A Memristor-Based Hyperchaotic Complex Lü System and Its Adaptive Complex Generalized Synchronization

Wang, Shibing; Wang, Xingyuan; Zhou, Yufei; Han, Bo

doi:10.3390/e18020058

开放式访问第条

一种基于忆阻器的超混沌复Lü系统及其自适应复广义同步

通过

王士兵

^1,2

,

王兴元

^2,*,

周玉飞

^三和

韩波（Bo Han）

¹

阜阳师范大学计算机与信息工程学院，阜阳236041

²

大连理工大学电子信息与电气工程学院，大连116024

^三

安徽大学电气工程与自动化学院，合肥230601

^*

应向其寄送信件的作者。

熵 2016,18(2), 58;https://doi.org/10.3390/e18020058

收到的提交文件：2015年12月7日/修订日期：2016年2月3日/接受日期：2016年2月4日/发布日期：2016年2月22日

（本条属于本节复杂性)

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版本注释

摘要

:

介绍了一种新的基于忆阻器的超混沌复Lü系统（MHCLS），并研究了其自适应复广义同步（ACGS）。首先，基于基于忆阻器的超混沌实Lü系统构造了复杂系统，并对其性质进行了理论分析。其次，利用分岔图、李雅普诺夫指数、相图和时程图对其动力学行为，包括超混沌、混沌、瞬态现象以及周期行为进行了数值研究。第三，基于Lyapunov稳定性理论，提出了一种自适应控制器和参数估计器，以实现两个参数未知的相同MHCLS的复杂广义同步和参数识别。最后，给出了ACGS的数值仿真结果及其在保密通信中的应用，以验证该方法的可行性和有效性。

关键词：

记忆电阻器;超混沌;自适应复广义同步;参数识别;安全通信

PACS代码：

0545-a；0545Jn；0545件；0545倍

1.简介

混沌和超混沌可以出现在许多非线性动力学系统中，这些系统可以用时间序列、相图、庞加莱截面、分岔图、李雅普诺夫指数、分形维数和熵来描述。特别是后三个参数通常用于定量描述混沌或超混沌系统的复杂性[1,2,三]. 与混沌系统相比，超混沌系统具有更大的随机性、更高的复杂性和不可预测性，因此更适合于安全通信和数字密码学。自1979年Rössler首次报道四变量振荡器中的超混沌以来[4]超混沌在非线性科学技术领域得到了广泛的研究。超混沌只能出现在至少具有两个正Lyapunov指数的四阶自治非线性系统中。因此，基于三维混沌系统构建了一些超混沌系统[5,6,7,8]通过添加变量和状态反馈项，例如超混沌Lorenz系统[9]，超混沌Chen系统[10]，超混沌Lü系统[11]，超混沌Liu系统[12]值得注意的是，近年来提出了几种基于忆阻器的超混沌系统。忆阻器被认为是第四基本电路元件，具有非线性、非挥发性、纳米级和低功耗的特点[13,14,15]记忆电阻器、基于记忆电阻器的电路和神经网络的研究已成为数学、计算机科学和工程领域的一个关键研究前沿[16]通过数值模拟和电路实验，在带有三次非线性忆阻器的修正正则蔡氏电路中发现了超混沌现象。在[17]在Murali–Lakshmanan–Chua电路中，采用三段式分段线性有源磁通控制忆阻器，实现了超混沌和瞬态超混沌。在[18]，在具有两个HP忆阻器（由美国加利福尼亚州帕洛阿尔托的惠普公司制造）的反并联的改进的Chua电路中研究了超混沌。在[19]，在具有平滑通量控制忆阻器的改进Lü系统中研究了超混沌和拓扑马蹄形。在[20]，从一个具有三次非线性记忆函数的四维记忆系统中生成了一个四翼超混沌吸引子。

上述所有系统都是超混沌实系统。然而，复杂的非线性系统，即复杂变量的非线性系统比实际系统更复杂，可以产生更丰富的动力学行为，可以应用于安全通信，以提高传输效率和抗攻击能力。一些复杂系统，例如复杂Lorenz系统[21,22,23]，复杂的Chen系统[24,25]，复杂Lü系统[26]，复杂的Rössler系统[27]和其他复杂系统[28,29,30]，进行了理论和数值研究。在上述文献中，超混沌复杂系统在[22,23,24,29]. 据我们所知，在[23]到目前为止，还没有基于忆阻的超混沌复杂系统的报道。

众所周知，混沌（超混沌）同步在非线性科学和技术中起着至关重要的作用，特别是在保密通信、数字加密、信号和控制处理中[25,31,32,33]. 近年来，人们致力于实现复杂混沌和超混沌系统的各种同步，例如完全同步[26,27,28]，反同步[24]，滞后同步[33]，投影同步[34]，相位同步[35]，组合同步[36]，及其扩展同步[29,37,38,39]. 通常，应采用自适应控制方案来实现参数未知的复杂系统的同步和参数辨识。在[24]基于被动控制理论，研究了参数未知的超混沌复Chen系统的自适应同步与反同步问题。在[40]提出了一种新的自适应修正投影同步方法，用于将两个具有不确定复参数的非恒等复杂系统同步到一个复标度矩阵。然而，广义同步（GS），即响应系统根据给定的功能关系与驱动系统同步，是一种非常灵活的同步方法，可以退化为功能投影同步（FPS）、修改投影同步（MPS）、投影同步（PS）、完全同步（CS），和具有不同给定功能的反同步（AS）[41,42,43]. 因此，将GS从实际系统扩展到复杂系统，并实现具有未知参数的混沌和超混沌复杂系统的ACGS具有重要的意义和挑战性。

