Properties of Various Entropies of Gaussian Distribution and Comparison of Entropies of Fractional Processes

Malyarenko, Anatoliy; Mishura, Yuliya; Ralchenko, Kostiantyn; Rudyk, Yevheniia Anastasiia

doi:10.3390/axioms12111026

开放式访问第条

高斯分布各种熵的性质及分数过程熵的比较

¹

瑞典Västerås 721 23，Mälardalen大学数学和物理系

²

乌克兰基辅塔拉斯舍甫琴科国立大学概率论、统计和精算数学系，基辅沃洛德米尔斯卡街64/13号，邮编：01601

^*

信件应寄给的作者。

公理 2023,12(11), 1026;https://doi.org/10.3390/axioms12111026

收到的提交文件：2023年10月5日/修订日期：2023年10月28日/接受日期：2023年10月30日/发布日期：2023年10月31日

（本文属于特刊量子力学和经典物理中的随机过程)

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版本注释

摘要

:

我们考虑了高斯分布的五种熵：香农熵、雷诺熵、广义雷诺熵、Tsallis熵和Sharma–Mittal熵，建立了它们之间的相互关系及其作为参数函数的性质。然后，我们考虑分数高斯过程，即分数、亚分数、双分数、多重分数和回火分数布朗运动，并比较这些过程的一维分布的熵。

关键词：

香农熵;Rényi熵;Tsallis熵;Sharma–Mittal熵;正态分布;分数布朗运动;亚分数布朗运动;双分布朗运动;多重分形布朗运动;回火分数布朗运动

理学硕士：

94A17；60G15；60G22型

1.简介

熵的概念作为动力系统混沌的一种量度，早已为人所知，这一概念在许多应用中得到了应用，从宇宙物理学开始，一直到化学反应、黑客攻击和医学测量。

Shannon引入了随机变量的熵概念[1]描述特定形式的随机性所固有的不可简化的复杂性。如今，熵测度在各个领域都有广泛的潜在应用[2]包括信息理论、机器学习、热力学、信息安全、生物学、金融学、环境科学、社会科学、心理学和复杂系统研究。例如，熵用于数据压缩、决策树构造[三]，统计力学[4]，加密[5]，遗传学[6]、市场分析[7]，气候分析[8]、社交网络分析[9]和心理学研究[10]. 熵度量有助于量化这些领域的信息、可预测性、复杂性和其他特征。

熵的概念与量子信息理论紧密相连[11]. 拉赫曼等人（Rahman et al[12]. 熵在实际应用中发挥着关键作用，尤其是在信号处理和网络流量分析中。它用于开发检测DDoS攻击的算法[13]. 此外，熵测量还应用于医学和生物学研究，通过量化生理复杂性，有助于区分病理和衰老。例如，这些概念被用来区分不同的阿尔茨海默病状态[14]并对帕金森氏病患者的信号进行分类[15].

从数学的角度来看，给定特定密度，概率分布的熵是以密度表示的，对于特定分布，这种熵不难计算。然而，请注意，有许多不同的方法来确定概率分布的熵，从香农熵开始，然后通过添加新的参数（Rényi、广义Rénnyi、Tsallis、Sharma–Mittal熵），这个概念逐渐复杂化和推广。熵的各种定义都具有阿尔弗雷德·雷尼提出的几个基本性质[16].

Rényi熵[16]通过引入一个附加参数推广Shannon熵

α

这允许一系列熵度量。Rényi熵用于量子信息论和量子统计力学。它有助于描述量子系统的纠缠、量子相变的行为和量子态的表征。

广义Rényi熵扩展了Rén yi熵的概念，允许更灵活地选择指数。它被用于各种应用，例如描述湍流的统计，分析生物系统的复杂性，研究凝聚态物理中临界现象的标度特性。

Tsallis熵是Constantino Tsalis提出的Shannon熵的另一个推广[17,18]. 它引入了一个非扩展参数来描述不遵守标准统计力学的系统。Tsallis熵在研究复杂系统、自组织临界性以及对具有长程相互作用的系统进行建模方面具有重要意义。它已被应用于物理学的各个分支，包括天体物理、等离子体物理和高能粒子物理。

Sharma–Mittal熵[19,20]是一个更新的熵测度，它推广了Shannon熵和Tsallis熵。它引入了两个参数(

α

和

β

)控制系统中有序与无序之间的平衡。虽然它还没有像香农熵或查利斯熵那样被广泛采用，但它在物理学的各个领域都有潜在的应用，包括复杂系统和信息论的研究。

总之，这些熵度量为量化广泛物理系统中的信息内容、复杂性和不确定性提供了不同的工具。根据所研究系统的特性和所提出的具体问题，其中一个熵度量可能比其他度量更合适、更具洞察力。

所有指示的熵都可以成功计算（例如，在[21])在高斯分布的情况下，这是本文的主题。然而，在存在熵本身的附加参数（而不是分布）的情况下，熵作为参数的函数的行为立即产生了问题。众所周知，作为参数函数的Rényi熵减小。然而，它的凸性不是一个普遍的性质，并且通常取决于分布([22]). 因此，如果我们专注于高斯分布，我们需要尽可能详细地研究引入的熵的性质。

第2节本文的第页专门讨论这个问题。更准确地说，我们首先回顾了各种熵的定义以及带方差的中心高斯分布的熵的相应公式

σ^{2}

这些熵通常取决于一个或两个正参数，不包括Shannon熵。我们的主要目标是分析这些熵测度作为上述参数的函数所表现出的单调性和凸性。此外，我们还探讨了熵可能没有明确定义的极限情况。这一探索使我们能够通过连续性扩展熵的定义。此外，我们在各种熵概念之间建立了极限关系。为了证实和补充我们的理论发现，我们提供了几个图形说明。值得注意的是，某些理论性质，尤其是Tsallis熵的凸性，在分析上很难进行分析。在这种情况下，我们采用数值研究，以深入了解理论性质。

由于本文致力于研究高斯分布的熵，下一个逻辑步骤是考虑高斯过程，这是在第3节我们将自己局限于分数高斯过程，因为这些对象在技术、金融、经济、生物和其他领域有许多应用。通常，分数过程包含一个额外的参数，例如分数布朗运动的赫斯特指数。在中详细考虑了平稳高斯过程的Shannon熵，包括分数高斯噪声[23]. 多维高斯向量的这个熵的值取决于协方差矩阵的行列式，在更高的维中分析这个行列式是相当困难的。例如，在中研究了分数高斯噪声产生的向量的熵作为赫斯特指数函数的行为[24]其中，假设香农熵随着赫斯特指数的增加而增加H（H）从0增加到

1 / 2

当赫斯特指数H（H）增加自

1 / 2

对1进行了数值验证；然而，对这一更高维度假设的分析验证仍在进行中。考虑到这一点，在本文中，我们决定将自己局限于分数高斯过程的一维分布，而不是扩展所考虑的过程类别。

即，我们比较了以下分数过程的一维分布的熵：分数布朗运动、亚分数布朗运动，黎曼-刘维尔分数布朗运动和双分数布朗运动以及三种类型的多重分数布朗运动（移动平均、沃尔特拉型和可调和），以及第一类和第二类缓和分数布朗运动。我们考虑这些过程的标准化版本，以确保它们的差异

t吨 = 1

等于1。经过这种归一化，我们观察到分数布朗运动、亚分数布朗运动和黎曼-刘维尔分数布朗运动具有相同的熵。类似的公式适用于双分式布朗运动；此外，它的熵可以与分数布朗运动的熵进行比较，这取决于t吨.

对于多重分形布朗运动，我们已经确定了这个过程的移动平均和可调和版本具有相同的熵。这些熵可以与Volterra型多重分形布朗运动的相应熵进行比较，这取决于Hurst函数的行为。最后，对于回火分数布朗运动的两个版本，我们可以根据定义中涉及的乘法常数之间的比率，从数值上比较它们的熵。

我们进行这一比较的原因和目标是从一维分布中包含的信息量的角度考虑分数过程，因为之前对这些过程的比较大多是从它们在金融应用中有趣的轨迹行为的角度进行的，但熵特性在物理应用中更为有趣，例如在计算固体样品的分形维数时。然而，也有一个应用于财务模型。也就是说，分数过程的赫斯特指数影响其轨迹的行为；其减少导致其不规则性，反之亦然。但从熵的角度来看，情况表现出了对时间的依赖性：接近零，更确切地说是从零到一，当赫斯特指数降低时，方差以及熵都会增加，但当时间通过统一时，情况会发生相反的变化。这意味着，与模型不稳定性相对应的所谓粗糙波动率仅在短时间间隔内发挥关键作用。

本文的结构如下。在第2节，我们研究了中心高斯分布的各种熵相对于参数的性质，主要关注单调性和凸性。第3节致力于分数高斯过程的熵。分数布朗运动、亚分数布朗运动和双分数布朗运动在第3.1节中考虑了三种类型的多重分形过程第3.2节和第一类和第二类回火分数布朗运动在第3.3节我们用三个附录来补充我们的论文。附录A包含高斯分布熵公式的推导。附录B包含一个辅助引理，用于研究第2节，同时附录C提供了回火分数布朗运动协方差函数中涉及的特殊函数的定义和性质。

2.正态分布的Shannon、Rényi、广义Rénnyi、Tsallis和Sharma–Mittal熵：熵作为参数函数的性质

由于正态分布中详细考虑了所有类型的熵，因此下面考虑的所有熵的定义1适用于密度分布。所以，让

（f） (x个), x个 \in R（右）

是概率分布的密度。

定义1。

1: 香农熵由下式给出

${H（H）}_{S公司} = - \int_{R（右）} （f） (x个) 日志（f） (x个) d日 x个 .$
2: 带指数的Rényi熵 $α > 0$ 由提供

${H（H）}_{R（右）} (α) = \frac{1}{1 - α} 日志 \int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个 .$
三。: 情形中的广义Rényi熵 $α \neq β, α, β > 0$ 由提供

${H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β) = \frac{1}{β - α} 日志 \frac{\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个}{\int_{R（右）} {（f）}^{β} (x个) d日 x个} .$

广义Rényi熵（在这种情况下 $α = β > 0$ )由提供

${H（H）}_{G公司 R（右）} (α) = - \frac{\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) 日志（f） (x个) d日 x个}{\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个} .$
4: 带指数的Tsallis熵 $α > 0$ , $α \neq 1$ 由提供

${H（H）}_{T型} (α) = \frac{1}{1 - α} (\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个 - 1) .$
5: 具有正指数的Sharma–Mittal熵 $α \neq 1$ 和 $β \neq 1$ 定义为

${H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = \frac{1}{1 - β} ({(\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个)}^{\frac{1 - β}{1 - α}} - 1) .$

现在，让我们考虑均值和方差为零的正态分布的密度函数

σ^{2}

:

（f） (x个) = \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} 经验 (- \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}}) .

下一个命题总结了这个概率密度的各种熵的公式。这些公式是众所周知的（参见，例如[21])并且可以通过简单的计算得到。但为了读者的方便，我们在附录A.

提议 1

以下事实适用于带方差的中心正态分布

σ^{2}

.

