Bateman–Feshbach Tikochinsky and Caldirola–Kanai Oscillators with New Fractional Differentiation

Coronel-Escamilla, Antonio; Gómez-Aguilar, José Francisco; Baleanu, Dumitru; Córdova-Fraga, Teodoro; Escobar-Jiménez, Ricardo Fabricio; Olivares-Peregrino, Victor H.; Qurashi, Maysaa Mohamed Al

doi:10.3390/e19020055

开放式访问第条

具有新分数微分的贝特曼-费什巴赫-蒂科钦斯基和卡尔迪罗拉-卡奈振荡器

通过

安东尼奥·科罗内尔·埃斯卡米拉

¹,

何塞·弗朗西斯科·戈梅斯·阿吉拉尔

^2,*

,

杜米特鲁·巴利亚努

^3,4

,

特奥多罗·科尔多瓦·弗拉加

⁵,

里卡多·法布里西奥·埃斯科瓦尔-吉梅内斯

¹

,

维克托·奥利瓦雷斯-佩雷格里诺

¹和

玛莎·穆罕默德·库拉什

⁶

¹

墨西哥库埃纳瓦卡国家科学研究中心（Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico）

²

CONACyT-Centro Natcional de Investigación y Desarrollo Tecnológico，墨西哥墨西哥墨西哥国家科学研究中心，邮编62490

^三

土耳其安卡拉0630坎卡亚大学艺术与科学学院数学系

⁴

罗马尼亚马古雷市原子能大街409号空间科学研究所，邮编：077125

⁵

墨西哥莱昂瓜纳华托大学莱昂校区Divisionón de Ciencias e Ingenierías Departmento de Ingenieria Física，37328 León

⁶

沙特阿拉伯利雅得国王沙特大学数学系，11451

^*

信件应寄给的作者。

熵 2017,19(2), 55;https://doi.org/10.3390/e19020055

收到的提交文件：2016年11月23日/修订日期：2017年1月23日/接受日期：2017年1月24日/出版日期：2017年1月28日

（本文属于特刊小波、分形与信息论II)

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版本注释

摘要

:

在这项工作中，利用不同的分数导数研究了贝特曼-费什巴赫-蒂科钦斯基和卡尔迪罗拉-卡奈振荡器的分数行为。为了表示基于Liouville–Caputo、Caputo–Fabrizio–Caputa和基于Mittag–Leffler核的新分数阶导数的动力学模型，我们获得了Euler–Lagrange和Hamilton公式α给出了仿真结果，以显示振荡器的分数行为，当α等于1。

关键词：

贝特曼–费什巴赫-蒂科钦斯基振荡器;Caldirola–Kanai振荡器;分数运算符;Mittag–Leffler内核

1.简介

耗散系统的几个唯象模型已经被提出，如贝特曼-费什巴赫-蒂科钦斯基（BFT）或卡尔迪罗拉-卡奈（CK）振荡器，第一个模型由阻尼和放大振荡器组成，这个一维系统的质量呈指数增长，贝特曼给出了拉格朗日量[1,2,三,4,5]. 这两个量子阻尼振荡器都被研究为量子理论中理解耗散的模型[6]. 贝特曼提出了含时哈密顿量[2]和卡尔迪罗拉（Caldirola）——描述阻尼振荡的含时哈密顿量[4]. Caldirola–Kanai振子是一个开放系统，其质量和频率等参数都与时间有关，而Bateman–Feshbach–Tikochinsky振子是封闭系统，其总能量守恒，阻尼振子的耗散能量被传递到放大系统[7,8]. 分数哈密顿量是非局部的，它们与耗散系统有关[8]. 分数阶算子的定义很少，涉及奇异核的Liouville–Caputo分数阶导数，该定义基于幂律和原点的当前奇异性[9]. 最近，为了解决原点处的奇异性问题，Caputo和Fabrizio利用指数衰减定律构造了一个无奇异性的导数；然而，使用的内核是本地的[10,11,12,13,14,15,16,17,18]. 因此，Atangana和Baleanu使用广义Mittag–Leffler函数构造了一个没有奇异和非局部核的导数[19,20,21,22]. 本文利用Liouville–Caputo、Caputo–Fabrizio–Caputa和基于任意阶Mittag–Leffler核的新分数导数，获得了BFT和CK振子的替代表示α。数值解基于Crank–Nicholson格式。

2.分数运算符

Adams方法是一种多步骤方法，该方法使用了之前所有值的信息，

年_{我}

,

年_{我 - 1}

,

年_{我 - 米 + 1}

，以便计算

年_{我 + 1}

这是Adams方法和单步方法之间的区别，例如Heun、Taylor和Runge–Kutta数值方案，它们只使用最后一个值来计算下一个值。亚当斯方法有两种类型，亚当斯-巴什福斯方法和亚当斯-莫尔顿方法。这些方法的组合产生了预测-校正Adams-Bashforth-Moulton方法[23,24,25,26].

