1.简介
广义局部Toeplitz（GLT）序列理论源于Tilli对局部Toeplitz（LT）序列的研究[1]和Toeplitz矩阵的谱理论[2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12]. 然后在年结转[13,14,15,16]最近由Barbarino延长[17]. 该理论是计算连续问题（如积分方程（IE），尤其是微分方程（DE））的数值离散化所产生的矩阵的渐近谱分布的强大工具。经验表明，几乎任何离散数据元素的数值方法都会产生结构化矩阵其渐近谱分布作为网格精细度参数n个可以通过GLT序列的理论来计算趋于无穷大。我们建议读者参考([13]第10.5节）([14]第7.3）节，以及[15,16,18]GLT序列理论在DE有限差分（FD）离散化背景下的应用；至([13]第10.6节）([14]第7.4）节，以及[16,18,19]对于有限元（FE）情况；至[20]对于有限体积（FV）情况；至([13]第10.7条）([14]第7.5-7.7节），以及[21,22,23,24,25,26]对于等几何分析（IgA）离散化，在配置和Galerkin框架中；和至[27]对于分数DE的进一步最新应用。我们还请读者参考([13]第10.4节）和[28,29]查看由IE离散化产生的矩阵序列的GLT方法。 值得强调的是，DE离散化矩阵的渐近谱分布，其计算是GLT序列理论的主要目标，不仅从理论角度来看很有趣，而且可以用于实际目的。例如，众所周知，主流迭代求解器（如多重网格和预处理Krylov方法）的收敛特性强烈依赖于它们所应用的矩阵的谱特征。然后可以利用光谱分布来设计这种高效的求解器，并分析/预测它们的性能。在这方面，我们回顾Beckermann和Kuijlaars在[30]与所考虑矩阵的渐近谱分布密切相关。此外，在椭圆DEs的Galerkin和配置IgA离散化的背景下，最近一系列论文中通过GLT序列理论计算了谱分布[21,22,23,24,25]在中被利用[31,32,33]设计和分析IgA线性系统的最优鲁棒多重网格解算器。 在最近的工作中[34]从第三作者的原始直觉出发([16]第3.3节），作为GLT序列理论的扩展，块GLT序列的理论得到了系统的发展。这种扩展在实际应用中至关重要。特别是，它提供了必要的工具来计算离散元素系统离散化所产生的块结构矩阵的谱分布([16]第3.3节）和标量/矢量DE的高阶有限元或间断Galerkin近似[35,36,37]. 本文的目的是说明块GLT序列理论的潜力[34]以及它的多变量版本，它结合了[34]“多元技术细节”[14]-通过介绍几个值得注意的应用示例。实际上，本论文可以被视为纯理论工作的必要完成[34]. 本文组织如下。在第2节，我们总结了块GLT序列的理论。在第3节，我们重点研究了一元DE模型系统的FD离散化；通过块GLT序列理论，我们计算了相关离散矩阵的谱分布。在第4节，重点研究了一元扩散方程的高阶有限元逼近；再次，我们通过块GLT序列理论计算相关离散化矩阵的谱分布。在第5节，我们总结了块GLT序列理论的多元版本，也称为多级块GLT层序理论。在第6节，我们描述了计算由偏微分方程组（PDE）离散化产生的矩阵谱分布的通用GLT方法。在第7节，我们重点研究了磁静力学中感兴趣的旋度-旋度算子的二元变分问题的B样条IgA逼近；通过多级块GLT序列理论，我们计算了相关离散化矩阵的谱分布。最终考虑事项汇总于第8节. 2.块GLT序列理论
在本节中，我们总结了块GLT序列的理论，它最初是在([16]第3.3节），最近在[34]. 矩阵序列和块矩阵序列。在本文中，矩阵序列是任何形式的序列，其中是大小的方阵和作为.让是独立于的固定正整数n个; 一个秒-块矩阵序列（或简单的矩阵序列，如果秒可以从上下文中推断，或者我们不需要/不想指定它）是一个特殊的矩阵序列其中是.