(1): 香农熵等于

${H（H）}_{S公司} = \frac{1}{2} (1 + 日志 2 π) + 日志 σ .$

(1)
(2): Rényi熵( $α > 0$ , $α \neq 1$ )等于

${H（H）}_{R（右）} (α) = 日志 σ + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{日志 α}{2 (α - 1)} .$

(2)
(3): 情形中的广义Rényi熵 $α = β$ 等于

${H（H）}_{G公司 R（右）} (α) = 日志 δ + \frac{1}{2 α} = 日志 σ + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{1}{2 α},$

(3)

哪里 $δ : = σ \sqrt{2 π}$ .
(4): 情形中的广义Rényi熵 $α \neq β$ 等于

${H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β) = 日志 σ + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{日志 β - 日志 α}{2 (β - α)} .$

(4)
(5): Tsallis熵( $α > 0$ , $α \neq 1$ )等于

${H（H）}_{T型} (α) = \frac{δ^{1 - α} α^{- 1 / 2} - 1}{1 - α} = \frac{θ^{α - 1} α^{- 1 / 2} - 1}{1 - α} = \frac{σ^{1 - α} {(2 π)}^{\frac{1 - α}{2}} α^{- 1 / 2} - 1}{1 - α},$

(5)

哪里 $θ = δ^{- 1} = {(σ \sqrt{2 π})}^{- 1}$ .
(6): Sharma–Mittal熵 $α, β \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ 等于

${H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = \frac{1}{1 - β} (\frac{{(\sqrt{2 π} σ)}^{1 - β}}{α^{\frac{1 - β}{2 (1 - α)}}} - 1) = \frac{1}{1 - β} (\frac{σ^{1 - β} {(2 π)}^{\frac{1 - β}{2}}}{α^{\frac{1 - β}{2 (1 - α)}}} - 1) .$

(6)

现在，让我们比较一下

{H（H）}_{R（右）} (α)

和

{H（H）}_{G公司 R（右）} (α)

在这一过程中，我们将证明一个简单有用的不等式，我们将在其他证明中使用它。

引理 1

对于任何

σ > 0

,

{H（H）}_{R（右）} (α) < {H（H）}_{G公司 R（右）} (α)

对于

α \in (0, 1)

、和

{H（H）}_{R（右）} (α) > {H（H）}_{G公司 R（右）} (α)

对于

α > 1

.

证明。

它源自(2)和(三)那个

{H（H）}_{R（右）} (α) - {H（H）}_{G公司 R（右）} (α) = \frac{日志 α}{2 (α - 1)} - \frac{1}{2 α} = \frac{日志 α - 1 + 1 / α}{2 (α - 1)} .

因此，只要证明分子

（f） (α) : = 日志 α + 1 / α - 1

对任何情况都是积极的

α \in (0, 1) \cup (1, \infty)

显然，

（f） (α) = 0

如果

α = 1

此外，

{（f）}^{'} (α) = - 1 / α^{2} + 1 / α = \frac{α - 1}{α^{2}} < (>) 0

对于

α < (>) 1

这意味着任何

α > 0

,

α \neq 1

，它认为

（f） (α) > 0

. □

现在，我们逐步考虑定义1中引入的熵的性质作为参数的函数。本文中的所有熵都是考虑中心正态分布的，但我们会不时回忆这一点。定理1-4分别研究了作为熵参数函数的Rényi、广义Rénnyi、Tsallis和Sharma–Mittal熵的性质，

α

和

β

，如果存在后一个参数。在这些定理的证明中考虑的所有导数都包含在内

α

; 因此，我们在导数的符号中省略了它。让我们从Rényi熵作为

α

.

备注 1

紧随其后的是平等(1)–(6)所有熵都严格地增加了各自正态分布的方差。

定理 1

以下事实适用于带方差的中心正态分布

σ^{2}

和相应的Rényi熵：

(1): 作为 $α \to 1$ ，Rényi熵收敛于Shannon熵，并且 $α = 1$ Rényi熵可以由Shannon熵推广为连续的。
(2): Rényi熵是α的递减凸函数。

备注 2

Rényi熵在点上的连续性

α = 1

它在α中减少的事实是众所周知的，我们在这里提供它是为了证明正态分布的这些性质是如何实现的。并非所有分布都具有凸性。这一事实是成立的，例如[22].

证明。

（1）根据L'Hópital的规则，

\frac{日志 α}{α - 1} \to 1

和

\frac{1}{2} 日志 2 π + 日志 σ - \frac{日志 α}{2 (1 - α)} \to \frac{1}{2} (1 + 日志 2 π) + 日志 σ

作为

α \to 1

因此，Rényi熵收敛于Shannon熵

α \to 1

，并且在该点

α = 1

Rényi熵可以由Shannon熵推广为连续的。

（2）让我们计算Rényi熵的导数

α

:

2 {H（H）}_{R（右）}^{'} (α) = {(\frac{日志 α}{α - 1})}^{'} = \frac{(α - 1) / α - 日志 α}{{(α - 1)}^{2}} = \frac{1 - 1 / α - 日志 α}{{(α - 1)}^{2}} .

根据引理1的证明

1 / α - 1 + 日志 α > 0

为所有人

α > 0

.

α \neq 1

; 因此，

{(\frac{日志 α}{α - 1})}^{^{'}} < 0

对于这样的

α

，Rényi熵是

α

。请注意

\frac{1}{2} 日志 2 π + 日志 σ - \frac{日志 α}{2 (1 - α)} \to \infty, α \to 0,

和

\frac{1}{2} 日志 2 π + 日志 σ - \frac{日志 α}{2 (α - 1)} \to \frac{1}{2} 日志 2 π + 日志 σ, α \to \infty .

因此，Rényi熵从∞到

\frac{1}{2} 日志 2 π + 日志 σ .

此外，

\begin{matrix} 2 {H（H）}_{R（右）}^{″} (α) & = {(\frac{日志 α}{α - 1})}^{″} = {(\frac{1 - 1 / α - 日志 α}{{(α - 1)}^{2}})}^{'} \\ = \frac{(1 / α^{2} - 1 / α) {(α - 1)}^{2} + 2 (α - 1) (1 / α + 日志 α - 1)}{{(α - 1)}^{4}} \\ = \frac{(1 / α^{2} - 1 / α) (α - 1) + 2 (1 / α + 日志 α - 1)}{{(α - 1)}^{三}} \\ = \frac{- {(α - 1)}^{2} + 2 (α + α^{2} 日志 α - α^{2})}{α^{2} {(α - 1)}^{三}} \\ = \frac{2 α^{2} 日志 α - 三 α^{2} + 4 α - 1}{α^{2} {(α - 1)}^{三}} . \end{matrix}

考虑分子。其导数等于

{(2 α^{2} 日志 α - 三 α^{2} + 4 α - 1)}^{'} = 4 α 日志 α + 2 α - 6 α + 4

= 4 α (1 / α - 1 + 日志 α) > 0,

对于

α > 0

,

α \neq 1

，因为

1 / α - 1 + 日志 α > 0

为此

α

，这是在引理1的证明中建立的。我们得到了

2 α^{2} 日志 α - 三 α^{2} + 4 α - 1

是一个严格递增的函数

(0, 1)

和

(1, + \infty)

，如果

α = 1

。这意味着

2 α^{2} 日志 α - 三 α^{2} + 4 α - 1 < 0

对于

0 < α < 1

、和

2 α^{2} 日志 α - 三 α^{2} + 4 α - 1 > 0

对于

α > 1

因此，

\frac{2 α^{2} 日志 α - 三 α^{2} + 4 α - 1}{α^{2} {(α - 1)}^{三}} > 0,

除了一个点

α = 1

当它等于零时。因此，

{H（H）}_{R（右）}^{″} (α) > 0

，除了一点，

α = 1

，当它等于零时，Rényi熵是一个凸函数。□

现在，我们继续研究正态分布的广义Rényi熵作为

α

和

β

.

定理 2

考虑带方差的中心正态分布

σ^{2}

和相应的广义Rényi熵。

(1): 在这种情况下 $α = β$ 广义Rényi熵是α的递减凸函数。
(2): 在这种情况下 $α \neq β$ 广义Rényi熵 ${H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β)$ 收敛于广义Rényi熵 ${H（H）}_{G公司 R（右）} (α)$ 作为 $β \to α$ 等等 $α = β$ $, {H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β)$ ，被视为固定α的β函数，可以扩展为 ${H（H）}_{G公司 R（右）} (α)$ 保持连续。
(3): 广义Rényi熵， ${H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β)$ 被视为固定α的β函数，是一个递减凸函数。β固定的α中的行为是对称的。

证明。

（1）由(三),

{H（H）}_{G公司 R（右）} (α) = 日志 δ + \frac{1}{2 α}

。此函数减少为

α \in (0, + \infty)

从

+ \infty

到

日志 δ

并且是凸的。注意，在这一点上

α = 1

，它与香农熵一致。

（2）显然，

\begin{matrix} \underset{β \to α}{林} {H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β) = 日志 δ + \underset{β \to α}{林} \frac{日志 β - 日志 α}{2 (β - α)} = 日志 δ + \frac{1}{2 α} . \end{matrix}

所以，

{H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β) \to {H（H）}_{G公司 R（右）} (α)

作为

β \to α

，在这一点上

α = β

,

{H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β)

可以通过以下方式扩展

{H（H）}_{G公司 R（右）} (α)

保持连续。

（3）自

日志 x个

为凹函数，其斜率函数递减；因此，函数

{H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β) = 日志 δ + \frac{日志 β - 日志 α}{2 (β - α)},

被认为是

β

用于固定

α

，是一个递减函数。为了证明它的凸性，我们应用引理A1，取

ψ (x个) = \frac{克 (x个) - 克 ({x个}_{0})}{x个 - {x个}_{0}}, 具有 克 (x个) = 日志 x个, x个 = β, {x个}_{0} = α .

自

克^{‴} (ξ) = {(日志 x个)}^{‴} = {(\frac{1}{x个})}^{″} = {(- \frac{1}{{x个}^{2}})}^{'} = 2 {x个}^{- 三} > 0,

函数

{H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β) = 日志 δ + \frac{日志 β - 日志 α}{2 (β - α)},

被认为是

β

用于固定

α

，是一个凸函数。情况与

β

固定是对称的。□

现在，我们继续研究作为函数的Tsallis熵的性质

α

.

定理三。

如前所述，考虑带方差的中心正态分布

σ^{2} .

(1)

作为

α \to 1

，Tsallis熵收敛于Shannon熵，并且

α = 1

，Tsallis熵可以通过Shannon熵进行扩展，得到一个连续函数。

(2)

Tsallis熵

{H（H）}_{T型} (α)

减少自

+ \infty

到

- \infty

当α从0增加到

+ \infty

.

(3)

如提案1所示，

θ = δ^{- 1} = {(σ \sqrt{2 π})}^{- 1}

，并让

{x个}_{0}

是方程的唯一根

{x个}^{三} - \frac{三}{2} {x个}^{2} + \frac{9}{4} x个 - \frac{15}{8} = 0 .

（a）: 让 $θ < 1$ .然后， ${H（H）}_{T型}$ 是整个区间上的凸函数 $(0, + \infty)$ .
（b）: 让 $1 < θ < {e（电子）}^{{x个}_{0}}$ .然后， ${H（H）}_{T型}$ 是区间上的凸函数 $(0, \frac{{x个}_{0}}{日志 θ}) .$
（c）: 让 $θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}$ .然后， ${H（H）}_{T型}$ 是区间上的凹函数 $(\frac{{x个}_{0}}{日志 θ}, + \infty) .$
（d）: 对于任何 $θ > 1$ （因此，对于任何 $σ < {(2 π)}^{- 1 / 2}$ )，存在数字 $0 < α (1, θ) < α (2, θ) < \infty$ 这样的话 ${H（H）}_{T型}$ 是区间上的凸函数 $(0, α (1, θ))$ ，它是区间上的凹函数 $(α (2, θ), \infty)$ .

备注三。

如果提供等式的条件，则Tsallis熵的递减性质是常见的

{(\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个)}^{″} = \int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) {日志}^{2} （f） (x个) d日 x个

以及任意函数的最后一个积分的有限值

α \in (0, \infty)

都很满意。

证明。

（1）考虑右边的分子(A2级). 其导数等于

{(δ^{1 - α} α^{- 1 / 2} - 1)}^{'} = - \frac{2 δ α 日志 δ + δ}{2 α^{三 / 2} δ^{α}},

和

\underset{α \to 1}{林} (- \frac{2 δ α 日志 δ + δ}{2 α^{三 / 2} δ^{α}}) = - 日志 δ - 1 / 2 .

