Two Efficient Derivative-Free Iterative Methods for Solving Nonlinear Systems

Wang, Xiaofeng; Fan, Xiaodong

doi:10.3390/a9010014

开放式访问第条

求解非线性系统的两种有效的无导数迭代方法

通过

王晓峰

^*

和

范晓东

渤海大学数学与物理学院，锦州121013

^*

信件应寄给的作者。

算法 2016,9(1), 14;https://doi.org/10.3390/a9010014

收到的提交文件：2015年10月16日/修订日期：2016年1月26日/接受日期：2016年1月27日/发布日期：2016年2月1日

（本文属于特刊求解非线性方程和系统的数值算法)

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版本注释

摘要

:

本文提出了两种求解非线性方程组的多步无导数迭代方法。新方法具有较高的计算效率和较低的计算成本。通过对一阶微分差分算子的发展，证明了新方法的收敛阶。将计算效率与现有方法进行了比较。数值实验支持了理论结果。实验结果表明，新方法显著减少了高精度计算过程中的计算时间。

关键词：

非线性方程组;无导数迭代法;收敛阶;高精度

1.简介

求非线性方程组的解

F类 (x个) = 0

是科学和工程领域广泛应用的热点问题，其中

F类 : 天 \subset 对^{米} \to 对^{米}

和天是中的开凸域

对^{米}

.已经提出了许多求解非线性方程组的有效方法，参见示例[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18]以及其中的参考文献。最著名的方法是Steffensen方法[1,2]，由给出

年^{(k)} = ψ_{1} ({x个}^{(k)}, {w个}^{(k)}) = {x个}^{(k)} - {[{w个}^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]}^{- 1} F类 ({x个}^{(k)})

(1)

哪里

{w个}^{(k)} = {x个}^{(k)} + F类 ({x个}^{(k)}), {[{w个}^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]}^{- 1}

是的倒数

[{w个}^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]

和

[{w个}^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类] : 天 \subset 对^{米} \to 对^{米}

是上的一阶除法差天.方程式(1)不需要系统的派生F类在每个迭代中。

为了减少Steffensen方法的计算时间并提高效率指标，公开文献中提出了许多改进的高阶方法，参见[三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]以及其中的参考文献。线路接口单元等。[三]得到了一种求解非线性方程组的四阶无导数方法，可以写成

\begin{matrix} \{\begin{matrix} 年^{(k)} = & ψ_{1} ({x个}^{(k)}, {w个}^{(k)}) \\ {x个}^{(k + 1)} = & ψ_{2} ({x个}^{(k)}, {w个}^{(k)}, 年^{(k)}) \\ = & 年^{(k)} - {[年^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]}^{- 1} ([年^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类] - [年^{(k)}, {w个}^{(k)}; F类] \\ + & [{w个}^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]) {[年^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]}^{- 1} F类 (年^{(k)}) \end{matrix} \end{matrix}

(2)

哪里

{w个}^{(k)} = {x个}^{(k)} + F类 ({x个}^{(k)}) .

格拉乌·桑切斯等。[4,5]开发了一些有效的无导数方法。其中一种方法是以下六阶方法

\begin{matrix} \{\begin{matrix} 年^{(k)} = & {x个}^{(k)} - {[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} F类 ({x个}^{(k)}) \\ {z（z）}^{(k)} = & 年^{(k)} - {\{2 [{x个}^{(k)}, 年^{(k)}; F类] - [{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]\}}^{- 1} F类 (年^{(k)}) \\ {x个}^{(k + 1)} = & ψ_{三} ({w个}^{(k)}, 秒^{(k)}, {x个}^{(k)}, 年^{(k)}, {z（z）}^{(k)}) \\ = & {z（z）}^{(k)} - {\{2 [{x个}^{(k)}, 年^{(k)}; F类] - [{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]\}}^{- 1} F类 ({z（z）}^{(k)}) \end{matrix} \end{matrix}

(3)

哪里

{w个}^{(k)} = {x个}^{(k)} + F类 ({x个}^{(k)})

和

秒^{(k)} = {x个}^{(k)} - F类 ({x个}^{(k)}) .