这种方法对任意阶导数的推广称为分数阶Adams–Bashforth方法[23]

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{α} （f） (t吨) = 克 (t吨, （f） (t吨)), {（f）}^{w个} (0) = {（f）}_{0}^{w个}, w个 = 0, 1, . . ., n个 - 1,

(1)

哪里

α > 0

和

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{α}

是Liouville–Caputo的接线员

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{α} （f） (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 - α)} \int_{0}^{t吨} \frac{{（f）}^{(n个)} (η)}{{(t吨 - η)}^{α - n个 + 1}} d日 η .

(2)

方程式(1)满足以下Volterra积分方程

（f） (t吨) = \sum_{w个 = 0}^{n个 - 1} {（f）}_{0}^{(w个)} \frac{{t吨}^{w个}}{w个!} + \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - κ)}^{α - 1} 克 (κ, （f） (κ)) d日 κ κ, t吨 < T型 .

(3)

分数阶Adams方法求解(1)Diethelm、Ford和Freed首先对其进行了研究[24]，该解决方案推导如下：

\begin{matrix} {（f）}_{w个 + 1}^{P（P）} = \sum_{j个 = 0}^{n个 - 1} \frac{{t吨}_{w个 + 1}^{j个}}{j个!} {（f）}_{0}^{(j个)} + \frac{1}{Γ (α)} \sum_{j个 = 0}^{w个} {b条}_{j个, w个 + 1} 克 ({t吨}_{j个}, {（f）}_{j个}), \\ {（f）}_{w个 + 1} = \sum_{j个 = 0}^{n个 - 1} \frac{{t吨}_{w个 + 1}^{j个}}{j个!} {（f）}_{0}^{(j个)} + \frac{1}{Γ (α)} (\sum_{j个 = 0}^{w个} 一_{j个, w个 + 1} 克 ({t吨}_{j个}, {（f）}_{j个}) + 一_{w个 + 1, w个 + 1} 克 ({t吨}_{w个 + 1}, {（f）}_{k + 1}^{P（P）})) . \end{matrix}

(4)

Caputo和Fabrizio在Liouville–Caputo意义（CFC）中提出的分数算子表示如下[10]:

_{0}^{C类 F类 C类} {D类}_{t吨}^{α} （f） (t吨) = \frac{(2 - α) B类 (α)}{2 (1 - α)} \int_{0}^{t吨} 经验 (\frac{- α}{1 - α} (t吨 - ς)) {（f）}^{(n个)} (ς) d日 ς,

(5)

哪里

B类 (α) = B类 (0) = B类 (1) = 1

（是一个规范化函数）。在这个意义上，拉普拉斯变换由

\begin{matrix} L（左） [_{0}^{C类 F类 C类} {D类}_{t吨}^{(n个 + α)} （f） (t吨)] (秒) & = \frac{秒^{n个 + 1} L（左） [（f） (t吨)] - 秒^{n个} （f） (0) - 秒^{n个 - 1} {（f）}^{'} (0) \dots - {（f）}^{(n个)} (0)}{秒 + α (1 - 秒)} . \end{matrix}

(6)

基于Mittag–Leffler核（Liouville–Caputo意义下的Atangana–Baleanu分数算子，ABC）的分数导数如下所示

_{0}^{A类 B类 C类} {D类}_{t吨}^{α} （f） (t吨) = \frac{B类 (α)}{1 - α} \int_{0}^{t吨} \dot{（f）} (θ) {E类}_{α} [- α \frac{{(t吨 - θ)}^{α}}{1 - α}] d日 θ,

(7)

哪里

{E类}_{α}

是Mittag–Leffler函数[19]. 分数积分定义为

_{一}^{A类 B类} 我_{t吨}^{α} （f） (t吨) = \frac{1 - α}{B类 (α)} （f） (t吨) + \frac{α}{B类 (α) Γ (α)} \int_{0}^{t吨} （f） (ς) {(t吨 - ς)}^{α - 1} d日 ς .

(8)

拉普拉斯变换(7)生产

\begin{matrix} L（左） [_{0}^{A类 B类 C类} {D类}_{t吨}^{α} （f） (t吨)] (秒) = \frac{B类 (α)}{1 - α} \frac{秒^{α} L（左） [（f） (t吨)] (秒) - 秒^{α - 1} （f） (0)}{秒^{α} + \frac{α}{1 - α}} . \end{matrix}

(9)

3.应用

3.1. 贝特曼-费什巴赫-蒂科钦斯基振荡器

BFT振荡器的经典拉格朗日公式如下

L（左） = 米 {\dot{问}}_{1} {\dot{问}}_{2} + ρ (问_{1} {\dot{问}}_{2} - {\dot{问}}_{1} 问_{2}) - K 问_{1} 问_{2},

(10)

哪里

问_{1}

是阻尼谐振子坐标

问_{2}

对应于时间反转的对应项，以及参数米,ρ,K与时间无关。

分数拉格朗日函数(10)由提供

{L（左）}^{F类} = 米 {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{1} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{2} + ρ (问_{1} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{2} - {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{1} 问_{2}) - K 问_{1} 问_{2},

(11)

分数阶拉格朗日模型为

\begin{matrix} 米 {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{1} + ρ {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{1} + K 问_{1} = 0, \\ 米 {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{2} - ρ {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{2} + K 问_{2} = 0 . \end{matrix}

(12)

现在，我们可以得到如下广义动量：

{第页}_{我} = \frac{\partial {L（左）}^{F类}}{\partial {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{我}},

(13)

哪里

{L（左）}^{F类}

是分数阶拉格朗日函数

我 = 1, 2

.

