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熵
第19卷
第4版
10.3390/e19040164
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第条

大维调和系统的海森堡和熵不确定性测度

通过
大卫·普埃尔塔斯·森特诺
1,2,†,
艾琳·V·托兰佐
1,2,†和
杰苏斯·德赫萨
1,2,*,†
1
西班牙格拉纳达大学Carlos I de Física Teórica y Computacial研究所，18071年
2
西班牙格拉纳达大学分子核子研究所Física Atómica部门，18071年
*
应向其寄送信件的作者。
†
这些作者为这项工作做出了同等贡献。
熵 2017,19(4), 164;https://doi.org/10.3390/e19040164
收到的提交文件：2017年3月8日/修订日期：2017年3月30日/接受日期：2017年4月6日/发布日期：2017年4月9日
（本文属于特刊量子力学基础)
版本注释

摘要

:
这个D类-维调和系统（即在二次势作用下运动的粒子）与氢系统一起，是多维量子系统物理的主要原型。在这项工作中，我们严格地确定了该系统的类海森堡和类熵不确定性测度的主导项，分别由径向期望值和雷诺熵给出，在大的极限下D类讨论了相关的多维位置-动量不确定性关系，表明它们饱和了相应的一般关系。给出了关于Shannon型不确定性关系的一个猜想，并观察到一个有趣的现象：基于Heisenberg型和Rényi熵的等式型不确定性D类-伪经典中的维谐振子态( D类 → ∞ )尽管振子和库仑势的性质如此不同，但极限与氢系统的相应极限相同。

1.简介

各种具有标准和非标准维数的可解析连续模型已被证明在描述量子点、谐波阱中的超冷气体、分数量子霍尔效应和夸克禁闭方面非常有效。这是N简谐（简谐阱中N个简谐相互作用费米子）的情况[1,2]，球体（球体表面捕获的两个电子）[三,4,5]胡克原子（一对电子以库仑排斥并受简谐外电势限制）[6,7]Crandall–Whitney–Bettega系统（一个具有谐波约束和反平方律粒子间斥力的双电子原子）[8]和著名的摩辛斯基[9,10,11]和Calogero–Moser–Sutherland模型[12]. 这些模型长期以来被视为从量子化学到量子信息等众多科学领域的重要实验室工具箱，主要是因为它们具有显著的分析特性，是多体系统的完全可积类似物。
此外，Herschbach等人[13,14]和其他作者（参见评论[15])设计了一种非常有用的策略，即维标度法，来解决不在标准三维框架中的原子和分子系统 O（运行） ( 三 ) 旋转对称），但在D类-量纲理论，因此对称性 O（运行） ( D类 ) 。此方法允许解决中的有限多体问题( D类 → ∞ )-极限，然后，摄动理论 1 / D类 用于获得标准尺寸的近似结果( D类 = 三 )，有时获得与单zeta Hartree–Fock计算相当或更好的定量精度[13,14,16].
这里的要点是，对于电子结构( D类 → ∞ )-对于任何原子和分子来说，极限都非常简单，并且可以精确计算。对于D类有限但非常大的电子被限制在关于在( D类 → ∞ )-限制。实际上，在这个极限下，多电子系统中的电子相对于原子核及其相互之间的位置是固定的D类-缩放空间。此外-D类电子几何和能量对应于精确已知的有效电势的最小值，可以从任何原子或分子的经典静电学中确定。( D类 → ∞ )-极限被称为伪经典，相当于 小时 → 0 和/或 米 e（电子） → ∞ 在动能中，小时和 米 e（电子） 分别是普朗克常数和电子质量。此极限与通过以下方法获得的传统经典极限不同 小时 → 0 对于固定尺寸[17,18]. 虽然乍一看，静止在固定位置的电子似乎违反了测不准原理，但事实并非如此，因为这只发生在D类-缩放空间（参见，例如[19]).
量纲标度法主要应用于库仑系统，但据我们所知，尚未应用于谐波系统。这是非常令人惊讶的，因为人们对D类-一般量子力学中的维谐振子[20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32]量子色动力学和基本粒子物理[33,34]原子和分子物理学[35,36]，热传输[37,38,39]、信息论[40,41,42,43,44]，分形[43]和纠缠[45,46]. 此外D类-维量子谐振子和自然界中的完全经典周期系统密切相关。在基本粒子物理中，我们遇到了许多振荡模式，其能量包是基本粒子，在经典基础理论中，这些基本粒子可能与周期结构有关[33]. 此外，最近的一项努力[43]对D类-多维谐振子系统服从复参数Polychronakos分数统计量。
尽管从理论和应用的角度来看，人们对此越来越感兴趣，但对海森堡和类熵不确定性测度的深入了解并不多D类-量子-伪经典边界中的维谐振子（即在二次势作用下运动的粒子），尽管已经进行了一些工作[21,40,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57]. 这些量度量化了谐波概率密度的传播特性，分别由系统在位置空间和动量空间中相应量子概率密度的径向期望值和Rényi熵和Shannon熵来表征。最近，在过去几个月里，有两项工作能够确定D类-维度库仑系统（即D类-维氢原子[58])以分析紧性的方式在伪经典极限[59,60]. 类似的工作D类-维调和系统是本文的研究目标。
的径向期望值D类-位置空间和动量空间中的维调和系统已被正式发现[54]就以下方面而言D类简谐态的超量子数和振子强度 λ 通过统一求值的广义超几何函数 三 如果 2 ( 1 ) ，除非超量子数和/或维数D类足够小；然而，最低阶的位置和动量期望值是明确已知的[48,61].
熵测度的确定D类-维谐振子，最恰当地描述了系统的电子不确定性，要困难得多，尽管付出了一些努力，但它的能量状态最低[40,41,44,47,50,51,52,62]. 这是因为这些量是通过电子密度的某些幂函数或对数泛函来描述的，而这些函数既不能用解析方法计算，也不能用数值计算；后者主要是因为当主超量子数为n个正在增加，这破坏了任何实现合理精度的尝试，即使是很小的n个[63]. 最近，以紧凑形式明确地计算了多维最高能（即里德堡）简谐态（即Rényi、Shannon和Tsallis熵）的主要熵性质[44,62]利用基于强渐近性的逼近理论的现代技术( n个 → ∞ )拉盖尔河 我 n个 ( α ) ( x个 ) 和Gegenbauer C类 n个 ( α ) ( x个 ) 多项式，分别控制位置和动量空间中的状态波函数。
在这项工作中，我们根据维数确定了大维简谐态的位置和动量径向期望值以及Rényi和Shannon熵D类，振荡器常数 λ 以及态的主超量子数和轨道超量子数。Rényi熵 R（右） q个 [ ρ ] , q个 > 0 已定义[64,65]作为：
R（右） q个 [ ρ ] = 1 1 - q个 日志 ∫ R（右） 三 [ ρ ( 第页 → ) ] q个 d日 第页 → , q个 ≠ 1 .
注意香农熵 S公司 [ ρ ] = - ∫ ρ ( 第页 → ) 日志 ρ ( 第页 → ) d日 第页 → = 林 q个 → 1 R（右） q个 [ ρ ] ; 参见，例如[66,67]. 这些量完全表征了密度 ρ ( 第页 → ) [27,68]在某些条件下。事实上，我们可以从(1)其他相关的熵量，例如不平衡 〈 ρ 〉 = 经验 ( R（右） 2 [ ρ ] ) 和Tsallis[69]熵 T型 q个 [ ρ ] = 1 q个 - 1 ( 1 - ∫ R（右） 三 [ ρ ( 第页 → ) ] q个 ) ，自 T型 q个 [ ρ ] = 1 1 - q个 [ e（电子） ( 1 - q个 ) R（右） q个 [ ρ ] - 1 ] Rényi熵的性质及其应用已被广泛考虑；参见，例如[65,67,70]以及评论[71,72,73]. 使用Rényi熵和Shannon熵作为不确定度的度量，与原点周围的矩和标准或平方根平均偏差相比，允许更广泛的定量适用范围，量子测不准关系的定量讨论，超越了传统的海森堡型测不准关系[59,72,73,74].
这项工作的结构如下。在第2节，平衡态的量子力学概率密度D类-在位置空间和动量空间中简要描述了维调和（类振子）系统。在第3节，我们确定了由任意阶径向期望值给出的大维调和系统在两个共轭位置和动量空间中的类Heisenberg不确定性测度。它们是使用一些最近的渐近结果计算出来的( α → ∞ )拉盖尔多项式的基本类Rényi积分泛函 我 n个 ( α ) ( x个 ) 和Gegenbauer多项式 C类 n个 ( α ) ( x个 ) 控制谐波函数。显式地发现了系统的相关海森堡类不确定度积，并证明其满足一般量子系统的多维海森堡不确定度关系。在第4节，我们确定了D类-维调和系统D类在位置和动量空间中使用相同的渐近方法。给出了大维调和系统一般状态关联位置动量不确定度和的主项，并证明其满足已知位置动量Rényi-熵不确定度关系[75,76,77]. 最后，给出了一些结论和有待解决的问题。

