1.简介
除非另有明确说明，否则假设所有拓扑空间和拓扑群都是Hausdorff，所有拓扑空间都是无限的。
从给定拓扑组生成新拓扑组的基本拓扑操作是：
- (1)
分组；
- (2)
取有限或无限乘积；
- (3)
开连续同态映象=商映象；
- (4)
（拓扑群）同构嵌入。
具有稠密可数子空间的拓扑空间称为可分离的.
本文的主要目的是系统地给出拓扑群关于上述拓扑运算的可分性行为的结果，并明确哪些问题是开放的。大部分材料来自最近的出版物[1,2,三,4,5,6,7,8]. 非正式地说，这一调查有助于表明拓扑群的结构比一般拓扑空间的结构对可数拓扑性质的存在更敏感。
第2节概述了一般拓扑空间可分性的相关背景结果。第3节研究了可分拓扑群的闭子群和同构嵌入到可分拓扑组中的同构嵌入。第4节研究了可分拓扑群的乘积和可分拓扑向量空间的乘积。第5节致力于一般拓扑群的可分商问题。第6节研究了自由拓扑群的可度量商和可分商。第7节处理抽象群何时可以配备可分离拓扑群拓扑的问题。 在大多数章节的末尾，我们提出了开放性问题，总共有20个问题。在整个论文中，任何标记为问题的东西都是一个公开的问题。我们也有许多问题，并提供了答案。
建议读者查阅恩格尔金的专著[9]还有阿汉格尔斯基和特卡琴科[10]对于本文中没有明确定义的任何概念。 2.拓扑空间的可分性
这个重量 拓扑空间的X（X）定义为最小基数，其中是拓扑的基础X（X）. The密度特征 拓扑空间的X（X）是回忆一下，如果然后我们说空间X（X）是可分离的。我们表示为连续体的基数。
拓扑空间X（X）据说是遗传可分离如果X（X）和每个子空间X（X）是可分离的。拓扑空间被称为第二可数如果它的拓扑有一个可数基。拓扑空间X（X）据说有一个可数网络如果有一个可数的家庭（不一定是开放的）子集的X（X）是.
任何具有可数网络的空间都是可遗传可分的；
可度量空间是可分的当且仅当它是第二可数的；
可分空间的任何连续映象都是可分的；
可数网络由连续图像保存。
2.1. 可分拓扑空间的权
定理 1 （德格罗特([11]，定理3.3））如果X是可分正则空间，则.更一般地说，每个正则空间X满足，然后. 紧并元空间定义为广义Cantor立方体的连续映象，其中是任意基数。这是众所周知的([12]定理10.40），每个紧群都是并元的。 提议 1 （恩格尔金([13]，定理10））让κ成为无限基数。紧并元空间K满足特别是，如果，则K是可分的。 2.2. （遗传）可分拓扑空间的乘积
定理 2 （休伊特-马尔切夫斯基-蓬迪奇里[9])让是拓扑空间族，其中对于某个基数.如果对于每个，然后尤其是不超过可分空间是可分的。 备注 1 Sorgenfrey线是一个遗传可分空间，其平方具有不可数的离散子空间作为子空间等等不能遗传分离。
提议 2 ([1]). 设X是遗传可分空间，Y是具有可数网络的空间也是遗传可分离的。 2.3. 可分离拓扑空间中的闭嵌入
任何重量不大于同胚嵌入到可分离紧致立方体.
