Modeling of a Mass-Spring-Damper System by Fractional Derivatives with and without a Singular Kernel

Gómez-Aguilar, José Francisco; Yépez-Martínez, Huitzilin; Calderón-Ramón, Celia; Cruz-Orduña, Ines; Escobar-Jiménez, Ricardo Fabricio; Olivares-Peregrino, Victor Hugo

doi:10.3390/e17096289

开放式访问第条

质量-弹簧-阻尼器系统的分数阶导数建模

通过

何塞·弗朗西斯科·戈梅斯·阿吉拉尔

^1,*,†

,

Huitzilin Yépez Martínez女士

^2,†,

西莉亚·卡尔德隆-拉蒙

^3，†,

伊内斯·克鲁斯·奥杜尼亚

^3，†,

里卡多·法布里西奥·埃斯科瓦尔-吉梅内斯

^4,†

和

维克托·雨果·奥利瓦雷斯-佩雷格里诺

^4,†

¹

CONACYT、墨西哥莫雷洛斯国家研究中心、墨西哥墨西哥国家研究中心（Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico）、内务部帕尔米拉S/n、巴尔米拉Col.Palmira、C.P.62490 Cuernavaca

²

墨西哥墨西哥大城Autónoma de la Ciudad de México大学，Prolongación San Isidro 151，Col.San Lorenzo Tezonco，Del.Iztapalapa，09790 Mexico D.F

^三

墨西哥博扎里卡韦拉克鲁斯大学机电工程系（FIME）、电子通信工程系（FEEC）、维拉克鲁萨纳大学（Universidad Veracruzana）、Venustiano Carranza S/N.、C.P.93396 Poza Rica Veracruz

⁴

墨西哥莫雷洛斯库尔纳瓦卡国家投资中心、墨西哥国家投资中心，内政部帕尔米拉S/n，Col.Palmira，C.P.62490

^*

信件应寄给的作者。

^†

这些作者为这项工作做出了同等贡献。

熵 2015,17(9), 6289-6303;https://doi.org/10.3390/e17096289

收到的提交文件：2015年8月3日/修订日期：2015年9月2日/接受日期：2015年9月7日/发布日期：2015年9月10日

（本文属于特刊复杂和分数动力学)

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版本注释

摘要

:

本文给出了具有Caputo和Caputo–Fabrizio导数的质量弹簧阻尼器系统的分数方程。通过引入辅助参数来保持系统的物理单位σ.所得方程的输入是一个常数和周期源；对于Caputo情况，我们得到了解析解，并根据Mittag–Leffler函数给出了所得到的方程；对于Caputo–Fabrizio方法，通过数值拉普拉斯变换算法获得数值解。我们的结果表明，机械部件表现出粘弹性行为，在不同尺度上产生时间分形，并证明了机械部件中存在材料异质性。当分数阶导数的阶数等于1时，恢复了模型的马尔可夫性质。

关键词：

卡普托分数导数;Caputo–Fabrizio分数导数;Mittag–Leffler函数;分数阶动力学;振荡;机械振荡器

1.简介

近年来，分数阶微积分（FC）越来越多地应用于不同的科学领域[1,2,三,4,5,6,7]. 分数微分方程成功地描述了与电磁、耗散系统中的能量传播、热应力、多孔电极模型、弛豫振动、粘弹性和热弹性有关的物理现象[8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]. FC允许研究机械系统的非局部响应，这是与经典微积分相比的主要优势。一些关于经典力学的研究引入了FC，例如在[20]研究了分数阶傅里叶变换与谐波振荡的关系。里阿波夫[21]研究了与Riemann–Liouville分数导数啮合的分数振荡器。在[22]，作者利用卡普托导数找到了分数阻尼振子方程的解析解。在[23]斯坦尼斯拉夫斯基用分数导数处理了机械振荡器的推广。塔拉索夫[24]将分数阶振子视为具有记忆的系统；作者建议使用独立谐振子来定义环境。卡普托（Caputo in）[25]研究了阻尼振子的经典二阶微分方程；利用该模型，作者量化了地震仪的响应和衰减振荡，并应用了FC方法；该模型引入了以分数阶导数表示的数学记忆算子，以真实地模拟更复杂仪器的响应曲线。最近，在[26]分析了无源项的质量弹簧和弹簧阻尼系统；作者考虑了卡普托类型的分数时间导数。FC在机械振荡器中的其他应用如所示[27,28,29].