2D类-维度调和问题：基础

在本节中，我们简要总结了量子力学D类-位置空间和动量空间中的维调和问题，我们给出了系统稳态量子态的概率密度。
与时间无关的Schrödinger方程D类-维度的( D类 ⩾ 1 )谐波系统（即粒子在D类-维二次势 V（V） ( 第页 ) = 1 2 λ 2 第页 2 )由以下人员提供：
- 1 2 ∇ → D类 2 + V（V） ( 第页 ) Ψ 第页 → = E类 Ψ 第页 → ,
哪里 ∇ → D类 表示D类-维梯度算子， λ 是振荡器强度和位置矢量 第页 → = ( x个 1 , … , x个 D类 ) 在超球面单位中，给出如下 ( 第页 , θ 1 , θ 2 , … , θ D类 - 1 ) ≡ ( 第页 , Ω D类 - 1 ) , Ω D类 - 1 ∈ S公司 D类 - 1 ，其中 第页 ≡ | 第页 → | = ∑ 我 = 1 D类 x个 我 2 ∈ [ 0 , + ∞ ) 和 x个 我 = 第页 ∏ k个 = 1 我 - 1 罪 θ k个 余弦 θ 我 对于 1 ≤ 我 ≤ D类 和 θ 我 ∈ [ 0 , π ) , 我 < D类 - 1 , θ D类 - 1 ≡ ϕ ∈ [ 0 , 2 π ) .原子单位（即。， 小时 = 米 e（电子） = e（电子） = 1 )在整个论文中都会用到。
它是已知的（参见，例如[40,78])属于离散谱的能量由下式给出：
E类 = λ 2 n个 + 我 + D类 2
（带有 n个 = 0 , 1 , 2 , … 和 我 = 0 , 1 , 2 , … )，并且相关的特征函数可以表示为：
Ψ n个 , 我 , μ ( 第页 → ) = R（右） n个 , 我 ( 第页 ) Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) ,
哪里 ( 我 , μ ) ≡ ( 我 ≡ μ 1 , μ 2 , … , μ D类 - 1 ) 表示与角度变量相关联的超量子数 Ω D类 - 1 ≡ ( θ 1 , θ 2 , … , θ D类 - 1 ) ，可以取与不等式一致的所有值 我 ≡ μ 1 ≥ μ 2 ≥ … ≥ μ D类 - 1 ≡ 米 ≥ 0 径向本征函数如下所示：
R（右） n个 , 我 ( 第页 ) = 2 n个 ! λ 我 + D类 2 Γ n个 + 我 + D类 2 1 2 e（电子） - λ 2 第页 2 第页 我 我 n个 ( 我 + D类 2 - 1 ) ( λ 第页 2 ) .
符号 我 n个 ( α ) ( x个 ) 表示正交拉盖尔多项式[79]就重量而言 ω α ( x个 ) = x个 α e（电子） - x个 , α = 我 + D类 2 - 1 , 关于区间 0 , ∞ 角特征函数是超球谐函数， Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) ，已定义[40,58,80]作为：
Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) = N个 我 , { μ } e（电子） 我 米 ϕ × ∏ j个 = 1 D类 - 2 C类 μ j个 - μ j个 + 1 ( α j个 + μ j个 + 1 ) ( 余弦 θ j个 ) ( 罪 θ j个 ) μ j个 + 1
使用归一化常数：
N个 我 , { μ } 2 = 1 2 π ∏ j个 = 1 D类 - 2 ( α j个 + μ j个 ) ( μ j个 - μ j个 + 1 ) ! [ Γ ( α j个 + μ j个 + 1 ) ] 2 π 2 1 - 2 α j个 - 2 μ j个 + 1 Γ ( 2 α j个 + μ j个 + μ j个 + 1 ) ,
具有 2 α j个 = D类 - j个 - 1 以及其中的符号 C类 米 ( α ) ( t吨 ) 在方程式中(6)表示Gegenbauer多项式[79]学位米和参数 α .
注意，波函数是适当归一化的，因此 ∫ Ψ η , 我 , μ ( 第页 → ) 2 d日 第页 → = 1 ，其中D类-维度体积元素是 d日 第页 → = 第页 D类 - 1 d日 第页 d日 Ω D类 - 1 哪里：
d日 Ω D类 - 1 = ∏ j个 = 1 D类 - 2 ( 罪 θ j个 ) 2 α j个 d日 θ j个 d日 θ D类 - 1 ,
并且我们考虑了由 ∫ | Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 ) | 2 d日 Ω D类 = 1 那么D类-维谐稳态 ( n个 , 我 , { μ } ) 由方程给出的位置特征函数的平方模在位置空间中给出(4)作为：
ρ n个 , 我 , { μ } ( 第页 → ) = ρ n个 , 我 ( 第页 ) | Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) | 2 ,
其中密度的径向部分是一元径向密度函数 ρ n个 , 我 ( 第页 ) = [ R（右） n个 , 我 ( 第页 ) ] 2 另一方面，位置特征函数的傅里叶变换 Ψ η , 我 , μ ( 第页 → ) 由方程式给出(4)提供了系统在共轭动量空间中的本征函数， Ψ ˜ n个 , 我 , { μ } ( 对 → ) 然后，我们有一个表达式：
γ n个 , 我 , { μ } ( 对 → ) = | Ψ ˜ n个 , 我 , { μ } ( 对 → ) | 2 = λ - D类 ρ n个 , 我 , { μ } 对 → λ .
的动量概率密度D类-具有超量子数的维谐稳态 ( n个 , 我 , { μ } ) .

