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熵
第17卷
第4版
10.3390/e17041850
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第条

李群上一致统计量的双变量伪度量计算 †

通过
尼娜·米奥兰
*和
泽维尔·佩内克
INRIA，Asclepios项目团队，2004 Route des Lucioles，BP93，Sophia Antipolis Cedex F-06902，法国
*
应向其寄送信件的作者。
†
本文是我们于2014年9月21日至26日在法国安布瓦西MaxEnt 2014上发表的论文的扩展版。
熵 2015,17(4), 1850-1881;https://doi.org/10.3390/e17041850
收到的提交文件：2015年1月31日/修订日期：2015年3月19日/接受日期：2015年3月20日/发布日期：2015年3月31日
（本文属于特刊信息、熵及其几何结构)
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版本注释

摘要

:
在计算解剖学中，器官的形状通常被建模为参考形状的变形，即，作为李群的元素。为了在这个框架中分析人体解剖结构的可变性，我们需要对李群进行统计。李群是具有一致群结构的流形。黎曼流形上的统计已经得到了很好的研究，但要使用李群上的统计黎曼框架，需要定义一个与群结构兼容的黎曼度量：双变度量。然而，众所周知，李群不是紧群和交换群的直接乘积，没有双变度量。然而，双变量伪测量呢？换言之：我们能否去掉度量的正假设，并通过伪黎曼框架获得李群的一致统计？我们的贡献是双重的。首先，我们提出了一种算法，在存在的情况下，在给定的李群上构造双变伪度量。然后，通过在常见的李群上运行该算法，我们发现大多数李群不允许任何双变（伪）度量。因此，我们得出结论，（伪）黎曼设置对于定义一般李群的一致统计量来说太有限了。

图形摘要

1.简介

1.1. 李群建模

数据可以建模为许多不同领域的李群元素：计算解剖学、机器人学、古生物学、，等事实上，李群是连续的变换群，因此，无论何时处理铰接对象或形状，李群都会自然出现。
关于关节对象，可以举机器人学或计算解剖学的例子。在机器人学中，首先，球形手臂显然是一个铰接的物体。手臂的位置可以建模为三维李氏旋转群的元素SO公司(3). 在计算解剖学中，脊椎可以建模为关节对象。在这种情况下，每个脊椎都被视为一个正交框架，该框架编码前一脊椎的刚体变换。因此，由于人类脊椎有24个脊椎，脊椎的结构可以建模为李群的一个元素东南方（3）23，其中东南方（3） 是3D中刚体变换的李群，即.，中的李群旋转和平移 R（右） 三也称为特殊欧几里德群。
关于形状，d'Arcy Thompson的通用模型建议将形状数据表示为参考形状的差异变形[1]从而作为微分同态的无限维李群的元素。与计算医学相比，该框架同样适用于古生物学。在古生物学中，首先，猴子头骨或人类头骨可以建模为参考头骨的不同变形。因此，在计算医学中，患者心脏的形状可以建模为参考形状的差异变形。显然，还可以在其他领域提供更多的例子。

1.2. 李群统计

一旦数据被表示为李群的元素，我们可能需要对其进行统计分析以进行预测或定量建模。因此，我们想对李群进行统计。我们如何定义一个对所有李群都有效的内在统计框架？我们如何计算李群元素样本的平均值或主要变化模式？为了训练我们的直觉，我们在这里考虑有限维李群。
要定义统计框架，从平均值的定义开始似乎很自然。李群平均值的定义举例说明了在定义整个统计框架时可能遇到的问题。我们知道，平均值的通常定义是样本数据元素的加权和。然而，这个定义是线性的，李群一般不是线性的。因此，我们不能在李群上使用这个定义：我们可以得到非李群元素的李群元素平均值。例如，可以考虑两个旋转矩阵的半和，这并不总是一个旋转矩阵。
事实上，李群平均值的定义应该与群结构一致。这种一致性导致了对平均值或属性的几个要求。首先，李群元素的平均值应该在李群中。然后，要求数据集的左或右转换应该相应地转换其平均值似乎很自然。图1说明了满足此条件时的情况。最后，所有数据元素的反演应导致反演平均值。验证所有这些属性的方法称为双变量。
李群平均数的自然双变量候选者是群指数重心[2]定义如下。群指数重心米数据集的{克我}我=1, …,N个是以下群重心方程的解（如果有的话）：
∑ 我 = 1 N个 日志 ( 米 ( 负极 1 ) * 克 我 ) = 0
其中Log是组对数。由于群指数重心自然是双变的，我们称群指数重心为双变均值。如果数据的离散度足够小，则证明了双变量均值的局部存在唯一性。“局部”意味着假设数据位于李群某个点的足够小的正态凸邻域中。
现在，我们想为双变量均值提供一个计算框架，这将为计算李群统计奠定基础。为此，我们感兴趣的是刻画双变量均值存在唯一性的全局域。例如，我们所说的“全局域”是指一个半径最大的球，因此任何包含支持的概率测度都将具有唯一的双变平均值。请注意，有先验的有几个方法没有问题，可以称之为几个“模式”，或者根本没有方法。我们的目的是描述可能发生的不同情况：没有平均值，一个唯一的平均值，几个平均值。

1.3. 李群统计的黎曼和伪黎曼结构

为此，我们对李群上的其他几何结构感兴趣，这些结构可以通过提供计算工具提供帮助。例如，我们对李群上的距离感兴趣，它可以让我们测量球的半径。这样的距离显然有助于表征最大半径的球。
然而，李群是一个具有额外流形结构的群，可以在流形上定义伪度量，使其成为伪黎曼流形。因此，我们可以在李群上添加一个伪距离，这将导致伪距离。这种额外的伪黎曼结构是否有助于在实践中定义李群的统计框架？
我们首先考虑黎曼结构的情况，即.，当伪度量实际上是度量（正定）时。文献中提出了黎曼流形上均值的几个定义：弗雷切特均值、卡彻均值或黎曼指数重心[三–8]. 例如，黎曼指数重心被定义为数据方差的临界点，定义如下： σ 2 ( 年 ) = 1 N个 ∑ 我 = 1 N个 距离 ( x个 我 , 年 ) 2，其中 { x个 我 } 我 = 1 N个是数据，距离是由黎曼度量得出的距离。黎曼框架为该平均值的全局存在唯一域提供了定理[7–11]，确保黎曼流形上统计的可计算性。这些正是我们希望得到的李群双变平均值的结果。因此，人们可能想知道，通过在李群上添加黎曼度量，我们是否可以将这种计算框架应用于李群统计，尤其是双变平均值。
事实上，当黎曼度量本身是双变的时，黎曼平均和群指数重心（或双变平均）的概念是一致的。在这种情况下，黎曼测地线与Cartan-Schouten连接的测地线重合[12]. 因此，只有当我们可以在李群上添加一个双不变度量时，我们才能使用黎曼均值的计算框架。
然而，众所周知，李群一般不具有任何双不变的黎曼度量。Lie组装货单(n个)缩放和翻译 R（右） n个，海森堡集团H（H），Lie组美国犹他州(n个)大小的上三角矩阵n×n和李群东南方(n个)的旋转和平移 R（右） n个没有任何双变量度量，但它们承认局部唯一的双变量平均值[2]. 因此，如果我们想用李群上的一个额外的几何结构来刻画双变均值，我们必须考虑一个比黎曼结构更一般的结构。
伪黎曼框架是黎曼框架的推广。因此，它代表了表征双变平均值和定义一般李群计算统计的诱人选择。伪度量不再需要是正定的，只需要是定的：承认双变伪度量的李群的类要大于那些具有双变度量的李群的类。因此，我们可以尝试将黎曼统计框架推广到伪黎曼统计模型，并将其应用于李群。例如，伪黎曼流形上的平均值仍然可以定义为方差的临界点 σ 2 ( 年 ) = 1 N个 ∑ 我 = 1 N个 距离 ( x个 我 , 年 ) 2，但dist现在将是伪距引起的伪距。当然，存在性和唯一性定理必须重新建立，但我们可以从黎曼情况中获得直觉。
为了使用伪黎曼框架来描述双变量平均值，第一个问题是：有多少李群承认双变量伪度量？这是真实的李群的情况吗装货单(n个),H（H）,美国犹他州(n个)和东南方(n个)，哪些具有局部唯一的双变量均值？

1.4. 李群和具有双变伪度量的李代数

如果 G公司是一个连通李群，它承认一个双变非退化对称双线性形式当且仅当它的李代数承认一个非退化对称的双线性内积，也称为双变伪度量。自1910年代以来，已知存在具有双变伪度量的李代数，并对简单李代数进行了分类[13]以及著名的《卡坦宪章》——杀人形式，在这种情况下并不退化，但他们的具体研究始于20世纪50年代[14,15]. 稍后[16]开始从结构的角度研究这些李代数的性质，并引入这些李代数作为理想的直接和的可分解性或可分解性。然而，分解[16]正如一些作者所说，不足以用双变伪度量刻画所有李代数[17–19]注意，量子力学中出现的所谓振子代数具有双变量伪度量，但在意义上不可分解[16]. 这条线索是麦地那和雷沃[20,21]和基思[17]通过证明这些李代数都是通过直接和和一种结构产生的，这种结构被称为[20,21]和双向扩展[17].
这些结果得到了以下方面的补充[22]然后由Bordemann通过T型*-延伸建筑物[23]. 在特定情况下，它们已针对特定维度进行了完整描述。维数≤7的幂零二次李代数的分类在[24]，维数≤6的实可解二次李代数[25]维数≤13 in的不可约不可解李代数[26]. 研究了具有不同指标伪度量的不可分解二次李代数的具体情况：指标一的双变伪度量描述于[21,27]，索引2英寸[28]最后是中的一般索引[29]. 双变伪度量空间的维数在[30]提供边界的位置。
来自纯代数以外的其他领域的作者也对双不变伪度量的研究做出了贡献。例如，在泛函分析中，Manin三元组是一种特殊类型的李代数，它具有双变伪度量，可以解释经典Yang–Baxter方程的解[31]. 在这种情况下，Manin三元组本身在[32]和中的复约化李代数[33].
同时，人们开始对有限维李代数的计算方面产生兴趣，实现了从任何基础上给定的结构常数识别李代数[34,35]或者李维分解[36,37]. 关于有限维李代数实现的最新技术总结如下[38]. 然而，计算涉及李代数的代数方面，据作者所知，不考虑度量或伪度量。

1.5. 贡献和大纲

我们的贡献是对李代数分类定理的算法重新表述[20,21]这就回答了这些问题。更准确地说，取一个谎言组 G公司作为输入，该算法在 G公司就存在而言。利用该算法，我们证明了大多数具有局部唯一双变均值的李群不具有双变伪测度。我们的结论是，为了对一般实李群进行统计，更准确地说，对于双变平均的计算框架，将黎曼统计框架推广到伪黎曼框架可能不是最佳方案。
论文组织如下。在第一节中，我们介绍了二次李群的概念，这些概念将有助于理解本文。在第二节中，我们给出了在存在的情况下，在给定李群上构造双变伪度量的（树结构）算法。在第三部分中，我们将算法应用于装货单(n个),H（H）,美国犹他州(n个)和东南方(n个)并表明它们中的大多数不具有任何双变量伪度量。

2.引入双变伪度量李群

在这里，我们定义了贯穿本文的代数和几何概念。

2.1、。二次李群与李代数

在下面，我们考虑域上的有限维隐连通李群 F类，其中 F类是 R（右）或 C类.