在文献中，引入了许多分数导数的定义，即Hadamard、Erdelyi–Kober、Riemann–Liouville、Riesz、Weyl、Grünwald–Letnikov、Jumarie和Caputo表示[30,31,32,33]. 为了获得分数导数的适当定义，有必要对分数动力系统进行彻底的分析。例如，Riemann–Liouville定义包含物理上不可接受的初始条件（分数阶初始条件）[34]; 相反，对于卡普托表示，初始条件用具有直接物理意义的积分阶导数表示[35]; 这个定义主要用于包括记忆效应。最近，Michele Caputo和Mauro Fabrizio在[36]提出了无奇异核分数阶导数的新定义；这种导数具有非常有趣的性质，例如可以描述不同尺度的涨落和结构。此外，该定义允许描述与损伤、疲劳和材料异质性相关的机械性能。本文详细介绍了这种新型分数阶导数的性质[37]. 最近，Abdon Atangana和Badr Alkahtani[38,39]研究了电阻-电感-电容电路和基于Caputo–Fabrizio定义的Keller–Segel模型；在这两篇文章中，作者展示了新提出的不带奇异核的分数阶导数的应用。

在本工作中，我们使用Caputo和Caputo–Fabrizio分数导数给出了质量弹簧-阻尼器系统在不同源项下的解析解和数值解；年提出的想法[26]应用于构造分数阶微分方程，我们的表示通过分数阶导数指数保留物理系统的任何值的物理单位。这项工作的主要原因是使用带奇异核的分数阶导数（Caputo方法）和无奇异核的小数阶导数（Caputo–Fabrizio方法）研究和建模分形几何中振荡器的位移。

手稿组织如下：第2节解释FC的基本概念；第3节给出了系统的解析解和不同源项下的仿真结果；结论见第4节.

2.基本概念

卡普托导数（CD）定义如下[32]:

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{γ} 如果 (t吨) = \frac{1}{Γ (n个 - γ)} {¦Β}_{0}^{t吨} \frac{{如果}^{(n个)} (α)}{{(t吨 - α)}^{γ - n个 + 1}} d日 α,

(1)

哪里

\frac{{d日}^{φ}}{d日 {t吨}^{φ}}

=

_{一}^{C类} {D类}_{t吨}^{φ}

是关于的CDt吨,φϵR（右）是分数导数的阶数

Γ (\cdot)

表示伽马函数。

CD的拉普拉斯变换具有以下形式[32]:

我 [_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{γ} 如果 (t吨)] = {S公司}^{γ} F类 (S公司) - \sum_{k个 = 0}^{米 - 1} {S公司}^{γ - k个 - 1} {如果}^{(k个)} (0) .

（2）

一些常见的拉普拉斯变换是：

\frac{1}{秒^{α} + 一} = {t吨}^{α - 1} {E类}_{α, α} (- 一 {t吨}^{α})

（3）

\frac{秒^{α}}{秒 (秒^{α} + 一)} = {E类}_{α} (- 一 {t吨}^{α}),

(4)

\frac{一}{秒 (秒^{α} + 一)} = 1 - {E类}_{α} (- 一 {t吨}^{α}) .

(5)

Mittag–Leffler函数[40]权力定义为：

{E类}_{一} (t吨) = \sum_{米 = 0}^{\infty} \frac{{t吨}^{米}}{Γ (一 米 + 1)}, (一 > 0),

(6)

Caputo–Fabrizio导数（CF）定义如下[36,37]:

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ} 如果 (t吨) = \frac{M（M） (γ)}{1 - γ} {¦Β}_{0}^{t吨} \dot{如果} (α) 经验 [- \frac{γ (t吨 - α)}{1 - γ}] d日 α,

(7)

哪里

\frac{{d日}^{γ}}{d日 {t吨}^{γ}}

=

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ}

是关于以下方面的CFt吨,

M（M） (γ)

是一个规范化函数，这样

M（M） (0) = M（M） (1) = 1

; 在这个定义中，常数的导数等于零，但与通常的卡普托定义（1）不同，核在

t吨 = α

.

