1.简介
纠缠是量子力学最基本的特征之一。从历史上看，它引发了关于量子力学的不确定性特征的长期争论。最近，它在量子信息和量子计算等新研究领域的发展中发挥了关键作用。纠缠是量子系统各部分之间空间相关性的表征。它是由纠缠熵（EE）测量的，纠缠熵是追踪系统不可观测部分的自由度时产生的冯·诺依曼熵。
近年来，EE的概念被广泛用于研究量子场论（QFT）和物质的量子相（例如自旋链和量子液体[1,2,三,4]). 此外，在反德西特/共形场理论（AdS/CFT）对应的背景下，对具有引力对偶的CFT的EE提出了一个有趣的几何解释[5,6,7]. 由t Hooft首次确认[8,9,10,11,12,13,14,15,16]EE对于理解黑洞熵的微观起源和解决黑洞物理中的信息难题也起到了关键作用。黑洞几何中的量子态被视界分割成两个不相连的部分，外部观测者必须追踪黑洞内部的状态部分。另一个有力的暗示表明纠缠和Bekenstein-Hawking（BH）熵之间存在着基本关系，这两个量都可以作为边界的面积进行缩放。 不幸的是，任何试图将BH熵解释为量子纠缠的尝试都受到概念和技术困难的困扰。
首先，通常对BH熵的统计解释——目的是从微观状态解释黑洞熵——在概念上与EE截然不同，EE测量的是观察者在无法进入的时空区域中缺乏关于系统量子状态的信息。这个问题变得更加复杂，超出了半经典近似。事实上，在通常的欧几里德量子引力公式中，除了其边界值外，度量不能预先确定（参见例如[17])，而EE通常的平面空间概念需要固定体积类空间区域的长度。第二，EE既取决于物质场物种的数量，物质场的纠缠应能再现BH熵，也取决于紫外（UV）截止值，该截止值用于调节因时空可及和不可及区域之间存在尖锐边界而产生的分歧；相反，BH熵应该是普适的。 规避这些困难的一个可能的捷径是考虑CFT对偶引力理论，并利用AdS/CFT对应关系来确定黑洞EE和对偶CFT的EE。这种方法可以将黑洞EE的计算简化为时空几何非动力学的场论计算。
在本文中，我们使用这种方法来计算二维（2D）和三维（3D）AdS黑洞的EE。二维和三维AdS重力允许根据2D CFT进行双重描述。黑洞EE的计算简化为2D CFT的EE的计算，其表达式非常简单。
我们推导了二维和三维AdS黑洞纠缠熵的显式公式。在这两种情况下，大黑洞质量膨胀中EE的主导项精确地再现了BH熵，而次主导项表现为对数。
这项工作主要基于[18,19]并且表示它们的扩展版本。本文的结构如下。在第2节我们回顾了场论，特别是CFT和黑洞物理中关于EE的一些基本事实。在第3节我们讨论了2D AdS黑洞的EE。在第4节我们讨论了3D AdS黑洞的EE。 2.纠缠熵综述
2.1. QFT中的纠缠
量子纠缠给出了系统各部分之间空间相关性的度量，它是由纠缠熵来度量的。在本文中，我们主要对量子场论（QFT）的EE感兴趣。特别是，我们认为，在[20]，1+1维场理论。让是2D宇宙的类太空坐标。当只有类空切片可用于测量时，我们会丢失有关位于互补区域的自由度的信息。进行测量的子系统是.互补区域的自由度必须进行追踪。EE被证明是无限的，但它可以通过引入紫外截止来正则化ε有必要调整由于区域之间存在尖锐边界而引起的散度P（P）来自该地区问. 描述子系统的密度矩阵问，在跟踪上的变量后P（P），由给出[20]其中系统的波函数为这里Φ表示我们的理论和是普通的c数函数。我们接受在问和在P（P）.与密度矩阵相对应的冯·诺依曼熵(1)使用复制技巧我们首先评估，在以下方面进行区分n个最后达到极限(ρ标准化，以便). 如中所述[21],可以根据路径积分计算n个-薄板黎曼曲面:哪里是通过粘合获得的空间上的配分函数n个原始空间的副本。 2.2. 二维CFT的纠缠熵
使用中描述的一般公式第2.1节原则上可以计算任何QFT的EE。一般来说，这样的计算相当复杂，但在二维共形场理论的情况下，它变得简单得多。这是因为共形对称性可用于确定理论相关函数的形式[20,21,22]. CFT EE的最终表达式取决于2D宇宙的拓扑结构。对于具有圆柱体拓扑的二维时空如所示图1a EE结果是[20,21,22]以下为：哪里c（c）和是2D CFT的中心费用ε是UV截止线。因此，方程式(5)给出了圆柱体上2D CFT的EE,即对于零温度且具有类似空间尺寸的CFT拓扑结构。 对于紧凑的类空维数变为无穷大，时空的平面拓扑如所示图1b，EE与∑无关。在这个极限方程中(5)给出了平面上零温度下二维CFT的EE[20,21,22]以下为：
图1。二维时空的三种不同形式。ϕ是类空坐标t吨是时间型的。
图1。二维时空的三种不同形式。直径是类空坐标t吨是时间型的。
