Local Convergence of an Efﬁcient High Convergence Order Method Using Hypothesis Only on the First Derivative

Argyros, Ioannis K.; Behl, Ramandeep; Motsa, S.S.

doi:10.3390/a8041076

开放式访问第条

仅利用一阶导数假设的高效高收敛阶方法的局部收敛性

通过

Ioannis K.Argyros公司

¹，

拉曼代普·贝尔

^2,*和

S.S.莫萨

²

¹

美国堪萨斯州劳顿市卡梅伦大学数学科学系73505

²

夸祖鲁-纳塔尔大学数学、统计和计算机科学学院，南非彼得马里茨堡斯科茨维尔3209号私人邮袋X01

^*

信件应寄给的作者。

算法 2015，8（4），1076-1087年；https://doi.org/10.3390/a8041076

收到的提交文件：2015年9月25日/接受日期：2015年11月11日/发布日期：2015年11月20日

（本文属于特刊求解非线性方程和系统的数值算法)

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摘要

:

为了在Banach空间中逼近非线性方程的局部唯一解，我们对八阶三步法进行了局部收敛性分析。在Sharma和Arora（2015）的早期研究中，使用泰勒级数展开和假设，直到所涉及函数的四阶导数或更高阶导数，显示了收敛阶数，这限制了所提方案的适用性。然而，该方案中只出现了一阶导数。为了克服这个问题，我们提出了假设，直到一阶导数。这样，我们不仅扩展了方法的适用性，而且提出了收敛域。最后，在早期研究无法应用的地方，提出了各种具体的数值例子来获得非线性方程的解。我们的研究没有表现出这种类型的问题/限制。

关键词：

类牛顿法;局部收敛;效率指数;最优化方法

MSC分类：

65G99；65H10；47J25；47J05型

1.简介

数值分析是一门广泛的学科，与数学、计算机科学、工程和应用科学有着密切的联系。数值分析中最基本、最早的问题之一是高效、准确地找到近似的局部唯一解

{x个}^{*}

形式方程的

F类 (x个) = 0 ，

(1)

哪里F类是定义在凸子集上的Fréchet可微算子D类属于X（X）值在中Y（Y），其中X（X）和Y（Y）是巴纳赫空间。

求解此类方程的分析方法几乎不存在，无法获得所需根的精确数值。因此，只有依靠基于迭代程序的数值方法，才能获得近似解，并且必须满足达到任何指定精度的近似解。因此，世界各地的研究人员采用迭代方法，并提出了大量的迭代方法[1，2，三，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16]. 然而，使用这些迭代方法，研究人员面临着收敛速度慢、不收敛、发散、效率低下或失败的问题（有关详细信息，请参阅Traub[15]和佩特科维奇等。[13]).

迭代方法的收敛性分析通常分为两类：半局部收敛分析和局部收敛分析。半局部收敛问题是基于初始点周围的信息，给出确保迭代过程收敛的准则。另一方面，局部收敛是基于解周围的信息，以找到收敛球半径的估计值。迭代过程研究中一个非常重要的问题是收敛域。因此，提出迭代方法的收敛半径是非常重要的。

我们研究了为每种方法定义的三步方法的局部收敛性分析

n个 = 0 ， 1 ， 2 ， \dots

通过

\begin{matrix} 年_{n个} & = {x个}_{n个} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}) ， \\ {z（z）}_{n个} & = ϕ_{4} ({x个}_{n个} ， 年_{n个}) ， \\ {x个}_{n个 + 1} & = ϕ_{8} ({x个}_{n个} ， 年_{n个} ， {z（z）}_{n个}) \\ = {z（z）}_{n个} - {[{z（z）}_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{- 1} [{z（z）}_{n个} ， 年_{n个}; F类] {(2 [{z（z）}_{n个} ， 年_{n个}; F类] - [{z（z）}_{n个} ， {x个}_{n个}; F类])}^{- 1} F类 ({z（z）}_{n个}) ， \end{matrix}

(2)

哪里

{x个}_{0} \in D类

是初始点，

[\cdot ， \cdot; F类] : {D类}^{2} \to 我 (X（X）)

，

ϕ_{4}

是任意两点最优四阶格式。方案的八阶收敛性(2)显示在中[1]何时

X（X） = Y（Y） = 对

和

[x个 ， 年; F类] = \frac{F类 (x个) - F类 (年)}{x个 - 年}

对于

x个 \neq 年

和

[x个 ， x个; F类] = {F类}^{'} (x个)

。那是当

[\cdot ， \cdot; F类]

