Parameter Identification of Fractional-Order Discrete Chaotic Systems

Peng, Yuexi; Sun, Kehui; He, Shaobo; Peng, Dong

doi:10.3390/e21010027

开放式访问第条

分数阶离散混沌系统的参数辨识

通过

岳西鹏

,

孙克辉

^*,

何绍波

和

董鹏

中南大学物理与电子学院，长沙410083

^*

信件应寄给的作者。

熵 2019,21(1), 27;https://doi.org/10.3390/e21010027

收到的提交文件：2018年12月17日/修订日期：2018年12月27日/接受日期：2018年12月27日/发布日期：2019年1月1日

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版本注释

摘要

:

分数阶离散混沌系统的研究近年来发展迅速，其混沌同步是一个新的课题。针对分数阶离散混沌系统现有混沌同步方法的不足，提出了一种改进的粒子群优化参数辨识算法。对Hénon映射、Cat映射及其分数阶形式以及具有隐藏吸引子的分数阶标准迭代映射进行了数值模拟。讨论了选择最合适样本量的问题，并考虑了噪声干扰下的参数辨识。实验结果表明，在现有的六种算法中，该算法具有最好的性能，即使在随机噪声干扰下也是有效的。此外，使用两个样本对分数阶离散混沌系统提供了最有效的性能，而积分阶离散混沌仅需要一个样本。

关键词：

参数识别;粒子群优化;分数差分;离散混沌系统

1.简介

自从戈特弗里德·莱布尼茨首次讨论分数微积分的概念以来，已经过去了300多年。然而，分数微积分的正确定义直到19世纪才正式确立^第个世纪。从那时起，分数阶微积分就引起了研究人员的广泛关注。由于能够更准确地描述自然现象[1]分数阶微积分被引入到连续混沌系统中，并被广泛应用[2,三,4,5]. 然而，对分数阶离散混沌系统的研究却很少。

最近，Edelman[6]基于分数差分理论，提出了分数阶标准映射和分数阶logistic映射[7]. 因此，分数阶离散混沌系统成为一个新的研究热点[8,9,10,11,12,13,14]尤其是同步[11,12,13,14]. 混沌同步在保密通信中具有重要意义[15,16,17]，在非线性科学中发挥着重要作用[18,19,20,21]. 目前，已有的分数阶离散混沌系统的混沌同步方法都是基于原始系统的已知参数和分数阶[11,12,13,14]. 不幸的是，这是不现实的，因为在许多情况下无法测量参数。因此，参数识别变得非常重要。

混沌系统的参数辨识已经用不同的离散方法进行了研究[22,23,24,25]和连续[26,27,28,29,30,31,32]系统。在实践中，使用了三种主要方法，如同步方法、数学求解和优化算法。同步方法取决于特定的系统，因此很难设计通用的参数辨识更新律。同时，由于许多局部最优解都在目标函数的范围内，因此所考虑系统的真实参数很难通过数学解进行解析识别。优化算法避免了这两个困难[28,29,30,31,32].

优化算法将参数识别问题转化为多维优化问题，需要一些样本和关于系统结构的先验知识。与其他方法相比，该方法易于实现且对所考虑的系统不敏感。因此，优化算法在参数识别中非常流行，包括差分进化（DE）算法[28]是一种结合粒子群优化（PSO）和蚁群优化（ACO）算法的混合算法[29]人工蜂群（ABC）算法[30]，鸟群算法（BSA）[31]，以及改进的混合混沌优化算法[32,33]. 然而，所有这些优化算法都是为研究连续混沌系统而提出的。据作者所知，很少有人对离散系统，尤其是分数阶离散混沌系统的这些优化算法进行过研究。因此，研究分数阶离散混沌系统参数辨识的优化算法是一个有趣的课题。此外，必须仔细考虑样品用量的选择。与连续混沌系统不同，离散混沌系统对用于参数识别的样本数非常敏感。相对于通常用于识别连续混沌系统参数的数百个样本，所需样本要少得多。由于这一问题的研究很少，本文也考虑了样本量问题。

PSO算法受到群智能的启发[34]. 由于其效率和鲁棒性，粒子群算法已经证明其性能优于遗传算法（GA）、ACO算法和DE算法[35]用于各种优化问题[36,37,38]. 的确，许多改进可以增强粒子群优化算法的优化效果，但这些努力的结果在解决许多挑战方面仍不令人满意，例如参数识别问题。因此，本文提出了一种改进的PSO算法IPSO用于参数识别。为了进一步提高精度和收敛速度，我们在IPSO算法中提出了一种特殊的惯性权重。

本文的其余部分组织如下。在第2节详细描述了离散混沌系统的参数辨识问题。IPSO算法如所示第3节中讨论了数值模拟第4节，论文最后讨论了在第5节.