2.1.1. 李群

李群 G公司是具有相容群结构的光滑流形。它具有标识元素e（电子），一个平滑的合成定律*： ( 克 , 小时 ) ↦ 克 * 小时 ∈ G公司以及一个平滑的反演定律发票: （f） ↦ （f） ( 负极 1 ) ∈ G公司。其切线空间位于克已写入 T型 克 G公司.
地图 我 小时 : G公司 ∍ 克 ↦ 小时 * 克 ∈ G公司左手翻译是 G公司因此，其差值（at克), D类 我 小时 ( 克 ) : T型 克 G公司 ↦ T型 我 小时 克 G公司是连接的切空间的同构 G公司类似地，可以定义 R（右） 小时 : G公司 ∍ 克 ↦ 克 * 小时 ∈ G公司，正确的翻译小时.
向量场X（X）在 G公司是左不变的，如果(数据链路小时)(X（X）(克))=X（X）(我小时(克))=X（X）(小时*克)对于每个克, 小时 ∈ G公司类似地，可以定义右不变向量场。左不变向量场形成了我们表示的向量空间 Γ ( T型 G公司 ) 我这与 T型 e（电子） G公司两个左不变向量场的李括号是一个左变向量场[39].

2.1.2. 李代数

作为 Γ ( T型 G公司 ) 我在向量场的李括号下闭合，我们可以看到 T型 e（电子） G公司作为李代数。更准确地说，我们定义 克的李代数 G公司作为 T型 e（电子） G公司用Lie括号表示 Γ ( T型 G公司 ) 我李代数基本上捕获了群的局部结构。在矩阵李代数的情况下，李括号对应于交换子。为了更完整地介绍李群和李代数，我们建议读者参考[40].
写李括号的表达式[，]克在给定的基础上 B类 克 = { e（电子） 我 } 我 = 1 n个属于 克，我们定义了结构常数（f）ijk公司作为：
[ e（电子） 我 , e（电子） j个 ] 克 = （f） 我 j个 k个 e（电子） k个
结构常数（f）ijk公司取决于基础 B类 克被选中的。在前两个指数中，它们总是不对称的，但如果我们在精心选择的基础上编写它们，它们可能会具有额外的对称性（见下文）。结构常数（f）ijk公司完全确定了李代数的代数结构。因此，结构常数通常是李代数算法的起点或输入[34–36,38]. 这也是我们在本文中提出的算法的情况。

2.1.3. 伪度量

上的伪度量<，> G公司定义为明确的内积的平滑集合|克在每个切线空间上 T型 克 G公司.然后， G公司成为伪黎曼流形。度量被定义为其内积均为正定的伪度量。在这种情况下， G公司称为黎曼流形。
签名(p、 q个)伪度量的值是表示内积的实对称矩阵的正负特征值的数目（以重数计算）<, > |克在某一点上克关于基础 T型 克 G公司.签名与点的选择无关克并基于 T型 克 G公司根据定义，伪度量是确定的；因此，没有零特征值，我们有第页+q个=n个，其中n个是的尺寸 G公司根据定义，度量是正定的，因此其签名为(n个, 0). 同样，有关此类微分几何的更多详细信息，请参阅[39].

2.1.4. 二次李群与代数

左变伪距是伪距<，>，因此X（X）, Y（Y） ∈ T型 克 G公司以及所有人克, 小时 ∈ G公司，我们有：
〈 D类 我 小时 ( 克 ) X（X） , D类 我 小时 ( 克 ) Y（Y） 〉 > | 我 小时 克 = 〈 X（X） , Y（Y） 〉 | 克
哪里我小时左边的翻译是小时换句话说，左边的翻译是这个伪度量的等距图。类似地，我们可以定义右变和双变伪度量<，>。注意，任何李群都允许左（或右）不变伪度量：我们可以在李代数上定义内积 克 = T型 e（电子） G公司并将其传播到每个切线空间 T型 克 G公司通过DL公司克(e（电子）)（或博士克(e（电子）)). 然而，没有一个谎言集团承认双变量伪测量。
承认双变量伪度量的李群称为二次李群。相应的李代数称为二次李代数。请注意，二次李群或代数在文献中的称呼有所不同。我们发现这个称谓在[14–16],米制的英寸[28,29]，中的准经典[25]最后是平方[24,26].
图2显示了我们刚才介绍的结构的摘要。
我们现在回顾一下有限维李代数上的非退化双变内积 克在李代数为 克（例如，请参见[41]). 因此，我们从现在开始关注李代数。我们仍然会使用术语“伪度量”或“度量”和符号“<，>”来指代李代数上相应的内积 克 = T型 e（电子） G公司.

2.1.5. 二次李代数的特征

这里我们给出了表征一对的方程的不同公式 ( 克 , < , > )作为二次李代数。李代数 克是二次的，当且仅当它具有伪度量检验：
∀ x个 , 年 , t吨 ∈ 克 , < [ x个 , 年 ] 克 , t吨 > + < 年 , [ x个 , t吨 ] 克 > = 0
该特征的证明见[39]和[12].
首先，利用x、 是，t，我们可以重写方程式（4）基于基向量。让 B类 克 = { e（电子） 我 } 我 = 1 n个是g的基础；我们考虑：x个=e（电子）我,年=e（电子）j个和z（z）=e（电子）k个因此，我们可以用结构常数来表示李括号，我们得到：
∀ 我 , j个 , k个 ∈ { 1 , .. , n个 } （f） 我 j个 我 < e（电子） 我 , e（电子） k个 > + （f） j个 k个 我 < e（电子） 我 , e（电子） j个 > = 0
特别地，我们观察到，关于双变度量，写在基正交规范中的结构常数是完全不对称的。以基正交形式书写的关于双变量伪度量的结构常数也将具有额外的对称性质。
然后，当我们考虑有限维李群时，我们也可以重写方程式（4）就矩阵而言：
∀ x个 ∈ 克 , A类 ( x个 ) T型 . Z轴 + Z轴 . A类 ( x个 ) = 0
哪里A类(x个)是表示自同态的矩阵[x个，•]，定义为 年 ↦ [ x个 , 年 ]、和Z轴表示<，>的对称可逆（不一定是正的）矩阵 B类 克，基础 克注意： x个 ↦ A类 ( x个 )本身是线性的。
最后，再次利用线性并写入：A类(e（电子）我) =A类我，我们可以再次重新制定方程式（4），我们得到：
∀ 我 ∈ { 1 , .. , n个 } , A类 我 T型 . Z轴 + Z轴 . A类 我 = 0
现在是一个线性系统n个矩阵方程。请注意方程式（5）对应于方程式（7）用坐标表示。

2.1.6. 如何计算双变量伪度量？

给定一个李代数 克作为输入，我们现在可以看到双变量伪度量的计算 克等于线性系统的分辨率方程式（7）对于Z轴线性系统的解方程式（7）形成一个向量空间，称为二次空间 问 ( 克 )[30]:
问 ( 克 ) = { Z轴 ∈ Sym公司 ( n个 ) | ∀ 我 ∈ { 1 , .. , n个 } , A类 我 T型 . Z轴 + Z轴 . A类 我 = 0 }
显然，向量空间 问 ( 克 )包含可逆和不可逆解。回顾伪度量的定义，我们强调我们只对可逆解感兴趣。
为了解决系统方程式（7）对于Z轴,即.，计算二次空间 问 ( 克 )，我们可以采取分析的观点。在我固定，系统的单个方程方程式（7）是在控制理论背景下研究的Lyapunov方程的特殊情况[42]. 因此，存在用于研究我们的一个线性矩阵方程的计算方法[43]. 然而，为了我们的目的，我们想了解二次李群的结构，以便获得推广到微分同态的无限维李群的直觉。因此，我们不依赖于分析的观点来解决方程式（7）.
我们更倾向于考虑方程（7）从代数的角度来看。纯代数观点使我们能够求解方程式（7）在大多数情况下都是如此，就像本文末尾提供的示例一样。在其他情况下，它会产生一个较小的方程组，可以通过分析或计算求解。因此，代数观点不仅提供了对二次李群的理论理解，它还解决了问题或简化了问题，以便用解析观点解决它。
因此，我们在下一小节中介绍了建立和稍后实现代数观点所需的代数和几何概念。

2.2. 李代数表示

我们如何理解李代数的结构？一个想法是将李代数元素表示为作用于向量的矩阵。然后，研究这些矩阵的行为有助于从整体上理解李代数。这就是李代数表示理论的目的，我们在此简要介绍[13,21,38,40]在本小节的所有内容中。

2.2.1. 李代数表示

A类 克-向量空间的表示V（V）是李代数同态 η : 克 ↦ 全球 ( V（V） )，表示 克作为作用于向量空间的矩阵V（V）. The 克-表示θ1和θ2如果它们之间存在表示的同构，则称为同构，即.，向量空间的同构 我 : V（V） 1 ↦ V（V） 2验证：θ2(x个) ◦我=我◦ θ1(x个). 我们表示 霍姆 克 ( V（V） 1 , V（V） 2 )表示同构的向量空间V（V）1和V（V）2.
为了理解李代数的表示 克因此，李代数 克其本身的一个策略是将表示分解为更小的块，然后研究这些块。在这种情况下 克-的子表示 克-表示V（V）是的子空间V（V）稳定的元素 η ( 克 ).不可约 克-子表示是 克-无恰当的子表示 克-次级代表。不可分解的 克-子表示是 克-不能分解为的子表示 克-子演示。
注意，不可约性意味着不可分解性，但反之则是错误的： 克-子表示可以有 克-没有补充的子表示，该补充也是 克-子表示（它“只是”一个向量空间）。因此，并不总是可以分解 克-不可约的子表示 克-子表示，但仅限于不可分解的表示。在这种情况下 克-可分解为不可约的子表示 克-子表示称为完全可约。

