A Novel Complex-Valued Encoding Grey Wolf Optimization Algorithm

Luo, Qifang; Zhang, Sen; Li, Zhiming; Zhou, Yongquan

doi:10.3390/a9010004

开放式访问第条

一种新的复数编码灰狼优化算法

通过

罗启芳

^1,2，

张森（Sen Zhang）

¹，

李志明

¹和

周永泉

^1,2,*

¹

广西民族大学信息科学与工程学院，南宁530006

²

广西高中复杂系统与计算智能重点实验室，南宁530006

^*

信件应寄给的作者。

算法 2016，9(1), 4;https://doi.org/10.3390/a9010004

收到的提交文件：2015年11月6日/修订日期：2015年12月8日/接受日期：2015年12月10日/发布日期：2015年12月30日

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版本注释

摘要

:

灰狼优化（GWO）是最近提出的一种启发式算法，它模拟了灰狼在自然界中的领导阶层和狩猎机制。这些算法的目的是进行全局优化。本文提出了一种基于复值编码的改进GWO算法；即复值编码灰狼优化（CGWO）。我们使用CGWO测试了16个具有7个不同尺度的无约束基准函数和无限脉冲响应（IIR）模型辨识。与实值GWO算法和其他优化算法进行比较；CGWO在准确性方面表现明显更好；稳健性；和收敛速度。

关键词：

复值编码;灰狼优化;二倍体;测试功能;IIR模型识别

1.简介

在过去的几十年里，人们开发了各种启发式优化方法来解决复杂的计算问题。其中一些最流行的是：粒子群优化（PSO）[1]，遗传算法（GA）[2]，差异演化（DE）[三，4]，模拟退火（SA）[5]，蚁群优化（ACO）[6]人工蜂群优化[7]，引力搜索算法（GSA）[8，9]，收费系统搜索（CSS）[10]，磁优化算法（MOA）[11]，基于生物地理学的优化算法（BBO）[12，13]和基于学习的优化教学（TLBO）[14]. 群智能优化算法能够灵活有效地处理传统优化技术无法解决的不同问题。因此，优化技术已广泛应用于许多研究领域。此外，已经证明，没有启发式优化可以解决所有优化问题[15]. 换句话说，现有的算法在解决某些问题时给出了令人满意的结果，但并不是所有的问题。因此，每年都会提出几种新的启发式算法，这一领域的研究也很活跃。

实值灰狼优化（GWO）是Mirjalili最初提出的一种新的基于群体的元启发式方法等。(2014) [16]. 由于GWO算法简单、灵活、高效，它可以成功地应用于实际应用[17，18，19]. GWO算法有许多修改版本。例如，一些人研究GWO算法的参数或将GWO算法与其他启发式优化算法相结合。然而，这些方法都使用二进制或十进制编码器来定位灰狼，单个基因包含的信息有限。

复数编码方法已用于表示神经网络权重[20]并为进化算法表示单个基因[21]. 它使用二倍体来表达基因，大大扩展了个体的信息容量。本文从个体编码方法出发，研究了复合值方法对灰狼性能的改善。目标函数自变量的值由模块确定，自变量的符号由角度确定。对于GWO算法，灰狼个体被分为两部分，即：实部基因和虚部基因。此外，这两部分代表了一个变量，能够增强灰狼个体和不同种群的信息，避免局部最优。基于以上优点，我们为GWO算法解决实际问题提供了一种新的方法。

论文的其余部分组织如下：第2节简要介绍了GWO。第3节讨论了GWO复值版本的基本原理。测试函数和无限冲激响应（IIR）系统辨识问题的实验结果如所示第4节和第5节分别是。最后，第6节总结了本文的工作，并对今后的研究方向提出了建议。

2.灰狼优化（GWO）

GWO算法模拟了灰狼在自然界的狩猎和社会领导能力[16]. 该算法简单、鲁棒，已用于各种复杂问题。在GWO算法中，灰狼群体被分为四组：alpha(

α

)，β(

β

)，三角洲(

δ

)和欧米茄(

ω

). 在每次迭代中，前三个最佳候选解决方案被命名为

α

，

β

、和

δ

其余灰狼被视为

ω

、和由指导

α

，

β

、和

δ

找到更好的解决方案。的数学模型

ω

狼的包围过程如下[16]:

\vec{天} = | \vec{C类} \cdot {\vec{X（X）}}_{对} (t吨) - \vec{X（X）} (t吨) |

(1)

\vec{X（X）} (t吨 + 1) = {\vec{X（X）}}_{对} (t吨) - \vec{A类} \cdot \vec{天}

(2)

哪里

t吨

指示当前迭代，

\vec{C类} = 2 \cdot {\vec{第页}}_{2}

，

\vec{A类} = 2 \vec{一} \cdot {\vec{第页}}_{1} - \vec{一}

，

{\vec{X（X）}}_{对}

是猎物的位置矢量，

\vec{X（X）}

表示灰狼的位置矢量，

\vec{α}

从2逐渐减少到0，并且

{第页}_{1}

，

{第页}_{2}

随机数是否超出范围

[0 ， 1]

.

这里应该注意，在优化过程中

ω

狼群更新它们在周围的位置

α

，

β

、和

δ

因此，

ω

狼能够重新定位

α

，

β

、和

δ

。的数学模型

ω

狼调整位置如下[16]:

{\vec{天}}_{α} = | {\vec{C类}}_{1} \cdot {\vec{X（X）}}_{α} - \vec{X（X）} | ， {\vec{天}}_{β} = | {\vec{C类}}_{2} \cdot {\vec{X（X）}}_{β} - \vec{X（X）} | ， {\vec{天}}_{δ} = | {\vec{C类}}_{三} \cdot {\vec{X（X）}}_{δ} - \vec{X（X）} |

(3)

{\vec{X（X）}}_{1} = {\vec{X（X）}}_{α} - {\vec{A类}}_{1} \cdot ({\vec{天}}_{α}) ， {\vec{X（X）}}_{2} = {\vec{X（X）}}_{β} - {\vec{A类}}_{2} \cdot ({\vec{天}}_{β}) ， {\vec{X（X）}}_{三} = {\vec{X（X）}}_{δ} - {\vec{A类}}_{三} \cdot ({\vec{天}}_{δ})

(4)

\vec{X（X）} (t吨 + 1) = \frac{{\vec{X（X）}}_{1} + {\vec{X（X）}}_{2} + {\vec{X（X）}}_{三}}{三}

（5）

哪里

{\vec{X（X）}}_{α}

是α的位置，

{\vec{X（X）}}_{β}

是beta的位置，

{\vec{X（X）}}_{δ}

是三角洲的位置，

{\vec{C类}}_{1}

，

{\vec{C类}}_{2}

，

{\vec{C类}}_{三}

和

{\vec{A类}}_{1}

，

{\vec{A类}}_{2}

，

{\vec{A类}}_{三}

都是随机向量，

\vec{X（X）}

是当前解决方案的位置，并且

t吨

指示迭代次数。

如前所述，

ω

狼根据位置更新自己的位置

α

，

β

、和

δ

。有两个矢量：

\vec{A类}

和

\vec{C类}

这是随机和自适应向量，有助于算法摆脱局部最优。什么时候？

| A类 > 1 |

，一半的迭代用于探索。的范围

C类

是

2 \leq C类 \leq 0

.矢量

C类

当

C类 > 1

相反，当

| A类 | < 1

，当

C类 < 1

。请注意

A类

在迭代过程中线性减少，以强调利用，以及

C类

始终提供一个随机值，以便不仅在初始迭代期间，而且在最终迭代期间强调探索。GWO的伪代码（算法1）如下所示：

算法1。GWO算法

1 初始化灰狼种群

{X（X）}_{我} = (我 = 1 ， 2 ， ... ， n个)

2 初始化

一

，

A类

、和

C类

三。对于全部的

{X（X）}_{我}

做

4 计算适应性

F类 ({X（X）}_{我})

5 结束于

6 获得前三名最佳狼

{X（X）}_{α}

，

{X（X）}_{β}

、和

{X（X）}_{δ}

7 While期间(

t吨 < M（M） 一 x个 n个 u个 米 b条 e（电子） 第页 o（o） （f） 我 t吨 e（电子） 第页 一 t吨 我 o（o） n个 秒

)

8 对于每个搜索代理

9 通过公式（5）更新当前搜索代理的位置

10 结束于

11 更新

一

，

A类

、和

C类

12 对于全部的

{X（X）}_{我}

做

13 计算适合度

F类 ({X（X）}_{我})

14 结束

15 更新

{X（X）}_{α}

，

{X（X）}_{β}

、和

{X（X）}_{δ}

16

t吨 = t吨 + 1

17 结束while

18 返回

{X（X）}_{α}

3.复杂值编码灰狼优化算法（CGWO）

3.1. 复值编码方法

为了包含

M（M） -

变量函数优化问题

M（M）

复数，对应于

M（M）

复杂，灰狼的位置记录如下：

{x个}_{对} = {R（右）}_{对} + 我 我_{对} 对 = 1 ， 2 ， ... ， M（M）

（6）

灰狼的基因可以表现为二倍体，记录如下(

{R（右）}_{对} ， 我_{对}

). 在哪里？

{R（右）}_{对}

表示变量的实数部分，

我_{对}

指示变量的虚部。因此我可以在中看到灰狼表1.

