Numerical Properties of Different Root-Finding Algorithms Obtained for Approximating Continuous Newton’s Method

Gutiérrez, José M.

doi:10.3390/a8041210

开放式访问第条

连续牛顿法逼近中不同寻根算法的数值特性

通过

何塞·古铁雷斯

西班牙洛格罗尼奥26004拉里奥哈大学数学与计算机科学系

算法 2015,8（4），1210-1218；https://doi.org/10.3390/a8041210

收到的提交文件：2015年10月28日/修订日期：2015年12月10日/接受日期：2015年12月14日/发布日期：2015年12月17日

（本文属于特刊求解非线性方程和系统的数值算法)

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版本说明

摘要

:

本文致力于研究连续牛顿法，这是一个通用的微分方程，其关联流趋向于给定多项式的零点。首先，我们分析了在应用不同数值方法求解初值问题后获得的与根寻优方法相关的一些数值特征。特别考虑了步长和收敛阶之间的关系。我们分析了积分过程中步长恒定和非恒定的情况。我们证明，使用非恒定步长，可以获得求解非线性标量方程的著名的Chebyshev-Halley迭代方法族。

关键词：

连续牛顿法；牛顿法；非线性方程；迭代法

1.简介

我们可以在Neuberger的开创性论文中找到连续牛顿方法的起源[1]. 事实上，它出现在与解复杂方程的松弛牛顿法有关的吸引力盆地的研究中

第页 (z) = 0

z_{n个 + 1} = z_{n个} - 小时 \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})}, n个 \geq 0, 小时 \in C类

(1)

众所周知，自从19世纪末的凯利和薛定谔以及20世纪初的法图和朱莉娅的著作以来，牛顿方法的吸引力盆地（通过

小时 = 1

在方程式中(1))具有复杂的分形结构。纽伯杰以及其他作者([2,三])，意识到当

小时 \to 0

，正如我们在图1.

图1。方程中松弛牛顿法的吸引力基础(1)应用于多项式

第页 (z) = z^{三} - 1

对于

小时 = 1

,

小时 = 2 / 三

和

小时 = 1 / 三

分别是。

图1。方程中松弛牛顿法的吸引力基础(1)应用于多项式

第页 (z) = z^{三} - 1

对于

小时 = 1

,

小时 = 2 / 三

和

小时 = 1 / 三

分别是。

我们可以识别迭代法方程(1)作为微分方程的欧拉近似

z (0) = z_{0}, z^{'} (t吨) = - \frac{第页 (z (t吨))}{{第页}^{'} (z (t吨))}

(2)

具有步长小时.

初值问题方程(2)，或其查找函数的改进版本

z : [0, \infty) \to C类

这样的话

\begin{matrix} z (0) = z_{0}, 第页 {(z)}^{'} (t吨) = - 第页 (z (t吨)) \end{matrix}

(3)

对于给定的z₀∈

C类

，其中第页是一种非恒定复多项式，称为连续牛顿法。我们指的是[1]作为连续牛顿法的理论基础。特别是，它表明解决方案

z (t吨)

方程式的(2)（或方程（3））流到零第页同时保留

第页 (z (t吨))

常数为

参数 (第页 (z_{0}))

.

例如，正如雅各布森所指出的那样等。[三]，如果

第页 (z) = z^{三} - 1

在方程式中(2)，显式解决方案是

z (t吨) = \sqrt[三]{(z_{0}^{三} - 1) {e（电子）}^{- t吨} + 1}

选择由光线定义的立方根的适当分支

θ = π / 三

,

θ = π

和

θ = - π / 三

，确定可以在以下三个图形中看到的复杂平面的三元划分图1根据这些作者的观点，根吸引域中的分形边界可以由初值问题方程离散化所固有的数值误差引起(2).

