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第25卷
第1版
10.3390/e25010061
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第条

量子多圈共振跃迁算法

通过
范扬
1,2,†,
陈新余
1,†,
赵大发
1,
魏世杰
2,
文景伟（Jingwei Wen）
1,
王和峰
3,*,
陶欣
4,*和
桂绿龙
1,2,5,6,*
1
清华大学低维量子物理国家重点实验室和物理系，北京100084
2
北京量子信息科学研究院，北京100193
三
西安交通大学科学院应用物理系，西安710049
4
南方科技大学深圳量子科学与工程研究所，中国深圳518055
5
清华信息科学与技术国家实验室，北京100084
6
量子物质协同创新中心，中国北京100084
*
应向其发送信件的作者。
†
这些作者为这项工作做出了同等贡献。
熵 2023,25(1), 61;https://doi.org/10.3390/e25010061
收到的提交文件：2022年11月15日/修订日期：2022年12月14日/接受日期：2022年12月23日/发布日期：2022年12月28日
（本条属于本节量子信息)
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摘要

:
求解厄米矩阵的特征值问题是许多领域中的一个重要问题。量子共振跃迁（QRT）算法已经被提出并证明可以利用量子器件解决这个问题。为了更好地利用最新的量子器件实现QRT的功能，我们改进了该算法，并开发了一种新的程序来降低时间复杂度。与原算法相比，该算法节省了一个量子位，降低了出错的复杂度 ϵ 从 哦 ( 1 / ϵ 2 ) 到 哦 ( 1 / ϵ ) 。由于这些优化，我们可以更准确地获得水分子有效哈密顿量的能谱和基态，与以前的工作相比，在四比特处理器中只需20%的时间。更一般地说，对于非厄米矩阵，奇异值分解在许多领域都有重要的应用，例如推荐系统和主成分分析。QRT也被用于制备对应于最大奇异值的奇异向量，证明其在量子机器学习中的应用潜力。

1.简介

计算哈密顿量的本征值和本征态是量子物理和化学中的一个基本问题。此外，非厄米矩阵的奇异值分解（SVD）在更多领域中发挥着重要作用。从根本上讲，可以通过求解矩阵的特征方程来获得这一信息。然而，计算这个问题是无效的，因为如果矩阵的维数随系统（如分子哈密顿量）的大小呈指数增长，则计算成本将呈指数增长[1].
为了在量子计算机中有效地获得能谱，已经出现了几种量子算法。量子相位估计算法（PEA）[2,三]是最著名的量子算法之一，它可以获得哈密顿量的特征值，与经典算法相比具有量子优势。然而，在使用PEA之前，我们通常应该准备一个本征态作为初始态。对于一个复杂的系统，在PEA之前给出适当的猜测状态是困难的。绝热状态制备[4]是另一种用于制备系统本征态的量子算法，但ASP算法的效率取决于绝热演化哈密顿量的基态和第一激发态之间的最小能隙，沿着初始哈密顿数和系统哈密顿度之间的演化路径，这在实践中很难估计[5,6]. 许多量子算法旨在求解给定哈密顿量的基态和能量。具有实多项式的酉矩阵的量子特征值变换（QTE-U）是一种有用的工具，它使用单个辅助量子比特，而不使用多量子比特门来估计基态能量并制备基态[7]. 量子特征值估计算法可以根据演化算符在不同时间的期望值来估计哈密顿量的特征值[8]. 通用量子冷却算法是另一种制备基态的方法，它利用衰减函数的二相表示，以通用和确定性的方式实现浅量子电路的通用冷却过程[9]. 变分量子本征解算器[10]是一种可以提供量子超经典优势的方法，通过使用经典计算机和低相干时间的噪声中间尺度量子器件来完成这项任务。几乎所有基于变分原理的算法都需要很多样本才能获得不同项目的估计值。全量子特征解算器[11]基于酉算子的线性组合[12,13,14,15,16]理论发展迅速[17,18]和一些最先进的实验演示[18,19].
量子共振跃迁（QRT）算法是一种基于哈密顿模拟获得特征值和特征向量的方法。它只需要一个辅助量子位和一个哈密顿演化算符，可以在现有设备上实现。此外，它可以直接获得哈密顿量和每个本征态的能谱，而不仅仅是基态能量。参考文献。[20,21,22,23,24]测定了水分子的两量子位低能有效哈密顿量的能谱和基态。我们设计了新的多轮处理来提高QRT算法的效率，从而降低了 哦 ( Δ E类 / ϵ 2 ) 到 哦 ( R（右） / ϵ ) ，具有特征值范围 Δ E类 ，特征值的数量R（右）和准确性 ϵ 我们利用核磁共振（NMR）四量子位量子模拟器来解决给定能量范围内三量子位有效水分子哈密顿量的本征问题。非热矩阵在更广泛的领域中更为常见，例如数据压缩和主成分分析。因此，作为一个例子，我们还展示了它确定简单非厄米矩阵奇异向量的能力。
本文介绍了基于QRT的算法及其在第2节，显示中的实验细节和结果第3节，并在中分析此工作的一些细节第4节.