表1。灰狼染色体模型。

**表1。**灰狼染色体模型。
基因₁	基因₂	基因_我	基因_M（M）
$({R（右）}_{对 1} ，我_{对 1})$	$({R（右）}_{对 2} ，我_{对 2})$	…	$({R（右）}_{对 M（M）} ，我_{对 M（M）})$

3.1.1、。初始化复杂值编码总体

函数的可变间隔设置为

[{A类}_{我} ， B_{我}] ， 我 = 1 ， 2 ， ... ， M（M）

.生成

M（M）

模量和

M（M）

相位角随机，它们形成一个复值

M（M）

模量与相位的关系如下：

ρ_{我} = [0 ， \frac{B_{我} - {A类}_{我}}{2}] ， θ_{我} = [- 2 π ， 2 π] ， 我 = 1 ， 2 ， .... ， M（M）

(7)

{R（右）}_{我} + 我 我_{我} = ρ_{我} (科斯 θ_{我} + 我 罪 θ_{我}) ， 我 = 1 ， 2 ， ... ， M（M）

(8)

因此，我们获得

M（M）

实部和虚部。实部和虚部根据第3.1.2节.

3.1.2. CGWO的更新方法

更新真实部件

{\vec{天}}_{R（右） α} = | {\vec{C类}}_{1} \cdot {\vec{X（X）}}_{R（右） α} - {\vec{X（X）}}_{R（右）} | ， {\vec{天}}_{R（右） β} = | {\vec{C类}}_{2} \cdot {\vec{X（X）}}_{R（右） β} - {\vec{X（X）}}_{R（右）} | ， {\vec{天}}_{R（右） δ} = | {\vec{C类}}_{三} \cdot {\vec{X（X）}}_{R（右） δ} - {\vec{X（X）}}_{R（右）} |

(9)

{\vec{X（X）}}_{R（右） 1} = {\vec{X（X）}}_{R（右） α} - {\vec{A类}}_{1} \cdot ({\vec{天}}_{R（右） α}) ， {\vec{X（X）}}_{R（右） 2} = {\vec{X（X）}}_{R（右） β} - {\vec{A类}}_{2} \cdot ({\vec{天}}_{R（右） β}) ， {\vec{X（X）}}_{R（右） 三} = {\vec{X（X）}}_{R（右） δ} - {\vec{A类}}_{三} \cdot ({\vec{天}}_{R（右） δ})

(10)

{\vec{X（X）}}_{R（右）} (t吨 + 1) = \frac{{\vec{X（X）}}_{R（右） 1} + {\vec{X（X）}}_{R（右） 2} + {\vec{X（X）}}_{R（右） 三}}{三}

(11)

更新虚拟零件

{\vec{天}}_{我 α} = | {\vec{C类}}_{1} \cdot {\vec{X（X）}}_{我 α} - {\vec{X（X）}}_{我} | ， {\vec{天}}_{我 β} = | {\vec{C类}}_{2} \cdot {\vec{X（X）}}_{我 β} - {\vec{X（X）}}_{我} | ， {\vec{天}}_{我 δ} = | {\vec{C类}}_{三} \cdot {\vec{X（X）}}_{我 δ} - {\vec{X（X）}}_{我} |

(12)

{\vec{X（X）}}_{我 1} = {\vec{X（X）}}_{我 α} - {\vec{A类}}_{1} \cdot ({\vec{天}}_{我 α}) ， {\vec{X（X）}}_{我 2} = {\vec{X（X）}}_{我 β} - {\vec{A类}}_{2} \cdot ({\vec{天}}_{我 β}) ， {\vec{X（X）}}_{我 三} = {\vec{X（X）}}_{我 δ} - {\vec{A类}}_{三} \cdot ({\vec{天}}_{我 δ})

(13)

{\vec{X（X）}}_{我} (t吨 + 1) = \frac{{\vec{X（X）}}_{我 1} + {\vec{X（X）}}_{我 2} + {\vec{X（X）}}_{我 三}}{三}

(14)

哪里

{\vec{天}}_{R（右）}

和

{\vec{天}}_{我}

分别表示当前解、alpha、beta和delta之间的近似距离的实数和虚数。

{\vec{X（X）}}_{R（右）}

和

{\vec{X（X）}}_{我}

指示当前解决方案最终位置的实部和虚部。这里应该注意到

\vec{A类}

和

\vec{C类}

是系数向量，因此不需要将它们转换为实向量和虚向量。

3.1.3. 适合度值的计算方法

复数域由实部和虚部组成，因此在求解适应度函数值时必须将复数转化为实数。目标函数的实数由其模数决定，符号由其相位角决定。具体做法如下：

ρ_{n个} = \sqrt{{X（X）}_{{R（右）}_{n个}}^{2} + {X（X）}_{我_{n个}}^{2}} ， n个 = 1 ， 2 ， ... ， M（M）

(15)

R（右） {V（V）}_{n个} = ρ_{n个} sgn公司 (罪 (\frac{{X（X）}_{我 n个}}{ρ_{n个}})) + \frac{B_{我} + {A类}_{我}}{2} ， n个 = 1 ， 2 ， .... ， M（M）

(16)

哪里

ρ_{n个}

表示n个第个维度模块，

{X（X）}_{{R（右）}_{n个}}^{2}

，

{X（X）}_{我_{n个}}^{2}

指示的实部和虚部n个分别为第个维度，和

R（右） {V（V）}_{n个}

转换为实变量。

3.2. CGWO算法

基于以上分析，将复数编码应用于灰狼优化算法中，可以认为复数编码是一种有效的全局优化策略。复数的实部和虚部由于复数的二维特性而独立更新。该策略极大地扩展了个体基因中包含的信息量，增强了个体群体的多样性。此外，为了提高算法的局部搜索能力，差分进化策略“DE/best/2”[22]介绍了。在这种情况下，CGWO有潜力平衡全球和本地搜索。在下一节中，将使用各种基准函数来探索CGWO的有效性。CGWO的伪码（算法2）如下：

算法2。CGWO算法

1 初始化灰狼种群：让

ρ_{我} = [0 ， \frac{B_{我} - {A类}_{我}}{2}] ， θ_{我} = [- 2 π ， 2 π] ， 我 = 1 ， 2 ， .... ， M（M）

2 通过方程（8）得到复数的实部和虚部

三。通过方程式（15）和（16）转换为实变量

4 对于全部的

{X（X）}_{我}

做

5 计算适应性

F类 ({X（X）}_{我})

6 结束于

7 获得前三名最佳狼

{X（X）}_{α}

，

{X（X）}_{β}

、和

{X（X）}_{δ}

8 While期间(

t吨 < M（M） 一 x个 n个 u个 米 b条 e（电子） 第页 o（o） （f） 我 t吨 e（电子） 第页 一 t吨 我 o（o） n个 秒

)

