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熵
第15卷
第12版
10.3390年/15125305年
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第条

分数幂级数的新结果：理论与应用

通过
艾哈迈德·艾尔·阿朱
1，
奥马尔·阿布·阿尔库布
1，
Zeyad Al Zhour公司
2和
沙赫尔·莫马尼
3,*
1
约旦Salt 19117 Al-Balqa应用大学科学院数学系
2
沙特阿拉伯达曼31451达曼大学工程学院基础科学与人文系
三
约旦大学科学院数学系，约旦安曼11942
*
信件应寄给的作者。
熵 2013，15(12), 5305-5323;https://doi.org/10.3390/e15125305
收到的意见：2013年9月12日/修订日期：2013年10月9日/接受日期：2013年10月9日/发布日期：2013年12月2日
（本文属于特刊动力系统)
版本注释

摘要

:
本文将经典幂级数的一些定理推广到分数幂级数。其中一些定理是使用卡普托分数导数构造的。在一些约束条件下，我们证明了卡普托分数阶导数可以用普通导数表示。得到了广义泰勒幂级数的新构造。文中还给出了一些应用，包括分数阶导数和函数积分的逼近以及线性和非线性分数阶微分方程的解。在非线性情况下，利用新的简单方法求出决定分数幂级数系数的递推关系。
关键词：
分数幂级数;卡普托分数导数;分数阶微分方程
AMS科目分类：
26A33；32A05；41A58型

1.简介

分数阶微积分理论是一种应用于研究任意阶积分和导数的数学分析工具，它统一和推广了整数阶微分和n个-折叠积分[1，2，三，4]. 通常，许多科学家都不知道这些分数积分和导数，直到最近几年，它们只在纯数学环境中使用，但在过去的几十年里，这些积分和导数在流体力学、粘弹性、生物学、物理学、图像处理、熵理论和工程等领域的各种应用中频繁出现，因此在许多科学领域都得到了应用[5，6，7，8，9，10，11，12，13，14]。
众所周知，分数阶微分算子和积分算子都是非局部算子。这就是为什么分数微积分理论为描述各种物理过程的记忆和遗传特性提供了一个极好的工具。例如，与经典模型相比，半阶导数和积分被证明对某些电化学问题的表述更有用[1，2，三，4]. 将分数阶微积分理论应用于熵理论也成为一个重要的工具和热点研究领域[15，16，17，18，19，20，21，22，23，24]由于分数熵可以用于制定图像分割算法，而传统的香农熵存在局限性[18]在反常扩散过程和分数扩散方程的分析中[19，20，21，22，23，24]. 因此，分数阶微积分理论的应用已成为国际学术研究的热点。关于分数微积分理论及其应用的研究，可以在[25，26]。
幂级数已经成为研究初等函数的基本工具，也成为其他不太初等的工具，任何分析书都可以查到。它们在计算科学中得到了广泛的应用，以便于获得函数的近似值[27]. 在物理、化学和许多其他科学中，这种幂展开使科学家能够对许多系统进行近似研究，忽略了平衡点周围的高阶项。这是将问题线性化的基本工具，保证了分析的简单性[28，29，30，31，32，33，34，35]。
分数阶导数的研究由于其复杂的积分微分定义而显得非常困难，这使得用标准整数算子进行简单的操作成为一种复杂的操作，应谨慎进行。在大多数方法中，分数阶微分方程（FDE）的解表现为分数幂级数（FPS）的级数解[36，37，38，39，40，41，42]. 因此，许多作者提出了幂级数的一般形式，特别是泰勒级数，包括分数阶级数。举几个例子，黎曼[43]已将广义泰勒级数公式的正式版本写成：
（f） ( x个 + 小时 ) = ∑ 米 = − ∞ ∞ 小时 米 + 第页 Γ ( 米 + 第页 + 1 ) ( J型 秒 米 + 第页 （f） ) ( x个 ) ，
哪里 J型 秒 米 + 第页 是Riemann-Liouville分数阶积分米+第页渡边捷昭[44]已获得以下关系：
（f） ( x个 ) = ∑ 米 = − k个 n个 − 1 ( x个 − x个 0 ) α + 米 Γ ( α + 米 + 1 ) ( D类 ^ 秒 α + 米 （f） ) ( x个 ) + R（右） n个 ， k个 ( x个 ) ，   k个 < α ，   秒 ≤ x个 0 < x个 ，
哪里 R（右） n个 ， k个 ( x个 ) = ( J型 秒 α + n个 D类 ^ 秒 α + n个 （f） ) ( x个 ) + 1 Γ ( − α − k个 ) ∫ 0 x个 0 ( x个 − t吨 ) − α − k个 − 1 ( D类 ^ 秒 α − k个 − 1 （f） ) ( t吨 ) d日 t吨 和 D类 ^ 秒 α + n个 是Riemann-Liouville分数阶导数α+n个.特鲁希略等。[45]已引入广义泰勒公式，如下所示：
（f） ( x个 ) = ∑ 米 = 0 n个 Γ ( α ) ( x个 − x个 0 ) 米 α Γ ( ( 米 + 1 ) α ) ( D类 ^ 秒 米 α （f） ) ( x个 0 + ) + R（右） n个 ( x个 ， x个 0 ) ，   0 < α ≤ 1 ，   秒 ≤ x个 0 < x个 ，
哪里 R（右） n个 ( x个 ， x个 0 ) = ( x个 − x个 0 ) ( n个 + 1 ) α Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) ( D类 ^ 秒 ( n个 + 1 ) α （f） ) ( ξ ) ， x个 0 ≤ ξ ≤ x个 最近，Odibat和Shawagfeh[46]已表示为一个新的广义泰勒公式，如下所示：
（f） ( x个 ) = ∑ 米 = 0 n个 D类 x个 0 米 α （f） ( x个 0 ) Γ ( 米 α + 1 ) ( x个 − x个 0 ) 米 α + R（右） n个 α ( x个 ) ， 0 < α ≤ 1 ，   x个 0 < x个 ≤ b条 ，
哪里 R（右） n个 α ( x个 ) = D类 x个 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( ξ ) Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) ( x个 − x个 0 ) ( n个 + 1 ) α ， x个 0 ≤ ξ ≤   x个 和 D类 x个 0 米 α 是Caputo分数阶导数mα。对于α=1，广义泰勒公式简化为经典泰勒公式。贯穿本文ℕ 自然数的集合，ℝ实数集，以及Γ是Gamma函数。
在这项工作中，我们一般讨论了FPS，它是经典幂级数（CPS）的推广。与CPS相关的重要定理已经推广到FPS。其中一些定理是使用卡普托分数导数构造的。这些定理被用来近似函数的分数导数和积分。针对线性和非线性有限差分方程构造了FPS解，并使用了一种新的技术来求FPS系数。在一定条件下，我们证明了卡普托分数阶导数可以用普通导数表示。此外，方程（4）中的广义泰勒公式也用新方法导出了0≤米-1 <α≤米，米∈ ℕ.
本文的组织结构如下：在下一节中，我们将介绍一些必要的定义和将在我们的工作中使用的初步结果第3节，提出并证明了代表本文目的的定理。在第4节给出了一些应用，包括分数导数逼近和函数积分。在第5节，使用FPS技术生成线性和非线性FDE的系列解。结论在最后一部分给出，第6节.