根据L'Hópital的规则，

\underset{α \to 1}{林} {H（H）}_{T型} (α) = \underset{α \to 1}{林} {(δ^{1 - α} α^{- 1 / 2} - 1)}^{'} / {(1 - α)}^{'} = \frac{1}{2} (1 + 日志 2 π) + 日志 σ .

这意味着当

α \to 1

，在这一点上

α = 1

，Tsallis熵可以被Shannon熵推广为连续的。

（2）现在，我们研究值的单调性

- {H（H）}_{T型} (α) = \frac{θ^{α - 1} α^{- 1 / 2} - 1}{α - 1}, α > 0 .

首先，让我们计算函数的两个导数

克 (α) = θ^{α - 1} α^{- 1 / 2}, α > 0 .

显然，

克^{'} (α) = θ^{α - 1} (日志 θ \cdot α^{- 1 / 2} - \frac{1}{2} α^{- 三 / 2}),

克^{″} (α) = θ^{α - 1} [{日志}^{2} θ \cdot α^{- 1 / 2} - 日志 θ \cdot α^{- 三 / 2} + \frac{三}{4} α^{- 5 / 2}],

= θ^{α - 1} α^{- 1 / 2} [{日志}^{2} θ - α^{- 1} 日志 θ + \frac{三}{4} α^{- 2}] .

很容易看出二次函数

{x个}^{2} - β x个 + \frac{三}{4} β^{2} > 0,

哪里

x个 = 日志 θ

和

β = α^{- 1} .

这意味着

克 (α)

是凸的，因此其斜率函数

\frac{克 (α) - 1}{α - 1}

在以下情况下增加

α

从0增加到

+ \infty

反过来，这意味着

{H（H）}_{T型} (α)

减少自

+ \infty

到

- \infty

什么时候

α

从0增加到

+ \infty

.

（3）为了确定

{H（H）}_{T型} (α)

，如前所述，表示，

克 (α) = θ^{α - 1} α^{- 1 / 2}

回忆一下

克^{″} (α) > 0, α > 0 .

也，

- {H（H）}_{T型} (α) = \frac{克 (α) - 1}{α - 1} .

然后，

- {H（H）}_{T型}^{'} (α) = \frac{克^{'} (α) (α - 1) - 克 (α) + 1}{{(α - 1)}^{2}},

和

\begin{matrix} - {H（H）}_{T型}^{″} (α) = [克^{″} (α) (α - 1) {(α - 1)}^{2} - 2 (α - 1) [克^{'} (α) (α - 1) - 克 (α) + 1] {(α - 1)}^{- 4} \\ = 2 [\frac{1}{2} 克^{″} (α) {(α - 1)}^{2} - 克^{'} (α) (α - 1) + 克 (α) - 1] {(α - 1)}^{- 三} . \end{matrix}

(7)

根据泰勒公式，

克 (1) = 1 = 克 (α) + 克^{'} (α) (1 - α) + \frac{1}{2} 克^{″} (α) {(α - 1)}^{2} + \frac{1}{6} 克^{‴} (ξ) {(1 - α)}^{三}, ξ \in (1 \land α, 1 \lor α) .

因此，

- {H（H）}_{T型}^{″} (α) = - 2 \cdot \frac{1}{6} 克^{‴} (ξ) {(1 - α)}^{三} {(α - 1)}^{- 三} = \frac{1}{三} 克^{‴} (ξ), 和

{H（H）}_{T型}^{″} (α) = - \frac{1}{三} 克^{‴} (ξ), ξ \in (1 \land α, 1 \lor α) .

函数的三阶导数很容易计算克:

克^{‴} (α) = θ^{(α - 1)} α^{- 7 / 2} ({x个}^{三} - \frac{三}{2} {x个}^{2} + \frac{9}{4} x个 - \frac{15}{8}),

哪里

x个 = α 日志 θ, θ = {(σ \sqrt{2 π})}^{- 1} .

功能

小时 (x个) = {x个}^{三} - \frac{三}{2} {x个}^{2} + \frac{9}{4} x个 - \frac{15}{8}

正在上增加

R（右）

具有唯一根

{x个}_{0} \approx 1.05357 .

考虑几个案例。在其中一些例子中，我们可以对

{H（H）}_{T型}^{″} (α)

; 在其他情况下，数字是必要的。

（a）: 让 $θ < 1$ .然后， $日志 θ < 0$ ，以及所有人 $ξ > 0, x个 = ξ 日志 θ < 0$ ; 因此， $x个 < {x个}_{0}, 克^{‴} (ξ) < 0$ 、和 ${H（H）}_{T型}^{^{″}} (α) > 0$ 为所有人 $α > 0 .$ 这意味着在这种情况下 $θ < 1$ , ${H（H）}_{T型}$ 是整个区间上的凸函数 $(0, + \infty)$ .
（b）: 让 $1 < θ < {e（电子）}^{{x个}_{0}}, α < 1 .$ 然后， $ξ \in (α, 1)$ 和 $ξ 日志 θ < {x个}_{0} .$ 因此， $克^{‴} (ξ) < 0$ 和 ${H（H）}_{T型}^{^{″}} (α) > 0$ 类似地，让 $1 < θ < {e（电子）}^{{x个}_{0}}, α \in (1, \frac{{x个}_{0}}{日志 θ})$ .然后， $ξ \in (1, α) \subset (1, \frac{{x个}_{0}}{日志 θ}),$ 和 $ξ 日志 θ < {x个}_{0} .$ 因此， $克^{‴} (ξ) < 0$ 和 ${H（H）}_{T型}^{^{″}} (α) > 0$ 这意味着在本案中 $1 < θ < {e（电子）}^{{x个}_{0}}$ , ${H（H）}_{T型}$ 是区间上的凸函数 $(0, \frac{{x个}_{0}}{日志 θ}) .$
（c）: 让 $θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}, α > 1 .$ 然后， $ξ \in (1, α)$ ; 因此， $ξ 日志 θ > {x个}_{0}$ ，因此， $克^{‴} (ξ) > 0$ ，从哪里 ${H（H）}_{T型}^{^{″}} (α) < 0$ .让 $θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}, α \in (\frac{{x个}_{0}}{日志 θ}, 1) .$ 然后， $α 日志 θ > {x个}_{0}$ 和 $克^{‴} (ξ) > 0,$ 从哪里 ${H（H）}_{T型}^{^{″}} (α) < 0$ 因此，在这种情况下 $θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}$ , ${H（H）}_{T型}$ 是区间上的凹函数 $(\frac{{x个}_{0}}{日志 θ}, + \infty) .$
（d）: 分析的渐近性 $克 (α)$ , $克^{″} (α)$ 和 $克^{″} (α)$ 在0和 $+ \infty$ 分别得出 $θ > 0$

${H（H）}_{T型}^{″} (α) \sim \frac{三}{4} θ^{- 1} α^{- \frac{5}{2}} \to \infty 作为 α \to 0 .$

此外，对于 $θ > 1$ 和用于 $α \to + \infty$ ，分析值的符号就足够了

$\begin{matrix} - \frac{1}{2} 克^{″} (α) {(α - 1)}^{2} + 克^{'} (α) (α - 1) + 克 (α) - 1 \\ \sim - \frac{1}{2} θ^{α - 1} α^{- \frac{1}{2}} {日志}^{2} θ {(α - 1)}^{2} \to - \infty 作为 α \to \infty . \end{matrix}$

这意味着 ${H（H）}_{T型}$ 在某个区间上是凸的 $(0, α (1, θ))$ 在某个区间上呈凹形 $(α (2, θ), + \infty)$ ，其中第一个语句对任何 $θ > 0$ 而第二种说法只适用于 $θ > 1$ .

□

备注 4

图1和图2对应于Tsallis熵的行为

θ < 1

.需要对两种情况进行数值研究：

θ \in (1, {e（电子）}^{{x个}_{0}}), α > \frac{{x个}_{0}}{日志 θ}

和

θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}, α < \frac{{x个}_{0}}{日志 θ} .

在这两种情况下，我们已经从项目中了解了

(d日)

定理3的

{H（H）}_{T型}

是区间上的凸函数

(0, α (1, θ))

是区间上的凹函数

(α (2, θ), \infty)

对一些人来说

0 < α (1, θ) < α (2, θ) < \infty

。绘制在上的曲面图3和图4从数字上确认

θ > 1

，存在唯一的拐点

α (0, θ) \in (α (1, θ), α (2, θ))

属于

{H（H）}_{T型}

作为α的函数。此外，图5和图6给出不同θ的熵图的概念。标记点是熵图与垂直线的交点

ν (θ) = \frac{{x个}_{0}}{日志 θ}

。请注意

{e（电子）}^{{x个}_{0}} \approx 2.86788

; 因此，θ的值图5与间隔相对应

(1, {e（电子）}^{{x个}_{0}})

，而中的值图6对应于

({e（电子）}^{{x个}_{0}}, \infty)

.

此外，我们数值比较了作为方程解的拐点的值

{H（H）}_{T型}^{″} (α) = 0

（相当于

\frac{1}{2} 克^{″} (α) {(α - 1)}^{2} - 克^{'} (α) (α - 1) + 克 (α) - 1 = 0

; 参见(7))带有

ν (θ)

.图7确认唯一的拐点接近

ν (θ)

，略微克服

ν (θ)

对于

θ < {e（电子）}^{{x个}_{0}}

并且小于

ν (θ)

对于

θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}

.在这种情况下

θ = {e（电子）}^{{x个}_{0}}

，拐点与

ν (θ) = 1 .

现在，让我们研究Sharma–Mittal熵的性质

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

作为参数的函数

α

和

β

。众所周知（参见[21])Shannon熵、Rényi熵和Tsallis熵是

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

，即

\begin{matrix} {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) \to {H（H）}_{R（右）} (α) 作为 β \to 1, \\ {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) \to {H（H）}_{T型} (α) 作为 β \to α, \\ {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) \to {H（H）}_{S公司} 作为 α, β \to 1 . \end{matrix}

因此，Sharma–Mittal熵可以扩展为连续函数

α

和

β

.

定理 4

如前所述，考虑带方差的中心正态分布

σ^{2} .

(1)

让我们表示

θ_{1} = θ_{1} (α) = \frac{\sqrt{2 π} σ}{α^{\frac{1}{2 (1 - α)}}} .

对于任何固定

α > 0

,

α \neq 1

,

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

减少

β \in (0, + \infty)

即：

（i）: 如果 $θ_{1} = 1$ ，然后 ${H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = 0$ .
（ii）: 如果 $θ_{1} < 1$ ，然后 ${H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)$ 减少自 $θ_{1} - 1$ 到 $- \infty$ .
（iii）: 如果 $θ_{1} > 1$ ，然后 ${H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)$ 减少自 $θ_{1} - 1$ 到0。

（b）

对于任何固定

α > 0

,

α \neq 1

，函数

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

β为凹形，如果

θ_{1} < 1

，如果

θ_{1} > 1

.

（b）

对于固定

β \in (0, 1) \cup (1, \infty)

,

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

是α中的递减凸函数。

证明。

（1）我们有

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = \frac{θ_{1}^{1 - β} - 1}{1 - β}, β \in (0, 1) \cup (1, \infty) .

表示

x个 = 1 - β \in (- \infty, 0) \cup (0, 1)

.然后，

F类 (x个) = \frac{θ_{1}^{x个} - 1}{x个} = \frac{θ_{1}^{x个} - θ_{1}^{0}}{x个 - 0}

是的斜率函数

（f） (x个) = θ_{1}^{x个}

，呈凸形。因此，

F类 (x个)

在中增加

x个 \in (- \infty, 0) \cup (0, 1)

因此（i）–（iii）保持。

（2）让

θ_{1} < 1

.我们可以写

- {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = \frac{克_{1} (β) - 克_{1} (1)}{β - 1}, β \in (0, 1) \cup (1, \infty) .