2.问题描述

分数阶离散混沌系统的参数辨识被视为一个优化问题[24,25]具有以下详细信息。分数阶离散混沌系统描述为：

Δ^{q个} X（X） = F类 (X（X）, {X（X）}_{0}, θ),

(1)

哪里

X（X） = {(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{M（M）})}^{T型} \in {R（右）}^{M（M）}

是M（M）-原始系统的维状态向量和M（M）是样本大小。

{X（X）}_{0}

是原始系统的初始状态。

θ = {(θ_{1}, θ_{2}, \dots, θ_{D类})}^{T型} \in {R（右）}^{D类}

表示原始参数，以及D类是已识别参数的数量。q个是这个离散混沌系统的分数阶。

如果已知原始系统的结构，则确定的系统描述如下：

Δ^{\tilde{q个}} \tilde{X（X）} = F类 (\tilde{X（X）}, {X（X）}_{0}, \tilde{θ}),

(2)

哪里

\tilde{X（X）} = {({\tilde{x}}_{1}, {\tilde{x}}_{2}, \dots, {\tilde{x}}_{M（M）})}^{T型} \in {R（右）}^{M（M）}

表示M（M）-已识别系统的维状态向量。

\tilde{θ} = {({\tilde{θ}}_{1}, {\tilde{θ}}_{2}, \dots, {\tilde{θ}}_{D类})}^{T型}

是已识别的参数。

\tilde{q个}

是确定的分数阶。基于可测量的X（X）以及优化算法，参数识别的目标定义为：

J型 = \frac{1}{M（M）} \sum_{k个 = 1}^{M（M）} {({X（X）}_{k个} - {\tilde{X（X）}}_{k个})}^{2},

(3)

哪里J型是目标函数或识别的错误。

{X（X）}_{k个}

和

{\tilde{X（X）}}_{k个}

(k个= 1, 2, ...,M（M）)表示在

{k个}^{第个}

原始系统和识别系统的时间。该公式将参数识别问题构造为多维优化问题。决策向量是确定的分数阶

\tilde{q个}

和确定的参数

\tilde{θ}

.J型是需要最小化的目标函数。

分数阶离散混沌系统的参数辨识问题是传统方法难以解决的问题。同时，由于系统同步的实时性要求，识别方法必须具有高精度和低时间消耗的特点。因此，我们的主要目的是提出一种简单但高效的参数辨识优化算法。

3.建议的IPSO算法

3.1. PSO算法

粒子群优化算法模拟鸟群中的个体行为。每个粒子代表一只鸟，算法从粒子位置的随机初始化开始。在每次迭代中，每个粒子都会跟踪自己的最佳位置和种群的最佳位置，以更新其位置和速度。粒子的速度我定义为[34]:

{V（V）}_{我} (t吨 + 1) = ω {V（V）}_{我} (t吨) + {c（c）}_{1} {第页}_{1} [{J型}_{b条 我} (t吨) - {X（X）}_{我} (t吨)] + {c（c）}_{2} {第页}_{2} [{J型}_{克} (t吨) - {X（X）}_{我} (t吨)],

(4)

哪里

{V（V）}_{我} (t吨)

和

{X（X）}_{我} (t吨)

是粒子的速度和位置我在

{t吨}^{第个}

迭代。

ω

称为惯性重量。

{c（c）}_{1}

和

{c（c）}_{2}

是学习因素。

{第页}_{1}

和

{第页}_{2}

是介于0和1之间的随机数。

{J型}_{b条 我} (t吨)

表示粒子的最佳位置我之后

{t吨}^{第个}

迭代，以及

{J型}_{克} (t吨)

表示人口在

{t吨}^{第个}

迭代。

{X（X）}_{我} (t吨)

是粒子的位置我，定义如下：

{X（X）}_{我} (t吨 + 1) = {X（X）}_{我} (t吨) + {V（V）}_{我} (t吨 + 1) .