第丘诺夫空间X（X）被称为伪紧的如果每个连续实值函数定义于X（X）有界。与定理11类似，可以证明：
提议 三。 每个Tychonoff空间的重量不大于同胚于可分伪紧空间的闭子空间。
2.4. 拓扑空间的可分商空间
假设是这样的映射：（1）是悲观的，（2）是连续的，并且（3）对于,在中打开X（X）意味着U型在中打开Y（Y）在这种情况下，映射称为商映射。
每个闭映射和每个开映射都是商映射。
商映射不能保留大多数拓扑性质。例如，度量空间的商空间不必是Hausdorff空间，可分离度量空间的商量空间不必有可数基。
一个满射连续映射据说是R商[14]如果对于每个实值函数（f）在Y（Y），组成是连续的当且仅当（f）是连续的。显然，每个商映射都是R（右）-商，但反过来是错误的。 让是一个surpjective连续映射，其中空间Y（Y）是泰克诺夫。然后Y（Y）承认最好的拓扑结构，这样，映射是R（右）-商。拓扑结构属于Y（Y）相对于实值函数族是初始的（f）在Y（Y）这样的成分是连续的。很容易看出也是Tychonoff比原始拓扑精细Y（Y）我们这么说是R-商拓扑在Y（Y）（关于). 请注意，映射保持连续。
提议 4 ([2]). 伪紧空间到第一可数Tychonoff空间的每个连续映射都是R-商。因此，对于每个伪紧空间，在闭单位区间的无穷子集上都存在一个R-商映射每个局部紧空间也允许R商映射到闭单位区间的无限子集上. 回想一下Lindelöf的班级-空间是拓扑空间的最小类，它包含所有紧致和所有可分离的可度量拓扑空间，并且相对于可数乘积、闭子空间和连续映象是闭的（参见[10]，第5.3节）。 提议 5 ([2]). 为了每一个林德夫Σ-空间（特别是σ-紧空间）X在具有可数网络的无限空间上存在一个R-商映射。 2.5. 未决问题
问题 1 ([2]). 是否存在从每个Tychonoff空间到无限子空间的R-商映射? 此外，下面还有一个更具体的问题：
问题 2 ([2]). 是否存在从每个Lindelöf空间到无限可分Tychonoff空间的R-商映射？ 3.可分拓扑群的子群
3.1. 具有稠密紧生成子群的拓扑群
拓扑组G公司据说是紧凑生成如果它有一个紧子空间K（K）这样G公司其中包含K（K）是G公司本身。拓扑组G公司据说是有限生成模开集如果对于每个开集，存在一个有限集使得的最小子群G公司其中包含是G公司自身。
由于每个可度量紧空间都是可分的，所以很容易看出，每个具有稠密紧生成子群的可度量拓扑群都是可分离的。下一个定理说明了在什么条件下，逆命题也是成立的。
定理 三 ([15]). 可度量拓扑群G具有稠密紧生成子群的充要条件是它是可分的有限生成模开集。 推论 1 设G是一个可度量的连通拓扑群。那么G是可分的当且仅当它有稠密紧生成子群。
推论 2 设G是可度量拓扑向量空间的可加拓扑群。那么G是可分的当且仅当它有稠密紧生成子群。
3.2. 可分拓扑群的子群的特征
拓扑群被称为ω-窄([10]，第3.4节），如果它可以被身份元素的每个邻域的可数多个翻译所覆盖。众所周知，每个可分拓扑群都是-窄（参见[10]，推论3.4.8）。的类别-相对于取任意子群而言，窄群是生产的和遗传的([10]，第3.4节），因此-狭义群体不必是可分离的。事实上-窄群G公司可以有不可数的细胞，即在G公司（请参见[10]，示例5.4.13）。 以下定理描述了-窄拓扑群。
定理 4. （古兰[16])拓扑群G是ω-窄的当且仅当它在拓扑上同构于第二可数拓扑群乘积的子群。 在由开子群组成的单位元上有局部基的拓扑群称为原离散的。一个完整的原离散群称为prodiscrete公司。原离散拓扑群就是完全不连通的原线性群([17]，建议3.30）。 定理 5 ([4]). （原离散阿贝尔）拓扑群H在拓扑上同构于可分离（前离散阿贝尔）拓扑群的子群当且仅当H是ω-窄且满足. 比较给定拓扑组上的限制是很自然的G公司由拓扑嵌入的存在性G公司到可分离的正则空间或的拓扑同构G公司可分拓扑群的一个子群。