9 对于每个搜索代理

10 通过等式（9-11）更新当前搜索代理的实际部分

11 通过等式（12-14）更新当前搜索代理的虚部

12 结束于

13 通过“DE/best/2”修改实部和虚部

14 随机选择

{第页}_{2} \neq {第页}_{2} \neq {第页}_{三} \neq {第页}_{4} \neq 我

15

{\vec{X（X）}}_{n个 e（电子） w个} = {\vec{X（X）}}_{α} + F类 * ({\vec{X（X）}}_{第页 1} - {\vec{X（X）}}_{第页 2}) + F类 * ({\vec{X（X）}}_{第页 三} - {\vec{X（X）}}_{第页 4})

16 更新

一

，

A类

、和

C类

17 通过方程式（15）和（16）转换为实变量

18 对于全部的

{X（X）}_{我}

做

19 计算适应性

F类 ({X（X）}_{我})

20 结束于

21 更新

{X（X）}_{α}

，

{X（X）}_{β}

、和

{X（X）}_{δ}

22

t吨 = t吨 + 1

23 结束while

24 返回

{X（X）}_{α}

4.实验结果和讨论

4.1. 仿真平台

所有算法都在Matlab R2012a（7.14）中进行了测试，并在AMD Athlon（tm）II X4 640处理器3.00 GHz PC上使用3G RAM进行了实验。操作系统为Windows 7。

4.2. 基准函数

为了评估所提方法CGWO的性能，使用了16个标准基准函数来证明算法的性能[23，24，25]. 它们可以分为两组：单峰函数和多峰函数。表1列出了函数，其中Dim表示函数的维度，Range是函数搜索空间的边界

{（f）}_{最小值}

是函数的最小值。

我们比较ABC[7]、GGSA[9]、CGWO、GWO[16]在基准函数上验证这些算法处理不同规模问题的有效性。此外，为了证明CGWO相对于GWO的优越性，我们从复值编码而非差分进化策略“DE/best/2”中推导了函数。CGWO还与基本GWO进行了比较，其差异进化策略称为差异进化GWO（DGWO）。这五种算法的一些参数如所示表2.

表2。基准函数。

**表2。**基准函数。
基准函数	范围	尺寸	${（f）}_{最小值}$
单峰函数			0
${F类}_{1}$ ：球体函数	[−100,100]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{2}$ ：Schwefel问题2.22	[−10,10]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{三}$ ：Schwefel问题2.21	[−100,100]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{4}$ ：广义Rosenbrock函数	[−30,30]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{5}$ ：四次函数即、尼奥斯	[−1.28,1.28]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{6}$ ：移位球体函数	[−100,100]	10,30,50,100,200,300,400	−450
${F类}_{7}$ ：移位Schwefel’s	[−100,100]	10,30,50,100,200,300,400	−450
${F类}_{8}$ ：广义Rosenbrock函数	[−100,100]	10,30,50,100,200,300,400	−450
多模态函数
${F类}_{9}$ ：广义拉斯特里金函数	[−5.12,5.12]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{10}$ ：Ackley函数	[−32,32]	10月30日，5月100日200300400	0
${F类}_{11}$ ：广义Griewank函数	[−600600]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{12}$ ：广义惩罚1函数	[−50,50]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{13}$ ：阿尔卑斯函数	[−10,10]	10,30,50,100,200,300,400	0
${F类}_{14}$ ：转移了Rosenbrock的功能	[−100,100]	10,30,50,100,200,300,400	390
${F类}_{15}$ ：移位的拉斯特里金函数	[−5,5]	10,30,50,100,200,300,400	−330
${F类}_{16}$ ：扩展扩展的Griewank和Rosenbrock功能	[−3,1]	10,30,50,100,200,300,400	−130

五种算法的实验初始参数见表3，实验结果见表4和表5对20个连续实验的结果进行平均。最佳结果以粗体显示。最后一次迭代中获得的最佳解的平均值（AVE）和标准差（STD）以AVE±STD的形式报告。注意，GGSA算法的Matlab代码如下所示[26].

为了改进进化算法的性能评估，应该进行统计测试[27]. 为了确定CGWO的结果是否与统计方法中其他算法的最佳结果不同，这是一种非参数检验，称为Wilcoxon秩和检验[28，29，30，31]，以5%的显著性水平执行。计算的对在所有基准函数上比较CGWO和其他算法的Wilcoxon秩和检验中的值如下所示表6，表7，表8，表9，表10，表11和表12通常，对值<0.05可以被视为反对零假设的充分证据。

表3。算法的初始参数（其中

T型

表示最大交互次数；

t吨

是当前迭代）。

**表3。**算法的初始参数（其中 $T型$ 表示最大交互次数； $t吨$ 是当前迭代）。
算法	参数	价值
CGWO公司	灰狼数量	50（尺寸=10、30、50、100、200、300、400）
	$\vec{α}$	从2线性降至0
	缩放因子 $(F类)$	0.1
	最大迭代次数	500
	停止标准	最大迭代次数
DGWO公司	灰狼数量	50（尺寸=10、30、50、100、200、300、400）
	$\vec{α}$	从2线性降至0
	缩放因子 $(F类)$	0.1
	最大迭代次数	500
	停止标准	最大迭代次数
全球野生动物组织	灰狼数量	50（尺寸=10、30、50、100、200、300、400）
	$\vec{α}$	从2线性降至0
	最大迭代次数	500
	停止标准	最大迭代次数
GGSA公司	颗粒数量	50（尺寸=10、30、50、100、200、300、400）
	${c（c）}_{1}^{'}$	$(- 2 {t吨}^{三} / {T型}^{三}) + 2$
	${c（c）}_{2}^{'}$	$(2 {t吨}^{三} / {T型}^{三})$
	${G公司}_{0}$	1
	$α$	20
	最大迭代次数	500
	停止标准	最大迭代次数
基础知识	蜜蜂数量	50（尺寸=10、30、50、100、200、300、400）
	限制	昏暗的
	最大迭代次数	500
	停止标准	最大迭代次数