(5)

PSO算法分为全局搜索和局部搜索。全局搜索使粒子能够快速接近目标，而局部搜索帮助所有粒子最终到达目标。

3.2. IPSO算法

在IPSO算法中，提出了惯性权重的特殊选择。惯性重量

ω

在粒子群优化算法中，粒子速度非常重要，它是根据粒子的聚集情况进行调整的[34]. 如果颗粒分散，则需要高速。一旦它们聚集成一组，速度应减慢，以提高算法的精度。一般来说，粒子在搜索开始时分散，随着搜索的进行，它们会形成一个组。因此，

ω

应该从大到小设置。大型

ω

更有利于全球搜索，并且规模较小

ω

更适合本地搜索。如何合理设置该参数是PSO算法的关键问题。

实际上，有三种方法来建模惯性权重。第一个描述为[39]:

ω (t吨) = ω_{米 一 x} - (\frac{ω_{米 一 x} - ω_{米 我 n个}}{T型}) t吨,

(6)

哪里

ω_{米 一 x} = 0.9

和

ω_{米 我 n个} = 0.4

.t吨和T型分别是PSO算法的当前迭代次数和最大迭代次数。第二种方法是设置

ω

作为常数（0.7298）[30]. 最后一种方法是改进惯性权重[37]. 然而，这种惯性权重不适合本文中的问题，因为第4.1节演示。当使用PSO算法识别Hénon映射的参数时，结果如所示图1对于其他离散混沌系统也得到了类似的结论。这表明该算法在几次迭代后接近目标，这意味着该算法将大部分时间用于局部搜索。因此，一个特殊的

ω

更适合于本地搜索的建议如下：

ω (t吨) = (ω_{米 一 x} - ω_{米 我 n个}) {e（电子）}^{- 第页 {(t吨 / T型)}^{2}} + ω_{米 我 n个},

(7)

哪里第页是一个常数，它是根据第4.1节.

ω

不同的更改第页-值，如中所示图2.曲线

ω

接近年-轴作为第页增加。然而，作为第页增长，曲线变化更慢。增加第页这意味着该算法将花费更多的时间进行局部搜索，这有助于解决本文中的参数识别问题。

3.3. IPSO算法的实现

IPSO算法的实现步骤如所示图3总结如下：

（a）用随机值初始化群中的每个粒子。

（b）计算每个粒子的适应值，并通过方程式计算惯性权重(7).

（c）将每个粒子的适应值与其各自的适应值进行比较

{J型}_{b条}

.如果相应的适应度值优于上一个

{J型}_{b条}

，然后更换

{J型}_{b条}

.如果电流

{J型}_{b条}

比

{J型}_{克}

，然后使用

{J型}_{b条}

更换

{J型}_{克}

.

（d）根据方程式更新粒子的速度和位置(4)和(5).

（e）重复步骤（b）–（d），直到满足终止标准。

4.数值模拟

本节讨论的数值模拟试验分为两部分。首先，对两个典型离散混沌系统的六种参数辨识算法进行了测试。算法包括经典粒子群优化算法[39]，美国广播公司[40]，英国标准协会[41]，德国[42]，亚太经合组织[37]和IPSO算法。找到最合适的第页-IPSO算法的值，第页设置为10、100、500和1000。赫农地图[43]和Cat地图[44]是测试系统。在第二部分中，对IPSO算法进行了分数阶离散混沌系统参数辨识的测试。研究了选择最合适样本数的问题，并加入噪声来测试算法的鲁棒性。每个算法的最大迭代次数为100。为了消除算法的随机性，我们连续运行了30多次算法。其他设置如所示表1。仿真基于MATLAB 2016a，基于Intel（R）Core（TM）i7-7700HQ CPU@2.80-GHz，8 GB RAM。

4.1. 不同优化算法的参数辨识

Hénon映射是最著名的离散混沌系统之一。其定义如下[43]:

\{\begin{matrix} x (n个 + 1) = 1 - 一 x^{2} (n个) + 年 (n个) \\ 年 (n个 + 1) = b条 x (n个) \end{matrix},

(8)

哪里x和年是状态变量。一和b条是系统参数。什么时候？

(一, b条) = (1.4, 0.3)

，系统是混沌的，所以我们选择这些用于以下测试。搜索范围设置为

0 \leq 一 \leq 5, 0 \leq b条 \leq 5

，所有测试的算法都是相同的。然后系统从随机初始状态自由演化而来，前1000个状态作为过渡过程被放弃。样本量设置为

M（M） = 三

.