哪里

克_{1} (β) = θ_{1}^{1 - β}

.自三阶导数以来

克_{1}^{‴} (β) = - θ_{1}^{1 - β} {(日志 θ_{1})}^{三}

为正

θ_{1} < 1

，我们看到了

- {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

在中是凸的

β

由引理A1从附录B因此，

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

凹进

β

.

在这种情况下

θ_{1} > 1

，我们代表

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

采用以下形式：

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = \frac{克_{2} (β) - 克_{2} (1)}{β - 1}, β \in (0, 1) \cup (1, \infty),

哪里

克_{2} (β) = - 克_{1} (β) = - θ_{1}^{1 - β}

。对于

θ_{1} > 1

，我们有

克_{2}^{‴} (β) = θ_{1}^{1 - β} {(日志 θ_{1})}^{三} > 0

; 因此，所需的凸性来自引理A1。

（3）这不难看出

日志 θ_{1} (α) = {H（H）}_{R（右）} (α),

(8)

哪里

{H（H）}_{R（右）} (α)

是Rényi熵，是

α

根据定理1。因此，

θ_{1} (α)

减少。此外，

\frac{\partial}{\partial α} {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = \frac{θ_{1}^{'} (α)}{θ_{1}^{β} (α)} < 0,

(9)

和

{H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β)

也减少了

α

.

为了建立凸性，我们对(8)并获得

\frac{θ_{1}^{'} (α)}{θ_{1} (α)} = {H（H）}_{R（右）}^{'} (α)

，从哪里

θ_{1}^{'} (α) = θ_{1} (α) {H（H）}_{R（右）}^{'} (α)

和

θ_{1}^{″} (α) = θ_{1}^{'} (α) {H（H）}_{R（右）}^{'} (α) + θ_{1} (α) {H（H）}_{R（右）}^{″} (α) > 0,

因为

θ_{1}^{'} (α) < 0

,

{H（H）}_{R（右）}^{'} (α) < 0

、和

{H（H）}_{R（右）}^{″} (α) > 0

，根据定理1和前面的陈述。然后，通过微分(9)，我们获得

\begin{matrix} \frac{\partial^{2}}{\partial α^{2}} {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) = \frac{θ_{1}^{″} (α) θ_{1}^{β} (α) - β θ_{1}^{β - 1} (α) θ_{1}^{'} (α)}{θ_{1}^{2 β} (α)} > 0, \end{matrix}

自从

θ_{1}^{″} (α) > 0

和

θ_{1}^{'} (α) < 0

因此，证明了凸性。□

备注 5

让我们考虑一下这个等式

θ_{1} = 1

即。，

α^{\frac{1}{2 (1 - α)}} = \sqrt{2 π} σ

或

\frac{日志 α}{2 (1 - α)} = 日志 (\sqrt{2 π} σ) = : ρ .

根据定理1的证明（语句3），函数

\frac{日志 α}{2 (1 - α)}

增加自

- \infty

至0英寸

α \in (0, 1) \cup (1, \infty)

.

因此：

如果 $\sqrt{2 π} σ > 1$ ，然后 $θ_{1} > 1$ 和（iii）持有。
如果 $\sqrt{2 π} σ = 1$ ，然后（iii）同样适用。
如果 $\sqrt{2 π} σ < 1$ ，然后让 $α_{0}$ 是这样一个数字

$α_{0}^{\frac{1}{2 (1 - α_{0})}} = \sqrt{2 π} σ .$

如果 $α < α_{0}$ ，然后 $θ_{1} > 1$ 和（iii）持有。如果 $α > α_{0}$ ，然后 $θ_{1} < 1$ 和（ii）持有。如果 $α = α_{0}$ ，然后 $θ_{1} = 1$ 和（i）持有。

3.高斯分数过程及其方差示例：分数高斯过程的熵

现在，我们考虑几种类型的分数高斯过程。我们的目标很简单：比较它们的边际分布的熵。为了正确地比较它们的熵和方差，我们使用归一化系数对方差进行归一化，以便

t吨 = 1

，每个过程的方差等于1。

正如引言中已经提到的，矢量分数高斯噪声的熵是使用书中给出的公式计算的[23]. 然而，首先，这些计算是基于分数高斯噪声是一个平稳过程这一事实，其次，使用它们来比较不同的过程，即使是具有不同赫斯特指数的分数高斯噪声，对于解析解来说也是一个太复杂的问题。主要困难在于高斯向量熵的公式包含协方差矩阵的行列式，目前除了繁琐的标准公式外，还没有简单的计算建议，同时，它们无法比较这些行列式。因此，我们可以使用几类分数过程来模拟各种各样的过程，从物理到金融数学，我们开始以尽可能简单的方式比较它们所携带的信息项，或者更简单地比较它们的熵。所提出的熵的比较是基于计算相应过程的方差，这些计算非常简单，并且为广大读者所理解。

3.1. 分数、次分数和双分数布朗运动

让我们从分数布朗运动的定义开始。此过程最初是在年引入的[25].

定义 2

中心高斯过程

{B类}^{H（H）} = {{B类}_{t吨}^{H（H）}, t吨 \geq 0}

具有协方差函数

Cov公司 ({B类}_{t吨}^{H（H）}, {B类}_{秒}^{H（H）}) = \frac{1}{2} ({t吨}^{2 H（H）} + 秒^{2 H（H）} - {| t吨 - 秒 |}^{2 H（H）}), t吨, 秒 \in {R（右）}_{+}

称为分数布朗运动（fBm）和Hurst参数

H（H） \in (0, 1)

.

显然，

变量 ({B类}_{t吨}^{H（H）}) = {t吨}^{2 H（H）}

.

定义三

([26]).中心高斯过程

ξ^{H（H）} = {ξ_{t吨}^{H（H）}, t吨 \geq 0}

具有协方差函数

Cov公司 (ξ_{t吨}^{H（H）}, ξ_{秒}^{H（H）}) = (秒^{2 H（H）} + {t吨}^{2 H（H）} - \frac{1}{2} ({(秒 + t吨)}^{2 H（H）} + {| t吨 - 秒 |}^{2 H（H）})), t吨, 秒 \geq 0

称为亚分形布朗运动使用Hurst参数

H（H） \in (0, 1)

显然，

变量 (ξ_{t吨}^{H（H）}) = (2 {t吨}^{2 H（H）} - \frac{1}{2} {(2 t吨)}^{2 H（H）}) = (2 - 2^{2 H（H） - 1}) {t吨}^{2 H（H）} .

让我们把

{\bar{ξ}}_{t吨}^{H（H）} = {(2 - 2^{2 H（H） - 1})}^{- \frac{1}{2}} ξ_{t吨}^{H（H）}

.然后，

{\bar{ξ}}_{t吨}^{H（H）}

具有与分数布朗运动相同的方差。

定义 4

([27]（第71页）。这个过程

{L（左）}^{H（H）} = {{L（左）}_{t吨}^{H（H）}, t吨 \geq 0}

，由定义

{L（左）}_{t吨}^{H（H）} = \frac{1}{Γ (H（H） + \frac{1}{2})} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{H（H） - 1 / 2} d日 {W公司}_{秒}, t吨 \geq 0, H（H） \in (0, 1),

以及在哪里

W公司 = {{W公司}_{t吨}, t吨 \geq 0}

是维纳过程，称为黎曼–刘维尔分数布朗运动。

然后

变量 ({L（左）}_{t吨}^{H（H）}) = \frac{1}{Γ^{2} (H（H） + \frac{1}{2})} \int_{0}^{t吨} {(t吨 - u个)}^{2 H（H） - 1} d日 u个 = \frac{{t吨}^{2 H（H）}}{2 H（H） Γ^{2} (H（H） + \frac{1}{2})} .

因此，该过程

{\bar{L（左）}}^{H（H）} = {(2 H（H）)}^{1 / 2} Γ (H（H） + \frac{1}{2}) {L（左）}_{t吨}^{H（H）}

具有与分数布朗运动和亚分数布朗运动相同的方差。

定义 5

([28]).中心高斯过程

{B类}^{H（H）, K（K）} = {{B类}_{t吨}^{H（H）, K（K）}, t吨 \geq 0}

，从零开始，具有协方差函数

Cov公司 ({B类}_{t吨}^{H（H）, K（K）}, {B类}_{秒}^{H（H）, K（K）}) : = \frac{1}{2^{K（K）}} ({({t吨}^{2 H（H）} + 秒^{2 H（H）})}^{K（K）} - {| t吨 - 秒 |}^{2 H（H） K（K）})

称为双衍射布朗运动具有

H（H） \in (0, 1)

和

K（K） \in (0, 1]

.

然后

变量 ({B类}_{t吨}^{H（H）, K（K）}) = Cov公司 ({B类}_{t吨}^{H（H）, K（K）}, {B类}_{t吨}^{H（H）, K（K）}) = \frac{1}{2^{K（K）}} ({({t吨}^{2 H（H）} + {t吨}^{2 H（H）})}^{K（K）}) = {t吨}^{2 H（H） K（K）} .

显然，在这一点上

t吨 = 1

，方差等于

变量 ({B类}_{1}^{H（H）, K（K）}) = 1

.

提议 2

假设X是以下过程之一：

{B类}^{H（H）}

,

{\bar{ξ}}^{H（H）}

或

{\bar{L（左）}}^{H（H）}

然后，我们得到了以下的熵公式

{X（X）}_{t吨}

:

(1): 香农熵等于

${H（H）}_{S公司}^{X（X）} (t吨) = H（H）日志 t吨 + \frac{1}{2} (1 + 日志 (2 π)) .$

(10)
(2): Rényi熵( $α > 0$ , $α \neq 1$ )等于

${H（H）}_{R（右）}^{X（X）} (α, t吨) = H（H）日志 t吨 + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{日志 α}{2 (α - 1)} .$

(11)

对于 $α = 1$ ，我们将Rényi熵连续地推广到Shannon熵。
(3): 情形中的广义Rényi熵 $α = β$ 等于

${H（H）}_{G公司 R（右）}^{X（X）} (α, t吨) = H（H）日志 t吨 + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{1}{2 α},$

(12)

和用于 $α = β = 1$ ，我们将广义Rényi熵扩展为Shannon熵（和带有 $α = 1$ )持续不断。
(4): 情形中的广义Rényi熵 $α \neq β$ 等于

${H（H）}_{G公司 R（右）}^{X（X）} (α, β, t吨) = H（H）日志 t吨 + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{日志 β - 日志 α}{2 (β - α)},$

(13)

和用于 $α = β$ ，在这种情况下，它可以由广义Rényi熵扩展 $α = β$ 连续不断地。
(5): Tsallis熵( $α > 0$ , $α \neq 1$ )等于

${H（H）}_{T型}^{X（X）} (α, t吨) = \frac{{t吨}^{(1 - α) H（H）} {(2 π)}^{\frac{1 - α}{2}} α^{- 1 / 2} - 1}{1 - α},$

(14)

和用于 $α = 1$ 它可以被香农熵连续地推广。
(6): Sharma–Mittal熵 $α, β \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ 等于

${H（H）}_{S公司 M（M）}^{X（X）} (α, β, t吨) = \frac{1}{1 - β} (\frac{{t吨}^{(1 - β) H（H）} {(2 π)}^{\frac{1 - β}{2}}}{α^{\frac{1 - β}{2 (1 - α)}}} - 1),$

(15)

和用于 $β = 1$ 它可以被Rényi熵连续地推广。
(7): 同样的说法适用于 $X（X） = {B类}^{H（H）, K（K）}$ 具有 $H（H） K（K）$ 这意味着具有参数H和K的双分布朗运动的任何熵都等于具有Hurst指数的fBm的相应熵 ${H（H）}^{'} = H（H） K（K） .$ 反过来，这意味着如果我们在fBm和双分布朗运动中固定相同的H，并取 $K（K） < 1$ ，然后

${H（H）}_{A类}^{{B类}^{H（H）}} (\cdot, t吨) < {H（H）}_{A类}^{{B类}^{H（H）, K（K）}} (\cdot, t吨), t吨 < 1,$

$A类 = S公司, R（右）, G公司 R（右）,$ 相反的不等式适用于 $t吨 > 1$ 。对于 ${H（H）}_{T型}^{X（X）} (α, t吨)$ ，情况更为复杂：如果 $t吨 < 1, α < 1$ 或 $t吨 > 1, α > 1$ ，然后

${H（H）}_{T型}^{{B类}^{H（H）}} (α, t吨) < {H（H）}_{T型}^{{B类}^{H（H）, K（K）}} (α, t吨),$

和用于 $t吨 < 1, α > 1$ 或 $t吨 > 1, α < 1$ ，相反的不等式成立。

图8包含具有Hurst参数的分数布朗运动的各种熵的图

H（H） = 0.75

.