2.材料和方法

QRT是一种常见的量子现象，其中能量将从一个系统传输到另一个系统。它通常发生在本征能量相近的两个系统中，例如光子和原子。为了使QRT算法更容易理解，我们首先介绍了确定 H（H） 秒 然后解释如何通过QRT获得给定范围内的特征值。
QRT算法的哈密顿量构造为
H（H） = 1 2 ω σ z（z） ⊗ 我 + H（H） T型 + c（c） σ x个 ⊗ A类 ,
哪里我是标识运算符，并且 σ x个 , z（z） 是泡利矩阵。上述方程中的第一项是探测量子位的哈密顿量，其中 ω 是它的频率。第二任期 H（H） T型 是子空间中工作量子位的哈密顿量 | 1 〉 第三项描述了探针量子位和具有耦合强度的工作量子位之间的相互作用c（c）和交互矩阵A类.哈密顿量 H（H） T型 由提供
H（H） T型 = ω 0 | 0 〉 〈 0 | ⊗ | Φ 〉 〈 Φ | + | 1 〉 〈 1 | ⊗ H（H） 秒 ,
哪里 ω 0 是设置为能量参考点的参数 E类 我 属于 H（H） 秒 在该算法中，我们首先在 | 0 〉 和处于参考状态的功量子位 | Φ 〉 ，这意味着电路的初始状态是 H（H） T型 具有特征值 ω 0 考虑到求解基态的示例 H（H） 秒 ，我们设置 ω + ω 0 ≈ E类 0 .模拟方程中的哈密顿量(1)随着进化时间 τ ，我们应用一阶微扰理论 c（c） ≪ | E类 0 | ，所有量子比特的状态可以表示为
| Ψ ( τ ) 〉 = e（电子） − 我 H（H） τ | 0 〉 ⊗ | Φ 〉 = e（电子） 我 ϕ 1 罪 Ω 0 τ 2 | 1 〉 ⊗ Ψ 0 + e（电子） 我 ϕ 0 余弦 Ω 0 τ 2 | 0 〉 ⊗ | Φ 〉 ,
哪里 Ψ 0 是的基态 H（H） 秒 和 Ω 0 = 2 c（c） Ψ 0 | A类 | Φ .给， ϕ 1 和 ϕ 0 是该算法中不重要的阶段。通过测量探针量子位，我们可以很容易地确认工作量子位的状态。如果进化时间 τ = π 2 c（c） Ψ 0 | A类 | Φ ，最终状态为 | 1 〉 ⊗ Ψ 0 确定地。通过QRT制备本征态的过程如下所示。
（i）将状态初始化为 0 ⊗ Φ 应注意，更好的猜测状态 Φ 通过预处理获得的信息，如张量网络方法，将缩短演化时间 τ 以提高效率。
（ii）动态演化哈密顿量如方程所示(1)和(2). 适当的进化时间将增加下一步的成功概率。
（iii）测量探针量子位.如果 ω + ω 0 ≈ E类 我 ，测量结果为 1 在一定概率下，量子比特的工作状态将是相应的本征态 Ψ 我 .当测量结果为 0 ，所有量子比特的状态为 0 ⊗ Φ ，那么我们应该返回步骤（ii）并再次运行，直到测量结果为 1 .
与原来的工作相比，做同样的事情可以节省一个量子比特[20]. 通常，我们只有一个近似的本征能量，而没有一个精确的本征能，那么就会发生非共振，拉比振荡的振幅为 Ω 0 2 Ω 0 2 + Δ E类 2 哪里 Δ E类 = E类 0 − ( ω + ω 0 ) 换句话说，它也可以访问 Ψ 0 当 Δ E类 ≤ Ω 0 .
在上述示例中，我们假设 H（H） 秒 几乎为人所知。在下面，我们展示了如何在给定的能量范围内获得能量谱。在前面的算法中，探测量子位的概率 | 1 〉 将取决于进化时间 τ 如果 ω + ω 0 近似任何特征值 E类 我 假设能量范围为 E类 米 我 n个 到 E类 米 一 x个 ，我们选择N个等间距点 ω k个 ( k个 = 1 , 2 , … N个 ) 在这个范围内 Δ ω = E类 米 一 x个 − E类 米 我 n个 N个 并设置 ω + ω 0 = ω k个 ，然后运行前面的算法。通过测量概率 P（P） k个 探针量子位的 | 1 〉 对于每个 ω k个 ，很明显，如果 ω k个 ≈ E类 我 ，以及 | 1 〉 将在这些点上增加。如上所述，当 ω k个 越来越接近 E类 我 。我们可以找到 ω k个 对应于峰值点（近似值 E类 我 ˜ 特征值的 E类 我 )用更高的 P（P） k个 、和重置 ω + ω 0 靠近这些点 E类 我 ˜ 步长较小 Δ ω 和c（c）以减小非共振误差。更新的过程 E类 我 ˜ 将重复多次，直到精度足够，并且 E类 我 ˜ 在最后的过程中是误差有限的特征值。它可以通过算法1进行总结。最初的QRT方法刚刚设置 ω k个 = E类 米 我 n个 + k个 ϵ 哪里 k个 = 0 , 1 , 2 , … E类 米 一 x个 − E类 米 我 n个 ϵ 它将以规则的间隔直接扫描感兴趣的特征值范围。通过该循环程序，由于忽略了非共振点，提高了基于QRT的特征值搜索算法的效率。
算法1：QRT特征值搜索
输入： H（H） 秒 , | Φ 〉 , E类 米 我 n个 , E类 米 一 x个 .
第1步：设置 ω k个 = E类 米 我 n个 + k个 × E类 米 一 x个 − E类 米 我 n个 N个 ( k个 = 0 , 1 , … N个 ) 和 c（c） = c（c） 0 .
重复以下步骤：
第二步：设置 ω + ω 0 = ω k个 .
第三步：为每一个运行特征状态搜索算法k个具有步长 Δ ω n个 .
步骤4：获取 P（P） k个 对于每个k个.
第5步：更新 E类 我 ˜ .
第6步：设置 ω k个 从 E类 我 ˜ − 米 Δ ω n个 + 1 到 E类 我 ˜ + 米 Δ ω n个 + 1 ，较小 c（c） n个 + 1 和 Δ ω n个 + 1 = c（c） n个 + 1 .
输出： E类 我 ˜ .
值得一提的是，更好的初始状态 Φ 使用适当的转换运算符A类也会缩短进化时间 τ 例如，如果我们有一个近似的猜测状态 | Φ 〉 关于目标本征态（例如基态），然后我们设置 A类 = 我 并且可以大大缩短进化时间以提高效率。