表4。单峰基准函数的最小化结果。

**表4。**单峰基准函数的最小化结果。
尺寸	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司
10	8.0777E−20±0.0000E+00	0.0000E+00±0.0000E-00	8.4729E−43±3.2969E−42	5.5016E-04±3.5231E-04	2.9091E-04±4.3211E-04	−4.4889东经+02±1.0776东经+00	-1.9339E+02±4.0809E+01	−3.0527E+01±8.6684E+02
30	1.4398E-71±4.8237E-71	1.2998E-39±2.5518E-39	4.1033E−15±1.0312E−14	1.8100E-02±1.0057E-02	7.2160E-04±5.1996E-04	−4.4915E+02±5.8509E−01	1.1352E+04±3.3158E+03	1.7787E+04±5.0959E+03
50	3.7431E−50±1.1867E−49	4.4998E−27±8.4186E−27E	1.9027E−09±3.3531E−2009	4.7794E+01±1.2119E+00	9.3468E-04±6.6121E-04	-1.2732E+02±1.9633E+02	3.4063东经+04±5.9884东经+03	3.9004E+04±5.1989E+03
100	7.3423E−30±3.1587E−29	1.6124E-16±3.5312E-16	3.9660E−01±1.7639E+00	9.7484E+01±7.2242E−01	1.5909E-03±1.0240E-03	2.1759E+04±7.5580E+03	1.2869E+05±2.1842E+04	1.8549E+05±2.6968E+04
200	1.4070E-19±3.6121E-19	1.5064E-10±2.5796E-10	1.2359E+00±1.0011E+00	1.9738E+02±5.6856E−01	4.2014E-03±2.7884E-03	5.0140E+05±1.7003E+04	1.9216E+06±1.9621E+05	3.3979E+06±3.5774E+05
300	2.8113E−15±5.6022E−15	7.0321E-08±6.7782E-08	3.6366E+00±1.0280E+00	2.9626E+02±1.5730E−01	4.7128E−02±1.4278E−01	8.0008E+05±1.5269E+04	4.1571E+06±5.1269E+05	4.9800E+06±6.5065E+05
400	3.4737E-12±7.1267E-12	3.0327E-06±2.5241E-06	2.1025E+01±5.6457E+00	3.9548E+02±4.4863E−01	4.2727E-02±7.0163E-02	1.1130E+06±1.7554E+04	7.5565E+06±1.0621E+06	1.2198E+07±2.2352E+06
DGWO公司
10	1.1360E−06±4.7184E−07	1.9937E-04±4.2277E-05	2.1312E−01±9.2890E−02	8.3090E+00±1.0305E+00	3.4367E−02±1.0888E−02	2.3163E+03±2.5481E+03	4.7482E+03±2.8687E+03	7.5883E+03±4.1176E+03
30	7.3667E-02±1.8195E-02	1.1711E−01±2.9090E−02	2.4785E+01±5.9882E+00	4.3406E+01±3.4415E+01	1.2390E−01±2.3564E−02	2.6585E+04±8.6640E+03	2.1542E+04±6.2293E+03	4.3638E+04±1.0900E+04
50	2.4476E+00±6.0988E−01	9.9901E−01±1.5113E−01E	4.4000E+01±5.2551E+00	1.4580E+02±6.4864E+01	2.7228E−01±4.7428E−02	4.7804E+04±1.1059E+04	4.3616E+04±1.1237E+04	1.2208东经+05±3.4060东经+04
100	1.0877E+02±1.6232E+01	1.0042E+01±1.1552E+00	6.2858E+01±6.3695E+00	2.3664E+03±4.5620E+02	7.9759E−01±9.3228E−02	1.1471E+05±1.3791E+04	1.6432E+05±2.4980E+04	5.1550E+05±8.8341E+04
200	1.9645E+03±1.9254E+02	5.2295E+01±5.2466E+00	7.8652E+01±3.6098E+00	1.0148E+05±1.9510E+04	3.5616E+00±4.4507E−01	8.4322E+05±6.2948E+04	3.6436E+06±4.5426E+05	4.4553东经+06±8.5486东经+05
300	7.6823E+03±5.6428E+02	1.2337E+02±6.7399E+00	8.3316E+01±4.7333E+00	9.1603E+05±2.4689E+05	1.0789E+01±1.3892E+00	1.3864E+06±6.5113E+04	8.7852E+06±1.4109E+06	9.9956E+06±2.2905E+06
400	1.9250E+04±1.5647E+03	2.1533E+02±8.3003E+00	8.5761E+01±4.7751E+00	3.8053E+06±7.6087E+05	2.9632E+01±2.5582E+00	1.9203E+06±9.4239E+04	1.5215E+07±3.6273E+06	1.7677E+07±2.6455E+06
全球野生动物组织
10	2.5805E−69±7.6450E−69	2.7692E-40±6.3910E-40	2.7524E−22±3.4511E−22	6.4337E+00±6.8791E−01	4.9730E-04±4.5395E-04	−4.0937东经+02±1.3607东经/02	8.9662东经+02±1.1030东经+03	1.7674E+03±1.6258E+03
30	2.1070E-33±4.4964E-33	8.1447E-20±6.4357E-20	1.4089E-08±1.2034E-08	2.6904E+01±9.2161E−01	1.1748E−03±5.2271E−04	9.2889E+02±1.6474E+03	2.0771E+04±4.9830E+03	2.8285E+04±6.7382E+03
50	6.2067E-24±7.8311E-24	1.3044E−14±6.4281E−15	3.0825E−05±3.2791E−2005	4.6971E+01±9.0888E−01	2.2703E-03±1.1187E-03	4.8602E+03±2.9308E+03	5.4895E+04±1.1910E+04	7.7969E+04±2.8450E+04
100	5.7949E-15±4.8422E-15	1.5493E−09±7.8417E−10	1.9884E-01±2.4874E-01	9.7657E+01±7.4917E−01	4.2428E−03±1.5897E−02	2.9473E+04±5.9709E+03	3.4850E+05±8.0002E+04	4.7813东经+05±1.4313东经/05
200	2.2316E−09±1.2787E−08	3.1753E−06±6.9032E−07	1.6292E+01±6.3378E+00	1.9754E+02±6.5867E−01	9.3098E−03±2.8591E−02	5.9583E+05±3.0287E+04	2.7874E+06±3.3331E+05	3.4073E+06±4.9504E+05
300	6.3147E−07±2.7324E−07	1.0829E−04±1.8965E−05	3.7255E+01±8.5676E+00	2.9764E+02±3.1645E−01	1.4354E−02±4.0319E−03	9.4557E+05±5.1007E+04	6.8111E+06±8.6399E+05	7.9226E+06±1.2337E+06
400	1.7267E−05±4.6512E−06	7.4353E-04±1.3332E-04	5.2035E+01±7.0599E+00	3.9747E+02±4.8978E−01	2.0391E−02±7.0124E−03	1.3036E+06±3.3161E+04	1.2296E+07±1.7584E+06	1.3510东经+07±1.6044东经+06
GGSA公司
10	9.2519E-21±4.2801E-21	3.1151E−10±9.2607E−11	8.9514E-11±2.7214E-11	6.7009E+00±1.2573E−01	3.2674E−03±2.4999E−03	-4.5000E+02±0.0000E+00	2.6272E+03±6.2941E+02	1.4392E+04±2.6931E+03
30	2.6712E-18±1.2549E-18	9.3694E-09±4.4274E-09	2.9579E+00±1.6414E+00	5.8188E+01±6.3740E+01	1.0137E-01±1.9933E-01	2.3067E+04±3.3726E+03	3.3267E+04±4.3653E+03	1.1119E+05±3.3148E+04
50	1.5507E+01±2.1611E+01	5.1348E-02±1.5918E-01	8.6753E+00±1.6597E+00	2.7657E+02±1.2526E+02	3.0945E-01±2.1183E-01	7.4669E+04±4.5502E+03	1.3785E+05±3.2422E+04	4.1812E+05±9.6508E+04
100	1.6676E+03±4.9714E+02	6.1052E+00±1.8933E+00	1.2955E+01±1.0841E+00	1.7308E+04±8.9446E+03	5.3262E+00±2.3408E+00	2.1907E+05±1.0291E+04	7.8679E+05±1.5218E+05	1.3530E+06±3.0243E+05
200	8.4275E+03±1.2512E+03	3.6763E+01±3.8134E+00	1.6661E+01±1.4115E+00	3.1464E+05±8.8699E+04	8.1100E+01±2.5622E+01	5.8479E+05±5.1987E+04	2.7680E+06±4.0291E+05	2.2675E+06±3.1986E+05
300	1.5914E+04±1.3725E+03	8.2638E+01±5.8110E+00	1.9064E+01±1.3577E+00	9.6178E+05±1.7308E+05	2.7728E+02±5.9165E+01	9.2981E+05±4.1542E+04	6.2326E+06±5.7420E+05	7.0990E+06±1.0544E+06
400	2.3949E+04±2.1892E+03	1.4341E+02±8.2441E+00	1.9783E+01±1.0119E+00	1.5492E+06±2.2445E+05	6.0587E+02±1.2483E+02	1.2460E+06±5.7645E+04	1.0610东经+07±1.3024东经+06	9.0430E+06±8.0266E+05
基础知识
10	6.0129E-01±6.1553E-01	1.5859E−01±8.4510E−02	2.1272E+01±4.3992E+00	2.6585E+02±1.6000E+02	1.2359E−01±4.6076E−02	−1.4954E+02±4.9579E+02	3.4097E+03±1.2049E+03	5.0882E+03±1.8545E+03
30	3.2478E-01±4.5597E-01	1.2980E−01±4.3760E−02	7.0218E+01±2.3338E+00	8.5263E+02±7.9645E+02	8.2804E-01±2.1601E-01	1.4170E+04±7.2822E+03	3.5650E+04±8.3039E+03	7.4794E+04±9.2037E+03
50	1.2333E+02±8.4279E+01	4.3301E+00±9.9440E−01	8.2147E+01±3.8170E+00	4.6490E+04±6.1813E+04	1.5872E+00±3.3977E−01	4.0359E+04±9.7105E+03	9.5767E+04±1.0755E+04	2.0713E+05±4.4398E+04
100	1.0303E+04±2.3400E+03	6.9117E+01±1.0120E+01	9.1392E+01±1.3538E+00	1.4325E+07±7.5061E+06	2.3301E+01±1.3000E+01	1.4927E+05±1.5295E+04	4.2471E+05±4.8962E+04	8.3245E+05±1.3602E+05
200	1.2821E+05±1.4533E+04	3.6342E+02±2.7770E+01	9.6506E+01±4.9955E−01	9.6506E+01±4.9955E−01	1.1262E+03±1.7396E+02	9.1173东经+05±2.9096东经+04	3.7621E+06±4.2790E+05	4.3386E+06±6.2251E+05
300	3.3265E+05±2.2887E+04	1.1978E+47±4.2891E+47	9.7796E+01±3.1432E−01	1.1327E+09±1.1732E+08	1.1327E+09±1.1732E+08	1.4685E+06±2.9655E+04	7.8441E+06±9.3926E+05	9.5687E+06±1.7075E+06
400	5.9389E+05±1.8295E+04	4.2575E+88±1.7165E+89	9.8452E+01±4.2393E−01	2.2510东经+09±1.1498东经+08	1.4309E+04±1.1349E+03	2.0582E+06±4.8368E+04	1.5176E+07±1.8401E+06	1.8247E+07±2.5257E+06

