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公理
第7卷
第2版
10.3390/axioms7020029
公理损失
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第条

公理熵的数学基础综述：可表示性和有序性

通过
玛丽亚·杰苏斯·坎皮翁
1,†，
克里斯蒂娜·戈梅斯·波罗
2,†，
埃斯特班·因杜拉因
3,*,†和
阿玛雅克·拉文托斯·普约尔
1,†
1
西班牙潘普洛纳，普瓦拉大学，马特马提卡省，商业和经济高级研究所（Inarbe），邮编31006
2
西班牙潘普洛纳普布利卡纳瓦拉大学费西卡部先进材料研究所（InaMat），邮编31006
三
西班牙潘普洛纳普布利卡纳瓦拉大学马特马提卡部先进材料研究所（InaMat），邮编31006
*
信件应寄给的作者。
†
这些作者为这项工作做出了同等贡献。
公理 2018，7(2), 29;https://doi.org/10.3390/axioms7020029
收到的提交文件：2018年3月23日/修订日期：2018年4月16日/接受日期：2018年5月3日/发布日期：2018年5月8日
版本注释

摘要

:
科学中遇到的熵的不同抽象形式，是根据几种有序结构的数字表示来解释的，如总序、间隔序和半序。非灵敏性、熵作为竞争系统的其他方面、可加性等，也被视为具有某些相容次序的代数结构的可表示性。特别注意熵函数或其数学等价物的构造问题。还讨论了与其他类似框架的多学科比较，指出了数学基础。

1.简介

熵理论可以与其他几个涉及有序结构数值表示的跨学科数学理论相比较（参见，例如[1]). 特别是，在经济学中的效用表示问题和热力学中的熵函数搜索之间出现了一个吸引人的相似之处。通过关注可能遇到的可代表性的不同方面（参见[2，三，4，5，6，7，8，9，10，11]). 除了经济学中的效用理论外，其他理论，如心理学和认知科学中的测量理论（见[12，13])计算中的香农熵[14])和财务（参见[15，16])，或模糊集理论（参见[17])，会产生类似的问题。基本上，我们可以说，他们都试图实施一些特别的方法或构建一个合适的工具来将定性尺度转换为定量或数值尺度。
这就是线索。
因此，在经济学中的效用理论中，装置将是数值表示或效用函数的概念，而在热力学中的熵理论中，工具将是熵函数的概念。这些理论有着共同的数学背景。
为了举例说明分析热力学中熵理论理论基础的手稿，我们选择了库珀的一篇有趣的论文（参见[18]). 我们选择了库珀的论文([18])，因为它显示了一个明确的公式来比较公理热力学和数学中有序结构的可表示性理论。事实上，它发表在《数学分析与应用杂志》上，试图通过严格的数学设置，将热力学中产生的物理概念带给纯粹的数学家。不用说，我们确实意识到物理学中也出现了其他（更现代的）熵概念的公理化方法。例如，在Lieb和Yngvason的一项出色调查中[19]（1999年），热力学第二定律的公理基础，包括熵的构造，可以用更物理的方式实现。从某种意义上说，这种方法比库珀的方法更通用[18]，因为它不需要经验温度的概念。然而，我们坚持认为，从数学家的角度来看，这些物理方法具有完全相同的数学处理，即使用有序结构的可表示性理论将定性尺度转换为定量尺度。新的定量尺度是通过物理环境中的熵函数定义的。因此，为了搭建桥梁，我们决定遵循库珀的观点，因为在我们看来，尽管在过去五十年里物理学中出现了更现代的方法，但他的演讲可能更具说教性。）在这项关键工作中，作者研究了热力学的基础和热力学系统状态空间上熵函数的存在性。热力学第二定律从到克劳修斯、开尔文和卡拉斯气味的三种不同形式（参见，例如[20，21])并证明了Carathéodory公理的满足性（参见例如[22，23])即使在简单空间中，也不足以证明熵函数的存在。库珀通过提出可达性关系的概念来研究这个问题⇝ 关于状态空间（也称为相位系统） S公司 热力学系统的。上的关系 S公司 是一个总的前序，熵函数定义为上的实值函数 S公司 保存⇝.
即使我们能够从数学上证明熵函数的存在，也会出现一个新问题，即如何构造一个合适的熵函数。证明存在和描述结构是不同颜色的马。从这个意义上说，比较数学家和物理学家的争论方式是合理的，即使他们正在研究的理论具有相同的数学根源。为了大大简化，我们可以说，有时物理学家手头有实验结果或现实现象的证据，因此她/他想从数学上证明发生了什么以及为什么会发生。在这种情况下，可以说，起点是实验或证据，而数学只是作为一种理论支持，以得出一切都井然有序的结论。然而，研究抽象纯数学的人几乎总是从抽象的公理系统开始构建理论，仅此而已。一切都应该从公理中获得，甚至现实生活中的证据和情况也应该作为相应理论的“特定案例”出现，这些理论来自于所涉及的公理系统。显然，这两种思维方式有许多共同点。然而，它们也有内在的差异（关于数学家与物理学家如何争论的精彩讨论，请参见例如[24]). 在研究熵时，出现了上述讨论的一个明显例子。热力学中产生的熵的大多数经典定义都使用某种路径积分。然而，在数学中，如果从纯粹抽象的角度出发，我们处理一个满足某些技术条件的完全有序集，这些技术条件保证了数值表示的存在（也称为序同调或效用函数），通过路径积分进行表示是相当困难和不直观的。在数学抽象设置中，只有在非常特殊的情况下，才能用少量步骤构造表示有序结构的合适积分。
因此，这里似乎有必要讨论表示（例如熵）的理论存在性及其实际构造。
这些问题，当然是相关的和互补的，具有非常不同的性质。
顺便说一下，玻尔兹曼的工作将热力学熵的理解扩展到了统计的角度。吉布斯（参见[25])提出了巨正则系综的概念，并在经典连续系统中引入了统计熵。冯·诺依曼随后在量子系统中提出了所谓的现在的冯·诺伊曼熵（参见[26]). 此外，除了物理学的发展，克劳德·香农（见[14])1948年独立引入了另一种公理方法，以证明信息论中与通信问题相关的熵概念的形式。Shannon setting使用了三个公理，它们实际上等同于Carathéodory和Cooper发布的公理。事实上，E.T.Jaynes的先锋作品（参见[27])证明了热力学、统计和冯·诺依曼熵的形式实际上植根于相同的数学基础，也就是说，它们可以用香农在[14]这导致了熵的等价形式，每一种形式都对应于相应的上下文。因此，尽管选择了库珀的方法，重点关注热力学中的公理熵，但我们也可以选择信息论中的香农设置（以及其他数学上等效的设置）作为开始。此外，继概率论的贝叶斯解释、拉普拉斯的不足原理和吉布斯的集合处理之后，E.T.Jaynes认为熵不仅是一个表示秩序规模的物理量，而且是一种归纳推理的工具。过去几十年来，包括J.Shore、R.Johnson、J.Skilling、C.Rodríguez、A.Caticha和K.H.Knuth在内的几位学者对这一主题进行了研究（参见，例如[28，29])从而从跨学科的数学、物理和哲学角度对熵的含义有了全新的理解。此外，在引力场和标量场之间具有非最小耦合的广义相对论的遥星替代方案中，过去存在关于公理熵的相关工作（例如[30]). 在其中一些研究中，排序关系是获得规律的基础，正如我们在本文中所做的那样。）

1.1. 论文内容

本文综述了支持物理和化学以及其他邻近学科中熵概念的主要数学理论和结果。然后，对数学家是如何获得一些关键结果以及熵理论中这些结果的范围进行了批判性讨论。特别注意熵函数的构造。其他可能的杂项应用和类似的理论也被评论为副产品。
本文的架构如下：
介绍之后，在第2节，我们选择了熵和有序结构的关键定义，这是必要的。在第3节，我们关注总预订单的可表示性，以及效用函数（也称为订单isoonies）的构造。在第4节根据某些有序结构的数值表示，我们分析了在各种熵设置中常见的混合和竞争概念，这些有序结构可以定义在具有与排序兼容的代数运算的集合上，也可能定义在一些相关拓扑上。有时，这些寻找熵函数的想法直接出现在一组公理中，如[18]或者最近[19]. 然而，从数学的角度来看，代数和/或拓扑结构的可表示性理论具有特殊的特征，应该在充分理解了总预序（没有任何附加结构）的可表示后进行分析。为了避免误解，我们警告读者，这里的“拓扑”一词或“拓扑结构”一词只能从一般拓扑的意义上理解（参见[31])而不是在“离散结构的拓扑结构”的意义上，例如在图和网络的研究中，与熵有关的概念，如所谓的“图熵”，也很常见（参见，例如[32]).其他表达式，如“拓扑排序”（请参见，例如[33，34])在图论中用来获得有向无环图节点上合适的线性次序，也与本手稿中的拓扑概念不同。基本上，我们使用拓扑作为给定集的开放子集的集合。我们这样做主要是为了处理函数的连续性。）这就是迫使我们在单独一节中研究这个问题的原因。然后，第5节致力于研究区间阶和半阶的可表示性数值。第6节分析与物理或化学过程相关的不敏感性问题。这是根据合适的有序结构，即区间序和半序来实现的。据我们所知，在热力学或化学的熵理论中使用这种排序是新的。间隔顺序用于解释不及物性（请参见[1])而构成区间序的特殊情况的半序可以用来解释这样的情况，即两个系统只有在有固定量的差异（称为阈值或“量子”）时才能区分。因此，使用半序的新颖之处在于，它们构成了处理与熵有关的量子理论的有用数学工具。在第7节，我们特别注意数字表示的构造。
我们认为，这项研究是必要的，因为在纯数学抽象环境中构建有序结构的数值表示可能与热力学中对熵的典型理解（例如，由合适的路径依赖积分给出的物理概念）存在严重差异。
因此，我们应该解释如何以某种方式构建排序的表示，以便它们由某种积分定义。
手稿以讨论结束(第8节)和决赛第9节结论、存在的问题和进一步的评论，指出了几条研究路线来完成全景图。

1.2. 目标、方法和原创作品

我们警告读者，尽管这篇论文呈现了跨学科的结果，但它被认为是一篇数学论文。我们认为，分析在熵公理理论基础上出现的数学可以帮助其他人在几个学科中工作，也许是不同的。
我们并不打算将物理学中引入的所有公理学相互比较，以在完全不同的环境中处理熵的概念，主要是在热力学中。相反，我们的目的是展示有序结构的可表示性理论是如何成为熵最典型公理所依赖的数学基石的。也就是说，我们不是在一些不同的物理层次或在一些具体的物理理论中工作，而是进入纯抽象数学的背景层次。
为了做到这一点，我们选择了物理学或信息论中出现的一些特殊的熵公理，即1909年由Carathéodory提出的，后来被许多作者如Cooper、Lieb和Yngvason，甚至Shannon等人改进的熵公论。如前所述，我们认为比较和分析每一个可能的公理是无效的。
在观察大多数现有公理系统时，我们注意到，大多数公理系统都设置了一系列假设，这些假设基本上确定了状态空间被赋予了二元关系，通常称为可达性，即线性序或总预序。然后，他们寻找一个称为熵的实值函数，该函数保持有序，是比较状态的定量尺度。这是从公理出发，通过证明相应的存在定理来实现的。
因此，这些公理学大多具有相同的数学背景。因此，直接分析这个抽象基础似乎至关重要，因为我们很好地理解了它，所以我们可以使用从它派生出来的随后的抽象数学结果，即有序结构的数值表示性理论的基础，来支持这些物理理论中的每一个，至少在它们的公理设置中。
当然，根据所涉及的具体理论，这最后一步会导致术语的一些变化。然而，我们坚持这一点，数学基础是相同的。
记住这一点，我们的目标是分析熵公理中出现的秩序理论问题。因此，我们开发了一组严格的数学结果，可以帮助我们了解每种可能的跨学科情况的特殊特征。
在这些公理学中，我们还观察到，从抽象数学的角度来看，一些结构似乎是合并的。也就是说，一些公理是序数性质的，另一些公理处理代数运算，还有一些公理涉及连续性，这是一个拓扑概念。所有这些看起来都是混合或组合的。不幸的是，从有序结构的数值表示性的数学理论角度来看，这可能会令人困惑，有时会产生误导。因此，形式理论应该从研究线性序和总预序的可表示性开始，而不需要额外的结构。然后，可以先将新的兼容结构作为代数运算添加，然后再添加关于某些拓扑的连续性。一般来说，单独研究这些数学附加结构要清楚得多。
一旦获得了主要的数学结果，就可以回到熵的公理上来重写或重新安排（如有必要）这组公理。有时，一些条件应该从头开始添加到状态系统中，因为至少从数学抽象设置来看，这是不可能被视为理所当然的。例如，如果我们想处理连通空间，或者如果我们想解决可以交互的系统，我们应该在公理中假设这一点。换句话说，抽象集既没有预先给定拓扑（用于处理连通性或连续性），也没有给定一种代数运算（用于处理交互或反应）。
本文的原始工作可以总结如下：
  • 确定熵的大多数公理共享的数学背景。这个基础是线性阶和总预阶的数值表示性理论。它也是其他几个理论的基础，例如经济学中的效用理论。
  • 分离公理学的数学成分在文献中遇到的几个公理学中，对相系统的几个数学方面的考虑表现为混合或属性列表。独立分析每个方面更方便，因为这也让我们对所考虑的每个属性的范围有了进一步的了解。因此，在没有任何附加条件的情况下研究一阶结构，然后考虑代数有序结构，最后考虑连续性以及其他拓扑特征，在数学上是合理的。
  • 指出，如果相应的公理中没有提到，任何先验都不可能被视为理所当然，并纠正经典论文中出现的一些错误。任何隐含假设但未声明的属性都可能导致数学错误以及证明中的缺陷。这已经发生在[18，19]，以及其他来源。也许是由于隐式假设了一些尚未声明的属性，一些经典结果在证明中存在缺陷，或者基于抽象设置中错误的直觉。这种情况发生在[18，35，36，37]（另请参见[2，三]). 除此之外，还出现了其他不同性质的错误，例如[18]，也已更正。
  • 建议应该添加的新公理。这对于获得正确的结果和避免由于错误的直觉或将某些属性视为理所当然的事实而导致的错误是必要的。
  • 将区间订单的数值可表示性理论确定为处理不互易性的关键这一事实在相应的数学文献中是众所周知的。然而，据我们所知，这在熵的公理学分析中并不常见。尽管最近有几篇论文（参见，例如[38])深入分析了在各种物理或化学过程中遇到的不敏感性，没有使用区间序的概念作为主要工具，正如在[1]。
  • 展示熵公理学和其他跨学科理论之间的一些平行性。特别是，我们指出，有序结构的数值表示性理论中的几个关键结果确实在专门研究经济学效用理论的期刊上发表过。
  • 使用半阶作为关键的数学概念来处理由于存在恒定的歧视阈值而产生的不妥协性。与区间序的情况一样，这似乎是熵公理学中的新发现。就量子理论而言，在未来的研究中，将量子解释为比较阈值，并在Scott和Suppes意义上的半序的数值表示性框架内工作，可能是至关重要的（参见[39，40]).
  • 分析序的数字表示的构造，特别是当它们由积分给出时。要获得一个理论结果，即必须存在一个数值表示，因为否则我们会遇到一个数学矛盾，这与提供一个合适表示的构造是完全不同的。我们特别注意通过某种积分定义数值表示的情况。