矩阵序列的奇异值和特征值分布。让是勒贝格测量法在本文中，测度理论中的所有术语（如“可测集”、“可测函数”、“a.e.”等）都被称为勒贝格测度。矩阵值函数称为可测量（分别为连续、黎曼积分、等），如果其组件是可测量的（分别是连续的、黎曼积分的、等）。我们表示为（分别为。，)上定义的具有有界支撑的连续复值函数空间（分别为。，). 如果，的奇异值和本征值A类表示为和分别为。
定义 1 让是矩阵序列大小为，并让是定义在集合D上的可测函数.
如果同时具有奇异值和由f描述的特征值分布，我们写道.
我们注意到定义1很合适，因为函数和是可以测量的([34]引理2.1）。每当我们写一个关系，比如或，据了解（f）如定义1所示；也就是说，（f）是定义在子集上的可测函数D类其中一些具有、和（f）在中接受值对一些人来说. 备注 1 光谱分布背后的非正式含义(2)如下：假设f具有r黎曼积分特征值函数,，的特征值，可能除外离群值，可以细分为r个基本相同基数的不同子集；并且，当n足够大时，属于第i子集的特征值近似等于第i特征值函数的样本在域D中的统一网格上。例如，如果,、和然后，假设我们没有离群值大约等于n足够大；类似地，如果,、和，那么，假设我们没有异常值大约等于n足够大；以此类推对于奇异值分布，也可以给出完全类似的含义(1). 备注 2 让然后让是一个具有r个实值黎曼积分特征值函数的可测函数,.计算每个均匀样品将它们按非降序排序并放入向量.让是插值样本的分段线性非递减函数在节点上即。，假设在测度上收敛到某个函数as（在实际应用程序中总是如此）。然后，这个结果可以通过修改([13]运动的解决方案3.1). 函数被称为f的规范重排版本。关于，有趣的是，通过(三)，如果然后，即，如果f是那么，对于也是如此。此外，是一个单变量标量函数，因此它比f更容易处理。根据备注1，如果我们有（因此也)然后，对于足够大的n，可能的例外是离群值，近似等于均匀网格上的样本. 接下来的两个定理是计算厄米特矩阵或扰动厄米特阵形成的序列的谱分布的有用工具。有关证明，我们请读者参阅([38]定理4.3）和([39]定理1.1）。在下面，矩阵的共轭转置A类表示为.如果和，我们表示为Schatten家族第页-的规范A类，即第页-向量的范数Schatten∞范数是的最大奇异值A类与光谱范数一致.Schatten 1-范数是以下奇异值的总和A类通常被称为A类.Schatten 2-范数符合弗罗贝尼乌斯规范A类有关Schatten的更多信息第页-规范，请参见[40]. 定理 1 让是矩阵序列身材高大的隐士，并让是这样一个序列,,和作为.然后，当且仅当.
定理 2 让和是矩阵序列和大小为假设：
然后.
块Toeplitz矩阵。给定一个函数在里面，其傅里叶系数表示为其中积分是按分量计算的。这个n个由生成的第个块Toeplitz矩阵（f）定义为不难看出所有矩阵当（f）是赫密特人。 块对角采样矩阵。对于和，我们定义了块对角采样矩阵作为对角矩阵 零分布序列。矩阵序列这样的话被称为零分布序列。请注意，对于任何,等于（在本文中，和表示零矩阵和单位矩阵）。命题1提供了零分布序列的重要特征以及检测此类序列的有用充分条件。在本文中，我们使用了自然法则.
提议 1 让是矩阵序列的尺寸.
是零分布的当且仅当具有和.
如果存在这样的话.