Cat映射是一种离散混沌映射，在图像加密中得到了广泛应用[45]，定义为[44]:

\{\begin{matrix} x (n个 + 1) = 国防部 (x (n个) + 一 年 (n个), N个) - x (n个) \\ 年 (n个 + 1) = 国防部 (b条 x (n个) + (一 b条 + 1) 年 (n个), N个) - 年 (n个) \end{matrix},

(9)

哪里x,年,一，以及b条与赫农地图中mod（，N个)是模运算，并且N个通常表示图像的大小。

N个 = 256

在本研究的所有试验中，如果

(一, b条) = (1.2, 3.4)

，系统是混沌的。因此，我们将原始参数设置为

(一, b条) = (1.2, 3.4)

。搜索范围为

0 \leq 一 \leq 5, 0 \leq b条 \leq 5

.

赫农图和Cat图的识别结果如所示表2在ABC、BSA、DE和PSO算法中，APSO算法的精度最高，但返回的结果更大J型值，而不是其他四种IPSO算法。因此，这表明IPSO算法比其他五种优化算法具有更好的性能。此外，IPSO的识别精度可以通过增加第页。IPSO算法以最佳方式执行

第页 = 500

. The evolution ofJ型IPSO通过不同的第页如所示图4.何时

第页 = 500

,J型分别在Hénon映射和Cat映射中经过大约七次迭代后收敛到目标值。因此，IPSO(

第页 = 500

)具有算法中最快的收敛速度。因此，

第页 = 500

也许是个好选择。

总之，仿真表明，IPSO算法比其他五种现有算法更适合于参数识别。这一发现为分数阶离散混沌系统的参数辨识奠定了基础。

4.2. 样品数量

使用的样本数对优化算法有很大影响。因此，有必要对离散混沌系统的最合适样本数进行调查。

由于混沌系统对初始条件的变化非常敏感，因此无法从给定的初始条件集预测其长期轨迹。Hénon映射、Cat映射的轨迹及其具有不同参数的分数形式如所示图5分别为a–d。当系统参数的差异仅为0.01时，随着迭代次数的增加，系统产生了完全不同的轨迹。然而，这两条轨迹在迭代之前是相似的

n个 = 5

，因为混沌系统的行为可以在短期内预测[46]. 因此，使用样本数量对以下数值模拟进行了测试

M（M） = 1, 2, 三,

和4个。

不同参数辨识的IPSO算法仿真结果M（M）显示在中表3结果表明，识别精度随样本量的减小而提高。特别是，一个样本足以很好地识别参数。在这里，更少的样本不仅意味着更低的时间消耗，而且还意味着更高的精度。这对今后基于优化算法的离散混沌系统的同步与控制具有很好的启示。

4.3. 分数阶离散混沌系统的参数辨识

本小节研究了用IPSO算法识别分数阶离散混沌系统的参数。根据上述结论，在不同样本大小下进行了模拟。计算了参数同步的辨识精度和时间消耗。最后，讨论了随机噪声下的参数辨识问题。

4.3.1. 分数阶Hénon映射

分数阶混沌映射通常基于最近提出的分数差分理论。本文还使用该理论定义了分数阶Hénon映射，它被描述为：

\{\begin{matrix} x (n个 + 1) = x (0) + \frac{1}{Γ (q个)} \sum_{j个 = 1}^{n个} \frac{Γ (n个 - j个 + q个)}{Γ (n个 - j个 + 1)} (1 + 年 (j个 - 1) - 一 x^{2} (j个 - 1) - x (j个 - 1)) \\ 年 (n个 + 1) = 年 (0) + \frac{1}{Γ (q个)} \sum_{j个 = 1}^{n个} \frac{Γ (n个 - j个 + q个)}{Γ (n个 - j个 + 1)} (b条 x (j个 - 1) - 年 (j个 - 1)) \end{matrix},

(10)

哪里

x (0)

和

年 (0)

是初始值。

Γ ()

是伽马函数，并且q个是分数阶。一和b条是系统参数。分数阶Hénon映射的动力学行为如所示图6。当

(一, b条, q个) = (1.4, 0.2, 0.9)

，因此我们将原始系统参数设置为

(一, b条, q个) = (1.4, 0.2, 0.9)

。搜索范围设置为

0 \leq 一 \leq 5, 0 \leq b条 \leq 5, 0 \leq q个 \leq 1

.

