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熵
第10卷
第4版
10.3390/e10040477
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第条

扩展热力学：对称双曲场方程理论

通过
英戈·米勒
德国柏林工业大学
熵 2008,10(4), 477-492;https://doi.org/10.3390/e10040477
收到的意见：2008年7月31日/修订日期：2008年9月9日/接受日期：2008年9月21日/发布日期：2008年10月15日
（本文属于特刊熵的概念及其应用——2007年11月26日至12月11日墨尔本大学会议上提交的论文)
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版本说明

摘要

:
扩展热力学以一组平衡方程为基础，并辅以局部和瞬时本构方程，因此场方程为准线性一阶微分方程。如果本构函数符合熵原理的要求，则可以通过适当的字段选择将其写成对称双曲线形式。气体动力学理论或基于玻尔兹曼方程的力矩理论为扩展热力学提供了一个明确的例子。该理论在成功处理稀薄气体中的光散射方面证明了其有用性和实用性。本演示文稿基于本书[1]本文作者是其中的合著者。有关基本原则的动机和利用的更多详细信息，请参考该参考文献。看来扩展热力学值得数学家的关注。如果他们厌倦了伯格方程，它可能会为他们提供一个关于双曲方程的非平凡研究领域。物理学家可能更喜欢欣赏扩展热力学在光散射方面的成功，并研究与稀薄气体中Navier-Stokes-Fourier理论修正相关的开放问题，正如扩展热力学13、14和更多矩所预测的那样。
关键词：
扩展热力学;熵

1.形式结构

扩展热力学的目标是确定n个字段，综合表示为 u个 α ( x个 天 , t吨 ) (α=1,2,…n个)称为密度。争论x个天表示事件的空间坐标t吨是时候了。通常，这些场中的前五个场被选为质量、动量和能量的密度，这都是普通热力学中的结果。但在扩展热力学中，场的数量被扩展了(碳化硅!) 它可能包含应力、热通量等，见下文。
用于确定字段 u个 α ( x个 天 , t吨 ) 我们需要n个场方程，这些方程基于n个平衡方程式。无论是希腊语还是拉丁语，重复指数都隐含求和。
∂ u个 α ∂ t吨 + ∂ F类 α 天 ∂ x个 天 = Π α     α = ( 1 , 2 , … n个 ) .
F类 α 天 (天=1,2,3）称为通量 Π α 称为生产。
如果前五个方程（1.1）代表质量、动量和能量守恒定律，则前五个产生 Π α (α=1，…5）消失。而且全部的生产在平衡中消失。
为了获得密度的场方程 u个 α 平衡方程必须由本构方程补充。此类本构方程以材料特性的方式将通量和产量与密度联系起来。在扩展热力学中，本构关系有以下形式
F类 α 天 = F类 ^ α 天 ( u个 β ) 和 Π α = Π ^ α ( u个 β )
所以通量 F类 α 天 和制作 Π α 在某一点和某一时间只取决于密度 u个 α 在那个时候。我们可以说本构方程在时空中是局部的。因此，在本构方程中的变量之间不出现梯度或时间导数。特别地；没有温度梯度。然而，热传导被考虑在内，因为热流密度被计算在变量中。
如果本构函数 F类 ^ α 天 和 Π ^ α 明确地知道，我们可以消除 F类 α 天 和 Π α 在平衡方程和本构关系之间，获得 u个 α 是的。它们形成了一个一阶偏微分方程的拟线性系统。该系统的每个解决方案都称为热力学过程。

