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第8卷
第3版
10.3390/公理8030096
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第条

相对循环和非循环P（P）-局部K-凸空间中的收缩

通过
埃德拉乌伊·穆罕默德
1,
阿莫里·穆罕默德
1和
拉扎兹·萨米赫
2,*
1
摩洛哥卡萨布兰卡哈桑二世大学本·姆西克科学学院数学系代数、分析与应用实验室，20000
2
摩洛哥西迪·穆罕默德·本·阿卜杜拉大学达尔·马哈拉兹科学学院数学系数学分析与应用实验室，Fes 30050
*
应向其寄送信件的作者。
公理 2019,8(3), 96;https://doi.org/10.3390/axioms8030096
收到的提交文件：2019年5月24日/修订日期：2019年7月11日/接受日期：2019年7月20日/发布日期：2019年8月6日
（本文属于特刊不动点理论及相关主题)
审查报告 版本注释

摘要

:
本研究的主要目标是提出相对循环和相对非循环的点理论第页-完全局部收缩 K -凸空间通过提供基本条件来保证相对循环和相对非循环的不动点和最佳邻近点的存在唯一性第页-局部中的收缩映射 K -凸空间。本文的结果是Kirk和A.Abkar主要结果的推广和推广。

1.简介

让 K 是非阿基米德值字段，即。， K 两者都不是 R（右） 也不是 C类 ，具有绝对值函数 . 这样的话
x + 年 ≤ 最大值 x , 年 x , 年 ∈ K
让X（X）是上的拓扑向量空间 K .上的半范数 K -向量空间X（X）是一张地图 第页 : X（X） → 0 . ∞ 满足
（i）
第页 λ x = λ 第页 x , x ∈ X（X） 和 λ ∈ K .
（ii）
第页 x + 年 ≤ 最大值 第页 x , 第页 年 , x , 年 ∈ X（X）
对于半范数第页我们有 第页 ( 0 ) = 0 但是 第页 ( x ) 非零允许为0x注意，每个范数都是一个仅在0处消失的半范数。
回想一下拓扑向量空间 ( X（X） , τ ) 结束 K 局部称为（非阿基米德） K -凸空间如果 τ 以绝对凸邻域（子集）为基础 一个 ⊂ X（X） 被称为绝对 K -凸if 0 ∈ 一个 和 一 x + b条 年 ∈ 一个 为所有人 x , 年 ∈ X（X） 和 一 , b条 ∈ B类 K 哪里 B类 K = { 一 ∈ K : | 一 | ≤ 1 } ). 每个本地 K -凸拓扑可以由非阿基米德半范数系统自然生成 Γ = { 第页 α } .A本地 K -凸空间X（X）Hausdorff是当且仅当每个非零 x ∈ X（X） 存在连续半范数第页在X（X）这样的话 第页 x ≠ 0 .A序列 { 一 1 , 一 2 , … } 在里面X（X）称为柯西网当且仅当 林 n个 第页 一 n个 + 1 − 一 n个 = 0 对于任何半范数第页。以下为
第页 一 米 − 一 n个 ≤ 最大值 第页 一 米 − 一 米 − 1 , … , 第页 一 n个 + 1 − 一 n个 , 米 > n个 .
一个子集S公司Hausdorff本地 K -如果每个柯西网S公司收敛到一个极限S公司。有关详细信息，请参阅[1,2,三,4].
另一方面，最基本的不动点定理是所谓的巴拿赫压缩原理（简称BCP），这一结果在数学的各个领域都发挥了重要作用。由于它的重要性和简单性，一些作者对巴拿赫压缩原理进行了许多有趣的扩展和推广。西里奇[5]引入了准压缩映射，使他得以推广巴拿赫压缩原理。
在没有固定点的情况下，即方程 T型 x = x 没有解决方案，问是否有可能找到 一 , b条 ∈ 一个 × B类 这样的话
第页 ( 一 − T型 一 ) = 第页 ( b条 − T型 b条 ) = D类 第页 ( 一个 , B类 ) .
A分 一 ¯ , b条 ¯ ∈ 一个 × B类 据说是映射的最佳邻近对 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 如果这是问题的解决方案(1). 不动点理论的另一个有趣的主题是循环收缩映射的概念和Kirk等人提供的最佳接近点[6,7].
( 一个 ; B类 ) 局部的非空子集对 K -凸空间 X（X） , Γ ，我们称之为映射 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 是循环的（分别是非循环的），前提是 T型 一个 ⊂ B类 和 T型 B类 ⊂ 一个 （分别为。 T型 一个 ⊂ 一个 和 T型 B类 ⊂ B类 ).
这方面有很多结果，请参阅[8,9,10,11,12].