这两个广义动量由下式给出

\begin{matrix} {第页}_{1} = \frac{\partial {L（左）}^{F类}}{\partial {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{1}} = 米 {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{2} - \frac{ρ}{2} 问_{2}, \\ {第页}_{2} = \frac{\partial {L（左）}^{F类}}{\partial {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{2}} = 米 {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{1} + \frac{ρ}{2} 问_{1} . \end{matrix}

（14）

应用勒让德变换，我们得到分数阶哈密顿量

{H（H）}^{F类} (t吨, 问_{我}, {第页}_{我}) = \sum_{我} {第页}_{我} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{我} (问_{我}, {第页}_{我}) - L（左） (t吨, 问_{我}, {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{我} (问_{我}, {第页}_{我})) .

(15)

使用方程式(15)，我们有

{H（H）}^{F类} = (K - \frac{ρ^{2}}{4 米}) 问_{1} 问_{2} + \frac{ρ}{2 米} (问_{2} {第页}_{2} - 问_{1} {第页}_{1}) + \frac{{第页}_{1} {第页}_{2}}{米} .

(16)

我们定义

ω = \sqrt{K - \frac{ρ^{2}}{4 米}}

哈密顿量的形式是

{H（H）}^{F类} = ω^{2} 问_{1} 问_{2} + \frac{ρ}{2 米} (问_{2} {第页}_{2} - 问_{1} {第页}_{1}) + \frac{{第页}_{1} {第页}_{2}}{米} .

(17)

BFT振荡器的分数哈密尔顿模型由下式给出

\begin{matrix} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{1} = - \frac{ρ 问_{1}}{2 米} + \frac{{第页}_{2}}{米}, \\ {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{2} = \frac{ρ 问_{2}}{2 米} + \frac{{第页}_{1}}{米}, \\ {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} {第页}_{1} = \frac{ρ^{2} 问_{2}}{4 米} + \frac{ρ {第页}_{1}}{2 米} - K 问_{2}, \\ {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} {第页}_{2} = \frac{ρ^{2} 问_{1}}{4 米} - \frac{ρ {第页}_{2}}{2 米} - K 问_{1} . \end{matrix}

(18)

现在，我们考虑Liouville–Caputo、Caputo–Fabrizio–Caputa的分数算子以及基于Mittag–Leffler核的分数导数。

•第一种情况。在Liouville–Caputo意义上，我们有

\begin{matrix} 问_{1} (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} 问_{1} {(0)}^{(我)} \frac{{t吨}^{我}}{我!} + \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - κ)}^{α - 1} (- \frac{χ 问_{1} (κ)}{2 米} + \frac{{第页}_{2} (κ)}{米}) d日 κ, \\ 问_{2} (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} 问_{2} {(0)}^{(我)} \frac{{t吨}^{我}}{我!} + \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - κ)}^{α - 1} (\frac{χ 问_{2} (κ)}{2 米} + \frac{{第页}_{1} (κ)}{米}) d日 κ, t吨 < T型, \\ {第页}_{1} (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {第页}_{1} {(0)}^{(我)} \frac{{t吨}^{我}}{我!} + \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - κ)}^{α - 1} (\frac{χ^{2} 问_{2} (κ)}{4 米} + \frac{χ {第页}_{1} (κ)}{2 米} - K 问_{2} (κ)) d日 κ, \\ {第页}_{2} (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} {第页}_{2} {(0)}^{(我)} \frac{{t吨}^{我}}{我!} + \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - κ)}^{α - 1} (\frac{χ^{2} 问_{1} (κ)}{4 米} - \frac{χ {第页}_{2} (κ)}{2 米} - K 问_{1} (κ)) d日 κ . \end{matrix}

(19)

的数值近似(19)使用算法获得(4)。

•第二种情况。在卡普托-法布里奇奥-卡普托意义上，

问_{1 (我 + 1)} (t吨) = 问_{(1)} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [- (\frac{ρ}{2 米}) 问_{1 (我 + 1)} (t吨) + (\frac{1}{米}) {第页}_{2 (我 + 1)} (t吨)]\} +

+ \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} ε_{1, z（z）, 我} \cdot [- (\frac{ρ}{2 米}) 问_{1 (我)} (t吨) + (\frac{1}{米}) {第页}_{2 (我)} (t吨)],

问_{2 (我 + 1)} (t吨) = 问_{(2)} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{ρ}{2 米}) 问_{2 (我 + 1)} (t吨) + (\frac{1}{米}) {第页}_{1 (我 + 1)} (t吨)]\} +

+ \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} ε_{2, z（z）, 我} \cdot [(\frac{ρ}{2 米}) 问_{2 (我)} (t吨) + (\frac{1}{米}) {第页}_{1 (我)} (t吨)],

