1.简介
连续变量的经典正交多项式已知满足超几何型二阶微分方程哪里是最多2次的多项式，是一次多项式，并且是关于的常数x个. 在[1,2]，可以看出方程式(1)具有精确的多项式解n个特定给定常数的度数这主要是通过表明： - -
这个n个th导数任何解决方案年第页，共页(1)满足相同类型的方程（超几何方面），即形式的方程哪里是一次多项式，并且是一个常数，由 - -
任何解决方案(2)可以写为n个解的th导数(1)，前提是.
事实上(2)何时是n个解的th导数(1)导致多项式解的存在(1)，确切地说是n个度，何时 这个结果不仅证明了方程多项式解的存在性(1)但也允许建立罗德里格斯公式，用n个th导数：哪里是一个常量，并且是满足皮尔逊方程的权重函数 值得一提的是，Hermite、Laguerre、Jacobi和Bessel多项式是(1). 使用相同的方法，在[三]（另请参见[4])离散变量的经典正交多项式满足超几何型二阶差分方程哪里和Ş是由下式定义的前向和后向算子 此外，应注意，Charlier、Krawtchuk、Meixner和Hahn多项式是(4). 可以用与经典正交多项式相同的方法得出相同的结果q个-满足二阶的离散变量q个-超几何型差分方程[5]（另请参见[6,7])哪里是哈恩接线员[8]由定义前提是存在。正交多项式是二阶特征函数q个-差分运算符由定义(5)是[5]：Big q-Jacobi、Big q-Laguerre、Little q-Jacabi、Little-q-Lagurerre（Wall）、q-Lagerer、Alternative q-Charlier、Al-Salam–Carlitz I、Al-Salem–CarlitzII、Stieltjes–Wigert、Discrete q–Hermite I、Discreate q–Hermate II、q-Hahn、q-Meixner、Quantum q-Krawtchouk、q-Kramtchouk和Affine q-Klawtchouck，q-Charlier和q-Charrier II多项式。 非均匀格上的经典正交多项式（包括但不限于Askey–Wilson多项式、Racah和q个-Racah多项式），已知满足形式的二阶差分方程[9,10]（另请参见[11])哪里和分别是1次多项式和最多2次多项式；是一个常数，取决于n个关于和.格子由定义[9,10]被称为非均匀晶格，具有各种重要的性质。 方程式(6)可以转化为方程式[12]通过两个伴随算子称为超几何型分差方程（称为分差运算符）和（称为平均运算符）定义为[9,10,12,13] 使用适当的基，使用计算机代数软件求解分差方程(8)对于非均匀格上的经典正交多项式的特定族。对于Askey–Wilson多项式特定情况下的一些特殊参数值，非多项式解与多项式解一起被恢复[14]（见第15页，方程式（62）和（63））。此外，运营商和不仅对非均匀格上经典正交多项式特征定理的泛函方法的建立起了决定性作用，而且对具有多项式系数的线性齐次分差分方程提供了算法解，使其能够显式求解[13]基本指数函数所满足的一阶可分差分方程基本三角函数所满足的二阶微分方程哪里周是给定的常数。 这项工作的目的是：
2.初步结果：已知和新特性
由于本文的主要结果基于运算符和使用晶格定义，我们将在本节中提供,和我们还将导出新的属性，例如运算符的右逆和“左”逆，在下一节中是必需的。
2.1. 格的已知性质
考虑符号非均匀晶格由方程式定义(7)满足对于具有其中序列满足以下关系：并由明确给出[9,10]和 2.2. 算子的已知性质和
操作员和满足所谓的产品规则I[13,14]:哪里是2次多项式和是一个常数，由[14] 操作员和也满足所谓的产品规则II[13,14]:哪里是标识运算符、和 2.3. 操作员的适当基础和
Foupoagnigni等人在[14]多项式由定义哪里是唯一的解决方案（前提是晶格是二次的或q个-二次型：即常数英寸(7)满足或)在变量中t吨方程式的是操作员的正确基础和因为它满足以下属性其中常量和在中给出(14)和(15). 查看运算符的一些属性后和，我们现在陈述并证明以下命题，它提供了算子的左逆和右逆，将在下一节中用于完成本文主要定理的证明。
提议 1
让是基于定义的线性算子通过然后，满足以下关系：哪里是标识运算符，并且Diracδ分布定义为ε的定义见(21). 证明。 对于所有正整数n个,由定义(21)确切地说是一个次数多项式n个.因此是.出租，存在这样的话我们有因此，关系的第一部分(24)持有。使用(26)，我们有第二部分(25)因此感到满意。□ 3.超几何型差分方程多项式解的存在性
陈述并证明了操作符的必要属性和，我们现在将陈述并证明本文的主要定理。
定理 1 设n是一个非负整数，ψ和分别是两个1次多项式和最多2次多项式，这样然后，除以差分方程具有哪里和分别是多项式ψ和的主导系数，有一个精确n次的多项式解。 定理1的证明将被组织如下：我们将证明分为五个引理，首先陈述、证明，然后将这些引理与命题1结合起来，推导出该定理的证明。
引理 1
如果函数是的解决方案(28)，然后是函数满足哪里 证明。 假设满足(28). 应用运算符至(28)其中年被替换为并在中使用乘积规则I(16)和（17），我们得到在中使用产品规则II(20)替换和在前面的方程式中，我们有哪里,和由定义(31). 因此，是方程式的解(30). □ 引理 2
如果函数是的解决方案(28)，然后是函数是方程的解其中多项式和常数满足具有以下初始值： 证明。 引理1确保了结果的有效性.