2.前期工作

2.1、。有序结构

从现在开始，X（X）表示非空集。
定义 1
二元关系 R（右） X上是笛卡尔积的子集 X（X） × X（X） .给定两个元素 x个 ， 年 ∈ X（X） ，我们使用标准符号 x个 R（右） 年 来表达这对 ( x个 ， 年 ) 属于 R（右） .
与二进制关系关联 R（右） 在集合X上，我们认为它的否定（分别是它的转置）是二元关系 R（右） c（c） （分别为， R（右） t吨 )根据给出的X ( x个 ， 年 ) ∈ R（右） c（c） ⇔ ( x个 ， 年 ) ∉ R（右） 对于每个 x个 ， 年 ∈ X（X） （分别由 ( x个 ， 年 ) ∈ R（右） t吨 ⇔ ( 年 ， x个 ) ∈ R（右） ， 对于每个 x个 ， 年 ∈ X（X） ) .我们还定义了伴随 R（右） 一 给定关系的 R（右） ，作为 R（右） 一 = ( R（右） t吨 ) c（c） .
备注 1
符号“”也通常用于表示“否定”，因此 ¬ ( x个 R（右） 年 ) 被解释为“ x个 R（右） 年 从未发生”。
二元关系 R（右） 在集合上定义X（X）据说是：
（i）
反射的如果 x个 R（右） x个 每 x个 ∈ X（X） ;
（ii）
不灵活的如果 ¬ ( x个 R（右） x个 ) 为每个保留 x个 ∈ X（X） ;
（iii）
对称的如果 R（右） 和 R（右） t吨 重合；
（iv）
反对称的如果 R（右） ∩ R（右） t吨 ⊆ Δ = { ( x个 ， x个 ) : x个 ∈ X（X） } ;
（五）
不对称如果 R（右） ∩ R（右） t吨 = ⌀ ;
（vi）
全部的如果 R（右） ∪ R（右） t吨 = X（X） × X（X） ; 和
（vii）
传递的如果 x个 R（右） 年 ∧ 年 R（右） z（z） ⇒ x个 R（右） z（z） 对于每个 x个 ， 年 ， z（z） ∈ X（X） .
在定义了某种排序的非空集的特定情况下，标准符号是不同的。为了完整起见，我们把它包括在这里，因为我们在整个手稿中都用到了它。
定义 2
预购单≾X上的是X上的二元关系，它是自反的和传递的。反对称预序称为序。集合X上的总预序是一个预序，如果 x个 ， 年 ∈ X（X） 然后 ( x个 ≾ 年 ) ∨ ( 年 ≾ x个 ) 持有。总阶（即反对称总预阶）通常称为线性阶。
如果≾是X上的一个前序，那么像往常一样，我们用≺表示相关的非对称关系，用～表示相关的等价关系，这些定义如下 x个 ≺ 年 ⇔ ( x个 ≾ 年 ) ∧ ¬ ( 年 ≾ x个 ) 和 x个 ∼ 年 ⇔ ( x个 ≾ 年 ) ∧ ( 年 ≾ x个 ) .
备注 2
在经济学中出现的某些上下文中，总的前序被称为偏好.
定义 三。
区间阶≺是X上的非对称二元关系，使得 ( x个 ≺ 年 ) ∧ ( z（z） ≺ t吨 ) ⇒ ( x个 ≺ t吨 ) ∨ ( z（z） ≺ 年 ) ( x个 ， 年 ， z（z） ， t吨 ∈ X（X） ) . 其对应的伴随词用≾表示，因此 一 ≾ b条 ⇔ ¬ ( b条 ≺ 一 ) 这种关系被称为弱偏好。顺便说一下，≺也被称为X上定义的严格偏好。此外，由 一 ∼ b条 ⇔ ( 一 ≾ b条 ) ∧ ( b条 ≾ 一 ) 据说是与≺相关的冷漠。区间序≺称为半序，如果 一 ， b条 ， c（c） ， d日 ∈ X（X） 确实如此 一 ≺ b条 ≺ c（c） 意味着 一 ≺ d日 或 d日 ≺ c（c） 保持正确。
备注 三。
区间顺序定义背后的直觉是 x个 ， 年 ， z（z） ， t吨 出现在条件中，也称为费雷尔属性，由 ( x个 ≺ 年 ) ∧ ( z（z） ≺ t吨 ) ⇒ ( x个 ≺ t吨 ) ∨ ( z（z） ≺ 年 ) 表现得好像它们是实线两个间隔的端点 R（右） 的确，给定两个间隔 [ x个 ， 年 ] 和 [ z（z） ， t吨 ] 实线的，相对于通常的顺序≤in R（右） 很明显，这种情况 ( x个 < 年 ) ∧ ( z（z） < t吨 ) ⇒ ( x个 < t吨 ) ∨ ( z（z） < 年 ) 保持正确。这证明了抽象非空集X上此类排序的命名区间序是正确的。此外，半序概念背后的直觉可能是：假设 一 ， b条 ， c（c） ， d日 是一条直线上的点，给定 x个 ， 年 ∈ X（X） ，我们解释 x个 ≺ 年 如“x与y至少相距一英寸”。请注意，“一英寸”在这里起着歧视的作用。“半序”这一术语是由R·邓肯·卢斯（R.Duncan Luce）在年提出的[39]. 然而，区间序和半序的概念早在文献中就已经被考虑过了（参见，例如[41])，使用不同的名称。
备注 4
众所周知，给定集合X上的区间序≺，关联关系≾和～可能无法传递（参见，例如[39，42，43]). 然而，严格偏好≺总是可传递的。此外，一个通常被称为伪及物性的属性，即 秒 ≺ t吨 ≾ x个 ≺ u个 ⇒ 秒 ≺ u个 对于每个 秒 ， t吨 ， x个 ， u个 ∈ X（X） 也适用于true（参见，例如[42，43，44，45，46]以获得进一步的细节）。

2.2. 熵

即使对物理学家来说，熵的概念也很复杂，很难掌握。它被赋予了许多定义、解释、解释和应用。相应的文献数量庞大，有些令人困惑。这是热力学中的一个关键概念。事实上，人们普遍认为热力学是由对热机开发感兴趣的工程师在19世纪创造的（参见例如[47]). 它的主要先驱是萨迪·卡诺、鲁道夫·克劳修斯、贝诺·克拉珀扬、詹姆斯·克拉克·麦克斯韦和威廉·汤姆森（开尔文勋爵）。热力学基于两个定律：第一个定律表示能量守恒，而第二个定律表示并非所有的变换都是可能的。第二定律调用了一个称为熵的量，熵的时间演化衡量了系统的演化。
让我们简要评论一下这一关键概念的一些经典定义和/或解释，即熵：
1865年，鲁道夫·克劳修斯明确提出了熵（请参见[48])作为 S公司 = 问 T型 哪里S公司表示熵，问是给定系统的热含量（也称为内能），以及T型代表其温度。在这里，人们通常认为，一个系统只有在热力学平衡时才能有一个温度。熵仅定义为这类处于平衡状态的系统。因此，必须将温度视为常数。因此，我们得出 Δ S公司 = Δ 问 T型 ，其中符号“ Δ “表示有限增量。因此， Δ S公司 表示熵的变化，例如， Δ S公司 = S公司 1 负极 S公司 2 ，其中 S公司 1 和 S公司 2 表示两个不同平衡态的熵。（这种设置在当今物理学中出现的几种情况下仍然很常见，例如[49].)
顺便说一句，克劳修斯，尤其是卡诺，以及其他物理学家，对如何将机械功转化为热能感兴趣，反之亦然。这个想法可以让我们找到前面方程式的另一种形式 Δ S公司 = Δ 问 T型 .如果我们泵送能量 Δ 单位 在一个系统中，一部分能量（但不是全部）进入内部热量，问，正在生成 Δ 问 一个正数。剩余能量可以理解为系统所做的机械功( Δ W公司 例如，热气体推动汽车发动机的活塞）。因此， Δ 问 = Δ 单位 负极 Δ W公司 ，其中 Δ 单位 是系统输入的能量，以及 Δ W公司 是能量中用来做功的部分。它们之间的区别是不参与做功的能量量，作为热源进入 Δ 问 因此，简单的替换会导致将前面的方程式改写为 Δ S公司 = ( Δ 单位 负极 Δ W公司 ) / T型 .
从数学的角度来看，当热量和熵的增量或变化可以尽可能小时，使用微分微积分并写出相应的公式，例如， d日 S公司 = d日 问 T型 事实上，在经典热力学中，当考虑一个只有可逆过程空间的封闭均匀系统时，碰巧 ∮ d日 问 T型 = 0 . 这意味着积分 ¦Β 我 d日 问 T型 是路径依赖的。这再次导致定义状态函数，S公司，已调用熵，从而实现： d日 S公司 = d日 问 T型 .
跟随Cooper（参见[18])我们可以指出，经典宏观热力学的一个重要结果是从第二定律的几种形式推导出熵的存在性和性质。这些形式实际上来源于经验、实践和适当的实验。除了热力学第一定律和第二定律外，这些论点还涉及关于热量和温度以及理想气体性质的假设。因此，在19世纪后期，麦克斯韦、路德维希·玻尔兹曼和乔西亚·威拉德·吉布斯通过气体的新“分子理论”，将经典热力学的思想扩展到我们现在称之为统计力学的领域。在经典热力学中，我们处理的是单一的扩展系统，而在统计力学中，我们认识到系统中微小成分的作用。例如，系统的温度定义宏观状态，而系统中每个分子的动能定义微观状态。宏观状态变量温度被认为是微观状态变量平均值的表达式，即系统的平均动能。因此，如果气体分子运动得更快，它们就有更多的动能，温度就会自然升高。
然而，一些数学物理学家批评了以这种方式推导熵的性质，例如马克斯·波恩（参见[50]). 这些批评基于这样一个事实，即这些假设涉及冗余。
1909年，康斯坦丁·卡拉瑟奥多里（Constantin Carathéodory）引入了一种优雅的发展，这种发展不受这些批评的影响，因为它没有将热量和温度作为最初的概念。
热力学第二定律的经典公式如下（例如，参见综述[19]对于其他账户）：
(1)
（克劳修斯）自然界不可能有任何过程，其唯一结果是热量从较冷的物体传递到较热的物体。
(2)
（开尔文）没有任何过程是可能的，唯一的结果是物体冷却并做功。这表明“永久移动”是不可能的。
(3)
（普朗克）没有任何过程是可能的，唯一的结果是物体冷却，重量升高。
(4)
（Carathéodory）在任何州的任何街区秒在孤立的热力学系统中，存在着无法从秒通过任何可能的过程。
焦糖气味（参见[51])然后是一些作者，如库珀（参见[18])或Lieb和Yngvason（参见[19])其中，研究了熵函数的存在在多大程度上是状态之间不可接近关系的结果。为了做到这一点，他们研究了热力学第二定律的不同表述之间的关系，以及之前由Carathéodory引入的公理系统（参见[三，4，18，22，51])处理可访问性的概念。根据这些公理和其他技术假设（如[2，三，4])熵函数的存在。在这些公理中，状态空间S公司假设热力学系统的⇝ 称为可访问性，例如表示法为 秒 ⇝ t吨 可以解释为“状态的转换秒到州政府t吨是可能的”。然后将熵函数定义为映射（f）从状态空间S公司进入实际生产线 秒 ⇝ t吨 仅当且仅当 （f） ( 秒 ) ≤ （f） ( t吨 ) Carathéodory公理中有一条是这样说的⇝ 是总预订单，即：
（i）
对于任何两个州秒和t吨，或者 秒 ⇝ t吨 或 t吨 ⇝ 秒 保持正确。
（ii）
对于任何三个州 第页 ， 秒 ， t吨 ，如果 第页 ⇝ 秒 和 秒 ⇝ t吨 ，然后 第页 ⇝ t吨 持有。
（iii）
对于任何州秒， 秒 ⇝ 秒 保持正确。
备注 5
请注意，可访问性关系的非对称部分⇝ 将构成一种数学工具，用于研究物理、化学、工程等领域中出现的不可逆过程（参见，例如[52]). 如果我们用 ⇝ * 的不对称部分⇝, 符号为 秒 ⇝ * t吨 将被解释为“从状态s到状态t的转变是可能的，而从t到s的转变永远不会发生。”换句话说，我们解释为“如果从s到t的转变发生了，这个过程是不可逆的：没有办法从t回到s”。
其他公理具有拓扑性质，涉及可及关系相对于状态空间可分离的一些合适拓扑的一种连续性。利用这些公理，证明了二元关系存在连续熵函数⇝ 可达性（例如，参见中的定理1[18]). 最近的调查中出现了或多或少类似的情况[19]在这里，代数性质的公理与那些只会导致完全预定集的数值表示（在此设置中为熵）存在的公理混合在一起。
备注 6
不幸的是，正如在[1，2，三，4]，库珀定理1的证明[18]除非要求预先满足状态空间S的某些其他条件，否则是不正确的。这些可能的条件之一是状态空间的连通性，已经假定了可分离性（请参见[53]). 其他充分条件是第二可数性（参见[35，54]). 很可能，Carathéodory和Cooper都隐含着一些额外的条件。例如，根据著名的牛顿句子“Natura non-fact saltum”的精神，连接是很自然的。用库珀的话说（参见[18]):
< < 热力学系统的物理模型是一个与外部世界隔绝的系统，通过对热量无法逾越的屏障，可以实现与外部世界的机械、电磁、引力或其他相互作用：这些相互作用被概括为基础理论的相互作用。基础理论是独立于热力学建立的物理部分，如力学和电磁理论。在热力学系统中，可能存在能够被无法加热的屏障隔离的子系统，但必须假设这些内部屏障可以被移除。 > >
从拓扑学的角度来看，库珀的话可以解释为，其中提到的“障碍”将引发状态空间的断开。换句话说，当障碍物被移除时，空间就其拓扑结构而言变得连通。
作为有序结构表征性研究的一部分第3节，我们再次回顾了库珀对卡拉斯气味设置的方法，指出了如何修补一些证据中的缺陷或漏洞。