IPSO算法的参数识别结果如所示表4。与整数阶系统一样，精度通过减少M（M），并且运行时间也减少了。当

M（M） = 4

; 然而，当M（M）减少到两个或三个，所有参数都可以准确识别。

M（M） = 2

是更好的选择，因为它比

M（M） = 三

然而，分数阶q个无法准确识别

M（M） = 1

，尽管获得J型是最小的。在这种情况下，样本太少，无法反映混沌系统的动力学行为。因此，

M（M） = 2

是最好的选择。

分数阶Hénon映射中参数的演变如所示图7(

M（M） = 2

). 在约0.35秒的时间内，所有参数都可以与原始参数一致地进行识别。结果表明，该方法识别效果强，收敛速度快。

IPSO算法被证明是一种有效的分数阶Hénon映射参数识别方法，并且它具有最高的效率

M（M） = 2

.

4.3.2. 分数阶类别映射

分数阶Cat映射定义为：

\{\begin{matrix} x (n个 + 1) = x (0) + \frac{1}{Γ (q个)} \sum_{j个 = 1}^{n个} \frac{Γ (n个 - j个 + q个)}{Γ (n个 - j个 + 1)} (国防部 (x (n个) + 一 年 (n个), N个) - x (n个)) \\ 年 (n个 + 1) = 年 (0) + \frac{1}{Γ (q个)} \sum_{j个 = 1}^{n个} \frac{Γ (n个 - j个 + q个)}{Γ (n个 - j个 + 1)} (国防部 (b条 x (n个) + (一 b条 + 1) 年 (n个), N个) - 年 (n个)) \end{matrix},

(11)

哪里

x (0)

,

年 (0), 一, b条, q个

，以及

Γ ()

与分数阶Hénon映射和mod（，N个)和N个与中的相同第4.1节分数阶Cat映射的动力学行为如所示图8.何时

(一, b条, q个) = (1.2, 3.4, 0.85)

，系统混乱。因此，原始系统参数设置为

(一, b条, q个) = (1.2, 3.4, 0.85)

，搜索范围设置为

0 \leq 一 \leq 5, 0 \leq b条 \leq 5, 0 \leq q个 \leq 1

.

参数识别结果列于表5。分数阶Cat图的参数似乎更难识别，因为J型比分数阶Hénon映射的大。什么时候？

M（M） = 4

，IPSO算法不适用于此系统，但性能随着降低而提高M（M）尤其是当

M（M） = 2

; 所有参数都得到了准确的识别。与分数阶Hénon映射一样M（M）仍然无法设置为1。分数阶Cat图中参数的演变如所示图9

(M（M） = 2)

约0.5s后，所有参数均得到准确识别。

在分数阶Cat图中也发现了类似的结果。所有上述数值模拟都证明了IPSO算法的有效性

M（M） = 2

是最有效的样本量。

4.3.3. 分数阶标准迭代映射

最后，分数阶标准迭代映射[8]引入了具有一些有趣的动力学特性和隐藏的奇异吸引子，用于参数识别。其定义为：

\{\begin{matrix} x (n个 + 1) = x (0) + \frac{1}{Γ (q个)} \sum_{j个 = 1}^{n个} \frac{Γ (n个 - j个 + q个)}{Γ (n个 - j个 + 1)} (年 (j个 - 1) - x (j个 - 1)) \\ 年 (n个 + 1) = 年 (0) + \frac{1}{Γ (q个)} \sum_{j个 = 1}^{n个} \frac{Γ (n个 - j个 + q个)}{Γ (n个 - j个 + 1)} (x (j个 - 1) + 一 x^{2} (j个 - 1) \\ + b条 年^{2} (j个 - 1) - 0.91 x (j个 - 1) 年 (j个 - 1) - 1.14 - 年 (j个 - 1)) \end{matrix},

(12)

哪里

x (0)

,

年 (0), 一, b条, q个

，以及

Γ ()

与上述分数阶混沌映射具有相同的含义。分数阶标准迭代映射的动力学行为

x (0) = 0.93, 年 (0) = - 0.44

如所示图10.何时

(一, b条, q个) = (0.2, 0.71, 0.8)

，系统是混沌的，没有固定点。因此，原始系统参数设置为

(一, b条, q个) = (0.2, 0.71, 0.8)

，搜索范围设置为

0 \leq 一 \leq 5, 0 \leq b条 \leq 5, 0 \leq q个 \leq 1

.