{第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) = {第页}_{(1)} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{ρ^{2}}{4 米}) 问_{2 (我 + 1)} (t吨) + (\frac{ρ}{2 米}) {第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) - Z轴 问_{2 (我 + 1)} (t吨)]\} +

+ \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} ε_{三, z（z）, 我} \cdot [(\frac{ρ^{2}}{4 米}) 问_{2 (我)} (t吨) + (\frac{ρ}{2 米}) {第页}_{1 (我)} (t吨) - Z轴 问_{2 (我)} (t吨)],

{第页}_{2 (我 + 1)} (t吨) = {第页}_{(2)} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{ρ^{2}}{4 米}) 问_{1 (我 + 1)} (t吨) - (\frac{ρ}{2 米}) {第页}_{2 (我 + 1)} (t吨) - Z轴 问_{1 (我 + 1)} (t吨)]\} +

+ \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} ε_{4, z（z）, 我} \cdot [(\frac{ρ^{2}}{4 米}) 问_{1 (我)} (t吨) - (\frac{ρ}{2 米}) {第页}_{2 (我)} (t吨) - Z轴 问_{1 (我)} (t吨)],

(20)

哪里

ε_{(1, 2, 三, 4), z（z）, 我 + 1} \{\begin{matrix} 我^{α} - (我 - α) {(我 + 1)}^{α}, z（z） = 0, \\ {(我 - z（z） + 2)}^{α + 1} + {(我 - z（z）)}^{α + 1} - 2 {(我 - z（z） + 1)}^{α + 1}, 0 \leq z（z） \leq 我 . \end{matrix}

•第三种情况。对于基于Mittag–Leffler核的分数阶导数，我们使用了[20]

_{0}^{A类 B类} 我_{t吨}^{α} [（f） ({t吨}_{我 + 1})] = \frac{1 - α}{B类 (α)} [\frac{（f） ({t吨}_{我 + 1}) - （f） ({t吨}_{我})}{2}] + \frac{α}{Γ (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} [\frac{（f） ({t吨}_{z（z） + 1}) - （f） ({t吨}_{z（z）})}{2}] {b条}_{z（z）}^{α},

(21)

哪里

{b条}_{z（z）}^{α} = {(z（z） + 1)}^{1 - α} - {(z（z）)}^{1 - α},

（22）

和系统(18)由表示

问_{1 (我 + 1)} (t吨) - 问_{1 (我)} (t吨) = 问_{(1)}^{我} (t吨) + {\frac{1 - α}{B类 (α)} [- (\frac{χ}{2 米}) (\frac{问_{1 (我 + 1)} (t吨) - 问_{1 (我)} (t吨)}{2}) +

+ (\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{2 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{2 (我)} (t吨)}{2})]} + \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} {b条}_{z（z）}^{α} \cdot [- (\frac{ρ}{2 米}) (\frac{问_{1 (z（z） + 1)} (t吨) - 问_{1 (z（z）)} (t吨)}{2}) +

+ (\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{2 (z（z） + 1)} (t吨) - {第页}_{2 (z（z）)} (t吨)}{2})],

问_{2 (我 + 1)} (t吨) - 问_{2 (我)} (t吨) = 问_{(2)}^{我} (t吨) + {\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{ρ}{2 米}) (\frac{问_{2 (我 + 1)} (t吨) - 问_{2 (我)} (t吨)}{2}) +

+ (\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (我)} (t吨)}{2})]} + \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} {b条}_{z（z）}^{α} \cdot [(\frac{ρ}{2 米}) (\frac{问_{2 (z（z） + 1)} (t吨) - 问_{2 (z（z）)} (t吨)}{2}) +

+ (\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{1 (z（z） + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (z（z）)} (t吨)}{2})],

{第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (我)} (t吨) = {第页}_{(1)}^{我} (t吨) + {\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{ρ}{2 米}) (\frac{问_{2 (我 + 1)} (t吨) - 问_{2 (我)} (t吨)}{2}) +

+ (\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (我)} (t吨)}{2}) - Z轴 (\frac{问_{2 (我 + 1)} (t吨) - 问_{2 (我)} (t吨)}{2})]} +

+ \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} {b条}_{z（z）}^{α} \cdot [(\frac{ρ}{2 米}) (\frac{问_{2 (z（z） + 1)} (t吨) - 问_{2 (z（z）)} (t吨)}{2}) +

+ (\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{1 (z（z） + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (z（z）)} (t吨)}{2}) - Z轴 (\frac{问_{2 (z（z） + 1)} (t吨) - 问_{2 (z（z）)} (t吨)}{2})],

{第页}_{2 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{2 (我)} (t吨) = {第页}_{(2)}^{我} (t吨) + {\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{ρ}{2 米}) (\frac{问_{1 (我 + 1)} (t吨) - 问_{1 (我)} (t吨)}{2}) -

- (\frac{ρ}{米}) (\frac{{第页}_{2 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{2 (我)} (t吨)}{2}) - Z轴 (\frac{问_{1 (我 + 1)} (t吨) - 问_{1 (我)} (t吨)}{2})]} +

+ \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} {b条}_{z（z）}^{α} \cdot [(\frac{ρ}{2 米}) (\frac{问_{1 (z（z） + 1)} (t吨) - 问_{1 (z（z）)} (t吨)}{2}) -

- (\frac{ρ}{米}) (\frac{{第页}_{2 (z（z） + 1)} (t吨) - {第页}_{2 (z（z）)} (t吨)}{2}) - Z轴 (\frac{问_{1 (z（z） + 1)} (t吨) - 问_{1 (z（z）)} (t吨)}{2})] .