让我们注意到，两类拓扑群中的第一类严格比第二类宽。为了说明这一点，考虑任意离散群G公司令人满意的.然后G公司嵌入为闭子空间进入可分离空间[9]，其中是具有离散拓扑的正整数集。然而，G公司不允许在可分拓扑群的子群上存在拓扑同构。实际上，可分拓扑群的每个子群都是-根据定理5缩小。由于离散组G公司是无法计数的-狭窄。 上述观察使我们很自然地将注意力局限于-当考虑嵌入到可分拓扑群中时，缩小拓扑群。事实证明，在-狭窄的拓扑群，两种嵌入类型之间的差异消失了，即使我们需要封闭嵌入。
在补充定理5的下一个结果中，我们用可分路径连通局部路径连通拓扑群的闭子群类来标识一大类拓扑群。
定理 6 - （a）
G同胚于可分正则空间的子空间；
- （b）
G在拓扑上同构于可分拓扑群的子群；
- （c）
G在拓扑上同构于可分路径连通局部路径连通拓扑群的闭子群。
接下来，我们考虑以下问题：G公司是一个可分拓扑群。在什么条件下G公司可分离的？
历史上，第一个非平凡的结果是由于伊兹科维茨[18]. 定理 7. 设G是可分紧拓扑群。那么G的每个闭子群都是可分的。
请注意-紧度G公司不是一个充分条件。
例子 1 让X（X）是包含闭的不可分离子空间的任何可分离紧致空间Y（Y）.自由阿贝尔拓扑群自然嵌入作为一个闭子群。然后是可分离的-紧群，而不可分开Y（Y）将是可分离的（参见[19]，引理3.1）。 让我们回顾一下拓扑群G公司被称为有羽毛的如果它包含一个具有可数邻域基的非空紧子集G公司等效地，G公司如果包含紧子群，则为羽状K（K）这样商空间可测量（参见[10]，第4.3节）。所有可度量群和所有局部紧致群都是羽状的。还请注意，羽毛群的类在取可数乘积下是封闭的（参见[10]，建议4.3.13）。 定理 8 ([4]). 设羽状拓扑群G同构于可分拓扑群的子群。那么G是可分的。 由于羽毛拓扑群的类包括局部紧群和可度量群，定理8提供了Comfort和Itzkowitz结果的推广[19]对于局部紧群和可度量群的著名结果[20,21]. 推论 三。 如果局部紧拓扑群G同构于可分拓扑群的子群，则G是可分的。
推论 4. 如果可度量群G同构于可分拓扑群的子群，则G是可分的。
回想一下，非空类拓扑群的品种[22,23,24,25,26,27]如果它在取子群、商群、（任意）笛卡尔积和同构像的操作下是封闭的。让是一类拓扑群是包含.然后据说是品种产生于.借助于[26]推论4可以扩展如下。 推论 5 如果是任何一类可分阿贝尔拓扑群，则是其中的每个可度量群是可分离的。
很明显，如果可度量性条件被删除或替换为羽状或紧凑型，则推论5将是错误的。
问题 三。 如果我们放弃类中所有组的假设，推论5是否仍然有效阿贝尔吗？
备注 2 ([4]).（1） 一个离散的（因此是局部紧的和可度量的）拓扑群G公司同胚于可分离Tychonoff空间的闭子空间不一定是可分离的。事实上，考虑尼米茨基平面就足够了，它包含实数的离散副本X（X）-轴。因此，如果群G公司假设是可分Hausdorff（甚至Tychonoff）空间的子空间，而不是可分拓扑群的子群。 （2） 可分连通pro-Lie群包含闭合的不可分离子组。为了看到这一点，我们考虑封闭子群属于G公司.根据Uspenskij的一个定理[28]，该组包含子组H（H）具有无数细胞。关闭H（H）在里面G公司比如说，K（K）是的封闭不可分离子组G公司。请注意，该组K（K）无法几乎连接。（关于几乎相关群体的讨论，请参见下一小节。） （3） 一个自然的问题是，如果一个连通的可度量群是可分Hausdorff（或正则）空间的子空间，那么它是否一定是可分的。答案还是“不”。实际上，考虑一个任意连通的可度量群G公司重量的例如，可以紧空间上连续实值函数的Banach空间X（X）令人满意的具有超形式拓扑。自，空间G公司同胚于Tychonoff立方体的子空间，其中是闭合单位间隔。因此G公司作为子空间嵌入到可分离正则空间中，但G公司等于.
3.3. Pro-Lie群的可分性