表5。最小化多模态基准函数的结果。

**表5。**最小化多模态基准函数的结果。
尺寸	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司
10	0.0000E+00±0.0000E-00	1.5987E-15±1.4580E-15	4.0602E−03±1.3531E−02	1.3706E-07±1.2330E-07	0.0000E+00±0.0000E-00	1.4299东经+03±1.4439东经/03	−3.2642E+02±2.0518E+00	−1.2860E+02±6.7363E−01
30	4.2633E-14±1.7773E-13	1.1191E−14±3.4387E−15	6.2267E-04±2.7847E-03	1.3788E-06±2.0390E-06	5.8309E−37±2.5356E−36	1.8721E+04±2.3273E+04	−3.1258E+02±4.7012E+00	-1.2340E+02±1.0595E+00
50	2.8422E−15±1.2711E−14	2.5580E−14±7.1497E−15	6.3696E−04±2.8486E−03	1.2605E−03±1.7930 e−03	4.9439E-26±9.7835E-26	1.3906E+07±1.8383E+07	-2.9335E+02±7.2684E+00	−1.2123E+02±2.2688E+00
100	2.6767E−09±1.1970E−08	9.1305E-14±1.5656E-14	0.0000E+00±0.0000E-00	1.2196E-03±2.0664E-03	5.9151E−16±2.0987E−15	4.9142东经+10±6.6649东经+09	-1.3387E+02±2.6121E+01	-2.6579E+01±2.0246E+01
200	2.6565E+01±1.1300E+02	2.7021E-11±2.7854E-11	5.4207E−04±2.4242E−03	7.0711E-02±4.2341E-02	2.0131E-09±8.0141E-09	1.7580E+11±5.4392E+09	2.8640E+03±5.8923E+01	7.4045E+01±2.7698E+01
300	2.1291E+02±5.9239E+02	8.4466E−09±1.1293E−08	1.1102E−16±0.0000E+00	8.6895E-02±3.6233E-02	9.2315E−08±1.5863E−07	2.8611E+11±1.4562E+10	4.6189E+03±5.9492E+01	1.8003E+02±1.7963E+01
400	5.1274E+02±1.0278E+03	1.4933E-07±2.1924E-07	6.6570E−04±2.9771E−03	1.0286E−01±3.9337E−02	3.4892E−06±6.7040E−06E	4.5924E+11±2.7140E+10	6.3501E+03±4.8900E+01	3.2995E+02±7.8903E+01
DGWO公司
10	4.5352E+01±1.5435E+01	1.6427E+01±2.2320E+00	1.6030E+00±1.1451E+00	2.6231E+01±1.3377E+01	3.4938E+00±1.8937E+00	6.8943E+08±1.6356E+09	-2.7396E+02±1.4121E+01	-1.2400E+02±4.8791E+00
30	1.8919E+02±3.1312E+01	1.8618E+01±7.9104E−01	1.3173E−01±3.4766E−02	2.5088E+01±8.3795E+00	1.9820E+01±6.5702E+00	1.2290E+10±4.1999E+09	−2.3561E+01±5.4322E+01	−6.6789E+01±3.0823E+01
50	3.5037E+02±4.5994E+01	1.9096E+01±3.5597E−01	9.8671E−01±4.7635E−02	2.5352E+01±6.0001E+00	3.5632E+01±7.5088E+00	2.1232E+10±5.9364E+09	2.2694E+02±5.3681E+01	5.2913E+01±1.0449E+02
100	7.8978E+02±9.6092E+01	1.9541E+01±1.7359E−01	1.9791E+00±1.7258E−01	3.5454E+01±6.0199E+00	8.9551E+01±1.0858E+01	4.3486东经+10±8.2896东经+09	9.5214E+02±9.5931E+01	3.9850E+02±1.8512E+02
200	1.7170E+03±1.4305E+02	1.9806E+01±1.3330E−01	1.8272E+01±2.1260E+00	5.2363E+01±5.6970E+00	2.1950E+02±1.9719E+01	7.7228E+11±1.1214E+11	3.7987E+03±1.6113E+02	1.5229E+04±4.3600E+03
300	2.7346E+03±1.3286E+02	2.0016E+01±1.1159E−01	6.9860E+01±7.1631E+00	7.2126E+01±4.9733E+00	3.7320E+02±3.0975E+01	1.2386E+12±1.3913E+11	5.9785E+03±1.9659E+02	2.7460东经+04±8.9549东经+03
400	3.7757E+03±2.0535E+02	2.0131E+01±1.0322E−01	1.6753E+02±1.0906E+01	2.2940东经+02±2.8030东经/02	5.3048E+02±4.0597E+01	1.7939E+12±1.7536E+11	8.2816E+03±2.9714E+02	3.8426E+04±7.0501E+03
全球野生动物组织
10	3.1745E−01±1.4197E+00	6.3949E-15±1.8134E-15	2.2698E−02±2.3047E−02	9.8002E−04±4.3798E−03	9.9794E−05±2.3508E−04	1.0356E+05±2.2061E+05	−3.1551E+02±7.9110E+00	−1.2816E+02±7.4021E−01
30	1.0576E+00±2.5877E+00	4.4231E−14±4.8356E−15	5.7637E-03±8.7308E-03	3.0060E-02±1.1083E-02	2.1473E−04±3.4751E−02	6.4158E+07±1.2761E+08	-2.1396E+02±3.6415E+01	−1.2312E+02±3.5263E+00
50	4.6654E+00±6.3566E+00	5.5849E−13±2.8125E−13	3.5817E-03±8.8102E-03	6.6260E−02±2.0916E−02	6.4731E-04±8.0489E-04	5.1876E+08±4.1005E+08	−7.7278E+01±7.6566E+01	-1.0549E+02±1.0994E+01
100	8.8310E+00±1.5376E+01	8.1183E−09±3.8031E−2009	2.5595E-03±6.3188E-03	2.2714E−01±5.6793E−02	2.7201E−03±1.7511E−02	5.3591E+09±2.0717E+09	3.2458E+02±6.6970E+01	−8.0325E+00±3.3479E+01
200	1.5325E+01±6.5521E+00	3.8682E-06±1.1846E-06	3.3148E−03±8.8221E−02	4.5483E−01±4.7011E−02	8.4679E-03±3.7215E-03	2.6151埃+11±5.1126埃+10	3.0724E+03±1.1861E+02	2.1298E+03±2.2768E+02
300	3.1528E+01±7.6771E+00	4.7213E-05±1.0407E-05	4.5271E−03±1.4858E−02	5.7484E−01±3.6978E−02	2.0768E−02±4.5727E−03	4.5381E+11±1.1393E+11	4.9000E+03±1.1343E+02	4.0573E+03±4.8996E+02
400	3.7025E+01±1.0455E+0一	2.1345E−04±5.2073E−05	7.0955E−03±1.7393E−02	6.4186E−01±4.2966E−02	3.4143E−02±8.6240E−03	5.6113E+11±6.2542E+10	6.7909E+03±1.5308E+02	6.4142E+03±1.0602E+03
GGSA公司
10	3.3331E+00±1.4172E+00	1.3906E−10±3.2542E−11	1.9795E+00±1.2491E+00	1.8251E-22±1.0118E-22	2.8670E−11±9.2788E−12	3.6879E+03±2.4434E+03	−3.2050E+02±2.1413E+00	−1.2858E+02±4.3780E−01
30	1.8456E+01±5.1898E+00	1.1140E−09±2.9021E−10	1.0267E+01±3.2103E+00	5.5544E-01±6.3755E-01	2.5030E-04±7.6750E-04	4.8066E+09±1.1258E+09	6.0902E+01±2.3871E+01	−1.1323E+02±5.6022E+00
50	4.3579E+01±8.0998E+00	1.7715E−01±3.6017E−02	1.8261E+01±4.7142E+00	1.6202E+00±5.5207E−01	1.3236E-02±1.0920E-02	1.7675E+10±2.7512E+09	−2.4984E+02±1.6804E+01	-1.1488E+02±2.4858E+00
100	1.1579东经+02±1.8440东经+01	2.5164E+00±6.0464E−01	4.3977东经+01±8.3030东经+00	4.2369E+00±1.0887E+00	2.2041E+00±1.2578E+00	6.3146E+10±5.3312E+09	7.8922E+01±3.1585E+01	-9.6724E+01±8.2722E+00
200	4.4349E+02±4.4235E+01	5.7483E+00±3.1385E−01	1.0432E+02±1.2268E+01	9.1683E+00±1.5203E+00	2.0142E+01±3.3920E+00	2.2668E+11±4.3978E+10	4.8773E+03±2.1568E+02	2.1701E+02±2.9341E+01
300	9.6926E+02±8.5582E+01	7.0468E+00±2.1066E−01	1.6476E+02±1.9402E+01	1.3009E+01±2.3856E+00	4.9205E+01±7.1350E+00	3.7441E+11±4.7771E+10	4.8773E+03±2.1568E+02	4.8710E+02±7.8587E+01
400	1.5894E+03±1.2892E+02	7.7598E+00±3.2412E−01	2.2403E+02±1.7685E+01	1.6699E+01±3.0792E+00	9.0176E+01±6.1805E+00	5.2723E+11±6.8051E+10	6.7839E+03±2.1081E+02	8.3395E+02±1.4858E+02
基础知识
10	9.1750E+00±2.3732E+00	2.8183E+00±7.0818E−01	8.5511E-01±1.6535E-01	1.2647E−01±7.7671E−02	2.8306E-01±1.2643E-01	7.6133东经+06±1.9969东经+07	−3.0848E+02±9.7380E+00	−1.2813E+02±4.5518E−01
30	1.3199E+01±3.3583E+00	9.9923E-01±3.1808E-01	3.0353E-01±1.6465E-01	4.6248E-02±4.8526E-02	2.1445E-01±1.2395E-01	3.3062E+09±2.3993E+09	−1.4954E+02±3.3221E+01	-1.1151E+02±4.9187E+00
50	4.9709E+01±8.6579E+00	4.1506E+00±4.3372E−01	1.7922E+00±4.8016E−01	1.5856E+00±9.4589E−01	2.2899E+00±5.0491E−01	1.1100E+10±5.8365E+09	1.0383E+02±4.4515E+01	−9.0741E+01±4.5782E+00
100	2.9863E+02±1.8723E+01	1.2376E+01±8.6558E−01	9.2611E+01±2.5847E+01	1.5095E+07±1.2545E+07E	2.4913E+01±2.8451E+00	7.3054E+09±4.5816E+09	8.2247E+02±7.2309E+01	7.7688E+00±6.1501E+01
200	1.2958E+03±3.2622E+01	1.8047E+01±2.4832E−01	1.1472E+03±8.9146E+01	7.2551E+08±1.6454E+08	1.3825E+02±9.8552E+00	8.8023E+11±5.0733E+10	3.8667E+03±7.0574E+01	2.6009E+04±3.4016E+03
300	2.6343E+03±7.7325E+01	1.9385E+01±8.0440E−02	2.9939E+03±1.2926E+02	2.4355E+09±2.7651E+08	3.1744E+02±1.4506E+01	1.5472E+12±6.5726E+10	6.2579E+03±7.7842E+01	4.8368E+04±4.1046E+03
400	4.0672E+03±8.2970E+01	1.9842E+01±6.6639E−02	5.3203E+03±1.9270E+02	5.0604E+09±3.3310E+08	5.2991E+02±1.3637E+01	2.2105E+12±8.2257E+10	8.7173东经+03±1.0780东经+02	7.6065E+04±6.0210E+03