如果

n个 \geq 1

和

γ \in [0, 1]

，CF分数导数，

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{(γ + n个)} 如果 (t吨)

订单的

(n个 + γ)

定义如下：

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{(γ + n个)} 如果 (t吨) =_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{(γ)} (_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{(n个)} 如果 (t吨)) .

(8)

（7）的拉普拉斯变换定义如下[36,37]:

\begin{matrix} 我 [_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{(γ + n个)} 如果 (t吨)] & = & \frac{1}{1 - γ} 我 [{如果}^{(γ + n个)} t吨] 我 [经验 (- \frac{γ}{1 - γ} t吨)] \end{matrix}

(9)

\begin{matrix} = & \frac{秒^{n个 + 1} 我 [如果 (t吨)] - 秒^{n个} 如果 (0) - 秒^{n个 - 1} {如果}^{'} (0) \dots - {如果}^{(n个)} (0)}{秒 + γ (1 - 秒)}, \end{matrix}

(10)

对于时域中的这种表示，可以使用拉普拉斯变换[36,37].

根据这个表达式，我们得到：

我 [_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ} 如果 (t吨)] = \frac{秒 我 [如果 (t吨)] - 如果 (0)}{秒 + γ (1 - 秒)}, n个 = 0,

(11)

我 [_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{(γ + 1)} 如果 (t吨)] = \frac{秒^{2} 我 [如果 (t吨)] - 秒 如果 (0) - \dot{如果} (0)}{秒 + γ (1 - 秒)}, n个 = 1 .

(12)

3.质量弹簧减振器系统

根据[26]，与物理方程的维数一致，一个辅助参数σ被引入到分数时间算子中：

\frac{d日}{d日 t吨} \to \frac{1}{σ^{1 - γ}} \cdot \frac{{d日}^{γ}}{d日 {t吨}^{γ}}, 米 - 1 < γ \leq 米, 米 \in M（M） = 1, 2, 三, \dots

(13)

和：

\frac{{d日}^{2}}{d日 {t吨}^{2}} \to \frac{1}{σ^{2 (1 - γ)}} \cdot \frac{{d日}^{2 γ}}{d日 {t吨}^{2 γ}}, 米 - 1 < γ \leq 米, 米 \in M（M） = 1, 2, 三, \dots

(14)

哪里γ表示分数时间运算符的阶数σ维度为秒。辅助参数σ与系统中的时间成分相关（这些成分改变系统的时间常数）[41]; 为了这个案子

γ = 1

表达式（13）和（14）成为普通的时态运算符。根据这一思想，质量-弹簧-阻尼器系统的方程表示为图1由以下人员提供：

\frac{米}{σ^{2 (1 - γ)}}_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) + \frac{β}{σ^{1 - γ}}_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) + k个 x个 (t吨) = F类 (t吨), 0 < γ \leq 1,

(15)

对于CF，我们有：

\frac{米}{σ^{2 (1 - γ)}}_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) + \frac{β}{σ^{1 - γ}}_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) + k个 x个 (t吨) = F类 (t吨), 0 < γ \leq 1,

(16)

质量是多少米，阻尼系数为β，弹簧常数为k个和

F类 (t吨)

表示强制函数。

图1。质量弹簧减振器系统。

图1。质量弹簧减震器系统。

从方程（15）和（16）中，我们得出了特殊情况：

质量弹簧系统， $β = 0$

$_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) + \frac{k个}{米} σ^{2 (1 - γ)} x个 (t吨) = \frac{F类 (t吨)}{米} σ^{2 (1 - γ)}, 0 < γ \leq 1,$

(17)

和：

$_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) + \frac{k个}{米} σ^{2 (1 - γ)} x个 (t吨) = \frac{F类 (t吨)}{米} σ^{2 (1 - γ)}, 0 < γ \leq 1 .$

(18)
弹簧系统减振器， $米 = 0$ :

$_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) + \frac{k个}{β} σ^{1 - γ} x个 (t吨) = \frac{F类 (t吨)}{β} σ^{1 - γ}, 0 < γ \leq 1,$

(19)

和：

$_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) + \frac{k个}{β} σ^{1 - γ} x个 (t吨) = \frac{F类 (t吨)}{β} σ^{1 - γ}, 0 < γ \leq 1 .$