2.分数阶微积分理论的符号

在本节中，我们将介绍分数微积分理论的一些必要定义和基本结果。分数阶积分和分数阶微分有多种定义，如Grunwald-Letnikov的定义和Riemann-Liouville的定义[1，2，三，4]. 在尝试用FDE模拟真实世界现象时，黎曼-卢维尔导数有一定的缺点。因此，我们将引入一个改进的分数阶微分算子 D类 秒 α 由卡普托在其关于粘弹性理论的工作中提出[8]。
定义2.1：一个实函数（f）(x个),x个>据说0在空间中C类μ，μ∈ ℝ 如果存在实数ρ>μ这样的话（f）(x个) =x个ρ（f）1(x个)，其中（f）1(x个) ∈C类[0，∞），据说它在空间中 C类 μ n个 如果（f）(n个)(x个) ∈C类μ，n个∈ ℕ.
定义2.2：Riemann-Liouville分数阶积分算子α函数≥0（f）(x个) ∈C类μ，μ≥−1定义为：
J型 秒 α （f） ( x个 ) = { 1 Γ ( α ) ∫ 秒 x个 ( x个 − t吨 ) α − 1 （f） ( t吨 ) d日 t吨 ，   x个 > t吨 > 秒 ≥ 0 ， α > 0 ， （f） ( x个 ) ， α = 0
操作员的属性 J型 秒 α 可以在中找到[1，2，三，4]，我们在这里只提到以下内容：（f）∈C类μ，μ≥ −1,α，β≥ 0,C类∈ ℝ, 和γ≥−1，我们有 J型 秒 α J型 秒 β （f） ( x个 ) = J型 秒 α + β （f） ( x个 ) = J型 秒 β J型 秒 α （f） ( x个 ) ， J型 秒 α C类 = C类 Γ ( α + 1 ) ( x个 − 秒 ) α 、和 J型 秒 α ( x个 − 秒 ) γ = Γ ( γ + 1 ) Γ ( α + γ + 1 ) ( x个 − 秒 ) α + γ .
定义2.3：α>0阶Riemann-Liouville分数导数 （f） ∈ C类 − 1 n个 ，   n个 ∈ ℕ 定义为：
D类 ^ 秒 α （f） ( x个 ) = { d日 n个 d日 x个 n个 J型 n个 − α （f） ( x个 ) ， n个 − 1 < α < n个 ， d日 n个 d日 x个 n个 （f） ( x个 ) ， α = n个 .
在下一个定义中，我们将引入一个改进的分数阶微分算子 D类 秒 α .
定义2.4：α>0阶的Caputo分数导数 （f） ∈ C类 − 1 n个 ，   n个 ∈ ℕ 定义为：
D类 秒 α （f） ( x个 ) = { J型 秒 n个 − α （f） ( n个 ) ( x个 ) ， x个 > 秒 ≥ 0 ， n个 − 1 < α < n个 ， d日 n个 （f） ( x个 ) d日 x个 n个 ， α = n个 .
对于算子的某些性质 D类 秒 α ，很明显，当 γ > − 1 ，   x个 > 秒 ≥ 0 、和 C类 ∈ ℝ ，我们有 D类 秒 α ( x个 − 秒 ) γ = Γ ( γ + 1 ) Γ ( γ + 1 − α ) ( x个 − 秒 ) γ − α 和 D类 秒 α C类 = 0 .
引理2.1：如果 n个 − 1 < α ≤ n个 ， （f） ∈ C类 μ n个 ， n个 ∈ ℕ 、和 μ ≥ − 1 ，然后 D类 秒 α J型 秒 α （f） ( x个 ) = （f） ( x个 ) 和 J型 秒 α D类 秒 α （f） ( x个 ) = （f） ( x个 ) − ∑ j个 = 0 n个 − 1 （f） ( j个 ) ( 秒 + ) ( x个 − 秒 ) j个 j个 ! ，其中 x个 > 秒 ≥ 0 .

