Entropy and Equilibria in Competitive Systems

Klimenko, A. Y.

doi:10.3390/e16010001

开放式访问第条

竞争系统中的熵与均衡

通过

A.Y.克里蒙科

昆士兰大学，SoMME，昆士兰4072，澳大利亚

熵 2014,16(1), 1-22;https://doi.org/10.3390/e16010001

收到的意见：2013年10月28日/修订日期：2013年12月16日/接受日期：2013年12月16日/发布日期：2013年12月24日

（本文属于特刊复杂系统)

下载

浏览地物

版本注释

摘要

:本文研究热力学概念和原理对竞争系统的适用性。我们证明，当突变偏离吉布斯突变时，Tsallis熵适用于具有传递竞争的系统的表征。考虑并分析了竞争系统中不同类型的平衡。随着竞争规则变得越来越不敏感，热力学类比被侵蚀，系统的行为可能变得复杂。这项工作分析了竞争风险/利益困境背景下的间断演化现象。

关键词：

非常规热力学;竞争系统;Tsallis熵;平衡;循环;复杂性

1.简介

涉及竞争的系统是否可以用类似于传统热力学参数的量来表征，这个问题没有一个简单明确的答案。此问题在中进行了调查[1]发现在传递竞争条件下，这种特征是可能的，但随着系统变得越来越不传递，热力学类比减弱。当系统中存在的突变属于吉布斯突变时，与传统热力学原理的相似性最强。在部署熵的传统对数定义时[1]遗漏了一个重要的观点：当突变偏离吉布斯突变时，Tsallis熵家族[2]代表了处理这些情况的熵的一个非常方便的选择。这一遗漏在目前的工作中得到了纠正。我们还注意到，Tsallis熵最近被用于生物复制的建模[三].

热力学与平衡概念密切相关。竞争系统允许引入不同类型的平衡，与传统热力学中的平衡概念具有不同程度的相似性。当前的工作讨论了竞争平衡的可能情况，并基于通过接触点的平衡的Tsallis熵进行了详细的分析，与其他情况相比，这更类似于传统热力学。

从热力学角度来看，本工作只是使用Tsallis熵的一个例子。我们并不试图得出任何一般的热力学结论，在其他应用中使用非张量熵可能与我们处理完整系统中平衡的方法完全不同。Abe分析了物理平衡条件与非张量熵定义之间的一般一致性问题[4,5]. Tsallis审查了非扩展统计力学[2]中讨论了与此力学相关的非张量熵[2–7]以及许多其他出版物。

最后一节讨论热力学类比减弱时的不及物情况，并且不能保证使用熵作为一个总是趋向于随时间增加或保持恒定的量的可能性。本节分析了风险/利益两难境地由竞争系统表示，其演化可以是传递的或不传递的，取决于系统参数的选择。在不及物的情况下，系统的演变似乎被突然崩溃打断，并变成循环。这个间断进化类似于间断平衡进化生物学[8]，尽管在热力学的背景下，后一个术语可能会产生误导，因为系统不处于平衡状态，并且在标点之间不断演变。

2.竞争体系

竞争系统以其最普遍的形式涉及竞争过程。竞争系统的要素按照预先设定的规则相互竞争。规则根据元素的属性定义了每轮比赛的胜负者，如下所示年失败者的财产损失，而胜利者利用失败者腾出的资源复制其财产。复制过程并不完美，而且涉及随机突变，这对元素的竞争力大多不利。表达式A≺B，（或等价地，年_一≺年_B类)表示具有属性的元素B年_B类在与A元素的房地产竞争中获胜年_一.如果两个元件具有同等强度年_一≃年_B类，将随机确定获胜者。在计算机模拟中，这些元素也称为Pope粒子，属性的交换被称为类比混合，这与反应流的粒子模拟所采用的惯例相同。可以区分保守和竞争两种混合形式。前者主要用于流动模拟，而后者与竞争系统相关。本节其余部分介绍了竞争体系特征描述中使用的基本术语；有关更多详细信息，请参阅[1,9].

比赛规则分为两大类：及物和不及物。在传递性竞争中，B对A和C对B的优势必然要求C对A的优势，即：

年_{一} \underline{≺} 年_{B类} \underline{≺} 年_{C类} \Rightarrow 年_{一} \underline{⪯} 年_{C类}

(1)

如所示图1a，传递性竞争可以引入绝对排名，第页(年)，这是一个数值函数，用于确定优势（较强）和劣势（较弱）元素：

年_{一} \underline{⪯} 年_{B类} \Leftrightarrow 第页 (年_{一}) \leq 第页 (年_{B类})

(2)

竞争转化可以解释为粒子之间的反应：

一 + B类 \to {B类}^{'} + B类, 一 ≺ B类

(3)

其中B′因突变而不同于B。B是与A竞争的胜利者，因此，B有权占用资源(即，粒子）之前被A占据。A的属性丢失，B的属性被复制到A中。（此处未考虑的保守属性将以相反的方向从输家转移到赢家。）由于突变，复制过程并不完美，这是复制过程中B属性的随机变化。如果没有突变，则B′=B。与随机游走不同，突变对负方向有强烈的偏好：很可能（在非阳性突变的情况下，这是肯定的）B′⪯B。如果存在罕见的阳性突变B′≻，当领先粒子(即，该组中绝对排名最高的粒子）偶尔会被新的领先者超越。的主要结果之一[1]将绝对排名与熵势联系起来秒_年=秒_年(第页)并且，在一些限制条件下（例如吉布斯突变），证明了相关的竞争H定理。

然而，竞争规则不一定是可传递的，当至少有一个不可传递的三元组时，竞争被视为不可传递：

年_{一} \underline{⪯} 年_{B类} \underline{⪯} 年_{C类} ≺ 年_{一}

(4)

存在（请参见图1b). 虽然不及物竞争通常不允许元素的绝对排序，但它们可以通过联合排序函数来表征：

年_{一} ⪯ 年_{B类} \Leftrightarrow ρ (年_{一}, 年_{B类}) \leq 0

(5)

根据定义，它应该是反对称的ρ(年_一,年_B类) = −ρ(年_B类,年_一). 在传递性竞争的情况下，联合排名函数可以用绝对排名来表示：

ρ (年_{一}, 年_{B类}) = 第页 (年_{一}) - 第页 (年_{B类})

(6)

