一类含超几何函数的扩展分数导数算子及其生成关系

摘要

最近，为了获得一些涉及扩展超几何函数的生成关系，使用了与广义Beta函数相关的分数阶导数的扩展算子[1]. 本文的主要目的是进一步推广扩展分数阶导数算子，并应用广义扩展分数阶微分算子导出一个、两个和多个变量中广义扩展高斯、Appell和Lauricella超几何函数的线性和双线性生成关系。还给出了涉及Mellin变换和广义扩展分数导数算子的一些其他性质和关系。

1.引言、定义和前言

为了清晰易读，我们发现将这一介绍部分划分为三个部分（或子部分）是很自然和方便的。在第1.1部分中，我们介绍了扩展的Beta、Gamma和超几何函数。第1.2部分介绍了熟悉的Riemann–Liouville分数阶导数算子及其推广，这些基本上是由第1.1部分中关于扩展Beta函数的定义所驱动的。在第三小节（第1.3部分）中，我们随后介绍了两个变量中的扩展Appell超几何函数，这些函数最近与第1.2部分中定义的扩展Riemann–Liouville分数导数算子族一起进行了研究。

1.1. 扩展Beta、Gamma和超几何函数

最近几位作者研究了一些著名的特殊函数的扩展（例如，请参见[2,三,4,5,6,7]). 尤其是乔杜里等。[三]给出了经典Beta函数的以下有趣扩展 :

(1.1)

所以，很明显，

在这里，以及在接下来的内容中，比如（例如） 在定义（1.1）中，是由扩展Beta函数的连接引起的 使用Macdonald（或修改后的Bessel）函数 （有关详细信息，请参阅[8,9]).

利用扩展的Beta函数 定义见（1.1），乔杜里等。[8]介绍了如下扩展超几何函数：

(1.2)

哪里 表示Pochhammer符号或移位阶乘，定义为（针对 和 通过

(1.3)

它被理解了按惯例那个 .

在扩展高地理测量函数的几个有趣且可能有用的特性中 由（1.2）定义，乔杜里也给出了Pfaff–Kummer型的以下积分表示等。[8，第592页，方程（3.2）]：

(1.4)

显然，对于高斯超几何函数 ，我们有

以下内容进一步的扩展Gamma函数的推广 （有关详细信息，请参阅[9])，扩展的Beta函数 和扩展的高斯超几何函数 最近被Özergin考虑等。[7]:

(1.5)

(1.6)

和

(1.7)

分别是， 成为（库默的）汇合的超几何函数。厄泽金也给出了Pfaff–Kummer型的以下积分表示等。[7]:

(1.8)

很明显，因为

(1.9)

方程（1.6–1.8）的特殊情况，当 将立即分别得出方程式（1.1）、（1.2）和（1.4）。

在我们目前的调查中默许地假设 其他各种较低（或分母）的参数不是零或负整数（即分母中没有零）。

1.2. Riemann–Liouville分数导数算子及其推广

对于Riemann–Liouville分数阶导数算子 由定义（例如，请参见[10，第181页][11]和[12，第70页等等。])

(1.10)

众所周知

(1.11)

在哪里，在什么地方，

(1.12)

定义（1.10）中的集成路径是复合体中的一条线 -平面来自 到 .

通过引入新参数 属于（例如）定义（1.1）和（1.2）中涉及的类型，Özarslan和Özergin[1]相应地定义了扩展Riemann–Liouville分数阶导数算子 通过

(1.13)

其中，与之前一样， 定义（1.13）中的集成路径，当 ，也是复合体中的一条线 -平面来自 到 .论点 在定义（1.13）和本文其他地方，显然是由于扩展Beta函数定义（1.1）的适用性所必需的 当我们开始

在这种情况下（例如） ，我们从定义（1.13）的第二部分中发现(具有 )那个

这显然产生了函数 什么时候 因此，一般来说，Riemann–Liouville分数导数算子的自然联系 由（1.10）定义普通的当订单为 定义（1.13）中的扩展分数导数算子以及我们在本研究中考虑的进一步推广导致零或正整数丢失。

1.3. 二元扩展Appell超几何函数

与定义（1.7）类似，受其定义（1.13）的启发扩展Riemann–Liouville分数导数 、Özarslan和Özergin[1]扩展了熟悉的Appell超几何函数 和 在两个变量中，如下所示：

(1.14)

和

(1.15)

在特殊情况下 ，生成熟悉的Appell超几何函数 和 在两个变量中（参见[13第14页）。对于这些扩展的Appell超几何函数，例如它们的积分表示以及与扩展的Riemann–Liouville分数导数算子的关系 由（1.13）定义的也可以在奥扎斯兰和奥泽金的著作中找到[1].