让k个是一个正整数。假设是方程的解(32). 应用运算符至(32)其中年被替换为并使用产品规则I，我们获得使用产品规则II替换和在前面的方程式中，我们有哪里,和由定义(33). 因此，满足□ 引理 三。
如果给定的函数满足(30)带有，则存在一个函数令人满意的(28)这样的话 证明。 让是…的解决方案(30)带有.如果存在解决方案第页，共页(28)这样的话，然后从(28)我们可以快递作为：现在，仍需验证函数定义为由(35)满足方程式(28)带有通过应用至(35)并使用产品规则I、II和以下事实是的解决方案(30)，我们得到因此，自从. 我们证明了这一点是的解决方案(28)通过更换在方程式中(35)由. □ 引理 4
对于任何正整数n，系数由关系定义(33)满足哪里 证明。 如果我们用和，然后从(33)，我们有以下递推方程组 使用关系源自方程式(12)和(13)，之前的方程组变为用初值求解这个递推方程组,，我们获得q个-二次格使用的定义这当然与对于，我们推导(37)来自(39). 求解以下方程式就未知而言k个记住(27)，提供了独特的解决方案因此，满足关系（38）。用同样的方法很容易证明关系（38）对于二次格是满足的。□ 引理 5
设n为固定正整数，k为整数，这样然后，如果是方程式的解(32)，则存在方程的解(28)这样的话 证明。 让k个为非负整数.假设满足(32). 然后，我们得到存在一个函数用置换法求解方程k个英寸(32)由即，这样的话这是通过以下事实实现的：由于引理4，并且也使用了引理3，但带有函数和分别由函数替换和while公式(28)替换为方程式(40). 此外，方程式(30)替换为方程式(32). □ 通过重复相同的过程来完成证明并使用引理3和4。
证明 属于 定理 1 自起，针对多亏了(37)，方程式(32)接受恒定的解决方案，即.因此，我们从引理5推断出存在一个函数的解决方案(28)这样的话接下来，我们应用运算符并应用方程的第二个关系式进行推导(25)1号提案因此，哪里. 通过再次应用运算符关于前一个方程的两个成员，并使用方程的第二个关系(25)，我们得到哪里重复相同的过程，我们表示作为哪里因此，确切地说是一个次数多项式n个在里面. □ 4.结论和观点
在这项工作中，我们导出了算子的右逆和“左”逆并使用了逆运算符和运算符的属性和，提供了超几何型分维差分方程的形式化证明(28)具有精确的次多项式解n个. 我们工作的新颖之处在于，形式上证明了此多项式解的存在性，从而证实了以下事实：[14]，通过求解分差(8)在逐个实例的基础上，并对每种情况使用最合适的多项式基，我们得到了非均匀格上每一族经典正交多项式的超几何或q个-由于超几何（或q个-超几何）表示。 求非多项式解的超几何表示(8)不明显，这是在参数满足时，Askey–Wilson多项式意外获得的[14]（见第15页，方程式（62）和（63））。这里开发的方法可能有助于理解非多项式解何时以及为什么存在这种超几何表示。 作为本文的另一个潜在应用，算子的右逆和“左”逆在研究非均匀纬度上正交多项式的性质，在非均匀格上差分方程的解的搜索，以及方程的第二解-非多项式解的超几何表示（当存在时）方面可能发挥重要作用(28).