我们也可以考虑有限温度下的二维CFT以及非压缩类空间维度。时空具有圆柱体的拓扑结构C类在中表示图1c和EE结果是[21]以下为：我们还可以考虑具有圆环拓扑结构的时空在这种情况下，EE没有通用形式，但取决于2D CFT的细节[23]. 重要的是要强调气缸C类可以作为环面的极限情况得到具有周期长度β,γ什么时候.英寸第4.6节我们将使用此功能将圆环上CFT的热熵与圆柱体上CFT E关联起来C类. 2.3. AdS/CFT通信和UV/IR连接
在第4节本文将采用基于全息原理的方法计算BTZ黑洞的EE。特别是，我们将使用本节介绍的AdS/CFT对应关系和UV/IR关系。 根据t Hooft提出的全息原理[24]和Susskind[25]，具有描述宏观区域的重力的体理论相当于没有重力存在于该区域边界上的边界理论。 对全息原理最有成果的实现之一是AdS/CFT对应，这是Maldacena推测的[26]1997年。广告/CFT公司对应表示每个场Φ在-维反德西特时空通过一对一的对应关系与操作符相关联在一个d日-定义在时空边界上的维共形场理论。 本质上，AdS/CFT对应可以解释为体中的配分函数与边界上的相关函数之间的关系。体积中的重力配分函数等于算符的相关函数边界上：其中d日-变量的组件参数化AdS的边界和是指定字段边界值的任意函数，使用z（z）在批量中定义。AdS中字段之间的类似关系CFT中的操作员非标量场也存在，包括反德西特时空中的费米子和张量。 AdS/CFT对应关系意味着我们可以用本体重力理论来描述边界量子场论。特别是体理论中的红外（IR）效应描述了-维度反德西特时空对应于d日-定义在边界上的维共形场理论：我们称这种关系为紫外/红外连接[27,28]. 跟随Susskind和Witten[27]，我们为AdS的边界区域引入了一个红外调节器时空是无限的。为此，我们替换边界（位于在空腔坐标中或在在庞加莱坐标系中），球体位于或者，相当于，其中δ是一小部分用作CFT的紫外线调节剂。半径对球体的(我是AdS长度），因此边界面积发散为我们可以解释作为体理论中的IR调节器。 这种紫外/红外连接是全息要求的核心，即自由度的数量应与以普朗克单位测量的边界面积相符[29]. 2.4. 黑洞的纠缠熵
正如引言中已经提到的，在过去几年中，EE的概念被成功地用作理解物质量子相的工具，例如自旋链和量子液体[1,2,三,4]. EE对于研究量子场论的一般特征及其与引力的关系非常有用。特别是，AdS/CFT对应被用于计算具有引力对偶的CFT的EE，c定理也适用于EE，并导出了任意维一般QFT的EE的近似公式[5,6,7,30,31]. 由于它的几何性质，EE也是试图解决黑洞物理中最困难问题之一的自然候选者：Bekenstein-Hawking熵的微观起源。量子纠缠的概念自然而然地出现在游戏中，因为黑洞的视界将时空分为两个子系统，因此视界内的观测者无法将其测量结果传达给外部的观测器。这让霍夫特开始猜测[8]BH黑洞熵可以根据黑洞几何中物质的量子纠缠来理解[9,10,11,12,13,14,15,16]. Bekenstein-Hawking和纠缠熵标度都是边界区域，这一事实进一步支持了这一猜想。在[8]t·霍夫特指出，黑洞视界附近的量子场模式应该由于引力效应而被切断。虽然很难对与此现象相关的物理进行详细计算，但可以通过在一定距离内施加力来模拟此类效应小时从地平线上看，量子场的所有模式都必须消失，这是一道“砖墙”。该模型避免了地平线附近模式的无限堆积，EE的结果不依赖于源的质量或电荷，因此仅是地平线的特性。另一方面，EE取决于数字Z轴黑洞几何中物质场的种类及其值小时必须将UV截止值调整为如果有人想恢复Bekenstein-Hawking的成绩。这是一个问题，因为BH熵应该是普遍的，与物质场和紫外线截止无关。 另一个基本的概念性问题是，很难将黑洞微观状态下BH熵的通常统计解释与EE的含义联系起来，EE测量的是观察者缺乏关于时空不可接近区域中系统量子状态的信息。当超越半经典近似时，这个问题变得更加严重。正如引言中所提到的，纯量子引力的EE概念并不容易定义：主要的障碍来自欧几里得量子引力公式[17]只有度量的边界值可以先验地确定，而EE通常的平面空间概念需要确定体积类空间区域的长度。使用萨哈罗夫的诱导引力方法，其中一些概念问题可能看起来更温和[32,33]，但根本问题仍然存在。 解决这些困难的一个可能方法是考虑CFT对偶引力理论（参见例如[34])并利用AdS/CFT对应来识别黑洞EE和对偶CFT的EE。 采用这种方法有几个优点。