基于上述讨论，我们首先基于年提出的四维超混沌实Lü系统构建了一个基于记忆电阻的超混沌复Lüs系统（MHCLS）[19]，并研究其非线性性质和动力学行为。同时，我们基于李亚普诺夫稳定性理论，针对两个参数未知的相同MHCLS提出了一种新的同步方案ACGS，并将其用于实现信号和信息的安全传输。本文的其余部分结构如下：第2节介绍了一种新型MHCLS，并从理论上分析了其性能，包括对称性和不变性、耗散性、平衡性和稳定性。在第3节通过分岔图、李雅普诺夫指数、时程图、相图对系统的动力学行为进行了数值揭示。在第4节，设计了一个自适应控制器和一个参数估计器来实现两个相同MHCLS的ACGS和参数识别。此外，还通过数值模拟验证了所提出的方案及其在安全通信中的应用。最后，在中给出了一些结论第5节.

2.一种新型MHCLS及其性能

2.1. MHCLS的生成

在[19]，通过在传统Lü系统中添加一个磁通控制的忆阻器，首次构建了一个记忆超混沌实Lü系，其可描述为：

{\begin{array}{l} {\dot{x个}}_{1} = 一_{1} ({x个}_{2} - {x个}_{1}) \\ {\dot{x个}}_{2} = - {x个}_{1} {x个}_{三} + 一_{2} {x个}_{2} - 一_{三} W公司 ({x个}_{4}) {x个}_{1} \\ {\dot{x个}}_{三} = {x个}_{1} {x个}_{2} - 一_{4} {x个}_{三} \\ {\dot{x个}}_{4} = {x个}_{1} \end{array}

(1)

哪里

一_{1}, 一_{2}, 一_{三},

和

一_{4}

是正参数，

{x个}_{我} \in R（右）

(我 = 1 - 4)

、和

W公司 (\cdot)

表示磁通控制忆阻器的忆阻函数，其特征是在[15,19]在本文中：

W公司 ({x个}_{4}) = 一 + b条 {x个}_{4}^{2}

(2)

哪里一和b条为正常数。什么时候？

一 = 4, b条 = 0.01, 一_{1} = 36, 一_{2} = 20, 一_{4} = 三, 一_{三} \in [2.67 3.26),

系统（1）在超混沌状态下运行[18]. 用复变量代替实变量

{x个}_{1}, {x个}_{2}

在保持其他不可改变的情况下，生成了一个复杂的忆阻Lü系统：

{\begin{array}{l} {\dot{x个}}_{1} = 一_{1} ({x个}_{2} - {x个}_{1}) \\ {\dot{x个}}_{2} = - {x个}_{1} {x个}_{三} + 一_{2} {x个}_{2} - 一_{三} (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1} \\ {\dot{x个}}_{三} = ({\bar{x个}}_{1} {x个}_{2} + {x个}_{1} {\bar{x个}}_{2}) / 2 - 一_{4} {x个}_{三} \\ {\dot{x个}}_{4} = ({x个}_{1} + {\bar{x个}}_{1}) / 2 \end{array}

(3)

在哪里？

{x个}_{1}, {x个}_{2} \in C类, {x个}_{三}, {x个}_{4} \in R（右）

,

{\bar{x个}}_{1}, {\bar{x个}}_{2} \in C类

表示的复共轭变量

{x个}_{1}, {x个}_{2}

.如果

{x个}_{1} = {x个}_{1, 第页} + j个 {x个}_{1, 我}

,

{x个}_{2} = {x个}_{2, 第页} + j个 {x个}_{2, 我}

,

j个 = \sqrt{- 1}

、和下标第页和我表示本文中复变量、向量和矩阵的实部和镜像部分，复系统（3）可以等价于六个实第一常微分方程（ODE）：

{\begin{array}{l} \begin{array}{l} {\dot{x个}}_{1, 第页} = 一_{1} ({x个}_{2, 第页} - {x个}_{1, 第页}) \\ {\dot{x个}}_{1, 我} = 一_{1} ({x个}_{2, 我} - {x个}_{1, 我}) \end{array} \\ \begin{array}{l} {\dot{x个}}_{2, 第页} = - {x个}_{1, 第页} {x个}_{三} + 一_{2} {x个}_{2, 第页} - 一_{三} (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1, 第页} \\ {\dot{x个}}_{2, 我} = - {x个}_{1, 我} {x个}_{三} + 一_{2} {x个}_{2, 我} - 一_{三} (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1, 我} \end{array} \\ {\dot{x个}}_{三} = {x个}_{1, 第页} {x个}_{2, 第页} + {x个}_{1, 我} {x个}_{2, 我} - 一_{4} {x个}_{三} \\ {\dot{x个}}_{4} = {x个}_{1, 第页} \end{array}

(4)

2.2. MHCLS的耗散

根据散度的定义，我们计算系统（4）的散度：

\nabla V（V） = \frac{\partial {\dot{x个}}_{1, 第页}}{\partial {x个}_{1, 第页}} + \frac{\partial {\dot{x个}}_{1, 我}}{\partial {x个}_{1, 我}} + \frac{\partial {\dot{x个}}_{2, 第页}}{\partial {x个}_{2, 第页}} + \frac{\partial {\dot{x个}}_{2, 我}}{\partial {x个}_{2, 我}} + \frac{\partial {\dot{x个}}_{三}}{\partial {x个}_{三}} + \frac{\partial {\dot{x个}}_{4}}{\partial {x个}_{4}} = - 2 一_{1} + 2 一_{2} - 一_{三}