3.结果

我们在四量子比特液体核磁共振（NMR）系统中演示了该算法。在这些实验中，使用的四量子位样本是13C-标记的转录酸溶解在d6-丙酮中1H在整个过程中解耦。在这封信中，能量和时间是以哈特里和哈特里为单位记录的 − 1 。该分子的结构和参数如所示图1这里，C1被选为探测量子位，C2-C4是工作量子位。弱耦合近似下的内部哈密顿量为
H（H） = − Σ 我 = 1 4 π v（v） 我 σ z（z） 我 + Σ 我 < j个 4 π 2 J型 我 j个 σ z（z） 我 σ z（z） j个 ,
哪里 v（v） 我 是化学位移和 J型 我 j个 是J型-之间的耦合强度我th和j个th核。所有实验均在室温（298 K）下在Bruker DRX 600-MHz光谱仪上进行。

3.1. 水分子哈密顿量的本征值和本征态

在本小节中，我们将演示如何在四比特核磁共振系统中通过QRT算法获得特征值并确定特征态。原理图和量子电路如所示图2NMR实验的第一步是制备伪纯态（PPS）。我们使用空间平均技术方法[25,26,27]通过几个梯度场和酉算子得到。四比特PPS的密度矩阵为
ρ 0000 = 1 − ϵ 16 我 16 + ϵ | 0000 〉 〈 0000 |
其中极化 ϵ ≈ 10 − 5 。单位矩阵不会显示任何信号，因此第二项是有效密度矩阵。在此算法中，初始状态 | 0 〉 ⊗ | 000 〉 与PPS的有效密度矩阵相同，所以我们实际上是在准备PPS后初始化状态。利用量子态层析技术构造PPS的密度矩阵[28,29,30,31,32]并获得 99.51 % 实验结果与 | 0000 〉 〈 0000 | 初始状态的保真度足够高，我们可以继续下一步。
哈密顿模拟是该算法的关键步骤。如上所述，我们模拟的哈密顿量如方程式所示(1)和(2)，其中量子电路实现演化算符 U型 = e（电子） − 我 H（H） t吨 使用Trotter公式如所示图2b.状态 | Φ 〉 是 | 000 〉 这里，还有 H（H） 秒 是八维希尔伯特空间中水分子的有效哈密顿量。转换运算符 A类 = H（H） d日 ⊗ H（H） d日 ⊗ H（H） d日 ，其中 H（H） d日 是Hadamard操作员。这里，我们设置 ω = 1 ，以及水分子哈密顿量的细节 H（H） 秒 如所示附录A假设特征值的有趣范围来自 − 84.30 ( E类 米 我 n个 ) 到 − 80.70 ( E类 米 一 x个 ) ，我们首先设置了60个点，其中 ω + ω 0 更改自 E类 米 我 n个 到 E类 米 一 x个 每隔一段时间 c（c） = 0.05 为了检测哈密顿量的能谱，我们需要获得C1（探测量子位）在 | 0 〉 即。， T型 第页 ( ρ | 0 〉 〈 0 | 我 我 我 ) .通过应用读出脉冲 Y（Y） 我 我 我 ，其中Y（Y）表示旋转 π / 2 沿着年轴， T型 第页 ( ρ | 0 〉 〈 0 | 我 我 我 ) = T型 第页 ( ρ ( 我 我 我 我 + σ z（z） 我 我 我 ) / 2 ) 可以从实验数据的拟合中提取。
这些实验的结果如所示图3a、 在不同的坐标下有一些峰。从这些峰的位置，我们推导出大致对应于以下八个特征值的八个峰 H（H） 秒 : {−81.07 −81.98 −82.41 −82.65 −82.77 −83.02 −83.38 −83.93}. 为了提高准确性，我们重置 c（c） = 0.012 并使用设置重新运行算法 ω + ω 0 靠近八座山峰。结果如所示图3b.它们帮助我们更新前八个特征值：{−81.04−81.98−82.44−82.64−82.75−83.00−83.38−83.96}。与数值计算结果{−81.0447−81.9802−82.4325−82.6418−82.7594−82.9918−83.3756−83.9558}相比，实验值与理论值之间的差值小于步长 Δ ω .
当我们得到哈密顿量的能谱时 H（H） 秒 通过我们的方法或其他方法，我们可以制备这个哈密顿量的本征态。在这里，我们假设基态的准确能量是已知的并已设定 ω + ω 0 = − 83.9558 ，这是 H（H） 秒 。重复前三步后，最终的量子状态为 | 1 〉 ⊗ | Ψ 0 〉 ，使用 | Ψ 0 〉 作为的基态 H（H） 秒 通常，它是一种纠缠态，具有任意的演化时间 τ ，我们需要测量探针量子位，直到测量结果为 | 1 〉 .
对于其他本征态，如果探针量子位的测量结果是 | 1 〉 ，工作量子位的状态是目标状态 | Ψ 我 〉 对应于能级 E类 我 ≈ ω + ω 0 类似地。
作为算法的有效演示，我们重建了与第一个峰值相对应的基态的密度矩阵 E类 一 在里面图3b.我们可以在处于该状态的探测量子比特的子空间中获得基态 | 1 〉 为了确定本征态，我们使用量子态层析成像技术，用一系列读出脉冲重建密度矩阵或量子态[28,29,30,31,32]. 基态表示为图4a、 保真度达到98.66%。