除了ρ(年_一, 年_B类)，定义尖锐的联合排名很有用：

R（右） (年_{一}, 年_{B类}) = 签名 (R（右） (年_{一}, 年_{B类})) = {\begin{array}{l} - 1 如果 年_{一} ≺, 年_{B类} \\ 0 如果 年_{一} ≃ 年_{B类} \\ + 1 如果 年_{一} ≻ 年_{B类} \end{array}

(7)

在双粒子混合的情况下，系统的演化取决于尖锐的联合排序，R（右）。当考虑多个颗粒的混合时，分级联合排序可用于在每个混合组内建立相对等级。

属性空间中元素的分布由粒子分布函数表示φ(年) =核燃料(年)，其中n个是粒子总数（f）(年)，可以解释为概率分布函数（pdf），满足归一化条件：

\int_{\infty} （f） (年) d日 年 = 1

(8)

当竞争系统被划分为K（K）子系统我= 1,2, ..., K（K），以及每个子系统，我，具有b条_我-粒子的第个分数，我们可以通过其自身的归一化分布来表征这些子系统ϕ_我(年); 即：

（f） (年) = \sum_{我 = 1}^{K（K）} {b条}_{我} ϕ_{我} (年), φ (年) = n个 （f） (年) = \sum_{我 = 1}^{K（K）} φ_{我} (年)

(9)

φ_{我} (年) = {n个}_{我} ϕ_{我} (年), {b条}_{我} = \frac{{n个}_{我}}{n个}, \int_{𝔇_{我}} ϕ_{我} (年) d日 年 = 1

(10)

子系统可以通过具有不同的域来区分_我或通过其他方式。区分子系统时，定义分布的联合排序很有用：

\bar{R（右）} ([ϕ_{我}], [ϕ_{J型}]) = \int \int_{\infty} R（右） (年, 年^{'}) ϕ_{我} (年) ϕ_{我} (年^{'}) d日 年 d日 年^{'}

(11)

其指示子系统分布相对于彼此的相对强度。我们可以说“子系统，我，比子系统更强J型“然后写[ϕ_我≻ [ϕ_J型]何时R̄([ϕ_我],[ϕ_J型])>0.注意，子系统联合排名是反对称的R̄([ϕ_我],[ϕ_J型]) = −R̄([ϕ_J型],[ϕ_我])和自我中立R̄([ϕ_我],[ϕ_我]) = 0.

使用竞争混合的系统示例可以在[1,9–11]

3.竞争和q个-指数分布

我们考虑具有标量性质的元素的传递竞争年，选择为与排名一致（即第页(年)是一个单调递增函数，绝对排名有效地由年). 因此，对于任意两个元素A和B：

一 ⪯ B类 \Leftrightarrow 年_{一} \leq 年_{B类}

(12)

这个问题被认为是关于转移的统一问题年。假设突变，起源于点y′并以概率密度函数分布，（f）_米(y、 y′)，都是统一的（f）_米(y、 y′) =（f）_米(年−y′)，一般竞争演化方程[1]采用以下给出的更简单形式：

\frac{\partial （f） (年)}{\partial t吨} = \int_{年}^{0} {（f）}_{米} (年 - 年^{'}) F类 (年^{'}) （f） (年^{'}) d日 年^{'} - (1 - F类 (年)) （f） (年)

(13)

竞争进化方程规定了突变之间的平衡，突变由该方程右侧的第一项给出，而竞争造成的损失由第二项给出。功能，F类，是pdf的cdf（累积分布函数），（f）:

F类 (年) = \int_{- \infty}^{年} （f） (年^{'}) d日 年^{'}

(14)

如果突变为非阳性，则：

\begin{array}{l} {（f）}_{米} (年) \geq 0 如果 年 \leq 0 \\ {（f）}_{米} (年) = 0 如果 年 > 0 \end{array}

(15)

方程式(13)可以集成以生成：

\begin{array}{l} \frac{\partial F类 (年)}{\partial t吨} & = \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{0} {F类}_{米} (年 - 年^{'}) \frac{\partial {F类}^{2} (年^{'})}{\partial 年^{'}} d日 年^{'} - F类 (年) + \frac{{F类}^{2} (年)}{2} \\ = \frac{{F类}_{米} (年) + {F类}^{2} (年)}{2} - F类 (年) + \frac{1}{2} \int_{年}^{0} {（f）}_{米} (年 - 年^{'}) {F类}^{2} (年^{'}) d日 年^{'} \end{array}

(16)

哪里F类_米是与pdf对应的cdf（f）_米.

吉布斯突变[1]对应于q个=1，意味着分布，（f）_米(年)在这种情况下，基于传统指数：

{（f）}_{米} (年) = 经验 (年) H（H） (- 年)

(17)

哪里：

H（H） (年) = {\begin{array}{l} 1 & 如果 年 \geq 0 \\ 0 & 如果 年 < 0 \end{array}

(18)

是Heaviside函数。请注意，在设置中不会失去通用性α=1英寸（f）_米～经验(αy)，由于变量，年，始终可以重新缩放以消除αGibbs突变的pdf，（f），由以下公式给出：

（f） (年, 年^{*}) = 经验 (年 - 年^{*}) H（H） (年^{*} - 年)

(19)

哪里年^*是领先粒子的位置。

在这项工作中，我们对pdf、，（f），可以近似为q个-指数分布：

（f） (年, 年^{*}) = {（f）}_{q个} (年 - 年^{*}) = {经验}_{q个} (\frac{年 - 年^{*}}{2 - q个}) H（H） (年^{*} - 年)

(20)

哪里：

{e（电子）}_{q个}^{年} = {经验}_{q个} (年) = {(1 + (1 - q个) 年)}^{\frac{1}{1 - q个}}

这就是所谓的q个-指数和：

{自然对数}_{q个} (年) = \frac{年^{1 - q个} - 1}{1 - q个}

是相应的q个-对数。如果q个→ 1，然后q个-函数逼近常规exp(年)和ln(年). cdf，对应于pdf(20)，由以下公式给出：

F类 (年, 年^{*}) = {F类}_{问} (年 - 年^{*}) = {\begin{array}{l} {经验}_{问} (年 - 年^{*}) & 如果 年 \leq 年^{*} \\ 1 & 如果 年 > 年^{*} \end{array}

(21)

哪里问= 1/(2 −q个). 分发(20)求解控制方程(13)渐近精度为哦((1 −q个)²)，前提是突变的分布符合：

{（f）}_{米} (年) = ((三 - 2 q个) {e（电子）}_{q个}^{年} - 2 (1 - q个) {e（电子）}_{q个}^{2 年}) H（H） (- 年)