2.2.2. 伴随与共伴随表示

我们可以选择向量空间V（V）我们代表的 克.采取 V（V） = 克，从而表示李代数本身，我们定义了所谓的伴随表示 克, 广告 : 克 ∍ x个 ↦ 广告 ( x个 ) = [ x个 , • ] 克 ∈ 克 我 ( 克 )在其矩阵形式中，我们识别矩阵A类上一小节的规定。我们还看到矩阵集A类我定义伴随表示等价于 克.
我们可以重新编写方程式（4），但现在用伴随表示法。我们得到：
∀ x个 , 年 t吨 ∈ 克 , < 广告 ( x个 ) . 年 , t吨 > + < 年 , 广告 ( x个 ) . t吨 > = 0
因此，声明 克具有双变伪度量的二次型<，>等价于所有自同态ad的要求(x个)是关于<，>的偏对称自同态。回顾矩阵版本方程式（4），这是方程式（6），我们看到求解一个双不变量Z轴相当于找到表示的对称同构Z轴在的伴随表示之间 克，以矩阵形式写成 x个 ↦ A类 ( x个 )以矩阵形式表示为 x个 ↦ 负极 A类 ( x个 ) T型.
如果我们选择表示李代数 克关于对偶向量空间 克 *,即.，我们选择 V（V） = 克 *，我们可以定义共伴随表示 θ : 克 ∍ x个 ↦ θ ( x个 ) ϵ 全球 ( 克 * )，其中<θ(x个).f、 t吨>=<（f），广告(x个).t吨>的（f）∈g*，x、 年∈ 克和<，>用于定义对偶基的内积。如果我们写A类(x个)自同态ad的矩阵(x个),T型(x个)自同态θ的矩阵(x个)和Z轴定义双重基础的内积，前面的定义指出Z轴实际上是共伴随表示之间的表示同构 x个 ↦ T型 ( x个 )以及表示： x个 ↦ A类 ( x个 ) T型.
现在，如果用来定义对偶基的内积<，>是双变量的，通过识别向量空间 克和 克 *，我们可以再次重写方程式（4）得到：
∀ x个 , 年 t吨 ∈ 克 , < 广告 ( x个 ) . 年 , t吨 > + < θ ( x个 ) . 年 , t吨 > = 0
我们得出结论，内积的双方差意味着伴随表示和共伴随表示之间的以下关系：ad=-θ。作为Z轴（表示<，>）是共伴随和表示之间表示的同构 x个 ↦ A类 ( x个 ) T型，我们发现Z轴成为双变量伪测量 克等于Z轴是表示的对称同构 x个 ↦ A类 ( x个 ) T型和 x个 ↦ 负极 A类 ( x个 ) T型.

2.2.3. 代数的一些词汇

伴随表示与 克因此，完全表征了 克因此，它将抽象代数语言和 克.
对于伴随表示ad的特殊情况， 克-子演示是 克，不可约 克-表示是 克和不可分解 克-表示是的理想 克不能分解为理想的直接和 克我们将使用理想或表示的两种语言。
如果伴随表示本身是不可约的但不是一维的， 克据说很简单。如果伴随表示是完全可约的， 克据说是还原性的。如果伴随表示在没有一维子表示的情况下是完全可约的， 克是半简单的。如果伴随表示完全可以用一维子表示约化， 克是阿贝尔的。因此，约化李代数是半单李代数和交换李代数的和（在子表示意义上）。

2.2.4. 一些几何词汇

理想我李代数的B类相对于给定的伪度量，称为各向同性B类如果我和我⊥≠ {0}. 理想我称为完全各向同性，如果我⊂我⊥.两者之间的交叉点我和我⊥表示与其正交的向量，因此范数为零，即使它们本身不为零。
因此，各向同性理想只出现在非度量的伪度量的情况下。根据理论物理提供的直觉，我们可以解释我和我⊥作为光子：它们的质量为零，即使速度不为零。

2.3. 李代数表示的构造

我们已经看到，我们可以通过研究给定李代数的表示，特别是其伴随表示来研究其结构。在这里，我们研究了与二次李代数的特征描述相关的伴随表示的分解：直接和分解和双重扩张分解。我们展示了如何在计算框架中实现这些分解(B类, [,]B类)表示李代数，因为这是我们将在算法核心中使用的符号（参见第4节）。

2.3.1. 直接和的定义

B类=B类1⊕B类B类2是的直接和B类1,B类2如果：
  • B类=B类1⊕B类2就向量空间而言，
  • [B、 B类1]B类⊂B类1和[B、 B类2]B类⊂B类2，正在生成B类1和B类2伴随表示的子表示B类换句话说：理想B类.
这种分解首先由以下人员研究[16]. 我们用矩阵来说明它A类表示伴随表示 b条 ↦ [ b条 , • ] B类属于B类,即.，表示矩阵： b条 ↦ A类 ( b条 ) = [ b条 , • ] B类.的直接和B类等价于将伴随表示分解为B类-表示B类1和B类2 即.,:
A类 ( b条 ) = ( A类 ( b条 1 ) 0 0 A类 ( b条 2 ) )
在尊重的基础上B类=B类1⊕B类B类2注意，我们写了B类要强调的是，这种直接和分解比直接和分解更适合向量空间。

2.3.2. 直接和分解与双变量伪度量

我们拥有以下财产：B类平方等于B类1和B类2是二次的。的确，如果<, >B类1,<, >B类2双变量伪测量开了吗B类1,B类2并用矩阵表示 Z轴 B类 1, Z轴 B类 2，然后：
Z轴 B类 1 ⊕ B类 B类 2 = ( Z轴 B类 1 0 0 Z轴 B类 2 )
双变量打开B类相反，如果<, >B类在上是双不变的B类，其限制<, >B类|B类1和<, >B类|B类2双变量开B类1,B类2[20,21].

2.3.3. 计算直接和

李代数的直接和分解B类到不可分解子表示是唯一的，直到同构。在实践中，写作 B类 B类 = { e（电子） k个 } k个 = 1 昏暗的 ( B类 )基础B类和A类k个=A类(e（电子）k个)，计算的直接和分解B类变成不可分解的B类我的值表示矩阵的同时集团对角化A类k个.

2.3.4. 双重扩展的定义

B类=W公司⊕S公司⊕S公司*是的双重延伸W公司通过一个简单的S公司如果：
  • B类=W公司⊕S公司⊕S公司*就向量空间而言，
  • (W公司, [, ]W公司)是一个李代数[S、 W公司]B类⊂W公司制造W公司一S公司-代表，
  • (S公司, [, ]S公司)是一个简单的李子代数B类: [s、 秒′]B类= [s、 秒′]S公司,
  • S公司*是的双重空间S公司和[S、 S公司*]B类⊂S公司*制造S公司*共伴随表示，
  • ∀宽′∈W: [w、 w个′]B类===========================================================[w、 周′]W公司+ β(w、 w个′）式中β：∧2W公司↦S公司*是a（不对称）
S公司-等变映射，即.，一张通过S公司.
该定义依赖于[21]，或在中[17]在“双延伸”称谓下。在这里，我们可以用表示伴随表示的矩阵来说明它b条↦[b条, •]B类属于B类,即.，表示矩阵：b条↦A类(b条). 双扩张分解等价于以下伴随表示的分解B类:
A类 ( b条 ) = ( [ w个 , • ] W公司 + [ 秒 , • ] B类 [ w个 , • ] B类 0 0 [ 秒 , • ] S公司 0 β ( w个 , • ) [ （f） , • ] B类 [ 秒 , • ] B类 )
在尊重的基础上B类=W公司⊕S公司⊕S公司*和b条=w个+秒+（f）注意，在矩阵块中A类(b条)，我们用相应的矩阵识别了自同态。
双扩展的定义使用了许多不同的符号。首先，我们认识广告(秒) = [秒, •]S公司和广告(w个) = [w个, •]W公司分别是的伴随表示S公司（于S公司)和的伴随表示W公司（于W公司). 然而[秒, •]B类是一个S公司-上的表示W公司这与伴随无关（伴随是李代数本身的表示）。
然后，我们应该小心被操纵的结构。例如，我们可以考虑向量空间S公司*作为的交换李子代数B类然而，我们不能考虑W公司作为的子代数B类斜对称映射β精确地表示相应的障碍物。

2.3.5、。双重可拓分解与双变量伪度量

我们拥有以下财产：B类平方等于W公司是二次的。的确，如果<, >W公司在上是双不变的W公司，由表示Z轴W公司，然后：
Z轴 W公司 ⊕ S公司 ⊕ S公司 * = ( Z轴 W公司 0 0 0 0 我 0 我 0 )
双变量打开B类相反，如果B类是二次的，写为W公司具有S公司简单（或一维），然后限制<, >W公司=<, >B类|W公司是双变量的[20,21]. 注意，我们可以写II块，因为S公司和S公司*被选为彼此的对偶。如果选择了两种不同的基准，则相应的双变量伪测量B类=W公司⊕S公司⊕S公司*将具有以下形式：
Z轴 W公司 ⊕ S公司 ⊕ S公司 * = ( Z轴 W公司 0 0 0 0 我 0 我 T型 0 )
具有我精确表示基的变化的可逆矩阵。更准确地说，通过计算方程式（6）在这最后Z轴W公司⊕S公司⊕S公司*在选择时秒∈S公司，我们证明了这一点我必然是同构的S公司-上的表示S公司和我,即.,我∈HomS公司(S、 S公司*). 该备注将在算法中实际使用（见第4节）。