备注 6

比较fBm的方差是有趣且自然的

{B类}^{H（H）} = {{B类}_{t吨}^{H（H）}, t吨 \geq 0}

具有相应分数Ornstein–Uhlenbeck过程的方差

{X（X）}_{t吨}^{H（H）} = \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{α (t吨 - 秒)} d日 {B类}_{秒}^{H（H）}

用于各种H和α，从而比较它们的熵。考虑以下情况。

(我)

让

H（H） > \frac{1}{2}

然后，根据[29],

变量 {X（X）}_{t吨}^{H（H）} = 2 H（H） (2 H（H） - 1) \int_{0}^{t吨} \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{α (2 t吨 - 秒 - u个)} {| 秒 - u个 |}^{2 H（H） - 2} d日 u个 d日 秒 .

如果

α > 0

，然后

{e（电子）}^{α (2 t吨 - 秒 - u个)} > 1

、和

变量 {X（X）}_{t吨}^{H（H）} > 2 H（H） (2 H（H） - 1) \int_{0}^{t吨} \int_{0}^{t吨} {| 秒 - u个 |}^{2 H（H） - 2} d日 u个 d日 秒 = 变量 {B类}_{t吨}^{H（H）} .

类似地，如果

α < 0

，然后

变量 {X（X）}_{t吨}^{H（H）} < 变量 {B类}_{t吨}^{H（H）}

.

(我 我)

让

H（H） < \frac{1}{2}

然后，通过分部积分来理解积分[30]:

{X（X）}_{t吨}^{H（H）} = {B类}_{t吨}^{H（H）} + α \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{α (t吨 - 秒)} {B类}_{秒}^{H（H）} d日 秒 .

让

α > 0

.然后，

\begin{matrix} 变量 {X（X）}_{t吨}^{H（H）} = 变量 {B类}_{t吨}^{H（H）} + 2 α \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{α (t吨 - 秒)} E类 [{B类}_{t吨}^{H（H）} {B类}_{秒}^{H（H）}] d日 秒 \\ + α^{2} \int_{0}^{t吨} \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{α (2 t吨 - 秒 - u个)} E类 [{B类}_{秒}^{H（H）} {B类}_{u个}^{H（H）}] d日 u个 d日 秒 > 变量 {B类}_{t吨}^{H（H）}, \end{matrix}

(16)

因为

E类 [{B类}_{秒}^{H（H）} {B类}_{u个}^{H（H）}] = \frac{1}{2} (秒^{2 H（H）} + {u个}^{2 H（H）} - {| u个 - 秒 |}^{2 H（H）}) > 0

和类似的

E类 [{B类}_{t吨}^{H（H）} {B类}_{秒}^{H（H）}] > 0

.

让

α < 0

.表示

β = - α > 0

然后，我们的目标是确定值的符号

θ (t吨) : = - 2 β \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- β (t吨 - 秒)} E类 [{B类}_{t吨}^{H（H）} {B类}_{秒}^{H（H）}] d日 秒 + β^{2} \int_{0}^{t吨} \int_{0}^{t吨} {e（电子）}^{- β (2 t吨 - 秒 - u个)} E类 [{B类}_{秒}^{H（H）} {B类}_{u个}^{H（H）}] d日 u个 d日 秒 .

现在，我们改变变量

β 秒 = 第页

,

β u个 = q个

并考虑到这一点

E类 [{B类}_{t吨 / β}^{H（H）} {B类}_{秒 / β}^{H（H）}] = β^{- 2 H（H）} E类 [{B类}_{t吨}^{H（H）} {B类}_{秒}^{H（H）}]

，类似地，

E类 [{B类}_{秒 / β}^{H（H）} {B类}_{u个 / β}^{H（H）}] = β^{- 2 H（H）} E类 [{B类}_{秒}^{H（H）} {B类}_{u个}^{H（H）}]

，表示

β t吨 = z（z）

同时考虑到第二积分中被积函数的对称性，并在手边完成所有这些后，得出该值

\begin{matrix} φ (z（z）) & = - \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- z（z） + 第页} ({z（z）}^{2 H（H）} + {第页}^{2 H（H）} - {(z（z） - 第页)}^{2 H（H）}) d日 第页 \\ + \int_{0}^{z（z）} \int_{0}^{第页} {e（电子）}^{- 2 z（z） + 第页 + q个} ({第页}^{2 H（H）} + {q个}^{2 H（H）} - {(第页 - q个)}^{2 H（H）}) d日 q个 d日 第页, \end{matrix}

他的标志对我们来说很有趣。显然，

\begin{matrix} φ (z（z）) & = - {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{- z（z）} ({e（电子）}^{z（z）} - 1) - {e（电子）}^{- z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{第页} {第页}^{2 H（H）} d日 第页 + \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） + {e（电子）}^{- 2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{第页} {第页}^{2 H（H）} ({e（电子）}^{第页} - 1) d日 第页 \\ + {e（电子）}^{- 2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{第页} \int_{0}^{第页} {e（电子）}^{q个} {q个}^{2 H（H）} d日 q个 d日 第页 - {e（电子）}^{- 2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{2 第页} \int_{0}^{第页} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） d日 第页 . \end{matrix}

等价地，我们可以考虑函数的符号

\begin{matrix} ψ (z（z）) = {e（电子）}^{2 z（z）} φ (z（z）) & = - {z（z）}^{2 H（H）} ({e（电子）}^{2 z（z）} - {e（电子）}^{z（z）}) - {e（电子）}^{z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{第页} {第页}^{2 H（H）} d日 第页 + {e（电子）}^{2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） + \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{第页} {第页}^{2 H（H）} ({e（电子）}^{第页} - 1) d日 第页 \\ + \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{第页} \int_{0}^{第页} {e（电子）}^{q个} {q个}^{2 H（H）} d日 q个 d日 第页 - \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{2 第页} \int_{0}^{第页} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） d日 第页 . \end{matrix}

显然，

ψ (0) = 0

此外，

\begin{matrix} ψ^{'} (z（z）) & = - 2 H（H） {z（z）}^{2 H（H） - 1} ({e（电子）}^{2 z（z）} - {e（电子）}^{z（z）}) - {z（z）}^{2 H（H）} (2 {e（电子）}^{2 z（z）} - {e（电子）}^{z（z）}) - {e（电子）}^{z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{第页} {第页}^{2 H（H）} d日 第页 - {e（电子）}^{2 z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} \\ + 2 {e（电子）}^{2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） + {e（电子）}^{z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} + {e（电子）}^{z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} ({e（电子）}^{z（z）} - 1) + {e（电子）}^{z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{q个} {q个}^{2 H（H）} d日 q个 - {e（电子）}^{2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） \\ = - 2 H（H） {z（z）}^{2 H（H） - 1} ({e（电子）}^{2 z（z）} - {e（电子）}^{z（z）}) - 2 {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{2 z（z）} + {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{z（z）} - {e（电子）}^{2 z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} \\ + 2 {e（电子）}^{2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） + {e（电子）}^{z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} + {e（电子）}^{2 z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} - {e（电子）}^{z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} - {e（电子）}^{2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） \\ = - 2 H（H） {z（z）}^{2 H（H） - 1} ({e（电子）}^{2 z（z）} - {e（电子）}^{z（z）}) - 2 {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{2 z（z）} + {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{z（z）} + {e（电子）}^{2 z（z）} \int_{0}^{z（z）} {e（电子）}^{- v（v）} {v（v）}^{2 H（H）} d日 v（v） \\ < - 2 H（H） {z（z）}^{2 H（H） - 1} ({e（电子）}^{2 z（z）} - {e（电子）}^{z（z）}) - 2 {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{2 z（z）} + {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{z（z）} + {e（电子）}^{2 z（z）} {z（z）}^{2 H（H）} (1 - {e（电子）}^{- z（z）}) \\ = - 2 H（H） {z（z）}^{2 H（H） - 1} ({e（电子）}^{2 z（z）} - {e（电子）}^{z（z）}) - {z（z）}^{2 H（H）} {e（电子）}^{2 z（z）} < 0 . \end{matrix}

这意味着

ψ (z（z）) < 0

为所有人

z（z） > 0

; 因此，

θ (t吨) < 0

为所有人

t吨 > 0

.连同(16)，这最终意味着

变量 {X（X）}_{t吨}^{H（H）} > 变量 {B类}_{t吨}^{H（H）}

如果

α > 0

、和

变量 {X（X）}_{t吨}^{H（H）} < 变量 {B类}_{t吨}^{H（H）}

如果

α < 0

.

备注 7

注意，分数Ornstein–Uhlenbeck过程在论文中得到了推广[31,32]扩散扩散FBM是非高斯的，但可以在分数Ornstein–Uhlenbeck过程的框架内考虑大规模FBM，上述计算有助于熵的比较。

3.2. 多重分数布朗运动

让我们考虑多重分形布朗运动的各种定义。不同之处在于它们的表现形式；与标准fBm相同的情况：它允许Mandelbrot–van Ness表示[33]在整个轴上，Molchan–Golosov紧致区间表示[29]和光谱表示（第7.2.2节[34]). 然而，所有fBm的协方差和方差函数都是相同的，只有通过对乘数进行规范化才能有所不同（例如，在[35]). 考虑到多重分形布朗运动的不同表示，作者引入了不同的归一化乘数，基本上遵循分数布朗运动相应表示的该因子形式，但在这种情况下，它们取决于时间。下面，我们提供了这些表示，并分析了它们与作为时间函数的正规化乘数的行为之间的关系，因为它们的值会影响方差的值，从而影响熵的值。显然，如果我们重新规范化过程以使其方差相等，熵就会相等。

让

H（H） : {R（右）}_{+} \to [一, b] \subset (0, 1)

是一个连续函数。

定义 6

([36]).对于

t吨 \geq 0

，调用以下随机函数移动平均多重分形布朗运动功能参数H：

\begin{matrix} {Y（Y）}_{1} (t吨) = \frac{1}{Γ ({H（H）}_{t吨} + \frac{1}{2})} (\int_{- \infty}^{0} [{(t吨 - 秒)}^{{H（H）}_{t吨} - 1 / 2} - {(- 秒)}^{{H（H）}_{t吨} - 1 / 2}] d日 W公司 (秒) \\ + \int_{0}^{t吨} {(t吨 - 秒)}^{{H（H）}_{t吨} - 1 / 2} d日 W公司 (秒)) = \frac{1}{Γ ({H（H）}_{t吨} + \frac{1}{2})} (\int_{- \infty}^{t吨} [{(t吨 - 秒)}^{{H（H）}_{t吨} - 1 / 2} - {(- 秒)}_{+}^{{H（H）}_{t吨} - 1 / 2}] d日 W公司 (秒), \end{matrix}

(17)

其中W表示布朗运动。

它源自Cor.3.4[33]那个

变量 [{Y（Y）}_{1} (t吨)] = c_{1} ({H（H）}_{t吨}) {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}},

哪里

c_{1} (x个) = \frac{1}{Γ {(x个 + \frac{1}{2})}^{2}} (\int_{- \infty}^{0} {({(1 - 秒)}^{x个 - \frac{1}{2}} - {(- 秒)}^{x个 - \frac{1}{2}})}^{2} d日 秒 + \frac{1}{2 H（H）}), x个 \in (0, 1) .