(22)

{F类}_{米} (年) = {\begin{matrix} ((2 - 问) {e（电子）}_{问}^{年 / 问} - (1 - 问) {e（电子）}_{问}^{2 年 / 问}) & 如果 年 \leq 0 \\ 1 & 如果 年 \geq 0 \end{matrix}

(23)

图2说明，正如预期的那样，模拟分布的cdf非常接近相应的q个-指数，当q个接近团结。这个q个-指数函数也可以作为竞争系统中分布的很好近似q个.考虑q个-突变的指数分布：

{（f）}_{米} (年) = {经验}_{{q个}^{'}} (\frac{年}{2 - {q个}^{'}}) H（H） (- 年)

(24)

用cdf，F类_米(年)，由q个-指数函数类似于(21)具有Q′= 1/(2 −q′)中显示的近似解决方案图2对应于q个-指数的(20)具有：

q个 = \frac{2 + {q个}^{'}}{4 - {q个}^{'}}, 问 - 1 = \frac{2}{三} (问^{'} - 1)

(25)

中显示的cdf形状图2表明，尽管q个-对于竞争系统，指数分布不一定精确，它们相当精确，并且非常符合突变偏离Gibbs突变时问题的物理性质。在所示的竞争体系中图3由于与优势元素的竞争，每个位置都要缴税，同时，由来自优势元素的突变提供。对于Gibbs突变，竞争系统如图所示图3处于详细平衡状态：每个地点都由任何上级以相同的税率征税和供应。在具有常数的简单系统中先验的相空间一(年)Gibbs突变呈指数分布(q个= 1). 当突变偏离Gibbs突变时，在稳定的条件下，总的征税率和供应率必须相互抵消，但在与不同上级群体的关系中没有详细的平衡。对于具有的长尾（超指数）分布问题>1、弱粒子由领导提供较多，直接上级对其征税较多。对于短尾（超指数）分布q个<1，弱粒子更多地由直接上级提供，领导对其征税更多。

竞争系统旨在研究具有竞争和突变的系统的一般性质。虽然我们没有特别打算对生物突变的分布进行建模，但这些分布作为复杂竞争系统的现实世界示例在这里仍然很有意思。欧姆（Ohta）[12]考虑了近中性遗传突变，并认为这些突变具有指数分布。现代作品倾向于使用木村分布[13]它具有复杂的数学形式，偏离了纯指数，理论上对应于中性突变的遗传漂移。据报道，遗传突变的分布似乎略呈次指数分布。图4说明线粒体DNA突变A3243G在人类中的实验分布[13]近似值为q个-指数cdf问= 0.8. 因为已知这些突变是有害的[14]，它们在图中显示为负值（与本书其余部分采用的符号一致）。

4.竞争系统中的Tsallis熵

竞争系统中的自由Tsallis熵定义为：

S公司 ([（f）]) = \int_{\infty} (\tilde{（f）} (年) {自然对数}_{q个} (\frac{1}{\tilde{（f）} (年)}) + \tilde{（f）} {(年)}^{γ} 秒_{年} (年)) 一 (年) d日 年

(26)

有两种可能的指数选择，γ，由给定γ=1和γ=q个在这里，我们表示f̃(年) =（f）(年)/A类(年). 积分中的第一项是构型熵，表示突变的随机影响，而第二项涉及熵势，秒_年(年)反映了竞争的影响(即,秒_年增加了第页反映出竞争性更强的要素生存的可能性更高）。术语，f̃(年)^γ秒_年(年)，在方程式中(26)可以称为护卫术语，反映了大自然对排名较高的元素的偏好（例如，在生物系统中，排名反映了适应性）。由于存在潜力秒_年(年)，由方程定义的竞争熵(26)类似于传统热力学的自由熵，它与带负号的自由能（吉布斯或亥姆霍兹）成正比秒_年= 0 (即（不受竞争影响）可以称为“先验”，与贝叶斯推理中的先验概率有一些相似之处。方程中熵的定义(26)属于波尔兹曼类型，即，意味着斯托萨赫兰萨茨（粒子之间的随机独立性）。分布函数的变化导致：

χ_{年} = \frac{δ S公司}{δ （f） (年)} = \frac{1}{一 (年)} \frac{δ S公司}{δ \tilde{（f）} (年)} = {自然对数}_{q个} (\frac{1}{{c（c）}_{q个} \tilde{（f）} (年)}) + γ \tilde{（f）} {(年)}^{γ - 1} 秒_{年} (年)

(27)

哪里：

{c（c）}_{q个} = {q个}^{\frac{1}{q个 - 1}} \to e（电子） 作为 q个 \to 1

(28)

和χ_年可以解释为国家的竞争潜力年.最大化S公司受标准化约束：

Z_{（f）} ([（f）]) = \int_{\infty} \tilde{（f）} (年) 一 (年) d日 年 = 1

(29)

以及主导元件的位置，即：

（f） (年) = 0 对于 任何 年 ≻ 年^{*}

(30)

导致以下情况：

\frac{δ S公司}{δ \tilde{（f）} (年)} + λ \frac{δ Z_{（f）}}{δ \tilde{（f）} (年)} = 0

(31)

哪里λ是拉格朗日乘数，这意味着当地的竞争潜力：

χ_{年} = \frac{1}{一 (年)} \frac{δ S公司}{δ \tilde{（f）} (年)} = - \frac{λ}{一 (年)} \frac{δ Z_{（f）}}{δ \tilde{（f）} (年)} = - λ

在平衡中处处都是一样的。考虑一个简单的标量情况年和常量先验的容量一=常数。

♦翻译案例 γ= 1. 使用公式(27)，方程式(31)采用以下形式：

${自然对数}_{q个} (\frac{1}{{c（c）}_{q个} \tilde{（f）} (年)}) + 秒_{年} (年) + λ = 0$

那个有秒_年(年) =凯，A=c（c）_q个q个和λ= −基尔^*pdf和cdf中的结果由以下人员提供：

$（f） (年, 年^{*}) = \frac{q个 k H（H） (年^{*} - 年)}{{经验}_{q个} (k (年^{*} - 年))} = q个 k H（H） (年^{*} - 年) {经验}_{{q个}_{2}} (k (年 - 年^{*}))$

(32)