3.分数幂级数表示

在本节中，我们将把一些与CPS有关的重要定义和定理推广到Caputo定义意义下的分数形式。与级数收敛有关的新结果 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 还介绍了。然后，利用了一些关注FPS收敛半径的结果。
在这项工作中，需要以下定义，特别是在以下两部分中，关于分数导数的近似、分数积分和FDE的求解。
定义3.1：形式的幂级数表示
∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 ( t吨 − t吨 0 )   n个 α = c（c） 0 + c（c） 1 ( t吨 − t吨 0 ) α + c（c） 2 ( t吨 − t吨 0 ) 2 α + …   ，  
其中0≤米− 1 <α≤米和t吨≥t吨0称为FPS关于t吨0，其中t吨是一个变量，并且C类n个的是称为级数系数的常数。
作为特殊情况，当t吨0=0扩展 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 称为分数Maclaurin级数。请注意，在写出对应于n个在方程式（8）中=0，我们采用了这样的约定：(t吨−t吨0)0=1，即使在t吨=t吨0。此外，当t吨=t吨0式（8）中的每一项消失n个≥1等。另一方面，当t吨=t吨0.为了简化我们的注释，我们将只处理以下情况t吨0在前四个定理中为=0。这并不是一般性的损失，因为t吨’ =t吨−t吨0将FPS降低约t吨0FPS约为0。
定理3.1：FPS有以下两种情况 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α ， t吨 ≥ 0 :
(1)
如果FPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 在以下情况下收敛 t吨 = b条 > 0 ，然后每当 0 ≤ t吨 < b条 ，
(2)
如果FPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 当 t吨 = d日 > 0 ，然后每当 t吨 > d日 .
证明：对于第一部分，假设 ∑ ​ c（c） n个 b条 n个 α 聚合。那么，我们有 极限 n个 → ∞ c（c） n个 b条 n个 α = 0 .根据序列极限的定义 ε = 1 ，有一个正整数 N个 这样的话 | c（c） n个 b条 n个 α | < 1 无论何时 n个 ≥ N个 因此，对于 n个 ≥ N个 ，我们有 | c（c） n个 t吨 n个 α | = | c（c） n个 b条 n个 α t吨 n个 α b条 n个 α | = | c（c） n个 b条 n个 α | | t吨 b条 | n个 α < | t吨 b条 | n个 α 。同样，如果 0 ≤ t吨 < b条 ，然后 | t吨 b条 | α < 1 ，所以 ∑ ​ | t吨 b条 | n个 α 是收敛的几何级数。因此，通过对比测试 ∑ n个 = N个 ∞ | c（c） n个 t吨 n个 α | 是收敛的。因此，该系列 ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 绝对收敛，因此收敛。为了证明剩下的部分，假设 ∑ ​ c（c） n个 d日 n个 α 分歧。现在，如果 t吨 是任何这样的数字 t吨 > d日 > 0 ，然后 ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 无法收敛，因为在案例1中 ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 意味着 ∑ ​ c（c） n个 d日 n个 α 因此， ∑ ​ c（c） n个 d日 n个 α 每当 t吨 > d日 这就完成了证明。
定理3.2：对于FPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α ， t吨 ≥ 0 ，只有三种可能性：
(1)
级数仅在以下情况下收敛 t吨 = 0 ，
(2)
级数对每一项都收敛 t吨 ≥ 0 ，
(3)
有一个正实数 R（右）   使得每当 0 ≤ t吨 < R（右） 在任何时候 t吨 > R（右） .
证明：假设情况1和情况2都不是真的。那么，就有非零数字 b条 和 d日 这样的话 ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 收敛于 t吨 = b条 并偏离 t吨 = d日 . 因此，集合 S公司 = { t吨 | ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 聚合}不为空。根据前面的定理，如果 t吨 > d日 ，所以 0 ≤ t吨 ≤ d日 对于每个 t吨 ∈ S公司 这说明了 d日 是的上限 S公司 因此，根据完备性公理， S公司 具有最小上限 R（右） .如果 t吨 > R（右） ，然后 t吨 ∉ S公司 ，所以 ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 分歧。如果 0 ≤ t吨 < R（右） ，然后 t吨 不是的上限 S公司 所以存在 b条 ∈ S公司 这样的话 b条 > t吨 .自 b条 ∈ S公司 和 ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 收敛，所以根据前面的定理 ∑ ​ c（c） n个 t吨 n个 α 收敛，因此定理的证明是完整的。
备注3.1：数字 R（右） 在定理3.2的情况3中，称为FPS的收敛半径。按照惯例，收敛半径为   R（右） = 0 在案例1和 R（右） = ∞ 在案例2中。
定理3.3：CPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 ，   − ∞ < t吨 < ∞ 具有收敛半径   R（右） 当且仅当FPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α ，   t吨 ≥ 0 具有收敛半径   R（右） 1 / α .
证明：如果我们改变变量t吨=x个α，x个≥0，则CPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 成为 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 α .此级数收敛于0≤x个α<R（右），即0≤x个<R（右）1/α，因此FPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 α 具有收敛半径R（右）1/α相反，如果我们改变变量t吨=x个1/α，x个≥0，则FPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 成为 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 事实上，这个级数收敛于0≤x个1/α<R（右）1/α即0≤x个<R（右）.自两个系列 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 ，   x个 ≥ 0 和 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 ， −∞ <x个<∞具有相同的收敛半径 R（右） = 极限 n个 → ∞ | c（c） n个 c（c） n个 + 1 | ，CPS的收敛半径 ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 ， −∞ <x个<∞为R（右），因此定理的证明是完整的。
