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第22卷
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10.3390/e22030352
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第条

Richards方程显式差分格式的稳定性分析

通过
刘凤楠
1,
福本康熙
2,*和
赵小鹏
三
1
大连理工大学数学物理学院，盘锦124221
2
九州大学工业数学研究所，744 Motooka，Nishi-ku，Fukuoka 819-0395，日本
三
东北大学科学院，沈阳110819
*
应向其寄送信件的作者。
熵 2020,22(3), 352;https://doi.org/10.3390/e22030352
收到的提交文件：2020年1月6日/修订日期：2020年3月14日/接受日期：2020年3月15日/发布日期：2020年3月18日
（本文属于特刊非线性扩散方程的应用)
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摘要

:
针对Richards方程，提出了一种基于前向欧拉格式的稳定显式差分格式。为了避免Richards方程的退化，我们对抛物项的函数系数添加了扰动。此外，我们在差分格式中引入了一个额外的项，用于放宽时间步长限制，以改善稳定性条件。利用增广项，我们用归纳法证明了稳定性。数值实验表明了该方案的有效性、准确性和效率。

1.简介

当大雨袭来时，了解水渗入地下的方式对于预测河流洪水和山体滑坡等灾害至关重要。描述多孔介质中非饱和带流体运动的经典数学模型是Richards方程，它是一个非线性退化平流扩散方程。理查兹方程最近出现了两个主要的研究方向。一种是通过找到系数函数的特定形式来找到精确解，从而使方程完全可积。精确的解决方案有助于清楚地捕捉现象的物理机制并追求可控性[1,2,三]. 另一个研究方向是通过数值方法寻求近似解，使系数函数符合实际情况。有限元、有限差分或有限体积方法在[4,5]以及其中的参考。上述方案通常使用基于反向欧拉格式的完全隐式方案。自适应时间步进的研究[6,7]. 在这些研究中，设计了一些保守格式，数值试验表明它们具有良好的稳定性和一定的阶精度，但没有给出理论证明。
到目前为止，我们只知道一篇论文来证明Richards方程的混合有限元离散化在[8,9]. 在[8]他们引入了隐式混合元格式，并应用Kirchhoff变换处理Richards方程的简并性。基尔霍夫变换可以用于连续内积，但在差分格式的分析中必须采用离散内积，因此我们采取了一种新的方法，即通过对抛物项的系数函数添加扰动来克服退化。
在[8]他们使用的格式是隐式的，稳定性条件肯定优于显式格式。因此，在隐式格式的分析中，他们没有注意到稳定性条件。然而，只有在严格的网格比限制下，显式数值格式才是稳定的。为了改善稳定性条件，我们在差分格式中引入了一个额外的项来放宽时间步长限制，以改善稳定性条件。此外，隐式数值格式和显式差分格式的理论分析是完全不同的。
我们知道，这些早期的尝试都是基于反向欧拉差分格式和中心差分格式的隐式格式，尽管在某些情况下，可能必须使用隐式格式来避免不稳定性。然而，一个强非线性代数系统必须在每个时间层上求解，即使这些迭代方法[10,11]使用时，仍需要大量计算。显式格式是提高计算效率的一个很好的选择，但经典显式格式由于其退化性和严格的时间步长限制而不能用于Richards方程。
本文的主要目的是为Richards方程提供一个有效的显式数值格式，并证明其稳定性。这项工作的主要目标有三：首先，我们对抛物项的系数函数添加扰动以克服简并性。其次，我们在差分格式中引入了一个常系数稳定项，以放宽对时间步长的稳定性限制。请注意，在模拟Cahn–Hilliard方程时使用了类似的技术[12]和MBE模型[13]. Cahn–Hilliard方程和MBE模型是四阶抛物型偏微分方程，因此它们分别在Fourier谱格式和有限元格式中引入了二阶稳定项。Richards方程是一个二阶方程，因此在显式差分格式中添加的稳定项是完全不同的。最后，我们用归纳法证明了其稳定性，并进行了一些数值实验。
本文的组织结构如下。在第2节给出了Richards方程的显式差分格式。在第3节，我们证明了该方案的稳定性。在第4节，给出了一些数值实验。我们将论文总结为第5节.