逼近序列类。近似序列类（a.c.s.）的概念是块GLT序列理论的基本概念。
定义 2 让是矩阵序列大小为，并让是矩阵序列的序列大小为我们这么说是一类近似序列（a.c.s.）如果满足以下条件：每m存在一个这样，对于,哪里仅取决于m和. 大致来说，是用于如果，对于大型米，序列近似值在这个意义上最终等于加上一个小银行矩阵（相对于矩阵大小)加上一个小矩阵。结果是，对于每个固定的正整数序列这样的话，a.c.s的概念是空间中收敛的概念更准确地说，存在伪度量在里面这样的话是的a.c当且仅当作为因此，我们使用收敛符号以表明是用于下一个命题中提供了识别交流的有用标准([13]推论5.3）。 提议 2 让是矩阵序列大小为，让是矩阵序列的序列大小为，并让假设每m都存在这样，对于,哪里.然后，. 如果和是任意两个矩阵X（X）和Y（Y）是矩阵定义如下：我们记得张量积运算是结合的双线性的。此外，最后，如果可以相乘可以相乘，那么 引理 1 对于，让是矩阵序列，假设.然后， 证明。 让成为位置为1的矩阵其他地方为0。请注意 自，很明显(4), (5)以及交流系统的定义现在，如果对于然后（这是a.c.s定义的一个明显结果）。因此，本文遵循(8)和(9). ☐ 阻止GLT序列。让是一个固定的正整数。安秒-块GLT序列（或简单的GLT序列，如果秒可以从上下文推断，或者我们不需要/不想指定它）是一个特殊的秒-块矩阵序列具有可测量的功能所谓的符号。我们使用符号以表明是带有符号的GLT序列GLT序列的符号是唯一的，因为如果和然后a.e.英寸。的主要属性秒-块GLT序列在[34]如下所示。如果A类是一个矩阵，我们表示为的Moore–Penrose伪逆A类（回忆一下无论何时A类是可逆的）。如果是可测的矩阵值函数，我们说收敛到（f）测量中（即，英寸等），如果收敛到测量中（即，英寸等）. - GLT公司 1
如果然后此外，如果每个那么，他是赫密特人.
- GLT公司 2
我们有：
如果在中;
如果是黎曼积分；
当且仅当.
- GLT公司 三。
如果和，然后：
;
为所有人;
;
前提是是可逆的a.e。
- GLT公司 4
当且仅当存在秒-块GLT序列这样的话和在测量中。
备注 三。 读者可能会惊讶于我们到目前为止讨论的块GLT序列没有定义它们。实际上，出于两个原因，我们有意避免给出定义。首先，该定义相当繁琐，因为它需要引入其他相关（和复杂）概念，如“块LT运算符”和“块LT序列”。其次，从实践的角度来看，这个定义完全没有用处，因为从它派生的所有东西也可以从总账1–GLT 4级（以一种简单得多的方式）。对块GLT序列的形式定义感兴趣的读者可以在([34]章节5)连同性质的证明 总账1–GLT 4型. 3.DE系统的FD离散化
考虑以下DE系统：在本节中，我们考虑了经典的中心FD离散化(10). 通过块GLT序列理论，我们证明了相应的（归一化）FD离散化矩阵序列具有由矩阵值函数。我们注意到数字2表示矩阵空间在光谱符号取值的地方，与组成系统的方程数量一致(10). 在下文中，我们使用以下符号：参数可以是标量或一些街区，在这种情况下，前面的矩阵是块三对角矩阵。 3.1. FD离散化
让、和设置和对于.使用经典的中央FD方案和分别离散（负）二阶导数和一阶导数我们得到以下近似值：这意味着解的节点值第页，共页(10)近似满足方程对于。然后我们近似求解（分别为。，)通过采用值的分段线性函数（分别为。，)在为所有人，其中和向量和求解线性系统这个线性系统可以用矩阵形式重写，如下所示：哪里,和鉴于(13)，线性系统(12)相当于哪里、和让和是的组件和分别是。编写线性系统时(11)在表格中(14)，我们隐式假设如下。 假设我们决定改变未知数和方程的顺序。更准确地说，假设我们选择以下订单。