2.相对循环的不动点结果P（P）-合同

在本节中，我们导出了某些相对循环型的不动点定理第页-完全局部收缩 K -凸空间。
定义 1
设A和B是局部的非空子集 K -凸空间 X（X） , Γ .相对循环图 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 如果存在，则称为相对循环p收缩 0 ≤ γ 第页 < 1 这样对所有人来说 第页 ∈ Γ 和 一 ∈ 一个 和 b条 ∈ B类 我们有
第页 T型 一 − T型 b条 ≤ γ 第页 第页 一 − b条 .
定理 1
让 X（X） , Γ 在当地成为一名完整的豪斯多夫人 K -凸空间，A和B是X和 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 一个相对循环的p收缩图。那么T在 一个 †================================================================================================== B类 .
证明。 
接受一个观点 一 ∈ 一个 自从 T型 是第页-收缩，我们有
第页 T型 2 一 − T型 一 = 第页 T型 T型 一 − T型 一 ≤ γ 第页 第页 T型 一 − 一
和
第页 T型 三 一 − T型 2 一 = 第页 T型 T型 2 一 − T型 T型 一 ≤ γ 第页 T型 2 一 − T型 一 ≤ γ 第页 2 第页 T型 一 − 一
归纳地说，对所有人都使用这个过程 n个 ∈ N个 我们有
第页 T型 n个 + 1 一 − T型 n个 一 ≤ γ 第页 n个 第页 T型 一 − 一
让 n个 ≤ 米
第页 T型 米 一 − T型 n个 一 ≤ 米 一 x 第页 T型 米 一 − T型 米 − 1 一 , 第页 T型 米 − 1 一 − T型 米 − 2 一 , . . . , 第页 T型 n个 + 1 一 − T型 n个 一 ≤ 米 一 x γ 第页 米 − 1 第页 T型 一 − 一 , γ 第页 米 − 2 第页 T型 一 − 一 , . . , γ 第页 n个 第页 T型 一 − 一 ≤ γ 第页 n个 第页 T型 一 − 一
自 0 ≤ γ 第页 < 1 , γ 第页 n个 → 0 作为 n个 → ∞ ，我们得到 第页 T型 米 一 − T型 n个 一 → 0 ，因此 T型 n个 一 是一个第页-柯西序列。自 X（X） , Γ 完成了，我们有 T型 n个 一 → 一 ¯ ∈ X（X） 。我们注意到 T型 2 n个 一 是中的序列一个和 T型 2 n个 − 1 一 是中的序列B类在某种程度上，两个序列趋向于相同的极限 一 ¯ .自一个和B类关门了，我们有 一 ¯ ∈ 一个 †================================================================================================== B类 . 因此 一个 †================================================================================================== B类 ≠ ∅ .
我们声称 T型 一 ¯ = 一 ¯ .考虑到条件相对循环第页-我们有收缩
第页 T型 2 n个 一 − T型 一 ¯ = 第页 T型 T型 2 n个 − 1 一 − T型 一 ¯ ≤ γ 第页 第页 T型 2 n个 − 1 一 − 一 ¯
将限额作为 n个 → ∞ 在上述不等式中，我们有
第页 一 ¯ − T型 一 ¯ ≤ γ 第页 第页 一 ¯ − T型 一 ¯ < 第页 一 ¯ − T型 一 ¯
这意味着 第页 一 ¯ − T型 一 ¯ = 0 . 自X（X）是豪斯多夫， T型 一 ¯ = 一 ¯ .
我们将证明 一 ¯ 存在唯一的不动点T型。显然来自(2)如果 一 ¯ 和 b条 ¯ 是两个固定点T型我们有
第页 一 ¯ − b条 ¯ = 第页 T型 一 ¯ − T型 b条 ¯ ≤ γ 第页 第页 一 ¯ − b条 ¯
自 0 ≤ γ 第页 < 1 这意味着 一 ¯ = b条 ¯ 。因此证明已完成。□
推论 1
设A和B是完全Hausdorff局部的两个非空闭子集 K -凸空间X。设 T型 1 : 一个 → B类 和 T型 2 : B类 → 一个 是两个函数，以便
第页 T型 1 一 − T型 2 b条 ≤ γ 第页 第页 一 − b条
为所有人 第页 ∈ Γ , 一 ∈ 一个 和 b条 ∈ B类 哪里 0 ≤ γ 第页 < 1 。然后存在一个独特的 一 ¯ ∈ 一个 †================================================================================================== B类 这样的话
T型 1 一 ¯ = T型 2 一 ¯ = 一 ¯
证明。 
将定理1应用于映射 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 定义依据：
T型 一 = T型 1 一 如果 一 ∈ 一个 T型 2 一 如果 一 ∈ B类 .
观察这种情况 ( 三 ) 已退化至状况(2). 然后T型有一个独特的固定 一 ¯ ∈ 一个 †================================================================================================== B类 这样的话