2.3.6. 计算双扩展

与直接和分解相反，二次李代数的分解B类因为双重扩展不一定是唯一的。例如，给定一个二次不可分解非简单B类，我们可以从B类[21]. 其进展如下。我们采取最低限度的理想我属于B类并考虑我⊥它与双变伪度量正交<, >B类.分解：
B类 = W公司 ⊕ S公司 ⊕ S公司 * 哪里 : W公司 = 我 ⊥ / 我 , S公司 = B类 / 我 ⊥ 和 S公司 * = 我
是的双重扩展W公司具有S公司简单（或一维）。此外，我们可以证明我和我⊥验证以下属性：
  • 我是阿贝尔的，
  • 我⊥是一个最大的理想，
  • 我⊂我⊥（完全各向同性），
  • [一、 我⊥]=0（交换性），
  • 尾标(我⊥)=尺寸(我).
这些必要条件来自[16,20,21].
实际上，在我们的算法中，我们必须从B类为了计算上的双变量伪测量B类，如果存在（参见第4节）。因此，即使我们知道阿贝尔极小理想我属于B类，我们不会有它的正交我⊥上面所示的构造需要：我们不知道任何双变量伪度量，因为我们想构建一个！因此，给定阿贝尔极小理想我，我们将测试所有的理想J型那可能是一个我⊥对于双变量伪测量，即.，所有理想J型验证上述必要条件。
我们在这里表明，只有看似合理的理想才能发挥作用我⊥都是J型=C类B类(我)扶正器我在里面B类在这种情况下C类B类(我)≠B或包含余维1的最大理想我在这种情况下C类B类(我) =B类.
我们已经在上面看到J型成为一名我⊥是它与我: [一、 J型] = 0. 我们记得扶正器C类B类(我)第页，共页我在里面B类定义为一组元素我因此：J型⊂C类B类(我).
似是而非的另一个必要条件J型就是成为一个最大的理想。作为我是一种理想，C类B类(我)也是一种理想。因此，J型是包含在理想中的最大理想C类B类(我)：我们必须J型=C类B类(我)在这种情况下C类B类(我)≠B在这种情况下，条件我⊂J型实现为我是阿贝尔的。最后一个需要检查的条件是codim(C类B类(我))=尺寸(我).
然而，如果C类B类(我) =B类，然后我们将寻找B类然而，在这种情况下，我通勤的所有要素B类，因此，我作为最小理想，必然是一维的。因此，我们应该寻找最大理想J型余维1。加上最后一个必要条件，我们得出以下结论：C类B类(我) =B类，我们将只考虑余维1的最大理想，其中包含我.

3.二次李群的结构

在这里，我们使用上一节中定义的结构来刻画二次李代数的结构。我们首先给出了二次李代数分类定理的一个新形式。然后，我们通过要求双变伪度量而不是双变度量来强调我们添加的李代数。最后，我们研究了如何在一类具有双不变伪度量的李代数上从双不变伪度量变为双不变对偶度量。

3.1. 一个分类定理

为了刻画二次李代数的结构，我们使用了分类定理的重新公式[21]或[17].
定理1（二次李代数的分类）。李代数 克 是二次的当且仅当其伴随表示分解为以下类型的不可分解子表示B时：
  • 类型（1）：B是简单的（或一维的）,
  • 类型（2）：B=WŞSŞS*是二次W乘S的二重扩展（或一维）.
这意味着任何二次李代数都会写 克 = B类 1 ⊕ 克 ⋯ ⊕ 克 B类 N个，其中每个B类为类型（1）或类型（2）。特别是，我们已经得出结论，任何还原剂(强者，半单或阿贝尔）李代数 克是二次的。此外，如果 克是二次的，但不是还原的，那么 克具有不可约不可分解子表示，并且这些必然是类型（2）的双重扩展。
我们记得表示分解的概念来自矩阵的同时对角化。因此，它们取决于基础场 F类：中的李代数约化 R（右）在中具有还原性 C类，但反过来是错误的。因此，二次性也取决于我们考虑的场。上的二次李代数 R（右）将是平方的 C类，但反过来是错误的。

3.1.1. 初等双变量伪度量

二次李代数的结构特征在实践中是有用的。它使人们能够构建一种双变量伪测量<， > 克必然存在于二次曲线上 克我们称这种类型的伪度量为 克.
基本双变量伪测量<, >B类一维李代数B类定义为乘法。基本双变量伪测量<，>B类简单李代数B类定义为Killing形式。现在，让我们递归地定义一般二次型的基本双变量伪度量 克.
让我们得到一个二次李代数 克我们知道辅助双变量伪度量<， > 克（不一定是基本类型）。首先，我们分解 克变成不可分解的子表示 克 = B类 1 ⊕ 克 ⋯ ⊕ 克 B类 N个然后，我们分别研究两种情况：B类类型（1）和B类类型（2）的。
上B类对于类型（1），我们定义了基本的双变量伪度量<, >B类如上：如果B类为一维或Killing形式，如果B类很简单。
上B类对于类型（2），我们构建了一个双扩展。为此，我们考虑一个最小理想我，并使用辅助双变量伪度量<， > 克对于g，我们计算我⊥.我们有双分机B类=W公司⊕S公司⊕S公司*具有W公司=我⊥/我,S公司=提单⊥和S公司* =我.我们构造了一个基本的双变量伪度量<, >W公司在W公司递归地。然后我们定义了一个基本的双变量伪度量<, >B类关于双重扩张B类=W公司⊕S公司⊕S公司*应为以下形式方程式（14）.
最后，我们定义了基本的双变量伪度量<， > 克关于直接和分解 克 = B类 1 ⊕ 克 ⋯ ⊕ 克 B类 N个应为以下形式方程式（12）这种构造定义了（并证明了）二次型上初等双变伪度量的存在性 克.

3.2. 黎曼和伪黎曼二次李群

二次李代数的先前表征可以被细化，以区分相对于具有双不变伪度量的二次李代数允许双不变度量的二次李代数。换句话说，它回答了以下问题：我们通过移除度量的正性来添加哪些李代数？

3.2.1、。研究签名

我们从第2节回忆起 克尺寸的n个有签名(n个, 0). 现在，我们取二次方 克分解成不可分解的碎片 克 = B类 1 ⊕ 克 ⋯ ⊕ 克 B类 N个，其中B类我是简单（或一维）或双重扩展。直接和上的签名是B类我[39]:
sgn公司 克 = sgn公司 B类 1 + … + sgn公司 B类 N个
因此，要求在 克相当于在每个B类的。
如果B类很简单，它具有双变度量当且仅当它是紧的。如果B类是一个双重扩展，双变量伪度量需要一个非正定的形式签名[21]:
sgn公司 B类 = sgn公司 W公司 + ( 米 , 米 )
哪里米是最小理想的维数我用于构建双重扩展。
我们的结论是 克当且仅当其不可分解部分为简单紧或一维时，才允许双变度量，即.，当且仅当 克用紧凑的简单部件简化。

3.2.2. 比较

树木图3和4说明了具有双变度量的李代数与具有双变伪度量的李代数之间的比较。
因此，从黎曼到伪黎曼可以添加一些简单代数，这些简单代数推广了紧代数和双扩张结构（蓝色），并具有黎曼情形中不存在的递归结构。

3.3. 从双变伪度量到双变对偶度量？

我们在这里研究李代数的一个特例，它是从黎曼到伪黎曼得到的：李代数的双重扩张W公司紧单李代数={0}K（K），这是Manin三元组的一个示例（请参见[31,32]). 在本小节中，我们将看到，通过更改基础字段，我们可以将此情况视为黎曼情况 F类（即 R（右）或 C类对我们来说）到它的对偶代数 D类这一发展是一个新的贡献，是对偶四元数的一个理由和扩展东南方（3） 。

3.3.1. 对偶数和向量

给定一个字段 F类，代数 D类此字段上的对偶数的定义为 D类 = F类 + ϵ F类，其中ϵ2=0且ε≠0定义了乘法[44]. 我们可以定义米-维对偶向量空间 D类 米 = F类 米 + ϵ F类 米，其元素是对偶向量。这里请注意，术语“向量”是滥用的，因为向量空间通常定义在域上，而不是代数上。在下面，为了研究对偶向量空间的性质，我们将使用对偶映射：
ψ : F类 米 ⊕ F类 米 ↦ D类 米 x个 0 + x个 ϵ ↦ x个 0 + ϵ x个 ϵ
使用相同的符号ψ用于映射到对偶数或对偶向量。

3.3.2. 来自Double Extension 克 = K（K） ⊕ K（K） *到它的双重 克 ¯ = K（K） + ϵ K（K） *

现在，我们考虑双重扩展 克=K（K）⊕K（K）*，其中K（K）紧凑、简单、暗淡(K（K）) =米，所以 昏暗的 ( 克 ) = 2 米。我们在 克:
Z轴 K（K） ⊕ K（K） * = ( 我 我 我 0 )
作为K（K）和K（K）*有相同的 F类-尺寸米，我们考虑对偶空间 克 ¯ = K（K） + ϵ K（K） *，第页，共页 D类-尺寸米.其双矢量写入 x个 ¯ = x个 0 + ϵ . x个 ∈，其中x个0∈K（K）和x个ϵ∈K（K）*.
提议1.双重地图：
ψ : 克 = K（K） ⊕ K（K） * ↦ 克 ¯ x个 0 + x个 ϵ ↦ x个 0 + ϵ x个 ϵ
是李代数的同构，它尊重和K⊕K（K）*.上的正则内积 克 为双变量，对应于双变量伪度量ZK（K）⊕K（K）*以上.
如下所示。首先，考虑上的Lie括号 克 ¯继承自ψ。我们有：
[ ψ ( x个 ) , ψ ( x个 ′ ) ] = [ x个 0 + ϵ x个 ∈ , x个 ′ 0 + ϵ x个 ′ ∈ ] = [ x个 0 , x个 ′ 0 ] + ϵ ( [ x个 0 , x个 ′ ∈ ] + [ x个 ∈ , x个 ′ 0 ] ) ( 作为 ∈ 2 = 0 ) = ψ ( [ x个 , x个 ′ ] ) ( 双重扩张的定义 )
证明了李代数的同构性。
我们现在显示伪米Z轴K（K）⊕K（K）*关于谎言 F类-代数 克映射到规范度量 Z轴 = 我关于谎言 D类-代数 克 ¯:
ψ ( x个 ) T型 . ψ ( x个 ′ ) = ( x个 0 + ϵ . x个 ∈ ) T型 . ( x个 ′ 0 + ϵ x个 ′ ∈ ) = x个 0 T型 . x个 ′ 0 + ϵ ( x个 ∈ T型 . x个 ′ 0 + x个 0 T型 . x个 ′ ∈ ) = ψ ( x个 T型 . Z轴 K（K） ⊕ K（K） * . x个 ) ( 使用 ψ 对于双编号 )
换句话说，空间 克和 克 ¯是等距的。然而，正如我们回顾的那样，“等长”一词是滥用的 克和 克 ¯不在同一字段上定义，后者在代数上定义。