是运算符一阶的除以差F类[5，6]. 利用泰勒级数展开和达到五阶导数的假设，证明了局部收敛性。关于F类和H（H）限制方案的适用性(2). 作为激励示例，定义功能F类在

X（X） = Y（Y） = 对

，

D类 = [- \frac{1}{π} ， \frac{2}{π}]

通过

F类 (x个) = \{\begin{matrix} {x个}^{三} 日志 (π^{2} {x个}^{2}) + {x个}^{5} 罪 (\frac{1}{x个}) ， & x个 \neq 0 ， \\ 0 ， & x个 = 0 。 \end{matrix}

那么，我们有了

{F类}^{'} (x个) = 2 {x个}^{2} - {x个}^{三} 余弦 (\frac{1}{x个}) + 三 {x个}^{2} 日志 (π^{2} {x个}^{2}) + 5 {x个}^{4} 罪 (\frac{1}{x个}) ，

{F类}^{''} (x个) = - 8 {x个}^{2} 余弦 (\frac{1}{x个}) + 2 x个 (5 + 三 日志 (π^{2} {x个}^{2})) + x个 (20 {x个}^{2} - 1) 罪 (\frac{1}{x个})

和

{F类}^{'''} (x个) = \frac{1}{x个} [(1 - 36 {x个}^{2}) 余弦 (\frac{1}{x个}) + x个 (22 + 6 日志 (π^{2} {x个}^{2}) + (60 {x个}^{2} - 9) 罪 (\frac{1}{x个}))] 。

我们可以很容易地发现

{F类}^{'''} (x个)

在上无边界

D类

在这一点上

x个 = 0

。因此，结果如下[1]，无法应用于显示方案的收敛性(2)或其特殊情况需要对函数的五阶导数进行假设F类或更高。特别要注意，有很多迭代方法可以用来近似非线性方程的解[1，2，三，4，5，6，7，8，10，11，12，13，14，15，16]. 这些结果表明，初始猜测应接近相应方法收敛所需的根。然而，相应方法的收敛性需要多少初始猜测？这些局部结果没有给出相应方法的球收敛半径的信息。同样的技术也可以应用于其他方法。

在本研究中，我们扩展了方案的适用性(2)仅使用函数一阶导数的假设F类我们还提出了基于Lipschitz常数的可计算收敛半径和误差界。我们进一步给出了初始猜测的范围

{x个}^{*}

这告诉我们，要保证方案的收敛性，需要多大程度的初始猜测(2). 此问题未在中解决[1]. 我们的方法的优点与Scheme中提到的类似(2).

本文的其余部分组织如下：第2节，我们给出了Scheme的局部收敛性分析(2).第3节给出了数值例子，证明了我们的理论结果。最后，结论在第4节。

2.局部收敛：一维情形

在本节中，我们定义了一些标量函数和参数来研究Scheme的局部收敛性(2).

让

{K（K）}_{0} > 0 ， {K（K）}_{1} > 0 ， K（K） > 0 ， 我_{0} > 0 ， 我 > 0 ， M（M） \geq 1

，

λ \geq 1

，为给定常数。让我们也假设

克_{2} : [0 ， \frac{1}{我_{0}}) \to 对

，是不减不减的连续函数。此外，定义函数

{小时}_{2} : [0 ， \frac{1}{我_{0}}) \to 对

和

{小时}_{2} (吨) = 克_{2} (吨) 吨^{λ - 1} - 1

。

假设

\begin{matrix} 克_{2} (吨) 吨^{λ - 1} < 1 ， 对于 每个 [0 ， \frac{1}{我_{0}}) ， \\ {小时}_{2} (吨) \to 一 积极的 数 或 + \infty ， \\ 作为 吨 \to 我 < \frac{1}{我_{0}} 对于 一些 我 > 0 。 \end{matrix}

（3）

那么，我们有

{小时}_{2} (0) = - 1 < 0

.通过方程式(三)和中值定理，函数

{小时}_{2}

间隔中有零

(0 ， 我)

此外，让

对_{2}

是最小的零。此外，定义函数

克_{1} ， 第页

和

{小时}_{第页}

在间隔中

[0 ， \frac{1}{我_{0}})

通过

\begin{matrix} 克_{1} (吨) = \frac{我 吨}{2 (1 - 我_{0} 吨)} ， \\ 第页 (吨) = ({K（K）}_{0} 克_{2} (吨) 吨^{λ - 1} + {K（K）}_{1}) 吨 ， \\ {小时}_{第页} (吨) = 第页 (吨) - 1 \\ 和 参数 对_{1} 通过 \\ 对_{1} = \frac{2}{2 我_{0} + 我} 。 \end{matrix}

