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熵
第24卷
第8版
10.3390/e24081044
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第条

无线光通信中基于量子检测的多址信道

通过
于文斌
1,2,3,4,
陈飞（音译）
2,
徐泽瑜
2,
张一凡
2,
亚历克斯·X·刘
5和
张成军
1,2,3,4,*
1
南京信息科技大学江苏省大气环境与设备技术协同创新中心，南京210044
2
南京信息科技大学计算机科学学院，南京210044
三
南京信息科技大学教育部数字取证工程研究中心，南京210044
4
南京信息科技大学江苏网络监控工程中心，南京210044
5
齐鲁工业大学计算机科学与技术系，济南250353
*
信件应寄给的作者。
熵 2022,24(8), 1044;https://doi.org/10.3390/e24081044
收到的提交文件：2022年7月4日/修订日期：2022年7月21日/接受日期：2022年7月26日/发布日期：2022年7月29日
（本文属于特刊无线通信的信息理论与编码)
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版本注释

摘要

:
本文提出了一种基于相干态量子检测的无线光通信多用户接入方案。在这种情况下，相干态被用作信号载体，并应用量子检测技术来区分来自不同用户的信号。为了完成这项任务，介绍了两种主要的量子测量方法；一种是最小错误鉴别（MED），另一种是明确的状态鉴别（USD）。理论推导表明，当平均光子数足够大时，这两种方法都可以有效地区分来自不同用户的信号。通常，数值结果表明，在双用户情况下，在无噪声的情况下，当MED的平均光子数大于2.5，USD的平均粒子数大于5时，信道容量将接近理论最大极限。在相同的平均光子数下，MED比USD获得更多的信道容量。然而，美元凭借其免费纠错能力赢得了纠错领域的胜利。此外，还研究了USD在热噪声下的检测错误概率和信道容量。结果表明，即使在存在热噪声的情况下，增加信号平均光子数也可以继续保持USD无误检测的优势。此外，与非正交多址（NOMA）相比，USD的误码率（BER）与信噪比（SNR）性能得到了改善。

1.简介

无线光通信（WOC）是一种高速无线通信技术，近年来得到了广泛的研究[1,2,三]. 它具有快速部署、高带宽质量和高安全性的优点[4,5]. 最近的工作通过部署多点对点或多点对多点通信单元来深入研究系统级。研究了相关的多输入多输出（MIMO）原理[6,7,8]. 通常，多址接入技术包括正交多址接入（OMA）和非正交多址（NOMA）。OMA被广泛应用和分析，如时分多址（TDMA）、频分多址（FDMA）和码分多址（CDMA）。在系统中[9]提出了一种光码分多址（OCDMA）网络。对于OCDMA，可以使用光正交码（OOC）来实现[10]. 在工作中[11]分析了WOC的TDMA。此外[12]表明NOMA更适合于WOC，尤其是在强湍流信道中。最近的一些工作，例如[13]显示了为多个用户提供高速空间调制光无线通信的有前景的解决方案。
另一方面，众所周知，上世纪末量子信息科学的诞生被称为科技界的一场革命。21世纪以来，量子信息科学发展迅速，物理学、计算机科学、通信电子学等行业的学者加入了量子信息科学领域的研究浪潮，在量子通信、，量子计算、量子控制等。量子测量是整个量子信息科学建筑的基石，不同量子态信号的检测涉及量子测量的基本原理，特别是基于相干态的WOC，应用最新的量子测量研究成果的价值怎么强调也不过分。
有两种互补的方法来区分非正交量子态。第一个是最小误差鉴别（MED）。该方法旨在找到识别不同量子态的最小错误概率测量[14]. 第二种方法称为明确的国家歧视（USD）。它引入了一种使用不确定结果的完美量子状态识别[15,16]旨在最大化获得确定结果的概率。然而，现实的不完善使得理想的无差错美元不可能实现。因此，实际美元成为MED和理想美元之间的一种度量策略，即使可以获得理想美元的确定性结果，这些确定性结果中也包含一些错误。尽管存在基于后选择测量相干态的传统技术，但它们当然会获得有误差和不确定性的结果，而且它们不能提高标准量子界的性能[14,17]. 然而，与MED领域取得的许多重要进展相比[14,18,19,20,21,22,23,24]，非正交相干态USD的研究工作更为有限[25,26,27]. 实验方面的研究也仅限于对两个相干态进行USD[28]、和[29]介绍了使用广义测量实现的双物质量子比特的最优USD，并表明它们能够优于标准投影测量。中的工作[30]给出了实际中二次相干态USD测量的物理实现。实现多个非正交相干态的USD测量的可行性以及是否可以使用现有的不完美现实条件进行任何达到标准量子边界的理想测量是一个悬而未决的问题。年也进行了类似的尝试[31]但被证明是不成功的[32].
由于量子信息的发展，与OMA和NOMA技术不同，本文试图从量子测量的角度为WOC中的多访问提供解决方案。与传统方法不同，我们考虑使用复数平面中的对称相干态信号作为多用户WOC的载波。通过使用量子检测，多址信道可以适应光信号功率较低的通信情况。它非常适合自由空间光通信，特别是在接收信号功率受到高度限制的深空光通信中[33]. 我们让每个用户对应一对相干状态信号，从而构建一个单位多址信道。有关详细信息，请参阅第2.2节通过应用MED和USD，我们可以分别获得相干态信号的最佳量子检测和无误检测。这些被放置在第2.3节.第2.4节给出了一个典型的双用户信道示例，以便于我们计算信道容量值。此外，我们研究了USD在热噪声下的情况第2.5节评估对无误检测的影响。具体数值实验结果见第3节以证明我们的方法的有效性。