功能

c_{1} (x个)

可按以下格式编写[35]:

c_{1} (x个) = \frac{1}{2 x个 Γ (2 x个) 罪 (π x个)} .

(18)

让我们考虑一下这个过程

{\bar{Y（Y）}}_{1} (t吨) = \frac{{Y（Y）}_{1} (t吨)}{\sqrt{c_{1} ({H（H）}_{1})}}

.然后，

变量 [{\bar{Y（Y）}}_{1} (t吨)] = \frac{c_{1} ({H（H）}_{t吨})}{c_{1} ({H（H）}_{1})} {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}}, 变量 [{\bar{Y（Y）}}_{1} (1)] = 1 .

备注 8

系数

\frac{1}{Γ ({H（H）}_{t吨} + 1)}

英寸(17)回到曼德尔布罗特和范·奈斯的开创性工作[33]，他将分数布朗运动定义为维纳过程的分数积分（该因子确保分数积分成为以下整数值的普通重复积分

{H（H）}_{t吨} - \frac{1}{2}

). 然而，在文献中，移动平均多重分形布朗运动通常被定义为具有不同的规范化常数，即，它被定义为

{\tilde{Y（Y）}}_{1} (t吨) = \frac{{Y（Y）}_{1} (t吨)}{\sqrt{c_{1} ({H（H）}_{t吨})}}

在这种情况下，我们显然有

变量 {\tilde{Y（Y）}}_{1} (t吨) = {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}}

.

让我们考虑一种不同类型的多重分形布朗运动[37,38]. 它基于fBm的Molchan–Golosov紧区间表示[29]. 注意，在下一个定义中，适当的Hurst函数类仅限于这种情况

{H（H）}_{t吨} > \frac{1}{2}

.

定义 7

([37]).让

H（H） : {R（右）}_{+} \to (\frac{1}{2}, 1)

。对于

t吨 \geq 0

，调用以下随机函数Volterra型多重分形布朗运动功能参数H：

{Y（Y）}_{2} (t吨) = \int_{0}^{t吨} 秒^{1 / 2 - {H（H）}_{t吨}} (\int_{秒}^{t吨} {u个}^{{H（H）}_{t吨} - 1 / 2} {(u个 - 秒)}^{{H（H）}_{t吨} - 三 / 2} d日 u个) d日 W公司 (秒),

其中W表示布朗运动。

然后，通过道具。第2页，共页[37],

变量 [{Y（Y）}_{2} (t吨)] = c_{2} ({H（H）}_{t吨}) {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}},

哪里

c_{2} (x个) = \frac{Γ (2 - 2 x个) Γ {(x个 - \frac{1}{2})}^{2} 罪 (π (x个 - \frac{1}{2}))}{2 π x个 (x个 - \frac{1}{2})}, x个 \in (1 / 2, 1) .

(19)

因此，该过程

{\bar{Y（Y）}}_{2} (t吨) = \frac{{Y（Y）}_{2} (t吨)}{\sqrt{c_{2} ({H（H）}_{1})}}

有差异

变量 [{\bar{Y（Y）}}_{2} (t吨)] = \frac{c_{2} ({H（H）}_{t吨})}{c_{2} ({H（H）}_{1})} {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}}

和

变量 [{\bar{Y（Y）}}_{2} (1)] = 1

.

备注 9

在[38]，作者定义了Volterra型多重分形布朗运动，在积分前面有一个归一化函数，即通过关系式

{\tilde{Y（Y）}}_{2} (t吨) = \frac{{Y（Y）}_{2} (t吨)}{\sqrt{c_{2} ({H（H）}_{t吨})}}

显然，在这种情况下

变量 {\tilde{Y（Y）}}_{2} (t吨) = {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}}

.

定义 8

([39]).这个可调和多重分形布朗运动功能参数H定义为

{Y（Y）}_{三} (t吨) = \int_{R（右）} \frac{{e（电子）}^{我 t吨 u个} - 1}{{| u个 |}^{{H（H）}_{t吨} + 1 / 2}} d日 W公司 (u个), t吨 \geq 0 .

哪里

\tilde{W公司} (d日 u个)

是白噪声的“傅里叶变换”

W公司 (d日 u个)

这是一个独特的复值随机测度

（f） \in {L（左）}^{2} (R（右）)

\int_{R（右）} （f） (u个) W公司 (d日 u个) = \int_{R（右）} \hat{（f）} (u个) \tilde{W公司} (d日 u个) 一 . 秒 .;

参见[39,40].

这是从Prop得知的。第4页，共页[41]那个

变量 [{Y（Y）}_{三} (t吨)] = c_{三} ({H（H）}_{t吨}) {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}},

(20)

哪里

c_{三} (x个) = \frac{π}{x个 Γ (2 x个) 罪 (π x个)} .

(21)

通过定义可调和多重分形布朗运动的规范化版本

{\bar{Y（Y）}}_{三} (t吨) = \frac{{Y（Y）}_{三} (t吨)}{\sqrt{c_{三} ({H（H）}_{1})}}

以便

变量 [{\bar{Y（Y）}}_{三} (t吨)] = \frac{c_{三} ({H（H）}_{t吨})}{c_{三} ({H（H）}_{1})} {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}} 和 变量 [{\bar{Y（Y）}}_{三} (1)] = 1 .

提议三。

对于熵，有以下公式

{\bar{Y（Y）}}_{我} (t吨)

,

我 = 1, 2, 三

.

(1): 香农熵等于

${H（H）}_{S公司}^{{\bar{Y（Y）}}_{我}} (t吨) = {H（H）}_{t吨} 日志 t吨 + \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{t吨}) - \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{1}) + \frac{1}{2} (1 + 日志 (2 π)) .$

(22)
(2): Rényi熵( $α > 0$ , $α \neq 1$ )等于

${H（H）}_{R（右）}^{{\bar{Y（Y）}}_{我}} (α, t吨) = {H（H）}_{t吨} 日志 t吨 + \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{t吨}) - \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{1}) + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{日志 α}{2 (α - 1)} .$

(23)
(3): 情形中的广义Rényi熵 $α = β$ 等于

${H（H）}_{G公司 R（右）}^{{\bar{Y（Y）}}_{我}} (α, t吨) = {H（H）}_{t吨} 日志 t吨 + \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{t吨}) - \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{1}) + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{1}{2 α} .$

(24)
(4): 情形中的广义Rényi熵 $α \neq β$ 等于

$\begin{matrix} {H（H）}_{G公司 R（右）}^{{\bar{Y（Y）}}_{我}} (α, β, t吨) = {H（H）}_{t吨} 日志 t吨 + \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{t吨}) - \frac{1}{2} 日志 c_{我} ({H（H）}_{1}) \\ + \frac{1}{2} 日志 (2 π) + \frac{日志 β - 日志 α}{2 (β - α)} . \end{matrix}$

(25)
(5): Tsallis熵( $α > 0$ , $α \neq 1$ )等于

${H（H）}_{T型}^{{\bar{Y（Y）}}_{我}} (α, t吨) = \frac{{t吨}^{(1 - α) {H（H）}_{t吨}} {(2 π c_{我} ({H（H）}_{t吨}) / c_{我} ({H（H）}_{1}))}^{\frac{1 - α}{2}} α^{- 1 / 2} - 1}{1 - α} .$

(26)
(6): Sharma–Mittal熵 $α, β \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ 等于

${H（H）}_{S公司 M（M）}^{{\bar{Y（Y）}}_{我}} (α, β, t吨) = \frac{1}{1 - β} (\frac{{t吨}^{(1 - β) {H（H）}_{t吨}} {(2 π c_{我} ({H（H）}_{t吨}) / c_{我} ({H（H）}_{1}))}^{\frac{1 - β}{2}}}{α^{\frac{1 - β}{2 (1 - α)}}} - 1) .$

(27)

现在，让我们比较不同版本的多重分形布朗运动的熵。回想一下Volterra型多重分形布朗运动

{Y（Y）}_{2}

仅针对

{H（H）}_{t吨} > \frac{1}{2}

.

提议 4

让

H（H） : {R（右）}_{+} \to (0, 1)

和

A类 = S公司, R（右）, G公司 R（右）, T型, S公司 M（M）

.

(1): 对于所有人 $t吨 \geq 0$ , ${H（H）}_{A类}^{{\bar{Y（Y）}}_{1}} (\cdot, t吨) = {H（H）}_{A类}^{{\bar{Y（Y）}}_{三}} (\cdot, t吨)$ .
(2): 让 ${H（H）}_{t吨} > \frac{1}{2}$ .然后

$\begin{matrix} {H（H）}_{A类}^{{\bar{Y（Y）}}_{1}} (\cdot, t吨) & \leq {H（H）}_{A类}^{{\bar{Y（Y）}}_{2}} (\cdot, t吨) 如果 {H（H）}_{t吨} \leq {H（H）}_{1}, \\ {H（H）}_{A类}^{{\bar{Y（Y）}}_{1}} (\cdot, t吨) & \geq {H（H）}_{A类}^{{\bar{Y（Y）}}_{2}} (\cdot, t吨) 如果 {H（H）}_{t吨} \geq {H（H）}_{1} . \end{matrix}$

证明。

(我)

它紧接着从(18)和(21)那个

\frac{c_{三} (x个)}{c_{1} (x个)} = 2 π

为所有人

x个 \in (0, 1)

这意味着对于任何Hurst函数

{H（H）}_{t吨}

,

变量 [{\bar{Y（Y）}}_{1} (t吨)] = \frac{c_{1} ({H（H）}_{t吨})}{c_{1} ({H（H）}_{1})} {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}} = \frac{c_{三} ({H（H）}_{t吨})}{c_{三} ({H（H）}_{1})} {t吨}^{2 {H（H）}_{t吨}} = 变量 [{\bar{Y（Y）}}_{三} (t吨)],

也就是熵

{Y（Y）}_{1} (t吨)

和

{Y（Y）}_{三} (t吨)

重合。

(我 我)

根据备注1，所有熵都是方差的增函数。因此，比较移动平均和Volterra型多重分形布朗运动的方差就足够了。

对于

x个 \in (\frac{1}{2}, 1)

，公式(18)和(19)暗示

\begin{matrix} \frac{c_{2} (x个)}{c_{1} (x个)} & = \frac{Γ (2 x个) Γ (2 - 2 x个) Γ {(x个 - \frac{1}{2})}^{2} 罪 (π (x个 - \frac{1}{2})) 罪 (π x个)}{π (x个 - \frac{1}{2})} \\ = \frac{2 Γ (2 x个 - 1) Γ (2 - 2 x个) Γ {(x个 - \frac{1}{2})}^{2} 罪 (π (x个 - \frac{1}{2})) 罪 (π x个)}{π} \\ = \frac{2 罪 (π (x个 - \frac{1}{2})) 罪 (π x个)}{罪 (π (2 x个 - 1))} Γ {(x个 - \frac{1}{2})}^{2} = Γ {(x个 - \frac{1}{2})}^{2} . \end{matrix}

因此，

\frac{变量 {\bar{Y（Y）}}_{2} (t吨)}{变量 {\bar{Y（Y）}}_{1} (t吨)} = \frac{Γ {({H（H）}_{t吨} - \frac{1}{2})}^{2}}{Γ {({H（H）}_{1} - \frac{1}{2})}^{2}} .