T型 1 一 ¯ = T型 2 一 ¯ = 一 ¯ .
定理 2
让 X（X） , Γ 在当地成为一名完整的豪斯多夫人 K -凸空间，A和B是X和B的两个非空闭子集 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 是满足条件的相对循环映射
第页 T型 一 − T型 b条 ≤ γ 第页 米 一 x 第页 一 − b条 , 第页 一 − T型 一 , 第页 b条 − T型 b条
为所有人 第页 ∈ Γ , 一 ∈ 一个 和 b条 ∈ B类 和 0 ≤ γ 第页 < 1 然后，T在 一个 †================================================================================================== B类 .
证明。 
让 一 ∈ 一个 .按条件(4)，我们有
第页 T型 2 一 − T型 一 = 第页 T型 T型 一 − T型 一 ≤ γ 第页 米 一 x 第页 T型 一 − 一 , 第页 T型 一 − T型 2 一 ≤ γ 第页 第页 T型 一 − 一 .
类似地，我们得到 第页 T型 三 一 − T型 2 一 ≤ γ 第页 2 第页 T型 一 − 一 .
归纳地说，对所有人都使用这个过程 n个 ∈ N个 我们有
第页 T型 n个 + 1 一 − T型 n个 一 ≤ γ 第页 米 一 x 第页 T型 一 − 一 , 第页 T型 一 − T型 2 一
因此
第页 T型 米 一 − T型 n个 一 ≤ 米 一 x 第页 T型 米 一 − T型 米 − 1 一 , 第页 T型 米 − 1 一 − T型 米 − 2 一 , . . . , 第页 T型 n个 + 1 一 − T型 n个 一 ≤ 米 一 x γ 第页 米 − 1 第页 T型 一 − 一 , γ 第页 米 − 2 第页 T型 一 − 一 , . . , γ 第页 n个 第页 T型 一 − 一 ≤ γ 第页 n个 第页 T型 一 − 一
自 0 ≤ γ 第页 < 1 , γ 第页 n个 ↦ 0 作为 n个 ↦ ∞ ，我们得到 第页 T型 米 一 − T型 n个 一 → 0 .因此 T型 n个 一 是一个第页-柯西序列。作为 X（X） , Γ 完成了，我们有 T型 n个 一 → 一 ¯ ∈ X（X） 。我们注意到 T型 2 n个 一 是中的序列一个和 T型 2 n个 − 1 一 是中的序列B类所以这两个序列趋向于相同的极限 一 ¯ .自一个和B类关门了，我们有 一 ¯ ∈ 一个 †================================================================================================== B类 那就是 一个 †================================================================================================== B类 ≠ ∅ .
考虑到情况(4)我们有：
第页 T型 2 n个 一 − T型 一 ¯ = 第页 T型 T型 2 n个 − 1 一 − T型 一 ¯ ≤ γ 第页 米 一 x 第页 T型 2 n个 − 1 一 − 一 ¯ , 第页 T型 2 n个 − 1 一 − T型 2 n个 一 , 第页 一 ¯ − T型 一 ¯
将限额作为 n个 → ∞ 在上述不等式中，我们有
第页 z（z） − T型 z（z） ≤ γ 第页 第页 z（z） − T型 z（z） < 第页 z（z） − T型 z（z）
这意味着 第页 一 ¯ − T型 一 ¯ = 0 ，自X（X）是豪斯多夫， T型 一 ¯ = 一 ¯ .
显然来自(4)如果u个和v（v）是…的固定点T型我们有
第页 u个 − v（v） = 第页 T型 u个 − T型 v（v） ≤ γ 第页 米 一 x 第页 u个 − v（v） , 第页 u个 − T型 u个 , 第页 v（v） − T型 v（v） ≤ γ 第页 第页 u个 − v（v）
自 0 ≤ γ 第页 < 1 这意味着 u个 = v（v） . □
推论 2
设A和B是完备Hausdorff局部的两个非空闭子集 K -凸空间X。let T型 1 : 一个 → B类 和 T型 2 : B类 → 一个 是两个函数，这样
第页 T型 1 一 − T型 2 b条 ≤ γ 第页 米 一 x 第页 一 − b条 , 第页 一 − T型 1 一 , 第页 b条 − T型 2 b条
为所有人 第页 ∈ Γ 和 一 ∈ 一个 和 b条 ∈ B类 哪里 0 < γ 第页 < 1 . 然后存在一个独特的 一 ¯ ∈ 一个 †================================================================================================== B类 这样的话
T型 1 一 ¯ = T型 2 一 ¯ = 一 ¯
证明。 
让 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 由定义
T型 一 = T型 1 一 如果 一 ∈ 一个 T型 2 一 如果 一 ∈ B类
然后T型满足条件(4)，我们现在可以应用定理2来推断T型具有唯一的固定点 一 ¯ ∈ 一个 †================================================================================================== B类 这样的话
T型 1 一 ¯ = T型 2 一 ¯ = 一 ¯
 □