(23)

数值模拟

图1,图2和图3显示位置

问_{1} = {x个}_{2} (t吨)

,

问_{2} = {x个}_{1} (t吨)

,

{}_{一}{D类}_{t吨}^{α} {x个}_{1} (t吨) = {x个}_{三} (t吨)

和

{}_{一}{D类}_{t吨}^{α} {x个}_{2} (t吨) = {x个}_{4} (t吨)

对于系统(19), (20)和(23)分别是。对于模拟，考虑了以下值：

米 = 5

,

ρ = 2

,

K = 0.1

和不同的值α，考虑的总模拟时间为5s，计算步骤

1 \times 10^{- 三}

.初始条件

{x个}_{1} (0) = 1

,

{x个}_{2} (0) = 0.1

,

{x个}_{三} (0) = 1

和

{x个}_{4} (0) = 0.5

已考虑。结果表明，通过保持参数恒定和改变α，我们得到了不同的结果。报告的结果表明，分数方法更适合描述所研究模型的复杂动力学。

3.2、。Caldirola–Kanai振荡器

我们考虑一个谐波CK振荡器，其质量取决于时间，使得

米 (t吨) = 米 经验 (罪 β γ t吨)

，在这种情况下，拉格朗日公式为

L（左） = 经验 (罪 β γ t吨) [\frac{1}{2} 米 {\dot{问}}^{2} - \frac{1}{2} 米 ω^{2} (t吨) 问^{2}],

(24)

哪里米明确取决于时间，并且β和γ是可变参数和阻尼因子。

分数拉格朗日函数(24)由提供

{L（左）}^{F类} = {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨) [\frac{1}{2} 米 (_{一} {D类}_{t吨}^{α} 问^{2}) - \frac{1}{2} 米 ω^{2} (t吨) 问^{2}],

(25)

和

{}_{一}{D类}_{t吨}^{α} ({E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨) {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问) - {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨) ω^{2} (t吨) 问 = 0 .

（26）

广义动量为

{第页}_{我} = \frac{\partial {L（左）}^{F类}}{\partial {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{我}},

(27)

\begin{matrix} 第页 = \frac{\partial {L（左）}^{F类}}{\partial {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问} = {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨) [米 ({}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问)], \end{matrix}

(28)

哪里

{L（左）}^{F类}

是分数阶的拉格朗日函数(24)与

我 = 1

,

问_{1} = 问

和

{第页}_{1} = 第页

.

利用勒让德变换得到分数阶哈密顿量

{H（H）}^{F类} (t吨, 问_{我}, {第页}_{我}) = \sum_{我} {第页}_{我} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问_{我} (问_{我}, {第页}_{我}) - L（左） (t吨, 问_{我},_{一} {D类}_{t吨}^{α} 问_{我} (问_{我}, {第页}_{我})),

(29)

哪里

{H（H）}^{F类} = \frac{{第页}^{2}}{2 米} {E类}_{α, 1} (- 罪 β γ t吨) + \frac{米}{2} ω^{2} (t吨) 问^{2} {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨) .

(30)

CK振荡器的分数哈密尔顿模型由下式给出

\begin{matrix} {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 问 = \frac{第页}{米} {E类}_{α, 1} (- 罪 β γ t吨), \\ {}_{一}{D类}_{t吨}^{α} 第页 = 米 问 ω^{2} (t吨) {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨) . \end{matrix}

(31)

现在，我们考虑Liouville–Caputo、Caputo–Fabrizio–Caputa的分数算子以及基于Mittag–Leffler核的分数导数。

•第一种情况。在Liouville–Caputo意义上，我们有

\begin{matrix} 问 (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} 问 {(0)}^{(我)} \frac{{t吨}^{我}}{我!} + \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - κ)}^{α - 1} (\frac{第页 (κ)}{米} {E类}_{α, 1} (- 罪 β γ κ)) d日 κ, \\ 第页 (t吨) = \sum_{我 = 0}^{n个 - 1} 第页 {(0)}^{(我)} \frac{{t吨}^{我}}{我!} + \frac{1}{Γ (α)} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - κ)}^{α - 1} (米 问 (κ) ω^{2} (κ) {E类}_{α, 1} (罪 β γ κ)) d日 κ, t吨 < T型 . \end{matrix}

(32)