2.对称双曲系统

当然，在现实中，本构函数是未知的，本构理论的任务是确定这些函数，或者至少减少它们的通用性。本构理论的工具是某些代表基于经验的期望的通用物理原理。主要原则是：
  • 熵不等式，
  • 凹度要求，
  • 相对性原理。
前两个组合代表熵原理。
熵不等式是一个附加的平衡定律，我们称之为
∂ 小时 ∂ t吨 + ∂ 小时 天 ∂ x个 天 = Σ ≥ 0 , 对于所有热力学过程。
小时是熵密度和小时天是熵通量。∑是熵产生，假设所有热力学过程都是非负的。所有这三个量都是本构量，所以在扩展热力学中我们有
小时 = 小时 ^ ( u个 β ) ,    小时 天 = 小时 ^ 天 ( u个 β ) ,    Σ = Σ ^ ( u个 β ) .
凹度要求小时是的凹函数 u个 β ,即.
∂ 2 小时 ∂ u个 α ∂ u个 β - 负定。
相对论原理表明，场方程和熵不等式在所有伽利略框架中都具有相同的形式。在相对论热力学中，我们要求在洛伦兹变换下具有相同的不变性。
我们推迟了对相对性原理的考虑，继续利用熵原理。利用熵不等式的关键在于观察到不必对所有领域都适用熵不等式 u个 α ; 相反，它必须适用于热力学过程，即.场方程的解。从某种意义上说，场方程为场提供了约束 u个 α 这必须满足熵不等式。刘的引理[2]证明使用拉格朗日乘数是可能的 Λ β --的功能 u个 α -以消除约束。事实上，新的不平等
∂ 小时 ∂ t吨 + ∂ 小时 天 ∂ x个 天 − Λ α ( ∂ u个 α ∂ t吨 + ∂ 小时 α 天 ∂ x个 天 − Π α ) ≥ 0
必须为所有字段保持 u个 α ( x个 天 , t吨 ) 特别是对于任意导数，这个不等式必须成立 ∂ u个 α ∂ t吨 和 ∂ u个 α ∂ x个 天 这意味着
天 小时 = Λ α 天 u个 α ,   天 小时 天 = Λ α 天 F类 α 天 和 Λ α Σ α ≥ 0 .
从（2.4）1我们的结论是
∂ Λ α ∂ u个 β = ∂ 2 小时 ∂ u个 α ∂ u个 β
是负定的，因为小时作为的函数 u个 α 因此，密度之间存在一对一的对应关系 u个 α 和拉格朗日乘数 Λ β .因此可以改变变量 u个 α ⇔ Λ α 如果这样做，两个方程（2.4）1,2可以写在表格中
天 小时 ′ = u个 α 天 Λ α ,   天 小时 ′ 天 = F类 α 天 天 Λ α ,
哪里 小时 ′ = − 小时 + Λ α u个 α 和 小时 ′ 一 = − 小时 一 + Λ α F类 α 一 分别称为标量势和矢量势，因为它们相对于 Λ α 是密度和通量。因此，在新变量中，场方程组的读数为
∂ 2 小时 ′ ∂ Λ α ∂ Λ β ∂ Λ β ∂ t吨 + ∂ 2 小时 ′ 天 ∂ Λ α ∂ Λ β ∂ Λ β ∂ x个 天 = Π α ,   α = ( 1 , 2 , … n个 ) .
该系统中的四个矩阵都是明显对称的，第一个矩阵是负定的。
这源于熵密度在密度方面的凹度 u个 α ，自 小时 ′ = − 小时 + Λ α u个 α 定义与映射关联的Legendre转换 u个 α ⇔ Λ α 。这样的勒让德变换保留了凹度，因此 小时 ′ 是的凹函数 Λ α 因此，用拉格朗日乘子表示的场方程系统是一个对称双曲系.
双曲性保证了有限的传播速度和对称的双曲型方程组具有方便和理想的数学性质，即柯西问题的适定性，即.存在性、唯一性和对数据的持续依赖性。对有限传播速度的渴望是米勒提出扩展热力学公式的最初动机[三].
剩余不等式（2.4）三完全取决于场方程中的生产项；回想一下，前五个产品为零。自 Π α 可以被视为拉格朗日乘数的函数 Λ β 它来自于均衡中的不等式，定义为 Π α | E类 = 0 --全部 Λ β (β=6、7，…n)等于零
Λ β | E类 = 0 ,   β = ( 6 , 7 , … n个 ) .
剩余不等式是乘积和拉格朗日乘子的乘积之和。在普通的非扩展热力学术语中，我们可以将这些量视为热力学力和通量。在线性理论中，力是通量的线性函数，所以我们可以这样写
Π α = ∑ β = 6 n个 L（左） α β Λ β ,   α = ( 6 , 7 , … n个 ) .