2.Richards方程和显式差分格式

理查兹方程可以写成三种等效形式，其中一种是压头 小时 [ L（左） ] 或含水量 θ [ L（左） 三 / L（左） 三 ] 作为因变量。我们记得液压头 小时 + z（z） 被分隔成压力头 小时 = 第页 / ( ρ 克 ) 和重力头z（z），垂直坐标向上增加，随着压力第页通过重力归一化。在这里 ρ 是流体的质量密度克是重力加速度。之间的本构关系 θ = θ ( z（z） , t吨 ) 和 小时 = 小时 ( z（z） , t吨 ) 允许从一个转换到另一个。这三种形式可以确定为小时-基于， θ -基于和混合：
  • 小时-基于
    C类 ( 小时 ) ∂ 小时 ∂ t吨 − ∇ · K（K） ( 小时 ) ∇ 小时 − ∂ K（K） ∂ z（z） = 0 ,
  • θ -基于
    ∂ θ ∂ t吨 − ∇ · D类 ( θ ) ∇ θ − ∂ K（K） ∂ z（z） = 0 ,
  • 混合的
    ∂ θ ∂ t吨 − ∇ · K（K） ( 小时 ) ∇ 小时 − ∂ K（K） ∂ z（z） = 0 ,
其中实数函数 C类 ( 小时 ) ≡ d日 θ / d日 小时 , K（K） ( 小时 ) 、和 D类 ( θ ) ≡ K（K） ( θ ) / C类 ( θ ) 分别表示比湿容函数 [ 1 / L（左） ] ，非饱和导水率 [ L（左） / 吨 ] 和非饱和扩散率 [ L（左） 2 / 吨 ] .系数 K（K） ( 小时 ) 描述了水在孔隙中流动的难易程度，并取决于材料的固有渗透率、饱和度以及流体的密度和粘度。假设多孔介质是各向同性的。
我们认为小时-以Haverkamp等人报告的数据为基础的表格[14,15]它用于求解土柱入渗的一个例子。
θ ( 小时 ) = α ( θ 秒 − θ 第页 ) α + | 小时 | β + θ 第页 , K（K） ( 小时 ) = K（K） 秒 A类 A类 + | 小时 | γ ,
哪里 θ ( 小时 ) 表示含水量。 θ 第页 和 θ 秒 分别为初始含水量和饱和含水量。此外， C类 ( 小时 ) = d日 θ / d日 小时 ，简单的计算表明
C类 ( 小时 ) = θ ′ ( 小时 ) = α ( θ 秒 − θ 第页 ) β | 小时 | β − 1 ( α + | 小时 | β ) 2 , K（K） ′ ( 小时 ) = K（K） 秒 A类 γ | 小时 | γ − 1 ( A类 + | 小时 | γ ) 2 .
对于给定的 θ ( 小时 ) 和 K（K） ( 小时 ) ，我们考虑以下数据[16].
α = 1.611 × 10 6 , θ 秒 = 0.287 , θ 第页 = 0.075 , β = 3.96 , K（K） 秒 = 0.00944 厘米 / 秒 , A类 = 1.175 × 10 6 , γ = 4.74 .
小时 ( 40 厘米 , t吨 ) = 小时 t吨 o个 第页 = − 20.7 厘米 , 小时 ( 0 , t吨 ) = 小时 b条 o个 t吨 t吨 o个 米 = − 61.5 厘米 .
这些数据提供了土壤柱渗透示例中的一些实数。从数据中，我们可以验证 K（K） ( 小时 ) 和 K（K） ′ ( 小时 ) 很容易，即。， K（K） ( 小时 ) ≤ K（K） < K（K） 秒 , K（K） ′ ( 小时 ) ≤ K（K） 1 对于 小时 ∈ R（右） 这将用于稳定性证明。