应注意，方程式(2)和(三)需要在每次迭代中分别计算两个LU分解。Ezquerro还讨论了一些无导数方法等。英寸[6]作者：王等。英寸[7,8]. 在高精度计算中，上述多步无导数迭代方法可以节省计算时间。因此，研究多步无导数迭代方法具有重要意义。

众所周知，我们可以通过降低迭代方法的计算成本来提高迭代方法的效率指标，并减少迭代过程的计算时间。有很多方法可以降低迭代方法的计算成本。在本文中，我们通过减少每次迭代中LU（上下）分解的数量来降低迭代方法的计算成本。提出了两种新的无导数迭代方法来求解非线性方程组第2节.我们证明了新方法的局部收敛阶。新方法的特点是LU分解在每次迭代中只计算一次。第3节用计算效率指数比较不同方法的效率[10].第4节通过数值例子说明了我们方法的收敛性。第5节是一个简短的结论。

2.收敛性的新方法与分析

使用中心差异

[{x个}^{(k)} + F类 ({x个}^{(k)}), {x个}^{(k)} - F类 ({x个}^{(k)}); F类]

，我们提出以下迭代方案

\begin{matrix} \{\begin{matrix} 年^{(k)} = & {x个}^{(k)} - {[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} F类 ({x个}^{(k)}) \\ {x个}^{(k + 1)} = & ψ_{4} ({x个}^{(k)}, {w个}^{(k)}, 秒^{(k)}, 年^{(k)}) = 年^{(k)} - μ_{1} F类 (年^{(k)}) \end{matrix} \end{matrix}

(4)

哪里

μ_{1} = (三 我 - 2 {[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} [年^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]) {[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1}

,

{w个}^{(k)} = {x个}^{(k)} + F类 ({x个}^{(k)}),

秒^{(k)} = {x个}^{(k)} - F类 ({x个}^{(k)})

和我是单位矩阵。此外，如果我们定义

{z（z）}^{(k)} = ψ_{4} ({x个}^{(k)}, {w个}^{(k)}, 秒^{(k)}, 年^{(k)})

则以下方法的收敛阶为6。

{x个}^{(k + 1)} = ψ_{5} ({x个}^{(k)}, {w个}^{(k)}, 秒^{(k)}, 年^{(k)}, {z（z）}^{(k)}) = {z（z）}^{(k)} - μ_{1} F类 ({z（z）}^{(k)})

(5)

与方程式比较(4)，方程式(5)增加一个功能评估

F类 ({z（z）}^{(k)})

为了简化计算，新公式(4)可以写成

\{\begin{matrix} [{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类] γ^{(k)} = F类 ({x个}^{(k)}) \\ 年^{(k)} = {x个}^{(k)} - γ^{(k)} \\ [{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类] δ_{1}^{(k)} = F类 (年^{(k)}) \\ δ_{2}^{(k)} = [年^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类] δ_{1}^{(k)} \\ [{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类] δ_{三}^{(k)} = δ_{2}^{(k)} \\ {x个}^{(k + 1)} = 年^{(k)} - 三 δ_{1}^{(k)} + 2 δ_{三}^{(k)} \end{matrix}

(6)

方程式中可以使用类似的策略(5). 对于方程式(4)和(5)，我们有以下收敛性分析。

定理1。 让

α \in 对^{米}

是系统的解决方案

F类 (x个) = 0

和

F类 : 天 \subset 对^{米} \to 对^{米}

在α的开邻域D中是充分可微的。然后，对于足够接近α的初始近似，迭代方程的收敛阶(4)四，误差公式如下

ε = (4 {A类}_{2}^{2} - {A类}_{三} - {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2}) E类 {e（电子）}^{2} + {A类}_{2} {E类}^{2} + O（运行） ({e（电子）}^{5})

(7)

哪里

e（电子） = {x个}^{(k)} - α

和

E类 = 年^{(k)} - α .

迭代方程(5)具有六阶收敛性并满足以下误差方程

{e（电子）}_{n个 + 1} = 2 {A类}_{2} E类 ε - ({A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2} - 4 {A类}_{2}^{2}) {e（电子）}^{2} ε + O（运行） ({e（电子）}^{7})

(8)

哪里

{e（电子）}_{n个 + 1} = {x个}^{(k + 1)} - α

证明。的一阶除差算子F类作为映射

[\cdot, \cdot; F类] : 天 \times 天 \subset 对^{米} \times 对^{米} \to L（左） (对^{米})

（请参见[5,10,11])由提供

[x个 + 小时, x个; F类] = \int_{0}^{1} {F类}^{'} (x个 + t吨 小时) d日 t吨, \forall (x个, 小时) \in 对^{米} \times 对^{米}

(9)

扩大

{F类}^{'} (x个 + t吨 小时)

在泰勒级数中x个并进行积分，我们得到

\int_{0}^{1} {F类}^{'} (x个 + t吨 小时) d日 t吨 = {F类}^{'} (x个) + \frac{1}{2} {F类}^{″} (x个) 小时 + \frac{1}{6} {F类}^{‴} (x个) {小时}^{2} + O（运行） ({小时}^{三})

(10)

发展

F类 ({x个}^{(k)})

在附近α并假设

Γ = {[{F类}^{'} (α)]}^{- 1}

存在，我们有

F类 ({x个}^{(k)}) = {F类}^{'} (α) [e（电子） + {A类}_{2} {e（电子）}^{2} + {A类}_{三} {e（电子）}^{三} + {A类}_{4} {e（电子）}^{4} + {A类}_{5} {e（电子）}^{5} + O（运行） ({e（电子）}^{6})]

(11)

哪里

{A类}_{我} = \frac{1}{我!} Γ {F类}^{(我)} (α) \in {L（左）}_{我} (对^{米}, 对^{米}) .