本世纪初，霍夫曼和莫里斯[17,29]，介绍了pro-Lie组由有限维李群的射影极限组成，证明了它包含所有紧群、所有局部紧阿贝尔群和所有连通局部紧群，并且在积和闭子群的形成下是封闭的。他们定义了一个拓扑群G公司成为几乎相连如果的商群G公司通过其身份的连通分量是紧致的[17]. 当然，所有紧群、所有连通拓扑群以及一组拓扑群的所有有限或无限乘积（其中每个因子要么是连通拓扑群，要么是紧群）几乎是连通的。 下面我们考虑以下拓扑群同胚的到可分的子空间豪斯道夫空间。
定理 9 ([4]). 设G是一个几乎连通的pro-Lie群。如果G同胚于可分Hausdorff空间的子空间，则G是可分的。 这一结果可以加强如下。
定理 10 ([4]). 设G是包含闭子群N的ω-窄拓扑群，使得N是几乎连通的pro-Lie群和商空间是局部紧的。如果G同胚于可分Hausdorff空间的子空间，则G是可分的。 与几乎连通的pro-Lie群不同，可分前离散阿贝尔群的闭子群可能不能是可分的。
命题 6 ([4]). 可分离前离散阿贝尔群的闭子群不必是可分离的。 3.4. 可分离拓扑群的闭拓扑同构嵌入
下面给出的定理11和12表明，存在大量具有闭不可分子群的可分伪紧拓扑（阿贝尔）群。
定理 11 ([4]). 每个预紧拓扑权群拓扑同构于可分离、连通、伪紧群H的闭子群. 这是阿贝尔版本。
定理 12 ([4]). 每个预紧阿贝尔群的权重拓扑同构于可分离、连通、伪紧交换群H的闭子群. 定理 13 ([4]). 在连续统假设下存在一个可分可数紧交换拓扑群G，它包含一个闭的不可分子群。 问题 4. 是否存在于包含不可分闭子群的可分可数紧拓扑群？
4.可分拓扑群/局部凸空间的乘积
4.1. 强可分拓扑群
假设一个拓扑群G公司是强可分离（简单地说，S-可分离)如果对于任何拓扑组H（H）这样H（H）是可分离的，产品每个封闭子群都是可分离的。什么是S公司-可分离组？
其中一个主要的陈述是以下结果，可以通过说每个可分离紧群是S公司-可分离。
定理 14 ([1]). 设G是可分紧群，H是所有闭子群都可分的拓扑群。然后是产品的所有封闭子组是可分离的。 通过弱化紧性假设，我们可以在多大程度上推广定理14，目前尚不清楚G公司然而，根据定理17，关于群的一些附加条件G公司和/或H（H）必须强制执行。
定理14的证明依赖于以下事实：对于紧因子G公司投影到上面H（H）是一个闭合映射。在下一个命题中，当投影结果是一个封闭的映射。
提议 7 ([1]). 设G是可数紧拓扑群，H是可分度量拓扑群。如果G的所有闭子群都是可分的，那么乘积的所有闭子群是可分离的。 每个可数组S公司-可分离。下面的定理统一了群的紧类和可数类。
定理 15 ([1]). 拓扑群G是S-可分的，只要它包含可分紧子群K，使得商空间是可数的。 提议 8 - (1)
有限乘积；
- (2)
取封闭子群；
- (3)
拍摄连续同态图像。
4.2. 两个可分离预紧/伪紧群的乘积
定理 16 ([1]). 假设然后存在伪紧交换拓扑群G和H，使得G和H的所有闭子群都是可分的，但乘积包含一个闭的不可分离σ-紧子群。 最近肖志强、桑切斯和特卡琴科[6]给出了ZFC中预紧（但不一定是伪紧）交换拓扑群的第一个示例G公司和H（H）具有相似性质。 定理 17 ([6]). 存在预紧交换拓扑群G和H，使得G和H的所有闭子群都是可分的，但乘积包含闭合的不可分离子组。 同时也是[6]通过在假设，一个伪紧阿贝尔拓扑群G公司这样G公司是可分离的，但正方形包含关闭的不可分离-紧子群。 最后，在马丁公理假设和连续统假设的否定下，得到了以下结果.
定理 18 ([6]). 假设然后存在可数紧布尔拓扑群G和H，使得G和H的所有闭子群都是可分的，但乘积包含闭合的不可分离子组。 4.3. 两个可分伪完备局部凸空间的乘积
提议 9 ([1]). 设K是有限维Banach空间，L是拓扑向量空间，其中所有闭向量子空间都是可分的。那么乘积的所有闭向量子空间是可分离的。 备注 三。 命题9对于任意可分Banach空间是否仍然有效尚不清楚K（K）.