3.大维谐波态的径向期望值

在本节中，我们获得了D类-维谐态 ( n个 , 我 , { μ } ) 大体上-D类位置和动量空间中的极限，表示为 〈 第页 k个 〉 和 〈 对 t吨 〉 分别使用k个和 t吨 = 0 , 1 , . . . 。我们从表达式开始(8)和(9)分别计算系统的位置概率密度和动量概率密度，得到表达式：
〈 第页 k个 〉 = ∫ 第页 k个 ρ n个 , 我 , { μ } ( 第页 → ) d日 第页 → = ∫ 0 ∞ 第页 k个 ρ n个 , 我 ( x个 ) 第页 D类 - 1 d日 第页 ∫ | Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 ) | 2 d日 Ω D类 = ∫ 0 ∞ 第页 k个 + D类 - 1 ρ n个 , 我 ( x个 ) d日 第页 = n个 ! λ - k个 / 2 Γ ( n个 + 我 + D类 / 2 ) ∫ 0 ∞ x个 α + β e（电子） - x个 [ 我 n个 ( α ) ( x个 ) ] 2 d日 x个
（带有 x个 = λ 第页 2 , α = 我 + D类 / 2 - 1 , β = k个 / 2 )对于位置空间中的径向期望值，以及：
〈 对 t吨 〉 = ∫ 对 t吨 γ n个 , 我 , { μ } ( 对 → ) d日 对 → = ∫ 0 ∞ 对 t吨 γ n个 , 我 ( u个 ) 对 D类 - 1 d日 对 ∫ | Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 ) | 2 d日 Ω D类 = n个 ! λ t吨 / 2 Γ ( n个 + 我 + D类 / 2 ) ∫ 0 ∞ u个 α + ϵ e（电子） - u个 [ 我 n个 ( α ) ( u个 ) ] 2 d日 u个 ,
（带有 u个 = 对 2 / λ , α = 我 + D类 / 2 - 1 和 ϵ = t吨 / 2 )对于动量空间中的径向期望值。注意，在编写表达式中的第三个等式时，我们考虑了超球面谐波的单位归一化(10)和(11). 这些量可以通过类型的广义超几何函数以闭合形式表示 三 如果 2 ( 1 ) [54]而且，它们已被证明满足三项递推关系[48]. 这两个过程使我们能够找到几个最低阶期望值的显式表达式[48]. 然而，对于任意状态，高阶期望值的表达式要复杂得多。
在这项工作中，我们使用一种方法来计算任意阶的径向期望值D类-伪经典中的维谐态( D类 → ∞ )-当多项式参数为 α → ∞ 。此方法首先重写前面两个积分泛函的形式(A4（A4）)（参见中的推论A1附录A). 因此，我们有以下表达式：
〈 第页 k个 〉 = n个 ! λ - k个 / 2 Γ ( n个 + 我 + D类 / 2 ) ∫ 0 ∞ x个 α + σ - 1 e（电子） - x个 [ 我 n个 ( α ) ( x个 ) ] 2 d日 x个
〈 对 t吨 〉 = n个 ! λ t吨 / 2 Γ ( n个 + 我 + D类 / 2 ) ∫ 0 ∞ u个 α + σ - 1 e（电子） - u个 [ 我 n个 ( α ) ( u个 ) ] 2 d日 u个 ,
（带有 σ = β + 1 和 σ = ϵ + 1 分别）的位置和动量径向期望值。这个推论在方程式中的应用(12)和（13）使我们得出以下结论( α → ∞ )-径向期望值的渐近性：
〈 第页 k个 〉 ∼ 2 π λ - k个 / 2 e（电子） - α α α + n个 + β + 1 / 2 Γ ( n个 + 我 + D类 / 2 )
〈 对 t吨 〉 ∼ 2 π λ t吨 / 2 e（电子） - α α α + n个 + ϵ + 1 / 2 Γ ( n个 + 我 + D类 / 2 )
（带有 α = 我 + D类 / 2 - 1 , β = k个 / 2 和 ϵ = t吨 / 2 )具有固定值的谐波状态我现在，我们使用第一个订单( z（z） → ∞ )-伽玛函数的渐近展开[79], Γ ( z（z） ) ∼ 2 π z（z） z（z） - 1 / 2 e（电子） - z（z） ，我们考虑到了这一点 ( 年 + D类 ) D类 ∼ D类 D类 e（电子） 年 什么时候 D类 → ∞ 然后，从(14)，其中一个是( D类 → ∞ )-位置空间中径向期望值的渐近性由下式给出：
〈 第页 k个 〉 ∼ D类 2 λ k个 2
请注意，在大维极限中，对量子数的依赖性消失了，这是接近（伪）经典情况的表现。系统的内在量子力学结构隐藏在这样一个极限中。此外，我们观察到该系统存在特征长度， 第页 c（c） = D类 2 λ 1 2 在伪经典极限，从那时起，我们就有了它 〈 第页 〉 → 第页 c（c） 和 〈 第页 k个 〉 → 第页 c（c） k个 此外，能源(三)可以写为 E类 → λ D类 2 = λ 2 第页 c（c） 2 该特征长度对应于有效电势变为最小值且基态概率分布为最大值的距离[48]. 因此D类-空间振荡器 D类 → ∞ 可以看作是在经典的半径轨道上运动的粒子 第页 c（c） 带着能量 E类 = λ 2 第页 c（c） 2 和角动量 我 = D类 2 .
类似地，从（15）可以看出( D类 → ∞ )-动量空间中径向期望值的渐近性：
〈 对 t吨 〉 ∼ λ D类 2 t吨 / 2 ,
因此，广义海森堡类位置动量不确定性乘积D类由以下公式给出：
〈 第页 k个 〉 〈 对 t吨 〉 ∼ λ t吨 - k个 2 D类 2 k个 + t吨 2 .
请注意，当 k个 = t吨 ，我们得到了大维谐波系统的类海森堡不确定度积：
〈 第页 k个 〉 〈 对 k个 〉 ∼ D类 2 k个 ,
这与振荡器的强度无关 λ ，因为振荡器电势的均匀性[81]. 因此，对于 k个 = 2 ，我们有位置动量不确定性乘积 〈 第页 2 〉 〈 对 2 〉 = D类 2 4 在伪经典极限中，它不仅饱和了海森堡公式的位置动量测不准原理D类-维量子物理（即海森堡测不准关系 〈 第页 2 〉 〈 对 2 〉 ≥ D类 2 4 ) ，以及受中心势影响的量子系统的不确定性关系（即， 〈 第页 2 〉 〈 对 2 〉 ≥ 我 + D类 2 2 ) [53].
最后，让我们比较一下D类-振荡器结果与在伪经典极限下获得的相应结果D类-最近发现的一维氢原子[57,59]. 例如，众所周知( D类 → ∞ )-渐近二阶径向期望值为 〈 第页 2 〉 H（H） = D类 4 16 Z轴 2 和 〈 对 2 〉 H（H） = 4 Z轴 2 D类 2 分别在位置和动量空间中，因此相关的海森堡不确定性乘积由下式给出 〈 第页 2 〉 H（H） 〈 对 2 〉 H（H） = D类 2 4 最有趣的是，对于多维振子和氢系统，伪经典极限中的海森堡不确定度积具有相同的值，考虑到这两个系统中的量子力学势如此不同，这在某种程度上是违反直觉的。

4.大维简谐态的Rényi熵

在本节中，我们得到了伪经典极限( D类 → ∞ )泛型的Rényi熵D类-具有固定超量子数的维谐态 ( n个 , 我 , { μ } ) 在位置和动量空间中。然后，我们表达并讨论了相应的位置动量熵不确定性关系，最后对基于Shannon熵的大维量子系统位置动量不确定性关系进行了猜想。这可能会让我们想起最近关于曲线统计流形上熵运动的一些研究[82,83].
我们从表达式开始(8)和(9)系统的位置概率密度和动量概率密度。为了计算位置Rényi熵，我们将其分解为两个径向和角度部分。径向部分首先用拉盖尔多项式的类Rényi积分泛函表示 我 米 ( α ) ( x个 ) 具有 α = D类 2 + 我 - 1 然后，此函数在大范围内确定-D类通过定理A1限制（参见附录A). 角部分由超球谐函数的类Rényi积分泛函给出，它可以用Gegenbauer多项式的类Rányi-泛函表示 C类 米 ( α ) 具有 α = D类 2 + 我 - 1 2 ; 稍后，我们将对这个Gegenbauer函数进行全面评估D类，在循环和 ( n个 秒 ) 以超量子数为特征的状态( n个 , 我 = n个 - 1 , { μ } = { n个 - 1 } )和( n个 , 我 = 0 , { μ } = { 0 } )分别是。
在动量空间中类似地操作，我们可以确定系统的动量Rényi熵。在这个空间中，谐波态动量波函数的径向和角部分都由Gegenbauer多项式控制，如前一节所述。

4.1. 位置空间中的Rényi熵

让我们得到概率密度的位置Rényi熵 ρ n个 , 我 , { μ } ( 第页 → ) 由提供(8)，根据(1)定义为：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] = 1 1 - q个 日志 W公司 q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] ; 0 < q个 < ∞ , q个 ≠ 1 ,
其中符号 W公司 q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] 表示密度的熵矩：
W公司 q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] = ∫ R（右） D类 [ ρ n个 , 我 , { μ } ( 第页 → ) ] q个 d日 第页 → = ∫ 0 ∞ [ ρ n个 , 我 ( 第页 ) ] q个 第页 D类 - 1 d日 第页 × Λ 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) ,
角部分由以下公式给出：
Λ 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) = ∫ S公司 D类 - 1 | Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) | 2 q个 d日 Ω D类 - 1 .
然后，根据方程式(20)和(21)，我们可以得到D类-维谐态 ( n个 , 我 , { μ } ) 如下：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] = R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] + R（右） q个 [ Y（Y） 我 , { μ } ] ,
哪里 R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] 表示径向部分：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] = 1 1 - q个 日志 ∫ 0 ∞ [ ρ n个 , 我 ( 第页 ) ] q个 第页 D类 - 1 d日 第页 ,
和 R（右） q个 [ Y（Y） 我 , { μ } ] 表示角度部分：
R（右） q个 [ Y（Y） 我 , { μ } ] = 1 1 - q个 日志 Λ 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) .
这里，我们的目标是确定Rényi熵的渐近性 R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] 什么时候 D类 → ∞ ，所有的超量子数都是固定的。根据方程式(23)，这个问题需要径向Rényi熵的渐近性 R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] 角Rényi熵的渐近性 R（右） q个 [ Y（Y） 我 , { μ } ] 由方程式给出(24)和(25)分别是。