定理3.4：假设FPS ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 具有收敛半径   R（右） > 0 .如果 （f） ( t吨 ) 是由定义的函数 （f） ( t吨 ) = ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 0≤t吨<R（右），则对于0≤米− 1 <α<米且0≤t吨<R（右），我们有：
D类 0 α （f） ( t吨 ) = ∑ n个 = 1 ∞ c（c） n个 Γ ( n个 α + 1 ) Γ ( ( n个 − 1 ) α + 1 ) t吨 ( n个 − 1 ) α ，
熵15 05305 i001
证明：定义 克 ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 x个 n个 对于0≤x个<R（右）α，其中R（右）α是收敛半径。然后：
熵15 05305 i002
其中0≤τ<x个<R（右）α另一方面，如果我们改变变量x个=t吨α，t吨方程（11）中≥0，并使用运算符的属性 D类 0 α ，我们得到：
熵15 05305 i003
对于其余部分，考虑到克(x个)以上可以得出以下结论：
熵15 05305 i004
其中0≤τ<x个<R（右）α类似地，如果我们改变变量x个=t吨α，t吨将≥0代入式（13）中，可以得出：
熵15 05305 i005
所以这个定理的证明是完整的。
定理3.5：假设（f）在处具有FPS表示t吨0形式：
熵15 05305 i006
如果（f）(t吨) ∈C类[t吨0，t吨0+R（右）)和   D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 ) ∈ C类 ( t吨 0 ， t吨 0 + R（右） ) 对于n个=0,1,2，…，然后系数c（c）n个式（15）中的形式为 c（c） n个 = D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( n个 α + 1 ) ，其中 D类 t吨 0 n个 α = D类 t吨 0 α · D类 t吨 0 α · … · D类 t吨 0 α (n个-次）。
证明：假设（f）是可以用FPS展开表示的任意函数。首先，请注意，如果我们t吨=t吨0在方程（15）中，第一个项之后的每一项都消失了，因此我们得到c（c）0=（f）(t吨0). 另一方面，通过使用方程式（9），我们得到：
D类 t吨 0 α （f） ( t吨 ) = c（c） 1 Γ ( α + 1 ) + c（c） 2 Γ ( 2 α + 1 ) Γ ( α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) α + c（c） 三 Γ ( 三 α + 1 ) Γ ( 2 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) 2 α + … ，
哪里t吨0≤t吨<t吨0+R（右）.替换t吨=t吨0式（16）中得出 c（c） 1 = D类 t吨 0 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( α + 1 ) 再次，通过将方程（9）应用于方程（16）中的级数表示，可以得出：
D类 0 2 α （f） ( t吨 ) = c（c） 2 Γ ( 2 α + 1 ) + c（c） 三 Γ ( 三 α + 1 ) Γ ( α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) α + c（c） 4 Γ ( 4 α + 1 ) Γ ( 2 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) 2 α + … ，
哪里t吨0≤t吨<t吨0+R（右）.这里，如果我们把t吨=t吨0则所得结果为 c（c） 2 = D类 t吨 0 2 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( 2 α + 1 ) 到目前为止，我们可以看到模式并发现c（c）n个然而，如果我们继续经营 D类 t吨 0 α (∙)n个-时间和替代t吨=t吨0，我们可以 c（c） n个 = D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( n个 α + 1 ) ，   n个 = 0 ， 1 ， 2 ， … 这就完成了证明。
我们在这里提到 c（c） n个 = D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( n个 α + 1 ) ，   n个 = 0 ， 1 ， 2 ， … 回到方程（15）的级数表示，将得到以下展开式（f）关于t吨0:
（f） ( t吨 ) = ∑ n个 = 0 ∞ D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( n个 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) n个 α ，   0 ≤ 米 − 1 < α ≤ 米 ，   t吨 0 ≤ t吨 < t吨 0 + R（右） ，
这与在[46]用于0<α≤ 1.
定理3.6：假设（f）具有广义泰勒级数表示t吨0形式：
（f） ( t吨 ) = ∑ n个 = 0 ∞ D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( n个 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) n个 α ，   0 ≤ 米 − 1 < α ≤ 米 ，   t吨 0 ≤ t吨 < t吨 0 + R（右） .
如果 D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 ) ∈ C类 ( t吨 0 ， t吨 0 + R（右） ) 对于 n个 = 0 ， 1 ， 2 ， … ， 然后 D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) = Γ ( n个 α + 1 ) n个 ! 克 ( n个 ) ( t吨 0 ) ， 哪里 克 ( t吨 ) = （f） ( ( t吨 − t吨 0 ) 1 / α + t吨 0 ) ， t吨 0 ≤ t吨 < t吨 0 + R（右） α .
证明：如果我们改变变量 t吨 = ( x个 − t吨 0 ) 1 / α + t吨 0 ， t吨 0 ≤ x个 < t吨 0 + R（右） α 代入方程（19），则我们得到：
克 ( x个 ) = （f） ( ( x个 − t吨 0 ) 1 / α + t吨 0 ) = ∑ n个 = 0 ∞ D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( n个 α + 1 ) ( x个 − t吨 0 ) n个 ，   t吨 0 ≤ x个 < t吨 0 + R（右） α .