(20)

现在，我们获得了方程（15）–（16）的解析解和数值解，对应于不同源项的特定情况1和2。

3.1. 质量弹簧系统

案例1：考虑一个恒定源，

F类 (t吨) = {如果}_{0}

,

x个 (0) = {x个}_{0}

,

({x个}_{0} > 0)

,

\dot{x个} (0) = 0

; 方程式（17）可写成如下：

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) = \frac{η^{2}}{k个} {如果}_{0} - η^{2} x个 (t吨),

(21)

哪里：

η^{2} = \frac{k个 σ^{2 (1 - γ)}}{米} = η_{0}^{2} \cdot σ^{2 (1 - γ)},

(22)

是分数角频率

η_{0}^{2} = \frac{k个}{米}

是经典情况下的频率。

（21）的解是：

x个 (t吨) = ({x个}_{0} - \frac{{如果}_{0}}{k个}) \cdot {E类}_{2 γ} \{- η^{2} {t吨}^{2 γ}\} + \frac{{如果}_{0}}{k个},

(23)

哪里

{E类}_{2 γ}

由（6）给出。

关于经典情况，从（22）开始，我们有

η^{2} = η_{0}^{2} = \frac{k个}{米}

; 则方程（21）的解为：

x个 (t吨) = ({x个}_{0} - \frac{{如果}_{0}}{k个}) \cdot 余弦 (η_{0} t吨) + \frac{{如果}_{0}}{k个},

(24)

在这种情况下，方程（17）之间存在物理关系γ和σ:

γ = \frac{k个}{米} σ .

（25）

对于表达式（25），解（23）由下式给出：

x个 (t吨) = ({x个}_{0} - \frac{{如果}_{0}}{k个}) \cdot {E类}_{2 γ} \{- γ^{2 (1 - γ)} {t吨}^{2 γ}\} + \frac{{如果}_{0}}{k个} .

(26)

分数阶不同值的曲线图γ如所示图2.

图2。具有恒定源的质量弹簧系统，Caputo导数方法。

图2。质量弹簧系统具有恒定源，卡普托导数方法。

对于方程（18），我们有：

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) = \frac{η^{2}}{k个} {如果}_{0} - η^{2} x个 (t吨),

(27)

（27）的拉普拉斯变换（10）得出：

x个 (秒) = {x个}_{0} \cdot \frac{秒^{2 γ - 1}}{秒^{2} + η^{2} [秒 + γ (1 - 秒)]} + \frac{η^{2} {如果}_{0}}{k个} (\frac{秒 + γ (1 - 秒)}{秒 (秒^{2} + η^{2} [秒 + γ (1 - 秒)])}),

(28)

应用数值拉普拉斯逆变换算法[42]到（28），我们得到了时间响应。分数阶不同值的曲线图γ如所示图3.

图3。具有恒定源的质量弹簧系统，Caputo–Fabrizio导数方法。

案例2：考虑一个周期性源，

F类 (t吨) = {如果}_{0} 余弦 (ω t吨)

,

x个 (0) = {x个}_{0}

,

({x个}_{0} > 0)

,

\dot{x个} (0) = 0

; 方程式（17）可写成如下：

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) = \frac{η^{2}}{k个} {如果}_{0} 余弦 (ω t吨) - η^{2} x个 (t吨),

(29)

哪里

η^{2}

由（22）给出。

方程的解(29)是：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot {E类}_{2 γ} \{- η^{2} {t吨}^{2 γ}\} - \frac{{如果}_{0}}{k个} {¦Β}_{0}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - 单位) {E类}_{2 γ} \{- η^{2} {u个}^{2 γ}\} d日 u个,

(30)

哪里

{E类}_{2 γ}

由（6）给出。

对于经典情况，从（22）开始，我们有

η^{2} = η_{0}^{2} = \frac{k个}{米}

; 方程的解(29)是：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot 余弦 (η_{0} t吨) - \frac{{如果}_{0}}{k个} {¦Β}_{0}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - u个) 余弦 (η_{0} u个) d日 u个,

(31)

考虑到表达式（25），解决方案（30）为：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot {E类}_{2 γ} \{- γ^{2 (1 - γ)} {t吨}^{2 γ}\} - \frac{{如果}_{0}}{k个} {¦Β}_{0}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - u个) {E类}_{2 γ} \{- γ^{2 (1 - γ)} {u个}^{2 γ}\} d日 u个 .