4.1.1. 径向位置Rényi熵

来自方程式(24)，径向Rényi熵可以表示为：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] = - 日志 ( 2 λ D类 2 ) + 1 1 - q个 日志 N个 n个 , 我 ( D类 , q个 )
哪里 N个 n个 , 我 ( D类 , q个 ) 表示拉盖尔多项式的以下加权形式：
N个 n个 , 我 ( D类 , q个 ) = n个 ! Γ ( α + n个 + 1 ) q个 ∫ 0 ∞ 第页 α + 我 q个 - 我 e（电子） - q个 第页 我 n个 ( α ) ( 第页 ) 2 q个 d日 第页
具有：
α = 我 + D类 2 - 1 , 我 = 0 , 1 , 2 , … , q个 > 0 和 β = ( 1 - q个 ) ( α - 我 ) .
注意，方程式(28)保证积分泛函的收敛性；即，条件 β + q个 α = D类 2 + 我 q个 - 1 > - 1 总是满足于物理上的所有参数值。
然后，确定径向Rényi熵的渐近性 R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] 需要计算拉盖尔泛函的渐近性 N个 n个 , 我 ( D类 , q个 ) ; 也就是说，由方程给出的类Rényi积分泛函的求值(27)何时 D类 → ∞ 我们通过应用定理A1（参见附录A)泛函的零阶逼近 N个 n个 , 我 ( D类 , q个 ) 由方程式给出(27)带有( n个 , 我 )固定，为每个非负数获取 q个 ≠ 1 即：
N个 n个 , 我 ( D类 , q个 ) ∼ 2 π ( n个 ! ) q个 q个 我 ( 1 - q个 ) - 1 | q个 - 1 | q个 2 q个 n个 α α + q个 ( 我 + 2 n个 ) - 我 + 1 2 [ Γ ( α + n个 + 1 ) ] q个 ( q个 e（电子） ) - α ,
我们使用了斯特林公式[79]对于gamma函数 Γ ( x个 ) = e（电子） - x个 x个 x个 - 1 2 ( 2 π ) 1 2 1 + O（运行） x个 - 1 .
然后，方程式(26)–(29)让我们找到径向Rényi熵的以下渐近性：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] ∼ 1 1 - q个 日志 α D类 2 Γ ( D类 2 + n个 + 我 ) q个 + D类 2 1 - q个 日志 λ q个 - 1 q个 e（电子） + q个 ( 我 + 2 n个 ) - 1 2 1 - q个 日志 α + 1 1 - q个 日志 C类 ( n个 , 我 , q个 ) ,
（带有 C类 ( n个 , 我 , q个 ) = 2 q个 - 1 2 π ( n个 ! ) q个 q个 - 我 q个 e（电子） 我 - 1 | q个 - 1 | q个 2 q个 n个 )可以改写为：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] ∼ D类 2 日志 D类 2 + D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 λ e（电子） + q个 n个 1 - q个 - 1 2 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 C类 ˜ ( n个 , 我 , q个 )
（带有 C类 ˜ ( n个 , 我 , q个 ) = e（电子） 我 - 1 ( 2 π ) q个 2 C类 ( n个 , 我 , q个 ) )或作为：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] ∼ 1 2 D类 日志 D类 + 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 2 λ e（电子） D类 + q个 n个 1 - q个 - 1 2 日志 D类 ,
它支持 q个 > 0 , q个 ≠ 1 该渐近展开式中的进一步项可以通过定理A1获得。注意，由于 q个 1 q个 - 1 → e（电子） 什么时候 q个 → 1 ，我们对径向Shannon熵的值有以下推测：
S公司 [ ρ n个 , 我 ] ∼ D类 2 日志 D类 2 - D类 2 日志 ( λ ) = 1 2 D类 日志 D类 - 1 2 D类 日志 ( 2 λ )
可以用数字表示是正确的。然而，对这个数量有一个更严格的证明是强制性的。
然后，根据方程式(23)，修复渐近( D类 → ∞ )总Rényi熵的 R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] ，它只保留对角度部分的相应渐近性的评估 R（右） q个 [ Y（Y） 我 , { μ } ] ，将在以下步骤中完成。

4.1.2. 角Rényi熵

最近，它被展示[60]渐近线( D类 → ∞ )角度部分的 R（右） 对 [ Y（Y） 我 , { μ } ] 由方程定义的总位置和动量Rényi熵(25)，由以下表达式给出：
R（右） q个 [ Y（Y） 我 , { μ } ] ∼ 1 1 - q个 日志 Γ D类 2 + 我 q个 Γ D类 2 + q个 我 + D类 2 日志 π + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) Γ ( 1 + q个 μ D类 - 1 ) Γ ( 1 + μ D类 - 1 ) q个 ∼ - 日志 Γ D类 2 + D类 2 日志 π + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) ∼ - D类 2 日志 D类 2 + D类 2 日志 ( e（电子） π ) + 1 2 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) ∼ - 1 2 D类 日志 D类 + 1 2 D类 日志 ( 2 e（电子） π ) + 1 2 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } )
哪里：
M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) ≡ 4 q个 ( 我 - μ D类 - 1 ) π 1 - D类 2 ∏ j个 = 1 D类 - 2 Γ q个 ( μ j个 - μ j个 + 1 ) + 1 2 Γ μ j个 - μ j个 + 1 + 1 q个
和：
E类 ˜ ( D类 , { μ } ) ≡ ∏ j个 = 1 D类 - 2 ( α j个 + μ j个 + 1 ) 2 ( μ j个 - μ j个 + 1 ) ( 2 α j个 + 2 μ j个 + 1 ) μ j个 - μ j个 + 1 1 ( α j个 + μ j个 + 1 ) μ j个 - μ j个 + 1 = ∏ j个 = 1 D类 - 2 ( α j个 + μ j个 + 1 ) 2 ( μ j个 - μ j个 + 1 ) Γ ( 2 α j个 + 2 μ j个 + 1 ) Γ ( 2 α j个 + μ j个 + 1 + μ j个 ) Γ ( α j个 + μ j个 + 1 ) Γ ( α j个 + μ j个 )
具有超量子数的一般谐波的角Rényi熵 ( 我 , { μ } ) ，适用于所有非负数 q个 ≠ 1 。请注意 E类 ˜ = M（M） ˜ = 1 对于任何配置 μ 1 = μ 2 = ⋯ = μ D类 - 1 。请参阅附录B了解更多详细信息。
为了完整性，我们将以更完整的方式确定某些物理相关和实验上可获得的状态的渐近行为，如 ( n个 秒 ) 以及由超量子数描述的圆形( n个 , 我 = n个 - 1 , { μ } = { n个 - 1 } )和( n个 , 我 = 0 , { μ } = { 0 } )分别是。然后，根据方程式(34)–(36)，Rényi熵角部分的渐近性由下式给出：
R（右） q个 [ Y（Y） 0 , { 0 } ] ∼ 日志 2 π D类 2 Γ D类 2
∼ - D类 2 日志 D类 2 + D类 2 日志 ( e（电子） π ) + 1 2 日志 D类 2
∼ - 1 2 D类 日志 D类 + 1 2 D类 日志 ( 2 e（电子） π ) + 1 2 日志 D类
和：
R（右） q个 [ Y（Y） n个 - 1 , { n个 - 1 } ] ∼ 1 1 - q个 日志 1 2 π D类 2 q个 - 1 n个 D类 2 - 1 q个 1 + q个 ( n个 - 1 ) D类 2 - 1 ≃ 1 1 - q个 日志 Γ D类 2 + n个 - 1 q个 Γ D类 2 + q个 ( n个 - 1 ) + D类 2 日志 π + 1 1 - q个 日志 Γ ( 1 + q个 ( n个 - 1 ) ) [ Γ ( n个 ) ] q个 ∼ - 日志 Γ D类 2 + D类 2 日志 π + 1 1 - q个 日志 Γ ( 1 + q个 ( n个 - 1 ) ) [ Γ ( n个 ) ] q个
∼ D类 2 日志 D类 2 + D类 2 日志 ( e（电子） π ) + 1 2 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 Γ ( ( n个 - 1 ) q个 + 1 ) Γ ( n个 ) q个
∼ - 1 2 D类 日志 D类 + 1 2 D类 日志 ( 2 e（电子） π ) + 1 2 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 Γ ( ( n个 - 1 ) q个 + 1 ) Γ ( n个 ) q个
对于 ( n个 秒 ) 和循环状态。请注意 ( x个 ) 一 = Γ ( x个 + 一 ) Γ ( x个 ) 是著名的Pochhammer符号[79]. 请注意，对于非常大的D类，这两类物理状态的角Rényi熵的主导项相同；即， - 日志 Γ D类 2 + D类 2 日志 π 此外，最有趣的是：通过在一般表达式中考虑，这种行为适用于任何谐波状态(34)那个 M（M） ˜ 受因素支配 π - D类 2 以及 E类 ˜ 受因素控制 Γ ( 2 α j个 + 2 μ j个 + 1 ) Γ ( 2 α j个 + μ j个 + 1 + μ j个 ) Γ ( α j个 + μ j个 + 1 ) Γ ( α j个 + μ j个 ) < 1 此外，我们可以看到附录B那个 M（M） ˜ 和 E类 ˜ 对于固定的有限我，正如整篇文章所假设的那样。这一观察使我们能够推测，在极限 q个 → 1 ，其中一个具有以下内容( D类 → ∞ )-渐近：
S公司 [ Y（Y） 我 , { μ } ] ∼ - 日志 Γ D类 2 + D类 2 日志 π ∼ - D类 2 日志 D类 2 + D类 2 日志 ( e（电子） π ) + 1 2 日志 D类 2 ∼ - 1 2 D类 日志 D类 + 1 2 D类 日志 ( 2 e（电子） π ) + 1 2 日志 D类 .
对于大维简谐态的角Shannon熵。