3.特征速度和脉冲速度

波是一个移动的表面，用数学公式表示
φ ( x个 天 , t吨 ) = 0 ,
它定义了波前。机组正常n个天和正常速度V（V）由提供
n个 天 = ∂ φ ∂ x个 天 | 毕业生 φ | 和 V（V） = − ∂ φ ∂ t吨 | 毕业生 φ | .
在这里考虑的简单情况下，波前将恒定场和均匀场分开 Λ α ( x个 天 , t吨 ) 在弱波或加速波的情况下。在流体力学中，弱波在前方具有连续的速度，但加速度会跳跃；因此被称为加速波。这些字段在前面是连续的，但渐变有一个跳跃，显然，这个跳跃指向法线的方向。因此
[ Λ α ] = 0 因此 [ ∂ Λ α ∂ x个 天 ] n个 天 = J型 α 和 [ ∂ Λ α ∂ t吨 ] = − V（V） J型 α ,
其中一个方括号[一]表示通用量的差异一在波浪的前面和后面。 J型 α (α=1,2,…n个)被称为振幅加速度波。
在我们的例子中，速度和振幅由场方程（2.6）给出，作为齐次线性代数系统的解
( ∂ 2 小时 ′ ∂ Λ α ∂ Λ β V（V） − ∂ 2 小时 ′ 天 ∂ Λ α ∂ Λ β n个 天 ) J型 β = 0 .
因此，方向上可能的波速n个天是特征方程的解
det（探测） ( ∂ 2 小时 ′ ∂ Λ α ∂ Λ β V（V） − ∂ 2 小时 ′ 天 ∂ Λ α ∂ Λ β n个 天 ) = 0 .
我们获得n个速度，它们被称为特征速度。其中速度最快的称为脉冲速度。由于场方程的对称双曲线特征，所有速度都是真实的和有限的。通过（3.3）振幅J型β 是线性系统矩阵的右特征向量。

4.加速度波的增长和衰减

即使初始数据是光滑的，非线性双曲方程的解也有发展奇异导数的趋势。因此，可能会出现跳跃或冲击。然而，耗散——用方程（2.6）中的乘积表示——可以检验这种趋势。
初始数据和耗散项的条件是未知的，需要满足这些条件才能保证所有时间的光滑解。我们所拥有的是川岛平滑的充分条件[4]. 然而，加速度波的处理可以很好地直观地理解所涉及的内容。
可以确定变化率 δ J型 δ t吨 加速度波的振幅。这是W.A.Green首先完成的[5]但最优雅的推导和结果是由于Boillat[6]. 我们将把注意力局限于波传播到具有恒定均匀场的平衡区域的情况。在这种情况下，Boillat的结果简化为一个具有常系数的Bernoulli方程
δ J型 δ t吨 − ∂ V（V） ∂ Λ β 天 β ︸ 一 J型 2 − 我 α ∂ Π α ∂ u个 β 天 β ︸ b条 J型 = 0 .
我α和天α是线性系统矩阵的左特征值和右特征值（3.3）。系数a、，如（4.1）所示，表示系统的非线性，即波速对场值的依赖性 Λ α .系数b条表示耗散，因为它取决于场方程中的乘积。
（4.1）的解为
J型 ( t吨 ) = J型 ( 0 ) e（电子） − b条 t吨 1 − J型 ( 0 ) 一 b条 ( e（电子） − b条 t吨 − 1 ) .
如果系统是线性的，即.一=0，当然会有指数衰减。但即使是为了 一 ≠ 0 除非初始振幅太大，否则可能会有衰减。如果振幅足够大，J型(t吨)有时会变得奇异。对于加速度波，这意味着加速度的振幅变为无穷大，因此速度有跳跃；出现冲击波，速度不连续。
实验表明，不连续性不存在。天然无粪盐! 如果数学理论预测不连续性，例如冲击波中的速度跳跃，这是一个明确的迹象，表明理论有缺陷，需要额外的场来将不连续性分解为陡峭但光滑的结构。扩展的力矩热力学显示了实现这一点的方法，囊性纤维变性。[1]. 场方程的抛物化，委婉地称为正规化被数学家们称为不正确的方式。