但自那以后，CPS代表了克(x个)关于t吨0采用以下形式：
克 ( x个 ) = ∑ n个 = 0 ∞ 克 ( n个 ) ( t吨 0 ) n个 ! ( x个 − t吨 0 ) n个 ，   t吨 0 ≤ x个 < t吨 0 + R（右） α .
然后，方程（20）和（21）中的两个幂级数展开收敛到相同的函数克(x个). 因此，相应的系数必须相等，因此 D类 t吨 0 n个 α （f） ( t吨 0 ) = Γ ( n个 α + 1 ) n个 ! 克 ( n个 ) ( t吨 0 ) 这就完成了证明。
与任何收敛级数一样，这意味着（f）(t吨)是部分和序列的极限。在广义泰勒级数的情况下，部分和为 T型 n个 ( t吨 ) = ∑ j个 = 0 n个 D类 t吨 0 j个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( j个 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) j个 α 一般来说，（f）(t吨)是其广义泰勒级数的和，如果 （f） ( t吨 ) = 极限 n个 → ∞ T型 n个 ( t吨 ) 在另一方面，如果我们允许R（右）n个(t吨) =（f）(t吨)负极T型n个(t吨)，然后R（右）n个(t吨)是广义泰勒级数的剩余部分。
定理3.7：假设（f）(t吨) ∈C类[t吨0，t吨0+R（右）)和 D类 t吨 0 j个 α （f） ( t吨 ) ∈ C类 ( t吨 0 ， t吨 0 + R（右） ) 对于j个= 0,1,2,…,n个+1，其中0<α≤1。然后（f）可以表示为：
（f） ( t吨 ) = ∑ j个 = 0 n个 ( D类 t吨 0 j个 α （f） ) ( t吨 0 ) Γ ( j个 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) j个 α + J型 t吨 0 ( n个 + 1 ) α D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ t吨 0 + R（右） .
证明：从运算符的某些属性 J型 α α 和引理2.1，我们可以发现：
熵15 05305 i007
如果我们不断重复这个过程，那么n个-计算次数，我们可以发现 J型 t吨 0 ( n个 + 1 ) α D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) = （f） ( t吨 ) − ∑ j个 = 0 n个 ( D类 t吨 0 j个 α （f） ) ( t吨 0 ) Γ ( j个 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) j个 α ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ t吨 0 + R（右） ，因此定理的证明是完整的。
定理3.8：如果 | D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) | ≤ M（M） 在t吨0≤t吨≤d日，其中0<α≤1，则提示R（右）n个(t吨)广义泰勒级数将满足不等式：
| R（右） n个 ( t吨 ) | ≤ M（M） Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) ( n个 + 1 ) α ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ d日 .
证明：首先，假设 D类 t吨 0 j个 α （f） ( t吨 ) 存在于 j个 = 0 ， 1 ， 2 ， … ， n个 + 1 并且：
| D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) | ≤ M（M） ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ d日 .
从提醒的定义 R（右） n个 ( t吨 ) = （f） ( t吨 ) − ∑ j个 = 0 n个 D类 t吨 0 j个 α （f） ( t吨 0 ) Γ ( j个 α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) j个 α 人们可以获得 R（右） n个 ( t吨 0 ) = D类 t吨 0 α R（右） n个 ( t吨 0 ) = D类 t吨 0 2 α R（右） n个 ( t吨 0 ) = … = D类 t吨 0 n个 α R（右） n个 ( t吨 0 ) = 0 和 D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α R（右） n个 ( t吨 ) = D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ d日 . 由方程式（25）可知 | D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) | ≤ M（M） 因此， − M（M） ≤ D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) ≤ M（M） ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ d日 另一方面，我们有：
熵15 05305 i008
但从定理3.7开始，我们得到 J型 t吨 0 ( n个 + 1 ) α D类 t吨 0 ( n个 + 1 ) α （f） ( t吨 ) = R（右） n个 ( t吨 ) 因此，通过执行方程（26）中的运算，我们可以找到不等式 − M（M） ( t吨 − t吨 0 ) ( n个 + 1 ) α Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) ≤ R（右） n个 ( t吨 ) ≤ M（M） ( t吨 − t吨 0 ) ( n个 + 1 ) α Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ d日 相当于 | R（右） n个 ( t吨 ) | ≤ M（M） Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) ( t吨 − t吨 0 ) ( n个 + 1 ) α ， t吨 0 ≤ t吨 ≤ d日 ，因此定理的证明是完整的。
定理3.9：假设 （f） 具有FPS表示形式 t吨 0 表单的
（f） ( t吨 ) = ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 ( t吨 − t吨 0 ) n个 α ，   0 ≤ 米 − 1 < α ≤ 米 ，   t吨 0 ≤ t吨 < t吨 0 + R（右） ，
哪里R（右）是收敛半径。然后（f）在中进行分析(t吨0，t吨0+R（右）)
证明：让 克 ( t吨 ) = ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 ，   | t吨 | < R（右） α 和小时(t吨) = (t吨−t吨0)α，t吨0≤t吨<t吨0+R（右）, 0 ≤米− 1 <α≤米.然后克(t吨)和小时(t吨)是解析函数，因此构成(克∘小时)(t吨) =（f）(t吨)在中进行分析(t吨0，t吨0+R（右）). 这就完成了证明。