如中所述第2.2节，至少对于二维CFT，EE的显式和简单公式是已知的。此外，可以根据时空几何不是动态的场论的EE来定义引力配置的EE，从而避免了欧几里德量子引力方法的常见困难。最后但并非最不重要的是，使用AdS/CFT对应可以解决普遍性问题：人们可以自然地识别紫外线截止小时带有AdS长度我以及物质场的数量Z轴由中央负责c（c）CFT的。 这种方法有两个主要缺点。第一个与AdS/CFT通信是全息的这一事实有关。体积重力理论中的空间相关性在边界CFT的相关性中以高度非局部的方式进行编码。这在UV/IR关系中尤其明显，该关系将AdS空间上的大距离与边界CFT的短距离行为联系起来[27,28]. 由于这一困难，AdS/CFT通信对于理解引力配置的EE，特别是黑洞，只取得了部分成果。在一般情况下，在这方面取得了一些进展[11,12,30]. 奇怪的是，AdS/CFT通信以相反的方式得到了更大的成功，即，根据体积几何量计算边界CFT的EE[5,6,7,35,36,37]. 全息方法的第二大局限性是它只适用于具有CFT对偶的重力模型。此类模型中最重要的一类是AdS重力。在第3节在本文中，我们将研究2D AdS黑洞的EE，而在第4节我们将考虑3D Bañados-Teitelboim-Zanelli（BTZ）黑洞。 3.2D AdS黑洞
二维引力模型被用作玩具模型，用于在简化的背景下处理黑洞物理和量子引力的复杂问题。特别是，它们可以用来描述径向模式（S公司-波扇区）。在本节中，我们使用AdS/CFT对应关系导出了2D AdS黑洞EE的简单形式。这将被证明是可能的，因为2D AdS引力的特殊性，即2D引力可以被认为是由物质场的量子涨落引起的。
3.1. 二维黑洞的纠缠熵
2D AdS黑洞是2D膨胀子引力理论的经典解，在最简单的情况下，用作用来描述，其中AdS长度ℓ与宇宙常数有关λAdS时空的()Φ是一个称为dilaton的标量。2D AdS黑洞解决方案可以写如下[38]以下为：哪里是无量纲2D牛顿常数是地平线半径。 黑洞质量、温度和Bekenstein-Hawking（BH）熵由下式给出[38] 这个AdS/CFT对应关系被用来给出2D AdS黑洞热力学熵的微观意义。BH熵(10)也可以通过计算双CFT中的状态来再现[39,40,41,42]. 已经观察到，如果二维牛顿常数完全由物质场的量子涨落诱导，则在二维黑洞中，熵可以归因于量子纠缠[10,32,33,43]. 但是等式(11)告诉我们2D牛顿常数是由对偶CFT的量子涨落引起的。因此，在半经典近似下，黑洞EE应与2D CFT的真空EE相一致，中心电荷由方程给出(11)在黑洞几何中(9). 黑洞的外部和内部应该分别用一个可观察区域来识别问长度的γ和一个不可观测的区域P（P）长度的在上面描述的2D宇宙中，CFT自由度存在于其中。 然而，有两个障碍阻碍了方程式的直接应用(5):- (1)
方程式(5)适用于二维平面时空，而我们处理的是弯曲的二维背景。 - (2)
导致方程式的计算(5)为类空切片执行问，而在黑洞的情况下，由于坐标奇点位于（地平线的位置）和（AdS时空的时间型渐近边界的位置）。
由于这些几何特征，在黑洞的情况下，我们不能对这两个度量给出直接的含义γ和子系统的问和P（P）.
第二个困难可以通过使用适当的坐标系和正则化程序来规避；第一个困难可以用，而不是方程来解决(5)，Fiola推导的公式等。英寸[10]给出了弯曲背景下CFT真空的EE，哪里c（c）是中央主管(11)和是用于定义CFT真空度的坐标系中公制的保角因子。还要注意，我们使用的是[10]带有反转符号。AdS黑洞必须被视为观测者使用黑洞坐标看到的真空。该观测者将CFT真空视为充满负通量热辐射[38]. 在这个坐标系中，黑洞度量(9)采取形式[38]注意，在方程式中(12)我们只有来自CFT的一个部门（例如，右翼人士）的贡献。CFT对偶到2D膨胀重力是2D CFT的一个手性扇区，如所示[41,42]. 2D AdS黑洞是具有适当边界条件的开弦的对偶黑洞。这些边界条件使得2D CFT只存在一个扇区。 坐标系只覆盖黑洞的外部。在欧几里德空间中，2D流形只有一个边界，对应于,即二维AdS空间的时间型共形边界。度量的保角因子(13)以及纠缠熵(12)，在AdS时空的边界。最简单的正则化程序是在.在这里ε在坐标中起到UV截止的作用σ，这是对偶CFT的自然类空间坐标。但是ε也是坐标的红外截止线第页，这是2D AdS黑洞的自然类空间坐标。 正则化边界与地平线的适当距离是有限的。自ε也可作为IR调节器，方程式中存在IR截止∑(12)结果是多余的。