(5)

那么，不平等

- 2 一_{1} + 2 一_{2} - 一_{三} < 0

应该满足以保证系统（4）是耗散的并且指数收敛。

2.3. MHCLS的对称性和不变性

从方程（4）可以很容易地发现，系统在

({x个}_{1, 第页}, {x个}_{1, 我}, {x个}_{2, 第页}, {x个}_{2, 我}, {x个}_{三}, {x个}_{4})

到

(- {x个}_{1, 第页}, - {x个}_{1, 我}, - {x个}_{2, 第页}, - {x个}_{2, 我}, {x个}_{三}, - {x个}_{4})

,

(- {x个}_{1, 第页}, {x个}_{1, 我}, - {x个}_{2, 第页}, {x个}_{2, 我}, {x个}_{三}, - {x个}_{4})

和

({x个}_{1, 第页}, - {x个}_{1, 我}, {x个}_{2, 第页}, - {x个}_{2, 我}, {x个}_{三}, {x个}_{4})

用于系统参数值的任何选择。

2.4. MHCLS的平衡与稳定性

通过将系统（4）中前六个ODE的左边设置为零，即,

{\dot{x个}}_{1, 第页} = 0

,

{\dot{x个}}_{1, 我} = 0

,

{\dot{x个}}_{2, 第页} = 0

,

{\dot{x个}}_{2, 我} = 0

,

{\dot{x个}}_{三} = 0

,

{\dot{x个}}_{4} = 0

，求解它们，我们可以得到系统（4）的平衡点：

{\begin{cases} {E类}_{1} = {({x个}_{1, 第页}, {x个}_{1, 我}, {x个}_{2, 第页}, {x个}_{2, 我}, {x个}_{三}, {x个}_{4}) | {x个}_{1, 第页} = {x个}_{1, 我} = {x个}_{2, 第页} = {x个}_{2, 我} = {x个}_{三} = 0, {x个}_{4} = c（c）} \\ {E类}_{2, 三} = {({x个}_{1, 第页}, {x个}_{1, 我}, {x个}_{2, 第页}, {x个}_{2, 我}, {x个}_{三}, {x个}_{4}) | {x个}_{1, 第页} = 0, {x个}_{1, 我} = \pm 第页, {x个}_{2, 第页} = 0, {x个}_{2, 我} = \pm 第页, {x个}_{三} = q个, {x个}_{4} = c（c）} \end{cases}

(6)

哪里

c（c）

是一个任意的实常量，

第页 = \sqrt{一_{4} 一_{2} - 一_{4} 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2})}

、和

q个 = 一_{2} - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2})

有三个线平衡集，其中

{E类}_{1}

表示上的平衡点

{x个}_{4}

轴，

{E类}_{2}

和

{E类}_{三}

是对称的，其稳定性可以根据雅可比矩阵和劳斯-赫尔维茨定理进行分析。系统（4）的雅可比矩阵

{E类}_{1}

计算如下：

{J型}_{{E类}_{1}} = [\begin{array}{l} - 一_{1} & 0 & 一_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 一_{1} & 0 & 一_{1} & 0 & 0 \\ - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2}) & 0 & 一_{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2}) & 0 & 一_{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 一_{4} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

(7)

方程（7）的特征多项式为：

λ (λ + 一_{4}) {(λ^{2} + δ_{1} λ + δ_{2})}^{2} = 0

(8)

哪里

δ_{1} = 一_{1} - 一_{2}, δ_{2} = 一_{1} [一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2}) - 一_{2})]

.自

一_{1}, 一_{2}, 一_{三}, 一_{4}, 一, b条

是正参数，方程（8）有一个零根和一个负根(

- 一_{4}

). 如果

{E类}_{1}

是稳定的，要求条件

δ_{1} > 0, δ_{2} > 0

,即，式（9），应满足以保证基于Routh–Hurwitz定理具有负实部的其他特征值：

{\begin{cases} 一_{1} - 一_{2} > 0 \\ 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2}) - 一_{2} > 0 \end{cases}

(9)

由于

{E类}_{2}

和

{E类}_{三}

，我们只需要分析其中一个。系统（4）的雅可比矩阵

{E类}_{2}

计算如下：

{J型}_{{E类}_{2}} = [\begin{matrix} - 一_{1} & 0 & 一_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 一_{1} & 0 & 一_{1} & 0 & 0 \\ - q个 - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2}) & 0 & 一_{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - q个 - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2}) & 0 & 一_{2} & - 第页 & - 6 一_{三} b条 第页 c（c） \\ 0 & 第页 & 0 & 第页 & - 一_{4} & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

(10)

方程（10）的特征多项式为：

λ^{2} (λ + 一_{1} - 一_{2}) (λ^{三} + ω_{1} λ^{2} + ω_{2} λ + ω_{三}) = 0

(11)

哪里

ω_{1} = 一_{1} + 一_{4} - 一_{2}

,

ω_{2} = 一_{4} [一_{1} - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2})]

,

ω_{三} = 2 一_{1} 一_{4} [一_{2} - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2})]

方程（8）有两个零根和四个非零根。根据Routh–Hurwitz定理，方程（11）其他非零根的实部为负，当且仅当：

一_{1} - 一_{2} > 0, ω_{1} > 0, ω_{1} ω_{2} - ω_{三} > 0, ω_{三} (ω_{1} ω_{2} - ω_{三}) > 0