3.2. 奇异值分解

在许多领域，矩阵通常是非厄米或非方的，其中奇异值分解在矩阵分析中更为重要。对于矩阵M（M），SVD可以表示为以下等式：
M（M） = ∑ 我 = 1 N个 秒 我 u个 我 v（v） 我 † ,
N个是矩阵的秩M（M）, u个 我 和 v（v） 我 是我对应奇异值的第个左奇异向量和第个右奇异向量 秒 我 > 0 .
M（M）是一个非厄米矩阵，我们可以构造一个新的厄米矩阵B类[33]:
B类 = 0 M（M） M（M） † 0 ,
0 是零矩阵。B类具有矩阵的全部信息M（M），我们可以通过求解厄米矩阵的特征值问题来获得奇异值和奇异向量B类. The我的特征值和特征向量B类是 秒 我 和 [ u个 我 v（v） 我 ] T型 也就是说，如果 H（H） 秒 = 0 M（M） M（M） † 0 根据我们的算法，工作量子位的最终状态是：
Ψ 我 = | 0 〉 u个 我 + | 1 〉 v（v） 我 .
应该注意的是B类是 秒 0 , 秒 1 ⋯ 秒 N个 , − 秒 N个 , ⋯ , − 秒 1 , − 秒 0 .对于特征值 − 秒 我 ，特征向量为 [ u个 我 − v（v） 我 ] T型 ，除了一个负号外，其他都一样。因此，我们不需要设置参数 ω + ω 0 < 0 因为它们的奇异向量相同。
M（M） = 三 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1
这里，我们使用一个非埃尔米特矩阵M（M）并构造一个新的厄米矩阵B类按方程式(7). 我们通常更关注与较大奇异值相对应的奇异向量，例如在推荐系统中。解决奇异值问题的实验细节类似于第3.1节，此处省略。图5显示了左右奇异向量的重构密度矩阵 | Ψ 0 〉 = 1 2 | 0 〉 | u个 0 〉 + 1 2 | 1 〉 | v（v） 0 〉 最大奇异值，保真度为98.44%。

