到以下边界条件的影响：

Θ (0, Y（Y）) = 0

（16年a）

\frac{\partial Θ (X（X）, 0)}{\partial Y（Y）} = - 1

（16亿）

\frac{\partial Θ (X（X）, 1)}{\partial Y（Y）} = 0

（16美分）

B类 第页

=

μ {u个}_{米}^{2} {C类}_{P（P）}^{2} / λ Δ T型

是布林克曼数。

为了得到方程（15）的解，假设变量分离解的形式如下[10]:

Θ (X（X）, Y（Y）) = Θ_{1} (X（X）) Θ_{2} (Y（Y）) + Θ_{1} (X（X）) + Θ_{2} (Y（Y）)

(17)

式（17）右侧的第一项对于衰减的初始跃迁和入口效应是显著的，第二项对于因累积壁面热流引起的轴向温升是显著的；第三项对于壁面热通量进入流体的横向温度变化是显著的。忽略入口效应，假设系统已经通过衰减初始跃迁。然后等式（17）右侧的第一项将消失[8,9]. 公式（15）和公式（17）的组合留下了两个分开的常方程[10]. 这两个常方程的解是：

\begin{array}{l} Θ (X（X）, Y（Y）) = α X（X） + \frac{α}{(c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)} [\frac{{Y（Y）}^{2}}{2} c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - \frac{c o（o） 秒 小时 (H（H） 一 (1 - Y（Y）))}{H（H） 一^{2}}] \\ - \frac{B类 第页 H（H） 一^{2}}{{(c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)}^{2}} [\frac{{Y（Y）}^{2}}{2} {c o（o） 秒 小时}^{2} (H（H） 一) - \frac{2}{H（H） 一^{2}} c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) c o（o） 秒 小时 (H（H） 一 (1 - Y（Y）)) + \frac{1}{4 H（H） 一^{2}} c o（o） 秒 小时 (2 H（H） 一 (1 - Y（Y）))] \\ + {C类}_{1} Y（Y） + C类 \end{array}

(18)

哪里

α

,

{C类}_{2}

和

C类

是积分常数。

使用边界条件（16b）和（16c），可以发现：

α = \frac{{A类}_{三} - {A类}_{4}}{{A类}_{1} - {A类}_{2}}, {C类}_{1} = \frac{{A类}_{1} {A类}_{4} - {A类}_{2} {A类}_{三}}{{A类}_{1} - {A类}_{2}}

(19)

在上面的表达式中

{A类}_{1}

,

{A类}_{2}

,

{A类}_{三}

和

{A类}_{4}

可通过以下方式定义：

{A类}_{1} = \frac{秒 我 n个 小时 (H（H） 一)}{H（H） 一 (c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)}, {A类}_{2} = \frac{c o（o） 秒 小时 (H（H） 一)}{c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1} {A类}_{三} = \frac{B类 第页 H（H） 一^{2}}{{(c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)}^{2}} (\frac{2}{H（H） 一} c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) 秒 我 n个 小时 (H（H） 一) - \frac{1}{2 H（H） 一} 秒 我 n个 小时 (2 H（H） 一)) - 1 {A类}_{4} = \frac{B类 第页 H（H） 一^{2} {c o（o） 秒 小时}^{2} (H（H） 一)}{{(c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)}^{2}}

(20)

求积分常数

C类

，检验公式（21）中给出的体积平均温度：

Θ_{b} (X（X）) = \frac{1}{A类} \int_{A类} Θ (X（X）, Y（Y）) d日 A类

(21)

其中面积元素

d日 A类

和区域

A类

是：

d日 A类 = δ d日 Y（Y）, A类 = \int_{0}^{1} δ d日 Y（Y） = δ

(22)

使用公式（21），整体平均温度为：

Θ_{b} (X（X）) = \int_{0}^{1} Θ (X（X）, Y（Y）) d日 Y（Y）

(23)

方程（16a）定义的边界条件导致了体积平均温度的以下条件：

Θ_{b} (0) = 0

(24)

代入式（23）中的式（18），并使用式（24），积分常数为：

\begin{array}{l} C类 = \frac{α}{(c o（o） 秒 小时 H（H） 一 - 1)} [\frac{秒 我 n个 小时 (H（H） 一)}{H（H） 一^{三}}] - \frac{B类 第页 H（H） 一^{2}}{{(c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)}^{2}} [\frac{2}{H（H） 一^{三}} c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) 秒 我 n个 小时 (H（H） 一) - \\ \frac{2}{16 H（H） 一^{三}} 秒 我 n个 小时 (2 H（H） 一)] - \frac{α}{6 (c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)} + \frac{B类 第页 H（H） 一^{2} {c o（o） 秒 小时}^{2} (H（H） 一)}{6 {(c o（o） 秒 小时 (H（H） 一) - 1)}^{2}} - \frac{{C类}_{2}}{2} \end{array}

(25)