(12)

通过替换

ω_{1}, ω_{2}, ω_{三}

并考虑正系统参数

一_{1}, 一_{2}, 一_{三}, 一_{4}, 一, b条

，稳定性条件可以重写为：

{\begin{cases} 一_{1} - 一_{2} > 0 \\ 一_{2} - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2}) > 0 \\ (一_{1} + 一_{4} - 一_{2}) [一_{1} - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2})] - 2 一_{1} [一_{2} - 一_{三} (一 + 三 b条 {c（c）}^{2})] > 0 \end{cases}

(13)

显然，方程（9）和（13）的第二个条件不能同时满足，因此系统（4）具有任何参数的不稳定平衡点，这表明可能会发生混沌和超混沌吸引子。通过设置

一 = 4, b条 = 0.01, 一_{1} = 36, 一_{2} = 20, 一_{三} = 3.2, 一_{4} = 三,

c（c） = 0

，系统的特征值计算如下

λ_{E类 1} = (0, - 25.88, 9.88, 9.88, - 25.88, - 三)

,

λ_{E类 2} = λ_{E类 三} = (- 16, - 19.48, 0.24 + 8.87 j个, 0.24 - 8.87 j个, 0, 0)

，表示

{E类}_{1}, {E类}_{2}

和

{E类}_{三}

都不稳定。

3.MHCLS的动力学行为

为了探索具有不同参数值的MHCLS的动力学行为，我们设置

一 = 4, b条 = 0.01, 一_{1} = 36, 一_{三} = 3.2, 一_{4} = 三

,

{x个}_{0} = (- 1 + 2 j个, 1 + j个, 2, - 1)

和变化

一_{2}

在范围内

[20, 32]

.如中所述[23,44,45]在一些基于忆阻的非线性系统中，可能会出现瞬态现象，这需要更长的计算时间才能实现系统的稳态。因此，我们使用Matlab®R2013a的ode45求解器来模拟绘制分岔图和计算Lyapunov指数的系统，计算时间间隔分别为0–20000 s和0–100000 s。如所示图1分岔图和李亚普诺夫指数谱一致地显示了系统在不同参数值下的动态演化过程。系统的动力学行为与正Lyapunov指数的个数有关。当所有六个指数均不大于零时，系统处于周期状态；当存在一个正Lyapunov指数时，系统则处于混沌状态。特别是，有两个正的Lyapunov指数

一_{2} \in [20, 20.8]

，如插入的子图所示图1b、这表明超混沌在这个范围内发生。具体来说，一些传统的数值方法被用来详细描述动力学行为，如图2,图3,图4和图5.

图1。(一)分叉图；(b条)李亚普诺夫指数谱。

3.1. 超混沌行为

什么时候？

一_{2} = 20

，有两个正的Lyapunov指数，并且出现了一个类似于Lorenz吸引子的蝴蝶形状的超混沌吸引子，如所示图2需要注意的是，两个负Lyapunov指数(即，L5，L6）中省略图2,图3,图4和图5，对分析结果无影响。

图2。超混沌行为(

一_{2} = 20

).

图2。超混沌行为(

一_{2} = 20

).

3.2. 混沌行为

系统以一个正Lyapunov指数混沌运行，如所示图3有趣的是，该系统具有不同形状的混沌吸引子。例如，混沌吸引子在Lorenz吸引子和Chen吸引子之间具有过渡形状

一_{2} = 23

，而另一个混沌吸引子类似于Chen吸引子

一_{2} = 29

.

图3。混乱的行为。(一)混乱(

一_{2} = 23

); (b条)混乱(

一_{2} = 29

).

图3。混乱的行为。(一)混乱(

一_{2} = 23

); (b条)混乱(

一_{2} = 29

).

图4。周期性行为。(一)第3阶段(

一_{2} = 21.92

); (b条)第2阶段(

一_{2} = 31.1

).

图4。周期性行为。(一)第3阶段(

一_{2} = 21.92

); (b条)第2阶段(

一_{2} = 31.1

).

图5。瞬态行为。(一)过渡混沌到第5阶段(

一_{2} = 21.15

); (b条)周期3轨道的瞬态混沌(

一_{2} = 30.19

).

图5。瞬态行为。(一)过渡混沌到第5阶段(

一_{2} = 21.15

); (b条)周期3轨道的瞬态混沌(

一_{2} = 30.19

).

3.3. 周期性行为

如所示图4，系统在周期3轨道上运行

一_{2} = 21.92

和周期2轨道

一_{2} = 31.1

，并且所有相应的Lyapunov指数都不大于零。

3.4. 瞬态行为

系统经历瞬态混沌，然后进入周期5状态

一_{2} = 21.15

和时段3

一_{2} = 30.19

，如所示图5a、 b。Lyapunov指数L1在开始时为正，然后逐渐缓慢地趋于零。时间历程图和相图中插入的红色子图属于瞬态。

4.两个参数未知的相同MHCLS的ACGS

4.1. ACGS的设计

考虑以下相同的驱动和响应复杂系统：

\dot{x个} = F类 (x个) θ + （f） (x个)

(14)

\dot{年} = F类 (年) \hat{θ} + （f） (年) + u个 (x个, 年)

(15)

哪里

x个 = {[{x个}_{1}, {x个}_{2}, \dots {x个}_{n个}]}^{T型} \in {C类}^{n个}

是驱动系统（14）的状态复数向量，以及

x个 = {x个}_{第页} + j个 {x个}_{我}

.