EE仍然取决于紫外线截止ε。AdS/CFT通信使我们能够识别ε作为CFT的紫外线截止线：比例系数可以通过要求方程的解析延拓来确定(14)下面是变换下的不变量它可以交换内部和外部区域。此要求修复了. 综合起来，我们从方程中得到(12)经典黑洞几何中2D CFT的EE：必须用2D AdS黑洞的EE来识别。纠缠熵(14)具有作为地平线半径函数的预期行为或者，相当于黑洞的质量米.在AdS基态下变为零()，而它是单调增长的(). 黑洞EE(14)形式与有限温度下2D CFT的EE非常相似（参见方程式(7)). 另一方面，我们的公式(14)与零温度下CFT的EE不同（见方程式(5))通过双曲线与三角函数的交换。这表明方程式(5)可以作为解析延拓得到我们的公式(14),即通过考虑解决方案(9)负质量。解析连续解由方程给出(9)带有在保角规中，解现在读数. 就2D CFT而言，我们必须追踪类空切片外的自由度.应用方程式(12)对于具有两个边界点的类空切片，并适当重新定义UV截止线ε，我们得到 因此，负质量的AdS解给出的弯曲背景下二维CFT的EE与方程给出的形式完全相同(5)，具有水平半径扮演的角色γ.方程式的要求(15)是方程的解析延拓(14)如前所料，修正了ε和ℓ在导致方程式的计算中(14). 3.2. 大黑洞质量行为
现在让我们考虑大质量行为方程的（宏观黑洞）(14):我们得到了一个显著的结果，即黑洞EE大质量膨胀中的主导项准确地再现了BH熵。在这种情况下，热长度由，热关联占主导地位，EE变为吉布斯熵。转租期限已被普遍预测BH结果的量子修正行为。注意，尽管人们普遍认为黑洞熵的量子修正表现为[44,45,46,47,48,49,50,51,52]，关于这一术语的前置词的价值没有普遍的共识。方程式(16)固定用2D牛顿常数表示。我们的结果与之前支持-预因子的独立值与我们的方法一致，该方法将二维重力视为由带有中心电荷的CFT的量子涨落引起的.等式中的转租项(16)还具有与2D QFT描述的其他系统共享的通用行为，例如临界点附近的一维统计模型（具有黑洞半径对应于相关长度）或自由标量字段[21,31]. 对于量子关联占主导地位，但我们预计我们的半经典描述（也忽略了反作用）将在在这种情况下，很可能发生类似于霍金-佩奇相变的相变[53,54]在4D重力下发生。 4.BTZ黑洞
有几个论点表明，我们对2D AdS黑洞EE的推导可以扩展到3D AdS时空中的黑洞，即到BTZ黑洞。三个时空维度中的纯引力具有与二维膨胀引力相同的自由度，即只有全局自由度，没有传播重力子。此外，2D AdS膨胀子重力可以看作是3D AdS重力的圆对称降维，膨胀子参数化了横圆的半径。中讨论的2D AdS黑洞第3节本文的结果可以作为具有消失角动量的BTZ黑洞的降维J型.表征BTZ黑洞与2D AdS黑洞的相关黑洞完全匹配，由方程式给出(10)，一旦表示出3D牛顿常数用2D牛顿常数表示和德西特长度ℓ. 在二维AdS重力的情况下，对偶理论具有手征CFT的形式，而在三维情况下，由于不同的边界条件，对偶原理是同时具有左右运动的二维CFT。
在本文的这一部分中，我们使用AdS引力研究了三维AdS引力背景下的量子纠缠，特别是Bañados-Teitelboim-Zanelli（BTZ）黑洞/CFT公司通信。我们将使用研究QFT相关性的标准方法来解决这个问题：我们在边界2D CFT中引入两个外部长度尺度，一个热波长（与T型CFT的温度）和空间长度γ，这是我们二维宇宙可观测空间区域的度量。变化β我们可以在不同的能量尺度上探测CFT的热相关性，而γ我们可以在不同的长度尺度上探测空间相关性。QFT的EE给出了关于该理论的空间相关性的信息。因此，2D CFT的EE，即3D重力的全息对偶，应该包含有关体量子重力关联的信息。
我们将证明AdS/CFT对应关系，特别是UV/IR关系，使我们能够以自然的方式进行识别β和γ根据两个基本体长尺度，BTZ黑洞的视界和AdS长度ℓ。这使我们能够使用表达式(5), (6), (7)对于2D CFT和模对称的EE，将“全息”EE与正则化3D AdS、BTZ黑洞和具有锥形奇点的3D AdS相关联。 4.1、。广告重力和双CFT
