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应用科学
第10卷
第8版
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第条

核磁共振分数阶Bloch方程的Jacobi多项式数值模拟

通过
哈伦德拉·辛格
1和
H.M.Srivastava先生
2,3,4,*
1
印度北方邦加齐普尔233001研究生院数学系
2
加拿大维多利亚大学数学与统计系，BC V8W 3R4
三
台湾台中40402中国医科大学医院医学研究部
4
阿塞拜疆大学数学与信息学系，阿塞拜疆巴库AZ1007 Jeyhun Hajibeyli街71号
*
信件应寄给的作者。
申请。科学。 2020,10(8), 2850;https://doi.org/10.3390/app10082850
收到的意见：2020年3月17日/修订日期：2020年4月10日/接受日期：2020年4月13日/发布日期：2020年4月20日
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版本注释

摘要

:
本文利用雅可比多项式对布洛赫方程的分数阶模型进行了数值模拟。它出现在化学、物理和核磁共振（NMR）中。它也出现在磁共振成像（MRI）和电子自旋共振（ESR）中。它用于纯度测定，前提是已知化合物的分子量和结构。它也可以用于结构确定。通过核磁共振的研究，化学家可以确定许多化合物的结构。将所得数值结果与已知解进行了比较和模拟。通过提供绝对误差和均方根误差的表格，表明了所提出方法的准确性。不同阶数的时间分数导数结果用数字表示。

1.简介

布洛赫方程是一个微分方程组。它主要用于研究昂贵的生物样品，如RNA、DNA、蛋白质和核酸。它有许多实际应用，如过程控制、液体介质、石化厂和炼油厂的过程优化。表面磁共振基于核磁共振原理，测量结果可用于间接估计饱和和非饱和带的含水量。布洛赫方程的标准体系如下所示：
d日 N个 x个 ( 吨 ) d日 吨 = w个 0 N个 年 ( 吨 ) − N个 x个 ( 吨 ) T型 2 d日 N个 年 ( 吨 ) d日 吨 = w个 0 N个 x个 ( 吨 ) − N个 年 ( 吨 ) T型 2
d日 N个 z（z） ( 吨 ) d日 吨 = N个 0 − N个 z（z） ( 吨 ) T型 1 ,
具有初始条件 N个 x个 ( 0 ) = 一 1 ,   N个 年 ( 0 ) = 一 2 和 N个 z（z） ( 0 ) = 一 三 .
在这里 N个 x个 ( 吨 ) ,   N个 年 ( 吨 ) 和 N个 z（z） ( 吨 ) 表示系统磁化 x个 ,   年   和   z（z） 组件； w个 0 是由Larmor关系给出的共振频率 w个 0 = γ M（M） 0 ，其中 M（M） 0 是静磁场 z（z） − 组件， N个 0 是平衡磁化， T型 1 和 T型 2 分别是自旋晶格和自旋-自旋弛豫时间，以及 一 1 ,   一 2 和 一 三 是实际常数。方程（1）的解析解如下所示
N个 x个 ( 吨 ) = e（电子） − 吨 T型 2 ( N个 x个 ( 0 ) 余弦 w个 0 吨 + N个 年 ( 0 ) 罪 w个 0 吨 ) N个 年 ( 吨 ) = e（电子） − 吨 T型 2 ( N个 年 ( 0 ) 余弦 w个 0 吨 − N个 x个 ( 0 ) 罪 w个 0 吨 )
N个 z（z） ( 吨 ) = N个 z（z） ( 0 ) e（电子） − 吨 T型 1 + N个 0 ( 1 − e（电子） − 吨 T型 1 )
分数微积分在生物学等学科中的实际应用[1]，粘弹性[2,三,4]，信号处理[5]，控制理论[6]，流体动力学[7]。有关更多详细信息，读者应参阅[8]。许多磁共振系统都是用分数阶Bloch方程建模的，众所周知，分数阶导数在本质上是非局部的。因此，我们将用分数阶Bloch方程取代积分阶Bloch方程式，以期进一步了解由此产生的磁共振系统。因此，我们用非整数阶时滞导数替换积分阶时滞导数：
d日 α N个 x个 ( 吨 ) d日 吨 α = w个 0 N个 年 ( 吨 ) − N个 x个 ( 吨 ) T型 2 d日 β N个 年 ( 吨 ) d日 吨 β = w个 0 N个 x个 ( 吨 ) − N个 年 ( 吨 ) T型 2
d日 γ N个 z（z） ( 吨 ) d日 吨 γ = N个 0 − N个 z（z） ( 吨 ) T型 1 ,
哪里 0 < α , β , γ ≤ 1 .
非整数阶导数是Liouville–Caputo（LC）意义上的导数。LC非整数阶导数 β 定义如下[8]以下为：
D类 β （f） ( x个 ) = 我 我 − β D类 我 （f） ( x个 ) = 1 Γ ( 我 − β ) ∫ 0 x个 ( x个 − 吨 ) 我 − β − 1 d日 我 d日 吨 我 （f） ( 吨 ) d日 吨 ,   我 − 1 < β < 我 ,   x个 > 0 .
在本文中，我们考虑 β ∈ ( 0 ,   1 ) ; 因此，我们将采取 我 = 1 时间分数导数对方程（3）中布洛赫方程定义的自旋动力学起着关键作用（见[9,10]). 磁化的磁共振成分在系统的初始状态下确定，因此，这些成分应该是明显可预测的。非整数阶Bloch方程的物理意义可以在非整数阶Schrödinger方程的基本准备中理解。
核磁共振中的布洛赫方程可以进行数值模拟和分析（有关详细信息，请参见[11,12,13,14,15,16]). 具有Caputo意义下分数阶导数的时间分数阶Bloch方程在[17]。最近，Kumar等人[18]用同伦摄动法求解分数阶Bloch方程。在中使用了运算矩阵法和勒让德多项式[19]和中的拉盖尔多项式[20]为了解这个方程。在[21]采用迭代法对该方程进行了数值求解。此外，在[22]通过数值逼近，求解了一类特殊的方程，即模糊时间分数Bloch方程。本文提出用雅可比多项式求解分数阶Bloch方程。正交逼近的一些发展可以在[23,24,25,26,27,28,29,30]。有关分数阶微积分的一些介绍性概述和最新发展，请参见[31]。在这种方法中，我们得到了模型中近似参数的未知系数，并利用这些系数获得了核磁共振分数阶Bloch方程的近似解。