矩阵与线性系统相关(11)假设新订单(18)和(19)是块三对角矩阵矩阵类似于。实际上，通过排列根据排列我们获得更准确地说，让和是的正则基的向量和，并让是与置换相关联的置换矩阵也就是说，然后，. 3.2. FD离散化矩阵的GLT分析
本节的主要结果（定理3）表明是一个块GLT序列，其频谱分布由矩阵值符号，通过替换矩阵序列获得,,,出现在表达式中(15)第页，共页带有相应的符号,,,在这方面，我们注意到，假设，我们有为了证明(22)，观察一下就足够了哪里是.自作为，根据命题1等等GLT 2号机组和GLT三立即屈服(22). 关系(23)–(25)以同样的方式证明。 定理 三。 假设.然后，和此外，如果，，那么我们也有 证明。 发件人(20)，我们有哪里是位置为1的矩阵其他地方为0。很明显，对于每一个,作为; 因此，根据命题1，GLT 2号机组和GLT三,因此，分解(29),GLT 2号机组和GLT 3型暗示(26)，这反过来意味着(27)由GLT 1型.只需证明(28)在这种情况下在这种情况下，我们有考虑对称近似由提供不难看出这一点作为通过引用不平等参见，例如([13]第2.4.1节）。因此： 例子 1 假设和，所以通过定理三。的特征值函数由提供和持续.设为的规范重排版本作为分段线性函数的极限获得，根据备注2中的结构。图1图中显示了和特征值属于对于,,和.通过绘制以下曲线图获得了曲线图对应于较大的ρ值。的特征值，虽然这是真的非对称，已按非降序排序并放置在点处具有,.我们从图中清楚地看到，ψ和，如备注所预测2特别是，在这种情况下，我们没有观察到异常值。 4.扩散方程的高阶有限元离散化
考虑扩散方程在本节中，我们考虑了(31). 通过块GLT序列的理论，我们表明（归一化的）有限元离散化矩阵的相应序列具有由矩阵值函数，其中第页和k个分别表示有限元近似中涉及的分段多项式函数的阶数和光滑度。请注意，这个结果代表了支持([35]推测2）。 4.1. FE离散化
弱形式的(31)内容如下：find这样的话在有限元方法中，我们固定了一组基函数我们在空间中寻找精确解的近似值通过解决以下离散问题：查找这样的话自是，我们可以写对于唯一向量.通过线性，计算（即第个，共个)简化为求解线性系统哪里和A类是刚度矩阵， 4.2. p度B样条基函数
根据高阶有限元方法，基函数将被选为分段多项式。更准确地说，对于和，让是度的B样条第页和平滑度在结序列上定义我们在这里收集了一些我们将在本文中使用。有关B样条的形式定义以及下列属性的证明，请参见[41,42]. 除了第一条和最后一条外，所有其他B样条都消失在即。， 是次分段多项式函数空间的基础第页和平滑度也就是说，哪里是次数多项式的空间此外，是空间的基础 B样条的导数满足哪里是一个常数，仅取决于第页注意衍生品可能未在某些网格点定义在以下情况下平滑度(). 在(38)，假设未定义的值从总和中排除。 除第一个外的所有B样条曲线和最后一个，是统一的移动缩放版本固定参考函数，即第一个参考结序列上定义的B样条 在公式中，设置对于B样条曲线，我们有我们指出参考B样条的支持满足图2和图3显示B样条曲线的图形为了学位和平滑度，以及相关参考B样条曲线的图形.
基本功能定义如下：特别是，带有以下符号第4.1节，我们有和. 4.3. 高阶有限元离散矩阵的GLT分析
刚度矩阵(32)由基本函数的选择产生，如(41)将用表示,本节的主要结果（定理4）给出了归一化序列的谱分布定理4的证明完全基于块GLT序列理论，因此称为“GLT分析”。它还需要以下引理，它提供了矩阵的近似构造对应于恒有效情况，其中完全相同。鉴于以下情况，定义阻碍和矩阵值函数,由于参考函数的紧凑支持，只有有限数量的非零块因此(44)实际上是一个有限和。 引理 2 让和.定义作为的主要子矩阵大小为与指数相对应，其中如中所示(39).然后，. 证明。 由(34)和(40)，对于所有人和我们有和这就完成了证明。☐ 定理 4 让,和.然后，.