$F类 (年, 年^{*}) = {\begin{array}{l} {经验}_{问} (k (年 - 年^{*}) / 问) & 如果年 \leq 年^{*} \\ 1 & 如果年 > 年^{*} \end{array}$

(33)

哪里问= 1/q个和q个₂= 2 −q个.自年^*在这种情况下，分布可以自由地沿年.位置年^*由方程式确定(30).
♦的乘法情况 γ=q个.方程式(27)和(31)采取以下形式：

${自然对数}_{q个} (\frac{{经验}_{q个} (秒_{年} (年))}{{c（c）}_{q个} \tilde{（f）} (年)}) + λ = 0$

(34)

那个，用，一=1和秒_年(年) =k(年−年^*)，pdf中的结果：

$（f） (年, 年^{*}) = \frac{H（H） (年^{*} - 年)}{Z_{q个}} {经验}_{q个} (k (年 - 年^{*}))$

(35)

具有任意值Z_q个取决于λ。该值可根据要求的归一化确定Z_q个=k⁻¹/(2 −q个). 相应的cdf，F类_问(y、年^*)，与方程式相同(33)使用q个-参数由给出问=Z_q个k= 1/(2 −q个).

就物理热力学而言，Tsallis等. [6]建议使用γ=q个结合护送配送作为能量约束的最佳选择。如本文所述，竞争热力学没有任何能量约束（假设保守性质仅限于粒子数，我们没有为系统定义任何能量）γ需要再次考虑。选择γ竞争系统是由问题的物理性质决定的，并且对于不同的过程可能是不同的。如果不经常出现阳性突变，并且具有固定数量粒子的分布会逐渐增加年^*到时候，那么γ=1更好。的确，虽然年^*增加，熵的定义保持不变，并且升级被视为系统中增加熵的自然过程。如果γ=q个熵的定义取决于领先粒子的位置。选择γ=q个更适合于放置在固定位置的子系统之间的竞争，但由于交换可以改变粒子的数量。吉布斯突变对应于q个=1，以及选项，γ=1和γ=q个，在这种情况下是一致的。在之前的工作中[1]波尔兹曼–吉布斯熵用于非吉布斯突变，通过人工使相体积依赖于领先粒子的位置一=一(年, 年^*). 与当前工作中考虑的Tsallis熵不同，旧的问题处理方法[1]不允许对不同的熵进行统一定义年^*(即，Boltzmann–Gibbs熵提供了一个统一的，年^*-竞争熵的独立定义（仅适用于Gibbs突变）。

5.竞争系统中的均衡

竞争系统可以划分为子系统，这些子系统之间的平衡条件问题出现了。如果系统细分为K（K）子系统我= 1,2, ..., K（K）和子系统我有b条_我-粒子的第个分数，我们可以通过其自身的归一化分布来表征这些子系统ϕ_我(年)，如等式所规定(9)和(10)假设在每个子系统内达到平衡或稳态条件，主要平衡情况包括：

♦孤立子系统的平衡孤立的子系统不交换突变，也不相互竞争。在独立于其他子系统的孤立子系统中建立平衡（参见图5a)
♦竞争均衡。这些子系统中的粒子相互竞争，但突变不会跨越子系统边界，如所示图5b竞争均衡往往不如下文所述的连接均衡稳定，并且通常在传递竞争中是不可能的。的确，如果 $年_{我}^{*} > 年_{J型}^{*}$ (即，子系统的主导元素我比子系统的主导要素更具竞争力J型), $年_{我}^{*}$ 不能输给子系统的任何元素J型，同时 $年_{J型}^{*}$ 最终会输给我。在中描述的过渡竞争中没有平衡图5d，由于子系统我=1将为自己赢得所有粒子资源。如果 $年_{我}^{*} = 年_{J型}^{*}$ 然后，这两位领先者最终将在比赛中相遇，由于他们的实力相当，这一轮的获胜者（最终属于获胜子系统）将被随机选择。然而，在不及物竞争中，竞争均衡是可能的。显然，这需要：

${R（右）}_{我} = R（右） ([ϕ_{我}], [（f）]) = 0$

(36)

为所有人我= 1, ..., K（K），否则，n个_我会成长为R（右）_我 >0并减少R（右）_我 <0.如附录所述[1]，振荡出现在子系统1，…，之间的竞争平衡中…，K（K），除非：

${R（右）}_{我 J型} = R（右） ([ϕ_{我}], [ϕ_{J型}]) = 0$

(37)

对于每个我和J型，约束(37)意味着所有子系统应具有相同的相对强度[ϕ_我] ≃ [ϕ_J型]，这比[ϕ_我] ≃ [（f）]要求(36).条件(37)必须避免子系统之间的振荡。如果存在，振荡可以是稳定的、中性的或不稳定的。中的示例[1]演示了振荡不稳定的情况。竞争平衡只存在于竞争系统中，似乎在传统热力学中没有类似物。
♦关联平衡。在这种情况下，子系统我= 1, ..., K（K）通过竞争和突变联系在一起。Gibbs突变(q个=1），竞争对手H（H）-应用定理确保平衡状态的详细平衡[1]. 这意味着，在平衡状态下，任何两个元素或元素组之间的连接都可以断开，而不会对系统状态产生任何影响。两个元素之间的分离连接终止了这些元素之间的竞争和突变。如图所示图5c，其中点A和B之间的直接连接被切断，尽管A和B通过其他元素保持连接，如虚线所示。平衡条件由所有竞争势的等价性给出χ_我=χ_J型对于每个我和J型，其中竞争潜力公式：[1,9]

$χ_{我} = \frac{\partial S公司}{\partial {n个}_{我}} = 自然对数 (\frac{Z_{我}}{{英语}_{我}})$

(38)

通过将熵与n个_我.配分函数，Z_我，针对每个子系统进行评估，我，作为子系统域的积分，𝔇_我:

$Z_{我} = \int_{𝔇_{我}} 一_{我} (年) 经验 (秒_{年} (年)) d日年$

(39)

吉布斯突变竞争系统的平衡与传统热力学的平衡最为相似。在一般非阳性突变的情况下(即非吉布斯突变），系统状态取决于接触类型。这里，我们区分了两种有趣的情况：
- –接触点。两个子系统，我和J型，联系方式为年=年°当附近的元素年=年°有效地属于这两个子系统，而其他元素在其子系统中被隔离。因此，在平衡状态下，两个子系统中代表竞争元素的粒子密度在接触点必须相同：
  