定理 19 ([1]). 假设然后存在伪完备局部凸空间K和L，使得K和L的所有闭向量子空间都是可分离的，但乘积包含一个闭的不可分离σ-紧向量子空间。 4.4. 连续多个可分离局部凸空间的乘积
经典的休伊特-马尔切夫斯基-庞迪奇里定理2暗示可分拓扑空间是可分的。多曼斯基[30]给出了一个不可分完全局部凸空间的例子，该空间可以嵌入为巴纳赫空间的副本后来他扩展了这个结果，表明任意无穷维Banach空间的副本都具有不可分离的闭向量子空间[31]. 事实上，多曼斯基在[31]如果,，使用是可分拓扑向量空间，其补全不是q个-最小，然后是产品有一个不可分离的闭向量子空间。（拓扑向量空间E类被称为q-最小值如果它及其所有商空间都是最小的，而E类被称为最小值如果它不允许严格较弱的Hausdorff拓扑向量空间拓扑）。 与前面定义的各种拓扑组类似，非空类局部凸空间的品种[27,32,33,34]如果它在取子空间、商空间、（任意）笛卡尔积和同构像的操作下是闭合的。让是一类局部凸空间，表示为包含.然后据说是品种产生于。如果由单个对象组成E类，然后写为. 定理 20 ([三]). 让我成为一个索引集每个的局部凸空间。如果至少的不在中，或等效地不具有弱拓扑，则乘积有一个不可分离的闭向量子空间。 定理 21 ([三]). 让我成为任何索引集,，一个可分局部凸空间。如果X是的向量子空间Y是X的闭向量子空间，因此 - （a）
Y是可度量的，并且可分离，或
- （b）
Y是可分离的可测量，
那么X是可分离的。
让表示所有连续的空间E类-上的值函数X（X）具有逐点收敛拓扑，其中E类是局部凸空间。空间是的向量子空间被赋予产品拓扑。
推论 6 ([三]). 设X是一个Tychonoff空间。如果E是可分局部凸空间，则是可分离的。 提议 10 ([三]). 设X是一个Tychonoff空间，使得是可分离的。那么X的每个闭子集F都是-设置，即，其中每个在X中打开。 例子 2 ([三]).让表示Michael线。然后是包含不可分离闭向量子空间的可分离局部凸空间。 4.5. 悬而未决的问题
问题 5 - （a）
每个可分局部紧群都是S-可分的吗？
- （b）
是阿贝尔拓扑群欧氏拓扑S-可分的所有实数？是否存在不可S-分离的可分离度量群？
- （c）
是闭单位区间上的自由拓扑群S-可分离？
为了推广命题7，出现了以下问题：
问题 6 ([1]). 设G是可数紧拓扑群，使得G的所有闭子群都是可分的，H是具有可数网络的拓扑群可分离的？ 表示方式由所有紧可分群和所有可数群生成并在命题8（1）-（3）所列操作下闭合的最小拓扑群类。不难验证，如果，然后G公司包含紧可分子群K（K）这样商空间是可数的。在下一个问题中，我们问这个属性是否表征了:
问题 7 ([1]). 拓扑群G是否属于该类当且仅当G包含紧可分子群K，使得商空间是可数的吗？ 问题 9 ([三]). 刻画那些Tychonoff空间X，使得是可分离的。 5.一般拓扑群的可分商问题
让我们从巴拿赫空间理论中一个著名的未解决问题开始本节。Banach空间的可分离商问题起源于20世纪30年代，由Stefan Banach和Stanisław Mazur提出。
问题 10 （Banach空间的可分商问题）每个无穷维Banach空间都有一个可分无穷维的商Banach空吗？
文献中已经证明了Banach空间的可分商问题的许多特殊情况，例如：
每个无穷维自反Banach空间都有一个可分离的无穷维商Banach空（Pełczynski，1964）。
每个巴纳赫空间，其中K（K）是一个紧空间，具有可分离的无限维商Banach空间（Rosenthal，1969；Lacey，1972）。
任意无穷维Banach空间的每个Banach对偶，，具有可分离的无限维商Banach空间（Argyros，Dodos，Kanellopoulos，2008）。
然而，一般问题10仍未解决。
转向局部凸空间，可以说明类似的问题。
问题 1 （局部凸空间的可分商问题）每个无穷维局部凸空间都有一个商局部凸空间可分离的和无限维？
请注意，文献中有许多关于问题1的部分正解（参见[35]). 然而，卡科尔、萨克森和托德[36]以否定的方式回答了问题1。回想一下桶拓扑向量空间是一个凸的、平衡的、吸收的和闭的集。Hausdorff拓扑向量空间E类如果每个桶都在里面，则称为桶E类是零元素的邻域。 定理 22 ([36]). 存在一个没有任何商空间的无限维桶形局部凸空间，这是一个无限维可分局部凸空间。 现在，我们为拓扑群构造了可分离商问题的各种自然版本。除非另有明确说明，否则本节中给出的结果来自论文[5]. 问题 11 （拓扑群的可分商问题）每个非完全不连通拓扑群都有一个商群，它是一个非平凡可分拓扑群吗？
问题 12 （拓扑群的可分无穷商数问题）每个非完全不连通拓扑群都有一个商群，它是无限可分拓扑群吗？
问题 13 （拓扑群的可分可测商问题）每个非完全不连通拓扑群都有一个商群，它是一个非平凡可分可度量拓扑群吗？
问题 14 （拓扑群的可分无限可度量商问题）每个非完全不连通拓扑群都有一个商群，它是一个无限可分可度量拓扑群吗？
对于各种著名的拓扑群，如Banach空间、局部凸空间、紧群、局部紧群、pro-Lie群、伪紧群和预紧群，考虑这些问题是很自然的。论文[7]为Banach空间提供了一个有趣的解决方案。 定理 23 ([7]). 设E是局部凸空间（over或). 如果E有一个子空间是无限维Fréchet空间，则E有（无限可分可度量）tubby环面群作为商组。 推论 7 ([7]). 每个无穷维Fréchet空间，特别是每个无穷维Banach空间，都有（无限可分可度量）tubby环面群作为商组。 我们表示为完备可数无穷维局部凸空间是局部凸空间的强对偶.