我们有

克_{1} (对_{1}) = 1

以及每个

吨 \in [0 ， 对_{1}) : 0 \leq 克_{1} (吨) < 1

。我们还获得

{小时}_{第页} (0) = - 1

和

{小时}_{第页} (吨) \to + \infty

作为

吨 \to \frac{1^{-}}{我_{0}}

。表示方式

对_{第页}

函数的最小零点

{小时}_{第页}

关于区间

(0 ， \frac{1}{我_{0}})

此外，定义功能问和

{小时}_{问}

关于区间

[0 ， \frac{1}{我_{0}})

通过

问 (吨) = 第页 (吨) + 2 [{K（K）}_{0} 克_{2} (吨) 吨^{λ} + {K（K）}_{1} 克_{1} (吨) 吨]

和

{小时}_{问} (吨) = 问 (吨) - 1

。

使用

{小时}_{问} (0) = - 1 < 0

和方程式(三)，我们推导出该函数

{小时}_{问}

最小零表示为

对_{问}

。

最终定义功能

克_{三}

和

{小时}_{三}

关于区间

[0 ， 最小值 {对_{第页} ， 对_{问}})

通过

\begin{matrix} 克_{三} (吨) = (1 + \frac{K（K） M（M）}{(1 - 第页 (吨)) (1 - 问 (吨))}) 克_{2} (吨) 吨^{λ} \\ 和 \\ {小时}_{三} = 克_{三} (吨) - 1 。 \end{matrix}

然后，我们得到

{小时}_{三} (0) = - 1

和

{小时}_{三} (吨) \to + \infty

作为

吨 \to 最小值 {对_{第页} ， 对_{问}}

。表示方式

对_{三}

函数的最小零点

{小时}_{三}

关于区间

(0 ， 最小值 {对_{第页} ， 对_{问}})

.定义

对 = 最小值 {对_{1} ， 对_{2} ， 对_{三}} 。

(4)

那么，我们有了

0 < 对 \leq 对_{1} < \frac{1}{我_{0}}

(5)

以及每个

吨 \in [0 ， 对)

0 \leq 克_{1} (吨) < 1 ，

(6)

0 \leq 第页 (吨) < 1 ，

(7)

0 \leq 问 (吨) < 1 ，

(8)

0 \leq 克_{2} (吨) < 1 ，

(9)

和

0 \leq 克_{三} (吨) < 1 。

(10)

U型 (γ ， 秒)

和

\bar{U型} (γ ， 秒)

分别用于打开和关闭的球X（X）带中心的

γ \in X（X）

和半径

秒 > 0

。

接下来，我们给出了方案的局部收敛性分析(2)使用前面的符号。

定理1。

让我们考虑一下

F类 : D类 \subset X（X） \to Y（Y）

是Fréchet可微算子。让我们也假设

[\cdot ， \cdot; F类] : {D类}^{2} \to 我 (X（X）)

是一阶差分。假设存在

{x个}^{*} \in D类 ， 我_{0} > 0 ， λ \geq 1

这样方程(三)保持并针对每个

x个 \in D类

F类 ({x个}^{*}) = 0 ， {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} \in 我 (Y（Y） ， X（X）) ，

(11)

∥ z（z） (x个) - {x个}^{*} ∥ \leq 克_{2} (∥ x个 - {x个}^{*} ∥) ∥ x个 - {x个}^{*} ∥^{λ}

(12)

和

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} (x个) - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ \leq 我_{0} ∥ x个 - {x个}^{*} ∥ 。

(13)

此外，假设存在

{K（K）}_{0} > 0 ， {K（K）}_{1} > 0 ， K（K） > 0 ， 我 > 0

和

M（M） \geq 1

这样，对于每个

x个 ， 年 \in U型 ({x个}^{*} ， \frac{1}{我_{0}}) \cap D类

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([x个 ， 年; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ \leq {K（K）}_{0} ∥ x个 - {x个}^{*} ∥ + {K（K）}_{1} ∥ 年 - {x个}^{*} ∥ ，

(14)

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} [x个 ， 年; F类]∥ \leq K（K） ，

(15)

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} (x个) - {F类}^{'} (年))∥ \leq 我 ∥ x个 - 年 ∥ ，

(16)

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} {F类}^{'} (x个)∥ \leq M（M）

(17)

和

\bar{U型} ({x个}^{*} ， 对) \subseteq D类 ，

(18)