3.总预订单的数值表示

3.1. 可代表的预订单总额

让X（X）是一个非空集合，并且 R（右） 关于的二元关系X（X）。根据其属性，我们可以尝试解释 R（右） 作为定性尺度X（X）例如，给定 x个 ， 年 ∈ X（X） ，如果 x个 R（右） 年 我们可以认为“元素年与元素一样差x个”. 显然，我们想把这个定性尺度转换成数字或定量尺度，因为比较数字比比较抽象给定集合的元素更容易、更自然。因此，我们希望手头有一个函数 （f） : X（X） → R（右） 这样，给定 x个 ， 年 ∈ X（X） ， x个 R（右） 年 仅当且仅当 （f） ( x个 ) ≤ （f） ( 年 ) 然而，根据实数之间关系“≤”的性质，函数的存在性（f）满足上述条件后，立即对二元关系进行了非常严格的限制 R（右） 事实上，很容易看出，当一个这样的函数（f）存在，二元关系 R（右） 更重要的是，必须是全部预订。
备注 7
相反的事实并非如此，正如我们在下文中分析的那样第3节也就是说，并不是X上的所有预序都会导致实值函数f的存在 x个 ， 年 ∈ X（X） ， x个 R（右） 年 ⇔ （f） ( x个 ) ≤ （f） ( 年 ) 这启发了以下定义。
定义 4
设≾代表定义在非空集X上的总预序。如果存在实值函数，则称总预序\8830]是可表示的 u个 : X（X） → R（右） 这样，对于任何 x个 ， 年 ∈ X（X） 确实如此 x个 ≾ 年 ⇔ u个 ( x个 ) ≤ u个 ( 年 ) 函数u通常被称为“效用函数”（也称为序同调或数字表示），用于X上给定的预序≾。
给定总预订单X（X），我们还考虑了它的相关等价关系～，也称为关于≾的无差异关系。如果我们将每个等价类分解为一个点，我们会立即在商集上定义一个二元关系⪯ X（X） / ∼ 通过声明，对于每一个 x个 ， 年 ∈ X（X） ， [ x个 ] ⪯ [ 年 ] ⇔ x个 ≾ 年 .给， [ x个 ] （分别为， [ 年 ] )代表元素的无差异类x个（分别为，年)，即 [ x个 ] = { z（z） ∈ X（X） : x个 ∼ z（z） } 由于≾是一个总的前序，二元关系⪯实际上是 X（X） / ∼ 此外，很明显，给定的总前序≾是可表示的当且仅当其相关的线性序⪯是。换句话说，如果我们不要求代数或拓扑性质的额外条件（例如，某种连续性），总前序的数值可表示性问题等价于线性序的数值表示性问题。这一事实立即产生了不可代表的总预订单示例。如果我们接受集合论的Zermelo–Fraenkel公理（参见例如[55])或者至少根据良好排序原则（也称为Zermelo定理），我们可以考虑一个集合X（X）其基数严格大于实线的基数 R（右） （这里是动力装置 2 R（右） 足够）配备良好的订单。显然 R（右） 为了表示这种良好的排序，因为我们需要一个比 R（右） .（请注意，共域应该至少具有以下基数 2 R（右） .）考虑到这一事实，我们可能想知道为什么在不同的上下文中有几个作者声称数字表示总是存在的。因此，在经济学效用理论的背景下，希克斯（见第19页[36])声称“如果一组物品被强烈订购，那么每个物品在订单中都有自己的位置；原则上，可以给它一个数字”。同样，人们可能会认为，前面提到的Carathéodory和Copper的熵方法中的可达性公理已经足以保证熵函数的存在。然而，这是错误的：从一开始就需要其他附加条件。也许这些共同的信念来源于错误的直觉，在这些直觉中，我们的思维空间总是表现为真实的线条 R（右） 或者作为一个真正的欧几里德空间 R（右） n个 然而，这些直觉永远不能被视为我们可能处理的任何可能的抽象集所共享的属性。
总之：我们需要掌握全预序的数字可表示性的特征，这对一般情况有效，也就是说，对任何全序非空抽象集有效。为此，我们现在介绍一些必要的定义。
定义 5
设≾是定义在非空集X上的总前序。在Debreu意义下，前序\8830]被称为可分离的（参见[35，37，44，54]如果存在可数子集 天 ⊆ X（X） 如此一来 x个 ， 年 ∈ X（X） 具有 x个 ≺ 年 ，存在一些 d日 ∈ 天 满足于 x个 ≾ d日 ≾ 年 .据说它是完全可分离的（参见例如[56])如果存在可数子集 天 ⊆ X（X） 如此一来 x个 ， 年 ∈ X（X） 具有 x个 ≺ 年 ，存在一些 d日 ∈ 天 满足于 x个 ≺ d日 ≾ 年 .
备注 8
对于一般拓扑中出现的基本概念的标准定义，我们参考[31]。
定义 6
设≾是定义在非空集X上的总预序。考虑X上的拓扑 τ ≾ 其底基层为 { ∅ } ∪ { X（X） } ⋃ x个 ∈ X（X） { z（z） : z（z） ≺ x个 } ⋃ t吨 ∈ X（X） { 年 : t吨 ≺ 年 } 此拓扑称为X上相对于≾的有序拓扑。
如果集合X已经被赋予一个拓扑τ，我们就说预序≾对于τ是连续的，如果序拓扑 τ ≾ 比τ粗（即τ比τ细 τ ≾ ). 换句话说，当所谓的轮廓集 { 年 ∈ X（X） : 年 ≺ x个 } 和 { z（z） ∈ X（X） : x个 ≺ z（z） } 在拓扑τ中是开的，对于 x个 ∈ X（X） 对偶，如果≾对于τ是连续的，也可以说τ是\8830»的自然拓扑。
定理 1
设≾是定义在非空集X上的总预序。下列语句等价：
（i） 
≾在德布鲁的意义上是可分离的。
（ii） 
≾是完全可分离的。
（iii） 
存在一个可数子集 天 ⊆ X（X） 使得给定 x个 ， 年 ∈ X（X） 具有 x个 ≺ 年 ，存在一些 d日 ∈ 天 满足于 x个 ≾ d日 ≺ 年 .
（iv） 
存在一个可数子集 天 ⊆ X（X） 这样，给定 x个 ， 年 ∈ X（X） 具有 x个 ≺ 年 ，存在一些 d日 1 ， d日 2 ∈ 天 满足于 x个 ≾ d日 1 ≺ d日 2 ≾ 年 .
（五） 
相对于≾的序拓扑满足第二可数性公理。
（vi） 
相对于≾的序拓扑是可度量和可分离的。
证明。 
例如，参见[44]或第3节[56]。 ☐
文献中还遇到了许多其他表征总前序可表示性的等效条件。
备注 9
定理1陈述的第（iv）部分中引入的属性称为Jaffray意义上的可分性，或Herden意义上的可分性（参见[57，58]).
我们可能会问自己，在非空集上是否存在不可表示的全序X（X），强制基数X（X）大于实际线条，如定义5之前的讨论中所述。答案是否定的，也就是说，存在与 R（右） 承认不可代表的总预订单。这种类型的一个典型例子是词典平面，定义如下：让实际平面 R（右） 2 被赋予全部订单 ⪯ 我 由提供 ( x个 ， 年 ) ⪯ 我 ( z（z） ， t吨 ) 当且仅当 x个 < z（z） 或 x个 = z（z） ， 年 ≤ t吨 ( x个 ， 年 ， z（z） ， t吨 ∈ R（右） ) 。直觉上，我们可能会注意到，如果有一个表示 ≾ 我 每条垂直线应映射到实线的开放区间 R（右） 然而，由于在实数中，任何成对不相交的开区间族都是可数的，因此我们没有足够的空间来表示整个平面 R（右） 2 ，因为实线集是不可数的。（有关更多详细信息，请参阅[37，44，59，60]，以及第73页[61]以及许多其他可能的来源。）
备注 10
回到与熵有关的结果，我们指出库珀论文中的主要结果之一([18])，本着Carathéodory公理的精神，声明：
< < 假设状态空间S被赋予拓扑τ，使得拓扑空间 ( S公司 ， τ ) 是拓扑可分的。此外，假设S具有可访问性关系⇝ 这是一个总的预订单。还假设⇝ 就τ而言是连续的。然后，可及性关系存在一个实值连续熵函数⇝ 在S上定义。 > >
然而，不幸的是，事实证明，这种说法是不正确的，例如[三]. 可以看到的一个例子是词典平面的一个合适子集，即子集 [ 0 ， 1 ] × { 0 ， 1 } ⊊ R（右） 2 被赋予了字典顺序 ⪯ 我 以及相应的顺序拓扑。可以看出，这样的拓扑空间实际上是可分的，但它确实是可分不满足定理1要求的第二个可数性公理。库珀主要结果的表述可以通过用“满足第二可数性公理”代替“拓扑可分”来修正。（还请注意，第二个可数性公理的满足是一个遗传属性，与拓扑可分性不同，拓扑可分度一般不是遗传的）。另一种可能性是这样说 ( S公司 ， τ ) 可测量且可分离。
也许是因为一些（错误的）直觉是先验假设的，但没有明确声明，不仅人们接受或理所当然地认为熵函数存在于物理或化学中出现的典型过程中，而且也存在于其他具有相同数学背景的不同上下文中（例如，经济学中的效用理论）人们还含蓄地接受，数字表示也会存在。显然，定理1和随后的示例和注释表明，这是不正确的。然而，至少在经济学家中，对于接受定理1所说的内容存在一些沉默，因为他们相信“正常的偏好总是会接受效用表示”（例如，见上文中因希克斯而作的句子[36]). 不用说，在这方面，我们应该立即问：你所说的正常偏好是什么意思？在这方面，我们引用了1983年诺贝尔经济学奖得主G.Debreu的一则著名轶事：
< < 德布鲁被问及一个不承认效用表示的偏好的“正常”或现实例子。他对对话者的回答是：-好的。假设我会邀请你在一家好餐馆吃一顿美味的饭。我很了解你，我知道你总是喜欢吃得尽可能多，当然你更喜欢吃而不是喝。此外，如果我给你提供一些食物和一些葡萄酒，你会更喜欢吃同样数量的食物，但不喝葡萄酒。好吧，如果我用f（分别用w）表示你一餐中的食物量（分别用葡萄酒表示），那么你的偏好是这样的 ( （f） ， w个 ) 比 ( （f） ′ ， w个 ′ ) 前提是 （f） > （f） ′ 或者其他 （f） = （f） ′ 但是 w个 > w个 ′ 我可以直接证明这些偏好是不可代表的。 > >
一旦这则轶事为经济学家所熟知，而且由于德布鲁轶事中的偏好是词典学的，那么表明词典学平面不可表示的结果或“定理”如今被普遍称为“暴食定理”。