  $\frac{{n个}_{我} ϕ_{我} (年^{\circ})}{一_{我} (年^{\circ})} = \frac{{n个}_{J型} ϕ_{J型} (年^{\circ})}{一_{J型} (年^{\circ})}$
  
  (40)
  
  与分布相关的相体积可能在两侧相同一_我(年°) =一_J型(年°). 单个接触点（或如下文所述，在连接多个子系统时不形成回路的多个接触点）的存在会发生变化n个_我，但不影响分布，ϕ_我(年). 具有非吉布斯突变的两个系统之间的多个接触点可能不仅会改变n个_我，但也包括分布，ϕ_我(年).
- –完成合并。子系统合并为一个整体平稳分布的单一系统（f）=（f）₀(年). 除非突变仅限于吉布斯突变，否则子系统可能会经历复杂的调整，从而改变其分布。如果术语平衡用于此稳态，应记住，一般来说，系统中没有详细的平衡。整体平稳分布是不可分割的：（f）₀(年)如果任何两个位置之间的接触被切断，可能会发生变化。注意，虽然不寻常，但在传统热力学中存在不可分割的系统：具有负热容的物体[15]可以作为一个例子。

在竞争系统中不同类型的平衡中，接触点的平衡最适合于热力学分析，即使突变与吉布斯突变有很大差异。

6.通过接触点的平衡熵

通过接触点的联系可以有不同的解释。图6a，显示了具有相同属性的两个子系统，年，在位置连接年=年°. 另一种解释，如图6b，是吗年₁和年₂是子系统的内部属性，通常彼此无关，而接触点是建立两个位置对应关系的协议， $年_{1}^{°}$ 和 $年_{2}^{°}$ 称为开放门户。粒子可以通过连接入口的桥在这些入口之间自由移动。请注意，子系统可以有多个打开的门户（请参见图6d)，只要这些门户之间的连接不形成循环。图6e说明了这样一个循环，它可以使属于单个子系统的两个开放入口的粒子密度彼此不一致。这将改变粒子分布的形状ϕ_我(年)在子系统中。

从热力学角度来看，最有趣的情况如下所示图6c：每个子系统只有一个打开的入口：这确保了粒子数n个_我在每个子系统内发生变化，而子系统分布，ϕ_我(年)，保持不变（假设每个子系统总是收敛到其内部稳态）。每个门户可以连接到属于其他子系统的一个或多个门户。此连接的特征是子系统粒子数，n个_我通过子系统之间的详细平衡，收敛到它们的平衡值（尽管每个子系统内的稳态不一定实现详细平衡）。假设门户， $年_{我}^{°}$ 子系统的我连接到门户， $年_{J型}^{°}$ 子系统的J型，平衡条件(40)现在被重写为：

\frac{{n个}_{我} ϕ_{我} (年_{我}^{\circ})}{一_{我} (年_{我}^{\circ})} = \frac{{n个}_{J型} ϕ_{J型} (年_{J型}^{\circ})}{一_{J型} (年_{J型}^{\circ})}

(41)

让我们考虑一下K（K）子系统可以用Tsallis熵来表征，其定义为：

S公司 ([φ]) = \sum_{我 = 1}^{K（K）} \int_{\infty} ({\tilde{φ}}_{我} (年) {自然对数}_{q个} (\frac{1}{{\tilde{φ}}_{我} (年)}) + {\tilde{φ}}_{我} {(年)}^{q个} 秒_{我} (年)) 一_{我}^{\circ} (年) d日 年

(42)

对系统中的粒子总数有约束：

\sum_{我 = 1}^{K（K）} {n个}_{我} = n个, {\tilde{φ}}_{我} 一_{我}^{\circ} (年) = φ_{我} (年) = {n个}_{我} ϕ_{我} (年), \int ϕ_{我} (年) d日 (年) = 1

(43)

哪里

一_{我}^{\circ} (年)

是子系统中的有效相体积，定义如下：

一_{我}^{\circ} (年) = 一_{我}^{\circ} 一_{我} (年)

(44)

在这里，一_我(年)是真实相体积

一_{我}^{\circ}

是校正系数，它取决于入口的位置，

年_{我}^{\circ}

。的值

一_{我}^{\circ}

稍后根据方程式规定的平衡条件确定(41)注意，熵的定义对于子系统的叠加来说是广泛的，但在每个子系统中通常是非扩展的：

S公司 = \sum_{我 = 1}^{K（K）} {S公司}_{我} (φ_{我}),

(45)

\begin{array}{l} {S公司}_{我} & = \int_{\infty} ({\tilde{φ}}_{我} (年) {自然对数}_{q个} (\frac{1}{{\tilde{φ}}_{我} (年)}) + {\tilde{φ}}_{我} {(年)}^{q个} 秒_{我} (年)) 一_{我}^{\circ} (年) d日 年 \\ = \int_{\infty} ({\tilde{φ}}_{我} (年) {自然对数}_{q个} (\frac{{经验}_{q个} (秒_{我} (年))}{{\tilde{φ}}_{我} (年)})) 一_{我}^{\circ} (年) d日 年 \end{array}

(46)

正如Abe所证明的那样[5]熵的广泛性简化了平衡分析，并消除了区分密集属性的标称值和物理值的需要。Hanel和Thurner考虑了确保熵的延展性的一般标度律[7]. 这里，关于子系统叠加的延展性仅通过等式中熵的定义来实现(45).

最大化S公司首先进行形状φ_我(年)在约束下：

\int_{𝔇_{我}} {\tilde{φ}}_{我} (年) 一_{我}^{\circ} (年) d日 年 = {n个}_{我}

(47)

然后，关于n个_我，条件∑下_我n个_我=n个。第一步的结果是：

{自然对数}_{q个} (\frac{{e（电子）}_{q个}^{秒_{我} (年)}}{{c（c）}_{q个} φ_{我} (年)}) = λ_{我}

(48)

即：

\frac{φ_{我} (年)}{{n个}_{我}} = ϕ_{我} (年) = 一_{我}^{\circ} (年) \frac{{\tilde{φ}}_{我} (年)}{{n个}_{我}} = 一_{我}^{\circ} (年) \frac{{e（电子）}_{q个}^{秒_{我} (年)}}{{c（c）}_{q个} Z_{我}^{\circ}}

(49)