2.前期工作

次雅可比多项式 我 [0，1]上的[28]
σ 我 ( 吨 ) = ∑ k个 = 0 我 ( − 1 ) 我 − k个 Γ ( 我 + b条 + 1 ) Γ ( 我 + k个 + 一 + b条 + 1 ) Γ ( k个 + b条 + 1 ) Γ ( 我 + 一 + b条 + 1 ) ( 我 − k个 ) ! k个 ! 吨 k个
雅可比多项式关于权函数的正交性 w个 ( 一 , b条 ) ( 吨 ) = ( 1 − 吨 ) 一 吨 b条 由提供
∫ 0 1 σ n个 ( 吨 ) σ 米 ( 吨 ) w个 ( 一 , b条 ) ( 吨 ) d日 吨 = v（v） n个 一 , b条 δ 米 n个
哪里 δ 米 n个   是Kroneckerδ函数
v（v） n个 一 , b条 = Γ ( n个 + 一 + 1 ) Γ ( n个 + b条 + 1 ) ( 2 n个 + 一 + b条 + 1 ) n个 ! Γ ( n个 + 一 + b条 + 1 )
一个函数 （f） ∈ L（左） 2 [ 0 ,   1 ] ，使用 | （f） ″ ( 吨 ) | ≤ 问 ，可以展开如下：
（f） ( 吨 ) = 林 n个 → ∞ ∑ 我 = 0 n个 c（c） 我 σ 我 ( 吨 ) ,
哪里 c（c） 我 = 1 v（v） 我 一 ,   b条 ∫ 0 1 σ 我 ( 吨 ) （f） ( 吨 ) w个 ( 一 , b条 ) ( 吨 ) d日 吨 .
对于有限维近似，方程式（7）如下所示：
（f） ≅ ∑ 我 = 0 米 c（c） 我 σ 我 ( 吨 ) = C类 T型 q个 米 ( 吨 ) ,
哪里 C类 和 q个 米 ( 吨 ) 是 ( 米 + 1 ) × 1 矩阵由 C类 = [ c（c） 0 , c（c） 1 , … . , c（c） 米 ] T型 和 q个 米 ( 吨 ) = [ σ 0 , σ 1 , … . , σ 米 ] T型 .
定理1。 
如果 q个 n个 ( 吨 ) = [ σ 0 , σ 1 , … . , σ n个 ] T型 表示移位的雅可比向量，如果 v（v） > 0 , 然后 我 v（v） σ 我 ( 吨 ) = 我 ( v（v） ) q个 n个 ( 吨 ) , 哪里 我 ( v（v） ) = ( u个 ( 我 , j个 ) ) , 是 ( n个 + 1 ) × ( n个 + 1 ) 分数阶积分的运算矩阵 v（v） , 及其 ( 我 , j个 ) 第个条目由
u个 ( 我 , j个 ) = ∑ k个 = 0 我 ∑ 我 = 0 j个 ( − 1 ) 我 + j个 − k个 − 我 Γ ( 一 + 1 ) Γ ( 我 + b条 + 1 ) Γ ( 我 + k个 + 一 + b条 + 1 ) Γ ( j个 + 我 + 一 + b条 + 1 ) Γ ( v（v） + k个 + 我 + 一 + b条 + 1 ) ( 2 j个 + 一 + b条 + 1 ) j个 ! ( 我 − k个 ) ! ( j个 − 我 ) ! ( 我 ) !   Γ ( k个 + b条 + 1 ) Γ ( 我 + 一 + b条 + 1 ) Γ ( v（v） + k个 + 1 ) Γ ( j个 + 一 + 1 ) Γ ( 我 + b条 + 1 ) Γ ( k个 + 我 + v（v） + 一 + b条 + 1 )
证明。 
请参阅[28]. □