证明。 证明包括四个步骤。在整个证明过程中，我们使用以下符号。
如中所示(39). 对于每个方阵A类的尺寸，我们表示为的主子矩阵A类对应于行和列索引.
是矩阵具有作为对应于行和列索引的主要子矩阵其他地方为零。请注意和对于每个方阵A类大小为.
步骤1.考虑线性算子,接下来的三个步骤专门用于说明一旦完成，定理就被证明了。确实，来自(45)，我们立即获得关系.我们推断通过GLT 1型和根据定理1。 步骤2.我们首先证明(45)在恒有效的情况下，其中完全相同。在这种情况下，根据引理2，我们有因此，所需的关系以下为GLT 2号机组. 步骤3.现在我们证明(45)在以下情况下.让由(33), (34)和(38)，对于所有人和，我们有哪里是的连续模量克最后一个不等式是由点的距离证明的从间隔开始不大于如下所示：模的界限为，其中是一个常数，仅取决于第页此外，通过(34)，矩阵带宽由常数限定仅取决于第页因此，通过(30),作为等等由命题1进行零分布。自我们的结论是通过GLT 2号机组,GLT三和步骤2。 步骤4.最后，我们证明(45)在一般情况下，其中.通过密度在里面，存在函数这样的话在里面。通过步骤3，此外，我们证明了这一点完成后，论文(45)紧接着从GLT 4级.为了证明(48)，我们记得参见，例如([13]第2.4.3节）。由(38)，我们获得因此，交流收敛(48)源自命题2.☐ 备注 4 循序渐进地证明定理4，我们可以给出另一种（更简单的）证明([36]定理答6)基于块GLT序列理论。 5.多级块GLT序列理论
如所示第3节和第4节块GLT序列理论允许计算由一元DE离散化产生的块结构矩阵的奇异值和特征值分布。为了处理多元DE，即PDE，我们需要块GLT序列理论的多元版本，也称为多级块GLT顺序理论。本节将详细介绍这一理论，它是通过结合以下结果而获得的[34]具备处理多维问题所需的技术[14]. 多索引符号。多索引符号是处理PDE离散化产生的矩阵序列的基本工具。多索引，也称为d日-索引，只是中的一个（行）向量; 其组件表示为.
是所有零、所有一、所有二等的向量（其大小将从上下文中明确）。
对于任何d日-索引，我们设置然后我们写以表明.
如果是d日-指数，意味着为所有人.
如果是d日-指数，如，多索引范围是布景吗。我们假设此集合的标准词典顺序为： 例如，在这种情况下，顺序如下：,,,,,,,,.
当d日-索引在多索引范围内变化（有时写为)，据了解不同于到按照特定的顺序(50). 例如，如果如果我们写，然后是大小向量其组件，按照(50)：第一个组件是，第二个组件是，依此类推，直到最后一个组件，即类似地，如果，然后X（X）是一个其分量被两个索引的矩阵d日-指数，两者都不同于到根据字典顺序(50). 鉴于具有，符号表示总的总和在里面.