2.多通路和量子检测

2.1. 符号和符号定义

为了便于阅读和理解后续章节，我们设置了表1这里详细说明文本中符号和标记的定义。

2.2. 基于对称相干态的多址信道

理论上，复杂的包络线 α 相干态信号可以从复平面取任意值。因此，这里考虑以下情况：假设 α 被视为 { 0 , 1 , … , 2 K（K） − 1 } ，有 2 K（K） 具有不同参数和相同模的对称复数。具体说明如所示图1.
在图1, α j个 = | α | e（电子） π j个 我 K（K） ; 所有复数 { α j个 } 模量等于 | α | .给，
| α j个 ⟩ = e（电子） − 1 2 | α | 2 ∑ n个 = 0 ∞ α j个 n个 n个 ! | n个 ⟩ , ( j个 ∈ { 0 , 1 , ⋯ 2 K（K） − 1 } ) .
可以从中看到图1那个 α ，相对于复平面的原点对称，具有相反的 − α 。它出现了 K（K） 成对 α 和 − α 总计。
根据上述分析，我们提出了一种基于对称相干态信号的多址信道模型。为了便于公式指标的统一，我们假设用户数量从 0 到K（K）−1，总计 K（K） 用户。如果 2 K（K） 相干态被分配给 K（K） 用户，第j个用户需要享受一对相干态 { | α j个 ⟩ , | α j个 + K（K） ⟩ } ，如所示图1，其中 j个 ∈ { 0 , 1 , ⋯ K（K） − 1 } 并满足 | α j个 + K（K） ⟩ = | − α j个 ⟩ 每个用户采用BPSK方法将传输的信息调制到相干状态 { | α j个 ⟩ , | α j个 + K（K） ⟩ } ，如所示图2.
中显示的用户信号图2具有以下先前假设。在哪里？
用户 :   j个 { H（H） 0 j个 | α j个 ⟩ H（H） 1 j个 | α j个 + K（K） ⟩ ,   ( j个 = 0 , 1 , ⋯ , K（K） − 1 ) .
对于理想的量子多址信道，当不同用户发送的信号状态都是正交的时，不存在用户间干扰。对于相干态多址信道，由于相干态总是非正交的，用户间干扰总是存在的。因此，用户间平均干扰可以通过不同用户相干状态信号的重叠程度来反映，即
第页 = 1 4 K（K） ( K（K） − 1 ) ∑ j个 , j个 ′ = 0 , j个 ′ ≠ j个 j个 ′ ≠ ( j个 + K（K） ) 米 o个 d日 2 K（K） 2 K（K） − 1 | ⟨ α j个 ′ | α j个 ⟩ | 2 = 1 2 ( K（K） − 1 ) ∑ j个 = 1 j个 ≠ K（K） 2 K（K） − 1 e（电子） x个 第页 ( − | α ( 1 − e（电子） π j个 我 K（K） ) | 2 ) .
的价值 第页 介于0和1之间。越接近0，干扰越小，越接近1，干扰越强。
图3显示了用户数、， K（K） ，从2更改为20。这意味着，如果平均光子数足够大，即使用户数很大，用户之间的码间干扰也可以忽略不计。