年 = {[年_{1}, 年_{2}, \dots 年_{n个}]}^{T型} \in {C类}^{n个}

是响应系统（15）的状态复数向量，以及

年 = 年_{第页} + j个 年_{我}

.

θ \in {R（右）}^{米}

是系统（14）的参数向量，

\hat{θ} \in {R（右）}^{米}

是系统（15）的参数向量，表示

θ

.

F类 (\cdot)

是一个

n个 \times 米

其元素为状态复变量函数的复矩阵，以及

F类 (\cdot) = {F类}_{第页} (\cdot) + j个 {F类}_{我} (\cdot)

.

（f） (\cdot) = {[{（f）}_{1}, {（f）}_{2}, \dots {（f）}_{n个}]}^{T型} \in {C类}^{n个}

是复杂函数的向量，并且

（f） (\cdot) = {（f）}_{第页} (\cdot) + j个 {（f）}_{我} (\cdot)

.

u个 (x个, 年) = {[{u个}_{1}, {u个}_{2}, \dots {u个}_{n个}]}^{T型} \in {C类}^{n个}

是系统（15）的控制向量，以及

u个 (x个, 年)

= {u个}_{第页} + j个 {u个}_{我}

。定义同步错误：

e（电子） (t吨) = 年 - ϕ (x个)

(16)

哪里

e（电子） (t吨) = {[{e（电子）}_{1}, {e（电子）}_{2}, \dots {e（电子）}_{n个}]}^{T型} \in {C类}^{n个}

是系统（14）和（15）之间的误差复数向量，以及

e（电子） (t吨) = {e（电子）}_{第页} (t吨) + j个 {e（电子）}_{我} (t吨)

.

ϕ (x个) = {[ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots ϕ_{n个}]}^{T型} \in {C类}^{n个}

是一个非零映射复向量，其元素是连续映射复函数，并且

ϕ (x个) = ϕ_{第页} (x个) + j个 ϕ_{我} (x个)

.

定义1。

响应系统（14）相对于复矢量图与驱动系统（15）同步

ϕ

，如果存在控制器

u个 (x个, 年) \in {C类}^{n个}

和一个给定的复杂映射

ϕ : {C类}^{n个} \to {C类}^{n个}

满足以下属性:

\underset{t吨 \to \infty}{林} ‖ e（电子） (t吨) ‖ = \underset{t吨 \to \infty}{林} ‖ 年 - ϕ (x个) ‖ = 0

(17)

通过微分方程（16），可以得到同步误差动力系统：

\dot{e（电子）} (t吨) = \dot{年} - J型 (ϕ) \dot{x个}

(18)

哪里

J型 (ϕ) \in {C类}^{n个 \times n个}

是雅可比矩阵

ϕ (x个)

、和

J型 (ϕ) = {J型}_{第页} (ϕ) + j个 {J型}_{我} (ϕ)

通过将方程（14）和（15）代入方程（18），我们可以得到：

\begin{matrix} \dot{e（电子）} (t吨) = & [F类 (年) - J型 (ϕ) F类 (x个)] \hat{θ} + J型 (ϕ) F类 (x个) \tilde{θ} + （f） (年) - J型 (ϕ) （f） (x个) + u个 (x个, 年) \\ = & {[{F类}_{第页} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)] \hat{θ} + [{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)] \tilde{θ} \\ + {（f）}_{第页} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {（f）}_{第页} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {（f）}_{我} (x个) + {u个}_{第页} (x个, 年)} \\ + j个 {[{F类}_{我} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)] \hat{θ} + [{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)] \tilde{θ} \\ + {（f）}_{我} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {（f）}_{我} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {（f）}_{第页} (x个) + {u个}_{我} (x个, 年)} \end{matrix}

(19)

哪里

\tilde{θ} = \hat{θ} - θ

是估计值之间的误差

\hat{θ}

和真正的价值

θ

.

定理1。

对于给定的映射复数向量

ϕ (x个)

，如果复数自适应控制器和实际参数的更新律设计为:

\begin{matrix} u个 (x个, 年) = & - [F类 (年) - J型 (ϕ) F类 (x个)] \hat{θ} - （f） (年) + J型 (ϕ) （f） (x个) - K e（电子） (t吨) \\ = & {- [{F类}_{第页} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)] \hat{θ} - {（f）}_{第页} (年) + {J型}_{第页} (ϕ) {（f）}_{第页} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {（f）}_{我} (x个) - K {e（电子）}_{第页} (t吨)} \\ + j个 {- [{F类}_{我} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)] \hat{θ} - {（f）}_{我} (年) + {J型}_{第页} (ϕ) {（f）}_{我} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {（f）}_{第页} (x个) - K {e（电子）}_{我} (t吨)} \end{matrix}

(20)

\begin{matrix} \dot{\tilde{θ}} & = \dot{\hat{θ}} = - {k个}_{θ} {[J型 (ϕ) F类 (x个)]}^{T型} e（电子） (t吨) \\ = - K_{θ} {{{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)]}^{T型} {e（电子）}_{第页} (t吨) + {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)]^{T型} {e（电子）}_{我} (t吨)} \end{matrix}

(21)

哪里

K = d日 我 一 克 ({k个}_{1}, {k个}_{2}, \dots {k个}_{n个})

是控制增益，以及

K_{θ} = d日 我 一 克 ({k个}_{θ 1}, {k个}_{θ 2}, \dots {k个}_{θ 米})