这项工作是双重的。在第2节，我们考虑了求解初值问题方程的其他不同策略（不仅仅是欧拉方法）(2)。分析了用这种方法获得的迭代过程的效率。

2.连续牛顿法的数值算法

在[三]将六种求解微分方程的数值方法应用于连续牛顿法方程时，考虑了它们的动力学性质(2)。特别是，他们比较了应用于方程式的这些方法的吸引域(2)的

第页 (z) = z^{三} - 1

他们使用盒计数算法来估计相应的分形维数。主要结论是，高阶算法不一定与分形维数较小的盆地边界相关。

在本节中，我们将讨论根寻优方法的一些数值特性，这些数值特性来源于微分方程数值方法的应用

\{\begin{matrix} \frac{天 z}{天 t吨} & = & （f） (t吨, z (t吨)) \\ z ({t吨}_{0}) & = & z_{0} \end{matrix}

(4)

作为连续牛顿法方程(2)。所以，正如在[三]，我们使用

年_{n个}

对于近似值

z ({t吨}_{n个})

，其中

{t吨}_{n个 + 1} = {t吨}_{n个} + 小时

和小时用于步长。雅各布森考虑的六种方法等。英寸[三]是：

欧拉方法：

$年_{n个 + 1} = 年_{n个} + 小时（f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个})$

（5）
精细欧拉方法：

$\{\begin{matrix} 年^{*} & = & 年_{n个} + 小时 / 2 （f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个}) \\ 年_{n个 + 1} & = & 年_{n个} + 小时（f） ({t吨}_{n个} + 小时 / 2, 年^{*}) \end{matrix}$

(6)
Heun的方法：

$\{\begin{matrix} 年^{*} & = & 年_{n个} + 小时（f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个}) \\ 年_{n个 + 1} & = & 年_{n个} + 小时 / 2 (（f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个}) + （f） ({t吨}_{n个} + 小时, 年^{*})) \end{matrix}$

(7)
二阶龙格-库塔法：

$\{\begin{matrix} 年^{*} & = & 年_{n个} + 2 小时 / 三（f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个}) \\ 年_{n个 + 1} & = & 年_{n个} + 小时 / 4 (（f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个}) + 三（f） ({t吨}_{n个} + 2 小时 / 三, 年^{*})) \end{matrix}$

(8)
四阶龙格-库塔法：

$\{\begin{matrix} {k个}_{1} & = & 小时（f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个}) \\ {k个}_{2} & = & 小时（f） ({t吨}_{n个} + 小时 / 2, 年_{n个} + {k个}_{1} / 2) \\ {k个}_{三} & = & 小时（f） ({t吨}_{n个} + 小时 / 2, 年_{n个} + {k个}_{2} / 2) \\ {k个}_{4} & = & 小时（f） ({t吨}_{n个} + 小时, 年_{n个} + {k个}_{三}) \\ 年_{n个 + 1} & = & 年_{n个} + 1 / 6 ({k个}_{1} + 2 {k个}_{2} + 2 {k个}_{三} + {k个}_{4}) \end{matrix}$

(9)
Adams-Bashforth 2级方法：

$\{\begin{matrix} 年^{*} & = & 年_{0} + 2 小时 / 三（f） ({t吨}_{n个}, 年_{0}) \\ 年_{1} & = & 年_{0} + 小时 / 4 (（f） ({t吨}_{n个}, 年_{0}) + 三（f） ({t吨}_{n个} + 2 小时 / 三, 年^{*})) \\ 年_{n个 + 1} & = & 年_{n个} + 年_{n个} + 小时 (三 / 2 （f） ({t吨}_{n个}, 年_{n个}) - 1 / 2 （f） ({t吨}_{n个 - 1}, 年_{n个 - 1})) \end{matrix}$

(10)

注意，在连续牛顿法的情况下，函数

（f） (t吨, z (t吨))

出现在微分方程方程（4）中的是

（f） (t吨, z (t吨)) = - \frac{第页 (z (t吨))}{{第页}^{'} (z (t吨))}

因此，应用欧拉方法方程（5）产生了根查找算法

z_{n个 + 1} = {F类}_{1} (z_{n个}) = z_{n个} - 小时 \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})}, n个 \geq 0

(11)

这就是众所周知的放松牛顿方法。请注意，步长的作用小时在求解微分方程的方法中，将方程（12）中的一个松弛参数移动到。正如中所述[三]我们之前提到过，小时对迭代方法的动力学特性有明显的影响。我们现在分析小时迭代方法的数值性质。让

{F类}_{1}

是与松弛牛顿法方程（12）相关的迭代图，并让

z^{*}

是…的简单根

第页 (z) = 0

。这是一个简单的计算，表明

{F类}_{1} (z^{*}) = z^{*}, {F类}_{1}^{'} (z^{*}) = 1 - 小时

因此，我们认为方法方程（12）是一致的（第页正在吸引迭代映射的不动点

{F类}_{1}

)仅用于

小时 \in (0, 2)