2.3. 基于量子测量的多用户检测

多用户检测的任务要求我们区分来自不同用户的不同信号。为此，现有的量子多用户检测方法有很多，如最优贝叶斯准则检测和最小均方检测。对于模型中的对称相干态，在等先验概率条件下，最小均方检测与最优贝叶斯准则检测是一致的。在物理意义上，它们都是使用正交投影测量的MED测量。因此，测量后，用户间检测错误的概率为
P（P） e（电子） 基础教学法硕士 = ∑ j个 = 0 K（K） − 1 ∑ k个 = 0 , k个 ≠ j个 k个 ≠ j个 + K（K） 2 K（K） − 1 [ P（P） ( k个 | H（H） 0 j个 ) P（P） ( H（H） 0 j个 ) + P（P） ( k个 | H（H） 1 j个 ) P（P） ( H（H） 1 j个 ) ] .
因为假设所有用户发送的信号集的先验概率相等，所以
P（P） ( H（H） 0 j个 ) = P（P） ( H（H） 1 j个 ) = 1 2 K（K） .
上述方程式简化为
P（P） e（电子） 基础教学法硕士 = 1 2 K（K） ∑ j个 = 0 K（K） − 1 ∑ k个 = 0 , k个 ≠ j个 k个 ≠ j个 + K（K） 2 K（K） − 1 [ P（P） ( k个 | H（H） 0 j个 ) + P（P） ( k个 | H（H） 1 j个 ) ] .
上述检测方法的最终目的是最小化平均检测错误概率。然而，对于每个单独的检测过程，检测中总是存在一定的错误概率，导致结果不明确。因此，这些检测方法都是模糊检测。
另一方面，假设我们采用美元计量。然后，有必要应用广义量子测量原理来检测所有用户信号集，并统一构造公共POVM算子。其目的是获得明确的测试结果。
下面，我们给出了使用美元衡量的POVM运营商的结构。首先，根据相干态的定义，得到了以下性质。
| α j个 + 1 ⟩ = U型 | α j个 ⟩ = U型 j个 | α 0 ⟩ ,
| α 0 ⟩ = U型 | α 2 K（K） − 1 ⟩ ,
U型 2 K（K） = 我 .
可以证明，上述方程中酉算子的形式为
U型 = P（P） H（H） e（电子） π 我 n个 ^ K（K） P（P） H（H） .
在这里， n个 ^ = 一 + 一 是光子数算符，其本征态是光子数态。
根据方程（7）和（8）的形式，我们进一步构造了算符的本征态 U型 并将它们用作子空间H的一组标准正交基，即
U型 = ∑ k个 = 0 2 K（K） − 1 e（电子） k个 π 我 K（K） | γ k个 ⟩ ⟨ γ k个 | .
哪里 ⟨ γ k个 | γ k个 ′ ⟩ = δ k个 k个 ′ ; 很容易知道 | γ k个 ⟩ 是正交的。由于在 | α j个 ⟩ ，我们有
| α j个 ⟩ = ∑ k个 = 0 2 K（K） − 1 c（c） k个 e（电子） π k个 j个 我 K（K） | γ k个 ⟩ .
相应的互惠状态由下式给出
| α j个 ⊥ ⟩ = Z轴 − 1 2 ∑ k个 = 0 2 K（K） − 1 c（c） K（K） * − 1 e（电子） π k个 j个 我 K（K） | γ k个 ⟩ .
在里面，
Z轴 = ∑ k个 = 0 2 K（K） − 1 | c（c） k个 | − 2 .
根据信号状态的对称性，POVM算子 { E类 0 , ⋯ , E类 2 K（K） − 1 , E类 F类 } 数量为 2 K（K） + 1 可以通过以下方程式得出。
E类 j个 = P（P） j个 4 K（K） 2 ∑ k个 , k个 ′ = 0 2 K（K） − 1 c（c） k个 ′ * − 1 c（c） k个 − 1 e（电子） π j个 我 ( k个 − k个 ′ ) K（K） | γ k个 ′ ⟩ ⟨ γ k个 | , ( 0 ≤ j个 ≤ 2 K（K） − 1 ) ,
E类 F类 = 我 − ∑ j个 = 0 2 K（K） − 1 E类 j个 .
在方程式（13）中， P（P） j个 表示获得结果的概率 j个 测量后，当测量状态为 | α j个 ⟩ .
考虑到信道中存在噪声，假设发送的信号是纯态信号 | α j个 ⟩ ，纯状态信号相应地转换为 ρ j个 通过通道后( ρ j个 是混合状态密度运算符）。然后 j个 用户准备信号 我 在测量之前和之后，获得结果的概率 k个 是
P（P） ( k个 | H（H） 我 j个 ) = t吨 第页 ( E类 k个 ρ j个 + 我 K（K） ) .
在上面的方程式中， k个 = 0 , 1 , ⋯ , 2 K（K） , j个 = 0 , 1 , ⋯ , K（K） − 1 , 我 ∈ { 0 , 1 } 将式（14）代入式（6），可以得出结论，在使用美元计量的前提下，用户之间的检测误差概率为
P（P） e（电子） 美元 = 1 2 K（K） ∑ j个 = 0 K（K） − 1 ∑ k个 = 0 , k个 ≠ j个 k个 ≠ j个 + K（K） 2 K（K） − 1 [ t吨 第页 ( E类 k个 ( ρ j个 + ρ j个 + K（K） ) ) ] .
另一方面，如果信道不包含噪声背景，则测量结果转换为
P（P） ( k个 | H（H） 我 j个 ) = t吨 第页 ( E类 k个 | α j个 + 我 K（K） ⟩ ⟨ α j个 + 我 K（K） | ) .
这很容易根据美元计量的性质进行验证：
P（P） ( k个 | H（H） 我 j个 ) = 0 , ( k个 ≠ j个 + 我 K（K） ) .
结合上述等式和等式（15），可以推断出无噪声背景的用户之间的检测错误概率为
P（P） e（电子） 美元 = 0 .
从理论上看，这意味着如果忽略噪声的影响，USD测量可以完美地检测不同用户从多接入信道发送的信号。因此，MED测量只能模糊地检测到不同用户的信号，因为其正交测量机制将始终保持一定的检测错误概率。