是参数增益，其元素均为实际正常数。

证明。

选择Lyapunov函数为：

V（V） (t吨) = \frac{1}{2} ({e（电子）}_{第页}^{T型} {e（电子）}_{第页} + {e（电子）}_{我}^{T型} {e（电子）}_{我} + {k个}_{θ}^{- 1} {\tilde{θ}}^{T型} \tilde{θ})

(22)

时间导数

V（V） (t吨)

沿着误差系统（19）的轨迹为：

\begin{matrix} \dot{V（V）} (t吨) = & {\dot{e（电子）}}_{第页}^{T型} {e（电子）}_{第页} + {\dot{e（电子）}}_{我}^{T型} {e（电子）}_{我} + {k个}_{θ}^{- 1} {\tilde{θ}}^{T型} \dot{\tilde{θ}} \\ = & {[{F类}_{第页} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)] \hat{θ} + [{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)] \tilde{θ} \\ + {（f）}_{第页} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {（f）}_{第页} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {（f）}_{我} (x个) + {u个}_{第页} (x个, 年)}^{T型} {e（电子）}_{第页} \\ + {[{F类}_{我} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)] \hat{θ} + [{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)] \tilde{θ} \\ + {（f）}_{我} (年) - {J型}_{第页} (ϕ) {（f）}_{我} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {（f）}_{第页} (x个) + {u个}_{我} (x个, 年)}^{T型} {e（电子）}_{我} \\ - {k个}_{θ}^{- 1} {\tilde{θ}}^{T型} {k个}_{θ} {{{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)]}^{T型} {e（电子）}_{第页} + {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)]^{T型} {e（电子）}_{我}} \end{matrix}

(23)

将方程式（20）和（21）代入方程式（23），然后：

\begin{matrix} \dot{V（V）} (t吨) & = {[{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)] \tilde{θ} - K {e（电子）}_{第页}}^{T型} {e（电子）}_{第页} + {[{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)] \tilde{θ} - K {e（电子）}_{我}}^{T型} {e（电子）}_{我} \\ - {\tilde{θ}}^{T型} {{{J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{第页} (x个) - {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{我} (x个)]}^{T型} {e（电子）}_{第页} + {J型}_{第页} (ϕ) {F类}_{我} (x个) + {J型}_{我} (ϕ) {F类}_{第页} (x个)]^{T型} {e（电子）}_{我}} \\ = - {e（电子）}_{第页}^{T型} K^{T型} {e（电子）}_{第页} - {e（电子）}_{我}^{T型} K^{T型} {e（电子）}_{我} = - {e（电子）}_{第页}^{T型} K {e（电子）}_{第页} - {e（电子）}_{我}^{T型} K {e（电子）}_{我} < 0 \end{matrix}

(24)

自

V（V） (t吨)

是正Lyapunov函数及其导数

\dot{V（V）} (t吨)

是负的，根据李亚普诺夫稳定性定理，误差，

{e（电子）}_{第页} (t吨) \to 0,

{e（电子）}_{我} (t吨) \to 0

和

\tilde{θ} \to 0

作为

t吨 \to 0

因此，完成了系统（14）和（15）的ACGS。□

4.2. 两个相同MHCLS的ACGS

选择系统（3）作为驱动系统，响应系统定义为：

{\begin{array}{l} {\dot{年}}_{1} = {\hat{一}}_{1} (年_{2} - 年_{1}) + {u个}_{1} \\ {\dot{年}}_{2} = - 年_{1} 年_{三} + {\hat{一}}_{2} 年_{2} - {\hat{一}}_{三} (一 + 三 b条 年_{4}^{2}) 年_{1} + {u个}_{2} \\ {\dot{年}}_{三} = ({\bar{年}}_{1} 年_{2} + 年_{1} {\bar{年}}_{2}) / 2 - {\hat{一}}_{4} 年_{三} + {u个}_{三} \\ {\dot{年}}_{4} = (年_{1} + {\bar{年}}_{1}) / 2 + {u个}_{4} \end{array}

(25)

哪里

年_{1}, 年_{2} \in C类

,

年_{三}, 年_{4} \in R（右）

,

{\bar{年}}_{1}, {\bar{年}}_{2} \in C类

表示的复共轭变量

年_{1}, 年_{2}

,

{\hat{一}}_{1}, {\hat{一}}_{2}, {\hat{一}}_{三}, {\hat{一}}_{4}

是未知参数的估计值

一_{1}, 一_{2}, 一_{三}, 一_{4}

,

一, b条

被认为是已知的正常数，并且

{u个}_{1}, {u个}_{2}, {u个}_{三}, {u个}_{4}

表示控制器。驱动系统（3）和响应系统（25）可以改写为系统（14）和（15）的形式，其中：

F类 (x个) = [\begin{matrix} {x个}_{2} - {x个}_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {x个}_{2} & - (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - {x个}_{三} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}], （f） (x个) = [\begin{matrix} 0 \\ - {x个}_{1} {x个}_{三} \\ ({x个}_{1} {\bar{x个}}_{2} + {\bar{x个}}_{1} {x个}_{2}) / 2 \\ ({x个}_{1} + {\bar{x个}}_{1}) / 2 \end{matrix}], θ = [\begin{matrix} 一_{1} \\ 一_{2} \\ 一_{三} \\ 一_{4} \end{matrix}]