3.3.3. 关于对偶黎曼流形的统计

我们已经展示了双延伸 克 = K（K） ⊕ K（K） *属于W公司={0}通过一个紧凑的简单K（K）具有双变伪度量，与对偶李代数同构 克使用双变量度量。因此，我们可以考虑将黎曼流形上的统计理论推广到对偶黎曼流型上的统计。然而，空间定义在代数上这一事实可能会导致一些问题。

3.3.4. 一般化？

有人可能会想，我们是否可以将这种结构用于任何一般的双延伸。然而，我们应该注意到，这种结构利用了以下事实K（K）*是完全各向同性和阿贝尔的。元素ϵ，因此ϵ2=0，表示K（K）*（李括号为空）和K（K）*（内积为空）。具有双变伪度量的一般李代数不一定可以分解为两个相同维的子空间，因此其中一个子空间是交换的和各向同性的。例如，以奇维李代数为例。

4.一种计算给定李群上双变量伪度量的算法

我们回到域上任何二次李代数的一般情况 F类 ( F类 = R（右） 或 C类 )在本节中，我们提出了一种算法，用于计算作为输入的李代数上的双变伪度量。
然后，我们展示了如何将该算法推广到计算所有双变量伪度量 克最后，我们将该算法应用于一些已知具有唯一双变均值的李群：我们发现大多数李群都不是二次的。

4.1. 算法：一个双变量伪度量的计算

对于计算，我们将使用矩阵表示Z轴伪度量<，>，其中将指定基础。输入是 B类 克 = { e（电子） 我 } 我 = 1 n个，基础 克和结构常数（f）ijk公司在此基础上。输出是对称可逆矩阵 Z轴 克在此基础上 B类 克，表示基本双变量伪度量，或错误消息：“李代数 克不是二次的”。

4.1.1. 算法的核心

该算法的核心测试作为输入的李代数的结构，以确定它是否与第3节中描述的二次李代数的特征树结构相匹配（见图4). 在遍历树的同时，该算法尝试递归构造一个基本的双变量伪度量<， > 克通过测试所有可能的候选人。如果成功，我们返回双变量基本伪度量，证明 克是二次的。如果不是，我们的结论是 克不是二次的，我们返回错误消息。更准确地说，该算法分为以下四个步骤。
第1步，直接和分解：在这一步中，我们分解 克变成不可分解的B类换句话说：我们分解 克作为以下各项的直接总和B类的。
克 = B类 1 ⊕ 克 … ⊕ 克 B类 N个
此步骤的实现可以在中找到[35].
从现在开始，我们的工作基础是 B类 ′ 克尊重直接金额： 克 = B类 1 ⊕ 克 … ⊕ 克 B类 N个. TheB类的是不可分解李代数；因此，我们可以利用第3节的分类定理1。在以下两个步骤中，我们测试每个步骤是否B类为类型（1）（一维或简单）或类型（2）（双重扩展）。测试类型（1）：在这个步骤中，我们测试不可分解B类属于类型（1），即.，如果B类是一维的或简单的（参见定理1的二分法）。
测试是否B类是一维的，我们显然可以计算B类在基础上 B类 ′ 克.如果B类被发现是一维的，我们返回乘法，这是上的一个初等双不变伪度量B类.
测试是否B类很简单，我们使用一个函数来计算B类[45]. 不可分解的部分B类当且仅当根为空时才简单。这样的函数可以在中找到[36]. 如果B类很简单，我们返回Killing形式，这是一个基本的双变量伪度量。
如果B类既不是一维的，也不是简单的，我们的结论是B类不是类型（1）。我们在以下步骤中测试B类为类型（2）。
步骤3，测试类型（2）：在此步骤中，我们测试B类为类型（2），即.，如果B类是二次型的双重扩展W公司通过一个简单的S公司（见定理1的二分法）。我们记得B类不一定是唯一的。因此，似乎我们需要测试所有可能的候选项，以获得B类，以便回答以下问题B类为类型（2）。我们的做法略有不同。
作为B类不可分解且不属于类型（1）（参见前面的步骤），B类类型（2）等同于B类是二次的。更准确地说，在算法的这一步，以下断言是等价的：
  • B类为类型（2），
  • B类是二次的，
  • ∀我最小值，我阿贝尔，有一个双重扩展分解B类,
  • ∃我最小的，阿贝尔的，这样有一个双重扩展分解B类.
因此，我们只考虑一个最小理想我属于B类并尝试从中构造一个双重扩展，形式如下：B类=W公司⊕S公司⊕我。请注意，此步骤需要递归调用算法，以确定W公司在双可拓结构中是否为二次型。此步骤的详细信息如下。
步骤3.a：首先，我们计算一个最小理想我更准确地说，回顾第2节双延伸结构的必要条件，我们计算我一个阿贝尔极小理想，也是一个极小阿贝尔理想。找到最小阿贝尔理想的函数B类可以从以下算法中导出[46]计算所有阿贝尔理想B类：我们可以从中选择一个最小尺寸的。
步骤3.b：然后，我们计算C类B类(我)，最大理想J型的双扩展结构及其对应的候选项B类.计算C类B类(我)在中实现[47].
如果C类B类(我)≠B，我们采取J型=C类B类(我)并验证条件codim(J型)=尺寸(我). 如果条件不满足，则不可能有双重扩展结构B类因此，我们认为B类不是类型（2）。
如果C类B类(我) =B类，我们计算最大理想J型属于B类余维1包含我（见第2节）。如果没有找到这样的理想，就不可能有双重扩展结构B类在这种情况下，我们再次得出结论B类不是类型（2）。
如果J型找到的，则计算相应的双扩展候选B类，每个J型，作为：
B类 = W公司 ⊕ S公司 ⊕ S公司 * 哪里： W公司 = J型 / 我 , S公司 = B类 / J型 和 : S公司 * = 我 .
我们在上递归调用该算法W公司,即.，我们递归地确定W公司是二次的。如果没有二次扩展候选W公司，我们得出结论B类不是类型（2）。否则，我们将保留具有二次型的双扩展候选W公司（使用基本双变量伪测量Z轴W公司).
步骤3.c：然后，我们尝试为以下形式的所有双扩展候选者计算一个初等伪度量：B类=W公司⊕S公司⊕S公司*，其中W公司=J/I公司为二次型，对应Z轴W公司,S公司=B/J公司和S公司* =我给定一个双延拓候选者，我们从第2节知道B类具有以下形式：
Z轴 B类 = W公司 ⊕ S公司 ⊕ 我 = ( Z轴 W公司 0 0 0 0 我 0 我 T型 0 )
哪里我∈HomS公司(S、 我).
因此，我们需要计算HomS公司(S、 我). 我们记得S公司简单；因此，它的伴随表示是不可约的。正如我们在有限维不可约表示的情况下一样，我们可以应用Schur引理。它的一般形式表明HomS公司(S、 S公司)是上的结合除法代数 F类 ( = R（右） 哦 第页 C类 )，这是有限度的，因为S公司是有限维的[48]. 当基本字段为 F类 = C类，我们使用了这样一个事实，即代数闭域上的有限维除代数必然是其自身。因此， 霍姆 S公司 ( S公司 , S公司 ) = C类和 昏暗的 C类 ( 霍姆 S公司 ( S公司 , S公司 ) ) = 1。当基本字段为 F类 = R（右），我们使用Frobenius定理，该定理断言唯一的实结合除代数是 R（右）, C类或 H（H），四元数域[49]. 因此，霍姆S公司(S、 S公司)是 R（右）, C类或 H（H）、和暗淡R（右）（霍姆S公司(S、 S公司))是1、2或4。现在，如果我和S公司是同构的，霍姆S公司(S、 我)与Hom同构S公司(S、 秒)因此，最大维数为4 F类。否则，如果我和S公司不是同构的，我们有HomS公司(S、 我) = {0}.
Hom的计算S公司(S、 我)在中实现[50]更一般地，对于有限生成代数的任何有限维模块。
步骤3.d：为了结束步骤3，我们确定上面计算的一个可能的基本伪度量是否是双变量的。为此，我们插入Z轴B=W⊕S公司⊕我进入之内方程式（7）并解决它我因此方程式（7）已简化为最多一个（复杂情况）或四个（实际情况）参数的方程。
我们为每个双扩展候选运行此步骤。如果一个双变量基本伪度量Z轴B类在其中一个候选人身上发现，我们返回Z轴B类否则，我们的结论是B类不是类型（2）。
步骤4，构建一个整体上的双变量伪测量 克：在这一步中，我们在 克，如果存在。如果有一个B类直接和分解 克 = B类 1 ⊕ 克 … ⊕ 克 B类 N个既不是类型（1），也不是类型（2），我们从定理1得出结论： 克不是二次的。我们返回错误消息。否则，我们将基本的双变量伪度量粘在一起Z轴B类已在B类的。
更准确地说，我们按照第2节的构造来构建基本的双变量伪度量 Z轴 ′ 克在此基础上 B类 ′ 克属于 克遵循直接和分解：
Z轴 克 = B类 1 ⊕ 克 … ⊕ 克 B类 N个 = ( Z轴 B类 1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 Z轴 B类 N个 )
最后，我们从 B类 ′ 克到 B类 克以便返回 Z轴 克，一个基于作为输入的李代数的基本双变伪度量。

4.1.2. 算法的树结构

该算法具有自然树结构，如图5.双变量伪测量 Z轴 克以后缀方式计算。树级对应于伴随表示的约简：约简 克进入之内B类是第一级W公司进入B类这是给其他人的。破折号中的箭头表示我们调查的案例，以测试 克是二次的。如果B类那就不在这种情况下了B类不是二次的，所以也不是 克，然后退出算法。
在伪代码中，算法编写如下。
表
算法1。双变量伪测量的计算 克.
算法1。双变量伪测量的计算 克.
熵17 01850f9
这给出了李代数上的双变伪度量 克。然后我们可以在李群上使其成为双变量伪度量 G公司通过传播DL公司克(e（电子）)（或博士克(e（电子）))关于所有切线空间 T型 克 G公司（见第2节）。
总之，该算法允许计算 克,即.，二次空间的一个可逆元 问 ( 克 )我们可以推广该算法，以便计算 克，因此整个二次空间 问 ( 克 )这是下一小节的目的。

4.2. 算法的推广：所有双变量伪度量的计算

在这里，我们将介绍如何继续计算给定李代数的所有双变伪度量 克,即.，整个二次空间 问 ( 克 )。请注意 问 ( 克 )在一般情况下是未知的[30]. 然而，算法程序允许计算空间。
我们遵循前面算法的策略：我们分解 克变成不可分解的B类的；我们计算二次空间 问 ( B类 )然后将这些空间粘合在一起 问 ( 克 ).