自从函数

Γ (x个 - \frac{1}{2})

减少了

x个 \in (\frac{1}{2}, 1)

，我们看到了

变量 {\bar{Y（Y）}}_{1} (t吨) \leq 变量 {\bar{Y（Y）}}_{2} (t吨)

当且仅当

{H（H）}_{t吨} \leq {H（H）}_{1}

. □

3.3. 回火分数布朗运动

最近引入了两类连续随机高斯过程，称为回火分数布朗运动（TFBM）和第二类回火分数布朗活动（TFBMII）[42]和[43]分别是。这些过程通过引入指数回火来修改fBm移动平均表示中使用的幂律核。与标准fBm不同，TFBM可以定义为任何Hurst参数值

H（H） > 0

这些过程引起了各个领域研究人员的关注。值得注意的是，在中构造了受TFBM扰动的Langevin方程的随机唯象分支[44]揭示了多样而有趣的分歧现象。此外，TFBM和TFBMII对于在中等尺度上表现分数布朗运动特征但在较长尺度上偏离的数据（如风速测量值）来说，作为随机模型是有价值的。

定义 9

给定一个独立散射的高斯随机测度

W公司 (d日 x个)

在

R（右）

控制措施dx，对于任何

H（H） > 0

和

λ > 0

，随机过程

{B类}_{H（H）, λ}^{我} = {{B类}_{H（H）, λ}^{我} (t吨), t吨 \geq 0}

由维纳积分定义

{B类}_{H（H）, λ}^{我} (t吨) : = \int_{- \infty}^{t吨} [{e（电子）}^{- λ (t吨 - x个)} {(t吨 - x个)}^{H（H） - 1 / 2} - {e（电子）}^{- λ {(- x个)}_{+}} {(- x个)}_{+}^{H（H） - 1 / 2}] W公司 (d日 x个),

哪里

0^{0} = 0

称为回火分数布朗运动（TFBM）.

自TFBM以来([45]（第7页）具有协方差函数

Cov公司 ({B类}_{H（H）, λ}^{我} (t吨), {B类}_{H（H）, λ}^{我} (秒)) = \frac{1}{2} [{({C类}_{t吨}^{我})}^{2} {t吨}^{2 H（H）} + {({C类}_{秒}^{我})}^{2} 秒^{2 H（H）} - {({C类}_{| t吨 - 秒 |}^{我})}^{2} {| t吨 - 秒 |}^{2 H（H）}]

对于任何

秒, t吨 \in R（右）

，其中

{({C类}_{t吨}^{我})}^{2} = \frac{2 Γ (2 H（H）)}{{(2 λ t吨)}^{2 H（H）}} - \frac{2 Γ (H（H） + 1 / 2)}{\sqrt{π}} \frac{1}{{(2 λ t吨)}^{H（H）}} {K（K）}_{H（H）} (λ t吨),

(28)

哪里

t吨 \neq 0

和

{K（K）}_{ν} (z（z）)

是第二类修正贝塞尔函数（参见附录C)，那么我们有

变量 ({B类}_{H（H）, λ}^{我} (t吨)) = {({C类}_{t吨}^{我})}^{2} {t吨}^{2 H（H）} .

定义 10

给定一个独立散射的高斯随机测度

W公司 (d日 x个)

在

R（右）

控制措施dx，对于任何

H（H） > 0

和

λ > 0

，随机过程

{B类}_{H（H）, λ}^{我 我} = {{B类}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨), t吨 \geq 0}

由维纳积分定义

{B类}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨) : = \int_{- \infty}^{t吨} 克_{H（H）, λ, t吨}^{我 我} (x个) W公司 (d日 x个),

哪里

\begin{matrix} 克_{H（H）, λ, t吨}^{我 我} (x个) & : = {(t吨 - x个)}^{H（H） - 1 / 2} {e（电子）}^{- λ (t吨 - x个)} - {(- x个)}_{+}^{H（H） - 1 / 2} {e（电子）}^{- λ {(- x个)}_{+}} \\ + λ \int_{0}^{t吨} {(秒 - x个)}_{+}^{H（H） - 1 / 2} {e（电子）}^{λ {(秒 - x个)}_{+}} d日 秒, x个 \in R（右） . \end{matrix}

称为第二类调和分数布朗运动（TFBMII）.

根据[45]（第7页），TFBMII具有协方差函数

Cov公司 ({B类}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨), {B类}_{H（H）, λ}^{我 我} (秒)) = \frac{1}{2} [{({C类}_{t吨}^{我 我})}^{2} {t吨}^{2 H（H）} + {({C类}_{秒}^{我 我})}^{2} 秒^{2 H（H）} - {({C类}_{| t吨 - 秒 |}^{我 我})}^{2} {| t吨 - 秒 |}^{2 H（H）}]

对于任何

秒, t吨 \in R（右）

，其中

\begin{matrix} {({C类}_{t吨}^{我 我})}^{2} & = \frac{(1 - 2 H（H）) Γ (H（H） + 1 / 2) Γ (H（H）) {(λ t吨)}^{- 2 H（H）}}{\sqrt{π}} \\ \times [1 -_{2} {F类}_{三} ({1, - 1 / 2}, {1 - H（H）, 1 / 2, 1}, λ^{2} {t吨}^{2} / 4)] \\ + \frac{Γ (1 - H（H）) Γ (H（H） + 1 / 2)}{\sqrt{π} H（H） 2^{2 H（H）}}_{2} {F类}_{三} ({1, H（H） - 1 / 2}, {1, H（H） + 1, H（H） + 1 / 2}, λ^{2} {t吨}^{2} / 4), \end{matrix}

(29)

和

_{2} {F类}_{三}

是广义超几何函数，定义于附录C因此，相应方差的值等于

变量 ({B类}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨)) = {({C类}_{t吨}^{我 我})}^{2} {t吨}^{2 H（H）} .

让我们定义

{\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我} (t吨) = \frac{{B类}_{H（H）, λ}^{我} (t吨)}{{C类}_{1}^{我}}, {\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨) = \frac{{B类}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨)}{{C类}_{1}^{我 我}} .

然后，

变量 [{\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我} (t吨)] = \frac{{({C类}_{t吨}^{我})}^{2}}{{({C类}_{1}^{我})}^{2}} {t吨}^{2 H（H）}, 变量 [{\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨)] = \frac{{({C类}_{t吨}^{我 我})}^{2}}{{({C类}_{1}^{我 我})}^{2}} {t吨}^{2 H（H）},

(30)

和

变量 [{\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我} (1)] = 变量 [{\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我 我} (1)] = 1

.

根据备注1，为了比较

{\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我} (t吨)

和

{\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨)

，比较它们的方差就足够了。由(30)，这个问题可以归结为对比率行为的调查

{C类}_{t吨}^{我} / {C类}_{t吨}^{我 我}

也就是说，我们需要比较它在任意点的值t吨其值为

t吨 = 1

还请注意

{C类}_{t吨}^{我}

和

{C类}_{t吨}^{我 我}

在

λ

是这样的

{C类}_{t吨}^{我} (λ) = {C类}_{1}^{我} (λ t吨)

,

{C类}_{t吨}^{我 我} (λ) = {C类}_{1}^{我 我} (λ t吨)

因此，研究比率就足够了

{C类}_{1}^{我} / {C类}_{1}^{我 我}

作为的函数

λ

从中可以看出图9，此比率在

λ

对于的所有选定值H（H）因此，我们的数值研究得出以下推测：

变量 {\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我} (t吨) > 变量 {\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨) 如果 t吨 < 1

和

变量 {\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我} (t吨) < 变量 {\bar{B类}}_{H（H）, λ}^{我 我} (t吨) 如果 t吨 > 1 .

由于表达式的复杂性，这一结果的分析证明具有挑战性(28)和(29).

备注 10

为了方便读者，图形的MATLAB脚本发布为补充材料.

4.结论

我们检验了应用于高斯分布的五种不同的熵测度：香农熵、雷诺熵、广义雷诺熵、Tsallis熵和Sharma–Mittal熵。我们研究了它们的相互关系，并根据它们对特定参数的依赖性分析了它们的特性。此外，我们的研究扩展到分数高斯过程，包括分数布朗运动、亚分数布朗运动，双分数布朗运动和多重分数布朗运动以及回火分数布朗运动。我们对与这些过程的一维分布相关的熵进行了比较分析。

熵测度广泛应用于信号处理、金融、气候科学和图像分析等多个领域的分数过程分析。分数过程是捕获不同数据类型中的长期依赖性和自相似性的基本模型。熵在量化分数过程产生的信号的复杂性和信息含量方面起着至关重要的作用，这对于预测、风险评估和异常检测等任务来说是非常宝贵的。在金融领域，熵被用来评估资产价格的信息含量和可预测性。

我们的研究为未来在几个方向上的扩展提供了可能性。进一步研究的潜在途径包括探索非高斯过程、非平稳过程和具有非平稳增量的过程的各种熵测度。此外，我们可以深入研究描述随机环境中粒子系统相互作用的随机微分方程的解。

补充资料

以下支持信息可在https://www.mdpi.com/article/10.3390/axioms12111026/s1，图形的MATLAB脚本。

作者贡献

调查、A.M.、Y.M.、K.R.和Y.A.R。；书写原稿准备，A.M.、Y.M.、K.R.和Y.A.R.所有作者均已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

第二位作者得到了瑞典战略研究基金会（授予号：UKR22-0017）和日本科学技术署（项目参考号：JPMJCR2115）的支持。第三位作者承认，本研究是在挪威研究委员会ToppForsk项目274410的框架和支持下进行的，该项目的标题为STORM：时空风险模型的随机性。

数据可用性声明

本研究未创建或分析新数据。数据共享不适用于本文。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

附录A.中心正态分布的熵计算

附录A.1。香农熵

以下转变是显而易见的：

\begin{matrix} {H（H）}_{S公司} = - \int_{R（右）} （f） (x个) 日志 （f） (x个) d日 x个 \\ = - \int_{R（右）} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} 经验 (- \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}}) 日志 (\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} 经验 (- \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}})) d日 x个 \\ = - \int_{R（右）} \frac{经验 (- \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}})}{σ \sqrt{2 π}} (日志 \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} - \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}}) d日 x个 \\ = - 日志 \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} + \int_{R（右）} \frac{1}{σ \sqrt{2 π}} 经验 (- \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}}) \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}} d日 x个 \\ = 日志 σ \sqrt{2 π} + 1 / 2 = 1 / 2 (1 + 日志 2 π) + 日志 σ . \end{matrix}

附录A.2。Rényi熵

\begin{matrix} \int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个 = \int_{R（右）} {(\frac{1}{σ \sqrt{2 π}} 经验 (- \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}}))}^{α} d日 x个 \\ = {(\frac{1}{σ \sqrt{2 π}})}^{α} \int_{R（右）} 经验 (- \frac{{x个}^{2} α}{2 σ^{2}}) d日 x个 \\ = {(\frac{1}{σ \sqrt{2 π}})}^{α} \frac{\sqrt{2 π σ^{2} / α}}{\sqrt{2 π σ^{2} / α}} \int_{R（右）} 经验 (- \frac{{x个}^{2}}{2 {(σ / \sqrt{α})}^{2}}) d日 x个 \\ = {(\frac{1}{σ \sqrt{2 π}})}^{α} \frac{\sqrt{2 π} σ}{\sqrt{α}} = \frac{1}{σ^{α - 1} {(2 π)}^{\frac{α - 1}{2}} α^{1 / 2}}, \end{matrix}

（A1）

从哪里

\begin{matrix} {H（H）}_{R（右）} (α) = \frac{1}{1 - α} 日志 \int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个 = \frac{1}{α - 1} 日志 (σ^{α - 1} {(2 π)}^{\frac{α - 1}{2}} α^{1 / 2}) \\ = 日志 σ + 1 / 2 日志 (2 π) + \frac{日志 α}{2 (α - 1)} . \end{matrix}