根据Woods[1975]，熵产生率为：

{S公司}_{G公司} = \frac{λ}{{T型}_{0}^{2}} [{(\frac{\partial T型 (x个, 年)}{\partial x个})}^{2} + {(\frac{\partial T型 (x个, 年)}{\partial 年})}^{2}] + \frac{μ}{{T型}_{0}} {(\frac{\partial u个 (年)}{\partial 年})}^{2} + \frac{σ {B类}^{2}}{{T型}_{0}} {u个}^{2} (年)

(26)

无量纲熵生成数由以下关系定义：

{N个}_{S公司} = \frac{λ {T型}_{0}^{2}}{{q个}^{2}} {S公司}_{G公司}

(27)

使用无量纲速度和温度，公式（27）可以改写为：

{N个}_{S公司} = \frac{1}{P（P） {e（电子）}^{2}} {(\frac{\partial Θ (X（X）, Y（Y）)}{\partial X（X）})}^{2} + {(\frac{\partial Θ (X（X）, Y（Y）)}{\partial Y（Y）})}^{2} + \frac{B类 第页}{Ω} {(\frac{\partial U型 (Y（Y）)}{\partial Y（Y）})}^{2} + \frac{B类 第页 H（H） 一^{2}}{Ω} {U型}^{2} (Y（Y）)

(28)

{N个}_{S公司} = {N个}_{C类} + {N个}_{Y（Y）} + {N个}_{F类} + {N个}_{B类}

(29)

哪里

P（P） e（电子）

=

ρ {u个}_{米} {C类}_{P（P）} δ / λ

和

Ω

=

Δ T型 / {T型}_{0}

分别是Peclet数和无量纲温差。

{N个}_{C类}

和

{N个}_{Y（Y）}

，分别是轴向和横向导热产生的熵生成数。

{N个}_{F类}

是流体摩擦产生的熵生成数

{N个}_{B类}

是由于磁流体效应产生的熵。

结果和讨论

速度剖面图

U型 (Y（Y）)

表示为图2对于哈特曼数的各种值

H（H） 一

可以看出，外加磁场的作用

\vec{B类}

是为了压平液膜自由表面附近的速度分布。哈特曼数对液体质量流量的影响如所示图3。随着哈特曼数的增加，液体质量流率降低。这意味着液体的平均速度降低。磁场的作用会产生一个阻力，该阻力作用于流体的相反方向，从而导致其减速。

图2。速度剖面是不同哈特曼数下横向距离的函数。

图4显示了温度曲线之间的比较

Θ (X（X）, Y（Y）)

横穿液膜不受水磁效应的影响，具有水磁效应和水磁及粘性耗散效应。温度沿横向降低。对于给定的横向和轴向，由于水磁和粘性耗散效应产生的热量，温度随着磁场的应用和粘性耗竭的存在而升高。

对于给定的轴向距离

X（X）

和布林克曼数

B类 第页

哈特曼数的影响

哈

关于温度分布

Θ (X（X）, Y（Y）)

如所示图5哈特曼数的增加会产生更高的温度分布，因为磁场的作用会导致热耗散。

图3。哈特曼数对液体质量流量的影响。

布林克曼数的作用

B类 第页

给定轴向位置的温度分布

X（X）

和哈特曼数

H（H） 一

如所示图6随着布林克曼数的增加，由于粘性耗散产生的热量，温度随之升高。

图4。比较无磁流体效应、有磁流体效应以及有磁流体和粘性耗散效应的液膜的温度分布。

图5。温度分布是不同哈特曼数下横向距离的函数。

哈特曼数的影响

H（H） 一

关于熵产生数的横向分布图7随着哈特曼数的增加，熵产生数在横向上增加，并且在加热板附近出现熵产生数的最小值。在速度和温度均为最大值（或最小值）的上表面，速度和温度梯度为零，对熵产生数没有贡献（等式（28）的第二项和第三项），熵产生数对与磁场成比例的哈特曼数最为敏感。磁场的存在创造了额外的熵（等式（28）的第四项）。

图6。温度分布是不同布林克曼数下横向距离的函数。

图8说明了布林克曼数的影响

B类 第页

对于固定的哈特曼数和无量纲群，研究了熵产数的横向分布，其中在加热板附近存在一个最小值。对于给定的横向位置，布林克曼数越高，熵产生数越高。布林克曼数的增加增加了由于粘性耗散引起的横向导热引起的熵产生数的贡献。在所有情况下，加热板都是不可逆性的强大来源。

图7。熵生成数是不同哈特曼数下横截距离的函数。

图8。熵生成数是不同布林克曼数下横截距离的函数。

无量纲群的影响

B类 第页 Ω^{- 1}

，关于熵产生数的横向分布，请参见图9.无量纲组决定了粘性效应的相对重要性。对于小无量纲群，熵产生数沿横向距离减小。对于较高的无量纲群，熵生成数先减小，然后随着横向距离的增加而增加。对于给定的横向位置，高维群的熵生成数较高。这是因为对于高维无量纲群，流体摩擦和磁场导致的熵产生数增加（方程（28）的第三项和第四项）。