2.4. 基于MED和USD的双用户信道容量

接下来，我们以双用户渠道为研究对象。基于对称相干态信号的两个用户的信道模型如所示图4.
两个用户分别具有由BPSK调制的一组相干状态信号，
用户   1 :   { H（H） 0 0 | α 0 ⟩ = | α ⟩ H（H） 1 0 | α 2 ⟩ = | − α ⟩ 用户   2 :   { H（H） 0 1 | α 1 ⟩ = | 我 α ⟩ H（H） 1 1 | α 三 ⟩ = | − 我 α ⟩
根据上一节的分析，从[34,35]关于MED测量，两个用户MED测量落在每个结果上的测量概率可以计算如下：
P（P） ( k个 | H（H） 0 0 ) = 1 4 × ( ∑ 米 , n个 = 0 三 e（电子） x个 第页 ( ( e（电子） π 米 2 我 − 1 ) | α | 2 + π 米 ( ( 米 − k个 ) 米 o个 d日 4 ) 2 我 ) 2 1 + e（电子） − | α | 2 + ( | α | 2 + π n个 2 ) 我 + e（电子） − 2 | α | 2 + π n个 我 + e（电子） − | α | 2 − ( | α | 2 − 三 π n个 2 ) 我 ) 2 , ( k个 ∈ { 0 , 1 , 2 , 三 } ) .
上述等式表示用户1发送信号状态的概率 | α ⟩ ，接收机的测量结果为 k个 根据发射信号的先验概率相等和对称性，推导出更一般的测量概率表达式为
P（P） ( k个 | H（H） 我 j个 ) = P（P） ( ( k个 − j个 − 2 我 ) 米 o个 d日 4 | H（H） 0 0 ) .
其中， k个 ∈ { 0 , 1 , 2 , 三 } , j个 , 我 ∈ { 0 , 1 } 因此，从等式（6）和（20）可以知道，由两用户MED测量的用户间检测错误概率为
P（P） e（电子） 基础教学法硕士 _ 2 = 1 4 ∑ j个 = 0 1 ∑ k个 = 0 , k个 ≠ j个 k个 ≠ j个 + 2 三 [ P（P） ( k个 | H（H） 0 j个 ) + P（P） ( k个 | H（H） 1 j个 ) ] = P（P） ( 1 | H（H） 0 0 ) + P（P） ( 三 | H（H） 0 0 ) .
另一方面，考虑方程式（18）的结果。在同等条件下，使用理想的美元测量值可以实现用户之间的完美无误检测。这表明，在双用户通信问题中，USD测量比MED测量具有更好的用户识别性能。
就双用户通信的信道容量而言，MED测量将从理论上获得相干态双用户信道的最大容量。这里，求最大信道容量相当于求相干态信号的冯·诺依曼熵。传输信号的混合状态为
ρ = 1 4 ∑ j个 = 0 三 | α j个 ⟩ ⟨ α j个 | .
根据方程式（22），使用MED测量，相干状态双用户信道的最大容量为
                                      C类 基础教学法硕士 _ 2 = S公司 ( ρ ) = S公司 ( 1 4 ∑ j个 = 0 三 | α j个 ⟩ ⟨ α j个 | ) = 1 4 ∑ j个 = 0 三 （f） j个 ( α ) ( 2 − 我 o个 克 ( （f） j个 ( α ) ) ) .
在里面，
（f） j个 ( α ) = ( 1 + e（电子） − | α | 2 + ( | α | 2 + π j个 2 ) 我 + e（电子） − 2 | α | 2 + π j个 我 + e（电子） − | α | 2 − ( | α | 2 − 三 π j个 2 ) 我 ) .
此外，如果从理论上研究了USD情况下相干态双用户信道的信道容量，可以推断出USD测量可以实现的最大信道容量将略低于MED测量。为此，下面将给出基于BPSK信号检测结果的两用户USD测量的最大信道容量表达式。
首先，根据方程式（16）和（17），两个用户的美元测量值落在每个结果上的概率为
P（P） ( k个 | H（H） 我 j个 ) = 0 , ( k个 ≠ j个 + 2 我 ) ,
P（P） ( j个 + 2 我 | H（H） 我 j个 ) = t吨 第页 ( E类 j个 + 2 我 | α j个 + 2 我 ⟩ ⟨ α j个 + 2 我 | ) = P（P） D类 ,
P（P） ( 4 | H（H） 我 j个 ) = 1 − P（P） ( j个 + 2 我 | H（H） 我 j个 ) .
哪里 k个 ∈ { 0 , 1 , 2 , 三 } , j个 , 我 ∈ { 0 , 1 } 、和 P（P） D类 定义为
P（P） D类 = 1 4 × 米 我 n个 ( ∥ | ϕ 0 ⟩ ∥ 2 , ∥ | ϕ 1 ⟩ ∥ 2 , ∥ | ϕ 2 ⟩ ∥ 2 , ∥ | ϕ 三 ⟩ ∥ 2 ) ,