此外，我们获得了线性收敛的迭代方法，除了这种情况

小时 = 1

，即具有二次收敛性的经典牛顿法。

现在，我们看看方程（6）中定义的改进欧拉方法会发生什么。相应的根查找算法可以写为

z_{n个 + 1} = {F类}_{2} (z_{n个}) = z_{n个} - 小时 \frac{第页 (ω_{2} (z_{n个}))}{{第页}^{'} (ω_{2} (z_{n个}))}, n个 \geq 0, ω_{2} (z) = z - \frac{小时}{2} \frac{第页 (z)}{{第页}^{'} (z)}

(12)

如果

z^{*}

是的简单根

第页 (z) = 0

，我们有

ω^{'} (z) = 1 - 小时 (1 - 我_{第页} (z)) / 2

，其中

我_{第页} (z) = 第页 (z) {第页}^{″} (z) / {第页}^{'} {(z)}^{2}

(13)

因此，

ω (z^{*}) = z^{*}

,

ω^{'} (z^{*}) = 1 - 小时 / 2

然后

{F类}_{2} (z^{*}) = z^{*}, {F类}_{2}^{'} (z^{*}) = \frac{1 + {(1 - 小时)}^{2}}{2}

因此，迭代法方程（12）仅适用于

小时 \in (0, 2)

.在这种情况下推导的所有方法都具有线性收敛性（对于

小时 = 1

)。从效率的角度来看，这一事实加上等于四的函数求值数量，使得这种方法不感兴趣。

等式（7）中给出的Heun方法和等式（8）中给定的二阶Runge-Kutta方法也发生了类似的情况。它们分别具有不同的迭代映射

z_{n个 + 1} = {F类}_{三} (z_{n个})

和

z_{n个 + 1} = {F类}_{4} (z_{n个})

，其中

{F类}_{三} (z) = z - \frac{小时}{2} (\frac{第页 (ω_{三} (z))}{{第页}^{'} (ω_{三} (z))} + \frac{第页 (z)}{{第页}^{'} (z)}) n个 \geq 0, ω_{三} (z) = z - 小时 \frac{第页 (z)}{{第页}^{'} (z)}

{F类}_{4} (z) = z - \frac{小时}{4} (\frac{第页 (ω_{4} (z))}{{第页}^{'} (ω_{4} (z))} + \frac{第页 (z)}{{第页}^{'} (z)}), n个 \geq 0, ω_{4} (z) = z - \frac{2 小时}{三} \frac{第页 (z)}{{第页}^{'} (z)}

在这两种情况下，我们都有

{F类}_{j个} (z^{*}) = z^{*}, {F类}_{j个}^{'} (z^{*}) = \frac{1 + {(1 - 小时)}^{2}}{2}, j个 = 三, 4

对于简单根

z^{*}

属于

第页 (z) = 0

因此，与改进的欧拉方法一样，对于

小时 \in (0, 2)

从数值角度来看，这两种方法效率低下。

对方程（9）中定义的四阶Runge-Kutta方法应用于方程（4）的研究使我们得出了迭代方案

z_{n个 + 1} = {F类}_{5} (z_{n个})

，其中

{F类}_{5} (z) = z - \frac{小时}{6} (\frac{第页 (z)}{{第页}^{'} (z)} + 2 \frac{第页 (z + {k个}_{1} (z) / 2)}{{第页}^{'} (z + {k个}_{1} (z) / 2)} + 2 \frac{第页 (z + {k个}_{2} (z) / 2)}{{第页}^{'} (z + {k个}_{2} (z) / 2)} + \frac{第页 (z + {k个}_{三} (z))}{{第页}^{'} (z + {k个}_{三} (z))})

和

{k个}_{1} (z) = - 小时 \frac{第页 (z)}{{第页}^{'} (z)}, {k个}_{2} (z) = - 小时 \frac{第页 (z + {k个}_{1} (z) / 2)}{{第页}^{'} (z + {k个}_{1} (z) / 2)}, {k个}_{三} (z) = - 小时 \frac{第页 (z + {k个}_{2} (z) / 2)}{{第页}^{'} (z + {k个}_{2} (z) / 2)}

注意，对于一个简单的根

z^{*}

，我们有

{k个}_{1} (z^{*}) = 0

,

{k个}_{1}^{'} (z^{*}) = - 小时

,

{k个}_{2} (z^{*}) = 0

,

{k个}_{2}^{'} (z^{*}) = - 小时 (1 - 小时 / 2)