涉及的操作d日-在向量空间中没有意义的索引必须从组件的角度进行解释。例如，等。
多级块矩阵序列。鉴于，一个d日-水平秒-块矩阵序列（或简单的矩阵序列，如果d日和秒可以从上下文中推断，或者我们不需要/不想指定它们）是形式的矩阵序列，其中：
多级块Toeplitz矩阵。给定一个函数在里面，其傅里叶系数表示为哪里积分是按分量计算的。对于，的n个生成的第个多级块Toeplitz矩阵（f）定义为不难看出地图是线性的。此外，可以看出其中转置共轭函数由定义; 特别是所有矩阵无论何时都是赫密特人（f）我们还记得，如果和属于，然后哪里由定义; 参见，例如([14]引理3.3）。 多级块对角采样矩阵。对于和，我们定义了多级块对角采样矩阵作为块对角矩阵 多级块GLT序列。让是固定的正整数。A类d日-水平秒-块GLT序列（或简单的GLT序列，如果d日和秒可以从上下文推断，或者我们不需要/不想指定它们）是一个特殊的d日-水平秒-块矩阵序列具有可测量的功能所谓的符号。我们使用符号以表明是带有符号的GLT序列GLT序列的符号在以下意义上是唯一的：如果和然后a.e.英寸。的主要属性d日-水平秒-块GLT序列如下所示。
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如果然后此外，如果A类n个那么是赫密特人吗.
- GLT公司 2
我们有：
如果在中;
如果是黎曼积分；
当且仅当.
- GLT公司 三。
如果和然后：
;
为所有人;
;
前提是是可逆的a.e。
- GLT公司 4
当且仅当存在GLT序列这样的话和在测量中。
6.PDE系统的离散化：通用GLT方法
在本节中，我们概述了PDE系统一般离散化的多维块GLT分析的主要思想。我们在这里要介绍的是第3节。我们首先证明一系列辅助结果。以下给出了和，我们表示为置换矩阵由哪里是标准基的向量，为了方便起见，由d日-索引而不是线性指数。请注意与矩阵一致英寸(21). 引理 三。 让，让加入对于、和设置.块矩阵通过排列类似(53)到多级块Toeplitz矩阵也就是说，.
证明。 让成为位置为1的矩阵其他地方为0。自和通过地图的线性，这足以表明 引理 4 让，让对于、和设置.块矩阵通过排列类似(53)到多级块对角采样矩阵也就是说，.
证明。 它与引理3.☐的证明相同，具有明显的适应性
我们记得d日-变量三角多项式是d日-可变傅里叶频率.
定理 5 对于，让是带符号的d级1块GLT序列.设置和然后，矩阵序列是带有符号κ的d级s块GLT序列。
证明。 证明包括以下两个步骤。
步骤1.我们首先在附加假设下证明定理形式为哪里Riemann是可积分的，并且属于。请注意是通过设置并通过添加形式的零矩阵在总和（54）中，我们可以假设，在不失一般性的情况下具有L（左）独立于.让成为位置为1的矩阵其他地方为0。然后，通过引理3和4，由此可见因此，通过GLT 2号机组和GLT三,是一个d日-水平秒-带符号的块GLT序列 步骤2.我们现在证明了该定理的全部通用性。自，由([14]定理5.6）存在函数，因此 和是一个d日-变量三角多项式，
即：。；
.