的数值近似(32)使用算法获得(4)。

•第二种情况。在卡普托-法布里奇奥-卡普托意义上，系统的亚当斯-莫尔顿规则(31)由提供

\begin{matrix} 问_{1 (我 + 1)} (t吨) = 问_{(1)} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{1}{米}) {第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) {E类}_{α, 1} (- 罪 β γ t吨)]\} + \\ + \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} ε_{1, z（z）, 我} \cdot [(\frac{1}{米}) {第页}_{1 (我)} (t吨) {E类}_{α, 1} (- 罪 β γ t吨)], \\ {第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) = {第页}_{(1)} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [(米 ω^{2} (t吨)) 问_{1 (我 + 1)} (t吨) {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨)]\} + \\ + \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} ε_{2, z（z）, 我} \cdot [(米 ω^{2} (t吨)) 问_{1 (我)} (t吨) {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨)], \end{matrix}

(33)

哪里

ε_{(1, 2), z（z）, 我 + 1} \{\begin{matrix} 我^{α} - (我 - α) {(我 + 1)}^{α}, z（z） = 0, \\ {(我 - z（z） + 2)}^{α + 1} + {(我 - z（z）)}^{α + 1} - 2 {(我 - z（z） + 1)}^{α + 1}, 0 \leq z（z） \leq 我 . \end{matrix}

•第三种情况。对于基于Mittag–Leffler核的分数导数，我们有

\begin{matrix} 问_{1 (我 + 1)} (t吨) - 问_{1 (我)} (t吨) = 问_{(1)}^{我} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [(\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (我)} (t吨)}{2}) \cdot (- 罪 β γ t吨)]\} + \\ + \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} {b条}_{z（z）}^{α} \cdot [(\frac{1}{米}) (\frac{{第页}_{1 (z（z） + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (z（z）)} (t吨)}{2}) \cdot {E类}_{α, 1} (- 罪 β γ t吨)], \\ {第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (我)} (t吨) = {第页}_{(1)}^{我} (t吨) + \{\frac{1 - α}{B类 (α)} [(米 ω^{2} (t吨)) (\frac{{第页}_{1 (我 + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (我)} (t吨)}{2}) \cdot (罪 β γ t吨)]\} + \\ + \frac{α}{B类 (α)} \sum_{z（z） = 0}^{\infty} {b条}_{z（z）}^{α} \cdot [(米 ω^{2} (t吨)) (\frac{{第页}_{1 (z（z） + 1)} (t吨) - {第页}_{1 (z（z）)} (t吨)}{2}) \cdot {E类}_{α, 1} (罪 β γ t吨)] . \end{matrix}

(34)

数值模拟

图4,图5和图6描述了(32)–(34)在Liouville–Caputo、Caputo–Fabrizio–Caputa和基于Mittag–Leffler核的分数导数中，分别考虑不同的

ω (t吨)

和分数阶γ，适用于所有情况

一 = 0

和

b条 = 1

，考虑的总模拟时间为1秒和计算步骤

1 \times 10^{- 5}

从图中可以清楚地看出，分数方程的行为强烈依赖于阶数α除函数形式外，分数导数

w个 (t吨)

.

4.结论

使用Liouville–Caputo型分数算符研究了贝特曼–费什巴赫–蒂科钦斯基和卡尔迪罗拉–卡奈振荡器的替代表示。我们使用迭代方案并通过Crank–Nicholson方案导出这些模型的新解。Liouville–Caputo分数阶导数涉及一个具有奇异性的核，该定义基于幂律和原点的当前奇异性。最近，Caputo和Fabrizio解决了原点处的奇异性问题，并利用指数衰减定律构造了一个无奇异性的导数；然而，使用的内核是本地的。因此，这种衍生产品比Liouville–Caputo衍生产品具有优势，因为可以描绘记忆的全部效果。Atangana和Baleanu提出了两个基于广义Mittag–Leffler函数的分数导数。这些分数阶导数在Liouville–Caputo和Riemann–Liouvill意义下具有非奇异和非局部核，并保留了Riemann-Liouvile、Liouville-Caputo和Caputo–Fabrizio算子的优点。

使用这些分数算子，结果表明，通过保持参数不变和通过改变α，我们获得了不同的行为。报告的结果表明，分数方法更适合描述所研究模型的复杂动力学。最后，我们观察到标准模型和局部导数无法获得的新行为。

致谢

作者感谢匿名评审的建设性意见和建议，这些意见和建议有助于改进论文。我们要感谢Mayra Martínez的有趣讨论。作者对沙特国王大学国际科学伙伴计划（ISPP）通过ISPP 63资助这项研究工作表示感谢。安东尼奥·科罗内尔·埃斯卡米拉（Antonio Coronel Escmilla）感谢国家科学技术委员会（CONACyT）通过分配博士研究金提供的支持。何塞·弗朗西斯科·戈梅斯·阿吉拉尔（JoséFrancisco Gómez Aguilar）感谢CONACyT:Cátedras CONACyT para jovenes investigatores 2014提供的支持。