4.1.3. 总位置Rényi熵

获得总Rényi熵 R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] 通用的位置空间 ( n个 , 我 , { μ } ) -状态，根据(23)，我们必须将下式给出的径向和角度贡献相加(32)和(34)分别是。然后，我们得到：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + q个 n个 1 - q个 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) C类 ^ ( n个 , 我 , q个 ) = 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ D类 + q个 n个 1 - q个 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) C类 ^ ( n个 , 我 , q个 ) 2 - q个 n个
它适用于每一个非负 q个 ≠ 1 以及在哪里 C类 ^ ( n个 , 我 , q个 ) = C类 ˜ ( n个 , 我 , q个 ) ( 2 π ) 1 - q个 2 现在，为了完整性和说明性，我们以明确的方式为 ( n个 秒 ) 和循环态，它们都包括基态。对于这些状态，我们得到了以下渐近表达式：
R（右） q个 [ ρ n个 , 0 , { 0 } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + q个 n个 1 - q个 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , 0 , q个 ) = 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ D类 + q个 n个 1 - q个 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , 0 , q个 ) 2 - q个 n个
（带有 C类 ^ ( n个 , 0 , q个 ) = 2 q个 - 1 ( n个 ! ) q个 q个 - 1 q个 2 n个 q个 )和：
R（右） q个 [ ρ n个 , n个 - 1 , { n个 - 1 } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + q个 n个 1 - q个 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , n个 - 1 , q个 ) = 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ D类 + q个 n个 1 - q个 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , n个 - 1 , q个 ) 2 - q个 n个
（带有 C类 ^ ( n个 , n个 - 1 , q个 ) = 2 q个 - 1 ( n个 ! ) q个 q个 q个 ( 1 - 三 n个 ) | q个 - 1 | 2 q个 n个 )分别是。我们从方程式中认识到(43)–(45)D类-所有状态在位置空间中总Rényi熵的维数渐近性 R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] 由以下公式给出：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] = D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + O（运行） ( 日志 D类 ) , q个 ≠ 1
对于所有固定的超量子数。考虑到一维谐振子的基态Rényi熵为 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ ，这个表达式告诉我们主导项对应于D类-维度谐振子。因此，来自激发本身的熵变化（取决于超量子数）随着 O（运行） ( 日志 D类 ) 。为了更好地理解这个结果，让我们记住，在笛卡尔坐标系中D类-维谐振子可以解释为D类一维振子；因此，对于固定n个和 D类 → ∞ ，我们在激发态中最多有有限个一维模，而在基态中则有无限个一维模。
最后，根据方程式(46)可以推测，在极限 q个 → 1 ，其中一个具有：
S公司 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] ∼ D类 2 日志 e（电子） π λ
对于位置的主导项Shannon熵 S公司 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] 具有固定超量子数的大维调和系统的一般状态 ( n个 , 我 , { μ } ) 。由于一维振荡器的基态Shannon熵正好等于 1 2 日志 ( e（电子） π λ ) [40,49]，注意该值(47)与地面状态的Shannon熵完全对应D类-维谐振子，根据前面的笛卡尔讨论，这并不奇怪。遗憾的是，我们不能再往前走了；这仍然是一个悬而未决的问题。

4.2. 动量空间中的Rényi熵

由于方程中所示的位置和动量概率密度之间的密切关系，大维调和系统动量Rényi熵的确定从位置1开始就很简单(9). 事实上，有人认为系统的动量波函数具有以下形式：
Ψ ˜ n个 , 我 , { μ } ( 对 → ) = M（M） n个 , 我 ( 第页 ) Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) ,
和动量密度 γ n个 , 我 , μ ( 第页 → ) = | Ψ ˜ n个 , 我 , { μ } ( 对 → ) | 2 可以表示为：
γ n个 , 我 , { μ } ( 第页 → ) = γ n个 , 我 ( 第页 ) | Y（Y） 我 , { μ } ( Ω D类 - 1 ) | 2 ,
具有 γ n个 , 我 ( 第页 ) = [ M（M） n个 , 我 ( 第页 ) ] 2 然后，根据等式(9)，径向位置和动量Rényi熵连接为：
R（右） q个 [ γ n个 , 我 ] = R（右） q个 [ ρ n个 , 我 ] + D类 日志 λ ,
这使我们能够获得动量空间中径向Rényi熵的以下渐近行为：
R（右） q个 [ γ n个 , 我 ] ∼ D类 2 日志 D类 2 + D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 λ e（电子） + q个 n个 1 - q个 - 1 2 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 C类 ˜ ( n个 , 我 , q个 ) ∼ 1 2 D类 日志 D类 + 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 λ 2 e（电子） D类 + q个 n个 1 - q个 - 1 2 日志 D类 .
另一方面，角Rényi熵 R（右） 对 [ Y（Y） 我 , { μ } ] 已在公式中给出(34)，所以总动量Rényi熵 R（右） 对 [ γ n个 , 我 , { μ } ] = R（右） q个 [ γ n个 , 我 ] + R（右） q个 [ Y（Y） 我 , { μ } ] 结果有一个表达式：
R（右） q个 [ γ n个 , 我 , { μ } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + q个 n个 1 - q个 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) C类 ^ ( n个 , 我 , q个 ) ∼ 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ D类 + q个 n个 1 - q个 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) q个 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) C类 ^ ( n个 , 我 , q个 ) 2 - q个 n个 .
为了完整性和说明性，让我们以更完整的方式给出这个量对于某些特定量子态的渐近性，例如 ( n个 秒 ) 和循环状态。对于 ( n个 秒 ) -状态，我们发现：
R（右） q个 [ γ n个 , 0 , { 0 } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + q个 n个 1 - q个 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , 0 , q个 ) = 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ D类 + q个 n个 1 - q个 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , 0 , q个 ) 2 - q个 n个
对于圆形状态，我们得到了以下渐近性：
R（右） q个 [ γ n个 , n个 - 1 , { n个 - 1 } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + q个 n个 1 - q个 日志 D类 2 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , n个 - 1 , q个 ) = 1 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ D类 + q个 n个 1 - q个 日志 D类 + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( n个 , n个 - 1 , q个 ) 2 - q个 n个 .
注意，对于基态( n个 = 0 )得到了大维调和系统的总动量Rényi熵由下式给出：
R（右） q个 [ γ 0 , 0 , { 0 } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + 1 1 - q个 日志 C类 ^ ( 0 , 0 , q个 )
此外，我们认识到总动量Rényi熵的主导项 R（右） 对 [ γ n个 , 我 , { μ } ] 大尺寸谐波系统的表达式为：
R（右） q个 [ γ n个 , 我 , { μ } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 π λ + q个 n个 1 - q个 日志 D类
最后，根据方程式(52)可以推测，在极限 q个 → 1 ，有香农熵 S公司 [ γ n个 , 我 , { μ } ] 在动量空间中 ( n个 , 我 , { μ } ) -谐波系统的状态由下式给出：
S公司 [ γ n个 , 我 , { μ } ] ∼ D类 2 日志 e（电子） π λ .
然而，由于未知因素，对这个表达式进行更严格的证明仍然是一个悬而未决的问题( q个 → 1 )-角度部件的行为。

4.3. 位置-动量熵不确定度总和

从方程式(43)和(52)，我们可以得到大维调和系统联合位置动量Rényi不确定性和的主导项。我们发现一位将军 ( n个 , 我 , { μ } ) -状态，具有 1 q个 + 1 对 = 2 （实际上，参数之间的关系对和q个意味着 q个 q个 - 1 + 对 对 - 1 = 0 ，它取消了中的线性项D类以及角度因子 E类 ˜ ( D类 , { μ } ) )给出：
R（右） q个 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] + R（右） 对 [ γ n个 , 我 , { μ } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 对 1 对 - 1 π 2 + 日志 M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) 1 1 - q个 M（M） ˜ ( D类 , 对 , { μ } ) 1 1 - 对 C类 ^ ( n个 , 我 , q个 ) C类 ^ ( n个 , 我 , 对 ) .
对于 ( n个 秒 ) -表示，上述不确定度总和减少为：
R（右） q个 [ ρ n个 , 0 , { 0 } ] + R（右） 对 [ γ n个 , 0 , { 0 } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 对 1 对 - 1 π 2 + 日志 C类 ^ ( n个 , 0 , q个 ) C类 ^ ( n个 , 0 , 对 ) ,
基态为：
R（右） q个 [ ρ 0 , 0 , { 0 } ] + R（右） 对 [ γ 0 , 0 , { 0 } ] ∼ D类 2 日志 q个 1 q个 - 1 对 1 对 - 1 π 2 + 日志 C类 ^ ( 0 , 0 , q个 ) C类 ^ ( 0 , 0 , 对 ) .
显然，这些表达式不仅满足一般的位置-动量Rényi不确定性关系[75,76,77]:
R（右） q个 [ ρ ] + R（右） 对 [ γ ] ≥ D类 日志 对 1 2 ( 对 - 1 ) q个 1 2 ( q个 - 1 ) π ,
也使其饱和。对于香农熵，从方程组(47)和(57)，得到了位置动量Shannon不确定性和的前导项为：
S公司 [ ρ n个 , 我 , { μ } ] + S公司 [ γ n个 , 我 , { μ } ] ∼ D类 ( 1 + 日志 π )
满足并饱和已知位置-动量-香农不确定性关系[84,85]:
S公司 [ ρ ] + S公司 [ γ ] ≥ D类 ( 1 + 日志 π ) .
最后，最有趣的是认识到在伪经典 ( D类 → ∞ ) 边界，联合位置动量类Rényi不确定性和D类-维度谐振子（由(58)与对应的总和具有相同的值D类-最近获得的一维氢原子[60]. 这在某种程度上是违反直觉的，因为氢和谐振子系统的库仑势和二次势的物理-数学特性不同。