本文的目的是研究进一步的扩展分数导数算子的推广 由（1.13）定义，并应用广义算子导出一个、两个和多个变量中超几何函数的生成关系。我们首先介绍第2节，如下进一步的扩展Appel超几何函数的推广：

双变量和扩展的Lauricella超几何函数

属于 变量 定义了它们的积分表示。在第3节，我们介绍并研究了与上述内容相关的属性和关系进一步的扩展分数导数算子的推广 由定义（1.13）定义，并应用广义算子，以获得两个或多个变量中广义扩展Appell和Lauricella超几何函数的各种生成关系。第4节包含一些与Mellin变换和扩展分数导数算子相关的结果。在第5节，根据Srivastava和Manocha的专著中详述的行，通过上述进一步广义分数导数算子，得到了广义扩展超几何函数的一些生成关系[14]. 最后，在第6节最后，我们提出了一些与我们的调查有关的评论和意见。

2.广义扩展Appell函数和Lauricella函数

让一个函数 在磁盘中进行分析 并将其Taylor–Maclaurin系数设为明确地（为了方便起见）用序列表示 。还假设函数 可以在右半平面上继续解析 渐近性质如下：

(2.1)

对于一些合适的常数 和 基本上取决于顺序 .给，以及以下内容，我们假设定义（2.1）第一部分中的级数在以下情况下绝对收敛 对一些人来说 并表示函数 假设在磁盘中进行分析 并且可以在综合体的其他地方进行适当的分析 -定义（2.1）第二部分中提供的订单估算平面。例如，如果我们选择序列 成为数的适当商 -参数为线性的产品 因此，函数 成为熟悉的福克斯-赖特的标志 -函数，我们可以很容易地确定半径 此外，我们可以适当地继续执行生成的功能 通过适当的Mellin–Barnes轮廓积分进行分析（详见[12，第56页等。]). 这些功能包括 确实可以在特别的基础。

就功能而言 由（2.1）定义，我们现在引入了扩展Gamma函数的自然推广 ，扩展的Beta函数 和扩展超几何函数 通过

(2.2)

(2.3)

和

(2.4)

前提是存在定义（2.2-2.4）中的定义积分。

备注1。对于序列的各种特殊选择 ，（2.2–2.4）中的定义将简化为Gamma、Beta和超几何函数的（已知或新）扩展。特别是，如果我们设置

（2.5）

定义（2.2–2.4）立即产生了（1.5–1.7）中关于扩展Gamma函数的定义 ，扩展的Beta函数 和扩展超几何函数 分别是。

就功能而言 由定义（2.1）定义，不难将积分表示定义（1.8）推广到以下形式：

(2.6)

对于适当约束的（真实或复杂）参数 和 ，我们建议进一步的扩展Appell超几何函数的推广：

以及扩展的Lauricella超几何函数：

属于 变量 ，由定义

（2.7）

(2.8)

和

(2.9)

其中广义扩展Beta函数 由定义（1.6）给出。显然，定义（2.7）对应于定义（2.9）的特殊情况，当 此外，鉴于定义（1.9）的关系，定义（2.7）和（2.8）立即产生（1.14）和（1.15）中的定义，当 更一般地说，就顺序而言 定义涉及（2.1），我们有以下定义：

(2.10)

(2.11)

和

(2.12)

其中广义扩展Beta函数 由定义（2.3）给出。

我们现在继续推导上述定义的超几何函数在两个或更多变量中的积分表示。

定理1。 对于广义扩展Appell函数

由定义 和 以下积分表示成立:

(2.13)

和

(2.14)

证明。为了方便起见，我们将断言（2.13）的第二个成员表示为 并假设 然后，在表示

作为它们的Taylor–Maclaurin级数，如果我们颠倒求和和和积分的顺序（这很容易通过绝对一致收敛来证明），我们会发现

(2.15)

根据定义（1.6）和（2.7），得出断言的第一个成员（2.13）。我们对积分表示法（2.13）的证明是通过应用解析延拓原理完成的，因为 （2.13）中的上述内容存在于（2.13”）中列出的约束条件下。

断言（2.14）的证明与（2.13）的证明平行，并以类似的定义（2.3）和（2.10）为基础。所涉及的细节被省略了。

下面的定理2和3很容易从定义（1.6）和（2.3）以及定义（2.8）和（2.11），以及定义（2.9）和定义（2.12）中得出。

定理2。 对于函数

由定义 和 以下积分表示分别成立:

(2.16)

和

(2.17)

证明。自[14，第52页，方程式1.6（2）]

(2.18)

很容易看出

(2.19)

这对于我们按照定理1的证明来证明定理2非常有用。

定理3。 对于函数

由定义 和 以下积分表示分别成立:

（2.20）

和

(2.21)

证明。当 因此，我们省略了所涉及的细节。

3.广义扩展Riemann–Liouville分数导数算子的应用

最近的专著充分介绍了不同作者对分数阶微积分算子及其应用的早期研究[12]（另请参见[15]). Srivastava和Manocha对分数阶导数在生成函数理论中的应用进行了合理的解释（详见[14，第5章]）。在这里，在本节中，我们首先介绍扩展的Riemann–Liouville分数阶导数算子的以下推广 由（1.13）定义：

(3.1)

和

(3.2)

其中，如（1.13）所示， 定义（3.1）和（3.2）中的每一个定义中的积分路径都是复合体中的一条线 -平面来自 到 .

备注2。通过专门化序列，可以很容易地从（3.2）中恢复定义（3.1） 如（2.5）所示。此外，通过使用（1.9）中所示的专门化，定义（3.1）立即减少到（1.13）。对于 定义（1.13）、（3.1）和（3.2）显然会立即简化为熟悉的Riemann–Liouville定义（1.10）。这些和前面提到的其他专门化都相当简单。因此，从今往后，我们选择仅以一般形式陈述结果，并将专门化留给感兴趣的读者练习。

利用定义（3.2），我们可以很容易地推导出熟悉的分数导数公式（1.11）的以下类似公式：

(3.3)

这很容易得出下面的定理4。

定理4。 根据适当有界多重序列 让多变量函数 由定义

(3.4)

然后

(3.5)

前提是 存在.

证明。定理4的断言（3.5）很容易遵循定义（3.2）和（2.3）。因此，我们跳过所涉及的细节。

当我们专门化序列时，定理4断言的分数导数公式（3.5）的一个有趣的特殊情况会发生 如下：

（3.6）

因此，我们得到了一个已知结果的有趣推广[14，第303页，问题1]：

(3.7)

前提是 存在。

自 在定义（2.1）中，在其进一步的特殊情况下

最后一个结果（3.7）可以用广义扩展的Lauricella函数表示 定义如下：

(3.8)

其中，对于 或（可选）

立即产生上述已知结果[14，第303页，问题1]。

当双变量( )在定义（3.4）的情况下，我们设置

因此，通过使用定义（2.4），我们得到

（3.9）

现在，就像我们对定理4的断言（3.5）的演示一样，如果我们应用分数导数公式（3.3）（ )至 乘以 -由（3.9）给出的函数，我们得出以下结果：

(3.10)

其中，我们还将定义（2.11）用于广义扩展Appell函数 .

对于 或（可选）

最后一个公式（3.10）立即产生一个已知结果[14第289页，方程式5.1（18）]。

备注3。Beta函数 定义（用于 )由

(3.11)

可以继续分析 如下（例如，请参见[14，第26页，方程式1.1（48）]）：

（3.12）

因此，很明显，在特殊情况下

这样的额外的约束为 在（3.3）、（3.5）和（3.7）中，以及 在（3.8）和（3.10）中，可以通过应用二者都（3.2）中定义的情况。

4.广义扩展分数导数的梅林变换

适当可积函数的梅林变换 带索引 通常由定义

(4.1)

只要存在（4.1）中的不当积分。

定理5。 根据广义扩展Gamma函数 由定义 以下广义扩展分数导数的梅林变换由 由提供

(4.2)

和

(4.3)

而且，更一般地说，由

(4.4)

前提是断言的每个成员(4.2), (4.3)和(4.4)存在,₂如果₁ 是高斯超几何函数。

证明。使用梅林变换的定义（4.1），我们从（3.2）中发现

(4.5)

我们也设置了 和 在内部 -积分。将（4.5）中的积分顺序与（4.2）互换后，我们得到：

(4.6)

我们显然已经设置好了

在内部 -积分。我们现在解释 -积分和 -通过定义（2.2）（带有 )和（3.12）。这显然完成了我们对定理5所断言的梅林变换公式（4.2）的推导。

或者，通过将（3.3）代入（4.2）的左侧，我们得到

这将再次引导我们进入定理5的断言（4.2）。

为了证明Mellin变换公式（4.3），我们首先写

(4.7)

其中我们使用了定理5中已经证明的断言（4.2）。定理5的断言（4.3）现在将解释 -（4.7）最后一个成员中的级数作为高斯超几何函数 .