表6。 对-比较CGWO（复值编码灰狼优化）的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=10时多模基准函数的DGWO（差分进化GWO）、GWO、GGSA（gbest引导的引力搜索算法）和ABC（人工蜂群优化）最小化结果(

对 \geq 0.05

).

**表6。** 对-比较CGWO（复值编码灰狼优化）的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=10时多模基准函数的DGWO（差分进化GWO）、GWO、GGSA（gbest引导的引力搜索算法）和ABC（人工蜂群优化）最小化结果( $对 \geq 0.05$ ).
尺寸=10	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司与。DGWO公司	2.4426E−08	8.0065E−09	6.2771E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.2346E−07	1.6571E−07
CGWO公司与。全球野生动物组织	2.4426E−08	8.0065E−09	6.2771E−08	6.7956E−08	2.1393E−03型	3.5070E−01型	4.1658E−05年	1.1045E−05号
CGWO公司与。GGSA公司	2.4426E−08	8.0065E−09	6.2771E−08	6.7956E−08	7.9479E−07	8.0065E−09	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	2.4426E−08	8.0065E−09	2008年6月27日	6.7956E−08	6.7956E−08	9.1728E−08号	6.7956E−08	9.1728E−08号
尺寸=10	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司与。DGWO公司	8.0065E−09	2.4037E−08	1.5149E−08	6.7956E−08	8.0065E−09	2.5629E−07	6.3761E−08	1.0646E−07
CGWO公司与。全球野生动物组织	1.6259E−01型	1.7005E−07	8.2529E−04号	6.9166E−07号	2009年6月8日	7.5774E−06	1.1613E−07号	4.9864E−02型
CGWO公司与。GGSA公司	7.3831E−09号	2.4037E−08	1.5149E−08	6.7956E−08	8.0065E−09	3.7499E−04型	1.5605E−07号	3.2348E−01号
CGWO公司与。基础知识	2009年6月8日	2.4037E−08	1.5149E−08英寸	6.7956E−08	8.0065E−09	1.9177东至07	7.4151E−08年	7.1135E−03号

表7。 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=30时的DGWO、GWO、GGSA和ABC(

对 \geq 0.05

已加下划线）。

**表7。** 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=30时的DGWO、GWO、GGSA和ABC( $对 \geq 0.05$ 已加下划线）。
尺寸=30	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	2.0616E−06英寸	7.8980E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	5.1153E−03号	6.7956E−08	2.5629E−07	2.3025E−05
CGWO公司与。GGSA公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
尺寸=30	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司与。DGWO公司	1.5149E−08	4.7371E−08	1.1267E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	3.6853E−05	3.8179E−08型	1.8196E−02型	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	4.7348E−01型
CGWO公司与。GGSA公司	1.4970E−08	4.7371电子-08	1.1267E−08	1.8074E−05	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	1.5149E−08	4.7371E−08	1.1267E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	7.8980E−08

表8。 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=50时的DGWO、GWO、GGSA和ABC(

对 \geq 0.05

已加下划线）。

**表8。** 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=50时的DGWO、GWO、GGSA和ABC( $对 \geq 0.05$ 已加下划线）。
尺寸=50	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.3486E−03	6.7956E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	3.0566E−03	3.7051E−05	6.7956E−08	7.9479E−07	3.9388E−07号
CGWO公司与。GGSA公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
尺寸=50	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司与。DGWO公司	1.1267E−08	5.6939E−08	1.1267E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。格沃	1.1168E−08	5.6775E−08英寸	1.6493E−01型	6.7956E−08	6.7956E−08	1.0646E−07	6.7956E−08	1.0646E−07
CGWO公司与。GGSA公司	1.1267E−08	5.6611E−08	1.1267E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.6571E−07	5.2269E−07号
CGWO公司与。基础知识	1.1267E−08	5.6939E−08	1.1267E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08

表9。 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=100时的DGWO、GWO、GGSA和ABC(