备注 4 ([7]).可分局部凸空间不存在连续满射同态在tubby环面上. 推论7提出了以下未解决的问题，如果得到否定的答案，就会立即对Banach空间的Banach-Mazur可分商问题（问题10）给出否定的答案。
问题 15 每个无穷维Banach空间都有一个同胚的商群吗?
拓扑群G公司据说是一个SIN组如果每个邻居的身份G公司包含在所有内部自同构下不变的恒等式的邻域。当然，每个交换拓扑群和每个紧群都是一个SIN群。
正如我们在第2节任何正则可分拓扑空间的基数都不大于这使得下面的陈述很有趣。 定理 24 ([37]). 设G是阿贝尔拓扑群或更一般的SIN群。如果G有一个可分离的商群，那么它也有一个基数不大于的商群. 我们现在考虑几个自然问题，它们是问题11、12、13和14的特例。
问题 2 （局部紧阿贝尔群的可分商问题）每个无限局部紧阿贝尔群是否都有一个可分商群，它是（i）非平凡的；（ii）无限；（iii）可计量；（iv）无限可度量？
问题2的非阿贝尔版本是：
问题 三。 （局部紧群的可分商问题）每个非完全断开局部紧群是否都有一个可分商群，它是（i）非平凡的；（ii）无限；（iii）可度量的；（iv）无限可度量？
作为问题3的特例，我们有：
问题 4. （紧致群的可分商问题）每个无限紧群都有一个非平凡的可分商群吗；（ii）无限；（iii）可计量；（iv）无限可度量？
5.1. 局部紧群和Pro-Lie群
在本小节中，我们对问题2（i）、（ii）、（iii）和（iv）以及问题4（i），（ii），（iii），（iv）给出了肯定的回答，并对问题3给出了部分回答。对于pro-Lie群已经证明了令人满意的结果。对于紧阿贝尔群、连通紧群和完全不连通紧群，得到了更强的结构结果。
定理 25 每个不可分紧交换群G都有一个商群Q，它是非平凡紧有限维李群的可数无穷乘积。因此，商群Q是一个无限可分的可度量群。
定理 26 每个不可分离的连通紧致群G都有一个商群Q，它是非平凡紧致有限维李群的可数无限乘积。因此，商群Q是一个无限可分的可度量群。
备注 5 任何离散群都不具有商群，商群是非平凡拓扑群的可数无穷乘积，因为离散群的每个商都是明显离散的。特别地，局部紧交换群不需要有商群，商群是非平凡拓扑群的可数无穷乘积。
定理 27 每个不可分连通局部紧交换群G都有一个商群Q，它是非平凡紧有限维李群的可数无穷乘积。因此，商群Q是一个无限可分的可度量群。
定理 28 每个无限完全不连通紧群G都有一个商群Q，它同胚于有限离散拓扑群的可数无穷乘积。商群Q因此同胚于Cantor空间，因此是一个无限可分离的可度量群。
下面是对问题4（i）、（ii）、（iii）和（iv）的肯定回答。
定理 29 （紧群的可分商定理）设G是无限紧群。那么G有一个商群，它是一个无限可分可度量（紧）群。
借助定理29，对问题2（i）、（ii）、（iii）和（iv）给出了肯定的回答。
定理 30 （局部紧阿贝尔群的可分商定理）设G是无限局部紧阿贝尔群。那么G有一个商群，它是一个无限可分的可度量群。
回想一下proto-Lie群在中定义([17]，定义3.25）为拓扑组G公司其中恒等式的每个邻域都包含一个闭正规子群N个使得商群是一个李群。如果G公司也是一个完全拓扑群，则称为pro-Lie组.如果G公司是具有所有商李群的原李群（分别称为原李群）然后离散G公司据说是原离散的（分别为，预制混凝土). 很明显，如果G公司是一个非李群的原李群，那么它就不是拓扑简单的。 定理 31 （原线群的可分商定理）设G是非原离散的无限原Lie群；也就是说，G并不是完全断开的。那么G有一个商群，它是一个无限可分离的可度量（Lie）群。
定理 32 （σ-紧Pro-Lie群的可分商定理）设G是无限σ-紧pro-Lie群。那么G有一个商群，它是一个无限可分的可度量群。
定理30的另一个重要推广是定理33。
定理 33 （阿贝尔Pro-Lie群的可分商定理）设G是一个无限阿贝尔pro-Lie群。那么G有一个商群，它是一个无限可分的可度量群。