4.讨论

原始算法的结果类似于图3a.设置 ω 从 E类 米 我 n个 − ω 0 到 E类 米 一 x个 − ω 0 步长相同 ϵ ; 因此，特征值的精度为 ϵ 显然。进化时间是 t吨 = 1 / c（c） = 哦 ( 1 / ϵ ) 在每一点上，关于准确性的总复杂度是 哦 ( Δ E类 / ϵ 2 ) 哪里 Δ E类 = E类 米 一 x个 − E类 米 我 n个 对于我们的多轮程序，方程(三)和之前的工作[6,21]表明共振峰的宽度与c（c）因此，每个特征值附近的点数与 c（c） 我 .它是宽度/步长 ∝ c（c） 我 / Δ ω 我 = 哦 ( 1 ) .如果我们设置 c（c） 我 + 1 = 0.5 × c（c） 我 ，总复杂性 ϵ 是 哦 ( 1 / ϵ ) 因为 ∑ 我 = 1 我 = 我 1 / c（c） 我 ≤ 2 / c（c） 我 = 哦 ( 1 / ϵ ) 在这里，我们忽略第一轮，因为 1 / ϵ 0 ≪ 1 / ϵ 我 。此多轮QRT算法的复杂度为 哦 ( R（右） / ϵ ) 如果我们只关注少数具有高精度的特征值，例如地面状态能量，实验的总时间将大大缩短。与其他量子算法相比，我们改进的QRT算法可以通过时间演化算符获得哈密顿量的任意本征态。使用QSP，我们可以获得j个-特征值和准备具有查询复杂性的特征状态 哦 ( ϵ − 1 ) 。它只需要一个进化算子 e（电子） − 我 H（H） / c（c） 并测量一个辅助量子比特，这可能对量子设备很友好。有关更多详细信息，请参阅附录B.
在这项实验工作中，这里对两种方法所需的资源进行了简单的比较。假设我们可以实现进化操作符 e（电子） − 我 H（H） ，我们粗略计算了不同方法需要使用这个酉算子的次数。要获得的每个点的重复次数 P（P） | 1 〉 这两种方法在实验中是一样的，所以我们在计算中忽略了这个因素。对于原始QRT，我们设置 c（c） = 0.01 对于每个点。点数为 Δ E类 / c（c） = 350 。对于每个点，它都需要 1 / c（c） 酉算子 e（电子） − 我 H（H） 实现哈密顿进化 e（电子） − 我 H（H） t吨 哪里 t吨 = 1 / c（c） 。因此，使用的运算符的总数 e（电子） − 我 H（H） 是35000。对于我们的多轮方法， c（c） = 0.05 ，所以的总数 e（电子） − 我 H（H） 是 3.5 / 0.05 × 1 / 0.05 = 1400 哪里 c（c） 1 = 0.05 第二轮是 72 × 1 / c（c） 2 = 6000 所以，两轮的总数是7400。与原始QRT相比，我们的方法只使用了约20%的算子数 e（电子） − 我 H（H） 以获得具有相同精度的特征值。该方法不限于两轮，并且可以通过更多轮进一步提高比率。
每个实验的总运行时间约为20ms，其中T2约为1s13这样我们就可以忽略它的影响。导致最终实验状态偏离预期本征状态的因素有两个：核磁共振信号强度的波动和梯度上升脉冲工程（GRAPE）脉冲的误差。误差的第一部分是由于理想电磁场强度与实验电磁场强度之间的差异造成的，其中包括实验仪器的不可控波动和一些系统误差，例如测量 π 脉搏。对于第二部分，所有操作员都由GRAPE优化[28,34]在这个四量子比特的实验中，这在理论上并不完美。我们在这里设置的单量子比特门和双量子比特门的可信度为99.99%，第二步中时间演化算子的可信度是99.5%。通过比较最终态与PPS的保真度，我们的实验证实了该量子算法在允许误差范围内的有效性。在这些实验中，有两个因素影响算法的缩放：不确定性 ϵ 哈密顿模拟的特征值和演化时间。对于第二部分，一些替代方法，如Trotter公式[35,36]，稀疏矩阵[14,37]和量子信号处理[38]可以有效地模拟哈密顿量。虽然我们无法给出模拟真实系统的特定缩放定律，但计算资源需要与系统大小成多项式缩放，与经典计算机相比，可以实现量子加速[20,39].
这种量子算法需要测量一个量子位的状态概率。最近，一些量子系统，如超导量子电路和氮空位（NV）中心，有望实现经典计算机之外的实际计算。在这些量子系统中，实现一个量子比特的系综测量是方便快捷的，这使得通过该算法获得哈密顿量的特征值更加有效。

5.结论

总之，我们演示了基于QRT的优化算法，以解决水分子的三量子位有效哈密顿量的本征问题，而不具有良好的初始状态。这个哈密顿量的能量和基态是在一个高保真的四量子位核磁共振量子模拟器中获得的。使用多轮方法，我们从 哦 ( Δ E类 / ϵ 2 ) 到 哦 ( R（右） / ϵ ) 它适用于在大范围内搜索少量高精度的特征值。我们的算法可以比相位估计算法实现二次加速[22]并且在某些问题上可能比绝热量子计算执行得更好[6]. 同时，我们还准备了一个简单非厄米矩阵的奇异向量，显示了解决奇异值分解问题的能力。我们改进的QRT算法减少了求解本征问题的量子资源需求，并为探索量子计算机在矩阵问题上的潜力提供了一种替代方案。

作者贡献

概念化，F.Y.和H.W。；方法论，F.Y。；软件，F.Y.和X.C。；调查，D.Z.和J.W。；资源、G.L.和T.X。；数据管理、X.C.和F.Y。；书面原稿编制，F.Y.和X.C。；写作审查和编辑，D.Z.、S.W.、J.W.和H.W。；监督、T.X.和G.L。；所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

本研究得到了国家基础研究计划的支持。S.W.承认中国国家自然科学基金（批准号：12005015）。我们感谢中国国家自然科学基金会（11974205号和11774197号）的支持；国家重点研发计划项目（2017YFA0303700）；广东省重点研发计划项目（2018B030325002）；以及北京未来芯片先进创新中心（ICFC）。

机构审查委员会声明

不适用。

数据可用性声明

本研究中提供的数据可向相应作者索取。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。资助者在研究设计中没有任何作用；收集、分析或解释数据；撰写手稿时；或者在决定公布结果时。