对 \geq 0.05

已加下划线）。

**表9。** 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=100时的DGWO、GWO、GGSA和ABC( $对 \geq 0.05$ 已加下划线）。
尺寸=100	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.0373E−04号	6.7956E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	6.7956E−08	6.7956E−08	2.0616E−06型	2.7329E−01	5.1658E−06号	5.6290E−04型	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。GGSA公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
尺寸=100	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司与。DGWO公司	5.6042E−08	2008年5月5日	8.0065E−09	6.7956E−08	6.7956E−08	4.6792E−02型	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	1.1910E−07号	6.5041E−08	7.9480东至09	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	9.2780东经-05
CGWO公司与。GGSA公司	5.6042E−08	6.5041E−08	2009年6月8日	6.7956E−08	6.7956E−08	9.1266E−07号	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	5.6042E−08	6.5041E−08	8.0065E−09	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.1355E−01号

表10。 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=200时的DGWO、GWO、GGSA和ABC(

对 \geq 0.05

已加下划线）。

**表10。** 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=200时的DGWO、GWO、GGSA和ABC( $对 \geq 0.05$ 已加下划线）。
尺寸=200	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.1045E−05号
CGWO公司与。全球野生动物组织	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	4.0936E−01	1.4149E−05	6.7956E−08	7.8980E−08	9.8921E−01型
CGWO公司与。GGSA公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	7.8980E−08	2.9598E−07	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	5.8736E−06
尺寸=200	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.6532E−08	6.7956E−08	1.9544E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	1.3953E−05	6.7956E−08	2.7851E−07	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	3.9874E−06	6.7956E−08
CGWO公司与。GGSA公司	1.0292E−06	6.7956E−08	1.9544E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.6737E−06	5.1153E−03号	7.8980E−08英寸
CGWO公司与。基础知识	6.6532E−08年	6.7956E−08	1.9544E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08

表11。 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=300时的DGWO、GWO、GGSA和ABC(

对 \geq 0.05

已加下划线）。

**表11。** 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=300时的DGWO、GWO、GGSA和ABC( $对 \geq 0.05$ 已加下划线）。
尺寸=300	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.0646E−07
CGWO公司与。全球野生动物组织	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	8.3923E−01号	6.7956E−08	6.7956E−08	7.8980E−08
CGWO公司与。GGSA公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	7.8980E−08	5.2269E−07号
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	9.1728E−08号
尺寸=300	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.7956E−08	6.7956E−08	2009年6月8日	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	1.6098E−04	6.7956E−08	8.0065E−09	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	9.1728E−08号	6.7956E−08
CGWO公司与。GGSA公司	1.5997E−05	6.7956E−08	8.0065E−09	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	9.7480欧-06	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	8.0065E−09	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08

表12。 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=400时的DGWO、GWO、GGSA和ABC(

对 \geq 0.05

已加下划线）。

**表12。** 对-比较CGWO的Wilcoxon秩和检验产生的值与。Dim=400时的DGWO、GWO、GGSA和ABC( $对 \geq 0.05$ 已加下划线）。
尺寸=400	${F类}_{1}$	${F类}_{2}$	${F类}_{三}$	${F类}_{4}$	${F类}_{5}$	${F类}_{6}$	${F类}_{7}$	${F类}_{8}$
CGWO公司与。DGWO公司	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	9.1266E−07年
CGWO公司与。格沃	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.2346E−07	7.3527E−01号	6.7956E−08	9.1728E−08号	东经-02年7月20日
CGWO公司与。GGSA公司	6.7956E−08	6.7956E−08	7.3527E−01号	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	1.9177东至07	2.3025E−05
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	3.9388E−07号
尺寸=400	${F类}_{9}$	${F类}_{10}$	${F类}_{11}$	${F类}_{12}$	${F类}_{13}$	${F类}_{14}$	${F类}_{15}$	${F类}_{16}$
CGWO公司与。DGWO公司	1.4309E−07	6.7956E−08	3.3727E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。全球野生动物组织	7.1135E−03号	6.7956E−08	东至2007年4月4078日	6.7956E−08	6.7956E−08	6.9166E−07号	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。GGSA公司	1.6098E−04	6.7956E−08	3.3727E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	7.5788E−04型	6.7956E−08	6.7956E−08
CGWO公司与。基础知识	6.7956E−08	6.7956E−08	3.3727E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08	6.7956E−08

4.3. 单峰基准函数

单峰基准测试只有一个全局解决方案，没有任何局部优化。因此，它们有助于检验启发式优化的收敛能力。单峰基准函数的结果如所示表3如表所示，对于30-D单峰基准函数，CGWO对所有基准函数的结果最好。对于10-D、50-D、100-D、200-D、300-D和400-D，此表显示CGWO算法在大多数单峰基准测试函数上优于其他算法。因此，所提出的算法在寻找单峰基准测试函数的全局解方面具有很高的性能。根据对的值

{F类}_{1} ~ {F类}_{8}

具有不同的尺寸表5，表6，表7，表8，表9，表10和表11与其他算法相比，CGWO在大多数维度上都取得了显著改进。因此，这证明了CGWO在锻造单峰基准函数的全局最优解方面比其他算法具有更好的性能。

图1显示了30维单峰基准函数在20次独立运行中的平均收敛曲线。从这些曲线可以看出，CGWO具有最快的收敛速度。图2给出了30-D单峰函数全局极小值的方差检验，表明CGWO是最稳健的方法。对于

{F类}_{1} ~ {F类}_{8}

函数，我们比较的其他算法（即DGWO、GWO、GGSA、ABC）仅对少数函数具有鲁棒性，并不能对所有函数都具有鲁棒性。基于表3，表5，表6，表7，表8，表9，表10和表11和图1和图3可以得出结论，CGWO趋向于在单峰函数中找到最佳解，具有非常快的收敛速度和更稳定的性能。

图1。Dim=30单峰函数上ABC、GGSA、GWO、DGWO和CGWO的收敛性。

图2。在Dim=30的单峰函数上对ABC、GGSA、GWO、DGWO和CGWO进行ANOVA测试。

4.4. 多模式基准函数

多模式基准测试函数的结果见表4注意，多模函数有许多局部极小值，其数量随维数呈指数增长。因此，它们非常适合测试算法的搜索能力以避免局部极小。平均值和STD的结果表明，CGWO在30-D、50-D多模态基准函数上的性能优于其他算法。对于

{F类}_{9}

在200-D、300-D、400-D上，GWO比CGWO具有更好的值。对于

{F类}_{12}

在10-D上，GGSA的结果最好。对于

{F类}_{14}

在100-D上，GWO略优于CGWO。对于

{F类}_{16}

在100-D上，CGWO和GGSA的结果非常接近。该表还显示，CGWO在10-D、100-D、200-D、300-D和400-D的大多数维度上提供了比其他算法更好的结果。此外对的值

{F类}_{9} ~ {F类}_{16}

中报告了不同的尺寸表5，表6，表7，表8，表9，表10和表11在大多数维度上都小于0.05，这是反对零假设的有力证据。因此，这一证据表明，CGWO的结果具有统计学意义，并非巧合。

图3显示了30维、20次独立运行的多模基准函数的平均收敛曲线。如所示图2在所有情况下，CGWO的收敛速度都优于其他算法。图4描述了CGWO和其他算法在30-D的多模态函数上的方差检验。如图所示，更稳定的性能属于CGWO。根据表4，表5，表6，表7，表8，表9，表10和表11和图3和图4可以说，CGWO在处理多峰基准函数时，具有良好的收敛速度和稳定性，能够避免局部极小值。

根据这一全面的比较研究和讨论，我们认为该算法与其他算法相比具有一定的优点。下一节检查CGWO在解决IIR模型识别问题中的性能。

图3。Dim=30的多模函数上ABC、GGSA、GWO、DGWO和CGWO的收敛行为。

图4。在Dim=30的多模态函数上对ABC、GGSA、GWO、DGWO和CGWO进行ANOVA测试。

5.IIR型号识别

系统辨识是通过分析未知系统的输入输出值来获得其数学模型的有效方法。在系统辨识中，无限冲激响应（IIR）的使用得到了广泛的研究，因为信号处理中遇到的许多问题都可以描述为系统辨识问题(图5). 在这种情况下，优化算法尝试迭代调整参数，直到候选模型的输出与工厂实际输出之间的误差最小化。与等效的FIR（有限脉冲响应）模型相比，IIR模型更适合用于识别，因为前者可以为实际应用提供更精确的物理植物模型[32]. 此外，IIR模型能够使用较少的模型参数来满足性能规范。本文中使用的适应度函数计算如下[33].