下一个定理推广了定理29，为问题3提供了部分但有意义的答案。
定理 34 （σ-紧局部紧群的可分商定理）每个无限σ-紧局部紧群都有一个商群，它是一个无限可分度量群。
推论 8 （几乎连通局部紧群的可分商定理）每个无限几乎连通局部紧群都有一个商群，它是一个无限可分度量群。
5.2.-紧凑型团队，林德夫-群和伪紧群
回想一下Lindelöf的班级-组包含所有-紧的和所有可分离的可度量拓扑群，对于可数乘积、闭子群和连续同态映象是闭的（参见[10]，第5.3节）。 提议 11 （Lindelöf的可分离商定理Σ-组）设G是无穷LindelöfΣ-组。那么G有一个无限可分的商群。实际上，G的拓扑是关于具有可数网络的无限群上的商同态族的初始拓扑。
自从-紧拓扑群显然是Lindelöf-下一个结果来自11号提案。
推论 9 （σ-紧群的可分商定理）设G是无限σ-紧拓扑群。那么G有一个无限可分的商群。实际上，G的拓扑是关于具有可数网络的无限群的群的商同态族的初始拓扑。
关于问题14，有人可能会问：如果拓扑群G公司有一个无限可分的商群G公司必然有一个商群是无限的、可分离的和可度量的？在下一个提案12中，这个问题得到了否定的回答。
提议 12 存在一个可数无限预紧交换群H，使得H的每个商群要么是平凡的，要么是不可度量的。
我们现在考虑伪紧群。
定理 35 （伪紧群的可分商定理）每个无限伪紧拓扑群G的拓扑是关于无限紧可度量群上的商同态族的初始拓扑。特别地，G有一个商群，该商群是无限可分紧且可度量的。
5.3. 不允许可分商群的预紧拓扑群
在本节中，我们证明了定理35不能推广到预紧拓扑群，即使是在非平凡可分商存在的弱形式下。
定理 36 紧群存在不可数的稠密子群G令人满意的使得G的每个可数子群在G中是封闭的，G的每个不可数子团在G中都是稠密的，因此G的每个商群要么是平凡的，要么是不可分的。
事实上，集团的每一种力量G公司在定理36中，不存在非平凡的可分商。
定理 37 让是定理36中构造的群，并让是基数。然后每个商组要么微不足道，要么不可分离。
拓扑群称为-组如果它有一个稠密子群H（H）它是闭拓扑子群的严格递增序列的并集。最后，我们证明存在一个-组没有一个非平凡的可分商群。
定理 38 对于每一位红衣主教，存在一个预紧拓扑交换群H满足具有以下属性：
- （a）
;
- （b）
，其中是H的真闭子群；
- （c）
H的每个商群要么是平凡的，要么是不可分的。
The class of
-可分解的组（请参阅[10]，第8章）包含所有伪紧群以及-紧凑型组。我们注意到，根据定理8.1.9[10]，局部紧群是-可分解的当且仅当它是-紧凑。自集团以来G公司在定理36中是预紧的，它是-可根据([10]，推论8.1.17）。推论 10 存在无限-没有非平凡可分商或可度量商的可分解群。
5.4. 未决问题
我们注意到，问题3早些时候在第5节尚未得到充分回答，因此我们现在将其视为未解决的问题。 问题 16 （局部紧群的可分商问题）每个无限非全断局部紧群是否有一个可分商群，它是（i）非平凡的；（ii）无限；（iii）可计量；（iv）无限可度量？
回想一下阿贝尔拓扑群G公司称为自反拓扑群如果自然地图G公司它的第二个对偶群是拓扑群同构。蓬特里亚金-凡-坎彭定理[38]表示每个局部紧阿贝尔群都是自反的。众所周知，每个完全可度量的局部凸空间，特别是每个Banach空间，都是一个自反拓扑群([39]，建议15.2）。因此，以下未解决的问题自然会出现。 问题 17 （自反拓扑群的可分商问题）每个无限自反交换拓扑群G是否都有一个可分商群，它是（i）非平凡的；（ii）无限；（iii）可计量；（iv）无限可度量？
问题 18 是否存在如定理36所示的预紧交换群G，该群具有以下附加属性之一：
- （a）
G已连接；
- （b）
G是Baire；
- （c）
G是反身的吗？
6.自由拓扑群的商群