参数识别结果列于表6结果表明，由于分数阶标准迭代映射的特殊性质，其参数是最难识别的。什么时候？

M（M） = 2

，IPSO算法仍然获得了最佳性能，当

M（M） = 1

。分数阶标准迭代映射中参数的演变如所示图11

(M（M） = 2)

约0.42s后，所有参数均得到准确识别。

总之，我们得出结论，与其他两个混沌映射相比，分数阶标准迭代映射是最难识别的表4,表5和表6此外，由于分数阶形式具有更多的识别参数，因此与整数阶系统相比，识别参数更加困难。

M（M） = 1

最适合积分阶离散混沌系统的参数辨识，而分数阶离散混沌的最合适样本大小为

M（M） = 2

.

4.3.4. 噪声干扰下的参数识别

为了测试所提出的IPSO算法的鲁棒性，我们在本节中测试了随机噪声下的参数识别。识别的系统状态向量

{\tilde{x}}_{n个}

(

n个 = 1, 2, \dots, M（M）

)已更改为：

{\hat{x}}_{n个} = {\tilde{x}}_{n个} + e（电子） (2 第页 + 1),

(13)

哪里e（电子）表示噪声幅度和第页表示随机数(

0 < 第页 < 1

). 为了更好地进行比较，相对误差（RE）定义如下：

重新 = \frac{| {\tilde{θ}}_{我} - θ_{我} |}{θ_{我}} \times 100 %,

(14)

哪里

我 = 1, 2, \dots, D类

.

θ

,

\tilde{θ}

，以及D类与中显示的相同第2节.

仿真结果列于表7.所有参数均可正确识别，无噪音干扰。在噪声振幅为0.1时，最大RE分别为7.80%、3.27%和8.46%，这意味着这三个分数阶离散混沌系统的参数在之前都得到了很好的再现e（电子）达到0.1。即使

e（电子） = 0.2

最大RE为14.25%、10.54%和14.22%，仍可以接受。然而，错误增长了一次，令人无法接受

e（电子） = 0.3

仿真结果表明，IPSO算法在噪声幅值下的参数识别具有良好的性能

0 < e（电子） < 0.2

此外，它还表明分数阶标准迭代映射比其他两个分数阶混沌映射更容易受到噪声的影响。

5.结论

采用改进的IPSO算法解决了分数阶离散混沌系统的参数辨识问题，该算法包含一个特殊的惯性权重。选择五种现有优化算法进行比较。对两个典型的离散混沌系统和三个分数阶离散混沌系统进行了仿真。此外，还考虑了噪声干扰下最合适样本量的选择和参数识别。模拟得出以下三个结论：

（1）与本文中的其他算法，即ABC、BSA、DE、APSO和PSO算法相比，IPSO提供了最佳的参数识别性能。

（2）对于我们测试的五个系统，样本量

M（M） = 1

对于积分阶离散混沌系统是最有效的，而对于分数阶离散混沌，

M（M） = 2

是最好的选择。由于混沌系统对初始条件的敏感性，最优样本量应该很少。

（3） IPSO算法为分数阶离散混沌系统的参数辨识提供了高精度和快速性，并且对随机噪声干扰具有鲁棒性。可接受噪声的极限为

0 < e（电子） < 0.2

.

在仿真实验中，将系统的分数阶数、参数等因素设置为未知，并加入了噪声。因此，这些模拟是真实的，并为混沌同步的实际应用奠定了基础，例如图像加密和信息安全。更重要的是，所提出的方法可能作为非线性现象基础研究的工具。我们计划通过将所提出的算法应用于混沌同步以及探索分数阶离散混沌系统的其他应用来继续这项工作。

作者贡献

概念化、Y.P.和S.H。；数据管理，Y.P。；形式分析，Y.P.和K.S。；融资收购、Y.P.和K.S。；调查、Y.P.和S.H。；项目管理，D.P。；软件、Y.P.和D.P。；书面，原稿，Y.P。；写作、审查和编辑，K.S。

基金

本研究由国家自然科学基金（61161006、61573383）和中南大学研究生重点创新项目（2018ZZTS009）资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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图1。The evolution ofJ型在由PSO算法识别的Hénon映射中。

图2。

ω

具有不同的第页.

图2。

ω

具有不同的第页.

图3。IPSO算法的流程图。

图4。The evolution ofJ型IPSO通过不同的第页.

图5。具有不同参数的离散混沌系统的轨迹。

图6。分数阶Hénon映射的动力学行为。(一)吸引子

一 = 1.4, b条 = 0.2, q个 = 0.9

; (b条)分叉图一，以及

b条 = 0.2, q个 = 0.9

.

