1.简介
让代表形式分析函数的标准类然后让是中的函数类，在. A函数（f）表单的(1)据说是α级星形在里面如果 所有这些函数的集合表示为.
接下来，由，我们表示α阶凸函数在里面满足以下不等式： A函数（f）表单的(1)据说是α级强星形,，英寸如果 所有这些函数的集合表示为此外，还有一个函数（f）表单的(1)据说是α阶强凸,，英寸如果 所有这些函数的集合表示为.
这个班级由Brannan和Kirwan独立介绍[1]和斯坦基维茨[2]（另请参见[三]). 显然，是星形函数的类是中的凸函数类我们应该注意到增加套数和变小；然而，作为增加套数和变得更大。此外，尽管类中函数的尖锐系数边界和已知集合中函数的尖锐系数界限和更难获得，并且只知道部分结果[1,4]. 让表示一类解析函数在里面令人满意的和因此，如果，则具有以下形式： 中的函数被称为甲状旁腺功能.
与每个，是一个定义明确的对数函数 数字被称为f的对数系数在单叶函数系数问题中，对数系数是非常重要的。对数系数的重要性在于（f）可以通过Lebedev–Milin不等式传递到单价函数本身的Taylor系数或其幂。
关于（f）什么时候.Koebe函数的对数系数是。由于Koebe函数的极值性质，可以预期，每个; 然而，即使在这种情况下，这种推测也是错误的.面向全班，单对数系数的尖锐估计仅为和未知原因最近，不同的作者研究了对数系数以及函数在一些重要子类中的对数系数的上界已获得（例如[5,6,7,8,9,10]). 关于单叶函数对数系数的一些重要结果的总结，我们参考[11]. 对于，Hankel行列式属于形式的(1)定义为 汉克尔行列式是著名的Fekete–Szegöfunctional。第二个Hankel行列式由提供.
计算的上界问题在不同的亚科在复分析的几何函数理论的文献中是有趣的并且被广泛研究。的上限,不同作者得到了解析函数子类的高阶Hankel行列式[12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24]. 最近，科瓦尔奇克和莱科[25]引入了Hankel行列式，是的对数系数（f）即。， 对于函数在中给出(1)，通过差异化(5)可以获得以下结果： 因此，第二个Hankel行列式可以通过以下方式获得 此外，如果，然后针对我们发现（见[26]) 科瓦尔奇克和莱科[26]获得了的尖锐界限关于阶星形函数和凸函数类.计算Allu和Arora已经考虑了关于开式单位圆盘中对称点的星形和凸函数[27]. 在本文中，我们计算了对于这些类和.
为了建立我们的主要结果，我们需要以下引理：
柠檬 1 ([28]（另请参见[26])). 如果形式为(4)带有，然后对一些人来说和. 对于和，有一个独特的功能具有和如中所示(8)，即 2.该类对数系数的第二个Hankel行列式
定理 1 让.如果，然后这种不平等是尖锐的。函数保持相等 证明。 让和符合形式(1). 然后由(2)我们有对于某些功能表单的(4). 自从上课以来以及功能是旋转不变的，我们可以假设（即，鉴于(8)那个.等式系数，我们得到 现在，我们可能有以下情况:
案例1。假设.然后由(13)我们获得 案例2。假设.然后由(13)我们获得 案例3。假设.事实上，将三角形不等式应用于(13)我们可以写哪里自，我们仅对情况II应用引理2。 我们考虑以下子案例。
3（a）自相当于，这显然适用于此外，不平等等于这是错误的. 3（b）自和我们看到不平等的为false. 3（c）不平等等于很容易验证对于因此，不平等不适用于和. 3（d）我们可以写哪里和 很容易看出这一点,和，用于.
对于方程式，我们有.自,和，用于，方程式具有正唯一根，因此 因此，对于，因此.
此外，，何时、和，何时.
然后针对，我们可以从(14)和引理2，我们得到哪里自对于,是上的递减函数这意味着 3（e）接下来考虑这个案例.使用引理2的最后一种情况，哪里 查找函数的最大值关于区间，让我们研究:自从和对于和.因此是上的递减函数. 此外，这意味着 总结案例1-3中的部分，它遵循了期望的不等式。
为了证明不等式是尖锐的，让我们设置和到(8). 然后，我们得到和。因此(12)我们有和。这表明中给出的函数已达到相等(10). 这就完成了定理的证明。□
对于我们获得了类的边界中给出的星形函数[25]. 推论 1 让.然后不平等是尖锐的。 3.该类对数系数的第二个Hankel行列式
定理 2 让.如果，然后 证明。 让和符合形式(1). 然后，通过(三)，我们有对于某些功能表单的(4). 与定理1的证明一样，我们可以假设（即，鉴于(8)那个.等式系数，我们得到 现在，我们可能有以下情况:
案例1。假设。然后，通过(18)我们获得 案例2。假设然后，通过(18)我们获得 案例3。假设.事实上，将三角形不等式应用于(18)我们可以写哪里 自，我们仅对情况II应用引理2。
我们考虑以下子案例。
3（a）注意对于和。另一方面，我们有 自对于，我们有 此外，自对于，方程式有根大于1。所以对于和. 因此不适用于和.
3（b）自和我们看到不平等的为false. 很容易看出这一点和，用于.
根据:
- （i）
- （ii）
如果然后利用这个事实和，我们可以写
因此，不平等不适用于和.
3（d）我们可以写哪里和 很容易看出这一点,和，用于.
对于方程式，我们有.自和，用于，方程式有一个独特的正根因此，不平等持有，其中。所以我们可以从(19)和引理2，哪里和 如果，然后.所以如果即。，，那么我们有一个关键点： 自我们有; 因此，我们得到对于. 此外，如果，然后是函数正在上减少因此，我们有 3（e）接下来考虑这个案例使用引理2的最后一种情况，哪里 查找函数的最大值关于区间，让我们研究: 因为和对于和.因此是区间上的递减函数。这意味着 总结案例1-3中的部分，它遵循了期望的不等式。
为了显示箱子的清晰度，考虑功能 很明显，功能在中具有和.相应的功能可以从以下位置获得(16). 因此，通过(17)我们有和.来自(18)我们获得对于. 对于这个案例，考虑功能哪里在中给出(20). 从引理1可以看出，函数在中.相应的功能可以从以下位置获得(16)，具有以下系数： 这就完成了证明。
□
对于我们获得了类的边界中给出的凸函数[25]. 推论 2 让.然后不平等是尖锐的。 4.讨论
在本文中，我们得到了强星形函数和强凸函数的对数系数的第二Hankel行列式的精确界。由于单叶函数的对数系数的重要性，我们的结果为研究强星形和强凸函数类以及与这些类相关的其他类的对数系数Hankel行列式提供了基础。此外，我们的结果也可能启发对其他亚类的进一步研究考虑和/或获得高阶Hankel行列式的界。