哪里λ_我是与约束相关的拉格朗日乘数(47)和有效配分函数

Z_{我}^{\circ}

根据真配分函数来确定，Z_我，根据归一化条件：

Z_{我}^{\circ} = 一_{我}^{\circ} Z_{我}, Z_{我} = \int_{𝔇_{我}} \frac{{e（电子）}_{q个}^{秒_{我} (年)}}{{c（c）}_{q个}} 一_{我} (年) d日 年

(50)

替代φ_我(年)到方程式中(46)导致了以下寻找熵极值的问题：

S公司 = \sum_{我 = 1}^{K（K）} {S公司}_{我} (φ_{我}), {S公司}_{我} = {n个}_{我} {自然对数}_{q个} (\frac{Z_{我}^{\circ}}{{n个}_{我}}), \sum_{我 = 1}^{K（K）} {n个}_{我} = n个

(51)

最大化S公司在里面(51)产量：

χ_{我} = \frac{\partial S公司}{\partial {n个}_{我}} = {自然对数}_{q个} (\frac{Z_{我}^{\circ}}{{c（c）}_{q个} {n个}_{我}}) = {自然对数}_{q个} (\frac{一_{我}^{\circ} Z_{我}}{{c（c）}_{q个} {n个}_{我}}) = λ^{\circ}

(52)

哪里χ_我是我-th子系统和λ°为我-与固定总粒子数相关的独立拉格朗日乘数n个在方程式中(51)。子系统之间的粒子平衡分布如下：

{n个}_{我} = 钙_{我}^{\circ} Z_{我}, C类 = \frac{\sum_{我} {n个}_{我}}{\sum_{我} Z_{我}^{\circ}}

(53)

注意，方程式(52)和(53)暗示详细的平衡χ_我=χ_J型对于任何我和J型.方程的一致性(53)使用方程式(41)确定校正系数：

一_{我}^{\circ} = 常数 \frac{一_{我} (年_{我}^{\circ})}{ϕ_{我} (年_{我}^{\circ}) Z_{我}}

(54)

该方程中的常数是任意的（因为它不影响平衡状态），可以设置为统一的，而不会失去通用性。

假设一_我=1及所有Z_我相同，我们得到 $一_{我}^{\circ} = 1 / ϕ_{我} (年_{我}^{\circ})$ 总熵的表达式如下：

S公司 = \sum_{我 = 1}^{K（K）} {n个}_{我} {自然对数}_{q个} (\frac{1}{{n个}_{我} ϕ_{我} (年_{我}^{\circ})})

(55)

因此，通过接触点的平衡导致定义子系统的有效相体积，这些子系统负责平衡条件。竞争对手对子系统相位体积的感知取决于其入口的位置。感知量较大，子系统具有较高的竞争潜力，χ_我，当门户位于较低级别时。假设入口连接与要素的真正竞争力一致，我们得出结论，竞争力更强的子系统往往具有更高的有效阶段容量。

7.不敏感性、向复杂性过渡和风险/利益两难境地

如果竞争变成不及物和不及物三元组(4)存在时，绝对排名在这样的系统中是不可能的，并且没有绝对熵（因为熵势附属于绝对排名）。一些不及物系统在较小的子域中可能仍然保持局部及物性。在这种情况下，系统的局部行为可能与传递系统相同，并且仍然可以使用局部绝对排序和局部熵。在这种情况下，热力学第零定律的模拟将失效，从而导致竞争势的不敏感性，例如χ₁≺χ₂≺χ_三≺χ₁（考虑子系统我= 1,2,3如所示图5b假设这些子系统是连接的），以及循环进化。系统如所示图1b是局部及物和全局不及物的。假设存在一些正突变，该系统在A点附近通过向局部排名增加的方向升级而过渡进化，但总体进化似乎是循环的，从A到B，然后从B到C，最后从C回到A在任何一点附近都可以发现不敏感的三元组，甚至系统的局部演化也可能与竞争热力学原理不一致。在复杂系统中，这种演变可能导致竞争退化（伴随着缓慢但明显的竞争力逐渐下降的过程）和竞争合作（形成内部竞争水平降低的结构，并违反Stosszahlansatz）。从竞争热力学的角度来看，这些过程是不正常的（参见[1,9]供进一步讨论）。

在本节中，我们考虑一个涉及间断进化的不同示例：在大多数情况下，系统的行为似乎是过渡的，并向更高的等级和更高的熵升级。尽管如此，这种升级仍不时被偶尔发生的危机事件所打断，即系统状态崩溃到（或接近）基本状态。然后系统重复缓慢增长/突然崩溃的循环。请注意，这里只考虑进化的循环成分，而竞争进化也可能涉及平移成分（或成分）并成为螺旋形[9]. 循环和崩溃在不同类型的现实世界复杂竞争系统中很常见[16,17].

当前的间断演化示例基于风险/利益两难境地（RBD）：在比较可用策略时，我们希望具有低风险和高收益；因此，问题有两个参数：风险表示为年⁽¹⁾效益表示为年⁽²⁾。虽然很高年⁽²⁾和低年⁽¹⁾最具吸引力的是，可能有必要做出一些妥协，增加风险以增加收益，或降低收益以降低风险。比较两种策略时，年_一和年_B类，根据以下联合排名进行选择：

ρ (年_{一}, 年_{B类}) = (年_{一}^{(2)} - 年_{B类}^{(2)}) - \frac{{(年_{一}^{(1)} - 年_{B类}^{(1)})}^{米}}{小时}

(56)

也就是说，当ρ(年_一, 年_B类)>0.我们考虑两种参数选择：

\begin{array}{l} 关系型数据库 1 : 米 = 三, 小时 = 1 \\ 关系型数据库 2 : 米 = 1, 小时 = 三 \end{array}

很容易看出，RBD2选项是可传递的，允许绝对排名：

ρ {(年_{一}, 年_{B类})}_{RBD公司 2} = 第页 (年_{一}) - 第页 (年_{B类}), 第页 (年) = 年^{(2)} - 年^{(1)} / 三

(57)

在RBD2的情况下，我们对风险和收益的评估是线性的，因此进化使绝对排名最大化，第页应为。然而，在RBD1的情况下，我们倾向于忽视风险的小幅度增加，而选择更高的收益，但风险的大幅度增加成为一个主要问题，甚至超过了显著的收益。选项RBD1似乎是强（密集）不及物的：如所示图7a，有不及物三元组(4)在每个点附近。RBD1和RBD2这两种病例都有相同的突变，这些突变主要是小突变，但在罕见的情况下可能是大突变。禁止突变到达禁区。