缩写

本手稿中使用了以下缩写：
豌豆相位估计算法
SVD公司奇异值分解
快速反应时间量子共振跃迁
核磁共振核磁共振
葡萄梯度上升脉冲工程

附录A.水分子的哈密顿量

二次量子化形式的水分子电子哈密顿量[40]是
H（H） S公司 = ∑ 第页 , q个 第页 T型 + 五 N个 q个 一 第页 + 一 q个 − 1 2 ∑ 第页 , q个 , 第页 , 秒 第页 q个 五 e（电子） 第页 秒 一 第页 + 一 q个 + 一 第页 一 秒
哪里 | 第页 〉 , | q个 〉 , | 第页 〉 , | 秒 〉 表示单粒子状态， 一 第页 + 是它的费米子创造算符和算符T型, 五 N个 和 五 e（电子） 分别是单粒子动能算符、核吸引算符和双粒子电子排斥算符。水分子电子结构的Hartree–Fock波函数为 1 一 1 2 2 一 1 2 1 b 2 2 三 一 1 2 1 b 1 2 在量子模拟器上表示水分子所需的量子比特数可以根据参考文献[41]. 考虑到 1 A类 1 对称性，使用STO-3G基集并冻结前两个 一 1 轨道和第一个 b 2 轨道 b 1 轨道和第一个 b 2 轨道，我们构建一个模型空间，其中包括 三 一 1 , 4 一 1 , 1 b 1 和 2 b 2 低能哈密顿量的轨道 H（H） S公司 水分子，并进行构型相互作用（CI）计算[42]. 因此，多参考组态相互作用（MRCI）空间由八个组态状态函数组成，需要两个量子位来表示水分子的状态。哈密顿矩阵由下式给出：
H（H） 秒 = − 82.8959 0.0371 0.1570 0.0008 − 0.0687 0.0496 0.0404 0 0.0371 − 83.8700 0.0200 − 0.2077 0 0.0470 0 0.0404 0.1570 0.0200 − 82.6919 0 − 0.0965 0 0.0470 0.0496 0.0008 − 0.2077 0 − 83.4231 0.0200 − 0.1221 0 0.0687 − 0.0687 0 − 0.0965 0.0200 − 82.0025 0 − 0.0109 − 0.0008 0.0496 0.0470 0 − 0.1221 0 − 82.7118 0.0200 0.1570 0.0404 0 0.0470 0 − 0.0109 0.0200 − 81.0488 0.0371 0 0.0404 0.0496 0.0687 − 0.0008 0.1570 0.0371 − 82.5377
其特征值为 − 81.0447 , − 81.9802 , − 82.4325 , − 82.6418 , − 82.7594 , − 82.9918 , − 83.3756 , − 83.9558 .本文以哈特里和哈特里为单位记录能量和时间 − 1 分别是。在一般情况下，人们总是可以用二次量子化形式写出化学系统的哈密顿量，并通过Jordan–Wigner变换将其映射到作用于量子位的算符。哈密顿量只包含多项式数量的局部相互作用项，这些项可以转换为只作用于几个量子位的算子，并且可以有效地实现。因此，人们可以放心地说，在量子计算机上模拟化学系统所需的计算资源随系统大小呈多项式增长，而不是传统计算机预期的指数增长。