∥ | ϕ 0 ⟩ ∥ = ( ⟨ α | + ⟨ 我 α | + ⟨ − α | + ⟨ − 我 α | ) ( | α ⟩ + | 我 α ⟩ + | − α ⟩ + | − 我 α ⟩ ) = 2 1 + e（电子） − | α | 2 + 我 | α | 2 + e（电子） − 2 | α | 2 + e（电子） − | α | 2 − 我 | α | 2 , ∥ | ϕ 1 ⟩ ∥ = ( ⟨ α | − 我 ⟨ 我 α | − ⟨ − α | + 我 ⟨ − 我 α | ) ( | α ⟩ + 我 | 我 α ⟩ − | − α ⟩ − 我 | − 我 α ⟩ ) = 2 1 + 我 e（电子） − | α | 2 + 我 | α | 2 − e（电子） − 2 | α | 2 − 我 e（电子） − | α | 2 − 我 | α | 2 , ∥ | ϕ 2 ⟩ ∥ = ( ⟨ α | − ⟨ 我 α | + ⟨ − α | − ⟨ − 我 α | ) ( | α ⟩ − | 我 α ⟩ + | − α ⟩ − | − 我 α ⟩ ) = 2 1 − e（电子） − | α | 2 + 我 | α | 2 + e（电子） − 2 | α | 2 − e（电子） − | α | 2 − 我 | α | 2 , ∥ | ϕ 三 ⟩ ∥ = ( ⟨ α | + 我 ⟨ 我 α | − ⟨ − α | − 我 ⟨ − 我 α | ) ( | α ⟩ − 我 | 我 α ⟩ − | − α ⟩ + 我 | − 我 α ⟩ ) = 2 1 − 我 e（电子） − | α | 2 + 我 | α | 2 − e（电子） − 2 | α | 2 + 我 e（电子） − | α | 2 − 我 | α | 2 .
其次，假设 X（X） 0 表示用户0的输入信号源， X（X） 1 表示用户1的输入信号源，以及 Y（Y） 表示接收器的输出信号源。 X（X） 0 取值为 { x个 k个 0 | k个 ∈ { 0 , 1 } } 、和 X（X） 1 取值为 { x个 我 1 | 我 ∈ { 0 , 1 } } . Y（Y） 取值为 { 年 我 j个 | 我 , j个 ∈ { 0 , 1 , 2 , 三 , 4 } } 根据不同的测量结果。用USD测量的相干状态双用户信道的转移概率为
P（P） ( 年 01 | x个 0 0 x个 0 1 ) = P（P） ( 年 03 | x个 0 0 x个 1 1 ) = P（P） ( 年 21 | x个 1 0 x个 0 1 ) = P（P） ( 年 23 | x个 1 0 x个 1 1 ) = P（P） D类 2 ,
P（P） ( 年 41 | x个 k个 0 x个 0 1 ) = P（P） ( 年 43 | x个 k个 0 x个 1 1 ) = P（P） ( 年 04 | x个 0 0 x个 我 1 ) = P（P） ( 年 24 | x个 1 0 x个 我 1 ) = P（P） D类 ( 1 − P（P） D类 ) ,
P（P） ( 年 44 | x个 k个 0 x个 我 1 ) = ( 1 − P（P） D类 ) 2 .
对于其余情况，转移概率始终为0。
因此，根据方程（26），可以推断出以USD测量的相干状态两用户信道的最大信道容量为
  C类 美元 _ 2 = 我 ( X（X） 0 X（X） 1 ; Y（Y） ) = H（H） ( Y（Y） ) − H（H） ( Y（Y） | X（X） 0 X（X） 1 ) = − ( P（P） D类 2 我 o个 克 P（P） D类 2 4 + 2 P（P） D类 ( 1 − P（P） D类 ) 我 o个 克 P（P） D类 ( 1 − P（P） D类 ) 2 + ( 1 − P（P） D类 ) 2 我 o个 克 ( 1 − P（P） D类 ) 2 )         + P（P） D类 2 我 o个 克 P（P） D类 2 + 2 P（P） D类 ( 1 − P（P） D类 ) 我 o个 克 P（P） D类 ( 1 − P（P） D类 )         + ( 1 − P（P） D类 ) 2 我 o个 克 ( 1 − P（P） D类 ) 2 = 2 P（P） D类 = 2 × 米 我 n个 ( 1 + 我 e（电子） − | α | 2 + 我 | α | 2 − e（电子） − 2 | α | 2 − 我 e（电子） − | α | 2 − 我 | α | 2 , 1 − e（电子） − | α | 2 + 我 | α | 2 + e（电子） − 2 | α | 2         − e（电子） − | α | 2 − 我 | α | 2 , 1 − 我 e（电子） − | α | 2 + 我 | α | 2 − e（电子） − 2 | α | 2 + 我 e（电子） − | α | 2 − 我 | α | 2 ) .