附录A.3。广义Rényi熵

让我们计算这种情况下的广义Rényi熵

α = β

.我们表示

γ : = \frac{σ}{\sqrt{α}}

并使用公式(A1类):

\begin{matrix} {H（H）}_{G公司 R（右）} (α) = - \frac{\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) 日志 （f） (x个) d日 x个}{\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个} \\ = \int_{R（右）} δ^{- α} {e（电子）}^{- \frac{α {x个}^{2}}{2 σ^{2}}} (日志 δ + \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}}) d日 x个 \cdot δ^{α - 1} α^{1 / 2} \\ = δ α^{- 1 / 2} δ^{- α} \int_{R（右）} \frac{1}{γ \sqrt{2 π}} {e（电子）}^{- \frac{{x个}^{2}}{2 γ^{2}}} (日志 δ + \frac{{x个}^{2}}{2 σ^{2}}) d日 x个 \cdot δ^{α - 1} α^{1 / 2} \\ = 日志 δ + \frac{1}{2 σ^{2}} \int_{R（右）} {x个}^{2} {e（电子）}^{- \frac{{x个}^{2}}{2 γ^{2}}} \frac{1}{γ \sqrt{2 π}} d日 x个 \\ = 日志 δ + \frac{1}{2 σ^{2}} γ^{2} = 日志 δ + \frac{1}{2 α} . \end{matrix}

在这种情况下计算广义Rényi熵

α \neq β

，我们使用公式(A1类):

\begin{matrix} {H（H）}_{G公司 R（右）} (α, β) & = \frac{1}{β - α} 日志 \frac{\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个}{\int_{R（右）} {（f）}^{β} (x个) d日 x个} = \frac{1}{β - α} 日志 \frac{δ^{β - 1} \sqrt{β}}{δ^{α - 1} \sqrt{α}} \\ = \frac{1}{β - α} 日志 (δ^{β - α} \sqrt{β} / \sqrt{α}) = 日志 δ + \frac{日志 β - 日志 α}{2 (β - α)} . \end{matrix}

附录A.4。Tsallis熵

Tsallis熵(

α > 0

,

α \neq 1

)可以使用公式计算(A1类)如下：

{H（H）}_{T型} (α) = \frac{1}{1 - α} (\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个 - 1) = \frac{\frac{1}{δ^{α - 1} α^{1 / 2}} - 1}{1 - α} = \frac{δ^{1 - α} α^{- 1 / 2} - 1}{1 - α} .

（A2）

附录A.5。Sharma–Mittal熵

Sharma–Mittal熵(

α > 0

,

α \neq 1

,

β \neq 1

)计算方法类似。由(A1类)，我们有

\begin{matrix} {H（H）}_{S公司 M（M）} (α, β) & = \frac{1}{1 - β} ({(\int_{R（右）} {（f）}^{α} (x个) d日 x个)}^{\frac{1 - β}{1 - α}} - 1) \\ = \frac{1}{1 - β} ({(\frac{1}{σ^{α - 1} {(2 π)}^{\frac{α - 1}{2}} α^{1 / 2}})}^{\frac{1 - β}{1 - α}} - 1) = \frac{1}{1 - β} (\frac{{(\sqrt{2 π} σ)}^{1 - β}}{α^{\frac{1 - β}{2 (1 - α)}}} - 1) . \end{matrix}

附录B辅助引理

引理 答：。

Let函数

克 \in {C类}^{(三)} (0, + \infty)

和

克^{‴} (x个) > 0, x个 > 0, {x个}_{0} > 0 .

然后，函数

ψ (x个) = \frac{克 (x个) - 克 ({x个}_{0})}{x个 - {x个}_{0}}, x个 > 0

是凸的。

证明。

让我们计算导数：

ψ^{'} (x个) = \frac{克^{'} (x个) (x个 - {x个}_{0}) - 克 (x个) + 克 ({x个}_{0})}{{(x个 - {x个}_{0})}^{2}},

\begin{matrix} ψ^{″} (x个) & = & [克^{″} (x个) {(x个 - {x个}_{0})}^{三} - 2 (x个 - {x个}_{0}) (克^{'} (x个) (x个 - {x个}_{0}) - 克 (x个) + 克 ({x个}_{0}))] {(x个 - {x个}_{0})}^{- 4} \\ = & 2 [克 (x个) - 克 ({x个}_{0}) - 克^{'} (x个) (x个 - {x个}_{0}) + \frac{1}{2} 克^{″} (x个) {(x个 - {x个}_{0})}^{2}] {(x个 - {x个}_{0})}^{- 三} \\ = & 2 [克 (x个) - 克 ({x个}_{0}) + 克^{'} (x个) ({x个}_{0} - x个) + \frac{1}{2} 克^{″} (x个) {({x个}_{0} - x个)}^{2}] {(x个 - {x个}_{0})}^{- 三} . \end{matrix}

根据泰勒公式，

克 ({x个}_{0}) = 克 (x个) + 克^{'} (x个) ({x个}_{0} - x个) + \frac{1}{2} 克^{″} (x个) {({x个}_{0} - x个)}^{2} + \frac{1}{6} 克^{‴} (ξ) {({x个}_{0} - x个)}^{三},

哪里

ξ

介于x个和

{x个}_{0}

即。，

ξ \in [x个 \land {x个}_{0}, x个 \lor {x个}_{0}] .

因此，

克 (x个) - 克 ({x个}_{0}) + 克^{'} (x个) ({x个}_{0} - x个) + \frac{1}{2} 克^{″} (x个) {({x个}_{0} - x个)}^{2} = - \frac{1}{6} 克^{‴} (ξ) {({x个}_{0} - x个)}^{三}

最后，

ψ^{″} (x个) = 2 (- \frac{1}{6} 克^{‴} (ξ) {({x个}_{0} - x个)}^{三}) {(x个 - {x个}_{0})}^{- 三} = \frac{1}{三} 克^{‴} (ξ) > 0 .

因此，函数

ψ (x个)

为凸形。□

附录C特殊功能K（K）_ν和₂F类_三

在本小节中，我们给出了两个特殊函数的定义，

{K（K）}_{ν}

和

_{2} {F类}_{三}

，我们在第3.3节.

A类第二类修正贝塞尔函数

{K（K）}_{ν} (x个)

具有积分表示

{K（K）}_{ν} (x个) = \int_{0}^{\infty} {e（电子）}^{- x个 科什 t吨} 科什 ν t吨 d日 t吨,

哪里

ν > 0, x个 > 0

.功能

{K（K）}_{ν} (x个)

也有序列表示

{K（K）}_{ν} (x个) = \frac{1}{2} π \frac{我_{- ν} (x个) - 我_{ν} (x个)}{罪 (π ν)},

哪里

我_{ν} (x个) = (\frac{1}{2} {| x个 |)}^{ν} \sum_{n个 = 0}^{\infty} \frac{{(\frac{1}{2} x个)}^{2 n个}}{n个! Γ (n个 + 1 + ν)}

称为贝塞尔函数。我们建议读者参考[46]有关第二类修正贝塞尔函数的更多信息。

接下来，我们定义合流超几何函数

_{2} {F类}_{三}

我们用来获得TFBMII的方差和协方差。一般来说，广义超几何函数

_{第页} {F类}_{q个}

由定义

_{第页} {F类}_{q个} (一_{1}, \dots, 一_{第页}, b_{1}, \dots, b_{q个}, z（z）) = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{{(一_{1})}_{k个} {(一_{2})}_{k个} \dots {(一_{第页})}_{k个}}{{(b_{1})}_{k个} {(b_{2})}_{k个} \dots {(b_{q个})}_{k个}} \frac{{z（z）}^{k个}}{k个!},

哪里

{(c_{我})}_{k个} = \frac{Γ (c_{我} + k个)}{Γ (k个)}

被称为Pochhammer符号。因此，

\begin{matrix} _{2} {F类}_{三} ({一_{1}, 一_{2}}, {b_{1}, b_{2}, b_{三}}, z（z）) & =_{2} {F类}_{三} (一_{1}, 一_{2}, b_{1}, b_{2}, b_{三}, z（z）) \\ = \sum_{k个 = 0}^{\infty} \frac{Γ (一_{1} + k个) Γ (一_{2} + k个) Γ (k个)}{Γ (b_{1} + k个) Γ (b_{2} + k个) Γ (b_{三} + k个)} \frac{{z（z）}^{k个}}{k个!} . \end{matrix}

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图1。Tsallis熵作为

θ

和

α

,

θ < 1

.

图1。作为函数的Tsallis熵

θ

和

α

,

θ < 1

.

图2。作为函数的Tsallis熵

α

对于

θ = 0.3, 0.6, 0.9

.

图2。作为函数的Tsallis熵

α

对于

θ = 0.3, 0.6, 0.9

.

图3。作为函数的Tsallis熵

θ

和

α

,

1 < θ < {e（电子）}^{{x个}_{0}}

.

图3。作为函数的Tsallis熵

θ

和

α

,

1 < θ < {e（电子）}^{{x个}_{0}}

.

图4。作为函数的Tsallis熵

θ

和

α

,

θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}

.

图4。Tsallis熵作为

θ

和

α

,

θ > {e（电子）}^{{x个}_{0}}

.

图5。作为函数的Tsallis熵

α

对于

θ = 1.5, 2, 2.8

.

图5。作为函数的Tsallis熵

α

对于

θ = 1.5, 2, 2.8

.

图6。作为函数的Tsallis熵

α

对于

θ = 三, 5, 9

.

图6。作为函数的Tsallis熵

α

对于

θ = 三, 5, 9

.

图7。

ν (θ)

和拐点。

图7。

ν (θ)

和拐点。

图8。具有Hurst参数的分数布朗运动的各种熵

H（H） = 0.75

作为的功能t吨.

图8。具有Hurst参数的分数布朗运动的各种熵

H（H） = 0.75

作为的功能t吨.

图9。比率

{C类}_{1}^{我} / {C类}_{1}^{我 我}

作为的函数

λ

.

图9。比率

{C类}_{1}^{我} / {C类}_{1}^{我 我}

作为的函数

λ

.

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MDPI和ACS样式

Malyarenko，A。；米苏拉，Y。；Ralchenko，K。；纽约州鲁迪克。高斯分布各种熵的性质和分数过程熵的比较。公理 2023,12, 1026.https://doi.org/10.3390/axioms12111026

AMA风格

Malyarenko A、Mishura Y、Ralchenko K、Rudyk YA。高斯分布各种熵的性质和分数过程熵的比较。公理. 2023; 12(11):1026.https://doi.org/10.3390/axioms12111026

芝加哥/图拉宾风格

Malyarenko、Anatoliy、Yuliya Mishura、Kostiantyn Ralchenko和Yevhenia Anastasiia Rudyk。2023.“高斯分布各种熵的性质和分数过程熵的比较”公理12，编号11:1026。https://doi.org/10.3390/axioms12111026

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高斯分布各种熵的性质及分数过程熵的比较

摘要

1.简介

2.正态分布的Shannon、Rényi、广义Rénnyi、Tsallis和Sharma–Mittal熵：熵作为参数函数的性质

3.高斯分数过程及其方差示例：分数高斯过程的熵

3.1. 分数、次分数和双分数布朗运动

3.2. 多重分数布朗运动

3.3. 回火分数布朗运动

4.结论

补充资料

作者贡献

基金

数据可用性声明

利益冲突

附录A.中心正态分布的熵计算

附录A.1。香农熵

附录A.2。Rényi熵

附录A.3。广义Rényi熵

附录A.4。Tsallis熵

附录A.5。Sharma–Mittal熵

附录B辅助引理

附录C特殊功能K（K）_ν和₂F类_三

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3.2. 多重分数布朗运动

3.3. 回火分数布朗运动

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