图7b显示了计算域。灰色区域年⁽²⁾> (年⁽¹⁾)^1/3是被禁止的，这反映了一个事实，即一个人如果不面临重大风险，就无法获得巨大利益。相对于A而言，优越的策略处于小的黑暗区域，导致系统向更高的风险和更高的收益发展。在过渡情况下，系统增长到平衡点，使绝对排名最大化，第页(年)然后永远保持这种相对较高的收益和合理的风险的状态。在不可传递的情况下，系统不会保持平衡，而是崩溃为一种低风险、低收益的防御策略。这种崩溃的原因如所示图7b攻击性策略A比防御策略C更受欢迎，但随着系统甚至演变成更具攻击性的策略B，与B相关的风险变得太高，并且在某个时刻，防御策略C变得比B更有吸引力。这导致增长崩溃，并迅速过渡到防御策略。

对于传递情况，熵由方程定义(26).平移案例γ=1，熵势与排名线性相关秒_年(年) =克朗(年)被选中。参数q个= 1/问=1/1.2和千卡选择=70，以匹配下文讨论的平衡分布。熵的定义采用以下形式：

S公司 = \int_{\infty} (（f） (年) {自然对数}_{q个} (\frac{1}{（f） (年)}) + （f） (年) k 第页 (年)) d日 年

(58)

在所考虑的情况下，熵实际上由排名项决定，常规对数熵和Tsallis熵之间的差异不大。

图8说明了风险/利益两难境地中的不及物和及物演变。通过在410个时间步长将参数从RBD1切换到RBD2，可以获得传递分支。以下不及物和及物演变似乎非常相似，但仅限于最大值S公司已到达。相同的排名定义(57)和熵(58)用于及物和不及物两种情况。然后，演化发生分歧：传递分支在最大熵和最大排序点附近保持平衡状态，而不传递分支则落入防御策略区域。涵盖步骤1和590之间这些演变的视频文件作为本文的电子补充提供（请参阅附录更多详细信息）。

如果根本竞争规则和长期演化历史未知，则通过分析当前分布来确定系统未来的行为可能非常困难。图9说明了这一点。此图显示排名的cdf第页用于590个时间步长的传递进化（RBD2）和不传递进化（RBS1）。这两种分布非常相似，可以通过q个-指数cdf(33)具有问=1.2和k/Q（k/Q）= 70.

以风险/利益两难困境为代表的竞争机制可能是现实世界中推动经济周期的力量之一。从经济角度来看，RBD2所反映的战略被视为个体参与者（例如投资代理）的理性行为。收益由投资回报和排名表示第页通常被称为效用经济学[18]. 这种效用权衡了不同的因素，并加强了经济决策的及物性。RBD1所反映的不敏感策略被经济学家视为半理性。由于风险和收益并不代表直接可比较的类别，而且风险评估总是存在较大的不确定性，因此忽视小风险和过度关注高风险是任何个人或公司可行的经济战略。虽然从线性RBD2转换为非线性RBD1似乎是对一个经济要素的微小调整，但它对整个系统的运行具有重大影响：经济增长被崩溃中断，系统周期性演化。竞争迫使竞争要素承担越来越高的风险，直到风险变得不可持续。

8.结论

在具有Gibbs突变的竞争系统中，分布趋于指数（假设属性空间各向同性）。这种情况与传统热力学最为相似，并且系统中存在详细的平衡。当突变分布偏离Gibbs突变分布时q个-指数成为很好的近似值，用于表征由于税收和供应偏差导致的分布中存在长或短尾。在竞争热力学中，这相当于用Tsallis熵取代传统的Boltzmann-Gibbs熵。

与传统热力学不同，竞争系统允许不同类型的平衡与传统热力学平衡具有不同程度的相似性。没有突变交换的子系统之间的竞争往往不如连接平衡的稳定性，在连接平衡中，子系统通过竞争和突变交换粒子。在连接平衡中，吉布斯突变的情况与传统热力学最为相似。当突变不是吉布斯类型时，接触点平衡比其他情况更能保持这种相似性。用Tsallis熵分析了接触平衡点。这种分析的结果是由竞争势的等价性决定的平衡条件。这些电位与子系统引入的有效相体积有关，这些有效相体积取决于接触点的位置。

热力学类比需要竞争规则的传递性。在不及物竞争规则的情况下，从竞争热力学的角度考虑，系统可能会表现异常。这涉及到结构的形成、竞争性降解和循环。本工作以竞争风险/利益困境为例，分析了间断演进的情况。在大多数情况下，代表两难处境的不及物竞争系统的演化与可传递系统的演化非常相似，可传递系统会增加排名和相关熵。然而，在某些时候，这种演变被打断，导致突然崩溃，从而降低排名和相关的竞争熵；当竞争是过渡性的时，这不可能发生。然后，系统开始增长并再次重复这个循环。虽然这项工作中对竞争过程的考虑是通用的，但在生物、经济和其他系统中也可以发现类似的行为。

视频补充

熵-16-00001-s001.avi 熵-16-00001-s002.avi

致谢

作者感谢Bruce Littleboy对经济问题的深入讨论。作者承认澳大利亚研究委员会的资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