除了一个明显的事实 -序列将被倍数替换 -系列中，定理5的第三个断言（4.4）的证明将与第二个断言（4.3）的证明并行。因此，此处可以省略所涉及的细节。

梅林变换公式（4.3）对应于这种情况 一般结果（4.4）。此外，在特殊情况下 （或何时 )，（4.3）将立即简化为梅林变换公式（4.2）。

关于Lauricella超几何函数 属于 变量（有关详细信息，请参阅[14，第60页，方程1.7（4）]，定理5断言（4.4）的特殊情况，当 得到以下梅林变换公式：

(4.8)

它提供了定理5的断言（4.3）的多变量超几何扩展。特别是，设置后

在（4.2）中，如果我们使用定义（3.1）(具有 )，我们获得

(4.9)

它提供了完全校正的奥扎斯兰和奥泽金最近断言的已知结果的版本[1第1832页，定理4.2]。

5.一组生成函数

在本节中，我们导出了一个、两个和多个变量中广义超几何函数的线性和双线性生成关系（参见第2节)通过遵循斯利瓦斯塔瓦和马诺查在专著中相当充分地描述的方法[14，第5章]。我们的主要结果包含在下面的定理6中。

定理6。 对于一个或多个变量中的广义扩展超几何函数，以下每一个生成关系都成立：

(5.1)

(5.2)

(5.3)

和

(5.4)

前提是生成关系的每个成员 到 存在。

证明。我们对定理6的证明基于广义扩展分数导数算子 定义见（3.2）。我们首先重写基本恒等式：

(5.5)

采用以下形式：

(5.6)

现在，将（5.6）的两边乘以 ，如果我们应用广义扩展分数导数算子 在所得方程的每个成员上，我们发现

（5.7）

互换（5.7）中分数微分和求和的顺序，当

我们从（5.7）中发现

(5.8)

通过（3.8）的一些明显特例，在最后诉诸解析延拓原理可导出的约束下，得出定理6的第一个断言（5.1）。

自

(5.9)

一直接的生成关系的证明（5.1），没有广义扩展分数导数算子的应用 由（3.2）定义，可沿以下线给出：

(5.10)

其中，我们仅将定义（2.4）与展开式（5.9）结合使用。

第二个断言（5.2）的证明类似地使用了广义扩展分数导数算子 由（3.2）和以下基本恒等式定义：

(5.11)

而不是标识（5.5）。

接下来，在设置时 和 在（5.1）中，如果我们将所得方程乘以 然后应用广义扩展分数导数算子 结合基本恒等式（5.11），我们发现

(5.12)

根据（3.10）以及（3.8）的一些明显的特例，我们最终得到了定理6所断言的双线性生成关系（5.3）。

最后，断言（5.4）的证明与（5.1）的证明非常相似。事实上，争论所起的作用 在（5.4）中，可以由任何其他参数代替 .

6.结论性意见和意见

在我们目前的调查中，我们介绍并研究了进一步的与广义Beta函数相关的扩展分数阶导数算子的推广，用于获得涉及扩展超几何函数的线性和双线性生成关系[1]. 我们应用广义扩展分数导数算子导出了广义扩展高斯、Appell和Lauricella超几何函数在一个、两个和多个变量中的生成关系。还给出了涉及（例如）梅林变换和广义扩展分数导数算子的许多其他性质和关系。

总结一下，我们在本文中考虑的许多定义可以是进一步的通过引入一个扩展额外的参数 (具有 因此，就 -由（2.1）给出的函数，我们可以引入一个进一步的（2.3）中广义扩展Beta函数的扩展如下：

(6.1)

相应的进一步的定义（2.4）和（2.10）到（2.12）的扩展如下所示

(6.2)

(6.3)

(6.4)

和

(6.5)

分别是。此外，分数导数算子 由（3.2）定义的可以是进一步的扩展如下：

(6.6)

哪里 以及（1.10）、（1.13）、（3.1）和（3.2），定义（6.6）中的集成路径是复合体中的一条线 -平面来自 到 .

自

当我们设置额外的参数 .大多数(如果不是全部)我们在本文中研究的特性和结果 情况，确实可以被视为类似于 以一种相当简单和直接的方式。因此，所涉及的细节可以留给感兴趣的读者练习。