其中收敛半径r由方程式定义(4)和

z（z） (x个) = ϕ_{4} (x个 ， x个 - {F类}^{'} {(x个)}^{- 1} F类 (x个))

然后，序列

{{x个}_{n个}}

由方案生成(2)对于

{x个}_{0} \in U型 ({x个}^{*} ， 对) - {{x个}^{*}}

定义明确，保留在

U型 ({x个}^{*} ， 对)

对于每个

n个 = 0 ， 1 ， 2 ， \dots

并收敛到

{x个}^{*}

此外，以下估计成立

∥ 年_{n个} - {x个}^{*} ∥ \leq 克_{1} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ < ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ < 对 ，

(19)

∥ {z（z）}_{n个} - {x个}^{*} ∥ \leq 克_{2} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ < ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥

（20）

和

∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} ∥ \leq 克_{三} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ < ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ ，

(21)

其中

“ 克 ”

函数由前面定义。此外，对于

T型 \in [对 ， \frac{2}{我_{0}})

，极限点

{x个}^{*}

是方程的唯一解

F类 (x个) = 0

在里面

\bar{U型} ({x个}^{*} ， 对) \cap D类 。

证明。

我们将展示估算公式(19)–(21)借助数学归纳法进行掌握。通过假设

{x个}_{0} \in U型 ({x个}^{*} ， 对) - {{x个}^{*}}

，方程式(5)和(13)，我们明白了

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} ({x个}_{0}) - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ \leq 我_{0} ∥ x个 - {x个}^{*} ∥ < 我_{0} 对 < 1 。

(22)

它由方程式得出(22)可逆算子的Banach引理[5，14]那个

{F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} \in 我 (Y（Y） ， X（X）) ， 年_{0}

定义明确

∥{F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*})∥ \leq \frac{1}{1 - 我_{0} ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥} 。

(23)

使用方案的第一个子步骤(2)的

n个 = 0

，方程式(4), (6), (11)和(23)，我们依次

\begin{matrix} ∥ 年_{0} - {x个}^{*} ∥ & = ∥{x个}_{0} - {x个}^{*} - F类 {({x个}_{0})}^{- 1} F类 ({x个}_{0})∥ \\ \leq ∥{F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*})∥ ∥\int_{0}^{1} {F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} ({F类}^{'} ({x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*})) - {F类}^{'} ({x个}_{0})) ({x个}_{0} - {x个}^{*}) d日 θ∥ \\ \leq \frac{我 ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥^{2}}{1 - 我 ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥} = 克_{1} ∥ ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ \\ < ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ < 对 ， \end{matrix}

(24)

其中显示了方程式(18)的

n个 = 0

和

年_{0} \in U型 ({x个}^{*} ， 对)

然后，根据方程式(三)和(12)，我们看到方程(20)如下所示。因此，

{z（z）}_{0} \in U型 ({x个}^{*} ， 对)

接下来，我们将展示

{[{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类]}^{- 1} \in 我 (Y（Y） ， X（X）)

和

{(2 [{z（z）}_{0} ， 年_{0}; F类] - [{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类])}^{- 1} \in 我 (Y（Y） ， X（X）)

。

使用方程式(4), (5), (7), (13), (14)和(24)，我们依次得到

\begin{matrix} ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([{z（z）}_{0} ， {x个}_{0} ， F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ \leq {K（K）}_{0} ∥ {z（z）}_{0} - {x个}^{*} ∥ + {K（K）}_{1} ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ \\ \leq {K（K）}_{0} 克_{2} (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥^{λ} + {K（K）}_{1} ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ ， \\ = 第页 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) < 第页 (对) < 1 。 \end{matrix}

（25）

它由方程式得出(25)那个

∥{[{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类]}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*})∥ \leq \frac{1}{1 - 第页 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥)} 。

(26)

类似地，但使用方程式(8)而不是方程式(7)，我们依次获得

\begin{matrix} ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} [2 ([{z（z）}_{0} ， 年_{0}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*})) - ([{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}))]∥ \\ \leq 2 ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([{z（z）}_{0} ， 年_{0}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ + ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ ， \\ \leq 2 ({K（K）}_{0} ∥ {z（z）}_{0} - {x个}^{*} ∥ + {K（K）}_{1} ∥ 年_{0} - {x个}^{*} ∥) + 第页 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) ， \\ \leq 2 ({K（K）}_{0} 克_{2} (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥^{λ} + {K（K）}_{1} 克_{1} (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) + 第页 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) ， \\ = 问 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) < 问 (对) < 1 。 \end{matrix}

(27)

那就是

∥2 {([{z（z）}_{0} ， 年_{0}; F类] - [{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类])}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*})∥ \leq \frac{1}{1 - 问 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥)} 。