,

{k个}_{三} (z^{*}) = 0

,

{k个}_{三}^{'} (z^{*}) = - 小时 (1 - 小时 / 2 + {小时}^{2} / 4)

然后

{F类}_{5} (z^{*}) = z^{*}, {F类}_{5}^{'} (z^{*}) = \frac{{小时}^{4} - 4 {小时}^{三} + 12 {小时}^{2} - 24 小时 + 24}{24}

没有真正的值小时这样的话

{F类}_{5}^{'} (z^{*}) = 0

则只能实现线性收敛。此外，我们获得了一致的方法，即

z^{*}

是一个吸引人的固定点

{F类}_{5}

如果

|{F类}_{5}^{'} (z^{*})| < 1

。这些不平等发生在

小时 \in (0, 2.7853)

哪里

2.7853

大约是多项式的唯一实根

- 24 + 12 小时 - 4 {小时}^{2} + {小时}^{三}

.的最佳值小时，其中渐近误差常数的值最小，为

{小时}^{*} = 1.5961

在这种情况下

{F类}_{5}^{'} (1.5961) = 0.2704

.

对方程（10）中给出的Adams-Bahforth二阶方法的分析使我们得出以下两步多点方法：

z_{n个 + 1} = z_{n个} - \frac{小时}{2} (三 \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})} - \frac{第页 (z_{n个 - 1})}{{第页}^{'} (z_{n个 - 1})}), n个 \geq 1

(14)

为了研究方程（14）的局部收敛阶，我们考虑一个简单的根

z^{*}

属于

第页 (z) = 0

以及中的错误n个-第个步骤

{e（电子）}_{n个} = z_{n个} - z^{*}

然后，

{e（电子）}_{n个 + 1} = {e（电子）}_{n个} - \frac{小时}{2} (三 u个 (z^{*} + {e（电子）}_{n个}) - u个 (z^{*} + {e（电子）}_{n个 - 1})) \approx (1 - \frac{三 小时}{2}) {e（电子）}_{n个} + \frac{小时}{2} {e（电子）}_{n个 - 1}

其中忽略了误差中高于2的阶项。该误差近似公式产生二阶线性递推，其特征方程为

λ^{2} - (1 - \frac{三 小时}{2}) λ - \frac{小时}{2}

因此，如果前一个方程的两个根，

λ_{-} = \frac{1}{4} (- 三 小时 + 2 - \sqrt{9 {小时}^{2} - 4 小时 + 4}), λ_{+} = \frac{1}{4} (- 三 小时 + 2 + \sqrt{9 {小时}^{2} - 4 小时 + 4})

模块少于一个。请注意

λ_{+} < 1

为所有人

小时 > 0

但是

λ_{-} \leq - 1

对于

小时 \geq 1

。因此，只有当

小时 \in (0, 1)

在这种情况下，

λ_{+} \in (1 / 三, 1)

和

λ_{-} \in (- 1, 0)

.考虑到

λ_{+}

是的递减函数

小时 > 0

和

- λ_{-}

是的递增函数

小时 > 0

，则我们可以获得最佳收敛速度，当

λ_{+} = - λ_{-}

，也就是说，对于

小时 = 2 / 三

.

在表1我们简要地展示了我们为雅各布森考虑的方法方程式（5）–（9）推导的数值信息等。英寸[三]. 事实上，对于每种方法，我们都给出了渐近误差常数（A.E.C.）小时获得一致方法（I.C.）和小时关于收敛阶，

{小时}^{*}

此外，等式（10）中给出的Adams-Basforth方法与

小时 \in (0, 2)

具有

{小时}^{*} = 2 / 三

结论是，尽管求解微分方程的数值方法的顺序和步长不同，但我们可以说小时，根寻优算法源于它们在连续牛顿法方程中的应用(2)只有线性收敛阶，但欧拉方法除外

小时 = 1

，其中收敛是二次的。从这个意义上说，我们认为这些方法的数值效率很低。然而，从其他角度来看，上述方法的研究可能很有趣，它揭示了其他拓扑或动力学方面，例如步长对相关根吸引盆地边界分形维数的影响。

表1。将方程（5）-（9）方法应用于连续牛顿法方程后得到的根寻优方法的一些数值性质(2).