让 Δ z（z） = L（左） / M（M） 是均匀步长，其中M（M）是一个正整数。我们划分时间范围吨具有N个段，让 τ = 吨 / N个 , t吨 n个 = n个 τ 是统一的时间长度。那么对于一个函数 小时 ( t吨 , z（z） ) ，表示 H（H） 我 n个 = 小时 ( z（z） 我 , t吨 n个 ) ，其中 z（z） 我 = 米 Δ z（z） , 米 = 0 , 1 , … , M（M） 、和 Ω ¯ = { z（z） 我 | 我 = 0 , 1 , … M（M） } , t吨 n个 = n个 τ , n个 = 0 , 1 , … , N个 .让 λ = τ / Δ z（z） 2 是网格比率。
定义以下差异运算符
δ t吨 H（H） 我 n个 = H（H） 我 n个 + 1 − H（H） 我 n个 τ , 0 ≤ n个 ≤ N个 − 1 ,
∇ 小时 H（H） 我 n个 = H（H） 我 + 1 n个 − H（H） 我 − 1 n个 2 Δ z（z） , Δ 小时 H（H） 我 n个 = H（H） 我 + 1 n个 − 2 H（H） 我 n个 + H（H） 我 − 1 n个 Δ z（z） 2 , 1 ≤ 我 ≤ M（M） − 1 .
现在，我们介绍离散 L（左） 2 内积为 〈 u个 , v（v） 〉 = Δ z（z） { 1 2 ( u个 0 v（v） 0 + u个 M（M） v（v） M（M） ) + ∑ 我 = 1 M（M） − 1 u个 我 v（v） 我 } , 和相应的离散 L（左） 2 标准是 ∥ v（v） ∥ 小时 = 〈 v（v） , v（v） 〉 1 2 此外，离散 H（H） 1 半范数 | · | 1 , 小时 和离散最大范数 | · | ∞ , 小时 定义为
| v（v） | 1 , 小时 = Δ z（z） ∑ 我 = 1 M（M） − 1 ( ∇ 小时 v（v） 我 ) 2 1 2 , | v（v） | ∞ , 小时 = 啜饮 我 | v（v） 我 | , 我 = 1 , … M（M） .
经典的一阶显式差分格式为
C类 ( H（H） 我 n个 ) δ t吨 H（H） 我 n个 − ∇ 小时 ( K（K） ( H（H） 我 n个 ) ∇ 小时 H（H） 我 n个 ) − K（K） ′ ( H（H） 我 n个 ) ∇ 小时 H（H） 我 n个 = 0 .
针对Richards方程的简并性，设计了一种处理非线性抛物项的特殊技巧。我们加上一个正常数 ϵ 1 到 C类 ( H（H） 我 n个 ) 在(7)（事实上， ϵ 1 可以看作是 C类 ( H（H） 我 n个 ) ). 然后，修改后的一阶显式格式为
C类 ( H（H） 我 n个 ) δ t吨 H（H） 我 n个 + ϵ 1 δ t吨 H（H） 我 n个 − ∇ 小时 ( K（K） ( H（H） 我 n个 ) ∇ 小时 H（H） 我 n个 ) − K（K） ′ ( H（H） 我 n个 ) ∇ 小时 H（H） 我 n个 = 0 .
利用以对流为主的扩散问题为特征的Richards方程，数值实验表明(8)受网格比率的限制，这意味着该方案仅在非常小的时间步长内稳定，正如预期的那样。所以我们在(8)改善稳定性条件，放宽时间步长的限制。
C类 ( H（H） 我 n个 ) δ t吨 H（H） 我 n个 + ϵ 1 δ t吨 H（H） 我 n个 − ϵ 2 ( Δ 小时 H（H） 我 n个 + 1 − Δ 小时 H（H） 我 n个 ) − ∇ 小时 ( K（K） ( H（H） 我 n个 ) ∇ 小时 H（H） 我 n个 ) − K（K） ′ ( H（H） 我 n个 ) ∇ 小时 H（H） 我 n个 = 0 ,
哪里 ϵ 2 是要确定的正常数，以改善稳定性条件。
备注 1
在[17]对于一维Richards方程，我们还建立了一个线性化的半隐式有限差分格式，并分析了其稳定性。与方案相比[17]，显式差分方案(9)是为了避免在每个时间步长求解线性代数方程。如果我们用N段划分时间域，显式差分格式可以将计算成本降低到 1 / N个 这一点。所以显式差分格式(9)更简洁，其数值模拟速度更快。