附录B.QRT的误差和复杂性

在本节中，我们简要介绍了原始的QRT算法，并分析了QRT的误差和复杂性。2016年，王和峰利用量子共振跃迁获得了哈密顿量的本征值和本征态。关键步骤是哈密顿设计和进化。该算法包括耦合到 ( n个 + 1 ) -量子位量子寄存器R（右）.
H（H） = − ω 2 σ z（z） ⊗ 我 2 ⊗ ( n个 + 1 ) + 我 2 ⊗ H（H） R（右） + c（c） σ x个 ⊗ A类 .
第二项表示寄存器R的哈密顿量，如下所示
H（H） R（右） = | 0 〉 〈 0 | ⊗ H（H） E类 0 + | 1 〉 〈 1 | ⊗ H（H） S公司 .
在这里， H（H） E类 0 定义为 H（H） E类 0 = E类 0 | E类 0 〉 〈 E类 0 | 具有 E类 0 用作能量参考点和本征态 | E类 0 〉 作为输入状态。该状态不需要与任何特定目标本征状态有实质性重叠。 H（H） S公司 是模拟系统的哈密顿量 A类 = σ x个 ⊗ B类 哪里B类是将驱动系统量子位转换的运算符。当 E类 0 和 E类 j个 等于探针量子位的间隙，即。， ω = E类 j个 − E类 0 ，模拟器处于共振状态。在这里， E类 j个 是特征值 | E类 j个 〉 是相应的本征态。考虑输入状态的子空间 | 1 〉 | 0 〉 | E类 0 〉 和 | 0 〉 | 1 〉 | E类 j个 〉 ，该子空间中的哈密顿量可以重写为：
H（H） 0 j个 = ω 2 + E类 0 c（c） d日 * c（c） d日 − ω 2 + E类 j个 ,
哪里 d日 = 〈 E类 j个 | B类 | E类 0 〉 .如果 E类 0 + ω − E类 j个 ≫ c（c） ，我们可以忽略其他本征态的影响。我们将在误差分析中讨论这种非共振现象。初始状态为 | 1 〉 | 0 〉 | E类 0 〉 ，在哈密顿演化算子之后 e（电子） − 我 H（H） τ ，状态为：
| Ψ 〉 j个 ( τ ) = e（电子） 我 ϕ 0 1 − | 2 c（c） | d日 j个 | Ω 0 j个 罪 ( Ω 0 j个 τ 2 ) | 2 | 1 〉 | 0 〉 | E类 0 〉 + e（电子） 我 ϕ 1 2 c（c） | d日 j个 | Ω 0 j个 罪 ( Ω 0 j个 τ 2 ) | 0 〉 | 1 〉 | E类 j个 〉 .
在这里， Ω 0 j个 = | 2 c（c） d日 j个 | 2 + ( E类 0 + ω − E类 j个 ) 2 .如果辅助量子比特的测量结果是 | 0 〉 | 1 〉 ，第三个寄存器中的状态为j个-第个本征态。
我们改进的QRT具有与原始方法几乎相同的动态过程。关于ancilla量子比特，只有一点不同。通过优化哈密顿量，我们只需在方程中使用一个辅助量子位(1)并使用等式实现相同的过程(A2类).
QRT算法的主要误差是失谐。如方程式所示(A4（A4）)，如果 E类 0 + ω = E类 j个 对于另一种情况， | E类 0 + ω − E类 j个 ′ | ≫ c（c） ，将发生非共振，并且该错误状态的振幅为 | 一 o（o） （f） （f） | ≤ 2 c（c） | d日 j个 | Δ 0 j个 ∝ c（c） / Δ 0 j个 如方程式所示(A5型)，其中 Δ 0 j个 = | E类 0 + ω − E类 j个 | .假设 B类 = 我 2 n个 ，的错误j个-本征态是 ϵ = | | P（P） 秒 我 〉 问 R（右） T型 − | E类 j个 〉 | = 哦 ( c（c） / Δ 米 我 n个 ) .进化时间 τ ≈ π 2 | c（c） d日 j个 | = 哦 ( c（c） − 1 γ − 1 ) 将提高j个-方程中的th本征态(A5型)为常数，其中 γ = 〈 E类 0 | E类 j个 〉 。我们使用中的量子电路来模拟误差图2对于基态。我们设置了Trotter步骤 N个 = 1 / c（c） 对于每个c（c）和更改c（c）从 0.001 到 0.05 。结果是图A1结果表明，误差与c（c）如果Trotter步 N个 = 1 / c（c） 误差是除基态之外的另一种状态的振幅，因此我们通过以下方程计算：
| E类 j个 问 R（右） T型 〉 = 1 − ϵ | E类 j个 〉 + ϵ | E类 j个 ¯ 〉 ϵ = 1 − | 〈 E类 j个 问 R（右） T型 | E类 j个 〉 | 2 .
| E类 j个 ¯ 〉 状态与 | E类 j个 〉 和 | E类 j个 问 R（右） T型 〉 是j个-通过QRT制备的第th本征态。
熵25 00061 g0a1 550
图A1。误差的数值模拟结果 ϵ 具有c（c）.蓝线为模拟结果，红虚线为线性拟合结果。
图A1。误差的数值模拟结果 ϵ 具有c（c）.蓝线为模拟结果，红虚线为线性拟合结果。
熵25 00061 g0a1
QRT可以从设置不同参数的不同点的概率中获得特征值 ω 在这里，我们分析了获取地面状态能量的复杂性。在第一轮中，点数为 ( E类 米 一 x个 − E类 米 我 n个 ) / c（c） 1 ，其中 c（c） 1 是步长 ω QRT可以准确地找到特征值 c（c） 1 在第一轮比赛中。最后一次我-第四轮，共振峰的半宽度为：
2 c（c） 我 | d日 j个 ( 2 c（c） 我 d日 j个 ) 2 + ( E类 0 + ω − E类 j个 ) 2 = 1 / 2 | Δ j个 | = 2 c（c） 我 | d日 j个 | .
所以，这个峰值周围的点数 2 c（c） 我 | d日 j个 | / c（c） 我 = 2 | d日 j个 | 独立于c（c）对于我-取整并获得j个-第h个准确峰值 c（c） 我 。的查询复杂性我-第四轮是
哦 ( 秒 | H（H） | τ ) × 2 | d日 j个 | = 哦 ( 秒 | H（H） | ( c（c） 我 | d日 j个 | ) − 1 × | d日 j个 | ) = 哦 ( 秒 | H（H） | c（c） 我 − 1 ) .
在这里，我们使用QSP来实现哈密顿演化算子。假设 c（c） 我 + 1 = 0.5 c（c） 我 ，除第一轮之外的总查询复杂度为 哦 ( 秒 | H（H） | ∑ 我 = 2 我 c（c） 我 − 1 ) ≤ 哦 ( 秒 | H（H） | c（c） 我 ) = 哦 ( 秒 | H（H） | ϵ − 1 Δ 米 我 n个 − 1 ) ，其中秒是H的稀疏性 ϵ = c（c） 我 是的最终精度j个-第个特征值。我们忽略了第一轮，因为 1 / c（c） 我 ≫ 1 / c（c） 0 在大多数时间内。参考文献。[20,21]使用 ( E类 米 一 x个 − E类 米 我 n个 ) / ϵ 点估计特征值，每个特征值需要 哦 ( 秒 | H（H） | τ ) 时间查询。因此，原始方法的总查询复杂度为 哦 ( 秒 | H（H） | Δ E类 ϵ − 2 γ − 1 ) .为了准确 ϵ 与原始QRT相比，我们的方法实现了二次加速。