3.算法的构造

在本节中，我们构造了一个算法来获得Bloch方程的近似解。使用此算法，我们可以获得每个方向的磁化。
让我们采用以下近似值：
d日 α N个 x个 ( 吨 ) d日 吨 α = C类 1 T型 q个 ( 吨 ) ,   d日 β N个 年 ( 吨 ) d日 吨 β = C类 2 T型 q个 ( 吨 ) ,   d日 γ N个 z（z） ( 吨 ) d日 吨 γ = C类 三 T型 q个 ( 吨 ) ,
和
N个 x个 ( 0 ) = L（左） T型 q个 ( 吨 ) ,   N个 年 ( 0 ) = M（M） T型 q个 ( 吨 ) ,   N个 z（z） ( 0 ) = N个 T型 q个 ( 吨 ) ,   N个 0 T型 1 = O（运行） T型 q个 ( 吨 ) .
根据方程（10）和（11），我们可以写
N个 x个 ( 吨 ) = C类 1 T型 我 ( α ) q个 ( 吨 ) + L（左） T型 q个 ( 吨 ) ,
N个 年 ( 吨 ) = C类 2 T型 我 ( β ) q个 ( 吨 ) + M（M） T型 q个 ( 吨 ) ,
N个 z（z） ( 吨 ) = C类 三 T型 我 ( γ ) q个 ( 吨 ) + N个 T型 q个 ( 吨 )
使用方程（3）中的方程（10）、（12）、（13）和（14），我们得到
C类 1 T型 ( 我 + 1 T型 2 我 ( α ) ) − w个 0 C类 2 T型 我 ( β ) = w个 0 M（M） T型 − 1 T型 2 L（左） T型
w个 0 C类 1 T型 我 ( α ) + C类 2 T型 ( 我 + 1 T型 2 我 ( β ) ) = − w个 0 L（左） T型 − 1 T型 2 M（M） T型
C类 三 T型 ( 我 + 1 T型 1 我 ( γ ) ) = O（运行） T型 − 1 T型 1 N个 T型
哪里 我 ( α ) ,   我 ( β )   和   我 ( γ ) 是非整数阶积分的运算矩阵 α , β   和   γ 分别是。在这里 我 是一个单位矩阵。
方程式（15）–（17）的简单形式如下所示：
C类 1 T型 W公司 1 − C类 2 T型 W公司 5 = G公司 1 ,
C类 1 T型 W公司 4 + C类 2 T型 W公司 2 = G公司 2 ,
C类 三 T型 W公司 三 = G公司 三 ,
哪里
W公司 1 = 我 + 1 T型 2 我 ( α ) ,
W公司 2 = 我 + 1 T型 2 我 ( β ) ,
W公司 三 = 我 + 1 T型 1 我 ( γ ) ,
W公司 4 = w个 0 我 ( α ) ,
W公司 5 = w个 0 我 ( β ) ,
G公司 1 = w个 0 M（M） T型 − 1 T型 2 L（左） T型 ,
G公司 2 = − w个 0 L（左） T型 − 1 T型 2 M（M） T型 ,
G公司 三 = O（运行） T型 − 1 T型 1 N个 T型
矩阵 W公司 1 ,   W公司 2 ,   W公司 三 , W公司 4 ,   W公司 5 ,   G公司 1 ,   G公司 2   和 G公司 三 是用已知值表示的，所以这些矩阵是已知矩阵。
在求解方程（18）–（20）时，我们得到
C类 1 T型 = ( G公司 1 W公司 5 − 1 + G公司 2 W公司 2 − 1 ) ( W公司 1 W公司 5 − 1 + W公司 4 W公司 2 − 1 ) − 1 ,
C类 2 T型 = { ( G公司 1 W公司 5 − 1 + G公司 2 W公司 2 − 1 ) ( W公司 1 W公司 5 − 1 + W公司 4 W公司 2 − 1 ) − 1 W公司 1 − G公司 1 } W公司 5 − 1 ,
C类 三 T型 = G公司 三 W公司 三 − 1