(28)

因此，

{x个}_{1}

由方案的第三个子步骤明确定义(2)的

n个 = 0

.我们可以用方程式来写(11)

F类 ({x个}_{0}) = F类 ({x个}_{0}) - F类 ({x个}^{*}) = \int_{0}^{1} {F类}^{'} ({x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*})) ({x个}_{0} - {x个}^{*}) d日 θ 。

(29)

请注意

∥ {x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*}) - {x个}^{*} ∥ = θ ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ < 对

因此，我们有

{x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*}) \in U型 ({x个}^{*} ， 对)

然后，通过方程式(17)和(29)我们明白了

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 ({x个}_{0})∥ = ∥\int_{0}^{1} {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*})) ({x个}_{0} - {x个}^{*}) d日 θ∥ \leq M（M） ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ 。

(30)

我们还通过更换

{x个}_{0}

通过

{z（z）}_{0}

在方程式中(30)那个

∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 ({z（z）}_{0})∥ \leq M（M） ∥ {z（z）}_{0} - {x个}^{*} ∥ ，

（31）

自从

{z（z）}_{0} \in U型 ({x个}^{*} ， 对)

。

然后，使用Scheme的最后一个子步骤(2)的

n个 = 0

，方程式(4), (10), (15), (20)（用于

n个 = 0

), (26), (28)、和(31)那个

\begin{matrix} ∥ {x个}_{1} - {x个}^{*} ∥ & \leq ∥ {z（z）}_{0} - {x个}^{*} ∥ + ∥{[{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类]}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*})∥ ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} [{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类]∥ \\ \times ∥{([{z（z）}_{0} ， 年_{0}; F类] - [{z（z）}_{0} ， {x个}_{0}; F类])}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*})∥ ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 ({z（z）}_{0})∥ ， \\ \leq ∥ {z（z）}_{0} - {x个}^{*} ∥ + \frac{K（K） M（M） ∥ {z（z）}_{0} - {x个}^{*} ∥}{(1 - 第页 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥)) (1 - 问 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥))} ， \\ \leq (1 + \frac{K（K） M（M）}{(1 - 第页 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥)) (1 - 问 (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥))}) ∥ {z（z）}_{0} - {x个}^{*} ∥ ， \\ \leq 克_{三} (∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ < ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ < 对 ， \end{matrix}

(32)

它显示了方程(21)的

n个 = 0

和

{x个}_{1} \in U型 ({x个}^{*} ， 对)

。只需更换

{x个}_{0}

，

年_{0} ， {z（z）}_{0}

通过

{x个}_{米}

，

年_{米} ， {z（z）}_{米}

在前面的估计中，我们得出了方程(19)–(21). 然后，根据估计

∥ {x个}_{米 + 1} - {x个}^{*} ∥ < ∥ {x个}_{米} - {x个}^{*} ∥ < 对 ，

我们的结论是

\underset{米 \to \infty}{林} {x个}_{k个} = {x个}^{*}

和

{x个}_{米 + 1} \in U型 ({x个}^{*} ， 对)

最后，为了显示唯一性部分，让

年^{*} \in \bar{U型} ({x个}^{*} ， T型)

是这样的

F类 (年^{*}) = 0

.设置

问 = \int_{0}^{1} {F类}^{'} ({x个}^{*} + θ (年^{*} - {x个}^{*})) d日 θ

然后，使用方程式(14)，我们明白了

\begin{matrix} ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} (问 - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ & \leq 我_{0} \int_{0}^{1} θ ∥ {x个}^{*} - 年^{*} ∥ d日 θ = \frac{我_{0}}{2} T型 < 1 。 \end{matrix}

(33)

因此，

问^{- 1} \in 我 (Y（Y） ， X（X）)

然后，鉴于身份

F类 (年^{*}) - F类 ({x个}^{*}) = 问 (年^{*} - {x个}^{*})

，我们得出结论

{x个}^{*} = 年^{*}

☐

备注2.2

（a）: 根据方程式(11)和估计

$\begin{matrix} ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} [x个， {x个}^{*}; F类]∥ & = & ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([x个， {x个}^{*}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}) - {F类}^{'} ({x个}^{*})) + 我∥ ， \\ \leq & 1 + ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([x个， {x个}^{*}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ ， \\ \leq & 1 + 我_{0} ∥ {x个}_{0} - {x个}^{*} ∥ ， \end{matrix}$