5.一个例子。扩展的力矩热力学

5.1. 脉冲速度

气体动力学理论基于分布函数的玻尔兹曼方程 （f） ( x个 天 , c（c） 天 , t吨 ) 它决定了原子的数量密度-质量μ–随着速度c（c）天在点上x个天和时间t。分布函数的矩为
u个 我 1 我 2 ..... 我 我 = ∫ μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 （f） 天 c（c） ,
以便u、 u个我、和u个ii（ii）是气体的质量、动量和能量密度。力矩服从形式（1.1）的平衡方程，即.
∂ u个 我 1 我 2 … 我 我 ∂ t吨 + ∂ u个 我 1 我 2 … 我 我 天 ∂ x个 天 = Π 我 1 我 2 … 我 我 ,   ( 我 = 0 , 1 , 2 , … N个 ) .
对于u、 u个我、和u个ii（ii）产品∏、∏我、和∏ii（ii）在原子碰撞中，由于质量、动量和能量守恒而消失。由于每个索引都可以采用值1、2、3，因此有 n个 = 1 6 ( N个 + 1 ) ( N个 + 2 ) ( N个 + 三 ) 方程。
这些方程符合扩展热力学的形式框架，但它们更简单。事实上，在左边只有一个通量，即 u个 我 1 我 2 … 我 N个 天 --最后一个与 u个 我 1 我 2 … 我 我 （l=0,1,2，…N）。因此第2节和第3节可以转入本例，特别是熵不等式的利用。在气体动力学理论中，不等式的形式是
∂ ( − k个 ∫ （f） 在 （f） e（电子） Y（Y） ) 天 c（c） ∂ t吨 + ∂ ( − k个 ∫ c（c） 一 （f） 在 （f） e（电子） Y（Y） ) 天 c（c） ∂ x个 一 ≥ 0 .
e是欧拉数，1/Y是x所跨越的相空间的最小单元一和c一.
该开发利用了拉格朗日乘数 Λ 我 1 我 2 ..... 我 我 (我=0,1,2,…N个)密度和通量的矩特征表明分布函数具有形式
（f） = Y（Y） 经验 ( − 1 k个 Λ 我 1 我 2 … 我 我 μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 )
因此标量和矢量势可以写成
小时 ′ = − k个 Y（Y） ∫ 经验 ( − 1 k个 Λ 我 1 我 2 … 我 我 μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 ) 天 c（c） 和 小时 ′ 一 = − k个 Y（Y） ∫ c（c） 一 经验 ( − 1 k个 Λ 我 1 我 2 … 我 我 μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 ) 天 c（c）
插入特征方程（3.4）计算波速，得出
det（探测） ( ∫ ( c（c） 一 n个 一 − V（V） ) c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 （f） E类 天 c（c） ) = 0
假设波传播到平衡区域。（f）E类是麦克斯韦分布。
因此，特征速度的计算，特别是脉冲速度的计算，只需要简单的象限和n个第个阶代数方程。的确，（5.6）中行列式的维数随着N个：用于N个=10我们有286行和列，而对于N个=40我们有12341个。但是，行列式元素的计算和脉冲速度的确定V（V）最大值可以编程到计算机和W.Weiss中[7]有合理的价值观吗N个只要按一下按钮，囊性纤维变性。 图1从图中我们可以看出，脉冲速度随着时间的增加而增加N个它永远不会停止。事实上，根据Boillat&Ruggeri的说法[8]存在一个下限V（V）趋向于无穷大的最大值 N个 → ∞ .
事实上V（V）最大值在非相对论性矩理论中是无界的，这对扩展热力学来说是一种打击，因为该理论最初是为了寻找有限速度热传导。但这并不重要！事实上，在得出结论时，扩展热力学早已超出了其最初的主题。无论如何，问题在于动力学理论，而不是扩展热力学。毕竟，在非相对论动力学理论和麦克斯韦分布中，原子的无限速度是允许的。因此，力矩是从-∞到+∞整个速度范围内的积分。它已经成为一种预测理论，当陡峭的梯度和快速变化发生时，就像光散射一样，需要它。让我们考虑一下：