分别使用方程（12）-（14）中的方程（29）-（31），我们得到系统磁化 N个 x个 ( 吨 ) ,   N个 年 ( 吨 ) 和 N个 z（z） ( 吨 ) 用于NMR中的Bloch方程。

4.收敛性分析

定理2。 
如果 d日 α N个 x个 d日 吨 α   ϵ C类 ( 米 + 1 ) [ 0 , 1 ] 和 R（右） 米 ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) 是 米 吨 小时 近似值 d日 α N个 x个 d日 吨 α 通过使用 P（P） 米 ( 吨 ) = 秒 第页 一 n个 { σ 0 ( 吨 ) , σ 1 ( 吨 ) , … . , σ 米 ( 吨 ) } ，然后 林 米 → ∞ ‖ d日 α N个 x个 d日 吨 α − R（右） 米 ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) ‖ w个 ( 一 , b条 ) → 0 .
证明。 
自 d日 α N个 x个 d日 吨 α   ϵ C类 ( 米 + 1 ) [ 0 , 1 ] ，那么泰勒多项式 d日 α N个 x个 d日 吨 α 在 吨 = 0 如下所示：
M（M） 1 ( 吨 ) = ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) 吨 = 0 + ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) 吨 = 0 ′ 吨 + … + ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) 吨 = 0 米 吨 米 米 ! .
泰勒多项式的误差上界由下式给出
| d日 α N个 x个 d日 吨 α − M（M） 1 ( 吨 ) | ≤ K（K） 吨 米 + 1 ( 米 + 1 ) ! ,
哪里
K（K） = 最大值 吨 ∈ [ 0 , 1 ] | ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) 米 + 1 ( 吨 ) |
自 R（右） 米 ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) 和 M（M） 1 ∈ P（P） 米 ，我们有
‖ d日 α N个 x个 d日 吨 α − R（右） 米 ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) ‖ w个 ( 一 , b条 ) 2 ≤ ‖ d日 α N个 x个 d日 吨 α − M（M） 1 ‖ w个 ( 一 , b条 ) 2 ,   ≤ ( K（K） ( 米 + 1 ) ! ) 2 ∫ 0 1 吨 2 米 + 2 + b条 ( 1 − 吨 ) 一 d日 吨 , = ( K（K） ( 米 + 1 ) ! ) 2 ⎡ ( 1 + 一 ) ⎡ ( 三 + 2 米 + b条 ) ⎡ ( 4 + 2 米 + 一 + b条 ) , ‖ d日 α N个 x个 d日 吨 α − R（右） 米 ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) ‖ w个 ( 一 , b条 ) ≤ K（K） ( 米 + 1 ) ! ⎡ ( 1 + 一 ) ⎡ ( 三 + 2 米 + b条 ) ⎡ ( 4 + 2 米 + 一 + b条 )
拿 米 → ∞ 在方程（35）中，我们得到
林 米 → ∞ ‖ d日 α N个 x个 d日 吨 α − R（右） 米 ( d日 α N个 x个 d日 吨 α ) ‖ w个 ( 一 , b条 ) → 0 .   □