3.稳定性分析

定理 1
方案(9)与稳定 L（左） ∞ 离散范数，当时间步长满足 τ < ( C类 ϵ + ϵ 1 ) K（K） 秒 / K（K） 1 2 ，其中 C类 ϵ ≥ 0 是的下限 C类 ( H（H） 我 n个 ) .
证明。 
发件人(4)，的下限 K（K） ( H（H） 我 n个 ) 对于有界 | 小时 | 现在我们假设有一个常数 k个 ϵ > 0 这样的话 k个 ϵ < K（K） ( H（H） 我 n个 ) , 我 = 0 , 1 , … , M（M） 用于固定n个.取的内积(9)带有 H（H） n个 + 1 − H（H） n个 给予
我 1 + 我 2 + 我 三 − 我 4 = 0 ,
哪里 我 1 – 我 4 满足
我 1 = 〈 ( C类 ( H（H） n个 ) + ϵ 1 ) H（H） n个 + 1 − H（H） n个 τ , H（H） n个 + 1 − H（H） n个 〉 ≥ ( C类 ϵ + ϵ 1 τ ) ∥ H（H） n个 + 1 − H（H） n个 ∥ 2 ,
我 2 = − 〈 ϵ 2 ( Δ 小时 H（H） n个 + 1 − Δ 小时 H（H） n个 ) , H（H） n个 + 1 − H（H） n个 〉 = ϵ 2 ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 − ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 ,
我 三 = 〈 K（K） ( H（H） n个 ) ∇ 小时 H（H） n个 , ∇ 小时 H（H） n个 + 1 − ∇ 小时 H（H） n个 〉 = 〈 K（K） ( H（H） n个 ) ( ∇ 小时 H（H） n个 + 1 − ∇ 小时 H（H） n个 ) , ∇ 小时 H（H） n个 − ∇ 小时 H（H） n个 + 1 + ∇ 小时 H（H） n个 + 1 〉 ≥ − K（K） ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 − ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 + K（K） ϵ 2 ( ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 − ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 ) ,
和
我 4 = 〈 K（K） ′ ( H（H） n个 ) ∇ 小时 H（H） n个 , H（H） n个 + 1 − H（H） n个 〉 ≤ ϵ 1 2 τ ∥ H（H） n个 + 1 − H（H） n个 ∥ 2 + K（K） 1 2 τ 2 ϵ 1 ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 .
总结起来，我们得到
( C类 ϵ + ϵ 1 2 τ ) ∥ H（H） n个 + 1 − H（H） n个 ∥ 2 + ( ϵ 2 − K（K） ) ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 − ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 + K（K） 秒 2 ( ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 − ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 ) ≤ K（K） 1 2 τ 2 ϵ 1 ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 ,
对于 ϵ 2 ≥ K（K） 简单计算表明
∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 ≤ ( 1 + K（K） 1 2 τ ϵ 1 K（K） 秒 ) ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 ,
这意味着存在一个正常数 c（c） 1 ，独立于 Δ z（z） 和 τ ，因此 ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 ≤ c（c） 1 .
我们现在准备证明关于离散变量的稳定性 L（左） 2 规范。取的内积(9)带有 H（H） n个 + 1 ，我们有
E类 1 + E类 2 + F类 1 ≤ E类 三 + F类 2 + E类 5 ,
哪里
E类 1 = 〈 ( C类 ( H（H） n个 ) + ϵ 1 ) H（H） n个 + 1 − H（H） n个 τ , H（H） n个 + 1 〉 ≥ C类 ϵ + ϵ 1 2 τ ( ∥ H（H） n个 + 1 ∥ 2 − ∥ H（H） n个 ∥ 2 ) ,
E类 2 = − 〈 ϵ 2 Δ 小时 H（H） n个 + 1 , H（H） n个 + 1 〉 = ϵ 2 ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 ,
E类 三 = − 〈 ϵ 2 Δ 小时 H（H） n个 , H（H） n个 + 1 〉 ≤ ϵ 2 2 ( ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 + ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 ) ,
E类 4 = 〈 K（K） ( H（H） n个 ) ∇ 小时 H（H） n个 , ∇ 小时 H（H） n个 + 1 〉 = 〈 K（K） ( H（H） n个 ) ∇ 小时 H（H） n个 , ∇ 小时 H（H） n个 + 1 − ∇ 小时 H（H） n个 + ∇ 小时 H（H） n个 〉 , = 〈 K（K） ( H（H） n个 ) ∇ 小时 H（H） n个 , ∇ 小时 H（H） n个 〉 ⏟ F类 1 + 〈 K（K） ( H（H） n个 ) ∇ 小时 H（H） n个 , ∇ 小时 H（H） n个 + 1 − ∇ 小时 H（H） n个 〉 ⏟ F类 2 ,
E类 5 = 〈 K（K） ′ ( H（H） n个 ) ∇ 小时 H（H） n个 , H（H） n个 + 1 〉 ≤ K（K） ϵ 2 ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 + K（K） 1 2 2 K（K） ϵ ∥ H（H） n个 + 1 ∥ 2 .
应用Young不等式，我们得到
F类 1 ≥ K（K） ϵ ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 , F类 2 ≤ K（K） 2 ( ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 − ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 ) .
最终，我们获得
( C类 ϵ + ϵ 1 2 τ − K（K） 1 2 2 K（K） ϵ ) ∥ H（H） n个 + 1 ∥ 2 + ( K（K） ϵ 2 − ϵ 2 2 + K（K） 2 ) ∥ ∇ 小时 H（H） n个 ∥ 2 + ( ϵ 2 2 − K（K） 2 ) ∥ ∇ 小时 H（H） n个 + 1 ∥ 2 ≤ C类 ϵ + ϵ 1 2 τ ∥ H（H） n个 ∥ 2 .
我们的结论是 τ < ( C类 ϵ + ϵ 1 ) K（K） 秒 / K（K） 1 2 ，有一个正常数 c（c） 2 独立于 Δ z（z） 和 τ 这样的话
∥ H（H） n个 + 1 ∥ 2 ≤ c（c） 2 .
结合以上两个结果(11)和(10)，使用Sobolev的嵌入不等式，我们可以得到 | H（H） n个 + 1 | ∞ , 小时 是有界的，当 n个 → ∞ 它意味着归纳假设成立，完成了证明。□
在其他有用的应用中也使用了类似的估算技术[18].
备注 2
我们利用常数 ϵ 2 以提高稳定性。如果 ϵ 2 > K（K） 、方案(9)是稳定的。请注意 K（K） < K（K） 秒 和 K（K） 秒 = 0.00944 c（c） 米 / 秒 使之成为可能 ϵ 2 足够小，以防出现过多错误。
备注 三。
确保数值方案(9)如果是收敛的，则应选择满足以下条件的时间步长 τ < ( C类 ϵ + ϵ 1 ) K（K） 秒 / K（K） 1 2 .如果 C类 ϵ = 0 ，我们必须采取非零扰动 ϵ 1 以确保方案的稳定性。因为 C类 ϵ > 0 ，我们可以接受 ϵ 1 = 0 在数值实验中。