3.2. 总预订单的连续表示

在处理熵时，通常要考虑一些拓扑假设，就像Cooper在[18]. 在其他学科中出现的其他一些情况下，例如经济学中的效用理论，通常也会涉及到一些拓扑结构。例如，在处理偏好时，通常会看到它们如何作用于在某种意义上相似或“接近”的点（为了解决问题，这种“接近”可以通过度量、距离或拓扑来确定，拓扑告诉我们点的“邻域”是什么意思）。也就是说，在涉及总前序的几个上下文中，经常会遇到一些拓扑特征。当然，这立即带来了研究性质的必要性，即所涉及的总预订单（例如，偏好、可访问性关系等）的数字表示的连续性（如果有的话）。
显然，如果我们打算处理与定义在非空集上的总前序的连续可表示性有关的属性X（X）它被赋予了拓扑结构 τ ，自然会要求预订单以某种方式与给定拓扑相关。
典型的假设是≾相对于拓扑的连续性 τ （换句话说， τ 是≾的自然拓扑）。注意，如果一个实用函数 u个 : X（X） → R（右） 相对于顺序拓扑是连续的 τ ≾ 在X（X）和实线上常见的欧几里德拓扑，它对于任何自然拓扑也是连续的 τ 在X（X），和平时一样 R（右） .
例子 1
考虑功能 （f） : R（右） → R（右） 由提供 （f） ( x个 ) = 5 x个 如果 x个 < 0 ， （f） ( x个 ) = 5 x个 + 1 如果 0 ≤ x个 < 三 ， （f） ( x个 ) = 5 x个 + 三 如果 三 ≤ x个 < 7 和 （f） ( x个 ) = 5 x个 + 10 如果 x个 ≥ 7 显然，这样的函数f是严格递增的。因此，它满足了这一点 x个 ≤ 年 ⇔ （f） ( x个 ) ≤ （f） ( 年 ) 适用于所有 x个 ， 年 ∈ R（右） 因此，f作为实线上通常顺序≤的数值表示（或效用函数）。注意，在这种情况下，通过函数f，我们也在具有相同线性阶数的同一实线上表示≤。关于上的常用拓扑 R（右） ，函数f在点处具有跳跃不连续性 x个 = 0 ， x个 = 三 和 x个 = 7 顺便说一下，实线上通常的欧几里德拓扑就是序拓扑 τ ≤ 与通常的线性阶≤相关。现在，考虑f的以下修改，即函数 克 : R（右） → R（右） 由提供 克 ( t吨 ) = 5 t吨 ，对于所有人 t吨 ∈ R（右） 显然，g也是严格递增的，因此也表示≤，作为一个新的效用函数。然而，另外，g现在对于上的通常拓扑是连续的 R（右） 。现在注意到 克 ( t吨 ) 已从获取 （f） ( t吨 ) 减去 （f） ( t吨 ) 到达t点之前f遇到的所有跳跃的总和。
然而，这个简单的例子1是非常有意义的，因为它是许多从事效用理论工作的人普遍接受的直觉的基础，即：
< < 如果定义在非空集X上的总预序≾允许一个数值表示（也称为效用函数）u，那么它也允许另一个效用函数v，该函数对于X上的任何自然拓扑τ和实线上的通常欧几里德拓扑是连续的 R（右） . > >
支持这种直觉的原因是，给定一个效用函数u个表示非空集上的总预序X（X），其不连续性将产生跳跃，因此从中减去 u个 ( x个 ) 我们之前发现的所有跳跃的总和x个，我们将得到另一个实用函数v（v），现在是连续的（与示例1中的情况完全相同）。
因此，我们可能会怀疑这种直觉是否正确。
（令人惊讶的）答案如下：“上述直觉是正确的。然而，支持它的理由，基于减去积分前的跳跃，是错误的”。
这里的反例既不平凡也不明显。当跳跃-不连续数有限时，减去跳跃和的想法有效。当这些不连续点被隔离时，它也起作用。然而，当表示非空集上的总预序的效用函数的跳点不连续时，就会出现问题X（X）构成子集 Y（Y） ⊆ X（X） 它本身是密集的，也就是说，给定 一 ， b条 ∈ Y（Y） 具有 一 ≺ b条 ，存在 c（c） ∈ Y（Y） 这样的话 一 ≺ c（c） ≺ b条 在这种情况下，像以前一样，减去点之前所有跳跃的总和的想法实际上导致了一个连续函数，但不幸的是，这个新函数可能无法是内射函数，因此它不再是≾的效用函数。值得注意的是，这一无法克服的错误发生在德布鲁的开创性作品中([35]). 后来，德布鲁自己证明了[37]通过一个有趣的反例，一般来说，由于测量理论的原因，减去跳跃总和的论点是错误的。有关德布鲁反例的详细讨论，请参阅[44]. 如中所评论[三]对于其他科学家来说，同样的缺陷也是最麻烦的绊脚石。它确实可以在关于效用函数、熵和热力学基础的经典文献中的其他几个手稿中找到（参见，例如[18，62，63，64，65，66]). 我们警告读者，这个错误出现在库珀的经典作品中([18])本文中已经提到。让我们更好地解释为什么似乎支持我们直觉的理由是错误的（参见[三])：获取表示可访问性关系的连续熵函数⇝ 关于状态空间S公司，Cooper在[18]如下：如果我们取熵函数 克 : S公司 → R（右） ，如有必要，使用另一个递增函数组合它 R（右） 至开放式机组间隔 ( 0 ， 1 ) ，我们可以假定给定的熵函数克是这样的 0 < 克 ( 秒 ) < 1 为每个保留 秒 ∈ S公司 。现在，每 秒 ∈ S公司 ，让 δ 秒 = 支持 { δ ∈ R（右） : ( 克 ( 秒 ) 负极 δ ， 克 ( 秒 ) ) ⋂ 克 ( S公司 ) = ∅ } 类似地，让 ν 秒 = 支持 { δ ∈ R（右） : ( 克 ( 秒 ) ， 克 ( 秒 ) + δ ) ⋂ 克 ( S公司 ) = ∅ } 那么，对于所有人来说 秒 ∈ S公司 定义 δ ( 秒 ) = δ 秒 如果 克 ( 秒 ) 负极 δ 秒 ∉ 克 ( S公司 ) ; δ ( 秒 ) = 0 否则，类似地， ¦Α ( 秒 ) = ν 秒 如果 克 ( 秒 ) + ν 秒 ∉ 克 ( S公司 ) ; ν ( 秒 ) = 0 否则。很容易看出 δ 秒 ≠ 0 或 ν 秒 ≠ 0 最多是可数的。此外，所有非零的和 δ 秒 和 ν 秒 是有限的，因为 克 ( S公司 ) 是的子集 ( 0 ， 1 ) 。对于每个 秒 ∈ S公司 ，让
小时 ( 秒 ) = 克 ( 秒 ) 负极 ∑ { t吨 ≾ 秒 } δ ( t吨 ) 负极 ∑ { t吨 ≺ 秒 } ν ( t吨 ) .
库珀在论文的主要结果中声称，这个新函数小时是连续熵⇝. 然而，不幸的是，这种说法总体上是不正确的。Cooper的参数无效，因为尽管有新函数小时由于是连续的，它可能无法是内射的。要看到这一点，请考虑以下示例：X（X）代表闭合单位间隔 [ 0 ， 1 ] ，被赋予通常的顺序≤。考虑枚举 ( q个 n个 ) n个 ∈ N个 中的有理数 [ 0 ， 1 ] ，并定义函数 克 : [ 0 ， 1 ] → R（右） 由提供
克 ( t吨 ) = ∑ { n个 ∈ N个 : q个 n个 ≤ t吨 } 1 n个 2 .
然后，克正在严格增加。此外， δ t吨 = δ ( t吨 ) = 1 n个 2 如果 x个 ∈ 问 ∩ ( 0 ， 1 ) ; δ t吨 = 0 否则。此外， ν t吨 = ν ( t吨 ) = 0 对于每个 t吨 ∈ [ 0 ， 1 ] 总之，现在可以在这个阶段直接证明相应的函数小时上面定义的是一个常数，即 小时 ( 秒 ) = 0 为每个保留 秒 ∈ S公司 .
在这一点上，我们注意到，为了明确证明关于可表示的总序的连续效用表示的存在的直觉确实是正确的，应该使用其他不同的论点。
备注 11
杰拉德？德布鲁（Gérard Debreu）找到了一些正确的论据来证明这一点。值得注意的是，之前的工作间隔了十年[35]其中出现了上述错误，并在他的论文中获得了新论点的正确证明[54]。
新德布鲁方法中的关键概念[54]是间隙的概念，以及众所周知的“开间隙引理”（例如，参见[44]).
定义 7
让 R（右） ¯ = { 负极 ∞ } ∪ R（右） Ş { + ∞ } 代表延长的实线。退化的集合 R（右） ¯ 是至多有一个点的集合。子集的空白 S公司 ⊆ R（右） ¯ 是一个与S不相交的非退化区间，在S中有上界和下界。间隙是最大的空隙。
引理 1
（德布鲁的开隙引理，参见[54])如果S是 R（右） ¯ ，有一个严格的递增函数 克 : S公司 → R（右） ¯ 满足所有的差距 克 ( S公司 ) ⊆ R（右） ¯ 已打开。
备注 12
德布鲁的开隙引理确实是有序结构数值表示理论中的一个关键结果。引理1有许多已知的证明（例如，参见[44]进一步解释），作者包括Bowen([67])、贾夫雷([57])，德罗斯特([68])比尔登([69])、赫登和梅塔([70])博西和梅塔([71])和Alcantud等人([72])除其他外。
如中深入讨论的[44]第3章，如果u个是一个表示非空集上的预序的效用函数X（X）和 u个 ( X（X） ) 没有半开半闭的间隙，那么u个相对于≾的任何自然拓扑都是连续的。因此，如果我们只有一个效用函数 u个 : X（X） → R（右） 这代表了一个总的预序≾，引理1（德布鲁的开缺口引理）为我们提供了帮助：如果我们组合u个具有递增功能 克 : u个 ( X（X） ) → R（右） 其间隙是敞开的 v（v） = 克 ∘ u个 : X（X） → R（右） 这样的话 v（v） ( x个 ) = 克 ( u个 ( x个 ) ) 对于每个 x个 ∈ X（X） ，新功能v（v）也是一个表示≾的实用函数。然而，除此之外，它不会在 v（v） ( X（X） ) ，因此它对于≾的任何自然拓扑都是连续的。因此，我们得出结论，关于总前序连续表示存在的“共同直觉”是正确的。因此，我们可以明确地说，它是有序结构数值表示理论中最重要的一个定理。
定理 2
设X是一个非空集合。设≾是定义在X上的一个可表示的总预序。然后，\8830]允许一个数值表示，该表示对于X上的任何拓扑都是连续的，对于\8830'来说是自然的，对于实线上的通常拓扑也是连续的。
备注 13
我们警告读者，定理2并不是说代表≾的任何可能的效用函数都是连续的。相反，定理2告诉我们的是，如果≾是可表示的，那么一些连续的数值表示必然存在。
匹配定理1和2，分别是Eilenberg的以下经典结果([53])和德布鲁([37])，都是直接后果。
推论 1
设X表示X上的非空集和全序。设τ代表X上的自然拓扑。以下陈述成立：
（i） 
（Eilenberg，1943）如果拓扑空间 ( X（X） ， τ ) 是连通和可分离的，则≾允许一个效用函数，该函数相对于X上的拓扑τ和上的通常拓扑是连续的 R（右） .
（ii） 
（Debreu，1964）如果拓扑空间 ( X（X） ， τ ) 满足第二个可数性公理，则≾承认一个效用函数，该函数相对于X上的拓扑τ和上的通常拓扑是连续的 R（右） .
结束语第3节回到库珀本着卡拉瑟奥多里的精神对熵进行的公理化研究，我们得出结论，如上述推论所述，如果我们将连通性添加到可分性中，或者如果我们假设第二可数性而不是较弱的可分性拓扑假设，库珀的主要结果就会成立。因此，正确的说法是：
< < 假设状态空间S被赋予拓扑τ，使得拓扑空间 ( S公司 ， τ ) 要么是拓扑连通可分的，要么满足第二可数性公理。此外，假设S具有可访问性关系⇝ 这是一个总的预订单。假设也是这样⇝ 就τ而言是连续的。然后，对于可达性关系，存在一个实值的、连续的熵函数⇝ 在S上定义。 > >