2.5. 热噪声通道容量

此外，还进一步考虑了热场噪声对USD双用户检测的影响。根据中推导的多址信道的检测错误概率的结果第2.2节，可以导出具有热噪声的两个用户之间的检测误差概率表达式。我们可以获得
P（P） e（电子） 美元 _ 2 = P（P） ( 1 | H（H） 0 0 ) + P（P） ( 三 | H（H） 0 0 ) = P（P） D类 Z轴 16 π N个 ∫ e（电子） x个 第页 ( − | μ − α | 2 N个 ) ( | ⟨ μ | 我 α ⊥ ⟩ | 2 + | ⟨ μ | − 我 α ⊥ ⟩ | 2 ) d日 2 μ = P（P） D类 16 π N个 ∫ ∑ j个 , k个 = 0 三 ( 一 ( j个 + 三 ) 米 o个 d日 4 一 ( k个 + 三 ) 米 o个 d日 4 * + 一 ( j个 + 1 ) 米 o个 d日 4 一 ( k个 + 1 ) 米 o个 d日 4 * ) × e（电子） x个 第页 ( − | μ − α | 2 N个 − | μ | 2 − | α | 2 + e（电子） π j个 我 2 μ * α + e（电子） − π k个 我 2 α * μ ) d日 2 μ .
在这里， 一 j个 是
一 0 = 4 ∥ | ϕ 0 ⟩ ∥ 2 + 4 ∥ | ϕ 1 ⟩ ∥ 2 + 4 ∥ | ϕ 2 ⟩ ∥ 2 + 4 ∥ | ϕ 三 ⟩ ∥ 2 , 一 1 = 4 ∥ | ϕ 0 ⟩ ∥ 2 + 4 我 ∥ | ϕ 1 ⟩ ∥ 2 − 4 ∥ | ϕ 2 ⟩ ∥ 2 − 4 我 ∥ | ϕ 三 ⟩ ∥ 2 , 一 2 = 4 ∥ | ϕ 0 ⟩ ∥ 2 − 4 ∥ | ϕ 1 ⟩ ∥ 2 + 4 ∥ | ϕ 2 ⟩ ∥ 2 − 4 ∥ | ϕ 三 ⟩ ∥ 2 , 一 三 = 4 ∥ | ϕ 0 ⟩ ∥ 2 − 4 我 ∥ | ϕ 1 ⟩ ∥ 2 − 4 ∥ | ϕ 2 ⟩ ∥ 2 + 4 我 ∥ | ϕ 三 ⟩ ∥ 2 .
从方程（28）可以看出，影响误差概率的因素是信号功率和噪声功率。虽然该方程不能用信噪比明确表示，但我们可以使用 S公司 N个 R（右） = | μ | 2 / N个 这有助于我们讨论BER-SNR性能第4节.
此外，在热场噪声背景下用USD测量的相干态双用户信道的信道容量为
                      C类 N个 美元 _ 2 = 我 ( X（X） 0 X（X） 1 ; Y（Y） ) = H（H） ( Y（Y） ) − H（H） ( Y（Y） | X（X） 0 X（X） 1 ) = − ∑ 我 , j个 = 0 4 P（P） ( 年 我 j个 ) 我 o个 克 ( P（P） ( 年 我 j个 ) ) +                                                                     ∑ k个 , 我 = 0 1 ∑ 我 , j个 = 0 4 P（P） ( x个 k个 0 x个 我 1 年 我 j个 ) 我 o个 克 ( P（P） ( 年 我 j个 | x个 k个 0 x个 我 1 ) ) .
考虑到上述方程对所有检测结果的扩展，我们得出
= 1 4 ∑ 我 , j个 = 0 4 ∑ k个 ∈ { 0 , 1 } 我 ∈ { 2 , 三 } P（P） ( 我 | H（H） k个 ) P（P） ( j个 | H（H） 我 ) ( 2 − 我 o个 克 ( ∑ k个 ∈ { 0 , 1 } 我 ∈ { 2 , 三 } P（P） ( 我 | H（H） k个 ) P（P） ( j个 | H（H） 我 ) ) ) + ∑ 我 , j个 = 0 4 P（P） ( 我 | H（H） 0 ) P（P） ( j个 | H（H） 1 ) 我 o个 克 P（P） ( 我 | H（H） 0 ) P（P） ( j个 | H（H） 1 ) .
在这里， P（P） ( 我 | H（H） k个 ) 是
P（P） ( 0 | H（H） 0 ) = P（P） ( 1 | H（H） 1 ) = P（P） ( 2 | H（H） 2 ) = P（P） ( 三 | H（H） 三 ) = P（P） D类 Z轴 16 π N个 ∫ e（电子） x个 第页 ( − | μ − α | 2 N个 ) | ⟨ μ | α ⊥ ⟩ | 2 d日 2 μ   P（P） ( 1 | H（H） 0 ) = P（P） ( 2 | H（H） 1 ) = P（P） ( 三 | H（H） 2 ) = P（P） ( 0 | H（H） 三 ) = P（P） D类 Z轴 16 π N个 ∫ e（电子） x个 第页 ( − | μ − α | 2 N个 ) | ⟨ μ | 我 α ⊥ ⟩ | 2 d日 2 μ ,   P（P） ( 2 | H（H） 0 ) = P（P） ( 三 | H（H） 1 ) = P（P） ( 0 | H（H） 2 ) = P（P） ( 1 | H（H） 三 ) = P（P） D类 Z轴 16 π N个 ∫ e（电子） x个 第页 ( − | μ − α | 2 N个 ) | ⟨ μ | − α ⊥ ⟩ | 2 d日 2 μ , P（P） ( 三 | H（H） 0 ) = P（P） ( 0 | H（H） 1 ) = P（P） ( 1 | H（H） 2 ) = P（P） ( 2 | H（H） 三 ) = P（P） D类 Z轴 16 π N个 ∫ e（电子） x个 第页 ( − | μ − α | 2 N个 ) | ⟨ μ | − 我 α ⊥ ⟩ | 2 d日 2 μ .
哪里
| ⟨ μ | α ⊥ ⟩ | 2 = Z轴 − 1 ∑ j个 , k个 = 0 三 一 j个 一 k个 * e（电子） x个 第页 ( − | μ | 2 − | α | 2 + e（电子） π j个 我 2 μ * α + e（电子） − π k个 我 2 α * μ ) , | ⟨ μ | 我 α ⊥ ⟩ | 2 = Z轴 − 1 ∑ j个 , k个 = 0 三 一 ( j个 + 三 ) 米 o个 d日 4 一 ( k个 + 三 ) 米 o个 d日 4 * e（电子） x个 第页 ( − | μ | 2 − | α | 2 + e（电子） π j个 我 2 μ * α + e（电子） − π k个 我 2 α * μ ) , | ⟨ μ | − α ⊥ ⟩ | 2 = Z轴 − 1 ∑ j个 , k个 = 0 三 一 ( j个 + 2 ) 米 o个 d日 4 一 ( k个 + 2 ) 米 o个 d日 4 * e（电子） x个 第页 ( − | μ | 2 − | α | 2 + e（电子） π j个 我 2 μ * α + e（电子） − π k个 我 2 α * μ ) , | ⟨ μ | − 我 α ⊥ ⟩ | 2 = Z轴 − 1 ∑ j个 , k个 = 0 三 一 ( j个 + 1 ) 米 o个 d日 4 一 ( k个 + 1 ) 米 o个 d日 4 * e（电子） x个 第页 ( − | μ | 2 − | α | 2 + e（电子） π j个 我 2 μ * α + e（电子） − π k个 我 2 α * μ ) ,
Z轴 = 16 × ( ∥ | ϕ 0 ⟩ ∥ − 2 + ∥ | ϕ 1 ⟩ ∥ − 2 + ∥ | ϕ 2 ⟩ ∥ − 2 + ∥ | ϕ 三 ⟩ ∥ − 2 ) .

3.结果与分析

3.1. 数值结果设置

为了更直观地分析量子探测的效果，我们需要对理论结果进行数值验证。此处给出了MED和USD数值结果的设置。
在第3.2节，实验不涉及噪声的影响，因此我们考察了信号功率对误差性能和信道容量的影响。在不损失通用性的情况下，使用平均光子数来测量光信号功率的强度。在这里， | μ | 2 表征信号的平均光子数，输出是信道容量。在第3.3节，除了设置 | μ | 2 实验还考虑了热噪声功率对信道性能的影响。我们让 N个 描述热噪声的平均光子数，并检查输出作为用户间检测错误概率和信道容量。在这些实验中， | μ | 2 取值范围为0.1至5 N个 取值范围为0.01至0.5。其他参数，如SNR，将用于第4.2节有关符号的定义，请参见表1.