图6。分数阶Hénon映射的动力学行为。(一)吸引子

一 = 1.4, b条 = 0.2, q个 = 0.9

; (b条)分岔图一，以及

b条 = 0.2, q个 = 0.9

.

图7。分数阶Hénon映射中参数的演化。

图8。分数阶Cat映射的动力学行为。(一)吸引子

一 = 1.2, b条 = 3.4, q个 = 0.85

; (b条)分岔图一，以及

b条 = 3.4, q个 = 0.85

.

图8。分数阶Cat映射的动力学行为。(一)吸引子

一 = 1.2, b条 = 3.4, q个 = 0.85

; (b条)分岔图一，以及

b条 = 3.4, q个 = 0.85

.

图9。分数阶Cat映射中参数的演变。

图9。分数阶Cat图中参数的演变。

图10。分数阶标准迭代映射的动力学行为。(一)吸引子

一 = 0.2, b条 = 0.71, q个 = 0.8

; (b条)分岔图一，以及

b条 = 0.71, q个 = 0.8

.

图10。分数阶标准迭代映射的动力学行为。(一)吸引子

一 = 0.2, b条 = 0.71, q个 = 0.8

; (b条)分岔图一，以及

b条 = 0.71, q个 = 0.8

.

图11。分数阶标准迭代映射中参数的演化。

表1。不同优化算法的参数设置。

算法	参数设置
基础知识	$N个 P（P） = 40, 我我米我 t吨 = 100$
英国标准协会	$N个 = 40, C = S公司 = 1.5, 一_{1} = 一_{2} = 1, F类问 = 三, P（P） \in [0.8, 1], F类 L（左） \in [0.5, 0.9]$
判定元件	$N个 P（P） = 40, F类 = 0.6, C R（右） = 0.6$
亚太安全组织	$N个 = 40, {c（c）}_{1} = {c（c）}_{2} = 2,$ $α$ = 0.1
PSO公司	$N个 = 40, {c（c）}_{1} = {c（c）}_{2} = 2,$ $ω$ 根据方程式计算(6)
IPSO公司	$N个 = 40, {c（c）}_{1} = {c（c）}_{2} = 1.4995,$ $ω$ 根据方程式计算(7)

表2。参数识别算法的比较。

算法	赫农地图		Cat地图		排名
	平均值J型	最佳J型	平均值J型	最佳J型
基础知识	$5.6690 \times 10^{- 14}$	$1.2474 \times 10^{- 15}$	$3.2731 \times 10^{- 1}$	$2.1897 \times 10^{- 4}$	9
英国标准协会	$1.0061 \times 10^{- 16}$	$2.0620 \times 10^{- 18}$	$6.4257 \times 10^{- 10}$	$2.4368 \times 10^{- 14}$	8
判定元件	$2.1233 \times 10^{- 16}$	$3.7411 \times 10^{- 22}$	$7.6605 \times 10^{- 13}$	$2.2675 \times 10^{- 15}$	6
亚太安全组织	$3.3874 \times 10^{- 19}$	$5.6299 \times 10^{- 23}$	$5.2501 \times 10^{- 16}$	$8.9700 \times 10^{- 19}$	5
PSO公司	$4.1570 \times 10^{- 16}$	$1.2748 \times 10^{- 20}$	$1.1260 \times 10^{- 10}$	$4.2450 \times 10^{- 14}$	7
IPSO公司 $(第页 = 10)$	$9.6025 \times 10^{- 24}$	$1.7454 \times 10^{- 31}$	$3.8624 \times 10^{- 22}$	$5.2821 \times 10^{- 26}$	4
IPSO公司 $(第页 = 100)$	$6.2087 \times 10^{- 33}$	0	$9.8169 \times 10^{- 28}$	0	三
IPSO公司 $(第页 = 500)$	$1.8720 \times 10^{- 33}$	0	$5.2389 \times 10^{- 30}$	0	1
IPSO公司 $(第页 = 1000)$	$4.0058 \times 10^{- 33}$	0	$8.3194 \times 10^{- 30}$	0	2

表3。不同参数辨识的IPSO算法M（M）.