条件方程式(13)可以丢弃，并且M（M）可以替换为

$M（M） = M（M） (吨) = 1 + 我_{0} 吨，$

或 $M（M） = 2 ，$ 自从 $吨 \in [0 ， \frac{1}{我_{0}}) 。$
（b）: 此处获得的结果可用于操作员F类满足自治微分方程[5，6]表单的

${F类}^{'} (x个) = P（P） (F类 (x个)) ，$

哪里P（P）是已知的连续算子。自 ${F类}^{'} ({x个}^{*}) = P（P） (F类 ({x个}^{*})) = P（P） (0) ，$ 我们可以在不知道答案的情况下应用结果 ${x个}^{*} 。$ 让我们举个例子 $F类 (x个) = {e（电子）}^{x个} + 2 。$ 然后，我们可以选择 $P（P） (x个) = x个 - 2$ 。
（c）: 半径 $对_{1}$ 显示在中[5，6]作为条件方程下牛顿方法的收敛半径(11)和(12). 它由方程式得出(4)以及 $对_{1}$ 收敛半径对方案的(2)不能大于收敛半径 $对_{1}$ 二阶牛顿法。如前所述， $对_{1}$ 至少是Rheinboldt给出的收敛球的大小[14]

$\begin{matrix} 对_{对} = \frac{2}{三我} 。 \end{matrix}$

特别是，对于 $我_{0} < 我$ ，我们有

$对_{对} < 对_{1}$

和

$\frac{对_{对}}{对_{1}} \to \frac{1}{三} 作为 \frac{我_{0}}{我} \to 0 。$

这是我们的收敛球 $对_{1}$ 最多是Rheinboldt的三倍大。的相同值 $对_{对}$ 由Traub提供[15]。
（d）: 我们将展示如何定义函数 $克_{2}$ 和我出现在条件方程式中(三)对于该方法

$\begin{matrix} 年_{n个} & = {x个}_{n个} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}) ， \\ {z（z）}_{n个} & = ϕ_{4} ({x个}_{n个} ，年_{n个}) : = 年_{n个} - {[年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}_{n个}) {[年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{- 1} {F类}^{'} (年_{n个}) ， \\ {x个}_{n个 + 1} & = ϕ_{8} ({x个}_{n个} ，年_{n个} ， {z（z）}_{n个}) 。 \end{matrix}$

(34)

清晰的方法(34)是Scheme的特例(2). 如果 $X（X） = Y（Y） = 对，$ 然后是方法(34)简化为工术方法[15]. 我们将遵循定理1的证明，但首先我们需要证明 ${[年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{- 1} \in 我 (Y（Y）， X（X）)$ .我们明白了

$\begin{matrix} ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*}))∥ & \leq {K（K）}_{0} ∥ 年_{n个} - {x个}^{*} ∥ + {K（K）}_{1} ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ ， \\ \leq ({K（K）}_{0} 克_{1} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥) + {K（K）}_{1}) ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ ， \\ = {第页}_{0} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥) 。 \end{matrix}$

(35)

就功能而言第页，函数 ${小时}_{{第页}_{0}} = {第页}_{0} (吨) - 1$ ，其中 ${第页}_{0} (吨) = ({K（K）}_{0} 克_{1} (吨) + {K（K）}_{1}) 吨$ 最小零表示为 $对_{{第页}_{0}}$ 在间隔中 $(0 ， \frac{1}{我_{0}})$ .设置 $我 = 对_{{第页}_{0}}$ 然后，我们从方法的最后一个子步骤(34)那个

$\begin{matrix} ∥ {z（z）}_{n个} - {x个}^{*} ∥ & \leq ∥ 年_{n个} - {x个}^{*} ∥ + ∥{[年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*})∥ ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}_{n个})∥ ， \\ ∥{[年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}_{n个})∥ ∥{F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 (年_{n个})∥ ， \\ \leq ∥ 年_{n个} - {x个}^{*} ∥ + \frac{{M（M）}^{2}}{{(1 - {第页}_{0} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥))}^{2}} ∥ 年_{n个} - {x个}^{*} ∥ ， \\ (1 + \frac{{M（M）}^{2}}{{(1 - {第页}_{0} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥))}^{2}}) 克_{1} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥) ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥ ， \\ (1 + \frac{{M（M）}^{2}}{{(1 - {第页}_{0} (∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥))}^{2}}) \frac{我 ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥^{2}}{1 - 我_{0} ∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥} 。 \end{matrix}$

(36)

它由方程式得出(36)那个 $λ = 2$ 和 $克_{2} (吨) = \frac{我}{1 - 我_{0} 吨} (1 + \frac{{M（M）}^{2}}{{(1 - {第页}_{0} (吨))}^{2}})$ 然后，收敛半径由下式给出