5.数值结果和讨论

在本节中，我们将用已知结果对结果进行数值模拟。对于每个数值模拟，我们将考虑i.c。 N个 x个 ( 0 ) = 0 ,   N个 年 ( 0 ) = 100 和 N个 z（z） ( 0 ) = 0 .英寸图1和图2，我们分别给出了整数阶Bloch方程数值解的3D和2D图。这些数字显示了 N个 x个 ,   N个 年   和   N个 z（z） 用于积分松弛。在图1，整个磁化轨迹以3D显示，从i.c开始为整数级。 ( N个 x个 ( 0 ) , N个 年 ( 0 ) , N个 z（z） ( 0 ) ) 并返回 N个 0 .来自图2很明显，磁化 N个 x个 在里面 x个 − 方向随时间增加，磁化 N个 年 在里面 年 − 方向随着时间的推移而减小。
在图3和图4，我们给出了分数阶Bloch方程数值解的3D和2D图 ( α = β = γ = 0.9 ) 分别是。这些数字显示了 N个 x个 ,   N个 年   和   N个 z（z） 用于分数阶松弛。在图3，整个磁化轨迹以分数阶3D显示 ( α = β = γ = 0.9 ) 从i.c.开始。 ( N个 x个 ( 0 ) , N个 年 ( 0 ) , N个 z（z） ( 0 ) ) 并返回 N个 0 .来自图4很明显，磁化 N个 x个 在里面 x个 − 方向随时间增加，磁化 N个 年 在里面 年 − 方向随时间减少。
在图5和图6，我们给出了分数阶Bloch方程数值解的3D和2D图 ( α = β = γ = 0.8 ) , 分别是。这些数字显示了 N个 x个 ,     N个 年   和   N个 z（z） 用于分数阶松弛。在图5，整个磁化轨迹以分数阶3D显示 ( α = β = γ = 0.8 ) 从i.c.开始。 ( N个 x个 ( 0 ) , N个 年 ( 0 ) , N个 z（z） ( 0 ) ) 并返回 N个 0 .来自图6很明显，磁化 N个 x个 在里面 x个 − 方向随时间增加，磁化 N个 年 在里面 年 − 方向随时间减少。
在图7和图8，我们给出了分数阶Bloch方程数值解的3D和2D图 ( α = β = γ = 0.7 ) , 分别是。这些数字显示了 N个 x个 ,   N个 年   和   N个 z（z） 用于分数阶松弛。在图7，整个磁化轨迹以分数阶3D显示 ( α = β = γ = 0.7 ) 初始启动时 ( N个 x个 ( 0 ) , N个 年 ( 0 ) , N个 z（z） ( 0 ) ) 并返回 N个 0 .来自图8很明显，磁化 N个 x个 在里面 x个 − 方向随时间增加，磁化 N个 年 在里面 年 − 方向随时间减少。
在图9和图10，我们给出了分数阶Bloch方程数值解的3D和2D图 ( α = 1 ,     β = 0.9 ,     γ = 0.8 ) , 分别是。这些数字显示了 N个 x个 ,   N个 年   和   N个 z（z） 用于分数阶松弛。在图9，整个磁化轨迹以分数阶3D显示 ( α = 1 ,     β = 0.9 ,     γ = 0.8 ) 从i.c.开始。 ( N个 x个 ( 0 ) , N个 年 ( 0 ) , N个 z（z） ( 0 ) ) 并返回 N个 0 .来自图10很明显，磁化 N个 x个 在里面 x个 − 方向随时间增加，磁化 N个 年 在里面 年 − 方向随时间减少。