5.结论

在这项工作中，我们已经确定了渐近性( D类 → ∞ )的位置和动量Rényi和Tsallis熵D类-基于超量子数和谐波参数的维谐态 λ 我们使用了一种最近的构造方法，它允许计算拉盖尔的潜在类Rényi积分泛函 我 n个 ( α ) ( x个 ) 和Gegenbauer C类 n个 ( α ) ( x个 ) 具有固定次数的多项式n个和参数的较大值 α 这是因为在位置和动量空间中，谐波状态由拉盖尔多项式和盖根鲍尔多项式控制，请记住，超球面谐波（决定两个共轭空间中波函数的角部分）可以用后一种多项式表示。然后，给出一些特定类谐波状态的这些量的简单表达式( n个 秒 和循环态），其中包括基态。
然后，我们找到了基于Heisenberg-like和Rényi-熵的等式型不确定性关系D类-伪经典中的维谐振子态 ( D类 → ∞ ) 极限，表明它们饱和了相应的一般不等式类不确定性关系，这些不确定性关系是已知的[53,75,76,77,86,87]. 此外，我们已经意识到，这两类等式型不确定性关系适用于伪经典极限下的谐振子态，与氢原子的相应不确定性关系相同，尽管这些系统的量子力学势的数学性质截然不同。这一观察为研究具有库仑势和二次势以外的势的量子系统在量子-伪经典边界上的这种性质是否成立开辟了道路。特别是，它适用于所有球对称势，还是至少适用于形式的势 第页 k个 带负值或正值k个?
我们应该强调的是，用目前的方法还不可能找到大维调和系统的Shannon熵，尽管主项已被猜测。一个严格的证据仍然是公开的。
最后，让我们提到，在多项式参数和固定度的较大值下，超几何多项式的Rényi型和Shannon型积分泛函的渐近性的确定对于除谐振子以外的许多量子力学系统都是非常相关的。事实上，对这些积分泛函的渐近性的了解将允许确定量子系统（例如氢系统）所有伪经典状态的熵和复杂性度量。这是未来的另一个悬而未决的问题。

鸣谢

这项工作得到了安达卢西亚政府FQM-7276和FQM-207项目的部分支持，以及MINECO（经济与竞争力部）-FEDER（欧洲区域发展基金）FIS2014-54497P和FIS2015-59311-P的拨款。Irene V.Toranzo感谢MEFPU项目的支持。

作者贡献

Jesús s.Dehesa构思并设计了这项工作。David Puertas-Centeno和Irene V.Toranzo进行了计算。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A.大参数拉盖尔多项式的类Rényi泛函

在本附录中，渐近线( α → ∞ )拉盖尔多项式的一些类Rényi泛函 我 n个 ( α ) ( x个 ) 由以下定理给出，该定理是最近发现的[88]（另请参见[89,90]).
定理 答：。
拉盖尔多项式的类Rényi泛函 我 米 ( α ) ( x个 ) 由提供:
J 1 ( σ , λ , κ , 米 ; α ) = ∫ 0 ∞ x个 α + σ - 1 e（电子） - λ x个 我 米 ( α ) ( x个 ) κ d日 x个 ,
（σreal， 0 < λ ≠ 1 , κ > 0 )具有以下功能( α → ∞ )-渐近行为：
J 1 ( σ , λ , κ , 米 ; α ) ∼ α α + σ e（电子） - α λ - α - σ - κ 米 λ - 1 κ 米 2 π α α κ 米 ( 米 ! ) κ ∑ j个 = 0 ∞ D类 j个 α j个 ,
具有第一个系数 D类 0 = 1 和：
D类 1 = 1 12 ( λ - 1 ) 2 ( 1 - 12 κ 米 σ λ + 6 σ 2 λ 2 - 12 σ 2 λ - 6 σ λ 2 + 12 σ λ + 6 κ 2 米 2 + 12 κ 米 σ - 12 κ 米 2 λ - 12 κ 米 λ + 6 κ 米 λ 2 + 6 κ 米 2 λ 2 + λ 2 + 6 σ 2 - 2 λ - 6 σ + 6 κ 米 2 ) .
推论 答：。
对于特定情况 λ = 1 和 κ = 2 即。，
J 1 ( σ , 1 , 2 , 米 ; α ) = ∫ 0 ∞ x个 α + σ - 1 e（电子） - x个 我 米 ( α ) ( x个 ) 2 d日 x个 ,
的( α → ∞ )-积分的渐近行为由下式给出：
我 5 ( 米 , α ) ∼ α α + σ + 米 e（电子） - α 米 ! 2 π α .
关于定理A1的证明、其中剩余系数的知识以及关于定理和推论的其他细节，请参见[88].

附录B关于角函数 ℰ ˜ 和 ℳ ˜

量子谐态由超量子数表征，超量子数满足以下限制：
μ 1 = ⋯ = μ k个 1 > μ k个 1 + 1 = ⋯ = μ k个 2 > μ k个 2 + 1 ⋯ μ k个 我 > μ k个 我 + 1 = ⋯ = μ k个 我 + 1 > ⋯ μ k个 N个 - 1 > μ k个 N个 - 1 + 1 = ⋯ = μ k个 N个
哪里 μ 1 ≡ 我 和 μ k个 N个 ≡ μ D类 - 1 让我们表示 k个 0 = 0 和 M（M） 我 “我-第个家族” μ k个 我 - 1 + 1 = ⋯ = μ k个 我 以便 ∑ 我 = 1 N个 M（M） 我 = D类 - 1 然后，我们可以写下：
∏ j个 = 1 D类 - 2 Γ q个 ( μ j个 - μ j个 + 1 ) + 1 2 Γ μ j个 - μ j个 + 1 + 1 q个 = ∏ 我 = 1 N个 ∏ j个 = k个 我 - 1 + 1 k个 我 - 1 Γ q个 ( μ j个 - μ j个 + 1 ) + 1 2 Γ μ j个 - μ j个 + 1 + 1 q个 ∏ 我 = 1 N个 - 1 Γ q个 ( μ k个 我 - μ k个 我 + 1 ) + 1 2 Γ μ k个 我 - μ k个 我 + 1 + 1 q个 = ∏ 我 = 1 N个 ∏ j个 = k个 我 - 1 + 1 k个 我 - 1 Γ 1 2 ∏ 我 = 1 N个 - 1 Γ q个 ( μ k个 我 - μ k个 我 + 1 ) + 1 2 Γ μ k个 我 - μ k个 我 + 1 + 1 q个 = π D类 - 1 - N个 2 ∏ 我 = 1 N个 - 1 Γ q个 ( μ k个 我 - μ k个 我 + 1 ) + 1 2 Γ μ k个 我 - μ k个 我 + 1 + 1 q个 .
因此，函数 M（M） ˜ 由定义(35)可以表示为：
M（M） ˜ ( D类 , q个 , { μ } ) ≡ 4 q个 ( 我 - μ D类 - 1 ) π 1 - D类 2 ∏ j个 = 1 D类 - 2 Γ q个 ( μ j个 - μ j个 + 1 ) + 1 2 Γ μ j个 - μ j个 + 1 + 1 q个 = 4 q个 ( 我 - μ D类 - 1 ) π 1 - N个 2 ∏ 我 = 1 N个 - 1 Γ q个 ( μ k个 我 - μ k个 我 + 1 ) + 1 2 Γ μ k个 我 - μ k个 我 + 1 + 1 q个 .
以类似的方式，我们可以表示函数 E类 ˜ 由定义(36)作为：
E类 ˜ ( D类 , { μ } ) = ∏ 我 = 1 N个 - 1 ( α k个 我 + μ k个 我 + 1 ) 2 ( μ k个 我 - μ k个 我 + 1 ) Γ ( 2 α k个 我 + 2 μ k个 我 + 1 ) Γ ( 2 α k个 我 + μ k个 我 + μ k个 我 + 1 ) Γ ( α k个 我 + μ k个 我 + 1 ) Γ ( α k个 我 + μ k个 我 ) ∼ D类 2 ( 我 - μ D类 - 1 ) .