的导数

F类 ({x个}^{(k)})

可以通过以下方式给出

{F类}^{'} ({x个}^{(k)}) = {F类}^{'} (α) [我 + 2 {A类}_{2} e（电子） + 三 {A类}_{三} {e（电子）}^{2} + 4 {A类}_{4} {e（电子）}^{三} + 5 {A类}_{5} {e（电子）}^{4} + O（运行） ({e（电子）}^{5})]

(12)

{F类}^{″} ({x个}^{(k)}) = {F类}^{'} (α) [2 {A类}_{2} + 6 {A类}_{三} e（电子） + 12 {A类}_{4} {e（电子）}^{2} + 20 {A类}_{5} {e（电子）}^{三} + O（运行） ({e（电子）}^{4})]

(13)

{F类}^{‴} ({x个}^{(k)}) = {F类}^{'} (α) [6 {A类}_{三} + 24 {A类}_{4} e（电子） + 60 {A类}_{5} {e（电子）}^{2} + O（运行） ({e（电子）}^{三})]

(14)

设置

年 = x个 + 小时

和

E类 = 年 - α

，我们有

小时 = E类 - e（电子）

.替换前面的表达式方程式(12)–(14)到方程式中(10)我们得到

[{x个}^{(k)}, 年^{(k)}; F类] = {F类}^{'} (α) (我 + {A类}_{2} (E类 + e（电子）) + {A类}_{三} ({E类}^{2} + E类 e（电子） + {e（电子）}^{2}) + O（运行） ({e（电子）}^{5}))

(15)

注意到

{w个}^{(k)} - α = e（电子） + F类 ({x个}^{k})

和

秒^{(k)} - α = e（电子） - F类 ({x个}^{k})

，我们在方程式中替换(15)E类通过

e（电子） + F类 ({x个}^{k})

,e（电子）通过

e（电子） - F类 ({x个}^{k})

，我们获得

[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类] = {F类}^{'} (α) (我 + 2 {A类}_{2} e（电子） + (三 {A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2}) {e（电子）}^{2} + O（运行） ({e（电子）}^{三})) = {F类}^{'} (α) 天 (e（电子）) + O（运行） ({e（电子）}^{三})

(16)

哪里

天 (e（电子）) = 我 + 2 {A类}_{2} e（电子） + (三 {A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2}) {e（电子）}^{2}

和我是单位矩阵。使用公式(16)，我们发现

{[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} = 天 {(e（电子）)}^{- 1} Γ + O（运行） ({e（电子）}^{三})

(17)

然后，我们强制求

天 (e（电子）)

将（参见[12,13])

天 {(e（电子）)}^{- 1} = 我 + {X（X）}_{2} e（电子） + {X（X）}_{三} {e（电子）}^{2} + O（运行） ({e（电子）}^{三})

(18)

这样的话

{X（X）}_{2}

和

{X（X）}_{三}

验证

天 (e（电子）) 天 {(e（电子）)}^{- 1} = 天 {(e（电子）)}^{- 1} 天 (e（电子）) = 我

(19)

求解系统方程(19)，我们获得

{X（X）}_{2} = - 2 {A类}_{2}

(20)

{X（X）}_{三} = (4 {A类}_{2}^{2} - (三 {A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2}))

(21)

然后，

{[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} = (我 - 2 {A类}_{2} e（电子） + (4 {A类}_{2}^{2} - (三 {A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2})) {e（电子）}^{2} + O（运行） ({e（电子）}^{三})) Γ

(22)

E类 = 年^{(k)} - α = e（电子） - {[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} F类 ({x个}^{(k)}) = {A类}_{2} {e（电子）}^{2} + O（运行） ({e（电子）}^{三})

(23)

类似于方程式(11)，我们有

F类 (年^{(k)}) = {F类}^{'} (α) [E类 + {A类}_{2} {E类}^{2} + O（运行） ({E类}^{三})]

(24)

从方程式(15)和(22)–(24)，我们得到

\begin{matrix} μ_{1} = (三 我 - 2 {[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} [年^{(k)}, {x个}^{(k)}; F类]) {[{w个}^{(k)}, 秒^{(k)}; F类]}^{- 1} \\ = (我 - 2 {A类}_{2} E类 + ({A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2} - 4 {A类}_{2}^{2}) {e（电子）}^{2}) Γ \end{matrix}