工具书类

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熵25 00061 g001 550
图1。(一)的分子结构13C-标记巴豆酸。(b)的分子参数13C-标记巴豆酸。C1是探测量子位，C2-C4是工作量子位。1H在整个实验中是解耦的。对角线和非对角线元素是化学位移和J型联轴器（兆赫）。每个量子比特的退相干时间T2s（秒）显示在底部。
图1。(一)的分子结构13C-标记巴豆酸。(b)的分子参数13C-标记巴豆酸。C1是探测量子位，C2-C4是工作量子位。1H在整个实验中是解耦的。对角线和非对角线元素是化学位移和J型联轴器（兆赫）。每个量子比特的退相干时间T2s（秒）显示在底部。
熵25 00061 g001
熵25 00061 g002 550
图2。(一)这个实验的示意图。左边是水分子及其本征能，右边是探测系统。(b)量子电路实验中使用了Trotter公式。我们设置了 N个 = 1 / c（c） 在这里。旋转角度 R（右） z（z） 1 , R（右） z（z） 2 和 R（右） z（z） 三 是 t吨 N个 , ω 0 t吨 N个 , 2 c（c） t吨 N个 . U型 H（H） 三 是三个单位运算符的Kronecker积 U型 H（H） = U型 H（H） 1 ⊗ 三 满足 U型 H（H） 1 σ z（z） U型 H（H） 1 † = H（H） d日 .
图2。(一)这个实验的示意图。左边是水分子及其本征能，右边是探测系统。(b)量子电路实验中使用了Trotter公式。我们设置了 N个 = 1 / c（c） 在这里。旋转角度 R（右） z（z） 1 , R（右） z（z） 2 和 R（右） z（z） 三 是 t吨 N个 , ω 0 t吨 N个 , 2 c（c） t吨 N个 . U型 H（H） 三 是三个单位运算符的Kronecker积 U型 H（H） = U型 H（H） 1 ⊗ 三 满足 U型 H（H） 1 σ z（z） U型 H（H） 1 † = H（H） d日 .
熵25 00061 g002
熵25 00061 g003 550
图3。状态的概率 | 1 〉 红点是实验结果，蓝线是通过数值模拟得到的。(一) c（c） = 0.05 . (b) c（c） = 0.012 八个峰值代表的八个特征值 H（H） 秒 .概率 P（P） k个 属于 | 1 〉 正在增加 ω + ω 0 ≈ E类 我 ，我们可以推导出 H（H） 秒 通过测量探针量子位。
图3。状态的概率 | 1 〉 红点是实验结果，蓝线是通过数值模拟得到的。(一) c（c） = 0.05 . (b) c（c） = 0.012 八个峰值代表的八个特征值 H（H） 秒 .概率 P（P） k个 属于 | 1 〉 正在增加 ω + ω 0 ≈ E类 我 ，我们可以推导出 H（H） 秒 通过测量探针量子位。
熵25 00061 g003
熵25 00061 g004 550
图4。量子模拟器的实验状态层析成像。(一,b)显示实验重建密度矩阵的真实部分，标记为1-8的行和列表示来自 | 1000 〉 到 | 1111 〉 . (一)接地状态 | Ψ 0 〉 属于 H（H） 秒 对应于 E类 一 在里面图3. (b)的状态 E类 b 离共振点很远。我们只显示探测量子比特所在的子空间元素 | 1 〉 因为其他元素没有提供有关 H（H） 秒 .
图4。量子模拟器的实验状态层析成像。(一,b)显示实验重建密度矩阵的真实部分，标记为1-8的行和列表示来自 | 1000 〉 到 | 1111 〉 . (一)接地状态 | Ψ 0 〉 属于 H（H） 秒 对应于 E类 一 在里面图3. (b)的状态 E类 b 离共振点很远。我们只显示探测量子比特所在的子空间元素 | 1 〉 因为其他元素没有提供有关 H（H） 秒 .
熵25 00061 g004
熵25 00061 g005 550
图5。左奇异向量和右奇异向量的实验状态层析成像M（M）对应于最大奇异值。标记为1–8的行和列表示来自 | 1000 〉 到 | 1111 〉 .
图5。左、右奇异向量的实验状态层析成像M（M）对应于最大奇异值。标记为1–8的行和列表示来自 | 1000 〉 到 | 1111 〉 .
熵25 00061 g005
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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

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