$对 = 最小值 {对_{1} ，对_{2} ，对_{{第页}_{0}} ，对_{三}} 。$

(37)

3.数值示例和应用

在本节中，我们将检查我们在第2节关于Sharma和Arora提出的方案[1]. 为此，我们将选择以下示例中提到的各种非线性方程，包括动机示例。此时，我们选择了Sharma和Arora提出的以下八阶方法[1]

\{\begin{matrix} 年_{n个} & = {x个}_{n个} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}) ， \\ {z（z）}_{n个} & = 年_{n个} - {(2 [年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类] - {F类}^{'} ({x个}_{n个}))}^{- 1} F类 (年_{n个}) ， \\ {x个}_{n个 + 1} & = ϕ_{8} ({x个}_{n个} ， 年_{n个} ， {z（z）}_{n个}) ， \end{matrix}

（38）

\{\begin{matrix} 年_{n个} & = {x个}_{n个} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}) ， \\ {z（z）}_{n个} & = 年_{n个} - {({[年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{2})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}_{n个}) F类 (年_{n个}) ， \\ {x个}_{n个 + 1} & = ϕ_{8} ({x个}_{n个} ， 年_{n个} ， {z（z）}_{n个}) \end{matrix}

(39)

和

\{\begin{matrix} 年_{n个} & = {x个}_{n个} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}) ， \\ {z（z）}_{n个} & = 年_{n个} - (2 {[年_{n个} ， {x个}_{n个}; F类]}^{- 1} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1}) F类 (年_{n个}) ， \\ {x个}_{n个 + 1} & = ϕ_{8} ({x个}_{n个} ， 年_{n个} ， {z（z）}_{n个}) ， \end{matrix}

(40)

记为

{M（M）}_{1}

，

{M（M）}_{2}

和

{M（M）}_{三}

分别是。

最初的猜测

{x个}_{0}

在收敛域范围内用选择，这为迭代方法的收敛性提供了保证。由于页数限制，所有参数值仅为5位有效数字，并显示在表1，表2和表3和示例方程式(1)–(三)，尽管有100个有效数字可用。具有相应初始猜测、收敛半径和必要迭代次数的考虑测试示例(n个)为了获得所需的精度，显示在表1，表2和表3。

此外，我们还想验证方法的理论收敛阶(38)–(40). 因此，我们计算了计算收敛阶（COC）[9]用以下公式近似

ρ = \frac{我 n个 \frac{∥ {x个}_{n个 + 2} - {x个}^{*} ∥}{∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} ∥}}{我 n个 \frac{∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} ∥}{∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥}} ， 对于每个 = 0 ， 1 ， 2 ， \dots

(41)

或近似计算收敛阶（ACOC）[9]

ρ^{*} = \frac{我 n个 \frac{∥ {x个}_{n个 + 2} - {x个}_{n个 + 1} ∥}{∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥}}{我 n个 \frac{∥ {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} ∥}{∥ {x个}_{n个} - {x个}_{n个 - 1} ∥}} ， 对于每个 = 1 ， 2 ， \dots

(42)

在当前使用编程语言Mathematica（第9版）进行的数值实验中，所有计算都是使用多精度算法进行的，从而将舍入误差降至最低。我们使用

¦Β = 10^{- 200}

作为公差误差。以下停止标准用于计算机程序：

(我) | {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} | < ¦Β

和

(我 我) | （f） ({x个}_{n个 + 1}) | < ¦Β

。

此外，我们使用

λ = 2

和功能

克_{2}

如上等式所定义(37)在所有的例子中。

示例1。

让

S公司 = 对 ， D类 = [- 1 ， 1] ， {x个}^{*} = 0

并通过定义D上的函数F

F类 (x个) = 罪 x个 。

（43）

然后，我们得到

我_{0} = 我 = M（M） = K（K） = 1

和

{K（K）}_{0} = {K（K）}_{1} = \frac{我_{0}}{2}

.我们获得了不同的收敛半径，COC（ρ）和n，如下所示表1。

表1。满足定理1的不同参数值。

**表1。**满足定理1的不同参数值。
案例	$对_{对}$	$对_{1}$	$对_{2}$	$对_{{第页}_{0}}$	$对_{三}$	对	${x个}_{0}$	n个	ρ
${M（M）}_{1}$	0.66667	0.66667	0.28658	0.27229	0.76393	0.27229	0.25	4	9
${M（M）}_{2}$	0.66667	0.66667	0.28658	0.27229	0.76393	0.27229	0.25	4	9
${M（M）}_{三}$	0.66667	0.66667	0.28658	0.27229	0.76393	0.27229	0.25	4	9