作者贡献

分析结果由Antonio Coronel-Escmilla、JoséFrancisco Gómez-Aguilar、Dumitru Baleanu、Teodro Córdova Fraga、Ricardo Fabricio Escobar Jiménez、Victor H.Olivares-Peregrino和Maysaa Mohamed Al-Qurashi得出；JoséFrancisco Gómez-Aguilar、Ricardo Fabricio Escobar Jiménez和Antonio Coronel-Escmilla完善了语言，并负责技术检查。JoséFrancisco Gómez-Aguilar、Antonio Coronel-Escmilla、Teodoro Córdova-Fraga、Dumitru Baleanu、Ricardo Fabricio Escobar-Jiménez、Victor H.Olivares-Peregrino和Maysaa Mohamed Al-Qurashi撰写了论文。所有作者都已阅读并批准了最终稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

Kim，S.P。；桑塔纳，A.E。；F.C.卡纳。；Kor，J.量子阻尼振子的退相干。物理。Soc公司。 2003,43, 452–460. [谷歌学者]
贝特曼，H。关于耗散系统和相关变分原理。物理。版次。 1931,38. [谷歌学者] [交叉参考]
Feshbach，H。；Tikochinsky，Y.阻尼谐振子的量子化。事务处理。纽约学院。科学。 1977,38, 44–53. [谷歌学者] [交叉参考]
Caldirola，P.Forze非保守型nella meccanica quantistica。Il Nuovo Cimento公司 1942,18, 393–400. （意大利语）[谷歌学者] [交叉参考]
Kanai，E.关于耗散系统的量子化。掠夺。西奥。物理学。 1948,三, 440–442. [谷歌学者] [交叉参考]
Dekker，H。阻尼谐振子的经典和量子力学。物理。代表。 1981,80. [谷歌学者] [交叉参考]
巴利亚努，D。；Asad，J.H。；Petras，I.分数贝特曼–Feshbach-Tikochinsky振荡器。Commun公司。西奥。物理学。 2014,61, 221–225. [谷歌学者] [交叉参考]
巴利亚努，D。；Asad，J.H。；佩特拉斯，I。；Elagan，S。；Bilgen，A.卡尔迪罗拉-卡奈振荡器的分数欧拉-拉格朗日方程。罗马共和国物理。 2012,64，1171年至1177年。[谷歌学者]
阿坦加纳，A。；Alkahtani，B.S.T.不含奇异核的分数导数Keller-Segel模型的分析。熵 2015,17，4439–4453。[谷歌学者] [交叉参考]
卡普托，M。；Fabricio，M.无奇异核分数导数的新定义。掠夺。分形。不同。申请。 2015,1, 73–85. [谷歌学者]
卡普托，M。；Fabrizio，M.指数核的新时间和空间分数导数的应用。掠夺。分形。不同。申请。 2016,2. [谷歌学者] [交叉参考]
巴塔菲，H。；Losada，J。；尼托，J.J。；Shammakh，W.共形分数阶微分方程的三点边值问题。J.功能。共享空间 2015,2015. [谷歌学者] [交叉参考]
Sitho，S。；南卡罗来纳州恩图亚斯。；Tariboon，J.混合分数阶积分微分方程的存在性结果。已绑定。价值问题。 2015,2015. [谷歌学者] [交叉参考]
高，F。；Yang，X.J.分数阶麦克斯韦流体，分数阶导数，无奇异核。热量。科学。 2016,20, 871–877. [谷歌学者] [交叉参考]
新墨西哥州沙阿。；Khan，I.，使用分数阶Caputo Fabrizio导数对二级流体在振动垂直板上的传热分析。欧洲物理学。J.C公司 2016,76. [谷歌学者] [交叉参考]
卡普托，M。；Cametti，C.药物在生物材料和人体皮肤中传输的分数衍生物。物理。统计力学。其应用。 2016,462, 705–713. [谷歌学者] [交叉参考]
Gómez-Aguilar，J.F.用无奇异核分数导数模拟扩散输运。物理。统计力学。其应用。 2016,447, 467–481. [谷歌学者] [交叉参考]
扎法尔，A.A。；Fetecau，C.在无奇异核的非整数阶导数粘性流体无限平板上的流动。亚历克斯。工程师J。 2016,55, 2789–2796. [谷歌学者] [交叉参考]
阿坦加纳，A。；Baleanu，D.具有非局部和非奇异核的新分数导数：传热模型的理论和应用。热量。科学。 2016,20, 763–769. [谷歌学者] [交叉参考]
Gómez-Aguilar，J.F.使用非奇异和正则核导数的时空分数阶扩散方程。物理。统计机械。其应用。 2017,465, 562–572. [谷歌学者] [交叉参考]
Gómez-Aguilar，J.F.Irving-Mullineux振荡器，通过Mittag–Leffler核的分数导数。混沌孤子分形 2017,95，179–186。[谷歌学者] [交叉参考]
阿坦加纳，A。；具有分数阶Atangana-Baleanu导数的简单非线性系统中的混沌。混沌孤子分形 2016,89, 447–454. [谷歌学者] [交叉参考]
长平，L。；Chunxing，T.关于分数Adams方法。计算。数学。申请。 2009,58, 1573–1588. [谷歌学者]
Diethelm，K。；新泽西州福特。；Freed，A.D.分数Adams方法的详细误差分析。数字。算法 2004,36, 31–52. [谷歌学者] [交叉参考]
H.M.巴斯科努斯。；Bulut，H。关于分数阶常微分方程的分数阶Adams-Bashfort-Moulton方法的数值解。打开数学。 2015,13, 547–556. [谷歌学者] [交叉参考]
长平，L。；郭军（P.Chaos），《陈氏分数阶系统》。混沌孤子分形 2004,22, 443–450. [谷歌学者]

图1。数值评估(19)，英寸(一)

α = 1

; 在(b条)

α = 0.95

; 在(c（c）)

α = 0.90

; 和(d日)

α = 0.85

.