4.与熵相关的混合与竞争

库珀经典论文一瞥[18]向我们展示了一整节内容，专门用于分析“系统组成：熵的可加性”（另请参阅[4]). 我们如何解释这个概念？
同样的情况出现在Lieb和Yngvasson最近的调查中（参见[19])也就是说，他们声称：
< < 对于每个系统，在其（平衡）态的空间上都有一个函数S，其性质是当且仅当 S公司 ( X（X） ) ≤ S公司 ( Y（Y） ) 这在本质上就是“熵原理”。S函数可以清楚地乘以任意常数，并且仍然可以继续工作，因此，该函数一点也不明显 S公司 1 因为系统1与功能有关 S公司 2 对于系统2。再次，我们应该指出，这是一种直觉，通常是错误的，除非我们从一开始就假设了更严格的条件。总的来说，如果可用的话，总预订单的数字表示具有某种线性，这是不正确的。第二个值得注意的事实是，宇宙中所有热力学系统的S函数都可以同时进行标定（即，可以确定乘法常数），其方式是熵是可加的，即，复合系统的S功能仅通过将单个系统的S功能相加即可获得， S公司 1 ， 2 = S公司 1 + S公司 2 为了认识到这一事实，有必要认识到，组成复合系统的系统可以以多种方式相互作用，因此，复合物中可能发生的绝热跃迁要比单独的孤立系统所允许的绝热跃变多得多。然而，功能的增加 S公司 1 + S公司 2 继续准确地描述绝热过程-要么允许更多，要么允许更少。声明 S公司 1 ( X（X） 1 ) + S公司 2 ( X（X） 2 ) ≤ S公司 1 ( X（X） 1 ′ ) + S公司 2 ( X（X） 2 ′ ) 不需要 S公司 1 ( X（X） 1 ) ≤ S公司 1 ( X（X） 1 ′ ) 从我们的观点来看，主要问题是：绝热过程的哪些性质允许我们构造这样的函数？它在多大程度上是独特的？复合体系中不同体系之间的相互作用的什么性质导致了加性熵函数？ > >
我们认为，这个想法是引入一些数学背景来处理热力学中相互作用的系统，从而产生一个新系统。用这种方法，我们应该研究由相互作用产生的新系统的熵与我们之前拥有的系统的熵之间的关系（如果有的话）。库珀进来了[18]以及Lieb和Yngvasson[19]，还添加了一些公理以处理此类问题。这些额外的公理依赖于可加性性质，这里的目的是找到线性变换中唯一的熵函数。以类似的方式，Klimenko的一组论文（参见[38，73，74，75，76，77])将概念处理为混合（另请参见[78])以及系统竞争。我们在此无意对这些文件提出批评。然而，在数学家看来，很难将“混合”和“竞争”这两个概念的定义孤立开来。对于数学家、物理学家、化学家、工程师、经济学家或心理学家来说，抽象定义的概念可能完全不同。很典型的是，一些作者没有给出概念的严格抽象（数学）定义，而是描述了他们正在分析的项目的属性。然而，这引发了非专家（尤其是有时可能是纯粹的数学家）在寻找定义时，被迫做出一些解释，将一切置于更抽象的环境中。这里有几个例子，要清楚地定义“混合”和/或“竞争”到底是什么，对于一个感兴趣但不专业的研究人员来说，这是一项艰巨的任务。
(1) 
< < 混合通常被理解为两种（或多种）气体或液体的混合，直到获得均匀的混合物。混合保留了参与分子的身份，因此与化学反应不同。如果分子之间的相互作用很小，得到的混合物称为理想混合物，其特征是最大可能无序和最大可能熵。另外，分子间的相互作用可以减少分子的混沌，混合熵也会降至其最大值以下。 > >
(2) 
< < 混合过程可以通过足够多的概念粒子来模拟，这些粒子从初始约束区域随机行走并扩散到整个区域。扩散（混合）和随机游动之间的基本相似性首先在物理学中建立，然后在数学中建立。 > >
(3) 
< < 典型的混合过程是，最初相互独立并分离的几个不同组成的系统在没有化学反应的情况下进行混合，并且每个系统都处于化学平衡的热力学状态。这是通过移除从一开始就将系统分隔开的不透水屏障和隔板来实现的。一段时间后，在新的封闭系统中达到新的内部平衡热力学状态。 > >
(4) 
< < 抽象竞争的概念源于湍流燃烧建模的悠久传统。在这些模型中，通常使用蒲柏粒子（即具有属性和混合的概念粒子）。如果传统的混合被竞争性混合所取代，这些概念粒子可以被视为参与抽象竞争的一般元素的计算化身。竞争混合可以用来描述各种过程：湍流燃烧、侵入波和其他相关现象。与传统的保守混合不同，竞争混合可以表现出复杂的行为，具有复杂的相互依赖性，这是本综述特别关注的问题。 > >
(5) 
< < 竞争系统以其最普遍的形式涉及竞争过程。竞争系统的要素按照预先设定的规则相互竞争。规则根据元素的属性定义了每一轮比赛的赢家和输家。失败者的财产损失，而胜利者利用失败者腾出的资源复制他们的财产。复制过程并不完美，涉及随机突变，这对元素的竞争力最为不利。 > >
(6) 
< < 竞争系统通常与复杂的随机行为相关，在现实世界中很常见。抽象竞争以最抽象的形式研究竞争的一般原则，可以解释为一种混合形式。这种混合被称为竞争混合，可以用来表征各种过程：湍流燃烧、侵入波和其他相关现象。与传统的保守混合不同，竞争混合可以表现出复杂的相互依赖行为。 > >
备注 14
前几段第4节尝试设定并讨论一个与系统间交换粒子产生的化学势有关的主题。在物理学家眼中，这个概念可以通过吉布斯大正则系综理论来描述（参见[25，79，80]). 然而，数学家们可能仍然认为，在严格性方面还有必要再迈出一步，因此，至少在该理论所依赖的数学背景水平上寻找明确的定义。
让我们在这里做一个数学解释来确定想法：
我们认为，解决和分析这类问题的关键数学框架是代数序结构。也就是说，当我们得到一个有序结构（例如，一个非空集X（X）赋予了一个总的预订单（），可能会发生以下情况X（X）还有一些额外的代数结构，希望能与所涉及的排序兼容。举个例子，在词典学层面 ( R（右） 2 ， ⪯ 我 ) ，我们可以考虑手术 + ¯ 向量的坐标加法或和，由 ( x个 ， 年 ) + ¯ ( z（z） ， t吨 ) = ( x个 + z（z） ， 年 + t吨 ) 为所有人 x个 ， 年 ， z（z） ， t吨 ∈ R（右） 。现在，我们可能会注意到，总订单之间存在兼容性或交互 ⪯ 我 和代数二进制运算 + ¯ ，即 ( x个 ， 年 ) ≺ 我 ( z（z） ， t吨 ) ⇔ ( x个 + 一 ， 年 + b条 ) = ( x个 ， 年 ) + ¯ ( 一 ， b条 ) ≺ 我 ( z（z） + 一 ， t吨 + b条 ) = ( z（z） ， t吨 ) + ¯ ( 一 ， b条 ) ，每 ( x个 ， 年 ) ， ( z（z） ， t吨 ) ， ( 一 ， b条 ) ∈ R（右） 2 在代数运算与有序结构兼容的情况下，寻找不仅保持有序结构，而且也是代数同态的数值表示（例如效用函数、熵）的存在是典型的和自然的，例如在加法实线上 ( R（右） ， + ) 例如，如果X（X）是一个非空集，赋有一个总的前序≾和一个二进制运算，例如*，这样 x个 ≾ 年 ⇔ x个 * 一 ≾ 年 * 一 适用于所有 x个 ， 年 ， 一 ∈ X（X） ，我们可能有兴趣找到一个数值表示u个除此之外，它还实现了 u个 ( x个 * 年 ) = u个 ( x个 ) + u个 ( 年 ) 对于每个 x个 ， 年 ∈ X（X） .
如深度评论所示，例如[81]在数学中，两种不同但最终会聚的方法可能导致对代数有序结构的研究。一方面，如本文所述，我们遇到了一些有序结构，其中也产生了一个额外的代数运算，在某种程度上与排序兼容。在前一种情况下，起点是有序结构，而代数看起来（最后但并非最不重要）是额外的。另一方面，我们可以处理具有某种排序的代数结构（例如，群、半群和向量空间），这种排序在某种程度上与原始代数结构兼容。换句话说，在第二种情况下，我们从代数结构开始，排序是额外的，但不是次要的。
回到热力学中的熵设置，我们可以理解“混合”作为系统之间的某种交互。那就是，如果S公司是国家制度，两种不同的制度 秒 ， t吨 ∈ S公司 可能以某种方式相互作用，形成一个新系统 第页 ∈ S公司 因此，很自然地将交互理解为对集合的二进制操作，比如∘S公司（即。， ∘ : S公司 × S公司 → S公司 )，然后写入 秒 ∘ t吨 = 第页 根据交互的属性∘，并假设可访问性关系⇝ 定义于S公司，我们可能对寻找熵函数感兴趣（f）这不仅代表⇝ 但除此之外，它满足了这一点 （f） ( 秒 ∘ t吨 ) = （f） ( 秒 ) + （f） ( t吨 ) 适用于所有 秒 ， t吨 ∈ S公司 .
关于“竞争”，我们也可以理解这一概念是在与上述混合相同的数学设置下产生的。让我们考虑一个例子，这个例子不是来自热力学或熵，而是明显等同于反应、燃烧等情况，其中一个成分，即失败者，被另一个成分（即胜利者）吸收（或消失，甚至忽略）：因此，假设一种动物（如狮子）是捕食者，另一种（如瞪羚）是猎物。如果两种动物相遇并打架，而狮子杀死了瞪羚并吃掉了它，我们可以将其解释为这样一种情况：我们从一头狮子加上一只瞪羚开始，到最后只剩下一头狮子（可能因为它吃了东西而变得更强壮），而没有瞪羚。如果我们通过适当的数学抽象将这场“战斗”表示为动物世界中定义的一种操作我（分别为，克)表示狮子（分别是瞪羚），我们可以写为 我 ∘ 克 = 我 类似的情况出现在热力学中，当系统相互作用或竞争时，其中一个是赢家，另一个是输家，最终结果是第一个系统存活下来（可能具有更丰富的性质），而第二个系统消失。无论如何，它们也可以通过状态系统进行数学解释S公司其中定义了一些二进制运算∘，最终允许如下情况 秒 ∘ t吨 = 秒 对一些人来说 秒 ， t吨 ∈ S公司 .无论何时S公司具有可访问性关系⇝, 我们也可能对寻找熵函数感兴趣，熵函数也可以在某种程度上提供关于“竞争”运算的更多信息S公司.
因此，我们可以在结束这场讨论时说，我们应该注意被赋予一些兼容代数运算的有序结构，并寻找不仅保留有序结构，而且保留代数结构的数字表示（如果有的话）。
在这个阶段，另一个重要的事实是选择合适的代数结构来处理。在这个意义上，我们指出，在关于具有某些相容代数运算的有序结构（主要是总前序）的数值表示的文献中，人们可能会主要遇到关于有序群和半群的经典结果（参见，例如[81，82，83，84，85，86，87，88，89，90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，101，102，103，104]). 这里的一个关键参考是L.Fuchs的书[105]然而，也有对格的深入研究，其中一个著名的参考文献是这本书[106]作者：Garret Birkhoff（另见[107])，有序向量空间（参见，例如[108，109，110，111，112])甚至是实代数（参见，例如[56]).
为了继续我们的研究，为了选择一个合适的代数设置，似乎仍有必要观察我们想分析的系统的一些特征。因此，让我们假设我们已经记住了与混合或竞争过程相关的热力学方法的思想，因此状态空间S公司配备了一些二进制操作，比如∘。事实上，这种操作代表着“混合”，可以这么说，它被理解为移除了分隔两个给定系统的不透水屏障 秒 ， t吨 ∈ S公司 因此，允许它们进行合成、相互作用或竞争（例如，化学反应）。因此，我们认为这里最合适的出发点是假设 ( S公司 ， ∘ ) 是一个半群（参见定义8）。正如已经在中评论的那样[1]，将状态空间解释为半群而不是群似乎更合理，因为有许多化学反应是不可逆的，因此在这种方法中，必须处理代数群的数学结构的“逆元素”的概念可能是无意义的。然而，混合（组成和反应）是结合的想法似乎更合适：如果我们承认通过混合组成的系统是一个二元运算，定义为S公司（理解为所有可能系统的集合），很自然地假设操作∘是关联的（也可能是交换的）。
备注 15
值得注意的是，这些条件在[18]也没有（30多年后）在调查中[19]尽管被含蓄地假定或视为理所当然。在[18]在Carathéodory设置中添加了一些新的公理来处理熵函数，这些熵函数还保留了一些代数结构。在O的一项开创性工作中，使用公理来处理被赋予某种兼容代数结构的总预序集的数字表示，即表示或效用函数是代数同态（通常称为加法）。Ḧ较旧（请参见[82，105]). 从那时起，它也出现在其他几个多学科领域，例如数学心理学中的广泛测量理论（参见，例如[96，101]). 然而，它的数学背景与热力学中处理“附加熵”时遇到的背景完全相同，如[18，19，113，114]。
顺便说一下，库珀的方法[18]实际上更复杂，因为他考虑的是n元运算（而不仅仅是二进制运算∘)处理系统的组成。然而，我们可能仍然假设，至少隐含地[18]可以将其分解为二进制合成的特殊迭代。
定义 8
半群是代数结构 ( S公司 ， ∘ ) 由赋有内部二进制操作的非空集S组成的∘这是相联的。此外，如果S有一个空元素e，使得 秒 ∘ e（电子） = e（电子） ∘ 秒 = 秒 适用于所有 秒 ∈ S公司 ，然后 ( S公司 ， ∘ ) 被称为幺半群。此外，如果幺半群的每个元素 ( S公司 ， ∘ ) 具有反转 秒 * 这样的话 秒 ∘ 秒 * = 秒 * ∘ 秒 = e（电子） ，然后 ( S公司 ， ∘ ) 据说是一个团体。半群 ( S公司 ， ∘ ) 被赋予了一个完全的先决条件≾如果总预序之间存在相容性，则称为完全预序半群≾和二进制运算∘这样的话 秒 ≾ t吨 ⇔ 秒 ∘ u个 ≾ t吨 ∘ u个 ⇔ u个 ∘ 秒 ≾ u个 ∘ t吨 适用于所有 秒 ， t吨 ， u个 ∈ S公司 （最后一个属性也称为二进制运算的总预序的平移方差）。特别要注意，一个完全预序半群总是可消的，即 秒 ∘ u个 = t吨 ∘ u个 ⇔ 秒 = t吨 ⇔ u个 ∘ 秒 = u个 ∘ t吨 ( 秒 ， t吨 ， u个 ∈ S公司 ) . 完全预序半群 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 如果 x个 ≺ x个 ∘ x个 （分别，如果 x个 ∘ x个 ≺ x个 )适用于所有 x个 ∈ S公司 。此外，还有一个元素 t吨 ∈ 如果 t吨 ≺ t吨 ∘ t吨 （分别，如果 t吨 ∘ t吨 ≺ t吨 )持有。如果 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 是一个完全预序半群，它的子集 S公司 + = { 秒 ∈ S公司 : 秒 ≺ 秒 ∘ 秒 } （分别为， S公司 负极 = { 秒 ∈ S公司 : 秒 ∘ 秒 ≺ 秒 } )称为的正锥体（分别为负锥体） ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 注意，当S是一个全序幺半群时，一个元素 秒 ∈ S公司 为正（分别为负）当且仅当 e（电子） ≺ 秒 （分别，如果 秒 ≺ e（电子） )holds，其中e代表幺半群的null元素。
备注 16
如果 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 是一个完全预序半群，其中≾，我们可能会忽略使用商空间 S公司 / ∼ 其元素是S元素相对于～的无差异类。也就是说，给定 秒 ∈ S公司 ，其对应的类 [ 秒 ] ∈ S公司 / ∼ 是布景吗 { t吨 ∈ S公司 : t吨 ∼ 秒 } 。由于总预序≾和二进制运算之间存在兼容性，因此商 S公司 / ∼ 通过自然地考虑二进制运算∘以及≾直接作用于～诱导S的无差异类，继承了全序半群的结构。
因此，除非另有说明，否则从今以后，我们使用全序半群，而不是全预序半群。
定义 9
完全预序半群 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 如果存在实值函数，则称为可加性表示 u个 : S公司 → R（右） 满足于 u个 ( 秒 ∘ t吨 ) = u个 ( 秒 ) + u个 ( t吨 ) 还有 秒 ≾ t吨 ⇔ u个 ( 秒 ) ≤ u个 ( t吨 ) 坚持每一个 秒 ， t吨 ∈ S公司 具有这些属性的映射u称为加法效用函数.
为了刻画可加性表示的全序半群，我们仍然需要引入以下定义。
定义 10
正半群 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 据说是阿基米德式的 秒 ， t吨 ∈ S公司 具有 秒 ≺ t吨 ，存在一个自然数 k个 ∈ N个 这样的话 t吨 ≺ 秒 k个 = 秒 ∘ … ( k个 负极 t吨 我 米 e（电子） 秒 ) … ∘ 秒 此外，它被称为super-Archimedean if for every 秒 ， t吨 ∈ S公司 这样的话 秒 ≺ t吨 存在一个自然数 k个 ∈ N个 这样的话 秒 k个 + 1 ≺ t吨 k个 .
在完全有序群的情况下，霍尔德早在1901年就提出了一个来自代数的经典结果，该结果用阿基米德性表征了可加表示性，如下所示（参见[82]或[106]，第300页）。
提议 1
一个完全有序的群体 ( G公司 ， ∘ ， ≾ ) 是可加表示的当且仅当其正锥是阿基米德锥。
在全序半群的情况下，N.G.Alimov在1950年根据超阿基米德性质（参见[94，97]或第26页的参考注释21[12]).
提议 2
全序半群 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 是可加表示的当且仅当其正锥 S公司 + 是超阿基米德及其负锥 S公司 负极 当被赋予转置顺序时也是超阿基米德的 ≾ t吨 由提供 秒 ≾ t吨 u个 ⇔ u个 ≾ 秒 ( 秒 ， u个 ∈ S公司 ) .
备注 17
（i） 
正全序半群的阿基米德性不足以保证可加效用函数的存在。一个例子是半群 S公司 = ( 0 + ∞ ) × ( 0 ， + ∞ ) ，配备字典式总顺序和二进制运算 ( 一 ， b条 ) ∘ ( c（c） ， d日 ) = ( 一 + c（c） ， b条 + d日 ) 。如中所述第3节，即使我们不注意可加性（参见，例如[106]第200-201页）。
（ii） 
正超阿基米德全序半群 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 尤其是阿基米德。（关于详细的证明，参见，例如[97].) 然而，相反的说法通常是不正确的：确实如此 S公司 = ( 0 + ∞ ) × ( 0 ， + ∞ ) 被赋予词典顺序 ⪯ 我 不是超阿基米德式的，因为， ( 2 ， 2 ) ≺ 我 ( 2 ， 8 ) 但是 ( 2 k个 ， 8 k个 ) ≺ 我 ( 2 k个 + 2 ， 2 k个 + 2 ) ( k个 ∈ N个 ) .
（iii） 
如果 ( G公司 ， ∘ ， ≾ ) 是阿基米德全序群，它的正锥是阿基米德，它的负锥是关于转置序的阿基米得（参见，例如[97]以获取证明和更多详细信息，以及相关属性）。
回到与混合过程有关的热力学设置的考虑，我们可以总结前面的事实，声称为了增加熵的存在，应按照第4节的精神在Carathéodory公理中添加以下额外公理[18]:
（i）
相位系统S公司，具有混合操作∘和可达性关系⇝ 必须是完全预序半群。
（ii）
正锥体和负锥体都被赋予转置 ⇝ t吨 全序半群结构的可及性关系 ( S公司 ， ∘ ， ⇝ ) ，必须是超Archimedean。
完成全景图，并遵循[1]，我们还应该注意到，一个完全有序的群体 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 也可以赋予一些拓扑 τ 在这种情况下，自然会搜索与拓扑有关的连续的附加效用函数的存在性 τ 在S公司，以及实线上常见的欧几里德拓扑。因此，如果某些拓扑 τ 在手边，我们可以处理与限制、接近或连续性以及相关项目相关的想法。
备注 18
在热力学环境中，库珀的关键论文第4节已经考虑了这类问题，即连续熵和附加熵的存在性[18]。
现在让我们分析一下在这种方法的数学背景下产生的主要结果。
备注 19
即使可以用加法效用函数表示，全序半群也可能无法接受连续和加法表示。一个例子是半群 Z轴 = [ 2 ， 三 ) ⋃ [ 4 ， + ∞ ) ⊂ R（右） 使用实数的和和和顺序作为二进制操作，并配备从中的常用拓扑继承而来的相对拓扑 R（右） .可以证明（参见，例如[98，99])加法连续表示不存在的主要原因是Z中的和相对于序拓扑的不连续性。
定义 11
拓扑半群 ( S公司 ， ∘ ， τ ) 是半群 ( S公司 ， ∘ ) 配有与二进制运算相关的拓扑τ，在以下意义上：它使二进制运算连续 ∘ : S公司 × S公司 → S公司 映射这一对 ( 秒 ， t吨 ) ∈ S公司 × S公司 到元素 秒 ∘ t吨 ∈ S公司 .（这里，在 S公司 × S公司 我们考虑来自S上τ的乘积拓扑。）
全序半群 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 当∘对于序拓扑是连续的时，称为拓扑全序半群 τ ≾ S（及其对应的产品拓扑 S公司 × S公司 ).
拓扑组定义为组 ( G公司 ， ∘ ) 被赋予拓扑τ，使得二元运算∘是连续的，也是在G中取逆的一元运算，它分配给每个元素 秒 ∈ G公司 它的逆函数 秒 * 对于G中的拓扑τ也是连续的。
备注 20
Nyikos和Reichel（参见[87])并指出任何全序群相对于序拓扑都是拓扑的。它实际上证明了在一个完全有序的群上 ( G公司 ， ∘ ， ≾ ) 对于序拓扑，取逆的运算∘和一元运算更是连续的 τ ≾ 注意，这确实是一个关于“自动连续性”的定理，在这个意义上，总阶和代数运算之间的兼容性已经承载了群运算的连续性，即相对于G上定义的≾的任何自然拓扑，取逆的一元运算和取逆的二元运算。
然而，半群的类似结果通常是无效的。（备注19中所示的反例也适用于此。）
以下结果，其证明见[98]，可能是人们期望在这种方法中找到的最好的方法。
定理 三。
让 ( S公司 ， ∘ ， ≾ ) 是拓扑全序半群。还假设S具有相对于线性阶≾自然的拓扑τ。假设正锥体 S公司 + 相对于≾是超阿基米德的，而负锥体 S公司 负极 是关于转置顺序的超阿基米德。那么，S可以用加法效用函数表示 u个 : S公司 → R（右） 这样的话 u个 ( 秒 ∘ t吨 ) = u个 ( 秒 ) + u个 ( t吨 ) 和 秒 ≾ t吨 ⇔ u个 ( 秒 ) ≤ u个 ( t吨 ) 坚持每一个 秒 ， t吨 ∈ S公司 ，此外，映射u相对于S中给定的拓扑τ和S中通常的拓扑τ是连续的 R（右） .
完成第4节再次回到热力学方法，我们可以得出这样的结论：对于连续加性熵的存在。我们可以在库珀论文第4节分析的卡拉斯气味库珀设置中添加以下适当的额外公理[18]:
（i）
状态空间S公司，配备混合操作∘和可达性关系⇝应该是一个全序半群。
（ii）
正锥体和负锥体都被赋予转置 ⇝ t吨 全序半群结构的可及性关系 ( S公司 ， ∘ ， ⇝ ) ，应该是超级阿基米德。
（iii）
S公司应该被赋予拓扑结构 τ 这对于可及性关系来说是很自然的⇝. （换句话说：就 τ .)
（iv）
结构 ( S公司 ， ∘ ， ⇝ ) 应该是拓扑全序半群。（也就是说，∘相对于订单拓扑应该是连续的 τ ≾ 在S公司和上的产品拓扑 S公司 × S公司 .)