**表1。**将方程（5）-（9）方法应用于连续牛顿法方程后得到的根寻优方法的一些数值性质(2).
方法	美国电气公司。	国际商会。	${小时}^{*}$
欧拉方程（5）	$1 - 小时$	$(0, 2)$	1
精化欧拉方程（6）	$(1 + {(1 - 小时)}^{2}) / 2$	$(0, 2)$	1
Heun方程（7）	$(1 + {(1 - 小时)}^{2}) / 2$	$(0, 2)$	1
Runge-Kutta 2方程（8）	$(1 + {(1 - 小时)}^{2}) / 2$	$(0, 2)$	1
Runge-Kutta 4方程（9）	$({小时}^{4} - 4 {小时}^{三} + 12 {小时}^{2} - 24 小时 + 24) / 24$	$(0, 2.7853)$	$1.5961$

3.非恒定步长的数值算法

正如我们所看到的，在[三]连续牛顿法方程(2)生成不具有高数值效率的迭代寻根方法。如果我们考虑初值问题方程的高阶数值方法，情况不会改善(2)。事实上，如果我们考虑二阶泰勒方法

z_{n个 + 1} = z_{n个} + 小时 （f） ({t吨}_{n个}, z_{n个}) + \frac{{小时}^{2}}{2} (\frac{\partial （f）}{\partial t吨} ({t吨}_{n个}, z_{n个}) + \frac{\partial （f）}{\partial z} ({t吨}_{n个}, z_{n个})) （f） ({t吨}_{n个}, z_{n个})

我们得到以下迭代方法

z_{n个 + 1} = {F类}_{6} (z_{n个}) = z_{n个} - 小时 \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})} + \frac{{小时}^{2}}{2} (1 - 我_{第页} (z_{n个})) \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})}

哪里

我_{第页} (z)

已在方程式（13）中定义。但是，再一次，

{F类}_{6} (z^{*}) = z^{*}, {F类}_{6}^{'} (z^{*}) = \frac{1 + {(1 - 小时)}^{2}}{2}

因此，尽管函数求值次数增加了，但该方法的收敛性只是线性的。

为了避免这些困难，我们可以考虑步长非恒定的迭代方法。例如，我们不考虑从欧拉方法导出的方法方程（12），而是考虑步骤小时由非恒定函数替代

H（H） (z_{n个})

:

z_{n个 + 1} = F类 (z_{n个}) = z_{n个} - H（H） (z_{n个}) \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})}, n个 \geq 1

(15)

如前一节所述，如果我们考虑一个简单的根

z^{*}

属于

第页 (z) = 0

，我们有

F类 (z^{*}) = z^{*}

此外，

\begin{matrix} {F类}^{'} (z^{*}) = 0 & 如果 H（H） (z^{*}) = 1 \end{matrix}

(16)

\begin{matrix} {F类}^{″} (z^{*}) = 0 & 如果 {H（H）}^{'} (z^{*}) = 我_{第页}^{'} (z^{*}) / 2 \end{matrix}

(17)

所以，如果我们考虑一个函数H（H）满足方程（16）和（17）的条件，我们可以获得至少具有三次收敛性的迭代方法。功能的一个选择（不是唯一的）H（H）满足方程（16）和（17）的是

H（H） (z) = 1 + \frac{1}{2} 我_{第页} (z)

这就引出了著名的切比雪夫方法([4,5]):

z_{n个 + 1} = {F类}_{7} (z_{n个}) = z_{n个} - (1 + \frac{1}{2} 我_{第页} (z_{n个})) \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})}

（18）

更重要的是，如果我们选择

H（H） (z) = 1 + \frac{我_{第页} (z)}{2 (1 - α 我_{第页} (z))}

我们推出了著名的切比雪夫·哈利方法家族([4,5]):

z_{n个 + 1} = {F类}_{α} (z_{n个}) = z_{n个} - (1 + \frac{我_{第页} (z_{n个})}{2 (1 - α 我_{第页} (z_{n个}))}) \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})}, α \in C类

(19)

注意，方程式（18）中定义的切比雪夫迭代法是方程式（19）中定义方法之一，实际上用于

α = 0

.属于该家族的其他方法是哈雷方法(

α = 1 / 2

)或超级胡同方法(

α = 1

)。Cordero的工作详细研究了族方程（19）中方法的动力学行为等。[6]. 给定函数根的吸引域的结构和动力学性质随求解方程所考虑的迭代方法的选择而变化。作为一个视觉样本，我们在图2族方程（19）中三种方法应用于多项式时的吸引域

第页 (z) = z^{三} - 1

.