4.数值实验

在本节中，我们通过基于广义渗透过程的数值实验来说明数值稳定性小时-基于理查兹方程。由于很难获得该模型的精确解，为了验证理论结果，我们采用以下非齐次模型，
C类 ( 小时 ) ∂ 小时 ∂ t吨 − ∇ · K（K） ( 小时 ) ∇ 小时 − ∂ K（K） ∂ z（z） = 克 ( z（z） , t吨 ) , 小时 ( z（z） , 0 ) = − 1.02 z（z） − 20.7 ,
其中边界条件保持不变(6). 如果我们假设一个精确的解 小时 = − 1.02 − 20.7 + t吨 ( z（z） − 40 ) / ( 4 吨 ) ，一个简单的计算表明
克 ( z（z） , t吨 ) = 5808800331328389 z（z） ( z（z） − 40 ) 51 z（z） 50 − t吨 z（z） ( z（z） − 40 ) 4 吨 + 207 10 74 / 25 17179869184 吨 51 z（z） 50 − t吨 z（z） ( z（z） − 40 ) 4 吨 + 207 10 99 / 25 + 1611000 2 − 5546 t吨 51 z（z） 50 − t吨 z（z） ( z（z） − 40 ) 4 吨 + 207 10 237 / 50 + 1175000 − 3613000706430075 t吨 ( z（z） − 20 ) 2 吨 − 51 50 51 z（z） 50 − t吨 z（z） ( z（z） − 40 ) 4 吨 + 207 10 187 / 50 68719476736 51 z（z） 50 − t吨 z（z） ( z（z） − 40 ) 4 吨 + 207 10 237 / 50 + 1175000 2 .
通过使用方案(9)，我们显示，在图1，压力头随深度在10 s至360 s时间间隔内的变化趋势，选择 ϵ 1 = 0 和 ϵ 2 = 0 .
在[14]为了节省计算量，作者采用了隐式数值格式，并采取了较大的时间步长，例如10s、30s和120s。在本文中，我们将时间步长减小为 10 − 三 相应地，他们使用的空间步长比我们大得多。不同的方案和较大的网格间隙可能会带来一些但可以容忍的差异。
我们接受 吨 = 100 s和 M（M） = 200 用不同的时间步长和不同的选择来测试方案的稳定性 ϵ 2 。结果列于表1很明显，使用附加项可以显著提高稳定性。此外，在表2，我们设置 ϵ 1 = 0 , ϵ 2 = 0 , M（M） = 200 和 吨 = 1 s、 并确认获得了期望的收敛阶数。
图2显示了之间的线性关系 ϵ 1 和错误。