在图11和图12我们给出了分数阶Bloch方程数值解的三维和二维图 ( α = 0.9 ,     β = 0.9 ,     γ = 1 ) , 分别是。这些数字显示了 N个 x个 ,     N个 年   和   N个 z（z） 用于分数阶松弛。在图11，整个磁化轨迹以分数阶3D显示 ( α = 0.9 ,     β = 0.9 ,     γ = 1 ) 从i.c.开始。 ( N个 x个 ( 0 ) , N个 年 ( 0 ) , N个 z（z） ( 0 ) ) 并返回 N个 0 .来自图12很明显，磁化 N个 x个 在里面 x个 − 方向随着时间的推移而增加，并且磁化 N个 年 在里面 年 − 方向随着时间的推移而减小。
在图13和图14，我们给出了分数阶Bloch方程数值解的3D和2D图 ( α = 1 ,     β = 1 ,     γ = 0.9 ) 分别是。这些数字显示了 N个 x个 ,     N个 年   和   N个 z（z） 用于分数阶松弛。在图13，整个磁化轨迹以分数阶3D显示 ( α = 1 ,     β = 1 ,     γ = 0.9 ) 从初始级别开始 ( N个 x个 ( 0 ) , N个 年 ( 0 ) , N个 z（z） ( 0 ) ) 并返回 N个 0 .来自图14很明显，磁化 N个 x个 在里面 x个 − 方向随时间增加，磁化 N个 年 在里面 年 − 方向随时间减少。
在图15和图16，我们展示了Bloch方程的解析解和数值解的数值模拟 N个 x个 ( 吨 ) 和 N个 年 ( 吨 ) 分别表示整数阶。发件人图16很明显，该解在低频下具有周期性行为。此解决方案会定期变化 N个 x个 ( 吨 ) 和 N个 年 ( 吨 ) 低频率。
在图17,图18和图19，我们已经显示了 N个 x个 ( 吨 ) ,   N个 年 ( 吨 )   和   N个 z（z） ( 吨 ) 分别以不同的值 米 = 三 ,   6   和   9 .英寸图17,图18和图19，绝对误差表示为 E类 1 , E类 2 和 E类 三 对于 米 = 三 ,   6 和9。在所有这些数字中， E类 2 和 E类 三 乘以 10 4 和 10 5 分别是。
从这些数字中，我们可以看到误差随着 米 .英寸图20,图21和图22，我们已经展示了 N个 x个 ( 吨 ) ,     N个 年 ( 吨 )   和   N个 z（z） ( 吨 ) 在不同的值 α ,     β   和   γ ,   分别是。在图20,图21和图22，精确解是指整数阶的解析解 ( α = β = γ = 1 ) 布洛赫方程如方程（2）所示。
从这些数字可以清楚地看出，从非整数阶到整数阶，解的变化是一致的。
在表1，我们列出了最大绝对误差( 我 ∞ )和根平方误差( 我 2 )对于两个不同的值 米 = 4 和 8 在 α = β = γ = 1 ,   w个 0 = 1 ,   T型 1 = 1 ,   T型 2 = 20 ,   一 = b条 = 0.8 。我们通过采用方程（2）给出的精确解计算了整数阶的这些误差。
发件人表1，检测到误差随着 米 .