5.2. 力矩场方程

一旦分布函数已知拉格朗日乘子，立方英尺（5.4），原则上可以从拉格朗日乘数变回 Λ 我 1 我 2 … 我 我 到了关键时刻 u个 我 1 我 2 … 我 我 通过反转关系。
熵10 00477 g001 550
图1。脉冲速度指的是正常的声速。表格和十字：Weiss圆计算：下限 6 5 ( N个 − 1 2 ) 由Boylat和Ruggeri创作。
图1。脉冲速度指的是正常的声速。表格和十字：Weiss圆计算：下限 6 5 ( N个 − 1 2 ) 由Boylat和Ruggeri创作。
熵10 00477 g001
u个 我 1 我 2 ..... 我 我 = ∫ μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 Y（Y） 经验 ( − 1 k个 Λ 我 1 我 2 … 我 我 μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 ) 天 c（c） .
一旦完成，我们可以确定最后的通量
u个 我 1 我 2 … 我 N个 天 = ∫ μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 c（c） 一 Y（Y） 经验 ( − 1 k个 Λ 我 1 我 2 … 我 我 μ c（c） 我 1 c（c） 我 2 … c（c） 我 我 ) 天 c（c）
就密度而言 u个 我 1 我 2 … 我 我 (我=0,1,2,…N个). 因此，在我们为原子相互作用选择合适的模型后，也可以计算生成量，例如.麦克斯韦分子模型。
实际上，通量的计算 u个 我 1 我 2 … 我 N个 天 非零生产的和 Π 我 1 我 2 … 我 我 (我=6,7,…N个)由于（5.8）中出现的积分无法解析求解，因此需要一些不稳定的近似。这些近似值值得进一步研究，但当一切都说了又做了时，就会得出显式场方程，例如图2，适用于N个=3，因此有20个单独的方程式。一个完全令人满意的扩展热力学理论，不需要不稳定近似，在[9]. 图中所写的方程是线性化的，并引入了规范符号，如ρ质量密度u个,ρv我对于动量密度u个我,三/2ρk个/μT型能量密度1/2u个ii（ii）,t吨<ij>偏差应力和q个我对于热流密度。那一刻u个<ijk> 没有常规名称，-除了无痕迹第三时刻-因为它没有进入传统的质量、动量和能量平衡方程。然而，它必须满足一个显式的场方程。
该图四次显示了同一组20个方程，以便指出不同框架中的特殊情况。
  • 在左上方，我们看到了欧拉流体的方程，它完全没有耗散，因此没有剪切应力和热流。
  • 右上框包含Navier-Stokes-Furier方程，其中应力与速度梯度成正比，热流与温度梯度成正比。此集合标识唯一未指定的系数τ与剪切粘度有关η.我们有 η = 4 三 τ ρ k个 μ T型 以便η线性增长T型麦克斯韦分子也是如此。
  • 在第三组的第五个方程中，我强调了Cattaneo方程。卡特内奥[10]是扩展热力学的先驱，他基于动力学参数对傅里叶定律进行了修改，在其中添加了热流密度项。
  • 第四个方框显示了13力矩方程。这些是Grad制定的[11]作为近似确定玻尔兹曼方程结果的矩方法的一个例子。它们是扩展热力学最流行的方程，因为它们只包含力矩ρ、 ρv我,T、 T吨<ij>和q个我从普通热力学中得知。
熵10 00477 g002 550
图2。四组中的每一组都代表了扩展热力学的场方程N个=3.左上角：欧拉方程。右上角：Navier-Stokes方程。左下：Cattaneo方程。右下：Grad的13个力矩方程。
图2。四组中的每一组都代表了扩展热力学的场方程N个=3.左上角：欧拉方程。右上角：Navier-Stokes方程。左下：Cattaneo方程。右下：Grad的13个力矩方程。
熵10 00477 g002
对于解释，我们可以参考图2这是一个强调Navier-Stokes-Fourier理论的理论。检查表明，该理论中遗漏了一些特定术语，即：
∂ t吨 < 我 j个 > ∂ t吨 和 ∂ q个 我 ∂ t吨 和 ∂ t吨 < 我 j个 > ∂ x个 j个 和 ∂ q个 我 ∂ x个 k个 .
对于快速速率和陡峭梯度，我们可能会怀疑这些术语做数一数，事实上是这样的，我们必须找到20个完整的方程组，或是含有更多力矩的方程组。。由于快速速率和陡峭梯度是根据自由飞行的平均时间和平均自由路径来测量的，我们可能怀疑对于稀薄气体来说，扩展热力学是必要的。