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  1. Benavides-Riveros，C。；托兰佐，I.V。；Dehesa，J.S.《N谐波中的纠缠：玻色子和费米子》。《物理学杂志》。B按摩尔选择。物理学。 2014,47, 195503. [谷歌学者] [交叉参考]
  2. Koscik，P.两个谐波俘获偶极粒子的量子纠缠。少体系统。 2015,56, 107–114. [谷歌学者] [交叉参考]
  3. Loos，P.F。；Gill，P.M.W.《超球面上的两个电子：准精确可解模型》。物理学。修订稿。 2009,103, 123008. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  4. Loos，P.F。；Gill，P.M.W.球体的激发态。摩尔物理学。 2010,108, 10. [谷歌学者] [交叉参考]
  5. 托兰佐，I.V。；Plastino，A.R。；Sánchez-Moreno，P。；Dehesa，J.S.量子纠缠(d日-1） -球体。《物理学杂志》。数学。西奥。 2015,48, 475302. [谷歌学者] [交叉参考]
  6. Coe，J.P。；Sudbery，A。；D’Amico，I.纠缠和密度泛函理论：测试胡克原子的近似值。物理学。版本B 2008,77, 205122. [谷歌学者] [交叉参考]
  7. 罗梅拉，E。；Dehesa，J.S.Fisher-Shannon信息平面，电子关联工具。化学杂志。物理学。 2004,120, 8906. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  8. 克兰德尔，R。；惠特内尔，R。；Bettega，R.精确可溶双电子原子模型。美国物理学杂志。 1984,52, 438. [谷歌学者] [交叉参考]
  9. 莫辛斯基，M。；斯米尔诺夫，Y.F。谐振子：从原子到夸克第2版。；戈登和布雷奇：美国纽约州纽约市，1996年。[谷歌学者]
  10. Manzano，D。；Plastino，A.R。；Dehesa，J.S。；Koga，T.双电子原子模型中的量子纠缠。《物理学杂志》。B At.Mol.选项。物理学。 2010,43, 275301. [谷歌学者] [交叉参考]
  11. 亚涅斯，R.J。；Plastino，A.R。；Dehesa，J.S.可溶双电子模型原子中的量子纠缠。欧洲物理学。J·D 2010,56, 141. [谷歌学者]
  12. 范迪扬，J.F。；Vinet，L.（编辑）Calogero-Moser-Sutherland模型; 施普林格：德国柏林/海德堡，2000年。[谷歌学者]
  13. 赫施巴赫，D.R。；Avery，J。；Gossinski，O.（编辑）化学物理中的量纲标度; Kluwer学术出版社：英国伦敦，1993年。[谷歌学者]
  14. 奇皮斯，C.T。；波波夫，V.S。；赫施巴赫博士。；艾弗里，J.S。量子理论中的新方法; Kluwer学术出版社：荷兰多德雷赫特，1996年。[谷歌学者]
  15. Chatterjee，A.大型-N个量子力学、原子物理和一些O（N）不变系统的展开。物理学。代表。 1990,186, 249–372. [谷歌学者] [交叉参考]
  16. Herschbach，D.R.，维标度和重整化。国际期刊数量。化学。 1996,57, 295–308. [谷歌学者] [交叉参考]
  17. Yaffe，L.G.大型N个作为经典力学的极限。修订版Mod。物理学。 1982,54, 407. [谷歌学者] [交叉参考]
  18. Yaffe，L.G.大型N个量子力学和经典极限。物理学。今天 1983,36, 50. [谷歌学者] [交叉参考]
  19. Herschbach，D.R.《物理化学五十年：向导师、方法和分子致敬》。每年。物理版。化学。 2000,51，1-39。[谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  20. 盖洛普，G.A.角动量n个-维度空间。《分子光谱学杂志》。 1959,三，673–682页。[谷歌学者] [交叉参考]
  21. Chang，法律公告。；Minic，D。；冈村，N。；Takeuchi，T.具有最小长度不确定性关系的任意维谐振子的精确解。物理学。版次D 2002,65, 125027. [谷歌学者] [交叉参考]
  22. 东，S.-H。量子力学中的因式分解方法; 施普林格：多德雷赫特，荷兰，2007年。[谷歌学者]
  23. 东，S.-H。高维波动方程; 施普林格：荷兰多德雷赫特，2011年。[谷歌学者]
  24. Lanfear，N。；洛佩兹，R.M。；Suslov，S.K.广义谐振子的精确波函数。J.Russ.激光研究。 2011,32, 352. [谷歌学者] [交叉参考]
  25. Buyukasik公司。；Cayik，Z.J.完全可解的Hermite，Laguerre和Jacobi型量子参量振荡器。数学杂志。物理学。 2016,57, 122107. [谷歌学者] [交叉参考]
  26. Adegoke，K。；Olatinwo，A。；Otobrise，H。；Akintujoye，F。；Tiamiyu，A.的精确对角化d日-维约束量子谐振子。ArXiv公司, 2016; arXiv:1604.01095。[谷歌学者]
  27. Jizba，P。；马云（Ma，Y.）。；海耶斯，A。；Dunningham，J.A.基于熵权的单参数不确定性关系类。物理学。版本E 2016,93，060104（R）。[谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  28. 阿姆斯特朗，J.R。；新墨西哥州津纳。；费多罗夫，D.V。；Jensen，A.S.分析谐波法N个-身体问题。《物理学杂志》。B At.Mol.选项。物理学。 2011,44，055303。[谷歌学者] [交叉参考]
  29. 阿姆斯特朗，J.R。；新墨西哥州津纳。；费多罗夫，D.V。；简森，A.S.量子统计和热力学中的谐波近似。物理学。版本E 2012,85, 021117. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  30. 阿姆斯特朗，J.R。；新墨西哥州津纳。；费多罗夫，D.V。；Jensen，A.S.Virial在谐波近似下的膨胀系数。物理学。版本E 2012,86, 021115. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  31. 阿姆斯特朗，J.R。；沃洛斯尼耶夫，A.G。；费多罗夫，D.V。；Jensen，A.S。；Zinner，N.T.拓扑不相交系统的分析解。《物理学杂志》。数学。西奥。 2015,48, 085301. [谷歌学者] [交叉参考]
  32. 院长，D.S。；Le Doussal，P。；S.T.马朱姆达尔。；Schehr，G.有限温度下非相互作用费米子d日-维度陷阱：通用关联。物理学。版次A 2016,94, 063622. [谷歌学者] [交叉参考]
  33. 霍夫特，G.经典力学和量子力学之间的边界物理学。《物理学杂志》。Conf.序列号。 2014,504, 012003. [谷歌学者] [交叉参考]
  34. Witten、E.Quarks、原子和1/N个扩展。物理学。今天 1980,33, 38. [谷歌学者] [交叉参考]
  35. Herschbach，D.R.，双电子原子的维插值。化学杂志。物理学。 1986,84, 838. [谷歌学者] [交叉参考]
  36. 乔斯洛夫斯基，J。；斯特拉斯堡，K。弱束缚下的谐波原子：维格纳分子的形成。化学杂志。物理学。 2017,146，044308。[谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  37. Nakazawa，H.关于晶格热传导。掠夺。西奥。物理学。供应商。 1970,45, 231–262. [谷歌学者] [交叉参考]
  38. 阿萨迪亚，A。；Manzano，D。；Tiersch，M。；Briegel，H.通过任意维量子谐振子晶格的热传输。物理学。版本E 2013,87, 012109. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  39. Lepri，S。；利维，R。；Politi，A.经典低维晶格中的热传导。物理学。代表。 2003,377, 1–80. [谷歌学者] [交叉参考]
  40. 亚涅斯，R.J。；Van Assche，W。；Dehesa，J.S.的位置和动量信息熵D类-维谐振子和氢原子。物理学。版次A 1994,50, 3065. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  41. Van Assche，W。；亚涅斯，R.J。；Dehesa，J.S.具有弗洛伊德权重的正交多项式的熵和谐振子势的信息熵。数学杂志。物理学。 1995,36, 4106. [谷歌学者] [交叉参考]
  42. Choi，J.R。；Kim，M.S。；Kim，D。；Maamache，M。；Menouar，S。；Nahm，I.H.含时谐振子的信息理论。安·物理。 2011,326，1381–1393。[谷歌学者] [交叉参考]
  43. Rovenchak，A.复杂值分数统计D类-维谐振子。物理学。莱特。A类 2014,378, 100–108. [谷歌学者] [交叉参考]
  44. 阿普特卡列夫，A.I。；图利亚科夫，D.N。；托兰佐，I.V。；Dehesa，J.S.Rényi利用强拉盖尔渐近性研究多维谐振子高激发态的熵。欧洲物理学。J·B 2016,89, 85. [谷歌学者] [交叉参考]
  45. Plenio，医学学士。；Hartley，J。；多自由度耦合谐波系统中纠缠的动力学和操纵。新J.Phys。 2004,6, 36. [谷歌学者] [交叉参考]
  46. Galve，F。；Lutz，E.谐波链中的能量成本和最佳纠缠产生。物理学。版次A 2009,79, 032327. [谷歌学者] [交叉参考]