6.结论和未来范围

本文给出了分数阶和整数阶Bloch方程的数值解和模拟。核磁共振的数学模型允许我们探索和定义静态磁场中共振频率下自旋动力学的磁化。与现有方法相比，我们提出的技术易于实现，因为运算矩阵易于构造。数值部分显示了所用技术给出的解如何在不同的非整数阶时滞导数值下一致变化。此外，对于整数阶，所用技术的解与Bloch方程的精确解相同。误差表显示了该方法的准确性。为了将来的工作，我们可以为不同的多项式构造运算矩阵，以获得更好的精确度。

作者贡献

两位作者的贡献相等。所有作者都已阅读并同意手稿的出版版本。

基金

这项研究没有得到外部资助。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

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阿普西10 02850 g001 550
图1。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,     b条 = 1 .
图1。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,     b条 = 1 .
应用科学10 02850 g001
阿普西10 02850 g002 550
图2。平面布洛赫方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图2。平面布洛赫方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
阿普西10 02850 g002
阿普西10 02850 g003 550
图3。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图3。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g003公司
阿普西10 02850 g004 550
图4。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = β = γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图4。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 具有参数： α = β = γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
阿普西10 02850 g004
阿普西10 02850 g005 550
图5。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图5。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
阿普西10 02850 g005
阿普西10 02850 g006 550
图6。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = β = γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图6。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = β = γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g006公司
阿普西10 02850 g007 550
图7。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 0.7 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图7。带参数的Bloch方程的数值解： α = β = γ = 0.7 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
阿普西10 02850 g007
阿普西10 02850 g008 550
图8。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .     N个 年 ) 带参数： α = β = γ = 0.7 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图8。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .     N个 年 ) 带参数： α = β = γ = 0.7 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
阿普西10 02850 g008
阿普西10 02850 g009 550
图9。带参数的Bloch方程的数值解： α = 1 ,   β = 0.9 ,   γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
图9。带参数的布洛赫方程的数值解： α = 1 ,   β = 0.9 ,   γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g009公司
阿普西10 02850 g010 550
图10。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = 1 ,   β = 0.9 ,   γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
图10。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = 1 ,   β = 0.9 ,   γ = 0.8 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
阿普西10 02850 g010
阿普西10 02850 g011 550
图11。带参数的Bloch方程的数值解： α = 0.9 ,     β = 0.9 ,     γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图11。带参数的布洛赫方程的数值解： α = 0.9 ,     β = 0.9 ,     γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g011公司
阿普西10 02850 g012 550
图12。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = 0.9 ,   β = 0.9 ,   γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图12。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = 0.9 ,   β = 0.9 ,   γ = 1 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g012公司
阿普西10 02850 g013 550
图13。带参数的Bloch方程的数值解： α = 1 ,     β = 1 ,   γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,     b条 = 1 .
图13。带参数的Bloch方程的数值解： α = 1 ,     β = 1 ,   γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,     b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g013公司
阿普西10 02850 g014 550
图14。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = 1 ,   β = 1 ,   γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