3.2. 无噪声情况下两用户检测的数值结果

第2.3节理论上给出了在无噪声情况下，使用理想USD测量实现用户间无差错检测的效果，而相同条件下的MED测量只能给出具有一定错误概率的检测结果。
在本节中，对上述结果进行了数值实验，以研究在没有任何噪声背景的情况下，通过MED和USD测量两个用户的相干状态信号时的最大信道容量。以及用户间检测错误概率和USD在存在热噪声的情况下测量的最大信道容量，将在下一节中介绍。
根据方程式（23）和（27）的计算，图5描述了用MED和USD测量的最大信道容量曲线，两条曲线之间的灰色区域是MED可达到但USD无法达到的信道容量区域。这表明，对于多用户检测问题，USD测量可以获得比MED测量更好的用户间检测错误概率（理想情况下没有错误），而信道容量的可达区域小于MED测量。
从中可以看出图5在信号的平均光子数较小的部分，两者之间的差异更为明显。单位两用户通信的最大信道容量为2。当平均光子数为1.5时，MED已经超过1.8，而当平均光子数量为3时，则接近2。对于USD情况，尽管其信道容量低于MED，但当平均光子数超过5时，信道容量接近2。这对于多用户通信来说是有效的，因为理论上它们只需要较少的功率用于相干状态信号。
另一方面，作为信道容量的理论极限，它实际上很难达到，因为总是存在噪声。事实上，对于MED，赫尔斯特罗姆让步了[14]二进制量子探测的理论极限，即MED界图5此外，实际接收机可以克服接近Helstrom界限性能的噪声影响[36]当信号功率足够大时。因此，容量的典型范围可以达到MED边界附近的灰色区域图5.
对于美元，我们所知道的是，在美元边界以下的区域应能达到典型的容量范围图5然而，如何做到这一点的确切细节要复杂得多，因为对一般量子混合态在噪声下的USD情况还没有充分研究[31,32]. 然而，基于本文使用的对称相干态信号，通过使用一些数学技巧可以在一定程度上解决USD的噪声问题。该部分将在下一节中开发。

3.3. 热噪声条件下的USD检测性能

与MED不同，噪声对MED的影响只会增加其平均错误概率并降低其信道容量，噪声挑战了USD零错误的优势，因此有必要研究热噪声对USD错误的影响程度。
图6绘制热噪声功率平均光子数的用户间检测错误概率 N个 根据方程式（28）的计算结果，从0.01到0.5。图中的红线表示无噪声情况，其中错误概率为0，即在无噪声的情况下实现USD的无错误识别效果。
从中可以看出图6当噪声平均光子数增加时，USD的用户间检测错误概率也增加。在信号平均光子数的1到1.5之间形成一个清晰的峰值。这有两个原因。一方面，随着信号功率的增加，用户之间检测错误的概率趋于降低；另一方面，由于与信号相关的不可忽视的噪声，USD测量退化为一般的量子测量。此时，虽然用户之间存在较小的检测错误概率，但每个用户拥有的BPSK信号的检测错误几率增加，但总体检测性能下降。
根据方程式（30）的计算结果，图7描述了USD的信道容量曲线，噪声功率在0.1到0.5之间均匀变化。此处的红线表示无声情况下的信道容量，这实际上与美元绑定值一致图5.
当平均光子数进一步增加超过5时，噪声对USD测量的降级影响将逐渐减小，USD仍将获得较低的检测错误概率和较高的信道容量，如图所示图6和图7这意味着在信号功率达到一定值（例如，平均光子数超过5）后，增加信噪比可以使无误检测继续有效。

4.讨论

4.1. MED和USD的计算复杂性

MED和USD使用量子测量方法进行解调，其复杂性取决于POVM算子的构造步骤。在不失一般性的情况下 n个 使用量子检测方法的用户， 2 n个 使用MED测量时需要POVM操作员，以及 2 n个 + 1 美元需要POVM操作员。MED和USD的实施步骤如下 2 n个 和 2 n个 + 1 分别是。因此，它们的计算复杂性是 O（运行） ( n个 ) .

4.2. 与NOMA的比较

众所周知，与OMA不同，NOMA方法使用非正交检测手段，如POWER检测，可以在没有编解码器的情况下实现多访问，并且通常访问用户的数量可以高于OMA，检测复杂度较低[12]. 本文使用的MED方法使用非正交相干状态信号进行检测，因此本质上是一种NOMA方法[34,35].
差异较大的是美元；虽然USD也使用非正交状态检测手段，并且与NOMA相比具有许多优势，但它使用零误差分辨率测量来实现比传统NOMA更低的检测误差。在图8，我们比较了USD和NOMA的BER-SNR性能。NOMA的噪声功率设置为0.1[12]，USD的噪声相应地设置为0.1和0.2。从结果可以看出，USD比NOMA具有更好的误码率性能，与直觉不同，当噪声功率增加时，USD的误码率也显著降低。这是因为根据方程（28），其错误概率不仅取决于信噪比，还取决于信号功率（在一定的信噪比下，噪声功率决定信号功率）。换句话说，当信号功率足够大时，即使在较小的信噪比下也可以保证较高的误码率性能。USD的这一特性本质上来自其执行零错误鉴别的能力，在检测过程中提取尽可能多的正确信息，而这在传统的NOMA中是不可用的。