4.应用一：逼近函数的分数导数和积分

为了说明所给出的结果在逼近函数在给定点的分数导数和积分时的性能，我们考虑了两个示例。另一方面，我们在近似步骤中使用定理3.4、3.6和广义泰勒级数（18）。然而，所得结果彼此吻合良好。在计算过程中，所有符号和数值计算均使用Mathematica 7软件包进行。
应用4.1：考虑以下非基本函数：
（f） ( t吨 ) = 1 1 − t吨 α ，   α > 0 ，   0 ≤ t吨 .
分数Maclaurin级数表示（f）(t吨)关于t吨=0是 ∑ n个 = 0 ∞ D类 0 n个 α （f） ( 0 ) Γ ( n个 α + 1 ) t吨 n个 α ，   α > 0 ，   t吨 ≥ 0 根据定理3.6，我们可以得出如下结论 D类 0 n个 α （f） ( 0 ) = Γ ( n个 α + 1 ) n个 ! 克 ( n个 ) ( 0 )   ，   α > 0 ，   t吨 ≥ 0 ，其中 克 ( t吨 ) = （f） ( t吨 1 / α ) = 1 1 − t吨 和克(n个)(0) =n个!. 换句话说，分数Maclaurin级数 （f） ( t吨 ) 可以写为 ∑ n个 = 0 ∞ t吨 n个 α ，   α > 0 ，   t吨 ≥ 0 事实上，这是一个收敛的几何级数 t吨 α 因此，级数对于每个 0 ≤ t吨 α < 1 然后针对每个 0 ≤ t吨 < 1 .因此 （f） ( t吨 ) ，   0 ≤ t吨 < 1 是其分数Maclaurin级数表示的总和。注意，此结果可用于近似函数 D类 0 α （f） ( t吨 ) 和 J型 0 α （f） ( t吨 ) 在 0 ≤ t吨 < 1 然而，根据方程（9），函数 D类 0 α （f） ( t吨 ) 可以通过 k个 第个 -其扩展的部分总和如下：
D类 0 α （f） ( t吨 ) ≅ ∑ n个 = 1 k个 Γ ( n个 α + 1 ) Γ ( ( n个 − 1 ) α + 1 ) t吨 ( n个 − 1 ) α ，   α > 0 ，   0 ≤ t吨 < 1
我们的下一个目标是近似函数 D类 0 α （f） ( t吨 ) 以数值表示。为此，表1显示的近似值为 D类 0 α （f） ( t吨 ) 对于的不同值t吨和α在 0 ≤ t吨 < 1 步长为0.1时 k个 = 10 需要注意的是，为了改进结果，我们可以计算不同值的更多近似项 t吨 和 α .
类似地，我们可以使用方程（10）来近似函数 J型 0 α （f） ( t吨 ) 以数值表示 k个 第个 -其扩展的部分总和为：
J型 0 α （f） ( t吨 ) ≅ ∑ n个 = 0 k个 Γ ( n个 α + 1 ) Γ ( ( n个 + 1 ) α + 1 ) t吨 ( n个 + 1 ) α ，   α > 0 ，   0 ≤ t吨 < 1
表2显示的近似值为 D类 0 α （f） ( t吨 ) 对于不同的值t吨和α0≤t吨步长为0.1时<1k个= 10. 如前表和结果所示，应注意，计算更多级数表示项将提高近似值的精度，因此可以获得良好的近似值。
表
表1。的近似值 D类 0 α （f） ( t吨 ) 什么时候k个=应用4.1的10。
表1。的近似值 D类 0 α （f） ( t吨 ) 什么时候k个=应用4.1的10。
t吨 α= 0.5 α= 0.75 α= 1.5 α= 2
0 0.886227 0.919063 1.329340 2
0.1 1.448770 1.253617 1.481250 2.123057
0.2 1.918073 1.619507 1.814089 2.531829
0.3 2.499525 2.113559 2.385670 3.370618
0.4 3.261329 2.825448 3.371164 4.994055
0.5 4.277607 3.899429 5.179401 8.295670
0.6 5.635511 5.569142 8.843582 15.839711
0.7 9.803122 8.201646 17.203979 36.370913
0.8 9.803122 12.353432 38.389328 104.441813
0.9 12.869091 18.839971 95.486744 365.976156
表
表2。的近似值 J型 0 α （f） ( t吨 ) 什么时候k个=应用4.1的10。
表2。的近似值 J型 0 α （f） ( t吨 ) 什么时候k个=应用4.1的10。
t吨 α= 0.5 α= 0.75 α= 1.5 α= 2
0 0 0 0 0
0.1 0.121746 0.025296 0.025296 0.000008
0.2 0.289460 0.080361 0.001859 0.000136
0.3 0.509120 0.165975 0.006551 0.000700
0.4 0.795368 0.289398 0.016399 0.002283
0.5 1.169853 0.463570 0.034285 0.005812
0.6 1.662260 0.709964 0.064487 0.012745
0.7 2.311743 1.063626 0.114028 0.025437
0.8 3.168540 1.580987 0.195965 0.048045
0.9 4.295695 2.351284 0.338186 0.089143
应用程序4.2：考虑以下Mittag-Lefler函数：
熵15 05305 i009
Mittag-Lefler函数[47]在求解线性FDE中起着非常重要的作用[三，8]. 事实上，这类FDE的解是根据E类α(t吨α). 请注意 D类 0 n个 α (E类α(t吨α)) ∈C类（0，∞）n个∈ ℕ 和α> 0. 在[46]作者对函数进行了近似E类α(t吨α)对于不同的值t吨当0时<α≤1乘以其膨胀的第10个部分之和。然而，使用方程（9）和（10）这两个函数 D类 0 α (E类α(t吨α))和 J型 0 α (E类α(t吨α))可以分别通过以下公式近似k个-部分总和：
熵15 05305 i010
再次，为了证明FPS表示在近似Mittag-Lefler函数时的有效性，表3和表4将把 D类 0 α (E类α(t吨α))和J型(E类α(t吨α))对于不同的值t吨0上的α≤t吨步长0.4时≤4k个= 10.
表
表3。的近似值 D类 0 α (E类α(t吨α))何时k个=应用程序4.2的10。
表3。的近似值 D类 0 α (E类α(t吨α))何时k个对于应用4.2，=10。
t吨 α= 0.5 α= 0.75 α= 1.5 α= 2
0 1 1 1 1
0.4 2.430013 1.800456 1.201288 1.081072
0.8 3.991267 2.816662 1.630979 1.337435
1.2 6.220864 4.298057 2.324700 1.810656
1.6 9.451036 6.489464 3.389416 2.577464
2 14.097234 9.743204 4.996647 3.762196
2.4 20.683136 14.543009 7.407121 5.556947
2.8 29.857007 21.721976 11.012177 8.252728
3.2 42.406132 32.250660 16.396938 12.286646
3.6 59.270535 47.649543 24.435073 18.312779
4 81.556340 69.980001 36.430382 27.308232
表
表4。的近似值 J型 0 α (E类α(t吨α))何时k个=应用程序4.2的10。
表4。的近似值 J型 0 α (E类α(t吨α))何时k个=应用程序4.2的10。
t吨 α= 0.5 α= 0.75 α= 1.5 α= 2
0 0 0 0 0
0.4 1.430036 0.800456 0.201288 0.081072
0.8 2.992286 1.816664 0.630979 0.337435
1.2 5.230333 3.298122 1.324701 0.810656
1.6 8.497108 5.490163 2.389416 1.577464
2 13.254431 8.747610 3.996647 2.762196
2.4 20.111627 13.592834 6.407121 4.556947
2.8 29.857352 20.792695 10.012177 7.252728
3.2 43.491129 31.463460 15.396941 11.286646
3.6 62.255682 47.211856 23.435091 17.312779
4 87.670285 70.321152 35.430382 26.308232