5.区间序和半序的表示

同样，我们遵循一些已经推出的想法，例如[1]. 首先，我们定义了区间订单的可表示性。由于二元关系的可表示性 R（右） 关于非空集X（X）通过函数 u个 : X（X） → R（右） 这样的话 x个 R（右） 年 ⇔ u个 ( x个 ) ≤ u个 ( 年 ) 军队 R（右） 是一个完全的预订单，正如在开始时所评论的那样第3节其他类型的序（如区间序或半序）的数值表示方式必须有所改变。在区间阶的情况下，经典表示（如果可用）使用两个实值函数，而不是下一个定义12中所述的一个。
定义 12
让X代表一个非空集。如果存在一对，则定义在X上的区间序称为可表示（作为区间序） ( u个 ， v（v） ) 实值函数的 u个 ， v（v） : X（X） ⟶ R（右） 完成那件事 x个 ≺ 年 ́ v（v） ( x个 ) < u个 ( 年 ) ( x个 ， 年 ∈ X（X） ) .这对 ( u个 ， v（v） ) 称为表示≺的效用对，也称为给定间隔顺序的数值表示。
备注 21
注意，由于区间序≺是X上的非对称二元关系，如果它可以通过对表示 ( u个 ， v（v） ) 那么我们有一个更进一步的说法 u个 ( t吨 ) ≤ v（v） ( t吨 ) 每 t吨 ∈ X（X） 这引发了以下解释，这很可能启发了专门文献中的区间顺序术语。该术语由Peter C.Fishburn（参见[42，43])：只要区间序≺允许通过对进行数值表示 ( u个 ， v（v） ) ，每个元素 t吨 ∈ X（X） 可以与区间直接相关 [ u个 ( t吨 ) ， v（v） ( t吨 ) ] 真正的线。（还应注意，如果 u个 ( t吨 ) = v（v） ( t吨 ) ）在这里， 一 ≺ b条 意味着间隔 [ u个 ( 一 ) ， v（v） ( 一 ) ] 位于实线上 R（右） 完全在间隔的左边 [ u个 ( b条 ) ， v（v） ( b条 ) ] 不要碰它。
为了刻画区间阶的数值表示性，我们现在引入了更多必要的定义。
定义 13
与定义在非空集X上的区间序相关，我们将考虑两个新的二元关系。
这些二元关系被称为≺的痕迹。它们分别表示为 ≺ * （左轨迹）和 ≺ * * （右迹线），定义如下： x个 ≺ * 年 ⇔ x个 ≺ z（z） ≾ 年 对一些人来说 z（z） ∈ X（X） ，以及类似的 x个 ≺ * * 年 ⇔ x个 ≾ z（z） ≺ 年 对一些人来说 z（z） ∈ X（X） ( x个 ， 年 ∈ X（X） ) .
备注 22
我们表示 x个 ≾ * 年 ́ ¬ ( 年 ≺ * x个 ) ， x个 ∼ * 年 ⇔ x个 ≾ * 年 ≾ * x个 、和 x个 ≾ * * 年 ⇔ ¬ ( 年 ≺ * * x个 ) 和 x个 ∼ * * 年 ⇔ x个 ≾ * * 年 ≾ * * x个 ( x个 ， 年 ∈ X（X） ) 。请注意，二元关系 ≾ * （分别为， ≾ * * )是的伴随词 ≺ * （分别为，共 ≺ * * ). 这两个伴随词实际上都是X上的总前序。此外，与区间序≺相关联的无差异关系～是传递的当且仅当 ≾ * ， ≾ * * 和≾重合。在这种情况下，≾实际上是X上的一个总前序。反之亦然，所有这些断言也等价于说相关的对称二元关系\8830]是传递的（参见，例如[45]以及1.6.11号提案[44]更多信息）。
定义 14
设X是非空集。如果存在可数子集，则定义在X上的区间序称为区间序可分 天 ⊆ X（X） 这样，对于每一个 x个 ， 年 ∈ X（X） 具有 x个 ≺ 年 存在 d日 ∈ 天 这样的话 x个 ≾ * d日 ≺ 年 .
以下关键事实表征了区间阶的数值可表示性，这在本文献中是众所周知的（有关详细证明以及其他等效结果，请参见，例如[45]).
定理 4
定义在非空集X上的区间序≺是可表示的当且仅当它是区间序可分的。
备注 23
1973年早些时候，Fishburn已经获得了其他特征，这些特征使用了一组更复杂的条件，这些条件相当于区间阶的可表示性（参见[115])1984年，Doignon等人（参见[116]).
在半阶的情况下，除了定义12中所述的可能的间隔阶表示外，经典的数值表示（如果存在）由实值函数加上严格的正常数组成。
定义 15
让≺表示定义在非空集X上的半序。我们说\8826]在Scott和Suppes的意义上是可表示的（参见[40，117])当存在实值函数时 u个 : X（X） → R（右） 和一个严格的正常数 k个 > 0 这样的话 一 ≺ b条 ⇔ u个 ( 一 ) + k个 < u个 ( b条 ) 适用于所有 一 ， b条 ∈ X（X） .这对 ( u个 ， k个 ) 然后说是代表≺的Scott–Suppes对。
备注 24
如果半序≺可以通过对在Scott和Suppes意义上表示 ( u个 ， k个 ) ，这也是Scott–这对搭档所代表的Suppes ( v（v） ， 1 ) ，其中 v（v） : X（X） → R（右） 由定义 v（v） ( t吨 ) = u个 ( t吨 ) k个 ( t吨 ∈ X（X） ) 换句话说，在Scott–Suppes半序可表示性的定义中，我们可以取 k个 = 1 不失通用性。
在此阶段，请再次注意，“k”在这里是歧视的阈值。事实上，在适当的环境中，它也可以被解释为“量子”.
为了刻画半序的Scott–Suppes表示性，我们需要引入下一个关键定义。
定义 16
设X是非空集。如果没有，定义在X上的半序就称为序列的正则 x个 ， 年 ∈ X（X） 和序列 ( x个 n个 ) n个 ∈ N个 ， ( 年 n个 ) n个 ∈ N个 集合X中元素的 x个 ≺ … ≺ x个 n个 + 1 ≺ x个 n个 ≺ … ≺ x个 三 ≺ x个 2 ≺ x个 1 也不是双重的， 年 1 ≺ 年 2 ≺ 年 三 ≺ … ≺ 年 n个 ≺ 年 n个 + 1 ≺ … ≺ 年 保持正确。换句话说，对于给定的半序≺，给定的集合X从不包含任何具有上界的无限上链，也不包含任何具有下界的无限下链。
半序的Scott–Suppes表示性最终特征如下（参见，例如[117，118，119，120]):
定理 5
定义在非空集X上的半序在Scott和Suppes意义下是可表示的，当且仅当它是关于序列的可分离且正则的区间序。
备注 25
通过条件获得半阶可表示性的特征，如定理5中所述，这是一个真正的“强制”。这是一个公开的问题[39，40，121]在其他经典论文中。自那时起，实现了其他几个特征，其中一些仅适用于特定情况（参见，例如[118，122，123，124，125，126]).
下一步是分析连续的区间阶和半阶的可表示性，条件是非空集X（X）在其上定义了区间序或半序≺也被赋予了一些拓扑 τ 不幸的是，在这些情况下（即区间序和半序），一个类似于著名的Debreu的开缺口引理的结果（参见引理1第3节通常不再提供（参见，例如[127]). 事实上，在半序的情况下，Debreu的开缺口引理的类似通常是错误的，如[128]。
与总前序的情况不同，区间序的连续可表示性的一个对一般情况有效的特征尚不清楚。半序也会发生同样的情况。
在这个阶段，我们需要介绍一些关于区间阶的连续可表示性的数学背景。
定义 17
设X是一个具有拓扑τ和区间序≺的非空集。就≺如果而言，拓扑τ是自然的 x个 ∈ X（X） 、套 { t吨 ∈ X（X） : t吨 ≺ x个 } ， { t吨 ∈ X（X） : x个 ≺ t吨 } ， { t吨 ∈ X（X） : t吨 ≺ * x个 } ， { t吨 ∈ X（X） : x个 ≺ * t吨 } ， { t吨 ∈ X（X） : t吨 ≺ * * x个 } 最后， { t吨 ∈ X（X） : x个 ≺ * * t吨 } 都是拓扑τ中的开集。
当我们在拓扑空间上被赋予区间序时 ( X（X） ， τ ) 其中拓扑结构 τ 是自然的，以下重要的部分回答了刻画拓扑空间上区间序的连续可表示性的问题 ( X（X） ， τ ) 出现。这一重要结果的证据可以在[46]第310-312页的定理1。
定理 6
设X是一个赋拓扑τ的非空集。设≺是X上的区间序。还假设拓扑τ相对于区间序\8826]是自然的。以下陈述等效：
（i） 
区间序≺是区间序可分的。
（ii） 
区间顺序≺可通过一对表示 ( 单位 ， V（V） ) 连续实值函数的组合，因此，U表示总预序 ≾ * * V表示总预订单 ≾ * .
备注 26
据我们所知，定理6所述的结果是迄今为止关于区间阶连续可表示性的最佳结果。然而，定理6只是对刻画区间序的连续可表示性这一尚未解决的问题的部分回答。这是因为还没有提到成对存在的可能性 ( u个 ， v（v） ) 表示≺的连续函数，但其中一个u不表示 ≾ * * 或v不代表 ≾ * 在这个方向上，可以在第3节中看到一些进一步的讨论[129]，其中已经实现了刻画区间阶连续可表示性问题的其他（仍然是部分）解决方案。这些是基于不同于年发布的主要结果所涉及的拓扑条件[46]. 关于半序的连续可表示性[128]最近也得到了一些局部特征。
结束语第5节，我们仍然应该注意定义在非空集上的区间序和半序的表示性X（X）其中出现了一些额外的代数结构（例如，半群），在某种意义上，它与排序兼容。
然而，也许令我们惊讶的是，定义在非空集上的区间序的可加表示的存在X（X）实际上可能会迫使区间阶退化，因此其伴随是一个总的前序，如下一个定理7所示。
定理 7
设S是一个赋有结合二元运算∘的非空集。（即：结构 ( S公司 ， ∘ ) 是一个半群。）设≺为S上定义的区间序。假设\8826'在以下意义上与∘兼容： 一 ≺ b条 ⇔ 一 ∘ c（c） ≺ b条 ∘ c（c） ⇔ c（c） ∘ 一 ≺ c（c） ∘ b条 适用于所有 一 ， b条 ， c（c） ∈ S公司 ). 那么，如果区间序≺允许通过一对表示 ( u个 ， v（v） ) 此外，u和v都是相加的（即。， 一 ≺ b条 ⇔ v（v） ( 一 ) ≺ u个 ( b条 ) ; u个 ( 一 ∘ b条 ) = u个 ( 一 ) + u个 ( b条 ) ; v（v） ( 一 ∘ b条 ) = v（v） ( 一 ) + v（v） ( v（v） ) 坚持每一个 一 ， b条 ∈ S公司 )，那么≾确实是一个总的预订单。特别是，≾和～都是及物的。
证明。 
参见中的定理3[1]。 ☐