(32)

分数阶不同值的曲线图γ如所示图4.

图4。具有周期源的质量弹簧系统，卡普托导数方法。

图4。具有周期源的质量弹簧系统，Caputo导数方法。

对于方程（18），我们有：

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) = \frac{η^{2}}{k个} {如果}_{0} \cdot 余弦 (ω t吨) - η^{2} x个 (t吨),

(33)

（33）的拉普拉斯变换（10）得出：

x个 (秒) = {x个}_{0} \cdot \frac{秒^{2 γ - 1}}{秒^{2} + η^{2} [秒 + γ (1 - 秒)]} + \frac{η^{2} {如果}_{0}}{k个} (\frac{秒 (秒 + γ (1 - 秒))}{(秒^{2} + ω^{2}) (秒^{2} + η^{2} [秒 + γ (1 - 秒)])}),

(34)

应用数值拉普拉斯逆变换算法[42]对于（34），我们获得时间响应。分数阶不同值的曲线图γ如所示图5.

图5。带有周期源的质量弹簧系统，Caputo–Fabrizio导数方法。

3.2. 弹簧系统减振器

案例1：考虑一个恒定源，

F类 (t吨) = {如果}_{0}

,

x个 (0) = {x个}_{0}

,

({x个}_{0} > 0)

; 方程式(19)可以重写如下：

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) = \frac{τ}{k个} {如果}_{0} - τ x个 (t吨),

（35）

哪里：

τ = \frac{k个}{β} σ^{1 - γ} .

(36)

方程（35）的解为：

x个 (t吨) = ({x个}_{0} - \frac{{如果}_{0}}{k个}) \cdot {E类}_{γ} \{- τ {t吨}^{γ}\} + \frac{{如果}_{0}}{k个},

(37)

哪里

{E类}_{γ}

由（6）给出。

对于经典情况，表达式（37）变为：

x个 (t吨) = ({x个}_{0} - \frac{{如果}_{0}}{k个}) \cdot 经验 (- τ t吨) + \frac{{如果}_{0}}{k个},

(38)

在这种情况下，方程式之间存在物理关系(19)，订单γ和σ:

γ = \frac{k个}{β} σ,

(39)

考虑表达式（39）；解决方案（37）是：

x个 (t吨) = ({x个}_{0} - \frac{{如果}_{0}}{k个}) \cdot {E类}_{γ} \{- γ^{1 - γ} {t吨}^{γ}\} + \frac{{如果}_{0}}{k个} .

(40)

分数阶不同值的曲线图γ如所示图6.

图6。阻尼弹簧系统采用恒定源，卡普托导数方法。

对于方程式(20)，我们有：

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) = \frac{τ}{k个} {如果}_{0} - τ x个 (t吨),

(41)

（41）的拉普拉斯变换（10）得出：

x个 (秒) = {x个}_{0} \cdot \frac{秒^{γ - 1}}{秒 + τ [秒 + γ (1 - 秒)]} + \frac{τ {如果}_{0}}{k个} (\frac{秒 + γ (1 - 秒)}{秒 (秒 + τ [秒 + γ (1 - 秒)])}),

(42)

应用数值拉普拉斯逆变换算法[42]对于（42），我们得到了时间响应。分数阶不同值的曲线图γ如所示图7.

图7。具有恒定源的阻尼弹簧系统，Caputo–Fabrizio导数方法。

案例2：考虑一个周期性源，

F类 (t吨) = {如果}_{0} 余弦 (ω t吨)

,

x个 (0) = {x个}_{0}

,

({x个}_{0} > 0)

; 方程式(19)可写成如下：

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) = \frac{τ}{k个} {如果}_{0} 余弦 (ω t吨) - τ x个 (t吨),

(43)

方程的解(43)是：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot {E类}_{γ} \{- τ {t吨}^{γ}\} - \frac{{如果}_{0}}{k个} {¦Β}_{0}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - u个) {E类}_{γ} \{- τ {单位}^{γ}\} d日 u个,

(44)