4.3. QAM对MED和USD有效吗？

本文提出的方法针对M-PSK，这很容易与考虑QAM方法的可能性联系起来。事实上，QAM使用幅度和相位共调制，相干态形式的典型推广如所示图9，其中振幅 2 K（K） 外环用户的振幅是 K（K） 内环中的用户，即。， 2 | α k个 < 2 K（K） | = | α k个 ≥ 2 K（K） | 不幸的是，虽然QAM的量子状态形式可以表示多个用户，但迄今为止还没有好的方法来获得他们的最佳检测[35]. 这是因为QAM形式的量子态破坏了对称性，这使得求解MED非常困难。同样的试探性挑战也适用于USD[32].
这确实是一个我们的工作尚未涵盖的领域，我们将在未来寻找解决这一问题的可能方法。

5.结论

本文提出了一种基于对称相干态的量子多址信道模型，并给出了用户间平均干扰的表达式。在此基础上，研究了量子检测在相干态信号多址信道中的应用，给出了MED和USD的信道容量。结果表明，MED是一种能够达到最大信道容量的最优检测方法。理想的USD测量可以在没有错误的情况下区分来自不同用户的信号，尽管其信道容量理论上低于MED，因此在考虑信息错误纠正的情况下，USD是比MED测量更好的多用户检测方法。
在不损失通用性的情况下，我们研究了一个双用户信道，并检查了其最大容量和用户间检测错误概率。理论分析和数值结果表明，USD的最大信道容量小于MED，并且存在一个MED可以达到但USD无法达到的信道容量区域。这证明美元牺牲了一部分信道容量来实现无误歧视。此外，在热噪声的影响下，USD的用户间检测错误概率在平均信号光子数约为1.0至1.5时达到峰值，并随着信号功率的增加而降低。然而，在平均光子数超过5后，USD可以通过提高信噪比来克服噪声的影响，显示出纠错的优势。此外，我们还研究了USD方法与NOMA方法的BER-SNR曲线。
我们给出了一般多用户检测的理论结果。在未来的工作中，我们将重点研究大规模用户数量的情况下的数值模拟，以及噪声情况下大规模用户数量的研究。

作者贡献

概念化，W.Y。；方法学，W.Y。；书面原稿编制，W.Y.、F.C.、Z.X.、Y.Z.和C.Z。；W.Y.、F.C.、Z.X.、Y.Z.、A.X.L.和C.Z.的书面审查和编辑。；监督、W.Y.和C.Z。；资金收购、W.Y.、A.X.L.和C.Z。所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

本研究由中国自然科学基金资助，批准号为61501247、62071240、61703212、61872082和61472184；江苏省六大人才高峰项目，批准号2015-XXRJ-013；江苏省自然科学基金，批准号BK20171458；江苏省高等学校自然科学基金，批准号6KJB520030；广东省领军人才计划，批准号：2016LJ06D658；广东省创新团队项目，批准号：2018KCXTD030；以及PAPD和CICAEET基金。

机构审查委员会声明

不适用。

知情同意书

不适用。

数据可用性声明

不适用。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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熵24 01044 g001 550
图1。 2 K（K） 与复平面原点对称的复数。
图1。 2 K（K） 与复平面原点对称的复数。
熵24 01044 g001
熵24 01044 g002 550
图2。基于对称相干状态信号的多址信道。
图2。基于对称相干状态信号的多址信道。
熵24 01044 g002
熵24 01044 g003 550
图3。平均用户干扰， 第页 ，用于多用户相干状态信号。
图3。平均用户干扰， 第页 ，用于多用户相干状态信号。
熵24 01044 g003
熵24 01044 g004 550
图4。基于相干状态信号的双用户信道。
图4。基于相干状态信号的双用户信道。
熵24 01044 g004
熵24 01044 g005 550
图5。两用户信道的最大MED容量和USD容量。
图5。两用户信道的最大MED容量和USD容量。
熵24 01044 g005
熵24 01044 g006 550
图6。热噪声背景下USD两个用户之间的检测错误概率。
图6。热噪声背景下USD两个用户之间的检测错误概率。
熵24 01044 g006
熵24 01044 g007 550
图7。热噪声背景下的最大信道容量USD（噪声平均光子数从0.1到0.5）。
图7。热噪声背景下的最大信道容量USD（噪声平均光子数从0.1到0.5）。
熵24 01044 g007
熵24 01044 g008 550
图8。美元和NOMA的误码率与信噪比性能。
图8。美元和NOMA的误码率与信噪比性能。
熵24 01044 g008
熵24 01044 g009 550
图9。QAM形式的相干状态信号 三 K（K） 用户。
图9。QAM形式的相干状态信号 三 K（K） 用户。
熵24 01044 g009
表
表1。文本中一些有用的符号和符号的定义。
表1。文本中一些有用的符号和符号的定义。
符号或符号定义
BPSK公司二进制相移键控
M-PSK公司多进制相移键控
质量保证经理正交幅度调制
POVM公司正算子值测度的算子
K（K） 多访问通道中的用户数
| α j个 ⟩ 相干态
E类 j个 POVM操作员
| μ | 2 信号平均光子数，表征信号的功率。
N个 热噪声的平均光子数，表征噪声的功率。
ρ 信号叠加热噪声的密度算子，通常 ρ = ( π N个 ) − 1 ∫ e（电子） x个 第页 ( − | μ − α | 2 N个 ) | μ ⟩ ⟨ μ | d日 2 μ .
伯误码率
S公司 N个 R（右） 信噪比；在本文中，它表示为 | μ | 2 / N个 .
出版商备注：MDPI对公布的地图和机构关联中的管辖权主张保持中立。

分享和引用

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