5.3. 气体中的光散射作为扩展矩热力学的一个例子

气体原子或分子的随机热运动会扰乱气体的平衡，并产生微小且短暂的压缩和膨胀，即密度波动。这些使气体的介电常数波动，因为它取决于密度。根据麦克斯韦方程，波动导致光波向侧面散射，囊性纤维变性。 图3a.大多数散射光的频率ω（i）入射单色光的频率，但相邻频率ω也存在于散射光谱中S公司(ω). 通常情况下仔细斟酌的光谱在气体中散射，通过干涉仪到达光电倍增管，如果气体通常密度较高，则显示出三个发育良好的峰值。在稀薄气体测量中，显示出一条较平坦的曲线肩膀，参见。图3b。
熵10 00477 g003 550
图3。关于光散射：a）。光散射，示意图；b） ●●●●。稠密气体和稀薄气体中的散射光谱点：稀薄气体的测量。线条：根据Navier-Stokes-Fourier理论计算。
图3。关于光散射：a）。光散射，示意图；b） ●●●●。稠密气体和稀薄气体中的散射光谱点：稀薄气体的测量。线：通过Navier-Stokes傅立叶理论计算。
熵10 00477 g003
光散射光谱也可以是计算根据气体场方程，例如Navier-Stokes傅立叶方程。计算的关键是Onsager假设，根据该假设，场的空间傅里叶分量与涨落的平均回归是相同的时间函数。对于稠密气体，测量和计算的散射光谱完全一致。这一事实支持Onsager假说。然而，对于稀薄天然气，协议是错误的，立方英尺.图3b.因此，我们可以得出结论，这种差异是由于Navier-Stokes-Fourier理论造成的，根据以下考虑，该理论实际上预计在稀薄气体中会失效第5.2节.
因此，这是一个扩展热力学可以证明其有用性和实用性的例子。韦斯[7]将20、35、56和84个矩的线性化场方程应用于该问题，并计算了图4（顶部）对于小压力图3获得b。检查表明，理论之间存在差异，没有一个理论能够很好地符合实验点。我们也不能调整参数以获得更好的拟合，因为在扩展热力学中没有常见类型的可调参数。唯一可用的参数是力矩和力矩方程的数量。因此，韦斯通过286次冲刺达到120分，获得收敛和完美契合，囊性纤维变性。图4（底部）。
这一结果可以称为令人满意、令人惊讶和令人失望：
  • 令人满意的是，扩展热力学与Onsager假设相结合，能够令人满意地表示稀薄气体中的光散射。
  • 令人惊讶的是，光散射光谱在有限的时刻收敛。更多的力矩不会显著改变计算的曲线。
  • 失望源于实现趋同所需的大量时刻。我们可能希望13或14或20分钟能取得好成绩。这将给我们一个易于管理的方程组。相反，我们需要120个，至少对于曲线图4请参阅。
熵10 00477 g004 550
图4。中等稀薄气体中的光散射光谱。点表示测量值。顶部：扩展热力学N个=20、35、56、84个力矩。底部：扩展热力学N个=120, 165, 220, 286.
图4。中等稀薄气体中的光散射光谱。点表示测量值。顶部：扩展热力学N个=20、35、56、84个力矩。底部：扩展热力学N个=120, 165, 220, 286.
熵10 00477 g004
然而，光散射的结果代表了扩展热力学的名声。事实上，通过图4允许我们得出结论，扩展热力学决定了它自己的适用范围，而不需要参考任何实验。人们常说这是不可能的。然而，在扩展热力学中，这是可能的，因为它不是一个单一的理论；它是一个理论的理论，在给定的时刻数内各一个。因此，如果在增加该数字后，我们得到相同的函数S公司(ω)在某些规范中，我们已经达到了收敛，可以完全相信理论并预测光谱，不做任何实验.