经典、纯广告重力由动作来描述哪里ℓ是德西特长度是3D牛顿常数。2D CFT和3D AdS重力的确切形式仍然存在争议[55,56,57]. 然而，总的来说N个体制（中央收费),即在引力描述的有效范围内，我们知道对偶CFT具有中心电荷[58]广告经典引力允许三种时空配置。这些是行动的解决方案(17)可以根据SL的轨道（椭圆、双曲线、抛物线）进行分类群歧管[55,59,60]. 对应于椭圆轨道的解可以写成哪里,,和是一个常量。相应的三维欧氏空间在空间上有一个可压缩的循环ϕ-方向。对于的通用值因此，我们在这个方向上有一个圆锥奇点。只为锥形奇异性消失，流形在有限温度下成为非奇异的三维AdS空间三维时空的共形边界是一个具有周期长度的圆环β和相应地，双CFT将住在圆环中.气缸上的CFT在中讨论第2.2节可以在极限内获得。这对应于考虑和. SL双曲轨道对应的三维重力的经典解是现在，三维欧几里得流形在t吨-方向。对于的通用值β和因此，我们在这个方向上有一个圆锥奇点。只为，其中是霍金温度的倒数圆锥奇异性可以消除，空间描述了欧几里德BTZ黑洞。黑洞具有视界半径，质量和Bekenstein-Hawking熵由同样在这种情况下，三维时空的共形边界是具有周期长度的圆环体和，双CFT将继续存在.气缸上的CFTC类在中讨论第2.2节可以在极限内获得。这对应于考虑有限温度下的CFT，，具有非紧类空维数根据3D体理论，这相当于一个宏观黑洞. 上述两类解之间的分离元素对应于SL的抛物线轨道,解决方案可以被视为BTZ黑洞的基态，即这个解决方案。 对于解决方案(19)有一个圆锥奇点，没有被视界遮挡[59,60]. 圆锥奇点也可以认为是由点状质量源引起的米.在AdS的光谱中重力-这些溶液位于NS真空之间，和右后真空，因此，我们将始终如一地. 如果我们重新缩放方程式中的坐标(19),度量变为上一个表达式描述了热AdS但是，由于坐标的缩放，我们现在已经，使用时空有一个由缺陷角引起的圆锥形奇点，我们介绍了类似于反霍金温度吗并表征了圆锥奇异性。在解决方案的情况下(20)，设置消除了圆锥奇异性，而对于求解(19)我们得到一个正则流形（AdS有限温度下）. 为了找到解决方案的全息EE(19), (20)和(23)，我们必须首先讨论2D CFT对偶到3D AdS重力的模对称性。 4.2. 模不变性
众所周知，对于模群PSL的变换，复数上二维CFT的配分函数必须是不变量哪里整数是否满足,是圆环的模参数是圆环的周期。为了简单起见，我们将真实的和纯粹是虚构的。我们主要对环面的模变换感兴趣渐近AdS的3D空间是局部等价的。映射不同空间的坐标变换的渐近形式可用于将一个空间映射到另一个空间，即描述相关共形边界的圆环体。对于我们的讨论，相关元素是霍金温度下的欧几里德BTZ黑洞，广告有亏损角的空间和广告在有限温度下结果表明，与这三个空间相关联的边界圆环是通过圆环的模变换来关联的。 让我们简要回顾一下众所周知的BTZ黑洞和AdS之间的二元性在有限温度下[34,61]. 为此，我们使用欧几里德BTZ解(20)具有周期性可以通过差分同构映射到AdS在庞加莱坐标系中哪里z（z）是一个复杂的坐标。 在渐近过程中()在BTZ黑洞和AdS之间划分地图区域在庞加莱坐标系中为为了具有自然的周期性，我们引入了一个新的复变量w个以便人们现在可以很容易地认识到，BTZ黑洞的渐近共形边界是一个具有度量的复环面.假想的周期性()而且是真的()的一部分w个取决于:.模块参数因此环面的现在考虑欧几里德广告在有限温度下，用公制表示(25)具有周期性和. The
AdS之间映射的渐近形式在有限温度和AdS下在庞加莱坐标系中为而坐标w个在方程式中(31)现在是.复杂坐标w个现在具有周期性.热AdS的边界是具有模参数的环面因此，BTZ黑洞和热AdS黑洞的边界环面通过模块化转换进行关联 通过考虑具有圆锥奇异性的欧氏解(19)，我们注意到它与AdS有关只是通过缩放(24). 这会改变坐标的周期性,由于坐标变换将圆锥奇异空间的边界环面映射到AdS的边界环面具有等式给出的相同形式(33)，则坐标的周期性w个现在是.如果我们设置，两个圆环的周期性由欧氏AdS的边界环面具有以亏损角为特征的圆锥奇异性具有与AdS相同的模块参数在一定温度下注意，尽管这两个流形具有相同的拓扑结构和相同的边界环面，但它们描述了不同的三种几何体。第一种是奇异的，而第二种是表现完美的几何学。因此，通常不包括AdS具有圆锥奇异性的物理谱理论。 因为，来自方程式(35)紧接着，AdS的边界圆环带有锥形缺陷和BTZ黑洞的反温度通过模块化转换进行关联 4.3. EE与紫外/红外关系