F类 (年) = [\begin{matrix} 年_{2,} - 年_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 年_{2} & - (一 + 三 b条 年_{4}^{2}) 年_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 年_{三} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}], （f） (年) = [\begin{matrix} 0 \\ - 年_{1} 年_{三} \\ (年_{1} {\bar{年}}_{2} + {\bar{年}}_{1} 年_{2}) / 2 \\ (年_{1} + {\bar{年}}_{1}) / 2 \end{matrix}], \hat{θ} = [\begin{matrix} {\hat{一}}_{1} \\ {\hat{一}}_{2} \\ {\hat{一}}_{三} \\ {\hat{一}}_{4} \end{matrix}], u个 = [\begin{matrix} {u个}_{1} \\ {u个}_{2} \\ {u个}_{三} \\ {u个}_{4} \end{matrix}]

地图复数向量由下式给出：

ϕ (x个) = {[(1 + j个) {x个}_{1}, 2 {x个}_{2}, {x个}_{三} + {x个}_{4}, {x个}_{4}^{2}]}^{T型}

(26)

映射的雅可比矩阵

ϕ (x个)

计算如下：

J型 (ϕ) = [\begin{matrix} 1 + j个 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 {x个}_{4} \end{matrix}]

(27)

根据方程（20）和（21），复杂自适应控制器和未知参数的更新规律可设计为：

{\begin{matrix} {u个}_{1, 第页} = - (年_{2, 第页} - 年_{1, 第页} - {x个}_{2, 第页} + {x个}_{2, 我} + {x个}_{1, 第页} - {x个}_{1, 我}) {\hat{一}}_{1} - {k个}_{1} {e（电子）}_{1, 第页} \\ {u个}_{1, 我} = - (年_{2, 我} - 年_{1, 我} - {x个}_{2, 我} + {x个}_{1, 我} - {x个}_{2, 第页} + {x个}_{1, 第页}) {\hat{一}}_{1} - {k个}_{1} {e（电子）}_{1, 我} \\ {u个}_{2, 第页} = - (年_{2, 第页} - 2 {x个}_{2, 第页}) {\hat{一}}_{2} + [(一 + 三 b条 年_{4}^{2}) 年_{1, 第页} - 2 (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1, 第页}] {\hat{一}}_{三} + 年_{1, 第页} 年_{三} - 2 {x个}_{1, 第页} {x个}_{三} - {k个}_{2} {e（电子）}_{2, 第页} \\ {u个}_{2, 我} = - (年_{2, 我} - 2 {x个}_{2, 我}) {\hat{一}}_{2} + [(一 + 三 b条 年_{4}^{2}) 年_{1, 我} - 2 (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1, 我}] {\hat{一}}_{三} + 年_{1, 我} 年_{三} - 2 {x个}_{1, 我} {x个}_{三} - {k个}_{2} {e（电子）}_{2, 我} \\ {u个}_{三} = (年_{三} - {x个}_{三}) {\hat{一}}_{4} - 年_{1, 第页} 年_{2, 第页} - 年_{1, 我} 年_{2, 我} + {x个}_{1, 第页} {x个}_{2, 第页} + {x个}_{1, 我} {x个}_{2, 我} + {x个}_{1, 第页} - {k个}_{三} {e（电子）}_{三} \\ {u个}_{4} = 2 {x个}_{1, 第页} {x个}_{4} - 年_{1, 第页} - {k个}_{4} {e（电子）}_{4} \end{matrix}

(28)

{\begin{matrix} {\dot{\hat{一}}}_{1} = - {k个}_{θ 1} [({x个}_{2, 第页} - {x个}_{1, 第页} - {x个}_{2, 我} + {x个}_{1, 我}) {e（电子）}_{1, 第页} + ({x个}_{2, 我} - {x个}_{1, 我} + {x个}_{2, 第页} - {x个}_{1, 第页}) {e（电子）}_{1, 我}] \\ {\dot{\hat{一}}}_{2} = - {k个}_{θ 2} (2 {x个}_{2, 第页} {e（电子）}_{2, 第页} + 2 {x个}_{2, 我} {e（电子）}_{2, 我}) \\ {\dot{\hat{一}}}_{三} = - {k个}_{θ 三} [- 2 (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1, 第页} {e（电子）}_{2, 第页} - 2 (一 + 三 b条 {x个}_{4}^{2}) {x个}_{1, 我} {e（电子）}_{2, 我}] \\ {\dot{\hat{一}}}_{4} = - {k个}_{θ 4} (- {x个}_{三} {e（电子）}_{三}) \end{matrix}

(29)

哪里

{e（电子）}_{1, 第页} = 年_{1, 第页} - {x个}_{1, 第页} + {x个}_{1, 我}

,

{e（电子）}_{1, 我} = 年_{1, 我} - {x个}_{1, 第页} - {x个}_{1, 我}

,

{e（电子）}_{2, 第页} = 年_{2, 第页} - 2 {x个}_{2, 第页}

,

{e（电子）}_{2, 我} = 年_{2, 我} - 2 {x个}_{2, 我}

,

{e（电子）}_{三} = 年_{三} - {x个}_{三} - {x个}_{4}

,

{e（电子）}_{4} = 年_{4} - {x个}_{4}^{2}

4.3. ACGS的数值模拟

为了验证上述ACGS方案的有效性和有效性，我们选择方程（26）作为地图复向量，并将参数值和初始条件设置为：

一 = 4,

b条 = 0.01, 一_{1} = 36,

一_{2} = 20,

一_{三} = 3.2,

一_{4} = 三,

{\hat{一}}_{1} = 20,

{\hat{一}}_{2} = 30,

{\hat{一}}_{三} = 5,

{\hat{一}}_{4} = 1,

{x个}_{0} = {(- 1 + 2 j个, 1 + j个, 2, - 1)}^{T型},

年_{0} = {(三 - 4 j个, 4 - 三 j个, 6, - 2)}^{T型},

{k个}_{我} = 20, {k个}_{θ 我} = 50 (我 = 1 - 4)