5.4. 冲击波和冲击结构

冲击波，或者说冲击结构，为扩展热力学提供了一个自然的应用领域，因为它们很陡峭。众所周知，Navier-Stokes-Fourier理论不能令人满意地描述它们，至少在激波马赫数较高的情况下是如此。激波结构处理中的一件好事是，即使在许多时刻，边界条件也没有问题。事实上，我们知道他们的价值观远远领先于冲击，远远落后于冲击；它们是平衡的。
然而，计算比光散射的计算要困难得多，因为我们当然需要完整的非线性方程。因此，扩展热力学对冲击波的应用仅限于中等数量的矩。结果优于Navier-Stokes-Fourier理论，但目前仅限于小于3的马赫数，这是不够的。对于已经取得的成就，我指的是[1]和[12].
熵10 00477 g005 550
图5。速度和温度的冲击结构持续13分钟。一.M（M）0=1.5,b条.M（M）0=1.65,c（c）.M（M）0=2.0。
图5。速度和温度的冲击结构持续13分钟。一.M（M）0=1.5,b条.M（M）0=1.65,c（c）.M（M）0=2.0.
熵10 00477 g005
在这里，我将注意力局限于冲击力矩扩展热力学的一个有趣的定性特征，这与亚冲击的出现有关。让我们考虑一下：
首先，让我们回顾一下，实验表明所有马赫数的激波结构都是平滑的M（M）0现在，一个给定的扩展热力学理论为低马赫数提供了这样的光滑结构，但随着冲击移动得越来越快，计算出的结构首先产生扭结，然后产生亚冲击，立方英尺.图5，指13个力矩，其中扭结出现 M（M） 0 > 1.65 一 .一是声音的“正常速度”，等于 5 三 R（右） M（M） T型 0 .第一个注意到这一点的人是Grad[13]，但他没有看到其中的意义。事实上，扭结发生在这个当马赫数较高时，与理论脉冲速度和次级冲击相对应的马赫数出现。从某种意义上说，我们可以说在13力矩理论中，速度大于1.65 5 三 R（右） M（M） T型 0 真正超音速：V最大值=1.65 5 三 R（右） M（M） T型 0 是13矩理论的脉冲速度，如果波的移动速度超过这个速度，前面的气体就无法知道接近的波。
当然，当亚冲击出现时，这是一个明显的迹象，表明在马赫数下，13力矩理论不再可靠。我们必须考虑更多的力矩，并且最终要考虑无穷多的力矩，因为在这种情况下，亚激波的出现被推到了无穷大的马赫数。

5.5. 13矩扩展热力学中的热传导

关于热传导，无论是不可逆过程热力学（TIP）还是理性热力学都无法得到比傅里叶定律更多的结果。但扩展热力学可以做到这一点——即使是最简单的形式，即13矩的扩展热力学：它提供了傅里叶定律的修正形式。
追随米勒和鲁杰里[14]根据13矩理论，我们考虑两个同心圆柱之间静止气体中的稳态热传导。同样满足质量平衡，剩下的12个方程在BGK近似中读取[15]BGK模型通过以下公式近似玻尔兹曼方程中的碰撞项 1 τ ( （f） E类 − （f） ) 松弛时间τ为平均自由飞行时间的常数。BGK模型因其快速检查和定性结果而广受欢迎。在本例中，它允许一个解析解，而这不能通过更现实的碰撞项获得。
动量平衡 ∂ ( 第页 δ 我 k个 − t吨 < 我 k个 > ) ∂ x个 k个 = 0 ,
能量平衡 ∂ q个 k个 ∂ x个 k个 = 0 ,
t吨 < ij公司 > - 余额 − 2 5 ( ∂ q个 我 ∂ x个 j个 + ∂ q个 j个 ∂ x个 我 ) = − 1 τ t吨 < 我 j个 > ,
q个 我 - 余额 ∂ ( 5 第页 k个 μ T型 δ 我 k个 − 7 k个 μ T型 t吨 < 我 k个 > ) ∂ x个 k个 = − 2 τ q个 我 .
在适用于该问题的物理圆柱坐标系中，可以很容易地找到解决方案。上面写着
第页 - 同质的 t吨 < 我 j个 > [ − 4 5 τ c（c） 1 第页 2 0 0 0 4 5 τ c（c） 1 第页 2 0 0 0 0 ]
q个 < 我 > = [ c（c） 1 第页 0 0 ]     T型 = c（c） 2 − c（c） 1 5 k个 μ τ 第页 在 ( 28 25 τ 第页 c（c） 1 + 第页 2 ) .
c（c）1和c（c）2是由边界条件确定的积分常数。
从所有这些中，特别是（5.10）4–我们的结论是q个我不再像傅里叶定律那样仅由温度梯度决定；相反，由于偏应力，还有一个附加项。该项修改了如（5.11）4所示的温度场：与傅里叶理论不同T型(第页)不再由ln决定第页.图6显示了根据当前理论和傅里叶情况的温度场比较。压力选择为 10 2 N个 米 2 边界条件如图所示
熵10 00477 g006 550
图6。同轴圆柱体之间的温度场。边界值。
图6。同轴圆柱体之间的温度场。边界值。
熵10 00477 g006
正如预期的那样，在温度场陡峭的地方，两种解决方案的差异变得明显。还要注意，傅里叶解对于 第页 整数 → 0 ，但13力矩解仍然是有限的。
当我们让两个同轴圆柱在转台上静止时，扩展热力学暗示了其他显著现象，即.在非垂直框架中。根据Navier-Stokes-Furier理论，气体将随气缸刚性旋转，但在13力矩理论中，当气缸之间传导热量时，这是不可能的，立方英尺巴贝拉和米勒[25].
此外，测温壁处熵通量的连续性不再意味着T、 参见。[14], [17]. 这一事实使我们有可能区分运动的温度是原子速度的量度热力学的温度–温度计壁上的连续量。