由于AdS/CFT对应，EE用等式表示(5), (6)和(7)应提供有关批量相关器的信息。更准确地说，可以预期方程中的EE(5)描述圆锥奇异性下的量子关联(19)和方程中的EE(7)描述黑洞背景中热关联和量子关联之间的相互作用(20). 使上述关系精确化的主要障碍是由于AdS/CFT通信的全息性质。体积重力理论中的空间相关性以高度非局部的方式编入边界CFT。而相反的温度β出现在方程式中(7)可以自然地确定为黑洞温度的倒数(21)，参数的情况则不同γ和ε在方程式中(5), (6)和(7). 由于对应关系的全息性质，这些参数的整体解释需要仔细研究。如中所述第2.3节，AdS/CFT公司对应表示一种将边界上的长度标度与体上的长度标尺联系起来的方法，这就是紫外/红外连接[27,28]. 批量AdS中的红外效应重力对应于边界CFT中的紫外线效应、和反之亦然. UV/IR连接允许识别紫外线截止ε在方程式中(6)作为AdS的IR调节器重力[27,28]. 这可以通过使用公制的扩张等距以通常的方式完成(23):,,等效地，可以在AdS上引入“空腔坐标”并证明这一点ε充当“区域”的红外调节器边界球[27]. 事实上是在坐标方面也是如此第页参数化AdS以修改的庞加莱形式(23)：以小于的长度比例切断2D CFTε表示AdS径向坐标上的红外截止,，其中长度刻度γ和ε定义为无量纲乘法常数。在下面，我们将把这个乘法常数设置为. 参数的整体解释γ在方程式中(6)并不像ε.γ不是一个简单的外部长度标度，我们用它来切断能量小于。它是一个本地化的CFT所在的2D空间的类空切片。另一方面，由于体/边界对应的全息、非局部性质，我们预计边界上的任何自由度局部化都将因体中自由度的对应而丢失。如果可观察切片有任何定位特性问在边界/体积二元性中丢失，γ只能起到上界的作用，在上界之上可以追踪到边界CFT的空间相关性。由于UV/IR连接，在AdS中这将对应于在径向坐标的小值处追踪出整体自由度第页,即对于，其中重要的是要强调体积参数ω与边界参数的物理意义不同γ鉴于γ是一个类空切片的长度，它与可观察区域急剧分离（因此需要UV调节器），ω具有弱得多的长度尺度的含义，在该长度尺度以下可以追溯出空间相关性。特别是在广告中整体上，可观察区域和不可观察区域之间没有明显的界限。对γ，给定方程式(39)是非常重要的，并且具有推测的地位，这得到了UV/IR关系的支持。另一方面，一旦人们接受方程的有效性(39)从紫外/红外关系可以立即看出，在距离大于γ对应于批量中的跟踪。我们可以使用以下含义γ和ω解释EE(5), (6)和(7)作为引力组态的全息纠缠熵。 AdS/CFT通信和IR/UV连接允许我们向EE提供(6)简单的批量解释：它是正则化AdS的EE时空(23),即它给出了当引入红外截止∑并追踪关联时产生的冯·诺依曼熵的度量.替换公式(38)和(39)到方程式中(6)，我们发现（我们使用了). 用于切断量子体关联的自然长度尺度由AdS长度给出ℓ:这意味着我们考虑的曲率效应远小于.使用方程式(39)，这允许根据AdS长度识别边界参数ℓ正则化AdS的全息EE时空有一个简单的几何解释。除了比例因子外，它是类空曲线的（正则化的）适当长度,这可以很容易地用积分方程表示(23)的. 有趣的是可以在不使用UV/IR连接的情况下获得，只需假设N个限制BTZ黑洞的质量/温度关系，精确地再现了热2D CFT的关系。
根据方程式(21)和(22)很容易找到BTZ黑洞的质量/温度关系，另一方面，在大的温度极限下EE公司(7)对于长度为γ二维CFT的能量/温度关系如下所示哪里是真空的能量,是左右振荡器的温度。确定黑洞质量米具有和温度将CFT热状态和黑洞的霍金温度进行比较，我们很容易找到(43)使用方程式(42)并使用方程式(18),. 4.4. 圆锥奇点的全息EE
现在让我们考虑由方程给出的3D AdS重力的经典解(19)，它用圆锥奇点描述3D AdS时空。如中所述第4.2节，解决方案(19)可以通过对AdS时空应用微分同构来局部获得(23). 这种变换是“热化”映射度量的“类空间”对应物(23)进入BTZ黑洞。在3D AdS时空的二维共形边界上，该变换由地图描述β通过首先应用转换很容易确定(33)映射完整AdS到(23)然后使用缩放(24):，其中由提供(26). 在限额内(即 )地图(44)对应于将CFT映射到平面上的平面/圆柱体变换进入气缸上的CFT因此，此保角变换将CFT的EE映射到平面上进入气缸中CFT的EE[21],即零温非紧类空维数下CFT的EE由方程给出(6)转化为零温度下CFT的EE，具有由方程给出的紧凑类空间尺寸(5). 相应地，正则化AdS时空的全息EE成为与AdS相关的全息EE具有锥形奇点：方程式(45)可以被认为是分析延拓方程式的(46)在下一节中。用亏损角描述圆锥奇异性的全息EE是逆温度BTZ黑洞全息EE的解析延拓解析延拓对应于（紧）类时与类空方向的交换。