仿真结果如所示图6,图7和图8，一致地表明ACGS和两个相同MHCLS的参数识别是连续实现的。具体而言，响应系统（25）的时程图和图复函数（26）绘制于图6，其显示响应系统（25）相对于映射复数向量（26）与驱动系统（3）同步。图7证明了复广义同步误差在一秒钟内渐近收敛到零。在图8，未知参数的估计值收敛到

{\hat{一}}_{1} = 36,

{\hat{一}}_{2} = 20,

{\hat{一}}_{三} = 3.2,

{\hat{一}}_{4} = 三

，实现了对传动系统未知参数的参数辨识。

图6。驱动系统（3）和响应系统（25）的时间历程。

图7。驱动系统（3）和响应系统（25）之间的ACGS错误。

图8。未知参数的识别过程。

4.4. ACGS在安全通信中的应用

在本节中，基于两个相同MHCLS的ACGS研究了安全通信。驱动系统（3）和响应系统（25）分别被视为通信的发送器和接收器。原始信息信号

秒 (t吨)

通过可逆函数进行变换

φ (\cdot)

，然后添加到其中一个变量中进行混沌加密，从而形成组合信号

米 (t吨)

发射机通过通信信道向接收机发送自己的超混沌信号和组合信号。在接收器侧，响应系统可以在经过短时瞬态波动后，根据给定的复映射矢量与驱动系统同步。基于ACGS，可以滤除组合信号中的超混沌部分，然后恢复出消息信号

第页 (t吨)

可以通过逆变换获得

φ^{- 1} (\cdot)

.

图9。基于AGCS的安全通信。

为了通过数值模拟实现安全通信，所有参数和初始条件都设置为第4.3节中的参数和初始值。原始信号选择为

秒 (t吨) = 2 罪 t吨

，可逆函数为

φ (\cdot) = 阿卡坦 (\cdot)

,即双曲反正切函数。假设变换后的信号被添加到变量

{x个}_{三}

，然后组合信号可以被描述为

米 (t吨) = 阿卡坦 (秒 (t吨)) + {x个}_{三}

。仿真结果如所示图9，其中原始信号

秒 (t吨)

，组合信号

米 (t吨)

，恢复的信号

第页 (t吨)

，以及错误

e（电子） (t吨) = 第页 (t吨) - 秒 (t吨)

分别进行了描述。很明显，原始信号被加密并成功恢复。

5.结论

本文介绍了一种新的基于忆阻器的超混沌复Lü系统，并从理论和数值上分析了其性质和动力学行为，表明该系统具有三个平衡点线集，可以产生丰富的行为，如周期操作、瞬态现象、，具有不同形状的超混沌和混沌吸引子。此外，将广义同步从实际系统推广到复杂系统，提出了一种自适应复广义同步控制器和参数估计器，用于同步两个参数未知的同一超混沌复杂系统。相应的仿真结果与所提方案吻合良好，证明响应MHCLS与驱动MHCLS在给定的复杂函数关系下是同步的，并且成功地实现了未知参数的识别。所提出的ACGS方法不仅用于同步相同的MHCLS，还用于同步任何具有未知参数的相同混沌或超混沌复杂系统，由于其复杂变量，可以应用于安全通信，以获得更高的安全性能和传输效率，未知参数和不可预测的映射复向量。

致谢

本研究得到了国家自然科学基金项目[61370145、61173183、61071023]、安徽省高校自然科学基金资助项目[KJ2012A14、KJ2011ZD07]、辽宁省高校优秀人才计划项目[LR2012003]、国家统计科学研究项目[2014LZ32]的支持。

作者贡献

王世兵、王兴元和周玉飞共同实现了MHCLS的非线性分析，并从理论上设计了ACGS；王世兵和韩波对所有图形进行了数值模拟；王士兵写了这篇论文。所有作者都阅读并批准了手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

MDPI和ACS样式

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AMA风格

王S、王X、周Y、韩B。基于忆阻的超混沌复Lü系统及其自适应复广义同步。熵. 2016; 18(2):58.https://doi.org/10.3390/e18020058

芝加哥/图拉宾风格

Wang、Shibing、Xingyuan Wang、Yufei Zhou和Bo Han。2016年，“基于忆阻器的超混沌复合Lü系统及其自适应复合广义同步”熵18，2号：58。https://doi.org/10.3390/e18020058

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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一种基于忆阻器的超混沌复Lü系统及其自适应复广义同步

摘要

1.简介

2.一种新型MHCLS及其性能

2.1. MHCLS的生成

2.2. MHCLS的耗散

2.3. MHCLS的对称性和不变性

2.4. MHCLS的平衡与稳定性

3.MHCLS的动力学行为

3.1. 超混沌行为

3.2. 混沌行为

3.3. 周期性行为

3.4. 瞬态行为

4.两个参数未知的相同MHCLS的ACGS

4.1. ACGS的设计

4.2. 两个相同MHCLS的ACGS

4.3. ACGS的数值模拟

4.4. ACGS在安全通信中的应用

5.结论

致谢

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