6.不敏感过程

回到热力学方法，我们注意参考[73]以及第3节[1]。
我们纳入的大多数研究第6节已经出现在[1]. 然而，由于我们的意图是在本手稿中提供一份关于熵的数学基础的结果的调查，因此我们决定将它们再次纳入第6节为了完整起见。
因此，在论文摘要中[73]，其中一条写道：
< < 虽然传统热力学受其第零定律的约束，并且基本上是传递的，但竞争热力学的传递性取决于竞争规则的传递性。不敏感性在现实世界中很常见，并对竞争系统中的常见行为负责。 > >
考虑到类似的想法[38]，据称：
< < 虽然物理热力学总是可传递的，但表观热力学不能先验地说明这一点。 > >
因此，在这个阶段寻找一种合适的数学方法来解释状态空间中出现的不及物性是很有趣的。
参考文献的附录中已经介绍了一种可能的数学设置，可以帮助我们做到这一点[73]. 然而，无论是在该研究中还是在最近的研究中[38]中刚刚定义和分析的区间序的关键概念第2节和第5节目前的手稿已被用作工具。
我们认为，如中所示[1]为了处理不及物性，区间序的概念是关键概念，而区间序的结果应被视为主要手段。
备注 27
事实上，尽管它们已经隐含在维纳的作品中（参见[41])在另一个术语下，人们普遍认为，后来（重新）引入了区间顺序，以更好地理解心理学（测量理论）或经济学（效用函数）中出现的典型情况，其中，在相应的模型中遇到了与偏好概念相关的一些不及物性（参见，例如[39，40，42，43，130]). 请记住，与定义在非空集X上的区间序相关联的无差异关系～（或等价的关系≾）是可传递的当且仅当 ≾ * ， ≾ * * 和≾重合，在这种情况下\8830]实际上是X上的总预订单（参见定义13）。
顺便说一句，区间顺序≺总是可传递的。只有其关联关系～和≾才可能无法传递。
例子 2
在～不具有传递性的情况下，可以说，实验或过程中出现的某些情况通常被解释为矛盾。例如，在理论计算机科学中，当多台计算机在分布式计算中工作时，给定一个任务x，我们可能会注意时间间隔 [ 秒 ( x个 ) ， （f） ( x个 ) ] 其中任务x由计算机系统执行，因此 秒 ( x个 ) （分别为， （f） ( x个 ) )是任务x开始（分别完成）的时刻。因此，我们可以为每个任务指定相应的时间间隔，并相应地声明任务x相对于另一个任务y“完全先于”，如果 （f） ( x个 ) < 秒 ( 年 ) 显然，我们可以表示的这个优先关系是一个可表示的区间序。当不同任务对应的两个时间间隔重叠时，有时我们可以看到两个任务都处于活动状态（同时），因此我们可以将其解释为“同时”。这对应于关联关系，在这种情况下不可传递。关联的二元关系也会发生同样的情况，因此，如果我们将（而不是更严格的）作为二元关系，它也表达了“优先”的概念（但比以前弱），则“不及物性”听起来像是“自相矛盾的”。
事实上，这种不敏感性也可能发生在物理过程和/或化学反应中：因此，正如在[73]，我们有：
< < 化学反应中可能发生不敏感反应。众所周知，Belousov-Zhabotinsky反应在均匀混合物中表现出循环化学行为，这是不寻常的，因为大多数化学动力学倾向于单调收敛到平衡或稳定状态。（…）能够充分模拟Belousov-Zhabotinsky反应的最简单的化学动力学方案是Oregonator[131]. 这个方案涉及一个基本的不及物性。 > >
记住，如果状态空间的可及性关系是一个总的前序，那么这种不及物性就永远不会发生。
此外，如中所述[73]:
< < 之所以选择考虑不及物性，并不是因为不及物能立即解释周围世界的所有复杂性，而是因为传递性竞争当然不能。这并不妨碍许多特定特征具有完美的及物性解释，而不及物性与更复杂的效果相关。（……）然而，值得提请读者注意与不及物行为相关的当前尚未解决的问题。 > >
此外，在[76]，提交人声称：
< < 如果简单地对待，不及物性似乎是不合逻辑的，但它在本质上是常见的，需要研究。 > >
考虑到上述参考文献中遇到的这些最后评论，以及[1]，我们可以对几个物理或化学过程中遇到的不及物行为问题给出一些答案。为此，我们的主要工具是区间序的概念及其通过两个实值函数的数值表示（如果可用）。因此，在第5节当处理物理或化学过程时，上述事实可以用来解释热力学中观察到的典型不敏感性。
备注 28
然而，在第6节，铭记于年推出的成果第5节，我们将只解释从区间序导出的不及物性的情况。这些不敏感性可以用两个不同的熵函数来处理。然而，当不及物性具有完全不同的性质时，相应的研究仍处于开放状态。在这个阶段，我们应该注意到，显然，并非所有可能定义在非空集上的不及物二元关系都与区间序有关。还有其他不同类型的不及物性，我们在本手稿中没有考虑。
首先，让我们注意到区间序在非空集上的数值表示性X（X），通过一对 ( u个 ， v（v） ) 实值函数的 一 ≺ b条 ⇔ v（v） ( 一 ) < u个 ( b条 ) 适用于所有 一 ， b条 ∈ X（X） 已经通过区间序可分离性条件在定理4中进行了刻画。
然而，关于在热力学环境中用熵解释定理4的可能性，还没有任何论断。例如，我们可能想知道 u个 ， v（v） 在某些特殊解释中，出现在代表区间顺序的对中的熵确实是熵。
对最后一个问题给出肯定答案的起点是对非空集上与区间序≺相关的迹的解释X（X）如定义13所述， 一 ≺ * b条 ⇔ 一 ≺ c（c） ≾ b条 对一些人来说 c（c） ∈ X（X） 、和 一 ≺ * * b条 ⇔ 一 ≾ c（c） ≺ b条 对一些人来说 c（c） ∈ X（X） ( 一 ， b条 ∈ X（X） ) . 看一眼最后的表达就知道 ≺ * （分别为， ≺ * * )以作文形式出现” ≺ ∘ ≾ “（分别为，” ≾ ∘ ≺ “）的两个二进制关系X（X）还请记住，它们的关联关系 ≾ * 和 ≾ * * 实际上是给定集合上的预订单总数X（X）（参见，例如[45]).
鉴于 一 ， b条 ∈ X（X） ，我们可以观察到 一 ≾ * b条 ⇔ ¬ ( b条 ≺ * 一 ) 然而 b条 ≺ * 一 只是声明没有 c（c） ∈ X（X） 这样的话 b条 ≺ c（c） ≾ 一 换句话说，对于任何 c（c） ∈ X（X） 确实如此 b条 ≺ c（c） ⇒ 一 ≺ c（c） .呼叫 R（右） ( x个 ) = { c（c） ∈ X（X） : x个 ≺ c（c） } ( x个 ∈ X（X） ) ，我们到达 一 ≾ * b条 ⇔ R（右） ( b条 ) ⊆ R（右） ( 一 ) 同样，我们也有 一 ≾ * * b条 ⇔ ¬ ( b条 ≺ * * 一 ) 这里是对 t吨 ≺ * * 秒 告诉我们没有 c（c） ∈ X（X） 这样的话 b条 ≾ c（c） ≺ 一 同等意义上，适用于所有人 c（c） ∈ X（X） 确实如此 c（c） ≺ 一 ⇒ c（c） ≺ b条 。因此，呼叫 我 ( x个 ) = { c（c） ∈ X（X） : c（c） ≺ x个 } ( x个 ∈ X（X） ) ，我们明白了 一 ≾ * * b条 ⇔ 我 ( 一 ) ⊆ 我 ( b条 ) .
如果≺可以通过一对表示 ( u个 ， v（v） ) ，如下一个关键定理8所述，这种表示法仍然可以改进，该定理在第5节.
定理 8
设X是非空集。设≺代表给定集合X上定义的区间顺序。以下语句等价：
（i） 
区间顺序≺可通过一对表示 ( u个 ， v（v） ) 实值函数（即。， 一 ≺ b条 ⇔ v（v） ( 一 ) < u个 ( b条 ) 适用于所有 一 ， b条 ∈ X（X） ).
（ii） 
区间顺序≺可通过一对表示 ( 单位 ， V（V） ) 实值函数的附加属性U表示总预序 ≾ * * （即， 一 ≾ * * b条 ́ 单位 ( 一 ) ≤ 单位 ( b条 ) ( 一 ， b条 ∈ X（X） ) )，而V代表总预订单 ≾ * （即。， 一 ≾ * b条 ⇔ V（V） ( 一 ) ≤ V（V） ( b条 ) 适用于所有 一 ， b条 ∈ X（X） ).
证明。 
请参阅[45]第175-181页的定理1。 ☐
备注 29
这个定理8并没有说明任何数值表示 ( u个 ， v（v） ) of≺是这样的，u代表 ≾ * * v代表 ≾ * 相反，据说如果有一对 ( u个 ， v（v） ) 表示间隔顺序≺，则有另一个 ( 单位 ， V（V） ) （可能不同！）用U表示 ≾ * * 和V代表 ≾ * 顺便说一句，注意，与定理6不同，定理8不涉及连续性。
回到热力学方法，让我们现在讨论最后一个结果，即定理8，如何与Carathéodory的公理学相协调，以便研究状态空间上的可达性关系S公司是不及物的。正如中已经暗示的那样[73]为了解释某些过程，可能应该考虑多个熵。
用克里蒙科自己的话来说（参见[73]):
< < 在非平衡现象中，物理熵的产生通常很高，这与热力学定律完全相符。虽然没有人知道直接违反热力学定律，但热力学很难解释复杂性，这通常在本质上的非平衡现象中观察到：湍流混合和燃烧以及生命形式的进化可能是典型的例子。湍流涨落的熵似乎不是最大的，这同样适用于表征其他复杂非平衡过程中分布的熵。这些熵与分子熵有相似之处，但又不同，分子熵表征了分子运动的无序性，并受热力学定律的制约。我们用视熵这个术语来区分类熵和分子熵。 > >
这个关键思想，即使用一个以上的熵，似乎也支持了[38]，即：
< < 物理热力学总是传递的，但在表观热力学方面却不能先验地说明这一点。 > >
换句话说，似乎在几个过程中，至少涉及两种（而不是一种）不同的热力学行为，我们可以称之为“物理”和“表观”。因此，考虑两种不同但密切相关的熵而不仅仅是一种熵似乎也足够了。我们认为，希望这能帮助物理学家或化学家更好地解释和理解观察到某种不敏感性的实际情况。
在年进行的研究中[73]关于不及物竞争的热力学行为，如果出现至少一个不及物三元组，则认为竞争是不及物的。
克里蒙科[73]然后声称：
< < 一般来说，不及物竞争不能引入一致的排名，但如果竞争在这些子域内是传递的，则通常可以将排名分配给子域。然而，应该注意的是，在不同子域中分配的排名将产生多值函数，并且当竞争不敏感时，不能使彼此完全一致。 > >
与克里蒙科的方法不同[73]，我们应该在这里指出，定理8提出了以下重要建议：
（i）
我们需要使用两个排名，而不是一个排名。其中一个是由单位另一个来自V（V）.
（ii）
两种功能单位，V（V）对整个领域采取行动。这里没有必要考虑集合上先验给定的区间序传递性的子域X（X）.
（iii）
功能单位和V（V）可以理解为彼此“完全一致”。它们相互依存，因为它们共同代表给定的间隔顺序。
再次回到热力学设置，现在我们可以假设状态空间S公司具有可访问性关系（在这种情况下是不对称的），例如↪, 这就是现在的区间顺序。我们现在可以考虑它的迹及其相应的伴随词。记住，这些伴随是相系统上的总前序S公司这将允许我们独立地对痕迹的每个伴随项使用Carathéodory公理↪ 为了找到表示它们的熵函数，我们总结出，如定理1所述，保证表示总前序的效用函数存在所必需的完全可分性条件是由这两个伴随实现的。因此，这种方法与Carathéodory和Cooper的公理集一致（参见[18])热力学中的经典。
然而，使用区间序理论，我们实际上可以更进一步。定理8实际上允许我们构造两个熵函数 单位 ， V（V） 同时，在附加条件下 ( 单位 ， V（V） ) 代表↪ 此外， 单位 ( 秒 ) ≤ V（V） ( 秒 ) 为每个保留 秒 ∈ S公司 以便单位和V（V）确实可以解释为一对熵，使得其中一个占主导地位（即大于）另一个，就像物理和化学过程中遇到的表观熵与分子熵的典型情况一样。
因此，为了通过一对纠缠的熵函数以合理的方式处理不及物性，我们需要状态空间S公司被赋予二元关系↪ 是满足可分离性条件的区间序。最后，如果我们也对↪ 关于某些拓扑 τ 关于相位系统S公司，对拓扑有相当好的限制 τ 是那个吗 τ 间隔顺序自然。在这种情况下，定理6在这种背景下至关重要。
因此，遵循[1]并总结了第6节，我们向物理学家或化学家指出以下建议，以便分析可以注意到某些不敏感的过程：
（i）
如果化学或物理过程表现出不敏感性，则应使用两个熵函数，而不是一个。
（ii）
这两个熵函数中的一个应该小于另一个。
（iii）
一旦获得并识别了这两个熵函数（这取决于所考虑的过程），就试图通过对可达性关系建模的可表示区间次序来解释观察到的不及物性。
（iv）
除了在化学或物理过程中观察到的不敏感性之外，可能出现的其他特征可能取决于其他不同的附加数学结构。因此，要分析与混合和竞争有关的问题，可能需要考虑一些代数结构（例如，半群）。此外，为了处理连续性、连通性或度量性以及其他可能的特征，必须使用一些拓扑概念。
（五）
确定待分析过程的数学性质也是至关重要的。然而，纯粹的不及物性与数学有序结构有关，混合和竞争迫使代数结构的介入，连续性需要在状态空间上定义一些拓扑。当然，所有这些数学结构并不是相互独立的：它们在所考虑的过程中相互作用，但在某种程度上，它们各自主要负责我们感兴趣的某些特定方面（例如，不及物性）。

7.有序结构数值表示的构造

进一步浏览第2节所有与熵有关的预备知识再次提醒我们，热力学定律框架中出现的熵的大多数常用定义都是通过一些积分给出的。
我们可以说，这个事实来自物理证据、实验等，也有道理。因此，熵的数学背景只是一个基础（也许我们可以把它当作一个基石），以抽象和严格的方式证明物理学家或化学家在她/他的实验室中观察到的一切。
好吧，即使所有这些在形式上都是正确的，我们可能仍然想知道是否有可能构造由数学积分得到的排序的数字表示。
为了解决这个问题，我们可以从考虑定义在非空集上的可表示的总预序开始X（X）因此，我们知道≾接受一个表示它的效用函数。事实上，如果X（X）被赋予拓扑 τ 这是很自然的 τ 也可以找到关于拓扑连续的≾的数值表示 τ 在X（X）和实线上常见的欧几里德拓扑。
然而，现在的问题是：
≾的一些数值表示可以通过某种积分以自然的方式构建吗？
关于≾？的连续效用函数呢？。
这绝非易事！
在这里，我们应该注意文献中已经介绍的总前序的数字表示的构造（例如，效用理论、熵等）。
关于总前序的数值表示，一些经典结构出现在[106]以及参考文献的前四章[44]，以及许多其他来源。
因此，对于非空集的特殊情况X（X）是有限的，并且它被赋予一个总（线性）阶⪯，给定 x个 ∈ X（X） 我们可以定义 n个 ( x个 ) 作为集合的基数 { z（z） ∈ X（X） : x个 ⪯ z（z） } 。很明显 x个 ⪯ 年 ⇔ n个 ( x个 ) ≤ n个 ( 年 ) 适用于任何情况 x个 ， 年 ∈ X（X） 这座建筑确实很古老。它基本上出现在康托的著名论文中[132，133]. 乔治·康托被认为是研究有序结构数值表示的先驱。
备注 30
当处理有限集上定义的不同经典序（例如，总前序、区间序和半序）的数值表示时，数学技术主要来自组合数学（这方面的一本优秀的书是[134]). 然而，当使用无限集时，这些技术是完全不同的，并且基于一般拓扑、实分析等[44]。
现在，假设X（X）是无限的，但可以计数 X（X） = { x个 n个 : n个 ∈ N个 } 它被赋予了一个总的秩序。在这种情况下，我们定义了一个合适的函数 u个 : X（X） → R（右） 如下所示：
u个 ( x个 k个 ) = ∑ 我 : x个 我 ⪯ x个 k个 1 2 我 ( k个 ∈ N个 ) .
同样，很容易看出这一点 x个 k个 ⪯ x个 我 ⇔ u个 ( x个 k个 ) ≤ u个 ( x个 我 ) ( k个 ， 我 ∈ N个 ) ，所以u个是表示⪯的实用函数。
什么时候？X（X）是无限的（但现在可能是不可数的），并且⪯是X（X），首先我们取一个可数子集 天 ⊆ X（X） 如此一来 一 ， b条 ∈ X（X） 具有 一 ≺ b条 存在 d日 ∈ 天 这样的话 一 ⪯ d日 ⪯ b条 （参见中的定理1第3节). 然后，我们表示⪯对可数子集的限制天如前所述，通过适当的系列。最后，一个实用函数u个定义于天可以扩展到整套X（X）。要这样做，给定 x个 ∈ X（X） 我们可以定义 u个 ( x个 ) = 支持 { u个 ( d日 ) : d日 ⪯ x个 ， d日 ∈ 天 } 。我们可以证明此扩展定义了集合上⪯的数值表示X（X）.
从连续性的角度来看，前提是X（X）被赋予了一些拓扑 τ 就总订单而言，这是很自然的X（X），以上所有基于级数的构造都很麻烦。原因是它们在每个 d日 ∈ 天 这真的很遗憾，因为如果我们想要手头有连续的效用函数，它迫使我们使用其他不同的技术。在这个阶段，著名的Debreu的开隙引理（参见第3节)来救我们。通过这个关键结果，我们可以最终构建一个表示⪯的连续效用函数。然而，几乎所有已知的引理1的证明都是相当困难的，而且从这个意义上说，它的构造过于理论化，远远超出了它的可能可视化。
无论如何，通过德布鲁的开缺口引理，我们证明了连续效用函数的存在性。然而，这还不能解决我们以前的问题，因为我们不知道这种新的连续效用函数是否作为一个合适的积分出现。
同样，需要采取新的步骤。因此，如果 u个 : X（X） → R（右） 是一个表示⪯的实用函数，并且相对于顺序拓扑是连续的 τ ⪯ 在X（X）和实线上的常用拓扑，通过组合u个对于另一个合适的连续函数，一个严格递增的函数，我们可以在不损失一般性的情况下考虑u个在中接受值 ( 0 ， 1 ) 然后，我们可以“传输”勒贝格测度 μ 关于单位区间 ( 0 ， 1 ) ，到集合X（X），如下所示：根据定义，现在是一组可测量的X（X）是一个子集 Y（Y） ⊆ X（X） 这样的话 { u个 ( 年 ) : 年 ∈ Y（Y） } ⊆ ( 0 ， 1 ) 勒贝格是可以测量的。这样，我们可以解释 μ ( { u个 ( 年 ) : 年 ∈ Y（Y） } ) 作为Y（Y）.这样，上的勒贝格积分 ( 0 ， 1 ) 也可以运输到X（X）通过效用函数u个.
可以看出，所有这些都需要太多步骤，而我们的直觉可能会在这个过程中丢失。然而，至少我们可以说，从理论上讲，可以用一些积分来定义总阶的连续特殊数值表示。
结束语第7节，我们指出，在关于有序结构的数值表示的专门文献中，使用积分定义效用函数的情况非常少见。（参见示例[44，64，65，67，90]).