图2。切比雪夫、哈雷和超哈雷方法的吸引力基础(

α = 0

,

α = 1 / 2

和

α = 1

分别在方程式（19）中）应用于多项式

第页 (z) = z^{三} - 1

.

图2。切比雪夫、哈雷和超哈雷方法的吸引力基础(

α = 0

,

α = 1 / 2

和

α = 1

分别在方程式（19）中）应用于多项式

第页 (z) = z^{三} - 1

.

我们可以推广族方程（19）以获得Gander在[7]. 事实上

z_{n个 + 1} = z_{n个} - H（H） (我_{第页} (z_{n个})) \frac{第页 (z_{n个})}{{第页}^{'} (z_{n个})}

哪里H（H）是一个令人满意的函数

H（H） (0) = 1

,

{H（H）}^{'} (0) = 1 / 2

和

{H（H）}^{″} (0) < \infty

，对的简单根具有三次收敛性第页以这种方式将甘德的结果推广到更高的收敛阶的任务似乎很困难。Romero给出了二次型情形的方法等。英寸[8].

4.结论

当不同的数值程序应用于称为连续牛顿法的初值问题时，我们对寻根方法的一些特性进行了数值侵入。特别是，我们已经表明，对于恒定步长，推导出的迭代寻根方法的效率很低。然而，如果我们考虑具有非恒定步长的数值方法，则可以构造大量的寻根方法。在这项工作中，我们只关注著名的切比雪夫-哈雷方法家族，但许多其他迭代方法可以用这种方法建立。我们必须考虑到，在这项工作中只考虑了具有非恒定步长的欧拉方法。

致谢

这项工作得到了西班牙经济和竞争力部的研究项目（编号：MTM2014-52016-C2-1-P）的支持。中显示的图形图1和图2按照Varona给出的模式在Mathematica中制作[9]. 作者感谢裁判提出的有益建议。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

Neuberger，J.W.连续牛顿多项式方法。数学。智力。 1999,21, 18–23. [谷歌学者] [交叉参考]
埃普鲁阿努，B.I。；Greenside，H.S.与阻尼牛顿方法相关的分形吸引盆地。SIAM版本。 1998,40, 102–109. [谷歌学者] [交叉参考]
雅各布森，J。；刘易斯，O。；Tennis，B.连续牛顿法的近似：凯利问题的推广。电子。J.差异Equ。 2007,15, 163–173. [谷歌学者]
古铁雷斯，J.M。；埃尔南德斯，M.á。Banach空间中的一类Chebyshev-Halley型方法。牛市。澳大利亚。数学。Soc公司。 1997,55, 113–130. [谷歌学者] [交叉参考]
Werner，W.对求解非线性方程的经典迭代方法的一些改进。莱克特。数学笔记。 1981,878, 426–440. [谷歌学者]
Cordero，A。；托雷格罗萨，J.R。；Vindel，P.切比雪夫-Halley型方法家族的动力学。申请。数学。计算。 2013,219, 8568–8583. [谷歌学者] [交叉参考]
甘德，W.论哈雷的迭代法。美国数学。周一。 1985,92, 131–134. [谷歌学者] [交叉参考]
Ezquerro，J.A。；埃尔南德斯（M.á.Hernández）。；罗梅罗，N.甘德二次方程结果的推广。J.计算。申请。数学。 2010,234，960–971。[谷歌学者] [交叉参考]
Varona，J.L.迭代方法之间的图形和数值比较。数学。智力。 2002,24, 37–46. [谷歌学者] [交叉参考]

分享和引用

MDPI和ACS样式

古铁雷斯，J.M。连续牛顿法逼近中不同寻根算法的数值特性。算法 2015,8, 1210-1218.https://doi.org/10.3390/a8041210

AMA风格

古铁雷斯（Gutiérrez JM）。连续牛顿法逼近中不同寻根算法的数值特性。算法. 2015; 8(4):1210-1218.https://doi.org/10.3390/a8041210

芝加哥/图拉宾风格

JoséM.Gutiérrez。2015年，“用于近似连续牛顿法的不同寻根算法的数值特性”算法8，编号4:1210-1218。https://doi.org/10.3390/a8041210

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连续牛顿法逼近中不同寻根算法的数值特性

摘要

1.简介

2.连续牛顿法的数值算法

3.非恒定步长的数值算法

4.结论

致谢

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