哪里

{E类}_{γ}

由（6）给出。

对于经典情况，表达式（44）变为：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot 经验 (- τ t吨) - \frac{{如果}_{0}}{k个} {¦Β}_{0}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - u个) 经验 (- τ u个) d日 u个,

(45)

考虑到表达式（39），解（44）为：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot {E类}_{γ} \{- γ^{1 - γ} {t吨}^{γ}\} - \frac{{如果}_{0}}{k个} {¦Β}_{0}^{t吨} 余弦 ω (t吨 - u个) {E类}_{γ} \{- γ^{1 - γ} {u个}^{γ}\} d日 u个,

(46)

分数阶不同值的曲线图γ如所示图8.

图8。具有周期源的阻尼弹簧系统，卡普托导数方法。

对于方程式(20)，我们有：

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) = \frac{τ}{k个} {如果}_{0} 余弦 (ω t吨) - τ x个 (t吨),

(47)

（47）的拉普拉斯变换（10）是：

x个 (秒) = {x个}_{0} \cdot \frac{秒^{γ - 1}}{秒 + τ [秒 + γ (1 - 秒)]} + \frac{τ {如果}_{0}}{k个} (\frac{秒 (秒 + γ (1 - 秒)}{(秒^{2} + ω^{2}) (秒 + τ [秒 + γ (1 - 秒)])}),

(48)

应用数值拉普拉斯逆变换算法[42]对（48），我们得到了时间响应。分数阶不同值的曲线图γ如所示图9.

图9。周期源阻尼弹簧系统，Caputo–Fabrizio导数方法。

3.3. 质量弹簧减振器系统

案例3：考虑

F类 (t吨) = 0

初始条件等于零；方程式(15)可写成如下：

_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) + τ_{0}^{C类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) = η^{2} x个 (t吨),

(49)

哪里

η^{2}

和τ分别由（22）和（36）给出。方程的解(49)是：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot {E类}_{γ} \{- \frac{β}{2 米} σ^{1 - γ} {t吨}^{γ}\} \cdot {E类}_{2 γ} \{- [\frac{k个}{米} - \frac{β^{2}}{4 米^{2}}] σ^{2 (1 - γ)} {t吨}^{2 γ}\}

(50)

哪里

{E类}_{γ}

由（6）给出。

对于经典情况，表达式（50）变为：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot 经验 (- \frac{β}{2 米} t吨) \cdot 余弦 (\sqrt{\frac{k个}{米} - \frac{β^{2}}{4 米^{2}}} t吨),

（51）

在这种情况下，方程式之间存在物理关系(15)，订单γ和σ:

γ = \sqrt{\frac{k个}{米} - \frac{β^{2}}{4 米^{2}}} σ,

(52)

考虑到表达式（52），解（50）为：

x个 (t吨) = {x个}_{0} \cdot {E类}_{γ} \{- γ^{1 - γ} {t吨}^{γ}\} \cdot {E类}_{2 γ} \{- γ^{2 (1 - γ)} {t吨}^{2 γ}\} .

(53)

分数阶不同值的图γ如所示图10.

图10。质量-弹簧-阻尼器系统无源，卡普托导数方法。

对于方程式(16)，我们有：

_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{2 γ} x个 (t吨) + τ_{0}^{C类 F类} {D类}_{t吨}^{γ} x个 (t吨) = η^{2} x个 (t吨),

(54)

（54）的拉普拉斯变换（10）得出：

x个 (秒) = {x个}_{0} \cdot (\frac{秒 + 一}{秒^{2} + τ 秒 + η^{2} (秒 + γ (1 - 秒)}),

(55)

哪里

η^{2}

和τ分别由（22）和（36）给出。应用数值拉普拉斯逆变换算法[42]对于（55），我们得到了时间响应。分数阶不同值的曲线图γ如所示图11.