8.讨论

如中所分析第6节，在各种物理或化学过程中遇到的不互易性可以通过区间序和一对熵而不是一个熵来处理。
我们已经知道，区间阶可分离的区间阶的经典数值表示使用两个实值函数。然而，我们可以说这是因为，给定一个非空集X（X）赋予区间序≺，我们想用实值映射来表示\8826]。在这一点上，我们可以考虑其他替代表示法，其中使用的函数的余域不再是实线 R（右） ，但是，相反，一些其他合适的集合，例如Z轴，也被赋予了一些特殊的排序。在这个方向上，在专业文献中的一些论文中，已经使用了其他的余域，例如，非标准数字（参见，例如[135])，组模糊数（请参见[136])，单位正方形的合适子集或类似（参见[120，137，138])，或词典产品和权力（参见[139，140]). 其思想是，为了表示，例如，总的前序、区间序或半序，共域只能表示一个映射X（X）进入之内Z轴（另请参阅[141]).
在这一点上，一个值得注意的事实是，当通过熵研究不敏感性及其相应的解释时，除了纯数学之外，这种设置还被使用，例如，在经济学的效用理论中，还没有在热力学中实现。这种设置会引起考虑熵函数，而不是在实线上取值，其定义方式应确保其余域是具有良好属性的替代集。据我们所知，这将是新的，也许它还应该以其他完全不同的术语对热力学定律进行一些改写，以给由积分定义的熵函数留出空间，这些积分不取实线上的值，而取其他替代测度空间上的值。

9.进一步评论、未决问题和结论

9.1. 一些进一步的评论

本文旨在综述有序结构数值表示理论中的主要结果。这是数学背景，有助于我们更好地理解热力学中熵的概念。
至少，这种数学方法突出了Carathéodory的先驱论文（参见[51]). 然而，同样重要的是，不仅熵，而且其他跨学科设置，都依赖于完全相同的数学背景。这是经济学中效用理论的例子（参见[2，三，4，5，6，7，8，9])，信息论（参见[14])，心理学中的测量理论（参见，例如[12])，甚至一阶逻辑中出现的关系系统（参见[142]). 因此，似乎有必要注意这样一个事实，即在热力学熵理论中也可以看到效用理论中产生的一些结果，当然，这些结果使用了不同的语言和命名法，并适应了相应的设置。反之亦然，公理热力学中的一些结果实际上等同于效用理论、测量理论等的经典结果。我们这里并不是说，比如说，对熵感兴趣的物理学家应该熟悉经济学或心理学中的结果。我们想指出的是，所有这些科学集体（物理学家、化学家、经济学家、理论心理学家等）都应该意识到，他们正在处理的理论具有完全相同的基础。因此，所有这些都应该被用来在一个更抽象的纯数学环境中工作，这实际上是他们正在研究的理论的基石和根源，无论是哪一个。举一个明显的例子，我们可以再次考虑Debreu的开隙引理，现在被数学界公认为有序结构理论中最有力的结果之一。这一结果是通过一本名为《国际经济评论》（International Economic Review）的经济学杂志发布的。
在这个阶段，物理学家可以相信，仅举一个例子，经济学中的效用理论实际上可以导致在热力学中构建合适的熵函数。相反，经济学家可能认为热力学知识可以帮助她/他建立效用函数。然而，真正发生的是，这两种理论有着相同的数学基础。因此，如果我们深入到基础层面，看看抽象的结果，我们就可以在我们感兴趣的特定领域中使用它们，无论它来自经济学、物理学或其他学科。从效用理论到熵，这样做的途径如下：（1）考虑效用理论中的一个经典结果。（2） 用数学术语来说，这是一个纯粹的抽象结果，产生于有序的数值表示理论。（3） 用物理术语重写它，例如，所考虑的空间是一个相位系统，而数值表示是一个熵函数。
让我们通过一个简单的例子来分析这一点，在这个例子中，相应的解释将取决于我们所从事的学科。
例子 三。
考虑下图：
公理07 00029 i001
1 
对于一个数学家来说，这个图可以解释为集合上的总预序 X（X） = { A类 ， B ， C类 ， 天 ， E类 } 这样的话 A类 ∼ A类 ， A类 ∼ B ， A类 ≺ C类 ， A类 ≺ 天 ， A类 ≺ E类 ， B ∼ B ， B ≺ C类 ， B ≺ 天 ， B ≺ E类 ， C类 ∼ C类 ， C类 ≺ 天 ， C类 ≺ E类 ， 天 ∼ 天 ， 天 ∼ E类 ， E类 ∼ E类 。此总预订单的数字表示为函数 u个 : X（X） → R（右） 由提供 u个 ( A类 ) = u个 ( B ) = 1 ; u个 ( C类 ) = 2 ， u个 ( 天 ) = u个 ( E类 ) = 三 .
2 
对于从事计算机科学工作的人来说，这个图可以表示连接在他们之间的几台计算机要完成的任务。节点C表示的任务需要完成任务A和B。此外，在开始由节点D和E表示的任务之前，我们需要完成由C表示的任务。因此，可以使用拓扑排序（请参见[34])或任何类型的图形熵（请参见[32])，我们将决定如何开始和分配任务（例如： A类 负极 B 负极 C类 负极 天 负极 E类 ， B 负极 A类 负极 C类 负极 E类 负极 天 等）。
三。 
对于化学家来说，这个图表可以表示一个反应，例如 H（H） C类 我 + N个 一 O（运行） H（H） → N个 一 C类 我 + H（H） 2 O（运行） 。节点A（分别为B）表示具有 H（H） C类 我 （分别与 N个 一 O（运行） H（H） )节点C是这些组分反应的另一个接收者，节点D和E对应于收集反应结果的新接收者，即盐和水。从熵的观点来看，我们可以把它理解为一个相系统 S公司 = { 秒 ， t吨 ， u个 } 这样的话 秒 = { A类 ， B } ， t吨 = { C类 } 和 u个 = { 天 ， E类 ， } 这样的话 秒 ⇝ * t吨 ⇝ * u个 这意味着，吸收酸和碱，让它们反应，得到盐和水的过程是不可逆的。根据熵 （f） : S公司 → R（右） 我们应该吃这个 （f） ( 秒 ) < （f） ( t吨 ) < （f） ( u个 ) .
4 
对于从事心理学工作并试图测量人类技能的人来说，图表可以表示这样一种情况：一个人学习由节点a和B表示的两个学科（例如语言和诗歌），获得由节点C表示的博士学位，然后出版由节点C和D表示的两本书。这也可以由测量功能控制，例如 米 : { A类 ， B ， C类 ， 天 ， E类 } → R（右） 由提供 米 ( A类 ) = 米 ( B ) = 1 ; 米 ( C类 ) = 2 ， 米 ( 天 ) = 米 ( E类 ) = 三 ，这让我们了解了这个人技能的演变，因此 { A类 ， B } （第一级）对应于学习， { C类 } （二级）相当于获得博士学位，以及 { C类 ， 天 } （三级）相当于具有出版图书的能力。
5 
对于经济学家来说，前面的图表可能对应于一家公司想在五名候选人中招聘人员的情况 { A类 ， B ， C类 ， 天 ， E类 } 这样A和B一样好，而C比A或B好，最后D对E一样好，比C好。这也可以用一个合适的效用函数来表示 单位 : { A类 ， B ， C类 ， 天 ， E类 } → R（右） 例如， 单位 ( A类 ) = 单位 ( B ) = 8 ; 单位 ( C类 ) = 9 ， 单位 ( 天 ) = 单位 ( E类 ) = 10 计算每个候选人在由十个项目组成的测试中获得的分数。
在这种程度上，也许有必要手头有一本好的数学杂志，收集在这些理论和抽象背景下取得的新进展，以便所有多学科的科学集体可以将其作为抽象结果的主要参考。好吧，这就是《订单》杂志的创刊理念（仅举一个明确的例子）。然而，该期刊于1984年创刊，显然，熵理论、效用理论、测量理论、有序结构数学理论等领域的大多数经典成果早就出现了，不幸的是，它们分散在各种科学期刊中。
事实上，有序结构数值表示的数学理论中的许多经典和关键结果首次出现在纯数学家研究（例如代数或微分学）所不太熟悉的期刊上。
因此，即使数学家普遍认为它们是有序结构数值表示理论中的一些关键概念和结果，并因此被纳入该理论的数学文本中，但一些关键的成就还是在专门研究经济学或心理学的期刊上发表了。这是著名的Debreu的开隙引理（参见[54])或者研究区间阶的主要性质（参见[42]). 事实上，在《数学经济学杂志》或《数学心理学杂志》等期刊上，有一个使用有序结构的强大传统。
从研究有序结构的纯粹数学家的角度来看，遗憾的是，认识到“有序”这个主题分散在各种数学学科中，包括代数、数学分析、组合数学或一般拓扑。不幸的是，它似乎还没有达到与数学其他经典分支相同的地位。
最近，《公理》杂志关注基于公理设置的构造。显然，其中一些结构可能与有序结构及其跨学科应用有关，如本手稿所示。

9.2. 有待进一步研究的问题和建议

在这一理论中出现的开放性问题中，我们指出了以下几个问题：
（i）
区间阶连续可表示性的一般特征尚未得到最新的实现。
（ii）
对于半序的连续Scott–Suppes表示的存在性，也没有一般的刻画。
（iii）
基于某些积分的总前序数值表示的直接构造也是未知的。
关于熵，一个公开的问题可能是通过积分来考虑熵的概念，这些积分采用与实线不同的余域值。也许这会迫使重写热力学定律的某些方面。
现在，我们为基于Scott–Suppes可表示半序概念的进一步研究提供了一些有吸引力的建议，该概念已经在第5节我们提醒读者，定义15声明定义在非空集上的半序X（X）如果存在函数，则在Scott和Suppes意义上是可表示的 u个 : X（X） → R（右） 和一个常数 k个 > 0 这样的话 一 ≺ b条 ⇔ u个 ( 一 ) + k个 < u个 ( b条 ) 适用于所有 一 ， b条 ∈ X（X） 。这里真正重要的是这样的常数 k个 > 0 可以解释为“歧视门槛”（参见，例如[39，40])或者作为“量子”。因此，通过函数u个，两个对象 x个 ， 年 ∈ X（X） 差异小于“量子”k个（即。， | u个 ( x个 ) 负极 u个 ( 年 ) | < k个 )在某种意义上，可以被视为无关紧要。在物理、化学等领域可能出现的一些应用中，这可能会导致我们认为两个事件“无法区分”。在这个方向上，在当今的化学和物理学中，人们可能会遇到一些值得关注的情况（例如，小尺度、多尺度分析，见[143，144])并且可以为“量子”概念的使用提供空间。在相应的文献中已经考虑了使用半序来分析量子理论的某些特定特征（参见，例如[145，146]). 然而，它作为处理化学和/或物理中出现的量子过程的潜在有用设备的系统和标准使用似乎仍处于开放状态。在此阶段必须指出，“量子”的概念已经在熵理论中使用，或者更广泛地说，在热力学中使用（参见，例如[147，148，149，150]). 因此，Scott–Suppes可表示半序理论在未来可能会发挥重要作用，以更好地理解各种量子理论中出现的与某些不及物性相关的情况。

9.3条。结束语

遵循已在年推出的想法[1]，我们可以在此声明，我们的目标是展示一些事实和结果，这些事实和结果可以通过非常规数学方法来构建和解释，而主流实验和理论化学和/或物理期刊，尤其是那些致力于熵研究的期刊的普通读者通常对此并不熟悉。为此，我们在这里介绍了有序结构数值表示的数学理论中产生的主要结果，试图证明这是熵理论所依赖的数学背景。因此，我们试图解释熵理论公理学中出现的几个关键概念是如何与有序结构数学理论中的经典主题对应的。特别是，使用区间序和半序来解释不及物性是达到我们目标的关键。
我们对思想的设定和阐述是抽象的，有很多数学形式主义。我们无意分析化学或物理不及物过程的一些具体例子。相反，我们想提供一个新的数学基础来设置和解释这些情况，以及我们如何使用来自热力学的经典思想来处理这些情况，特别是Carathéodory公理，以及由区间序和半序理论组成的数学背景。因此，对过程和实验中遇到的实际情况的分析是开放的。然而，我们建议对具体应用和/或实际构造感兴趣的读者查看参考文献列表中的几个来源。仅举一个例子，我们在[38]对出现不及物性的各种现实情况进行了深入的考虑和分析。此外，看看参考文献也很有趣[1，2，5，6，7，9，10，12，13，14，16，17]为了比较熵和相关项目的许多跨学科应用，其中还考虑并讨论了每个学科中的几个实际情况和示例。

作者贡献

本文的两位作者，即M.-J.C.和E.I.是数学家。我们中的一个（A.R.-P.）拥有数学和物理学位。C.G.-P是一位物理学家。显然，数学家们更加关注与有序结构的数值表示性有关的一切，而物理学家们则把重点放在检查与熵有关的一切。此外，M.-J.C.和A.R.-P.目前正在一家专门研究经济学相关主题的研究所工作，因此，手稿中对效用理论的所有提及也都受到了他们的控制和检查。

致谢

这项工作得到了研究项目ECO2015-65031-R、MTM2015-63608-P（MINECO/AEI-FEDER，UE）、0011-1365-2016-000060、PC003-004-005 DRUG-MAG、TIN2016-77356-P（MINECO/AEI-FEDER，EU）和0011-1365-2017-000118的部分支持。感谢编辑和两位匿名审稿人提出的宝贵建议和意见，这些建议和意见导致了本版手稿的许多改进。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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分享和引用

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Campión M-J、Gómez Polo C、Induráin E、Raventós-Pujol A。公理熵的数学基础综述：可表示性和有序性。公理. 2018; 7(2):29.https://doi.org/10.3390/axioms7020029

芝加哥/图拉宾风格

坎皮翁（Campión）、玛丽亚·杰苏斯（María-Jesús）、克里斯蒂娜·戈梅斯·波罗（Cristina Gómez-Polo）、埃斯特班·因杜拉（Esteban Indurain）和阿玛雅克·拉文托斯·普约尔（Armajac Raventós-Pujol）。2018.“公理熵数学基础调查：可表示性和有序性”公理7号，第2页：29。https://doi.org/10.3390/axioms7020029

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