Klimenko，A.Y.混合、熵和竞争。物理学。紧急停堆 2012,85, 068201. [谷歌学者]
Tsallis，C.非广泛统计力学和热力学：历史背景和现状。在非扩展统计力学及其应用; Abe，S.，Okamoto，Y.，编辑。；施普林格：2001年，美国纽约州纽约市；第3-98页。[谷歌学者]
卡列夫，G.P。；Koonin，E.V.抛物线复制子动力学和最小Tsallis信息增益原理。生物直接法 2013,8, 19–19. [谷歌学者]
Abe，S.平衡存在性所规定的复合熵的一般伪可加性。物理学。E版：统计非线性软物质物理学。 2001,63, 061105. [谷歌学者]
Abe，S.《非扩展热力学中的热和熵：从Tsallis理论到基于Renyi熵的理论的嬗变》。物理学。统计机械。应用程序 2001,300, 417–423. [谷歌学者]
Tsallis，C。；门德斯，R。；Plastino，A.R.广义非广度统计中约束的作用。物理学。统计机械。应用程序 1998,261, 534–554. [谷歌学者]
Hanel，R。；瑟纳，S。广义熵何时适用？相空间体积如何决定熵。EPL（Europhys.Lett.） 2011,96, 50003. [谷歌学者]
古尔德，S.J。；Eldredge，N.标点平衡已经成熟。自然 1993,366, 223–227. [谷歌学者]
Klimenko，A.Y.复杂竞争系统和竞争热力学。菲尔翻译。R.Soc.A公司 2013. [谷歌学者] [交叉参考]
Klimenko，A.Y.保守和竞争混合及其应用。物理学。紧急停堆 2010,时间142, 014054. [谷歌学者]
Klimenko，A.Y。；Pope，S.B.竞争混合随机模拟中燃烧波和侵入波的传播速度。库布斯特。理论模型1 2012,16, 679–714. [谷歌学者]
Ohta，T.中性突变随机漂移假说的扩展。在分子进化与多态性; Kimura，M.，编辑。；国家遗传学研究所：三岛，日本，1977年；第148-167页。[谷歌学者]
Wonnapinij，P。；Chinnery，P.F。；Samuels，D.C.随机遗传漂变导致的线粒体DNA异质性分布。Am.J.Hum.基因 2008,83, 582–593. [谷歌学者]
Finster，J.线粒体A3243G突变的表现。国际心脏病杂志 2009,137, 60–62. [谷歌学者]
Klimenko，A.Y.教授热力学第三定律。打开Thermodyn。J型 2012,6, 1–14. [谷歌学者]
Klimenko，A.Y.技术周期对科学、工程和工程教育的影响。国际J技术知识。Soc公司 2008,4, 11–18. [谷歌学者]
Grudin，J.《标点平衡与技术变革》。互动 2012,19, 62–66. [谷歌学者]
坎迪亚尔，J.C。；de Miguel，J.R。；Indurain，E。；Mehta，G.效用与熵。经济学。理论 2001,17, 233–238. [谷歌学者]

附录模拟风险/收益困境的视频文件

本文的视频补充提供了涉及10000个Pope粒子的案例RBD1和RBD2的模拟：

竞争在RBD1中是不及物的，在RBD2中是及物的。这些情况在410个时间步长被分支开，具有相同的颗粒分布。视频的格式如所示图A1在风险/利益困境的不敏感模拟中，竞争迫使竞争对手采取越来越激进的策略，而分布从D移动到A。这导致了不可持续的高风险和持续进化的中断，原因是D附近寻求防御策略避难的元素突然崩溃了系统。虽然进化在不及物情况下被中断，但模拟的及物版本安全达到平衡并永远保持不变。尽管存在主要差异，但两种模拟的升序片段非常相似。

图A1。风险/收益困境的模拟：视频文件中使用的符号。

图1。具有以下功能的系统示例(一)及物和(b条)不及物竞争。

图2。与q指数比较的模拟长尾和短尾分布：实心曲线，模拟突变I；为突变II模拟的基准曲线；带点、q指数的实心曲线。绘制cdf的值为问= {0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4}; 曲线从下到上编号。圆圈标记对应于问= 1.

图3。传递竞争中要素的分布和要素之间的交换。

图4。实验的累积分布函数（cdf）[13]A3243G mtDNA突变（实线）的分布与q-指数cdf，exp_问(ky/Q（千分之一）)，使用问=0.8和k/Q（k/Q）=6（虚线）。由于这些突变是有害的，其程度显示为阴性。

图4。实验的累积分布函数[13]A3243G mtDNA突变（实线）的分布与q-指数cdf，exp_问(ky/Q（千分之一）)，使用问=0.8和k/Q（k/Q）=6（虚线）。由于这些突变是有害的，其程度显示为阴性。

图5。竞争体系中的平衡：(一)隔离的(b条)竞争和(c（c）)已连接，而案例(d日)说明了传递竞争中竞争均衡的不可能性。虚线箭头表示突变的方向；虚线箭头表示由于竞争而产生的粒子传输。

图5。竞争体系中的平衡：(一)隔离(b条)竞争和(c（c）)已连接，而案例(d日)说明了传递竞争中竞争均衡的不可能性。虚线箭头表示突变的方向；虚线箭头表示竞争导致的粒子传输。

图6。当子系统具有(一)相同的排名和直接联系(b条)通过门户进行自主排名和约定连接(c（c）)通过每个子系统唯一的门户实现多个连接(d日)通过多个门户实现多个连接，而不形成循环(e（电子）)通过具有循环的多个门户实现多个连接。请注意，最后一种情况可能与接触平衡点不一致。

图6。当子系统具有(一)相同的排名和直接联系(b条)通过门户进行自主排名和约定连接(c（c）)通过每个子系统唯一的门户实现多个连接(d日)通过多个门户实现多个连接，而不形成循环(e（电子）)通过具有循环的多个门户实现多个连接。注意，最后一种情况可能与接触点平衡不一致。

图7。风险/利益两难境地中的不敏感性：(一)域中密集存在不及物三元组A、B和C的强不及物性；(b条)进攻性策略B战胜了A，但输给了防守性策略C，后者被认为低于A。

图8。模拟风险/利益两难处境。实心曲线，不敏感（RBD1）模拟；虚线、传递（RBD2）模拟在410个时间步长启动。(顶部)归一化熵S/k与时间步长；(底部)风险年⁽¹⁾ 与时间步长。垂直虚线显示590个时间点。

图9。590个时间步长的秩分布的cdf（与中的模拟相同图8，第页_最大值≈ 0.65). 实心曲线，不敏感（RBD1）模拟；虚线，传递（RBD2）模拟；带点的实心曲线，由q个-指数问=1.2和k/Q（k/Q）= 70.

图9。590个时间步长的秩分布的cdf（与中的模拟相同图8，第页_最大值≈ 0.65). 实心曲线，不敏感（RBD1）模拟；虚线，传递（RBD2）模拟；带点的实心曲线，通过q个-指数问=1.2和k/Q（k/Q）= 70.

分享和引用

MDPI和ACS样式

阿联酋克里蒙科。竞争系统中的熵与平衡。熵 2014,16, 1-22.https://doi.org/10.3390/e16010001

AMA风格

克里蒙科啊。竞争系统中的熵与平衡。熵. 2014; 16(1):1-22.https://doi.org/10.3390/e16010001

芝加哥/图拉宾风格

A.Y.Klimenko。2014.“竞争系统中的熵和均衡”熵16，编号1:1-22。https://doi.org/10.3390/e16010001

文章菜单