3.相对非循环映射的不动点

在本节中，受定理3.1的启发[13]，我们证明了相对非循环映射的最佳邻近点的存在性，并研究了问题解的存在性(1)相对而言第页-局部中的非扩张映射 K -凸面。
定义 2
让 X（X） , Γ 在当地成为一名完整的豪斯多夫人 K -凸空间， 一个 , B类 ⊂ X（X） , 我们设置了
一个 0 第页 = { 一 ∈ 一个 : 第页 一 − b条 = D类 第页 一个 , B类 , （f） o个 第页 秒 o个 米 e（电子） b条 ∈ B类 } B类 0 第页 = { 一 ∈ B类 : 第页 一 − b条 = D类 第页 一个 , B类 , （f） o个 第页 秒 o个 米 e（电子） 一 ∈ 一个 }
我们扩展了众所周知的概念第页-引入的属性[5]度量空间到局部的情况 K -凸空间。
定义 三。
让 一个 , B类 是局部凸空间的一对非空子集 ( X（X） , Γ ) 具有 一个 0 第页 ≠ ∅ . 这对 ( 一个 , B类 ) 称为具有p属性iff
第页 一 1 − b条 1 = D类 第页 一个 , B类 第页 一 2 − b条 2 = D类 第页 一个 , B类 ⟹ 第页 一 1 − 一 2 = 第页 b条 1 − b条 2 ( ∀ 第页 ∈ Γ ) .
哪里 一 1 , 一 2 ∈ 一个 0 第页 和 b条 1 , b条 2 ∈ B类 0 第页
定义 4
让 一个 , B类 是局部凸空间的一对非空子集 ( X（X） , Γ ) . 地图 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 称为相对p-非扩张iff 第页 T型 一 − T型 b条 ≤ 第页 一 − b条 为所有人 第页 ∈ Γ 和 一 , b条 ∈ 一个 × B类 . 如果 一个 = B类 ，我们说T是p-非扩张的。
引理 1
[14]让 X（X） , Γ 在当地成为一名完整的豪斯多夫人 K -凸空间，如果 T型 : X（X） → X（X） 是p-收缩映射，那么T有唯一的不动点 x ¯ X，和 T型 k个 x → x ¯ 每 x ∈ X（X） .
证明。 
让 年 ∈ X（X） 和 k个 ≥ 1 我们有
第页 T型 k个 年 − 年 ≤ 最大值 第页 T型 k个 年 − T型 k个 − 1 年 , 第页 T型 k个 − 1 年 − T型 k个 − 2 年 , . . , 第页 T型 年 − 年 ≤ 最大值 γ k个 第页 T型 年 − 年 , γ k个 − 1 第页 T型 年 − 年 , . . , 第页 T型 年 − 年
然后 最大值 γ k个 第页 T型 年 − 年 , γ k个 − 1 第页 T型 年 − 年 , . . , 第页 T型 年 − 年 = 第页 T型 年 − 年 ，这意味着所有人 x ∈ X（X） 和 k个 ≥ 1
第页 T型 k个 x − x ≤ 第页 T型 x − x .
对于每个 第页 ∈ Γ 和 k个 ≥ 1 ，选择n个足够大。那么 年 = T型 n个 x ，我们有
第页 T型 n个 + k个 x − T型 n个 x ≤ 第页 T型 n个 + 1 x − T型 n个 x ≤ γ 第页 n个 第页 T型 x − x
自 0 ≤ γ 第页 < 1 , γ 第页 n个 → 0 作为 n个 → ∞ ，我们得到 第页 T型 n个 + k个 x − T型 n个 x → 0 .因此 T型 k个 x 是一个第页-柯西序列，因此它收敛到一个点 x ¯ 在里面X（X）.很明显 T型 x ¯ = x ¯ 不动点的唯一性与往常一样，因为X（X）是豪斯多夫。□