(25)

考虑方程式(4), (24)和(25)，我们获得

\begin{matrix} ε = ψ_{4} ({x个}^{(k)}, {w个}^{(k)}, 秒^{(k)}, 年^{(k)}) - α = E类 - μ_{1} F类 (年^{(k)}) \\ = E类 - (我 - 2 {A类}_{2} E类 + ({A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2} - 4 {A类}_{2}^{2}) {e（电子）}^{2}) (E类 + {A类}_{2} {E类}^{2} + O（运行） ({E类}^{三})) \\ = (4 {A类}_{2}^{2} - {A类}_{三} - {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2}) E类 {e（电子）}^{2} + {A类}_{2} {E类}^{2} + O（运行） ({e（电子）}^{5}) \end{matrix}

(26)

这意味着方程式(4)具有四阶收敛性。

因此，根据方程式(5)和(24)–(26)，我们得到误差方程：

\begin{matrix} {e（电子）}_{n个 + 1} = {x个}^{(k + 1)} - α = ε - μ_{1} F类 ({z（z）}^{(k)}) \\ = ε - (我 - 2 {A类}_{2} E类 + ({A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2} - 4 {A类}_{2}^{2}) {e（电子）}^{2}) (ε + O（运行） (ε^{2})) \\ = 2 {A类}_{2} E类 ε - ({A类}_{三} + {A类}_{三} {F类}^{'} {(α)}^{2} - 4 {A类}_{2}^{2}) {e（电子）}^{2} ε + O（运行） ({e（电子）}^{7}) \end{matrix}

(27)

这意味着方程式(5)具有六阶收敛性。☐

3.计算效率

经典效率指数

E类 = ρ^{1 / c（c）}

（请参见[9])是使用最多的索引，但不是唯一的索引。我们发现具有相同经典效率指标的迭代方法(

E类)

在实际应用中具有不同的属性。原因是迭代方法的函数求值次数并不是评价迭代方法效率的唯一影响因素。矩阵乘积的个数、标量乘积、矩阵的分解LU以及三角线性系统的分辨率在评估迭代方法的实际效率方面也起着重要作用。在本文中，计算效率指数(

C类 E类 我)

[10]用于比较迭代方法的效率。关于

C类 E类 我

可以在中找到[4,5,6,7]. 这个

C类 E类 我

迭代方法的

ψ_{我} (我 = 1, 2, \dots, 5)

由提供

C类 E类 我_{我} (μ, 米) = ρ_{我}^{\frac{1}{{C类}_{我} (μ, 米)}}, 我 = 1, 2, 三, 4, 5

(28)

哪里

ρ_{我}

是方法的收敛阶

{C类}_{我} (μ, 米)

是方法的计算成本。这个

{C类}_{我} (μ, 米)

由提供

{C类}_{我} (μ, 米) = 一_{我} (米) μ + 对_{我} (米)

(29)

哪里

一_{我} (米)

表示的求值中使用的标量函数的求值次数F类和

[x个, 年; F类]

、和

对_{我} (米)

表示每次迭代的操作成本。为了用乘积表示方程（29）的值

μ > 0

在方程式中(29)需要在产品（和部门）之间进行功能评估，请参见[5,10]. 我们必须添加米向量与标量相乘的乘积

米^{2}

矩阵向量乘法的乘积。要计算逆线性算子，我们需要

(米^{三} - 米) / 三

LU分解中的产品和部门

米^{2}

求解两个三角形线性系统的乘积和除法。如果我们计算一阶除差，那么我们需要

米 (米 - 1)

标量函数求值和

米^{2}

商。一阶除差

[x个, 年; F类]

属于F类由提供

{[年, x个; F类]}_{我 j个} = ({F类}_{我} (年_{1} \dots, 年_{j个 - 1}, 年_{j个}, {x个}_{j个 + 1}, \dots, {x个}_{米}) - {F类}_{我} (年_{1} \dots, 年_{j个 - 1}, {x个}_{j个}, {x个}_{j个 + 1}, \dots, {x个}_{米})) / (年_{j个} - {x个}_{j个})

哪里

1 \leq 我, j个 \leq 米

,

x个 = ({x个}_{1}, \dots {x个}_{j个 - 1}, {x个}_{j个}, {x个}_{j个 + 1}, \dots {x个}_{米})

和

年 = (年_{1}, \dots 年_{j个 - 1}, 年_{j个}, 年_{j个 + 1}, \dots 年_{米})