示例2

让

X（X） = Y（Y） = C类 [0 ， 1]

，上定义的连续函数空间

[0 ， 1]

拥有最高标准。让

D类 = \bar{U型} (0 ， 1)

.在上定义函数F

D类

通过

F类 (φ) (x个) = φ (x个) - 5 \int_{0}^{1} x个 τ φ {(τ)}^{三} d日 τ ，

(44)

我们有这个

{F类}^{'} (φ (ξ)) (x个) = ξ (x个) - 15 \int_{0}^{1} x个 τ φ {(τ)}^{2} ξ (τ) d日 τ ， （f） o个 对 e（电子） 一 c（c） 小时 ξ \in D类 。

(45)

那么，对于

{x个}^{*} = 0 ，

我们得到了

我_{0} = 7 。 5 ， 我 = 15 ， M（M） = K（K） = 2

和

{K（K）}_{0} = {K（K）}_{1} = \frac{我_{0}}{2}

。我们在下面得到了不同的收敛半径表2。

表2。满足定理1的不同参数值。

**表2。**满足定理1的不同参数值。
$对_{对}$	$对_{1}$	$对_{2}$	$对_{{第页}_{0}}$	$对_{三}$	对
0.044444	0.066667	0.011303	0.022046	0.088889	0.011303

示例3

回到本文导言中的动机示例，我们有

我 = 我_{0} = \frac{2}{2 π + 1} (80 + 16 π + (11 + 12 日志 2) π^{2})

，

M（M） = K（K） = 2 ， {K（K）}_{0} = {K（K）}_{1} = \frac{我_{0}}{2}

而我们需要的零点是

{x个}^{*} = \frac{1}{π}

.我们在下面得到了不同的收敛半径COC（ρ）和n表3。

表3。满足定理1的不同参数值。

**表3。**满足定理1的不同参数值。
案例	$对_{对}$	$对_{1}$	$对_{2}$	$对_{{第页}_{0}}$	$对_{三}$	对	${x个}_{0}$	n个	ρ
${M（M）}_{1}$	0.0075648	0.0075648	0.0016852	0.0094361	0.0086685	0.0016852	0.310	6	8
${M（M）}_{2}$	0.0075648	0.0075648	0.0016852	0.0094361	0.0086685	0.0016852	0.310	6	8
${M（M）}_{三}$	0.0075648	0.0075648	0.0016852	0.0094361	0.0086685	0.0016852	0.310	6	8

4.结论

大多数时候，研究人员提到，初始猜测应该接近所需的根，以便他们提出的非线性方程组求解方案能够收敛。然而，要保证拟议方法的收敛性，需要多大程度的初始猜测？本文利用Lipschitz条件提出了可计算的收敛半径和误差界。此外，我们还将假设从所涉及函数的四阶导数简化为仅包含一阶导数。值得注意的是，该方案(2)如果我们使用定理1的条件而不是Sharma和Arora（2015）提出的更强的条件，则不会改变。此外，为了获得实际的误差界和收敛阶，我们可以使用数值计算中定义的收敛阶第3节因此，我们在实践中获得了收敛阶，从而避免了估计值高于第一Fréchet导数的界。最后，由于在第3节可以得出结论，所提出的研究不仅扩展了适用性，而且给出了Sharma和Arora（2015）给出的获取非线性方程简单根的方案的可计算收敛半径和误差界。

致谢

我们要对匿名审稿人对本文发表的帮助表示感谢。

作者贡献

所有作者的贡献都是相似的。他们所有人都共同努力开发了这份手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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阿根廷，I.K。；贝尔·R。；密苏里州莫萨市。仅使用一阶导数假设的高效高收敛阶方法的局部收敛性。算法 2015，8, 1076-1087.https://doi.org/10.3390/a8041076

AMA风格

Argyros IK、Behl R、Motsa SS。仅使用一阶导数假设的高效高收敛阶方法的局部收敛性。算法. 2015; 8(4):1076-1087.https://doi.org/10.3390/a8041076

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Argyros、Ioannis K.、Ramandeep Behl和S.S.Motsa。2015.“仅使用一阶导数假设的高效高收敛阶方法的局部收敛”算法8，编号4:1076-1087。https://doi.org/10.3390/a8041076

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仅利用一阶导数假设的高效高收敛阶方法的局部收敛性

摘要

1.简介

2.局部收敛：一维情形

3.数值示例和应用

4.结论

致谢

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