让我们像往常一样，和表示Tychonoff空间的自由拓扑群和自由阿贝尔拓扑群X（X）分别是。是一个自然商组，对于每个X（X）有一个来自的商映射在整数组上（请参见[10]，第7章）。 6.1. 接纳第二可数商群的自由拓扑群
一个空间X（X）被称为ω-有界如果每个可数子集的闭包X（X）结构紧凑。显然，每个紧凑空间-有界，而每-有界空间是可数紧的。
提议 13 ([2]). 设X是一个非散射的Tychonoff空间。如果X具有以下属性（a）或（b）之一，则和在圆群上容许一个开连续同态: 命题 14 ([2]). 设X是一个散射的ω-有界Tychonoff空间。然后每个商组和要么是离散的、有限生成的（因此是可数的），要么是非度量的。 定理 39 ([2]). 设X是ω-有界的Tychonoff空间。那么以下条件是等效的： - （a）
的每个可度量商组是离散且有限生成的。
- （b）
的每个可度量商组是有限生成的。
- （c）
的每个可度量商组是可数的。
- （d）
X是分散的。
推论 11 ([2]). 设X为序数的紧致空间任意离散空间的序拓扑或单点紧化。然后每个可度量商组或是离散且有限生成的。 结果表明，非伪紧零维空间上的自由拓扑群确实具有非平凡的可度量商群：
提议 15 ([2]). 设X是一个非伪紧零维空间。然后是小组和在（可数无限可分度量）离散群上允许一个开放连续同态. 6.2. 允许具有可数网络的商群的自由拓扑群
提议 16 ([2]). 设X是局部紧或伪紧空间。然后是小组和允许一个开放的连续同态，其中S是闭单位区间的无限紧子空间，因此有一个可计数的网络。 提议 17 ([2]). 让X成为LindelöfΣ-空间（特别是σ-紧空间）。然后是小组和在上允许一个开连续同态，其中Y有一个可数网络，因此也有一个可计数的网络。 6.3. 容许可分离商群的自由拓扑群
定理 40 ([2]). 设X是满足下列条件的Tychonoff空间： - (1)
X的每个可数子集的闭包是可数且紧的；
- (2)
X的每个可数紧子集都是X的收缩。
那么每个可分商组是可数的。
推论 12 ([2]). 设X是序数的空间任意离散空间的序拓扑或单点紧化。那么每个可分商组或是可数的。 6.4. 未决问题
与问题1和2类似，我们可以问以下相关问题。
问题 19 ([2]). 是否存在一个开放的连续同态到上面，其中X是任意的Tychonoff空间，S是闭单位区间的无限子空间? 此外，下面还有一个更具体的问题：
问题 20 ([2]). 是否存在一个开放的连续同态到上面，其中X是一个任意的Lindelöf空间，Y是一个具有可数网络的无限空间？ 7.阿贝尔群的可分群拓扑
哪些阿贝尔群G公司承认可分Hausdorff群拓扑？为了回答这个问题[8]考虑三种不同的情况： - 案例1。
有一个元素无限级；
- 案例2。
G公司是有界扭群；
- 案例3。
G公司是一个无界扭转群。
定理 41 ([8]). 设G是阿贝尔群然后G承认一个可分离的预紧Hausdorff群拓扑。 备注 6 定理41中的“阿贝尔”条件不能作为Shelah删除[40]证明了存在不允许非离散Hausdorff拓扑群拓扑的非交换群。莫里斯和奥布拉兹佐夫([41]，定理L）产生了不可数的可数无限群，每个群都不允许非离散Hausdorff拓扑群拓扑；更准确地说，它们确定了成对非同构无限群的连续体，，，属于指数，对于任何足够大的素数第页，其中每个适当的子组是循环的，每个不允许任何非离散Hausdorff拓扑组拓扑。它也在[41]存在非离散Hausdorff拓扑群G公司每个基数的没有与相同基数的适当子群G公司.这类群显然没有基数小于的商群G公司. 备注 7. 伊夫·科努利尔注意到，每个阿贝尔团体G公司基数作为子组嵌入，是一个可分离的Hausdorff拓扑群。然而，这句话并没有证明定理41，因为即使是具有诱导拓扑的可分群的闭子群也不必是可分的。
伊夫·科努利尔还亲切地告诉我们，与阿贝尔案件形成鲜明对比的是，对于每一位数不清的红衣主教来说，存在一个二阶幂零基数群没有Hausdorff可分群拓扑。因此，定理41的任何合理的潜在推广都是失败的。