（请参见[9]). 根据方程式（28）和（29），表1显示了不同方法的计算成本。

表1。迭代方法的计算成本。

**表1。**迭代方法的计算成本。
方法	ρ	a（米）	p（米）	C（微米）
$ψ_{1}$	2	$米 (米 + 1)$	$(米^{三} - 米) / 三 + 2 米^{2}$	${C类}_{1} = 米 (米 + 1) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 2 米^{2}$
$ψ_{2}$	4	$三米^{2}$	$2 (米^{三} - 米) / 三 + 7 米^{2}$	${C类}_{2} = 三米^{2} μ + 2 (米^{三} - 米) / 三 + 7 米^{2}$
$ψ_{三}$	6	$米 (2 米 + 三)$	$2 (米^{三} - 米) / 三 + 6 米^{2}$	${C类}_{三} = 米 (2 米 + 三) μ + 2 (米^{三} - 米) / 三 + 6 米^{2}$
$ψ_{4}$	4	$2 米 (米 + 1)$	$(米^{三} - 米) / 三 + 6 米^{2} + 2 米$	${C类}_{4} = 2 米 (米 + 1) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 6 米^{2} + 2 米$
$ψ_{5}$	6	$米 (2 米 + 三)$	$(米^{三} - 米) / 三 + 9 米^{2} + 4 米$	${C类}_{5} = 米 (2 米 + 三) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 9 米^{2} + 4 米$

发件人表1，我们可以看到我们的方法

ψ_{我} (我 = 4, 5)

与方法相比，需要更少数量的LU分解

ψ_{2}

和

ψ_{三}

四阶方法的计算成本如下：

{C类}_{4} < {C类}_{2}, 对于 米 \geq 2

(30)

我们使用以下表达式[10]比较不同方法的CEI

对_{我, j个} = \frac{自然对数 C类 E类 我_{我}}{自然对数 C类 E类 我_{j个}} = \frac{自然对数 (ρ_{我}) {C类}_{j个} (μ, 米)}{自然对数 (ρ_{j个}) {C类}_{我} (μ, 米)}, 我, j个 = 1, 2, 三, 4, 5

(31)

对于

对_{我, j个} > 1

迭代法

{M（M）}_{我}

比

{M（M）}_{j个} .

使用

C类 E类 我

在迭代方法中，我们得到了以下定理：

定理2。 1.对于四阶方法，我们有

C类 E类 我_{4} > C类 E类 我_{2}

为所有人

米 \geq 2 一 n个 d日 μ > 0 .

2.对于六阶方法，我们有

C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{三}

为所有人

米 \geq 11 一 n个 d日 μ > 0 .

证明。1.来自表1，我们注意到

ψ_{我} (我 = 2, 4)

有相同的顺序

ρ_{2} = ρ_{4} = 4 .

基于方程式(29)和(30)，我们明白了

C类 E类 我_{4} > C类 E类 我_{2}

为所有人

米 \geq 2

和

μ > 0 .

2.方法

ψ_{我} (我 = 三, 5)

具有相同的顺序和相同的功能评估。之间的关系

ψ_{5}

和

ψ_{三}

可以通过以下方式给出

对_{5, 三} = \frac{自然对数 (ρ_{5}) {C类}_{三} (μ, 米)}{自然对数 (ρ_{三}) {C类}_{5} (μ, 米)} = \frac{米 (2 米 + 三) μ + 2 (米^{三} - 米) / 三 + 6 米^{2}}{米 (2 米 + 三) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 9 米^{2} + 4 米}

(32)

从方程式分子中减去分母(32)，我们有

\frac{1}{三} 米 (米^{2} - 9 米 - 13)

(33)

方程式(33)为正

米 \geq 10.2662 .

因此，我们得出

C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{三}

为所有人

米 \geq 11

和

μ > 0 .

☐

然后，我们比较

C类 E类 我

不同收敛阶的迭代方法的如下定理：

定理3。 我们有1个。

C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{4}

为所有人

米 \geq 2

和

μ > \frac{米^{2} {自然对数}^{2 / 三} + 18 米 {自然对数}^{4 / 三} + (17 {自然对数}^{2} - 5 {自然对数}^{三})}{6 (米 {自然对数}^{三 / 2} + {自然对数}^{三 / 4})} .

2

C类 E类 我_{4} > C类 E类 我_{1}

为所有人

米 \geq 8

和

μ > 0 .