图5。IIR系统标识框图。

图5。IIR系统标识的框图。

在IIR系统中，传递函数如下所示：

\frac{Y（Y） (z（z）)}{X（X） (z（z）)} = \frac{{b条}_{0} + {b条}_{1} {z（z）}^{- 1} + {b条}_{2} {z（z）}^{- 2} + ... + {b条}_{米} {z（z）}^{- 米}}{1 + 一_{1} {z（z）}^{- 1} + 一_{2} {z（z）}^{- 2} + ... + 一_{n个} {z（z）}^{- n个}}

(17)

哪里

米

和

n个

分别是传递函数的分子系数和分母系数的数量，

一_{我} (我 \in [1 ， ... ， n个])

是IIR模型的极点，

{b条}_{j个} (j个 \in [1 ， ... ， 米])

是IIR模型的零参数。方程式（17）用另一种形式表示如下：

年 (t吨) = \sum_{我 = 1}^{n个} 一_{我} \cdot 年 (t吨 - 我) + \sum_{j个 = 0}^{米} {b条}_{j个} \cdot x个 (t吨 - j个)

（18）

哪里

u个 (t吨)

表示t吨系统的输入，

年 (t吨)

表示t吨系统的第个输出。因此，模拟IIR系统的未知参数集表示为

θ = {一_{1} ， ... ， 一_{n个} ， {b条}_{0} ， ... ， {b条}_{米}}

。的未知参数数

θ

是

(n个 + 米 + 1)

相应地，搜索空间

S公司

的IIR可行值

θ

是

ℜ^{(n个 + 米 + 1)}

.

根据图5，工厂的产量为

d日 (t吨)

，而IIR滤波器的输出为

年 (t吨)

.错误

e（电子） (t吨)

表示实际系统与其模型产量之间的差异。这里的错误是

e（电子） (t吨) = d日 (t吨) - 年 (t吨)

因此，IIR模型辨识问题可以作为函数最小化问题来解决。此外，该功能可以按如下方式模塑：

（f） (θ) = \frac{1}{w个} \sum_{t吨 = 1}^{w个} {(d日 (t吨) - 年 (t吨))}^{2}

(19)

哪里

W公司

指示模拟中使用的样本数，目的是最小化函数

（f） (θ)

通过调整

θ

.当错误函数

（f） (θ)

达到其最小值，即最优模型

θ^{*}

或得到解。这个

θ^{*}

如下所示：

θ^{*} = 参数 最小值 (（f） (θ)) ， θ \in S公司

(20)

IIR模型识别结果

结果是通过高阶IIR模型考虑了一个高阶电厂。未知植物

{H（H）}_{对}

和IIR模型

{H（H）}_{M（M）}

保持以下传递函数[27]:

{H（H）}_{对} ({z（z）}^{- 1}) = \frac{1 - 0.4 {z（z）}^{- 2} - 0.65 {z（z）}^{- 4} + 0.26 {z（z）}^{- 6}}{1 - 0.77 {z（z）}^{- 2} - 0.8498 {z（z）}^{- 4} + 0.6486 {z（z）}^{- 6}}

(21)

{H（H）}_{M（M）} ({z（z）}^{- 1}) = \frac{{b条}_{0} + {b条}_{1} {z（z）}^{- 1} + {b条}_{2} {z（z）}^{- 2} + {b条}_{三} {z（z）}^{- 三} + {b条}_{4} {z（z）}^{- 4}}{1 + 一_{1} {z（z）}^{- 1} + 一_{2} {z（z）}^{- 2} + 一_{三} {z（z）}^{- 三} + 一_{4} {z（z）}^{- 4}}

(22)

由于对象是六阶系统，IIR模型是四阶系统，因此误差曲面

（f） (θ)

是多模式的。已使用100个样本的白色序列作为输入。连续20次实验的结果如所示表5和表6.表13显示了最佳参数值（ABP）。表14表示平均值

（f） (θ)

值（AVE）和标准偏差（STD）。图6比较了CGWO和其他IIR系统识别算法。

表13。最佳参数值（ABP）。

**表13。**最佳参数值（ABP）。
算法	$一_{1}$	$一_{2}$	$一_{三}$	$一_{4}$	$一_{5}$	$一_{6}$	$一_{7}$	$一_{8}$	$一_{9}$
CGWO公司	1.1093E−02号	−4.9144E−01	−2.9101E−03	−3.3551E−01	9.8932E−01型	1.3089E−02号	−1.2463E−01	−1.5870E−02	−7.3745E−02
DGWO公司	1.2382E−01	5.5593E−02	−4.9268E−04	1.0155E−01号	2.1844E−01型	−1.6315E−01	−8.9793E−02	−1.1818E−01	6.1028E−02号
全球野生动物组织	-2.8883E−02	−2.6764E−01	−2.3851E−02	−2.4399E−01	9.1861E−01号	−2.9241E−03	4.8354E−02	-2.7404E−02	4.9129E−02型
GGSA公司	4.6698E−01型	−1.1299E−01	5.7827E−02	1.8673E−01	−3.6432E−02	1.0900E−01号	−8.4527E−02	−8.4070电子−02	3.0088E−01号
基础知识	9.9479E−03	4.4119欧-02	5.9096E−02	−2.2442E−01	8.3829E−01号	−1.1020E−01	2.8357E−01	−4.1144E−02	1.1184E−01号

表14。平均值

（f） (θ)

值（AVE）和标准偏差（STD）。

**表14。**平均值 $（f） (θ)$ 值（AVE）和标准偏差（STD）。
算法	大道	性病科
CGWO公司	3.4013E−03号	2.1644E−03型
DGWO公司	1.2513E−01号	7.1059东风-02
全球野生动物组织	5.5317E−03型	4.9962电子-03
GGSA公司	1.2537E−02	2.4702E−03型
基础知识	4.7898E−02	2004年1月2日E−02

图6。比较CGWO和其他IIR系统辨识算法。

根据AVE和STD指数表6CGWO算法的计算结果优于其他算法。结果表明，CGWO具有更好的精度（AVE值）和鲁棒性（STD）。如所示图6，CGWO具有最快的收敛速度。

总之，结果表明，在大多数基准函数中，该方法都优于其他算法。此外，IIR模型识别表明，CGWO能够获得非常有竞争力的结果。因此，如对比研究结果所示，该方法在进化算法和优化领域具有优势。

6.结论

在这项工作中，将复值编码的思想引入GWO，并在复值编码的基础上提出了一种称为CGWO的复值GWO版本。所提出的函数在16个基准函数上证明了其良好的性能，改进了对局部极小值的避免，提高了收敛速度。此外，还使用了一个复杂的系统辨识问题来测试该方法的性能。结果表明，与其他算法相比，CGWO在IIR模型识别方面具有更好的性能。对于未来的研究，建议应用CGWO解决更多实际工程问题。

致谢

本研究得到国家科学基金项目61463007号资助；6153008.广西民族大学科学基金项目，批准号：2012MDZD037。

作者贡献

罗启芳设计的算法；张森和李志明进行了实验；周涌泉撰写了这篇论文。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

参考文献

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分享和引用

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AMA风格

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芝加哥/图拉宾风格

罗启芳、张森、李志明和周永泉。2016年，“新型复杂值编码灰狼优化算法”算法9，编号1:4。https://doi.org/10.3390/a9010004

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。查看更多详细信息在这里.

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一种新的复数编码灰狼优化算法

摘要

1.简介

2.灰狼优化（GWO）

3.复杂值编码灰狼优化算法（CGWO）

3.1. 复值编码方法

3.1.1、。初始化复杂值编码总体

3.1.2. CGWO的更新方法

3.1.3. 适合度值的计算方法

3.2. CGWO算法

4.实验结果和讨论

4.1. 仿真平台

4.2. 基准函数

4.3. 单峰基准函数

4.4. 多模式基准函数

5.IIR型号识别

IIR模型识别结果

6.结论

致谢

作者贡献

利益冲突

参考文献

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