这个结果是模对称的结果(37)圆环上的边界CFT与BTZ解和锥奇异时空有关。在限额内与BTZ黑洞相对应的边界环面可以近似为无限长（沿类空方向）的圆柱体C类.模块化转换(37)映射圆柱体C类进入气缸，其沿时间方向具有无限长的方向，并近似于相应地，BTZ黑洞的EE(46)转换为锥形奇异点的EE(45). 一个重要的问题，我们只讨论了一部分，涉及到描述时空锥形奇点的三维AdS引力经典解所起的作用。由于它们代表奇异的几何形状，因此它们不可能是纯3D AdS重力物理谱的一部分（尽管它们可能在重力与点状物质的相互作用中发挥作用）。另一方面，它们通过模变换与BTZ黑洞解相关联，可以将EE与之关联。所有这些对于阐明相变（类似于四维引力的霍金-佩奇相变）非常有用[53,54])，预计将于. 4.5. BTZ黑洞的全息纠缠熵
无自旋BTZ黑洞(20)可以认为是温度下的热化AdS时空(23). 在AdS时空的二维边界上，在上面讨论的大温度极限中，此热化对应于平面/圆柱体变换，该变换将CFT映射到平面上进入气缸上的CFTC类共形映射平面/圆柱具有等式中给出的（欧几里德）形式(30). 可以很容易地检查到，上述变换是BTZ黑洞和AdS之间映射的渐近形式在庞加莱坐标系中。保角变换(30)在飞机上映射CFT的EE进入气缸中CFT的EEC类[21],即将具有非紧类空维数的时空中零温CFT的EE转换为有限温度下CFT的EE。因此，方程式(6)转换为方程式(7)带有相应地，正则化AdS时空的全息EE成为BTZ黑洞的全息EE EE公司(46)仍然取决于紫外线截止ε.重整化熵可以通过减去真空（零质量零温度BTZ黑洞溶液）的贡献来定义。根据对偶CFT，我们必须减去零温度真空状态的EE，由方程式给出(6)带有因此，重整化EE由下式给出正如预期的那样，重整化EE消失了（BTZ黑洞基态）。 全息EE(47)对于BTZ黑洞，与之前导出的2D AdS黑洞的熵完全一致。2D AdS黑洞是无自旋BTZ黑洞的降维。使用2D和3D牛顿常数之间的关系，方程式(47)准确地再现结果(14). 宏观的，即大温度、黑洞（具有)根据2D CFT，对应于热波长比长度小得多.方程的展开(47)的给予EE中的领先术语正是Bekenstein-Hawking熵。这个主要术语描述了热波动完全占据主导地位的极端情况。在这个极限下，EE只是热力学熵的量度。CFT的EE（冯·诺依曼熵）变得广泛，它与长度孤立系统的吉布斯熵一致。转租条款表现为并描述了量子纠缠引起的第一修正。 方程中的对数修正(48)精确匹配BTZ欧几里德背景中标量场量子熵的短尺度校正[62]Mann和Solodukhin。请注意[62]考虑单个标量场的情况，因此我们可以通过使用中心电荷来重现它们的结果量子熵的三维体计算给出了与边界CFT计算相同的结果，这不仅是对其正确性的重要检查，也是对AdS的高度重要检查/CFT公司通信。 原则上，人们也可以考虑该制度其中EE的完整量子性质应该是显而易见的。然而，从黑洞的角度来看，这种机制是奇异的：它对应于霍金-佩奇相变的3D模拟[53,54]. 无自旋BTZ黑洞EE的推导可以很容易地扩展到旋转BTZ解，得到（见[19]详细信息）：哪里是外部和内部地平线的位置。展开的上一个表达式和，我们得到了相同的结果(48). 现在让我们简要评论一下我们的方法与[5,6,7,35,36,37]，其中2D CFT的EE是根据3D体积几何量（最小面积曲面）计算的。相反，在我们的方法中，我们假设2D CFT的EE公式有效，并使用它们（通过AdS/CFT对应）对引力配置的EE进行全息解释。这两种方法是互补的，因为[5,6,7,35,36,37]体积引力量用于再现边界CFT的EE，而我们使用CFT的EE来再现体积引力配置的EE。 4.6. 纠缠熵与热熵
在本节中，我们表明BTZ黑洞的全息EE的主导项可以从圆环上一类广泛的2D CFT的配分函数的大温度展开得到[19]. 这一结果表明，当时空几何的半经典概念被用来描述黑洞时，黑洞EE就出现了。 在前一节中，我们讨论了3D AdS时空中引力配置的全息EE。在我们的方法中，边界CFT的EE，，用于探测由β和空间相关性γ.批量描述在很大程度上取决于AdS的制度/CFT公司我们想调查的信件。