证明。1.根据表达式方程式(31)和表1，我们得到以下关系

ψ_{4}

和

ψ_{5}

对_{5, 4} = \frac{自然对数 (ρ_{5}) {C类}_{4} (μ, 米)}{自然对数 (ρ_{4}) {C类}_{5} (μ, 米)} = \frac{{自然对数}^{6}}{{自然对数}^{4}} \frac{2 米 (米 + 1) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 6 米^{2} + 2 米}{米 (2 米 + 三) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 9 米^{2} + 4 米}

(34)

我们考虑边界

对_{5, 4} = 1

边界可以由以下方程式给出

μ = {H（H）}_{5, 4} (米) = \frac{米^{2} {自然对数}^{2 / 三} + 18 米 {自然对数}^{4 / 三} + 17 {自然对数}^{2} - 5 {自然对数}^{三}}{6 (米 {自然对数}^{三 / 2} + {自然对数}^{三 / 4})}

(35)

哪里

C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{4}

覆盖它（参见图1). 边界方程(35)在点处剪切轴

(米, μ) = (13.888, 0)

和

(2, 4.7859)

因此，我们得到了

C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{4}

自从

对_{5, 4} > 1

为所有人

米 \geq 2

和

μ > {H（H）}_{5, 4} (米) .

2.两者之间的关系

ψ_{1}

和

ψ_{4}

由提供

对_{4, 1} = \frac{自然对数 (ρ_{4}) {C类}_{1} (μ, 米)}{自然对数 (ρ_{1}) {C类}_{4} (μ, 米)} = \frac{{自然对数}^{4}}{{自然对数}^{2}} \frac{米 (米 + 1) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 2 米^{2}}{2 米 (米 + 1) μ + (米^{三} - 米) / 三 + 6 米^{2} + 2 米}

(36)

从方程式分子中减去分母(36)，我们有

\frac{1}{三} 米 (米^{2} - 6 米 - 7)

(37)

方程式(37)为正

米 > 7 .

因此，我们得出

C类 E类 我_{4} > C类 E类 我_{1}

为所有人

米 \geq 8

和

μ > 0 .

☐

图1。边界函数

{H（H）}_{5, 4}

在里面

(米, μ) -

普通的。

图1。边界函数

{H（H）}_{5, 4}

在里面

(米, μ) -

平淡无奇。

4.数值示例

在本节中，我们通过数学实验比较了相关方法的性能。利用Maple 14计算机代数系统进行了2048位的数值实验。计算机规格为Microsoft Windows 7 Intel（R）、Core（TM）i3-2350M CPU、1.79 GHz和2 GB RAM。

根据方程式（29），系数μ用产品表示基本功能评估的成本[15].表2给出了以等效乘积的数量表示的基本函数的成本估算，其中一个乘积的运行时间以毫秒为单位。

表2。使用Maple 14和Intel处理器计算的初等函数的计算成本估算^®核心（TM）i3-2350M CPU，1.79 GHz（32位计算机）Microsoft Windows 7 Professional，其中

x个 = \sqrt{三} - 1

和

年 = \sqrt{5}

.

**表2。**使用Maple 14和Intel处理器计算的初等函数的计算成本估算^®核心（TM）i3-2350M CPU，1.79 GHz（32位计算机）Microsoft Windows 7 Professional，其中 $x个 = \sqrt{三} - 1$ 和 $年 = \sqrt{5}$ .
数字	x个·年	x年	$\sqrt{x个}$	$经验 (x个)$	$自然对数 (x个)$	$罪 (x个)$	$余弦 (x个)$	$阿卡坦 (x个)$
2048	0.109毫秒	1	5	53	12	112	110	95

表3,表4,表5,表6,表7和表8显示方法的以下信息

ψ_{我} (我 = 1, 2, \dots, 5)

：迭代次数k需要收敛到解，即函数范数

F类 ({x个}^{(k)})

在最后一步，最后一步的停止因子值，计算成本C类，计算时间

T型 我 米 e（电子） (秒)

、计算效率指数

C类 E类 我

以及收敛的计算顺序ρ.使用Maple 14中的common time（），我们可以获得不同方法的计算时间。收敛的计算顺序ρ由定义[16]:

ρ \approx \frac{自然对数 (| | {x个}^{(k + 1)} - {x个}^{(k)} | | / | | {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} | |)}{自然对数 (| | {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} | | / | | {x个}^{(k - 1)} - {x个}^{(k - 2)} | |)}

(38)

选择以下问题进行数值试验：

示例1考虑以下系统

\{\begin{matrix} {x个}_{1} + {e（电子）}^{{x个}_{1}} - 余弦 ({x个}_{2}) = 0 \\ 三 {x个}_{1} - {x个}_{2} - 罪 ({x个}_{2}) = 0 \end{matrix}

哪里

(米, μ) = (2, \frac{53 + 110 + 112 + 1}{2}) = (2, 138)

是方程式中使用的值(29).

{x个}^{(0)} = {(0.5, 0.5)}^{T型}

是初始点

α \approx {(0, 0)}^{T型}

是示例1的解决方案。

| | {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} | | < 10^{- 100}

是停止标准。

结果如所示表3确认定理2和定理3的第一个断言

米 ≐ 2 .

也就是说，

C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{4}

对于

μ > 4.7859

.新的六阶方法

ψ_{5}

用最少的时间求数值解。“nc”表示该方法在表3.