设置和。我们有：
第1步；
a.e.（因此也是量度）；
因为通过引理1。
我们的结论是通过GLT 4型. ☐
现在，假设我们有一个形式为哪里.矩阵A类n个（55）的任何标准离散化的结果都可以通过d日-索引，其中与离散化步骤有关在中我th方向，以及当且仅当（通常，). 通过选择每个作为唯一离散化参数的函数，因为这通常发生在最自然的选择是为所有人，我们看到了因此，是一个(d日-层级）矩阵序列。此外，事实证明，在我们在本次讨论中忽略了适当的标准化之后，我们正在讨论的标准化是我们在中看到的标准化的模拟第3节允许我们从矩阵中传递英寸(13)到矩阵英寸(15)—,A类n个具有以下块结构：哪里是由微分算子的离散化产生的（归一化的）矩阵在最简单的情况下，操作员系数恒定，我们在每个方向上使用等距网格，矩阵采取形式哪里是一个d日-变量三角多项式，而扰动由于边界条件的原因，通常是低阶修正，在任何情况下，我们有因此，通过GLT 2号机组和GLT三，根据定理5如果操作员具有可变系数，矩阵通常采用这种形式哪里是一个d日-变量三角多项式，、和函数与系数有关（例如，在第3节，同时证明(22)，我们已经看到了，在那里起着与矩阵相同的作用这里，等于对于某些零分布序列). 因此，通过GLT 2号机组和GLT三，根据定理5 7.卷曲算子变分问题的B样条IgA离散化
对于任何功能，在一些开集上定义并将价值观纳入，curl运算符的形式定义如下：显然，当组件属于，因此它们的偏导数存在于Sobolev意义下。现在，让我们，套并考虑以下变分问题：这样的话哪里是中的向量场和（56）形式的变分问题出现在重要的应用中，例如时间谐波麦克斯韦方程组和静磁问题。在本节中，我们考虑（56）的所谓兼容B样条IgA离散化；参见[43]了解详细信息。我们证明了相应的离散化矩阵序列具有由行列式处处为零的矩阵值函数。本节的结果已经在[38]，但这里给出的推导完全基于多级块GLT序列的理论，并且比[38]. 为了简单起见，在本节中，B样条曲线,和关联的参考B样条曲线，表示为,、和分别是。功能是所谓的基数B样条次数第页过结序列。鉴于以下情况，我们从[42]和([23]引理4），即基数B样条为所有度定义，属于，并满足以下属性：对于,对于和、和对于和此外，财产(40)在这种情况下简化为 7.1. 兼容的B样条IgA离散化
让，让，并定义空间遵循兼容的B样条方法[43]，我们寻找空间中解的近似值通过解决以下离散问题：这样的话根据以下基本函数选择合适的顺序显示在（61）中，通过线性计算简化为求解一个线性系统，其系数矩阵由下式给出哪里请注意是大小的方阵是大小的方阵，同时是大小为的矩形矩阵. 7.2. B样条IgA离散化矩阵的GLT分析
在本节的主要结果（定理6）中，假设对于固定向量，我们证明了序列的谱分布由描述行列式处处为零的矩阵值函数（注5）。为了证明定理6，需要做一些初步工作。我们首先注意到，考虑到定理5的应用，矩阵有一个令人不快的特点：反对角块和不是正方形和正方形斜块和任何时候都不要有相同的尺寸然后，让我们介绍更好的矩阵哪里和是大小方阵由提供每个区块矩阵的现在是一个正方形的方块此外，其中矩阵满足.签署人(6)和(7),等等鉴于定理1的应用，我们注意到 引理 5 让和.然后，哪里我们注意到这三个级数实际上是有限和，因为(57). 证明。 对于每个，自和，通过（59）和（60），我们得到 因此，由（72）可知对应于行和列索引是零矩阵，这意味着（66）。类似地，（73）和（74）分别表示（67）和（68）。☐ 定理 6 让，让是具有正分量的向量，并假设（可以理解，n在这样的话). 然后， 证明。 一旦我们证明了我们证明了这一点一旦完成，论文（75）立即遵循定理5和总账1作为矩阵是对称的。实际上，我们只证明了（76）因为其他指数对的证明在概念上是相同的。设置记住这个假设，通过引理5和方程(5)（51）和（52），我们有哪里因此，根据命题1和（76）（针对)以下为GLT 2型和GLT三. ☐ 备注 5 使用(58),不难看出和在里面(69)和(70)可以用如下：因此矩阵值函数出现在定理中6可以简化如下：特别地，为所有人θ根据光谱分布背后的非正式含义在备注中报告1，这意味着，对于大n近似为零，一半通过均匀采样得到属于 8.结论
我们通过具体例子说明了块GLT序列理论及其多元版本的应用兴趣，从而完成了纯理论工作[34]. 然而，应该说，GLT序列的理论仍然不完整。特别是，除了填充多级块GLT序列理论的细节之外第5节已获得以下结果的组合[14,34]，但它们的正式证明仍然缺失，将成为未来论文的主题-，有必要发展所谓的简化GLT序列的理论，如([13]第11章）。