4.2.1. 不可分解李代数的二次空间的计算

在这一步中，我们计算所有不可分解块的二次空间B类的 克简单（或一维）和双重扩展。
一维块的二次空间B类是加权乘法，所以整个基字段 F类:
问 ( B类 ) = { Z轴 B类 = α 我 | ∀ α ϵ F类 } = F类
简单块的二次空间B类是Killing形式跨越的向量空间。
问 ( B类 ) = { Z轴 B类 = α Z轴 谋杀 | ∀ α ϵ F类 }
双扩张的二次空间B类=W公司⊕S公司⊕S公司*，其中的基础S公司和S公司*是选择的对偶，由以下公式给出：
问 ( B类 ) = { Z轴 B类 = ( Z轴 W公司 M（M） N个 M（M） T型 α Z轴 K（K） 我 我 我 我 n个 克 β 我 N个 T型 β 我 ( 0 ) ) | ∀ α , β ϵ F类 , ∀ Z轴 W公司 ∈ 问 ( W公司 ) , ∀ M（M） , N个 导出的方程的解 ( 7 ) }
我们把推导出的方程式的计算留给读者方程式（7）那个M（M）和N个正在解决。由于降维，这些方程可以在许多有趣的情况下求解。在我们计算下一小节中选定的李群时，N个和N个例如，是向量或标量。

4.2.2。计算直和的二次空间

第二步是计算直接和的二次空间 克 = B类 1 ⊕ 克 … ⊕ 克 B类 N个给定其每个不可分解部分的二次空间B类我。这提供了：
问 ( 克 ) = { Z轴 克 ∈ sym（对称） ( n个 ) | s.t.用于 我 ∈ { 1 , .. N个 } ( 块索引 ) : Z轴 克 我 我 = Z轴 B类 我 ∈ 问 ( B类 我 ) Z轴 克 我 j个 = M（M） 我 j个 如果 我 < j个 如果 我 = j个 }
哪里M（M）伊吉是一个矩阵，用于求解以下方程，从方程（7）:
A类 ( b条 我 ) T型 . M（M） 我 j个 + M（M） 我 j个 . A类 ( b条 j个 ) = 0 ∀ b条 我 ∈ B类 我 , ∀ b条 j个 ∈ B类 j个
总之，计算给定的所有双变量伪度量的问题 克相当于低维代数方程数量的减少。

4.3. 关于选定李群的算法结果

我们手动运行我们的算法，以确定在某些具有局部唯一双变量均值的真实李群上是否存在双变量伪度量：东南方(n个),装货单(n个),H（H）和美国犹他州(n个)，用于 n个 ∈ N个 *[2].
我们手动运行计算，并通过算法树对每个示例进行相应的说明。结果表明，这些李群大多不是二次的。

4.3.1. 缩放和平移装货单(n个)

Lie组装货单(n个)包括统一缩放和平移 R（右） n个.它是半直接产品 R（右） + * ∝ R（右） n个，其元素正在写入(λ、 t吨). 更准确地说，装货单(n个)由其在上的操作定义 R（右） n个 : ( λ , t吨 ) . x个 = λ . x个 + t吨.群律和群逆写成如下：(λ1,t吨1) * (λ2,t吨2) = (λ1.λ2,λ1*t吨2+t吨1)和(λ、 t吨)(−1)= (1/λ、 −t/λ).
李代数 标准 ( n个 )包括 ( μ , u个 ) ∈ R（右） ⊕ R（右） n个带Lie支架：
[ ( μ 1 , u个 1 ) , ( μ 2 , u个 2 ) ] = ( 0 , μ 2 . u个 1 负极 μ 1 . u个 2 ) .
输入：我们选择基础 ( D类 , { P（P） 一 } 一 = 1 n个 )定义为：D类=（1,0）和P（P）一= (0,e（电子）一)带有 ( e（电子） 一 ) 一 = 1 n个的规范基础 R（右） n个在此基础上，结构常数可以在以下李括号中读取：
[ P（P） 一 , P（P） b条 ] = 0 , [ D类 , P（P） 一 ] = P（P） 一 , [ D类 , D类 ] = 0
步骤1：从上述李括号的表达式中，我们可以计算 标准 ( n个 )手动查找：范围(P（P）1)，…，跨度(P（P）n个)以及它们的线性组合。我们注意到，没有理想的包容D类因此， 标准 ( n个 )不能写成理想的直接和，即., 标准 ( n个 )是不可分解的。
步骤2：首先，作为 n个 ∈ N个 *，我们有 dim（标准 ( n个 ) ) > 1因此， 标准 ( n个 )不是一维的。然后，作为跨度(P（P）1)例如，是一种理想的， 标准 ( n个 )这并不简单。我们的结论是 标准 ( n个 )不是类型（1）。
第三步：我们采取我=跨度(P（P）1)，这显然是一个极小阿贝尔理想。从李括号给出的对易关系中，我们可以看到 C类 标准 ( n个 ) ( 我 ) = S公司 第页 一 n个 ( { P（P） 一 } 一 = 1 n个 )，我们在案件中 C类 标准 ( n个 ) ( 我 ) ≠ 标准 ( n个 )。因此，只有一个双扩展候选者 J型 = C类 标准 ( n个 ) ( 我 )。我们定义 S公司 = 标准 ( n个 ) / J型 = 跨度 ( D类 )和W公司=J/I公司=跨度(P（P）2,..P（P）n个). 我们在上递归调用该算法W公司，它分解为一维理想，我们在其上返回乘法。
这个S公司-上的表示S公司为空表示：[D、 D类] = 0. 这个S公司-上的表示我是平凡表示：[D、 P（P）1] =P（P）1因此，我和S公司不是同构的S公司-陈述和HomS公司(S、 我)为零。我们的结论是 标准 ( n个 )不是类型（2）。
输出：我们发现 标准 ( n个 )是不可分解的，既不是类型（1）也不是类型（2）。因此， 标准 ( n个 )不是二次的：不存在双变量伪度量 标准 ( n个 ).
这一推理在图6通过树表示算法。

4.3.2. 海森堡集团H

海森堡集团H（H）包含3D上三角矩阵M（M）形式：
M（M） = ( 1 x个 z（z） 0 1 年 0 0 1 ) .
因此，这个组的一个元素可以写成 ( x个 , 年 , z（z） ) ϵ R（右） 三，具有相应的群律(x个1,年1,z（z）1) * (x个2,年2,z（z）2) = (x个1+x个2,年1+年2,z（z）1+z（z）2+x个1 *年2)和群反转(x、 y，z)(−1)= (−x、−y、−z+xy公司).
李代数 小时包含幂零矩阵：
N个 = ( 0 第页 c（c） 0 0 q个 0 0 0 ) .
输入：基础 小时就是这样(P、 Q、C)带有清晰的符号。在此基础上，可以在以下李括号中读取结构常数：
[ C类 , P（P） ] = 0 , [ C类 , 问 ] = 0 , [ P（P） , 问 ] = C类 .
步骤1：从上述李括号的表达式中，我们可以计算 小时手动，我们发现：跨度(C类)，跨度(C、 P（P）)和跨度(C、 问). 我们注意到，没有一个理想的补充也是一个理想。因此， 小时是不可分解的。
第二步： 小时显然不是一维的。此外，作为跨度(C类)例如，是一种理想， 小时这并不简单。我们的结论是 小时不是类型（1）。
第三步：我们采取我=跨度(C类)，它是的最小阿贝尔理想 小时根据李括号给出的对易关系，我们计算了我我们看到我们在案件中 C类 小时 ( 我 ) = 小时因此，我们考虑h的所有余维1的极大理想，其中包含我.我们得到J型=跨度(C、 对)或J型=跨度(C、 问); 因此，我们有两个双重扩展候选。通过对称P（P）↔ 问（见结构常数），我们可以考虑J型=跨度(C、 P（P）)只是，不失一般性。我们定义 S公司 = 小时 / J型 = 跨度 ( 问 )和W公司=J/I公司=跨度(P（P）). 我们在上递归调用该算法W公司.作为W公司是一维的，W公司是二次的，我们返回Z轴W公司= 1.
这个S公司-上的表示S公司由括号给出[Q、 问]=0：它是空表示。这个S公司-上的表示我由括号给出[Q、 C类]=0：它也是空表示。向量空间的同构我那张地图C类在问是表示的同构，其矩阵形式是我们基础中的同一性。Hom的维度S公司(S、 我)显然是一个。
因此，我们插入：
Z轴 W公司 ⊕ S公司 ⊕ 我 = ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 )
进入之内方程式（6）以确定它是否为双变量。计算表明并非如此。我们的结论是 小时不是类型（2）。
输出：我们发现 小时是不可分解的，既不是类型（1）也不是类型（2）。因此， 小时不是二次的：不存在双变量伪度量 小时.
我们在一般海森堡代数上尝试该算法 小时 2 米 + 1，由基础抽象定义 { C类 , { P（P） 我 } 我 = 1 米 , { 问 j个 } j个 = 1 米 }和Lie括号：
[ C类 , P（P） 我 ] = 0 , [ C类 , 问 j个 ] = 0 , [ P（P） 我 , 问 j个 ] = δ 我 j个
其中δ是Kronecker符号。我们的情况与 小时，除了那个W公司是阿贝尔（但不一定是一维的）。因此我们分解W公司到阿贝尔一维理想中，我们返回以下基本双变伪度量：
Z轴 W公司 = ( 1 0 0 0 ⋱ 0 0 0 1 ) .
然而，我们像以前一样退出了算法。因此，该算法证实了 小时 2 米 + 1没有双变量伪测量[20].
这一推理在图7通过树表示算法。

4.3.3. 标度上酉矩阵群美国犹他州(n个)

小组美国犹他州(n个)包含上三角矩阵M（M）形式：M（M）=λ.身份证件+N个，其中λ>0和N个上三角幂零矩阵。
李代数 美国犹他州 ( n个 )由以下形式的矩阵组成X（X）= μ.身份证件+Y（Y），其中 μ ∈ R（右）和Y（Y）上三角幂零矩阵，李括号是矩阵的交换子。
现在， 美国犹他州 ( n个 )可分解为由II和海森堡代数生成的一维李代数 小时由于h没有双不变伪度量，因此也没有 美国犹他州 ( n个 ).
这一推理在图7通过树表示算法。