表3。实施例1方法的性能。

**表3。**实施例1方法的性能。
方法	k	$\| \| {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} \| \|$	$\| \| F类 ({x个}^{(k)}) \| \|$	ρ	C类	CEI公司	时间（s）
$ψ_{1}$	13	1.792e−161	3.748e−322	2	838	1.0008275	1.127
$ψ_{2}$	数控
$ψ_{三}$	4	3.558e−743	8.245e−496	6.00314	1960	1.0009148	0.780
$ψ_{4}$	5	4.086e−211美元	5.330e−421	4.00015	1686	1.0008226	0.836
$ψ_{5}$	4	6.240e−164	2.389e−489	6.00420	1978	1.0009063	0.546

示例2第二个系统定义为[11]

\{\begin{matrix} {x个}_{2} + {x个}_{三} - {e（电子）}^{- {x个}_{1}} = 0 \\ {x个}_{1} + {x个}_{三} - {e（电子）}^{- {x个}_{三}} = 0 \\ {x个}_{1} + {x个}_{2} - {e（电子）}^{- {x个}_{三}} = 0 \end{matrix}

哪里

(米, μ) = (三, \frac{53 + 53}{三}) = (三, 35 . 三)

。初始点为

{x个}^{(0)} = (0.5, 0.5, 0.5)

.

| | {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} | | < 10^{- 200}

是停止标准。解决方案是

α \approx (0.3517337, 0.3517337, 0.3517337) .

结果如所示表4确认定理2的第一个断言和定理3的断言1

米 = 三 .

也就是说，

C类 E类 我_{4} > C类 E类 我_{2}

和

C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{4}

对于

μ > 4.7859

.表4显示了六阶方法

ψ_{5}

是计算时间和

C类 E类 我

.

表4。实施例2方法的性能。

**表4。**实施例2方法的性能。
方法	k	$\| \| {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} \| \|$	$\| \| F类 ({x个}^{(k)}) \| \|$	ρ	C类	CEI公司	时间（s）
$ψ_{1}$	9	2.136e−302型	5.945e−604	2	449.6	1.00154289	0.514
$ψ_{2}$	5	2.439e−675	2.703e−1350	4	1032.1	1.00134408	0.592
$ψ_{三}$	4	1.414e−1080	7.020e−1620	6	1023.1	1.00175284	0.561
$ψ_{4}$	5	4.123e−699	9.73957e−1397	4	915.2	1.00151589	0.561
$ψ_{5}$	4	9.097e−550	8.57708e−1647	6	1054.1	1.00170125	0.483

示例3现在，考虑以下大型非线性系统[17]:

\{\begin{matrix} {x个}_{我} {x个}_{我 + 1} - 1 = 0, 1 \leq 我 \leq 米 - 1 \\ {x个}_{米} {x个}_{1} - 1 = 0 \end{matrix}

初始向量为

{x个}^{(0)} = {1.5, 1.5, \dots, 1.5}^{t吨}

解决方案

α = {1, 1, \dots, 1}^{t吨} .

停止标准为

| | {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} | | < 10^{- 100}

.

表5。实施例3方法的性能，其中

(米, μ) = (199, 1)

.

**表5。**实施例3方法的性能，其中 $(米, μ) = (199, 1)$ .
方法	k	$\| \| {x个}^{(k)} - {x个}^{(k - 1)} \| \|$	$\| \| F类 ({x个}^{(k)}) \| \|$	ρ	C类	CEI公司	时间（s）
$ψ_{1}$	10	4.993e−150	7.480埃-299	2	2,745,802	1.000000252	95.940
$ψ_{2}$	5	3.013e−212型	1.210电子-423	4	5,649,610	1.000000245	126.438
$ψ_{三}$	4	3.922电子−556	2.197e−833	5.99998	5,571,005	1.000000322	77.111
$ψ_{4}$	5	1.404e−269	9.850e−538	4	2,944,404	1.000000471	81.042
$ψ_{5}$	4	5.298e−208	2.231e−621	5.99976	3,063,804	1.000000585	64.818

表6。通过这些方法计算实例3的计算时间（以秒为单位）。

**表6。**通过这些方法计算实例3的计算时间（以秒为单位）。
方法	$ψ_{1}$	$ψ_{2}$	$ψ_{三}$	$ψ_{4}$	$ψ_{5}$
$米 = 99$	20.982	29.499	16.848	19.219	15.459
$米 = 199$	95.940	126.438	77.111	81.042	64.818
$米 = 299$	254.234	328.896	207.340	199.930	156.094

积分方程中的应用

Chandrasekhar积分[18]该方程来自辐射传输理论，由下式给出

F类 (P（P）, c（c）) = 0, P（P） : [0, 1] \to 对

与操作员F类和参数c（c）作为

F类 (P（P）, c（c）) (u个) = P（P） (u个) - {(1 - \frac{c（c）}{2} \int_{0}^{1} \frac{u个 P（P） (v（v）)}{u个 + v（v）} d日 v（v）)}^{- 1}

我们使用复合中点规则近似积分：

\int_{0}^{1} （f） (t吨) d日 t吨 = \frac{1}{米} \sum_{j个 = 1}^{米} （f） ({t吨}_{j个})

哪里

{t吨}_{j个} = (j个 - 1 / 2) / 米

对于

1 \leq j个 \leq 米 .