图9。熵生成数是不同无量纲群横截距离的函数。

结论

本文介绍了热力学第二定律在存在横向磁场和粘性耗散效应的情况下，沿倾斜加热板的重力驱动液膜上的应用。获得了速度和温度分布，并用于评估熵产生数。讨论了哈特曼数、布林克曼数和无量纲群对速度、温度和熵产生数的影响。

从结果中可以得出以下结论：

较高的哈特曼数会导致速度分布变平，因为磁场会减缓流体沿板的运动。

由于磁性和粘性耗散产生的热量，温度分布随着哈特曼和布林克曼数的增加而向更高的温度移动。

熵产生数随哈特曼数、布林克曼数和无量纲群的增加而增加。随着哈特曼数、布林克曼数和无量纲群的增加，分别由磁场、横向导热和流体摩擦引起的熵产生数增加。

术语

$A类$	面积，（m²)
$B类$	磁感应强度（Wb.m^-2)
$B类第页$	布林克曼数， $μ {u个}_{米}^{2} {C类}_{P（P）}^{2} / λ Δ T型$
${C类}_{P（P）}$	比热，（J.kg^-1.K（英国）^-1)
$H（H）一$	哈特曼数， $B类 δ \sqrt{σ / μ}$
${N个}_{B类}$	磁感应熵产生数
${N个}_{C类}$	熵产生，轴向传导
${N个}_{F类}$	熵产生，流体摩擦
${N个}_{S公司}$	总熵生成数
${N个}_{Y（Y）}$	熵产生数，横向传导
$P（P） e（电子）$	Peclet数， $ρ {u个}_{米} {C类}_{P（P）} δ / λ$
$q个$	壁热通量，（W.m^-2)
$问$	液体质量流量，（kg.m^-1.秒^-1)
$问_{0}$	无磁场条件下的液体质量流量，（kg.m^-1.秒^-1)
$R（右） e（电子）$	雷诺磁数， $η σ {u个}_{米} δ$
${S公司}_{G公司}$	熵产生率（W.m^-3.K（英国）^-1)
$T型$	温度，（K）
$u个$	轴向速度，（m.s^-1)
$U型$	无量纲轴向速度
$x个$	轴向距离，（m）
$X（X）$	无量纲轴向距离
$年$	横向距离（m）
$Y（Y）$	无量纲横向距离

希腊符号

$α$	标量常数
$δ$	液膜厚度（m）
$Δ T型$	参考温差， $Δ T型 = \frac{q个 δ}{λ}$
$η$	磁导率，（H.m^-1)
$μ$	动态粘度，（kg.m^-1.秒^-1)
$λ$	热导率，（W.m^-1.K^-1)
$Θ$	无量纲温度， $(T型 (x个, 年) - {T型}_{0}) / Δ T型$
$Ω$	无量纲温差， $Δ T型 / {T型}_{0}$
$ρ$	流体密度（kg.m^-3)
$σ$	电导率，（Ω^-1.米^-1)

下标

$b$	体积价值
$米$	最大值
$0$	入口值，参考值

工具书类

Bejan，A.传热和热设计中的第二定律分析。高级传热。 1982,15, 1–58. [谷歌学者]
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Sahin，A.Z.恒定壁温下管道层流粘性流动的第二定律分析。J.传热 1998,120, 76–83. [谷歌学者] [交叉参考]
Sahin，A.Z。恒定热流下层流流体流经管道时，可变粘度对熵产生和泵送功率的影响。热质传递 1999,35, 499–506. [谷歌学者]
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Woods，L.C.流体系统热力学。牛津大学出版社：牛津，1975年。[谷歌学者]

分享和引用

MDPI和ACS样式

阿伊布德·索乌利，南卡罗来纳州。；Saouli，S。；北塞图。；新墨西哥州梅扎。重力驱动液膜沿倾斜加热板的热力学分析，具有磁流体和粘性耗散效应。熵 2006,8, 188-199.https://doi.org/10.3390/e8040188

AMA风格

阿伊布德·索乌利南部、索乌利南部、塞图北部、梅扎北部。重力驱动液膜沿倾斜加热板的热力学分析，具有磁流体和粘性耗散效应。熵. 2006; 8(4):188-199.https://doi.org/10.3390/e8040188

芝加哥/图拉宾风格

阿伊布德·索乌利、索拉亚、萨拉赫·索乌利（Salah Saouli）、努雷丁·塞图（Noureddine Settou）和努里丁·梅扎（Nouredine Meza）。2006年，“具有流体磁性和粘性耗散效应的倾斜加热板重力驱动液膜的热力学分析”熵第8期，第4期：188-199。https://doi.org/10.3390/e8040188

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重力驱动液膜沿倾斜加热板的磁流体和粘性耗散效应的热力学分析

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