5.结论

在这项工作中，发展并分析了Richards方程的稳定显式格式。我们提出了避免Richards方程退化的技巧，并改进了有限差分格式的稳定性条件。给出了一个数值例子来验证我们的理论分析。长期数值稳定性的证明，以及如下所示的误差估计图2，表示理查兹方程典型解的物理稳定性；对解的无穷小扰动不会增长。对行波解的稳定性及其与数值稳定性的相关性进行严格的数学分析需要进行独立的研究。
与隐式数值格式和线性化数值格式相比，稳定的显式数值格式提高了计算效率。本文是Richards方程显式差分格式的第一步，我们只分析了这种格式的稳定性。我们正在扩展其他高精度显式差分格式并估计误差。

作者贡献

概念化、Y.F.、F.L.和X.Z。；方法论、F.L.和X.Z。；计算，F.L。；验证、X.Z.和Y.F。；形式分析，F.L。；数据校正，F.L。；书面原稿编制，F.L。；Writing-Review Editing，Y.F.、F.L.和X.Z。所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

F.L.由中央大学基本科研基金（编号：DUT19RC（4）038）资助，Y.F.由日本科学促进会科学研究补助金（编号：19K03672）资助，X.Z.由中国博士后科学基金会（编号：2015M581689）资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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熵22 00352 g001 550
图1。压头随深度的变化。
图1。压头随深度的变化。
熵22 00352 g001
熵22 00352 g002 550
图2。之间的关系 ϵ 1 和错误。
图2。之间的关系 ϵ 1 和错误。
熵22 00352 g002
表
表1。不同稳定性比较 ϵ 2 和 τ .
表1。不同稳定性比较 ϵ 2 和 τ .
τ τ = 0.4 τ = 0.2 τ = 0.1 τ = 0.05 τ = 0.025 τ = 0.0125
准确性
ϵ 2
ϵ 2 = 0 不稳定不稳定不稳定不稳定 5.60 × 10 − 4 3.26 × 10 − 5
ϵ 2 = 0.0001 不稳定不稳定不稳定不稳定 1.38 × 10 − 4 3.75 × 10 − 5
ϵ 2 = 0.0005 不稳定 1.88 × 10 − 1 5.47 × 10 − 2 5 × 10 − 三 3.78 × 10 − 4 1.90 × 10 − 4
ϵ 2 = 0.001 9.10 × 10 − 2 1.44 × 10 − 2 4 × 10 − 三 1.50 × 10 − 三 7.54 × 10 − 4 3.79 × 10 − 4
表
表2。准确性。
表2。准确性。
N个100020004000800016,000
| 小时 − H（H） | ∞ , 小时 1.90 × 10 − 三 9.65 × 10 − 4 4.82 × 10 − 4 2.41 × 10 − 4 1.21 × 10 − 4
比率不0.98110.99

分享和引用

MDPI和ACS样式

刘，F。；Y.Fukumoto。；X·赵。Richards方程显式差分格式的稳定性分析。熵 2020,22, 352.https://doi.org/10.3390/e22030352

AMA风格

刘峰，福本毅，赵欣。Richards方程显式差分格式的稳定性分析。熵. 2020; 22(3):352.https://doi.org/10.3390/e22030352

芝加哥/图拉宾风格

Liu、Fengnan、Yasuhide Fukumoto和Xiaopeng Zhao。2020年，“Richards方程显式差分格式的稳定性分析”熵22，编号3:352。https://doi.org/10.3390/e22030352

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