图1。数值评估(19)，英寸(一)

α = 1

; 在(b条)

α = 0.95

; 在(c（c）)

α = 0.90

; 和(d日)

α = 0.85

.

图2。数值评估(20)，英寸(一)

α = 1

; 在(b条)

α = 0.95

; 在(c（c）)

α = 0.90

; 和(d日)

α = 0.85

.

图2。数值评估(20)，英寸(一)

α = 1

; 在(b条)

α = 0.95

; 在(c（c）)

α = 0.90

; 和(d日)

α = 0.85

.

图3。数值评估(23)，英寸(一)

α = 1

; 在(b条)

α = 0.95

; 在(c（c）)

α = 0.90

; 和(d日)

α = 0.85

.

图3。数值评估(23)，英寸(一)

α = 1

; 在(b条)

α = 0.95

; 在(c（c）)

α = 0.90

; 和(d日)

α = 0.85

.

图4。数值评估(32)，英寸(一)

ω (t吨) = 三 t吨

; 在(b条)

ω (t吨) = 2 t吨 + 1

; 在(c（c）)

ω (t吨) = 三 t吨 + 2

; 和(d日)

ω (t吨) = t吨 - 1

.

图4。数值评估(32)，英寸(一)

ω (t吨) = 三 t吨

; 在(b条)

ω (t吨) = 2 t吨 + 1

; 在(c（c）)

ω (t吨) = 三 t吨 + 2

; 和(d日)

ω (t吨) = t吨 - 1

.

图5。数值评估(33)，英寸(一)

ω (t吨) = 三 t吨

; 在(b条)

ω (t吨) = 2 t吨 + 1

; 在(c（c）)

ω (t吨) = 三 t吨 + 2

; 和(d日)

ω (t吨) = t吨 - 1

.

图5。数值评估(33)，英寸(一)

ω (t吨) = 三 t吨

; 在(b条)

ω (t吨) = 2 t吨 + 1

; 在(c（c）)

ω (t吨) = 三 t吨 + 2

; 和(d日)

ω (t吨) = t吨 - 1

.

图6。数值评估(34)，英寸(一)

ω (t吨) = 三 t吨

; 在(b条)

ω (t吨) = 2 t吨 + 1

; 在(c（c）)

ω (t吨) = 三 t吨 + 2

; 和(d日)

ω (t吨) = t吨 - 1

.

图6。数值评估(34)，英寸(一)

ω (t吨) = 三 t吨

; 在(b条)

ω (t吨) = 2 t吨 + 1

; 在(c（c）)

ω (t吨) = 三 t吨 + 2

; 和(d日)

ω (t吨) = t吨 - 1

.

分享和引用

MDPI和ACS样式

Coronel-Escmilla，A。；Gómez-Aguilar，J.F。；巴利亚努，D。；科尔多瓦·弗拉加，T。；Escobar-Giménez，R.F。；Olivares-Peregrino，V.H。；Qurashi，文学硕士。具有新分数微分的Bateman–Feshbach Tikochinsky和Caldirola–Kanai振荡器。熵 2017,19, 55.https://doi.org/10.3390/e19020055

AMA风格

Coronel Escamilla A、Gómez Aguilar JF、Baleanu D、Córdova Fraga T、Escobar Jiménez RF、Olivares Peregrino VH、Qurashi MMA。贝特曼–费什巴赫·蒂科钦斯基和卡尔迪罗拉–卡奈振荡器，具有新的分数微分。熵. 2017; 19(2):55.https://doi.org/10.3390/e19020055

芝加哥/图拉宾风格

Coronel-Escmilla、Antonio、JoséFrancisco Gómez-Aguilar、Dumitru Baleanu、Teodoro Córdova-Fraga、Ricardo Fabricio Escobar-Jiménez、Victor H.Olivares-Peregrino和Maysaa Mohamed Al-Qurashi。2017年，“贝特曼-费什巴赫·蒂科钦斯基和卡尔迪罗拉-卡奈振荡器，新分数微分”熵19，编号2:55。https://doi.org/10.3390/e19020055

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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具有新分数微分的贝特曼-费什巴赫-蒂科钦斯基和卡尔迪罗拉-卡奈振荡器

摘要

1.简介

2.分数运算符

3.应用

3.1. 贝特曼-费什巴赫-蒂科钦斯基振荡器

数值模拟

3.2、。Caldirola–Kanai振荡器

数值模拟

4.结论

致谢

作者贡献

利益冲突

工具书类

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