定理 三。
让 X（X） , Γ 在当地成为一名完整的豪斯多夫人 K -凸空间和 一个 , B类 是X的两个非空闭子集。假设 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 是一个相对非循环映射，因此对于某些 γ 第页 ∈ 0 , 1
第页 T型 x − T型 年 ≤ γ 第页 第页 一 − b条
为所有人 第页 ∈ Γ 和 一 , b条 ∈ 一个 × B类 然后 D类 第页 一个 , B类 = 0 此外，映射T在 一个 ∪ B类 当且仅当 一个 †================================================================================================== B类 ≠ ∅ .
证明。 
让 一 n个 和 b条 n个 是两个序列一个和B类分别确保 第页 一 n个 − b条 n个 → D类 第页 一个 , B类 .然后
D类 第页 一个 , B类 ≤ 第页 T型 一 n个 − T型 b条 n个 ≤ γ 第页 第页 一 n个 − b条 n个 .
在以下情况下接受限制n个趋向无穷大，我们看到这是必然的 D类 第页 一个 , B类 = 0 . 首先假设 一个 †================================================================================================== B类 ≠ ∅ . 如果我们将定理1应用于 一个 †================================================================================================== B类 ，存在一个固定点T型事实上在 一个 †================================================================================================== B类 .
另一方面，假设T型有一个固定点 b条 ¯ 在里面 一个 ∪ B类 .在不失一般性的情况下，假设 b条 ¯ ∈ B类 . 然后，给一分 一 0 ∈ 一个 , 如果我们表示 一 n个 = T型 n个 一 0 我们有
第页 一 n个 − b条 ¯ ≤ γ 第页 第页 一 n个 − 1 − b条 ¯ ≤ γ 第页 2 第页 一 n个 − 2 − b条 ¯ ≤ ⋯ ≤ γ 第页 n个 第页 一 0 − b条 ¯
自 0 ≤ γ 第页 < 1 , γ 第页 n个 → 0 作为 n个 → ∞ ，我们明白了 一 n个 收敛到 b条 ¯ . 自一个已关闭， 一 ¯ ∈ 一个 †================================================================================================== B类 结果如下。□
定理 4
让 X（X） , Γ 在当地成为一名完整的豪斯多夫人 K -凸空间和 一个 , B类 是X的两个非空闭子集，这样 一个 0 第页 ≠ ∅ .假设 ( 一个 , B类 ) 满足p-性质。让 T型 : 一个 ∪ B类 → 一个 ∪ B类 是满足条件的相对非循环映射
（i） 
T型 | 一个 是p收缩，
（ii） 
T是相对p-非膨胀的。
那么最小化问题(1)有解决方案
证明。 
让 一 ∈ 一个 0 第页 则存在 b条 ∈ B类 这样的话 第页 一 − b条 = D类 第页 一个 , B类 . 自T型相对而言第页-非扩张性；所以