5.应用二：分数阶微分方程的级数解

在本节中，我们使用FPS技术求解给定初始条件下的FDE。这种方法不是新的，但它是对本工作中定理的有力应用。此外，在非线性FDE上应用了一种新的技术，以找出递推关系，该递推关系给出了FPS解的系数值，我们将在应用程序（5.3）和（5.4）中看到。
应用5.1：考虑以下线性分数方程[48]:
熵15 05305 i011
根据初始条件：
熵15 05305 i012
其中ω，年0和ρ0是真实的有限常数。
FPS技术包括将方程（33）和（34）的解表示为关于初始点的FPS展开式t吨=0。为了实现我们的目标，我们假设此解决方案采用等式（8）的形式，即：
熵15 05305 i013
从公式（9）可以得出 熵15 05305 i037另一方面，很容易看出：
熵15 05305 i014
为了近似方程（33）和（34）的解，将方程（35）和（36）的展开式代入方程（33
熵15 05305 i015
系数的等式t吨nα等式（37）两侧的零导致以下结果： 熵15 05305 i038考虑到初始条件（34），可以获得c（c）0=年0和 熵15 05305 i039事实上，根据这些结果t吨nα可以分为两类。偶数索引项和奇数索引项，其中偶索引项的形式为 熵15 05305 i040等等，以及奇数指数项 熵15 05305 i041因此，我们可以得到以下级数展开解：
熵15 05305 i016
另一方面，根据Mittag-Lefler函数，方程（33）和（34）的精确解具有与精确解一致的一般形式：
熵15 05305 i017
应用5.2：考虑以下复合线性分数方程[39]:
熵15 05305 i018
根据初始条件：
熵15 05305 i019
使用FPS技术并考虑公式（8），解决方案年(t吨)式（40）和（41）的公式可以写成：
熵15 05305 i020
为了完成FPS技术的公式化，我们必须计算函数 熵15 05305 i042然而，这些函数的形式分别如下：
熵15 05305 i021
但是自从{t吨|t吨≥0}是解的域，则系数的值c（c）1和c（c）三必须为零。在另一方面，将初始条件（41）代入方程（42）并代入 D类 0 1 年(t吨)式（43）中给出c（c）0=0和c（c）2= 0. 因此，函数的离散形式年(t吨), D类 0 1/2 年(t吨)、和 D类 0 2 年(t吨)获得。生成的新表格如下：
熵15 05305 i022
现在，将方程（44）代入方程（40），将t吨不适用于2在所得方程中归零，并最终识别系数，然后我们将递归地获得以下结果： 熵15 05305 i043、和 熵15 05305 i044因此年(t吨)是：
熵15 05305 i023
FPS技术的优点是可以在积分区间内选取任意点，并且近似解及其所有导数都适用。换句话说，将获得连续近似解。无论如何，表5显示了第15个近似值年(t吨), D类 0 1/2 年(t吨), D类 0 2 年(t吨)和不同值的残差函数t吨0≤t吨步长为0.2时≤1，其中剩余误差函数定义为 熵15 05305 i045.
表
表5。第15个近似值年(t吨), D类 0 1/2 年(t吨)、和 D类 0 2 年(t吨)和Res(t吨)适用于应用5.2。
表5。第15个近似值年(t吨), D类 0 1/2 年(t吨)、和 D类 0 2 年(t吨)和Res(t吨)适用于应用5.2。
t吨 年(t吨) D类 0 1/2 年(t吨) D类 0 2 年(t吨) Res公司(t吨)
0 0 0 0 0
0.2 0.157037 0.525296 7.317668 6.211481×10−7
0.4 0.604695 1.413213 5.982030 6.167617×10−5
0.6 1.290452 2.420120 4.288506 9.217035 × 10−4
0.8 2.1472288 3.409426 2.437018 6.327666 × 10−3
1 3.101501 4.282177 0.587987 2.833472 × 10−2
从上表可以看出，FPS技术为我们提供了方程（40）和（41）的精确近似解。此外，我们可以注意到，在独立区间的初始值处，近似解更加精确。
应用5.3：考虑以下非线性分数方程[40]:
熵15 05305 i024
根据初始条件：
熵15 05305 i025
哪里米是一个正整数。
与前面的讨论类似，FPS解决方案采用以下形式 熵15 05305 i046另一方面，根据初始条件（47），系数c（c）0必须等于零。因此：
熵15 05305 i026
众所周知，在非线性FDE情况下，找到对应于FPS表示的递推关系，然后发现系数的值通常是不容易的。因此，将在本应用中使用一种新技术，以找出FPS解的系数值。为了实现我们的目标，我们定义了所谓的αk四阶微分方程如下：
熵15 05305 i027
很明显，当k个＝0时，方程（49）与方程（46）相同。因此，方程式（48）中的FPS表示是αk四阶微分方程（49）；即：
熵15 05305 i028
根据方程（9），将得到方程（50）的新离散版本，如下所示：
熵15 05305 i029
哪里X（X）k个=1，如果k个=0和X（X）k个=0，如果k个≥ 1. 根据定理3.2和3.4αkFPS表示的th-导数方程（48）至少收敛于t吨=0，对于k个= 0,1,2,…. 因此，替代t吨方程（51）中的=0给出了以下递推关系，它决定了系数的值c（c）n个属于t吨nα:c（c）0= 0, c（c） 1 = 1 第页 ( α + 1 ) 、和 熵15 05305 i047对于k个= ,1,2,…. 如果我们收集并将这些系数值代入方程（48），则方程（46）和（47）的精确解具有与一般展开式一致的一般形式：