  47. 加德雷，S.R。；西尔斯有限公司。；查克拉沃蒂，S.J。；Bendale，R.D.原子信息熵的一些新特性。物理学。版次A 1985,32, 2602. [谷歌学者] [交叉参考]
  48. 雷，A。；Mahata，K。；Ray，P.P.概率分布、波函数及其在原点的导数的矩N个-维度中心电位。美国物理学杂志。 1988,56，第462页。[谷歌学者] [交叉参考]
  49. 马杰尼克，V。；Opatrny，T.量子振荡器的熵不确定性关系。《物理学杂志》。数学。消息。 1996,29, 2187. [谷歌学者] [交叉参考]
  50. Dehesa，J.S。；亚涅斯，R.J。；阿普特卡列夫，A.I。；Buyarov，V.拉盖尔多项式的强渐近性和二维谐振子和一维库仑势的信息熵。数学杂志。物理学。 1998,39，3050页。[谷歌学者] [交叉参考]
  51. Ghosh，A。；Chaudhuri，P.广义位置和动量Tsallis熵。国际J.理论。物理学。 2000,39, 2423–2438. [谷歌学者] [交叉参考]
  52. Dehesa，J.S。；马丁内斯·芬克尔斯坦，A。；Sánchez-Ruiz，J.量子信息熵和正交多项式。J.计算。申请。数学。 2001,133, 23–46. [谷歌学者] [交叉参考]
  53. Sánchez-Moreno，P。；González-Férez，R。；Dehesa，J.S.基于Heisenberg和Fisher信息的不确定性关系的改进D类-维度中心电位。新J.Phys。 2006,8, 330. [谷歌学者] [交叉参考]
  54. 佐佐，S。；波特西，M。；Sánchez-Moreno，P。；Dehesa，J.S.基于任意阶矩的位置-动量不确定性关系。物理学。版次A 2011,83, 052107. [谷歌学者] [交叉参考]
  55. 达基克，B。；布鲁纳，C.物理理论的经典极限和空间的维度。在量子理论：信息基础和基础; Chiribella，G.，Spekkens，R.W.，编辑。；施普林格：德国柏林/海德堡，2013年。[谷歌学者]
  56. A.格雷罗。；Sánchez-Moreno，P。；Dehesa，J.S.量子不确定性乘积和复杂性度量的上限。物理学。版次A 2011,84, 042105. [谷歌学者] [交叉参考]
  57. Al-Jaber，S.M.中一些中心电位的不确定性关系N个-维度空间。申请。数学。 2016,7, 508. [谷歌学者] [交叉参考]
  58. Dehesa，J.S。；López-Rosa，S。；马丁内斯·芬克尔斯坦，A。；Yáñez，R.J.Heisenberg类不确定性测度D类-维氢系统，D。国际量子化学杂志。 2010,110, 1529. [谷歌学者]
  59. 托兰佐，I.V。；马丁内斯·芬克尔斯坦，A。；Dehesa，J.S.Heisenberg类不确定度测量D类-多维氢系统D类.数学杂志。物理学。 2016,57, 08219. [谷歌学者] [交叉参考]
  60. 普埃尔塔斯·森特诺，D。；新墨西哥州泰姆。；托兰佐，I.V。；Dehesa，J.S.《大维氢系统的熵不确定性测量》。2017; 新闻界。[谷歌学者]
  61. Louck，J.D。；Shaffer，W.H.广义轨道角动量和n个-折叠简并量子力学振荡器：第三部分：径向积分。《分子光谱学杂志》。 1960,4, 334–341. [谷歌学者] [交叉参考]
  62. Dehesa，J.S。；托兰佐，I.V。；普埃尔塔斯·森特诺（Puertas-Centeno），D.类里德堡谐态的熵测度。国际量子化学杂志。 2017,117, 48–56. [谷歌学者] [交叉参考]
  63. 巴亚罗夫，V。；Dehesa，J.S。；马丁内斯·芬克尔斯坦，A。；Sánchez Lara，J.区间上正交多项式熵的计算。SIAM J.科学。计算。 2004,26, 488–509. [谷歌学者] [交叉参考]
  64. Rényi，A.关于熵和信息的度量。第四届伯克利数理统计与概率研讨会论文集；Neyman，J.，编辑。；加利福尼亚大学出版社：伯克利，加利福尼亚州，美国，1961年；第1卷，第547-561页。[谷歌学者]
  65. Leonenko，N。；Pronzato，L.公司。；Savani，V.多维密度的一类Rényi信息估计。Ann.统计。 2008,40, 2153. [谷歌学者] [交叉参考]
  66. 香农，C.E.传播数学理论。贝尔系统。技术J。 1948,27, 379. [谷歌学者] [交叉参考]
  67. Aczel，J。；Z.达罗奇。论信息测度及其特征; 学术出版社：美国纽约州纽约市，1975年。[谷歌学者]
  68. 罗梅拉，E。；Angulo，J.C。；Dehesa，J.S.豪斯道夫熵矩问题。数学杂志。物理学。 2001,2, 2309. [谷歌学者] [交叉参考]
  69. Tsallis，C.Boltzmann-Gibbs统计的可能推广。《统计物理学杂志》。 1988,52, 479–487. [谷歌学者] [交叉参考]
  70. Jizba，P。；Arimitsu，T.《Rényi的世界：多重分形系统的热力学》。安·物理。 2004,312, 17–57. [谷歌学者] [交叉参考]
  71. Jizba，P。；邓宁汉，J.A。；Joo，J.信息论不确定性关系在量子理论中的作用。安·物理。 2015,355, 87–115. [谷歌学者] [交叉参考]
  72. Dehesa，J.S。；López-Rosa，S。；Manzano，D.熵和复杂性分析D类-量子系统的维度。在统计复杂性：在电子结构中的应用; Sen，K.D.，编辑。；施普林格：德国柏林/海德堡，2012年。[谷歌学者]
  73. 比亚利尼基·比鲁拉，I。；Rudnicki，L.量子物理学中的熵不确定性关系。在统计复杂性：在电子结构中的应用; Sen，K.D.，编辑。；施普林格：德国柏林/海德堡，2012年。[谷歌学者]
  74. 霍尔，M.J.W.不确定性、熵和信息的通用几何方法。物理学。版次A 1999,59, 2602. [谷歌学者] [交叉参考]
  75. Bialynicki-Birula，I.用Rényi熵表示不确定性关系。物理学。版次A 2006,74, 052101. [谷歌学者] [交叉参考]
  76. 佐佐，S。；Vignat，C.关于熵测不准原理中的非高斯渐近极小值类。物理A 2007,375, 499–517. [谷歌学者] [交叉参考]
  77. 佐佐，S。；波特西，M。；Vignat，C.不确定性原理的一些扩展。《物理学杂志》。A类 2008,387, 4800. [谷歌学者] [交叉参考]
  78. Louck，J.D。；Shaffer，W.H.广义轨道角动量和n个-折叠简并量子力学振子：第一部分。双重简并振子。《分子光谱学杂志》。 1960,4，285–297页。[谷歌学者] [交叉参考]
  79. Koornwinder，T.H。；Wong，R。；Koekoek，R。；Swarttouw，R.F.正交多项式。在NIST数学函数手册; 剑桥大学出版社：美国纽约州纽约市，2010年；第18章。[谷歌学者]
  80. J.埃弗里。超球面调和与广义Sturmmians; Kluwer学术出版社：美国纽约州纽约市，2002年。[谷歌学者]
  81. Sen，K.D。；Katriel，J.均匀势本征密度的信息熵。化学杂志。物理学。 2006,125, 07411. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  82. Cafaro，C。；Giffin，A。；卢波，C。；Mancini，S.软化曲线统计流形上熵运动的复杂性。打开系统。Inf.动态。 2012,19, 1250001. [谷歌学者] [交叉参考]
  83. Giffin，A。；阿里，S.A。；Cafaro，C.在存在类量子考虑的情况下，统计建模中混沌的信息几何指标的局部软化。熵 2013,15, 4622. [谷歌学者] [交叉参考]
  84. 比亚利尼基·比鲁拉，I。；Mycielski，J.波动力学中信息熵的不确定性关系。Commun公司。数学。物理学。 1975,44，第129页。[谷歌学者] [交叉参考]
  85. 傅里叶分析中的贝克纳不等式。安。数学。 1975,102, 159–182. [谷歌学者] [交叉参考]
  86. Angulo，J.C.多体系统中的不确定性关系。《物理学杂志》。A类 1993,26, 6493. [谷歌学者] [交叉参考]
  87. Angulo，J.C.信息熵和不确定性D类-多维多体系统。物理学。版次A 1994,50, 311–313. [谷歌学者] [交叉参考] [公共医学]
  88. 新墨西哥州泰姆。；托兰佐，I.V。；Dehesa，J.S.大参数Laguerre多项式和Gegenbauer多项式的熵泛函。《物理学杂志》。A类 2017，正在印刷中。[谷歌学者]
  89. Temme，N.M.积分的统一渐近方法。印度。数学。 2013,24, 739–765. [谷歌学者] [交叉参考]
  90. 新墨西哥州特姆。积分的渐近方法; 系列分析；世界科学出版有限公司：美国新泽西州哈肯萨克，2015年。[谷歌学者]

分享和引用

MDPI和ACS样式

普埃尔塔斯·森特诺，D。；托兰佐，I.V。；德赫萨，J.S。大维谐波系统的海森堡和熵不确定性测度。熵 2017,19, 164.https://doi.org/10.3390/e19040164

AMA风格

普埃尔塔斯·森特诺D，托兰佐IV，德埃萨JS。大维谐波系统的海森堡和熵不确定性测度。熵. 2017; 19(4):164.https://doi.org/10.3390/e19040164

芝加哥/图拉宾风格

Puertas Centeno、David、Irene V.Toranzo和Jesús s.Dehesa。2017.“大维谐波系统的海森堡和熵不确定性测量”熵第19页，第4页：164。https://doi.org/10.3390/e19040164

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