第页 T型 一 − T型 b条 ≤ 第页 一 − b条 = D类 第页 一个 , B类
因此， T型 一 ∈ 一个 0 第页 , 因此 T型 一个 0 第页 ⊆ 一个 0 第页 . 现在让我们 一 0 ∈ 一个 0 第页 按引理1如果 一 n个 + 1 = T型 一 n个 , 然后 一 n个 → 一 ¯ 哪里 一 ¯ 是的固定点T型在里面一个.自 一 0 ∈ 一个 0 第页 ，则存在 b条 0 ∈ B类 这样的话 第页 一 0 − b条 0 = D类 第页 一个 , B类 . 再一次，因为 一 1 = T型 一 0 ∈ 一个 0 第页 , 那么就有了 b条 1 ∈ B类 这样的话 第页 一 1 − b条 1 = D类 第页 一个 , B类 .
归纳地说，对所有人都使用这个过程 n个 ∈ N个 ∪ 0 我们有一个序列 b条 n个 在里面B类这样的话
第页 一 n个 − b条 n个 = D类 第页 一个 , B类 .
自 ( 一个 , B类 ) 有第页-财产，我们都能做到 n个 , 米 ∈ N个 ∪ 0
第页 一 n个 − b条 米 = 第页 一 n个 − b条 米 .
这意味着 b条 n个 是柯西序列，因此存在 b条 ¯ ∈ B类 这样的话 一 n个 → b条 ¯ 。我们现在有
第页 一 ¯ − b条 ¯ = 林 n个 → ∞ 第页 一 n个 − b条 n个 = D类 第页 一个 , B类
我们知道这一点T型相对来说是不可扩展的，所以
第页 T型 一 ¯ − T型 b条 ¯ ≤ 第页 一 ¯ − b条 ¯ = D类 第页 一个 , B类
因此 第页 一 ¯ − T型 b条 ¯ = 第页 一 ¯ − T型 b条 ¯ , 自(一个,B类)具有属性P（P）.因此 一 ¯ − b条 ¯ ∈ 一个 × B类 是的解决方案(1).  □

作者贡献

概念化，E.M。；监督、A.M.和L.S。；验证，上午。；书面原稿、T.S.和A.B。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

研究得到了国家科学技术研究中心的资助。作者对编辑和匿名审稿人提出的建设性意见和建议表示感谢，这些意见和建议提高了稿件的质量。。

工具书类

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分享和引用

MDPI和ACS样式

E.穆罕默德。；Mohamed，A。；萨米赫，L。相对循环和非循环P（P）-局部K-凸空间中的收缩。公理 2019,8, 96.https://doi.org/10.3390/axioms8030096

AMA风格

Mohamed E、Mohamed A、Samih L。相对循环和非循环P（P）-局部K-凸空间中的收缩。公理. 2019; 8(3):96.https://doi.org/10.3390/axioms8030096

芝加哥/图拉宾风格

穆罕默德（Mohamed）、埃德拉乌伊（Edraoui）、阿莫里·穆罕默德和拉扎伊兹·萨米赫（Lazaiz Samih）。2019.“相对循环和非循环P（P）-局部K-凸空间中的收缩”公理8，编号3:96。https://doi.org/10.3390/axioms8030096

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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