图11。质量弹簧阻尼器系统，无来源，Caputo–Fabrizio衍生方法。

图11。无源质量弹簧减振器系统，Caputo–Fabrizio导数方法。

4.结论

在这项工作中，我们提出了使用Caputo和Caputo–Fabrizio分数导数来模拟振荡系统的替代分数微分方程。提出的方程具有普遍性（见方程（25）、（39）和（52））；对于分数导数指数的任何值，所给出的解都保持了所研究系统的维数。与文献中的模型相比，这种替代表示的优点是解决方案的物理兼容性。

对于经典的卡普托方法，这些解决方案包含并描述了长期记忆效应（衰减或耗散）；这些效应与Mittag–Leffler函数的代数衰减有关；什么时候γ小于1，关于时间的分数阶微分表示由分数阶表示的能量耗散（内耗）的非局部位移效应γ这与分形几何中振荡器的位移有关。对于Caputo–Fabrizio分数阶导数，数值解显示振幅变化和相位变化；这些行为依赖于分数阶导数并修改了常数时间；特别地，当分数算子小于1时，系统表现出快速镇定。这个新的分数定义允许描述粘弹性材料的松弛现象特征，数值解在不同尺度上显示出时间分形，以及机械部件中存在材料不均匀性。分数导数的两个定义必须根据所处理的材料方便地应用；分数导数的选择取决于所研究的问题和系统的现象学行为。对于这两种定义，当

γ = 1

位移具有一般性。

结果汇总于图2,图3,图4,图5,图6,图7,图8,图9,图10和图11简要说明何时

γ = 1

，该系统显示了马尔可夫性质。但是，对于的值

γ < 1

方程描述了非保守系统（非局部时间）；在这种情况下γ数值根据系统的时间常数进行修改，并显示出分数结构（显示保守系统和耗散系统之间的中间行为的组件）。在范围内

γ \in (0.85, 1)

图中显示，该系统呈现耗散效应，与物理过程的非线性情况相对应（时间上非局部的现实行为）。在这些情况下，系统修改了阻尼能力，例如当

γ = 0.85

，阻尼能力大于

γ = 0.95

此外，数字表明，与Caputo–Fabrizio分数导数相比，Caputo分数导数受过去的影响更大，显示出快速稳定。

所得方程代表了经典质量-弹簧-阻尼器模型的推广；所提出的表示法可用于描述各种各样的系统，但由于经典微积分的局限性，这些系统尚未得到解决。在这种情况下，我们认为这些结果有助于理解动力学复杂系统的行为、机械振动、控制理论、松弛现象、粘弹性、粘弹性阻尼和振荡过程。

致谢

作者感谢匿名评审的建设性意见和建议，这有助于改进论文。我们要感谢Mayra Martínez和Dumitru Baleanu进行了有趣的讨论。何塞·戈梅斯·阿吉拉尔（JoséF.Gómez-Aguilar）感谢国家行动委员会（墨西哥）提供的支持：2014年国家行动委员会第二次联合调查人员。

作者贡献

分析结果由JoséF.Gómez Aguilar、Huitzilin Yépez Martínez和Ricardo F.Escobar Jiménez得出。数值模拟由JoséF.Gómez-Aguilar、Celia Calderón-Ramón和Ines Cruz-Orduña进行。里卡多·F·埃斯科瓦尔-吉米内斯和维克多·H·奥利瓦雷斯·佩雷格里诺对语言进行了润色，并负责技术检查。JoséF.Gómez Aguilar、Huitzilin Yépez-Martínez、Celia Calderón-Ramón、Ines Cruz-Orduña、Ricardo F.Escobar-Jiménez和Victor H.Olivares Peregrino撰写了论文。所有作者都已阅读并批准了最终稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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芝加哥/图拉宾风格

戈梅斯·阿吉拉尔（Gómez-Aguilar）、何塞·弗朗西斯科（JoséFrancisco）、惠兹林·伊佩斯·马丁内斯（Huitzilin Yépez-Martínez）、西莉亚·卡尔德隆（Celia Calderón-Ramón）、伊内斯·克鲁斯·奥尔杜尼亚（Ines Cruz-Orduñaña）、里卡多·法布里西奥里斯科。2015.“利用分数导数对质量-弹簧-阻尼器系统进行建模，包括奇异核和非奇异核”熵17，编号9:6289-6303。https://doi.org/10.3390/e17096289

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质量-弹簧-阻尼器系统的分数阶导数建模

摘要

1.简介

2.基本概念

3.质量弹簧减振器系统

3.1. 质量弹簧系统

3.2. 弹簧系统减振器

3.3. 质量弹簧减振器系统

4.结论

致谢

作者贡献

利益冲突

参考文献

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