4.3.4. 刚体变换东南方(n个)

等角线组东南方(n个)包括旋转和平移 R（右） n个.它是半直接产品 S公司 O（运行） ( n个 ) ⑪ R（右） n个，其元素正在写入(R、 t吨). 更准确地说，东南方(n个)由其在上的操作定义 R（右） n个作为(R、 t吨).x个=钢筋混凝土+t吨.群律和群逆是(R（右）1,t吨1) * (R（右）2,t吨2) = (R（右）1.R（右）2,R（右）1*t吨2+t吨1)和(R、 t吨)(−1)= (R（右）(−1),R（右）(−1)(−吨)).
李代数 东南方(n个)包括 ( A类 , u个 ) ∈ S公司 k个 e（电子） w个 ( n个 ) ⊕ R（右） n个带Lie支架：
[ ( A类 1 , u个 1 ) , ( A类 2 , u个 2 ) ] = ( A类 1 . A类 2 负极 A类 2 A类 1 , A类 1 . u个 2 负极 A类 2 . u个 1 )
输入：我们选择的依据： ( { J型 我 j个 } 1 ≤ 我 < j个 ≤ n个 , { P（P） 一 } 一 = 1 n个 )具有 J型 我 j个 = e（电子） 我 . e（电子） . , j个 T型 负极 e（电子） j个 . e（电子） 我 T型和 { P（P） 一 } 一 = 1 n个的规范基础 R（右） n个在此基础上，结构常数可以在以下李括号中读取：
[ J型 我 j个 , J型 k个 我 ] = δ 我 k个 . J型 j个 我 负极 δ j个 k个 . J型 我 我 + δ j个 我 . J型 我 k个 负极 δ j个 我 . J型 j个 k个 , [ J型 我 j个 , P（P） 一 ] = δ 一 j个 . P（P） 我 负极 δ 一 我 . P（P） j个 , [ P（P） 一 , P（P） b条 ] = 0 ,
带有δKronecker符号。
作为初步准备，我们表明 P（P） = 跨度 ( { P（P） 一 } 一 = 1 n个 )是唯一合适的理想 东南方(n个). 首先，我们从李括号中看到P（P）是正确的理想 东南方(n个). 假设 东南方(n个)有另一个合适的理想K（K）。然后，要么钾磷是一个恰当的理想 东南方(n个)包含在P（P）或K（K）⊂ 所以(n个)是正确的理想 东南方(n个).P（P）不包含任何适当的理想 东南方(n个)，因为 所以(n个)以传递方式作用于P（P）使用Lie括号。我们可以证明 所以(n个)不包含任何适当的理想 东南方(n个)（独立考虑案件n个= 4). 因此，P（P）是唯一合适的理想 东南方(n个).
第一步：李代数 东南方(n个)只有一个理想P（P）因此， 东南方(n个)不能分解为理想的直接和。我们的结论是 东南方(n个)是不可分解的。
步骤2：如果n个= 1, 东南方（1） 显然是一维的。我们返回乘法，这是上的双变量伪度量 东南方(1). 否则，dim（se(n个)) > 1. 作为P（P）是的理想 东南方(n个), 东南方(n个)这并不简单。我们的结论是 东南方（1） 是二次的，乘法是双变量伪度量 东南方(n个)带有n个>1不是类型（1）。我们继续n个> 1.
第三步：我们采取我=P（P）和J型=C类硒(n个)(我) =P（P）=我.必要条件codim(J型)=尺寸(我)仅针对验证n个= 3. 我们的结论是 东南方(n个)不是类型（2），如果n个≠3。我们继续n个= 3. 我们计算S公司= 东南方(3)/P（P）∼ 所以（3） 和W公司=市盈率= {0}.
为了研究S公司-表示，我们将李括号写成：
[ J型 米 , J型 n个 ] = ∈ 米 n个 第页 ⋅ J型 第页 , [ J型 米 , P（P） 一 ] = ∈ 米 一 第页 ⋅ P（P） 第页 , [ P（P） 一 , P（P） b条 ] = 0
我们在哪里定义J型1=J型23,J型2=J型31和J型三=J型12. TheS公司-上的表示S公司是伴随表示：[J型米、Jn个] =锰磷.J（日本）第页. TheS公司-上的表示我=P（P）由以下人员提供：[J型米，P一] =地图.P型第页它也是伴随表示。向量空间的同构我映射每个P（P）一在J型一是表示的同构，其矩阵形式是我们基础中的恒等式。
因此，我们写道Z轴se（3）关于分解S公司⊕我= 所以(3) ⊕P（P）有基础 ( { J型 一 } 一 = 1 三 , { P（P） 一 } 一 = 1 三 )并获得：
Z轴 东南方 ( 三 ) = ( 0 我 三 我 三 0 ) .
我们将其插入方程式（7）。运行计算表明Z轴se（3）双变量打开 东南方(3).Z轴se（3）实际上被称为克莱因形式[51].
输出： 东南方（1） 是二次的；我们返回乘法，这是上的双不变伪度量 东南方（1） 。 东南方（3） 是二次的；我们返回Klein形式，它是一个双变量伪度量 东南方(3). 否则， 东南方(n个)是不可分解的，既不是类型（1）也不是类型（2）：它不是二次的。
这一推理在图8通过树表示算法。
我们可以建立整个二次空间 东南方（3） 。这给出了二维向量空间：
问 ( 东南方 ( 三 ) ) = { ( α Z轴 谋杀 β . 我 β . 我 0 ) | ∀ α , β ϵ F类 }
此外，我们在 东南方（3） 双延拓的特例K（K）⊕K（K）*第页，共页W公司紧李代数={0}K（K）= 所以(3). 因此，第3节中提出的双重结构可以在实践中使用。我们记得，我们可以表示SO公司（3） 作为单位四元数。因此，我们可以表示东南方（3） 作为单位的对偶四元数[52]. 因此，将黎曼统计理论推广到对偶黎曼统计的理论，将有助于许多不同领域中的刚体变换。

5.结论

在本文中，我们提出了一种算法来计算李群上存在的双变伪度量。该方法允许同时测试作为输入的李群是否为二次型。我们说明了如何计算给定李群上的双变伪度量的所有pf。首先，算法本身代表了对计算李代数领域的贡献。
然后，关于李群的统计数据，这是我们最初的动机，我们看到了本文的两个结果。首先，它使人们能够从实用的角度区分李群，未来的伪黎曼统计理论可以在李群上使用和实现。这是一个案例东南方（3） 三维空间的李群旋转和平移，在各个领域都有发现。
其次，本文证明了具有双变均值的一般李群不允许双变度量。因此，如果想定义一个适用于所有李群的一般统计理论，就需要找到一个超越黎曼和伪黎曼的几何框架。

致谢

这项工作得到了INRIA-CORD（INRIA博士学位授予合同）奖学金的支持。作者感谢审稿人的评论，他们的评论大大改进了手稿。

作者贡献

泽维尔·佩内克（Xavier Pennec）考虑使用伪黎曼框架对李群进行一致统计。在此背景下，Xavier Pennec建议对二次李群类进行初步研究，同时强调需要有效的收据来识别它们。尼娜·米奥兰对二次李群的特征进行了理论代数研究。尼娜·米奥兰（Nina Miolane）编写了识别它们的算法，并对感兴趣的李群进行了测试。两位作者都已阅读并批准了最终手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