首先，我们在AdS/CFT对应的重力描述的有效范围内工作，当AdS长度ℓ比普朗克长度大得多，这与我们的单位中的三维牛顿常数一致:这就是所谓的“大N个近似值”。 此外，考虑到曲率效应远小于曲率AdS时空允许识别外部参数γ依据ℓ另一方面，热天平β当黑洞存在时，可以很容易地识别：当视界半径为比普朗克长度大得多，而全息EE公式(47)等待.我们所处的状态是，我们可以用圆柱体近似边界环面C类.AdS上欧几里德量子引力的路径积分主要是来自BTZ黑洞的贡献.EE中的领先术语(48)描述了BTZ几何形状的主要（热）贡献，并对应于完全由热相关性控制的CFT的EE。当我们增加能量尺度时，我们达到了一个不能忽视来自不同于BTZ瞬子的几何结构的贡献的状态。量子纠缠与方程中的分拆项(48)变得相关。 到目前为止，我们调查的另一个政权是，通过模块化转换与前一个相关(37). 3D AdS引力的欧几里德量子引力配分函数现在由AdS主导在一定温度下虽然解决方案(19)用圆锥奇点描述奇异几何体，因此它们不能成为理论物理谱的一部分。模对称性强烈表明它们可以用来探测量子纠缠。在这种情况下，边界圆环可以用圆柱体来描述EE由方程式给出(45). 人们现在可能会想知道这个政权在这个参数区域中，我们不能用无限长的圆柱体来近似环面。是模变换的不动点(35), (37)我们有一个“大N个相变”，这是霍金-佩奇相变的3D模拟[53,54]. 从现在起，双边界CFT就位于圆环上，我们对圆柱体EE的计算失去了有效性。此外，在重力的半经典描述预计会失败的情况下，EE的概念本身会保持合理的物理意义，这一点并不明显。 了解两个政权之间关系的最直接方法和是比较热熵的渐近行为，由环面上对偶CFT的配分函数导出，EE由方程给出(47). 不幸的是，尽管圆柱体上二维CFT的EE具有通用形式，但热熵因为圆环上的CFT根据我们正在处理的CFT的细节采取不同的形式。让我们注意到，尽管在过去十年中，关于这个主题的活动非常活跃，但2D CFT与纯3D AdS引力的确切形式仍然是一个有争议的问题[55,56,57]. 在这里，我们将使用一种简单但不完全通用的方法来解决这个问题。我们将证明，对于最常见的二维CFT（自由玻色子、自由费米子、极小模型和Wess-Zumino-Witten模型），渐近大温度的行为根据圆环上CFT的配分函数计算，精确地再现了EE的主导项(47)对于BTZ黑洞。 圆环上CFT的配分函数，，是模块参数的函数此外，我们将利用模变换下配分函数的模不变性(28)写从配分函数可以很容易地计算出热熵 我们感兴趣的是就变量而言什么时候.的渐近形式已确定写入Z轴作为常用变量的函数利用模变换下配分函数的模不变性(28)，然后引入新变量并确定的渐近展开。最后，我们确定通过利用渐近展开对于环面上的自由玻色子，熵的渐近展开式为对于环面上的自由费米子，以及最小模型和Wess-Zumino-Witten模型，熵具有渐近形式 本节考虑的环面上四个CFT类的热熵大温度膨胀中的主导项为复制，用于，BTZ黑洞全息EE的前项由方程给出(47). 这一结果揭示了全息EE对于BTZ黑洞的意义，更普遍地说，揭示了黑洞纠缠的意义。事实上，我们的结果表明黑洞的EE是一个半经典概念，它只对处于该状态的宏观黑洞有意义因此，纠缠似乎源于对潜在量子引力理论的纯热描述，该理论被假定为描述该区域的三维量子引力这一事实支持了这样一种观点，即描述BTZ黑洞在短尺度上的微观理论是单一的。EE是一个新兴概念，它是在时空几何的半经典概念被用来描述黑洞时产生的。圆环上CFT的热熵和BTZ黑洞的全息EE之间的一致性仅限于大温度膨胀中的主导项。对于我们所考虑的不同CFT，转租条款的顺序不同：它们表现为对于环面上的自由玻色子，尽管它们是其他三个案例。因此，转租条款似乎并不通用（参见[63])，但这取决于我们正在处理的实际CFT。 5.结论
我们利用AdS/CFT对应关系导出了二维和三维AdS黑洞纠缠熵的简单通用公式。出现的画面很有趣，但也并不完全令人惊讶。2D和3D AdS黑洞的EE降低为Bekenstein-Hawking熵，并且次级项具有普遍预测的对数行为，仅适用于宏观黑洞，此时热关联占主导地位。我们的结果表明黑洞的EE是一个半经典概念，仅在该区域具有物理意义远离这一机制，EE将有关完整量子引力描述的信息编纂成文。
需要指出的是，我们还没有对BTZ背景或其他整体引力配置中的物质场的EE进行直接计算。特别是，在2D和3D体中，我们考虑的是没有额外物质场的纯引力（3D中的纯引力没有物理传播自由度，因此我们也没有引力子）。
我们的程序给出正确答案的一个非常重要的检查是，我们的结果与等式中对数分段项的精确匹配(48)与Mann和Solodukhin针对BTZ背景中标量场的EE发现的那些[62]. 我们的方法的主要缺点是有效性范围有限。它只适用于AdS时空中的黑洞。此外，我们只考虑了2D和3D情况；扩展到四维AdS黑洞在原则上是可能的，但计算上更复杂。