我们得到的离散问题是

{F类}_{我} (u个, c（c）) = {u个}_{我} - {(1 - \frac{c（c）}{2 米} \sum_{j个 = 1}^{米} \frac{{t吨}_{我} {u个}_{j个}}{{t吨}_{我} + {t吨}_{j个}})}^{- 1}, 1 \leq 我 \leq 米

初始向量为

{x个}^{(0)} = {\{1.5, 1.5, \dots, 1.5\}}^{t吨}

,

c（c） = 0.9

.表7和表8给出了该问题的数值结果。

| | F类 ({x个}^{(k)}) | | < 10^{- 200}

是这个问题的停止标准。

表7。求解Chandrasekhar积分方程的计算时间（秒）。

**表7。**求解Chandrasekhar积分方程的计算时间（秒）。
方法	$ψ_{1}$	$ψ_{2}$	$ψ_{三}$	$ψ_{4}$	$ψ_{5}$
$米 = 30$	88.468	207.200	87.937	102.055	70.309
$米 = 60$	422.388	904.602	435.929	488.969	400.345

表8。求解Chandrasekhar积分方程的迭代次数。

**表8。**求解Chandrasekhar积分方程的迭代次数。
方法	$ψ_{1}$	$ψ_{2}$	$ψ_{三}$	$ψ_{4}$	$ψ_{5}$
$米 = 30$	8	6	4	5	4
$米 = 60$	8	6	4	5	4

结果如所示表5确认定理2和定理3的断言

米 = 199 .

也就是说，

C类 E类 我_{4} > C类 E类 我_{2}, C类 E类 我_{5} > C类 E类 我_{三},

和

C类 E类 我_{4} > C类 E类 我_{1}

。来自表6，我们注意到我们四阶方法的计算时间

ψ_{4}

小于六阶方法

ψ_{三}

对于

米 = 299

.表5,表6和表7表明，当非线性系统规模较大时，我们的新方法

ψ_{我} (我 = 4, 5)

显著减少了计算时间。

数值结果如所示表3,表4,表5,表6,表7和表8与本文提出的理论相一致。与其他方法相比，新方法需要较少的迭代次数才能获得更高的精度。最重要的是我们的方法有更高的

C类 E类 我

与本文中的其他方法相比，计算时间更低。六阶方法

ψ_{5}

是两种方法中最有效的迭代方法

C类 E类 我

以及计算时间。

5.结论

本文给出了求解非线性方程组的两种高阶迭代方法。新方法不需要导数。利用一阶微分差分逆算子的发展，证明了新方法的收敛阶。此外，还使用非线性方程组的计算效率指标来比较不同方法的效率。数值实验表明，我们的方法显著减少了求解大型非线性方程组的计算时间。主要原因是我们的方法的矩阵LU分解在每次迭代中只计算一次。我们的结论是，为了获得一种有效的迭代方法，我们应该综合考虑函数求值次数、收敛阶和迭代的操作成本。

致谢

该项目由国家自然基金（No.1137108111547005和61572082）、中国辽宁省博士创业基金（No.20141137、20141139和201501196）、辽宁省百千湾人才计划（No.2013921055）和中国辽宁省教育委员会基金（No。L2014443和L2015012）。

作者贡献

王晓峰构思并设计了实验；王晓峰和范晓东写了这篇论文。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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分享和引用

MDPI和ACS样式

王，X。；X·范。求解非线性系统的两种有效的无导数迭代方法。算法 2016,9, 14.https://doi.org/10.3390/a9010014

AMA风格

王X、范X。求解非线性系统的两种有效的无导数迭代方法。算法. 2016; 9(1):14.https://doi.org/10.3390/a9010014

芝加哥/图拉宾风格

王晓峰和范晓东。2016.“求解非线性系统的两种高效无导数迭代方法”算法第9页，第1页：第14页。https://doi.org/10.3390/a9010014

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里.

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求解非线性系统的两种有效的无导数迭代方法

摘要

1.简介

2.收敛性的新方法与分析

3.计算效率

4.数值示例

积分方程中的应用

5.结论

致谢

作者贡献

利益冲突

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