M（M）	赫农地图		Cat地图
	平均值J型	最佳J型	平均值J型	最佳J型
4	$1.5285 \times 10^{- 三}$	0	40.3614	0
三	$1.8720 \times 10^{- 33}$	0	$5.2389 \times 10^{- 30}$	0
2	$9.4832 \times 10^{- 34}$	0	$2.2495 \times 10^{- 31}$	0
1	0	0	$4.1087 \times 10^{- 34}$	0

表4。分数阶Hénon映射的参数识别。

M（M）	平均值J型价值	最佳J型价值	参数一	参数b条	参数q个	运行时
4	$8.3756 \times 10^{- 5}$	$3.8138 \times 10^{- 30}$	1.401329	0.199476	0.896988	1.5690
三	$6.0135 \times 10^{- 21}$	$7.5496 \times 10^{- 32}$	1.400000	0.200000	0.900000	1.5322
2	$1.4844 \times 10^{- 26}$	$9.9378 \times 10^{- 32}$	1.400000	0.200000	0.900000	1.4840
1	$7.2723 \times 10^{- 32}$	$9.9234 \times 10^{- 33}$	1.400000	0.200000	0.849664	1.4169

表5。分数阶Cat图的参数识别。

M（M）	平均值J型价值	最佳J型价值	参数一	参数b条	参数q个	运行时
4	84.7813	$1.6136 \times 10^{- 15}$	1.621749	2.918933	0.827996	1.8034
三	$1.7824 \times 10^{- 05}$	$4.2463 \times 10^{- 27}$	1.200812	3.400436	0.851201	1.7277
2	$6.3520 \times 10^{- 12}$	$3.6731 \times 10^{- 30}$	1.200000	3.400000	0.850000	1.6683
1	$6.4095 \times 10^{- 30}$	$4.9024 \times 10^{- 33}$	1.200000	3.400000	0.659461	1.6182

表6。分数阶标准迭代映射的参数识别。

M（M）	平均值J型价值	最佳J型价值	参数一	参数b条	参数q个	运行时
4	9.8521	$1.0785 \times 10^{- 24}$	0.206732	0.674523	0.975732	1.7177
三	$5.4168 \times 10^{- 4}$	$2.4652 \times 10^{- 29}$	0.201029	0.710992	0.980320	1.6636
2	$4.4313 \times 10^{- 7}$	$6.9847 \times 10^{- 32}$	0.200062	0.710001	0.978999	1.6499
1	$1.3148 \times 10^{- 30}$	$3.1456 \times 10^{- 32}$	2.430401	0.309178	0.741652	1.6203

表7。随机噪声下的参数识别。

混沌贴图	参数	e（电子）= 0	e（电子）= 0.05	e（电子）= 0.1	e（电子）= 0.2	e（电子）= 0.3
分数阶赫农地图	一	1.400000	1.375551	1.412522	1.351937	1.498865
	b条	0.200000	0.203221	0.215641	0.228513	0.106815
	q个	0.900000	0.918607	0.908876	0.965400	0.707809
	RE最大值（%）	0	2.07	7.80	14.25	46.60
分数阶 Cat地图	一	1.200000	1.210705	1.195580	1.164532	1.244084
	b条	3.400000	3.404629	3.409611	3.422271	3.331411
	q个	0.850000	0.825809	0.822208	0.939616	0.66823
	RE最大值（%）	0	2.85	3.27	10.54	25.75
分数阶标准迭代地图	一	0.199984	0.188551	0.183076	0.228451	0.309276
	b条	0.710002	0.709989	0.703992	0.670611	0.512843
	q个	0.979000	0.977320	0.964048	0.996278	0.859164
	RE最大值（%）	0	5.72	8.46	14.22	54.64

分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

彭毅、孙坤、何仕、彭德。分数阶离散混沌系统的参数辨识。熵. 2019; 21(1):27.https://doi.org/10.3390/e21010027

芝加哥/图拉宾风格

彭月熙、孙克慧、何绍波和董鹏。2019.“分数阶离散混沌系统的参数识别”熵第21页，第1页：第27页。https://doi.org/10.3390/e21010027

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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分数阶离散混沌系统的参数辨识

摘要

1.简介

2.问题描述

3.建议的IPSO算法

3.1. PSO算法

3.2. IPSO算法

3.3. IPSO算法的实现

4.数值模拟

4.1. 不同优化算法的参数辨识

4.2. 样品数量

4.3. 分数阶离散混沌系统的参数辨识

4.3.1. 分数阶Hénon映射

4.3.2. 分数阶类别映射

4.3.3. 分数阶标准迭代映射

4.3.4. 噪声干扰下的参数识别

5.结论

作者贡献

基金

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