图14。平面上Bloch方程的数值解 ( N个 x个   与 .   N个 年 ) 带参数： α = 1 ,   β = 1 ,   γ = 0.9 , w个 0 = 12 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 ,   b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g014公司
阿普西10 02850 g015 550
图15。布洛赫方程解的数值模拟 N个 x个 ( 吨 ) 带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 14 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 0.9 ,   b条 = 0.9 .
图15。布洛赫方程解的数值模拟 N个 x个 ( 吨 ) 带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 14 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 0.9 ,   b条 = 0.9 .
Applsci 10 02850 g015公司
阿普西10 02850 g016 550
图16。布洛赫方程解的数值模拟 N个 年 ( 吨 ) 带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 14 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 0.9 ,   b条 = 0.9 .
图16。布洛赫方程解的数值模拟 N个 年 ( 吨 ) 具有参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 14 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 0.9 ,   b条 = 0.9 .
Applsci 10 02850 g016公司
阿普西10 02850 g017 550
图17。的错误 N个 x个 ( 吨 ) 在 米 = 三 ,   6   和   9 ，带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 , b条 = 1 .
图17。的错误 N个 x个 ( 吨 ) 在 米 = 三 ,   6   和   9 ，带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 , b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g017公司
阿普西10 02850 g018 550
图18。的错误 N个 年 ( 吨 ) 在 米 = 三 ,   6   和   9 ，带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 , b条 = 1 .
图18。的错误 N个 年 ( 吨 ) 在 米 = 三 ,   6   和   9 ，带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 , b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g018公司
阿普西10 02850 g019 550
图19。的错误 N个 z（z） ( 吨 ) 在 米 = 三 ,   6   和   9 ，参数为： α = β = γ = 1 , w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 , b条 = 1 .
图19。的错误 N个 z（z） ( 吨 ) 在 米 = 三 ,   6   和   9 ，带参数： α = β = γ = 1 , w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 , 一 = 1 , b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g019公司
阿普西10 02850 g020 550
图20。近似解的行为 N个 x个 ( 吨 ) 在 α = 0.6 ,   0.7 ,   0.8 ,   0.9   和   1 ，带参数： w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
图20。近似解的行为 N个 x个 ( 吨 ) 在 α = 0.6 ,   0.7 ,   0.8 ,   0.9   和   1 ，带参数： w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
应用科学10 02850 g020
阿普西10 02850 g021 550
图21。近似解的行为 N个 年 ( 吨 ) 在 β = 0.6 ,   0.7   , 0.8 ,   0.9   和   1 ，带参数： w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
图21。近似解的行为 N个 年 ( 吨 ) 在 β = 0.6 ,   0.7   , 0.8 ,   0.9   和   1 ，带参数： w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
Applsci 10 02850 g021公司
阿普西10 02850 g022 550
图22。近似解的行为 N个 z（z） ( 吨 ) 在 γ = 0.6 ,   0.7 ,   0.8 ,   0.9   和   1 ，带参数： w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
图22。近似解的行为 N个 z（z） ( 吨 ) 在 γ = 0.6 ,   0.7 ,   0.8 ,   0.9   和   1 ，参数为： w个 0 = 1 , T型 1 = 1 , T型 2 = 20 ,   一 = 1 ,   b条 = 1 .
阿普西10 02850 g022
表
表1。的比较( 我 ∞ )和( 我 2 )错误发生在 一 = b条 = 0.8 , 米 = 5 ,   8 用于整数阶解。
表1。的比较( 我 ∞ )和( 我 2 )错误发生在 一 = b条 = 0.8 , 米 = 5 ,   8 用于整数阶解。
N个 我 ( 吨 ) 米 = 5
我 ∞ - 错误
我 2 - 错误 		米 = 8
我 ∞ - 错误
我 2 - 错误
N个 x个 ( 吨 ) 2.0349 × 10−44.2101 × 10−8
5.7209 × 10−69.2050 × 10−10
N个 年 ( 吨 ) 1.9648 × 10−46.2953 × 10−10
5.5559×10−66.2953 × 10−10
N个 z（z） ( 吨 ) 1.7733 × 10−65.7426 × 10−10
5.0010 × 10−86.8075 × 10−12

分享和引用

MDPI和ACS样式

辛格，H。；H.M.斯利瓦斯塔瓦。利用雅可比多项式对核磁共振分数阶布洛赫方程进行数值模拟。申请。科学。 2020,10, 2850.https://doi.org/10.3390/app10082850

AMA风格

辛格·H、斯利瓦斯塔瓦·HM。利用雅可比多项式对核磁共振分数阶布洛赫方程进行数值模拟。应用科学. 2020; 10(8):2850.https://doi.org/10.3390/app10082850

芝加哥/图拉宾风格

辛格、哈伦德拉和H.M.斯利瓦斯塔瓦。2020年，“利用雅可比多项式对核磁共振中产生的分数阶布洛赫方程进行数值模拟”应用科学10，第8期：2850。https://doi.org/10.3390/app10082850

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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