熵15 05305 i030
事实上，这些系数与通过Adomian分解方法获得的级数解的系数相同[40]. 此外，如果α=1，则方程（46）和（47）的级数解为：
熵15 05305 i031
这与等式（46）和（47）在普通意义上的精确解非常吻合。
表6显示了第15个近似值年(t吨)以及不同值的残差函数t吨和α0≤t吨步长为0.2时≤1，其中剩余误差函数定义为 熵15 05305 i048然而，以下计算结果为FPS技术的收敛性提供了数值估计。同样清楚的是，使用本技术获得的精度仅通过使用几个近似项而提高。此外，我们可以得出结论，通过评估解的更多成分可以获得更高的精度。事实上，该表中报告的结果证实了该技术的有效性和良好的准确性。
应用5.4：考虑以下复合非线性分数方程[40]:
熵15 05305 i032
根据初始条件：
熵15 05305 i033
哪里c（c）0和c（c）1是实的有限常数。
表
表6。第15个近似值年(t吨)和Res(t吨)适用于应用5.3。
表6。第15个近似值年(t吨)和Res(t吨)适用于应用5.3。
t吨 年(t吨;α= 1.5) Res公司(t吨;α= 1.5) 年(t吨;α= 2.5) 雷斯(t吨;α= 2.5)
0 0 0 0 0
0.2 0.067330 2.034437 × 10−17 0.005383 3.103055 × 10−16
0.4 0.191362 4.370361 × 10−17 0.030450 1.252591 × 10−15
0.6 0.356238 2.850815 × 10−13 0.083925 7.275543 × 10−16
0.8 0.563007 2.897717 × 10−10 0.172391 1.022700 × 10−15
1 0.822511 6.341391×10−8 0.301676 1.998026 × 10−16
同样，使用FPS扩展，我们假设解决方案年(t吨). 方程（54）和（55）的形式可展开为 年 ( t吨 ) = ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α 因此，所谓的 α k个 方程（54）和（55）的一阶微分方程为：
D类 0 k个 α [ ( D类 0 2 α ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α ) − ( D类 0 α ∑ n个 = 0 ∞ c（c） n个 t吨 n个 α ) 2 − 1 ] = 0 ，   k个 = 0 ， 1 ， 2 ， … .
根据方程（9）和无穷级数的柯西积，得到方程（56）的离散形式如下：
熵15 05305 i034
事实上，根据方程式（9），方程式（57）可以很容易地再次简化为等效形式：
熵15 05305 i035
哪里 χ k个 = 1 如果 k个 = 0 和 χ k个 = 0 如果 k个 ≥ 1 然而，替换 t吨 = 0 式（58）中给出了以下递推关系，它决定了系数的值 c（c） n个 属于 t吨 n个 α :c（c）0和c（c）1武断， c（c） 2 = Γ ( 2 α + 1 ) 1 + c（c） 1 2 ( Γ ( α + 1 ) ) 2 和 c（c） k个 + 2 = Γ ( k个 α + 1 ) Γ ( ( 2 + k个 ) α + 1 ) ∑ j个 = 0 k个 c（c） j个 + 1 c（c） k个 − j个 + 1 Γ ( ( j个 + 1 ) α + 1 ) Γ ( j个 α + 1 ) Γ ( ( k个 − j个 + 1 ) α + 1 ) Γ ( ( k个 − j个 ) α + 1 ) 对于 k个 = 1 ， 2 ， … 因此，通过简单的计算，我们可以获得方程（54）和（55）的一般解与以下展开式很好地一致：
熵15 05305 i036 熵15 05305 i049
为了便于计算和新的推广，可以为两个常数指定一些特定值c（c）0和c（c）1在实数或复数集合中。

6.结论

这项工作的基本目标是将CPS的主要定理推广到FPS中。这一目标已经成功实现，其中卡普托分数阶导数定义被用于构造其中一些定理和关系。一些作者导出的0的广义泰勒公式<α≤1现在可以循环使用米− 1 <α≤米，米∈ ℕ. 分数导数是在某些约束条件下用普通导数表示的，我们希望在未来可以不受任何约束地实现这一结果。本文证明的定理用于近似函数的分数导数和积分，这些函数可以写成FPS表示。这些定理可以简化和修改用于求解FDE和分数阶积分微分方程的一些方法，如微分变换法、同伦分析法、Adomian分解法等。

致谢

作者想对不知名的推荐人表示感谢，感谢他们的仔细阅读和有益的评论。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

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芝加哥/图拉宾风格

El-Ajou、Ahmad、Omar Abu Arqub、Zeyad Al Zhour和Shaher Momani。2013.“分数幂级数的新结果：理论和应用”熵第15页，第12页：5305-5323。https://doi.org/10.3390/e15125305

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