5.6. 较高力矩的边界值

在超过13个矩的扩展热力学中，更高矩的边界值出现了一个问题：为了解方程，必须规定它们，但在实验室中不可能规定和控制它们。这个问题还没有解决。Barbera、Müller、Reitebuch和Zhao[18]表明不可控边界值随热运动而波动，气体对平均值作出反应。这看起来是一条充满希望的道路，但还需要对这一提议进行进一步的测试。

6.关于扩展热力学的起源和发展

当扩展热力学开始于缪勒的工作时[三], [18]从目前的观点来看，其唯一且相当幼稚的目标是解决所谓的热传导和剪切波传播悖论：Navier-Stokes-Fourier理论具有抛物线结构，它预测无限的脉冲速度。在当时流行的理论范围内工作T型热力学我不可逆的对穆勒允许局部熵依赖于热流密度和粘性应力。他还假设熵流由通用本构方程给出，而不是由热流密度和温度的比值普遍确定，立方英尺. [20]. 这一理论导致了温度和剪切速度的双曲线方程。
早期类型的扩展热力学得益于与气体动力学理论的接触——仍在[19]–尤其是Grad的力矩法[11]. 后来，扩展热力学和气体动力学理论之间的联系在这项工作中变得非常紧密[21]作者Liu和Müller，其中拉格朗日乘子用于利用熵不等式。以这种方式，扩展热力学假设了一个整洁的系统形式，尽管只有13或14个时刻。
然而，在这种形式下，该理论准备与双曲线系统的数学理论相结合。Ruggeri和Strumia[22]认识到拉格朗日乘数主磁场–作为变量字段享有特权，如果选择它们，则会使字段方程成为对称双曲线。通过这一观察，有可能揭示我在第1节和第2节以上。这种应用于力矩的形式结构由Boillat和Ruggeri进行了改进和扩展[23], [24]. 最后，作者证明了[8]–脉冲速度虽然在任何有限的时刻都是有限的，但在无限多的时刻，至少在非相对论的情况下，脉冲速度趋于无穷大。在相对论的情况下，速度在越来越多的时刻趋于光速。
似乎对称双曲方程的重要性是由戈杜诺夫首先认识到的[25]他以对称双曲线形式改写了流体力学的传统方程。后来的弗里德里希斯和拉克斯[26]发现如果拟线性一阶系统与“凸延拓”相容，则可化简为对称双曲系统，即.一个附加的平衡式。虽然被广泛引用，但与Ruggeri和Strumia的方法相比，Friedrichs和Lax的方法是第二好的[22]. 事实上，Friedrichs和Lax的最终对称双曲方程不再等同于原始的——物理驱动的——平衡定律，并且它们对激波结构问题的解决方案（如果存在的话）与原始平衡定律的解决方案不同。

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分享和引用

MDPI和ACS样式

我·米勒。扩展热力学：对称双曲场方程理论。熵 2008,10, 477-492.https://doi.org/10.3390/e10040477

AMA风格

米勒一世。扩展热力学：对称双曲场方程理论。熵. 2008; 10(4):477-492.https://doi.org/10.3390/e10040477

芝加哥/图拉比安风格

穆勒，英戈。2008.“扩展热力学：对称双曲场方程理论”熵第10页，第4页：477-492。https://doi.org/10.3390/e10040477

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