  1. 汤普森，D.W。；J.T.邦纳。论生长与形态; 剑桥大学出版社：英国剑桥，1992年。[谷歌学者]
  2. 佩内克，X。；经典Cartan联系的指数重心和李群的不变平均。在矩阵信息几何; 施普林格：美国纽约州纽约市，2012年；第123-168页。[谷歌学者]
  3. 弗里切特，M。L'intégrale abstraite d'une功能abstraite d'une变量abstraite et son应用程序a la moyenne d'unéLément aléatoire de nature quelconque; 《科学评论》：法国巴黎，1944年。[谷歌学者]
  4. 弗雷切特，M.Leséléments aléatoires de nature quelconque dans un espace distancie。亨利·彭加莱学院年鉴 1948,10, 215–310. [谷歌学者]
  5. Karcher，H.黎曼质心和柔化平滑。Commun公司。纯应用程序。数学。 1977,30, 509–541. [谷歌学者]
  6. Kendall，W.S.概率、凸性和小图像调和映射I：唯一性和精细存在性。程序。伦敦。数学。Soc公司。 1990,第3-61页, 371–406. [谷歌学者]
  7. 埃梅里，M。；Mokobodzki，G.Sur le重心“une probabilityédans une varitété。斯特拉斯堡概率标准 1991,25, 220–233. [谷歌学者]
  8. 科尔库拉，J.M。；Kendall，W.S.黎曼重心和测地凸性。数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc公司。 1998,127, 253–269. [谷歌学者]
  9. Huiling，L.黎曼重心的估计。LMS J.计算。数学。 2004,7, 193–200. [谷歌学者]
  10. Yang，L.Riemannian中值及其估计。LMS J.计算。数学。 2010,13, 461–479. [谷歌学者]
  11. 阿夫萨里，B.黎曼我第页质心：存在性、唯一性和凸性。程序。美国数学。Soc公司。 2011,139, 655–673. [谷歌学者]
  12. 斯腾伯格。微分几何讲义; 普伦蒂斯·霍尔数学系列；普伦蒂斯·霍尔：恩格尔伍德悬崖，新泽西州，美国，1964年。[谷歌学者]
  13. Cartan，E。Finis et Continuous变换群的结构第2版。；维伯特：法国巴黎，1933年；第157页[谷歌学者]
  14. 左，S.T。；沃克，A.G.XIX。可测李群与代数。程序。R.Soc.爱丁堡。第节。数学。物理学。科学。 1957,64, 290–304. [谷歌学者]
  15. 邹，S.T.XI。关于可测李代数的构造。程序。R.Soc.爱丁堡。第节。数学。物理学。科学。 1962,66, 116–127. [谷歌学者]
  16. Astrakhantsev，V.V.可度量李代数的可分解性。功能。分析。申请。 1978,12, 210–212. [谷歌学者]
  17. Keith，V.关于有限维李代数上的不变双线性形式。1984年，美国洛杉矶新奥尔良杜兰大学博士论文。[谷歌学者]
  18. 麦地那，A。；雷沃（Revoy），P.莱斯（P.Les），群发振荡者和勒乌斯（leurs reseux）。马努斯克。数学。 1985,52, 81–95. [谷歌学者]
  19. 肠，A.K。；Levichev，A.V.《相对论基础》。Doklady Akademii Nauk SSSR公司 1984,277, 1299–1303. [谷歌学者]
  20. Medina，A.Riemann双变量伪货币团体。最小Sémin。1981年至1982年，蒙彼利埃1982年，实验637页（1982） 1982. [谷歌学者]
  21. 麦地那，A。；Revoy，P.Algèbres de Lie et produit scalaire不变量。法国国家科学院年鉴 1985,18, 553–561. [谷歌学者]
  22. 霍夫曼，K.H。；Keith，V.S.有限维李代数上的不变二次型。牛市。澳大利亚。数学。Soc公司。 1986,33, 21–36. [谷歌学者]
  23. Bordemann，M.非结合代数上的非退化不变双线性形式。亚美尼亚大学数学学报 1997,66，151–201。[谷歌学者]
  24. 法夫尔，G。；Santharoubane，L.李代数上的对称、不变、非退化双线性形式。J.代数 1987,105, 451–464. [谷歌学者]
  25. Campoamor-Stursberg，R.拟经典李代数及其压缩。国际J.Theor。物理学。 2008,47, 583–598. [谷歌学者]
  26. Benayadi，S。；Elduque，A.低维二次李代数的分类。数学杂志。物理学。 2014,55, 081703. [谷歌学者]
  27. Hilgert，J。；Hofmann，K.实李代数中的洛伦兹锥。莫纳什。数学。 1985,100, 183–210. [谷歌学者]
  28. 凯丝，I。；Olbrich，M.具有最大各向同性中心的度量李代数。数学。Z.公司。 2004,246, 23–53. [谷歌学者]
  29. 凯丝，I。；Olbrich，M.度量李代数和二次扩张。转换。组 2006,11, 87–131. [谷歌学者]
  30. Duong，M.T.二次李代数和二次李超代数的一个新不变量。2011年，法国第戎布尔戈涅大学博士论文。[谷歌学者]
  31. V.G.Drinfeld。量子群; 美国数学学会：普罗维登斯，RI，美国，1987年；第798-820页。[谷歌学者]
  32. Belavin，A。；三角方程和简单李代数。在数学。物理学。版次。; 哈伍德学院：纽瓦克，新泽西州，美国，1998年；第4卷。[谷歌学者]
  33. Delorme，P.《三元组的分类》（Classification des triples de Manin pour les algebres de Lie reductives complexscripts）：Avec un appendix de Guillaume Macey。J.代数 2001,246, 97–174. [谷歌学者]
  34. Rand，D.{PASCAL}识别李代数的程序：第1部分。Radical-计算无参数和参数相关李代数的根和零根的程序。计算。物理学。Commun公司。 1986,41, 105–125. [谷歌学者]
  35. 兰德·D。；温特尼茨，P。；Zassenhaus，H.关于由结构常数给出的李代数的识别。直接分解、levi分解和幂零根。线性代数应用。 1988,109，197–246页。[谷歌学者]
  36. 科恩，A.M。；格拉夫，W.A.D。；Rónyai，L.有限维李代数中的计算。谨慎。数学。西奥。计算。科学。 1997,1, 129–138. [谷歌学者]
  37. Ronyai，L。；伊万约斯，G。；Küronya，A。；de Graaf，W.A.计算李代数中的Levi分解。申请。代数工程通讯。计算。 1997,8, 291–303. [谷歌学者]
  38. 德格拉夫，W。李代数：理论与算法; 北荷兰数学图书馆；爱思唯尔：荷兰阿姆斯特丹，2000年。[谷歌学者]
  39. M·波斯特尼科夫。几何VI：黎曼几何; 数学科学百科全书；施普林格：美国纽约州纽约市，2001年。[谷歌学者]
  40. 北卡罗来纳州布尔巴吉。李群与李代数; 施普林格：巴黎，法国，1989年；第1-3章。[谷歌学者]
  41. Milnor，J.李群上左不变度量的曲率。高级数学。 1976,21, 293–329. [谷歌学者]
  42. Bartels，R.H。；Stewart，G.W.矩阵方程AX+XB=C[F4]的解。Commun公司。ACM公司 1972,15, 820–826. [谷歌学者]
  43. Kitagawa，G.求解矩阵方程X=FXF T+S的算法。国际J.控制 1977,25, 745–753. [谷歌学者]
  44. Grünwald，J.über duale Zahlen und ihre Anwendung，《几何学》。莫纳什。数学。物理学。 1906,17, 81–136. [谷歌学者]
  45. 李维，E。Sulla struttura dei gruppi finiti e continui公司; 都灵科学学院：意大利都灵，1905年；第40卷，第551-565页。[谷歌学者]
  46. 塞巴洛斯，M。；努涅斯，J。；Tenorio，A.F.获得李代数中阿贝尔子代数和理想的算法方法。国际期刊计算。数学。 2012,89, 1388–1411. [谷歌学者]
  47. Motsak，O。非交换多项式代数中中心元素和元素集的中心化子的计算。德国凯泽斯劳滕技术大学博士论文，2006年。[谷歌学者]
  48. 舒尔，I。Gruppencharaktere理论新开端; 柏林：德国柏林，1905年；第406-432页。[谷歌学者]
  49. Frobenius，G.Ueber lineare Substitutionen和双线性Formen。J.Reine Angew。数学。 1877,87, 1–63. [谷歌学者]
  50. Brooksbank，P.A.公司。；Luks，E.M.测试模块的同构。J.代数 2008,320, 4020–4029. [谷歌学者]
  51. Karger，A。；约瑟夫，N。空间运动学与李群; 戈登和布雷奇科学出版社：纽约，纽约，美国，1985年；翻译：Prostorovákinematika a Liehovy grupy。[谷歌学者]
  52. Kenwright，B.《双四元数入门指南：它们是什么、如何工作以及如何将它们用于3D字符层次结构》，《第20届计算机图形、可视化和计算机视觉国际会议论文集》，捷克普尔赞，2012年6月25日至28日；第1-13页。
熵17 01850f1 1024
图1。数据集的左右转换 { 克 我 } 我 = 1 N个关于Lie群G公司.初始数据集 { 克 我 } 我 = 1 N个有一个以红色表示的平均值。左侧转换的数据集 { 小时 * 克 我 } 我 = 1 N个平均值用蓝色表示。正确转换的数据集 { 克 我 * 小时 } 我 = 1 N个以绿色表示平均值。我们要求（右或左）转换数据集的平均值是红色平均值的转换，在本例中就是这样：蓝色平均值是红平均值的左转换，绿色平均值是红平均值的右转换。
图1。数据集的左右转换 { 克 我 } 我 = 1 N个关于Lie群G公司.初始数据集 { 克 我 } 我 = 1 N个有一个以红色表示的平均值。左侧转换的数据集 { 小时 * 克 我 } 我 = 1 N个平均值用蓝色表示。正确转换的数据集 { 克 我 * 小时 } 我 = 1 N个以绿色表示平均值。我们要求（右或左）翻译数据集的平均值是红色平均值的翻译，这就是本图中的情况：蓝色平均值是红色平均值的左翻译，绿色平均值是红色平均值的右翻译。
熵17 01850f1
熵17 01850f2 1024
图2。代数和几何结构。如果我们需要流形上相容的代数和几何结构，我们得到一个二次李群：一个具有双变伪度量的李群。
图2。代数和几何结构。如果我们需要流形上相容的代数和几何结构，我们得到一个二次李群：一个具有双变伪度量的李群。
熵17 01850f2
熵17 01850f3 1024
图3。具有双变度量的李代数的结构。
图3。具有双变度量的李代数的结构。
熵17 01850f3
熵17 01850f4 1024
图4。具有双变伪度量的李代数的结构。
图4。具有双变伪度量的李代数的结构。
熵17 01850f4
熵17 01850f5 1024
图5。算法的树结构。
图5。算法的树结构。
熵17 01850f5
熵17 01850f6 1024
图6。的示意结果装货单(n个). 我们在顶层看到 标准 ( n个 )是不可分解的（它分解成自身）。我们从底层看到 标准 ( n个 )既不是一维，也不是简单的，也不是双重扩展，因此，我们退出算法： 标准 ( n个 )不是二次的。
图6。的示意结果装货单(n个). 我们在顶层看到 标准 ( n个 )是不可分解的（它分解成自身）。我们从底层看到 标准 ( n个 )既不是一维，也不是简单的，也不是双重扩展，因此，我们退出算法： 标准 ( n个 )不是二次的。
熵17 01850f6
熵17 01850f7 1024
图7。的示意结果H（H）和美国犹他州(n个). 顶层表示直接和分解步骤。因此， 小时不可分解，并且 美国犹他州 ( n个 )分解成 d日和 小时。的底层 小时表示 小时既不是一维，也不是简单的，也不是双重扩展，因此，我们退出算法： 小时不是二次的。的底部级别 美国犹他州 ( n个 )表示 d日是一维的，因此是二次的，但是 小时不是二次的： 美国犹他州 ( n个 )不是二次的。
图7。的示意图结果H（H）和美国犹他州(n个). 顶层表示直接和分解步骤。因此， 小时不可分解，并且 美国犹他州 ( n个 )分解成 d日和 小时。的底部标高 小时表示 小时既不是一维，也不是简单的，也不是双重扩展，因此，我们退出算法： 小时不是二次的。的底部级别 美国犹他州 ( n个 )表示 d日是一维的，因此是二次的，但是 小时不是二次的： 美国犹他州 ( n个 )不是二次的。
熵17 01850f7
熵17 01850f8 1024
图8。的示意结果东南方(n个). 我们根据n个.
图8。的示意结果东南方(n个). 我们根据n个.
熵17 01850f8

分享和引用

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Miolane，N。；佩内克，X。计算李群上的双变量伪度量以获得一致统计。熵 2015,17, 1850-1881.https://doi.org/10.3390/e17041850

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Miolane N，Pennec X。计算李群上的双变量伪度量以获得一致统计。熵. 2015; 17(4):1850-1881.https://doi.org/10.3390/e17041850

芝加哥/图拉宾风格

Miolane、Nina和Xavier Pennec。2015.“计算李群上的双变量伪度量以获得一致的统计数据”熵17，编号4:1850-1881。https://doi.org/10.3390/e17041850

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