Local Convergence of an Optimal Eighth Order Method under Weak Conditions

Argyros, Ioannis K.; Behl, Ramandeep; Motsa, S.S.

doi:10.3390/a8030645

开放式访问第条

弱条件下最优八阶方法的局部收敛性

通过

Ioannis K.Argyros公司

¹,

拉曼代普·贝尔

^2,*和

S.S.莫萨

²

¹

美国俄克拉何马州劳顿市卡梅隆大学数学科学系，邮编73505

²

南非彼得马里茨堡斯科茨维尔私人邮袋X01，夸祖鲁-纳塔尔大学数学、统计和计算机科学学院，邮编：3209

^*

信件应寄给的作者。

算法 2015,8(3), 645-655;https://doi.org/10.3390/a8030645

收到的提交文件：2015年6月9日/修订日期：2015年7月31日/接受日期：2015年8月5日/发布时间：2015年8月19日

（本文属于特刊求解非线性方程和系统的数值算法)

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摘要

:

研究了八阶类牛顿法逼近非线性方程局部唯一解的局部收敛性。早期的研究，如Chen等人（2015）显示，在七阶导数或更高阶导数的假设下收敛，尽管这些方法中只出现了一阶导数和差分。本研究的收敛性仅在一阶导数的假设下显示。因此，该方法的适用性得到了扩展。最后，还提供了数值示例，表明我们的结果适用于早期研究无法应用的情况下的方程求解。

关键词：

类牛顿法;局部收敛;效率指数;最优化方法

MSC分类：

65D10；65D99；65G99型

1.简介

在本研究中，我们关注的是近似局部唯一解的问题

{x个}^{*}

方程式的：

F类 (x个) = 0

(1)

哪里F类是定义在凸子集上的可微函数

D类

属于

S公司

值在中

S公司

，其中

S公司

是

对

或

C类

.

应用科学（包括工程）中的许多问题都可以通过求方程的解来解决，其形式类似于方程(1)使用数学建模[2,三,4,5,6,7]. 除了特殊情况外，这些方程的解可以以闭合形式找到。这就是为什么最常用的求解方法通常是迭代的主要原因。迭代方法的收敛性分析通常分为两类：半局部收敛分析和局部收敛分析。半局部收敛问题是基于初始点周围的信息，给出确保迭代过程收敛的准则。迭代过程研究中一个非常重要的问题是收敛半径。一般来说，收敛半径较小。因此，重要的是要扩大收敛半径。另一个重要的问题是找到更精确的距离误差估计

∥ {x个}_{n个} - {x个}^{*} ∥

.

最常用的近似简单解的方法

{x个}^{*}

方程式的(1)无疑是牛顿的方法，由下式给出：

\begin{matrix} {x个}_{n个 + 1} = {x个}_{n个} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}), 对于 每个 n个 = 0, 1, 2 \dots . \end{matrix}

(2)

前提是

{F类}^{'}

不会消失在

D类

[2,13]. 为了获得更高的收敛阶，人们提出了许多方法[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41]. 我们研究了为每种方法定义的三步方法的局部收敛性

n个 = 0, 1, 2, \dots

签署人：

\begin{matrix} 年_{n个} & = & {x个}_{n个} - {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}), \\ {z（z）}_{n个} & = & 年_{n个} - \frac{F类 ({x个}_{n个}) + β F类 (年_{n个})}{F类 ({x个}_{n个}) + (β - 2) F类 (年_{n个})} {F类}^{'} {({x个}_{n个})}^{- 1} F类 ({x个}_{n个}), \\ {x个}_{n个 + 1} & = & {x个}_{n个} - \frac{F类 ({z（z）}_{n个})}{{A类}_{n个}}, \end{matrix}

(3)

哪里

{x个}_{0}

是一个初始点，

β \in S公司

和：

\begin{matrix} {A类}_{n个} = 2 [{x个}_{n个}, {z（z）}_{n个}; F类] - 2 [{x个}_{n个}, 年_{n个}; F类] + [{z（z）}_{n个}, 年_{n个}; F类] + (年_{n个} - {z（z）}_{n个}) [年_{n个}, {x个}_{n个}, {x个}_{n个}; F类], \\ [{x个}_{n个}, 年_{n个}; F类] = \frac{F类 ({x个}_{n个}) - F类 (年_{n个})}{{x个}_{n个} - 年_{n个}}, 和 \\ [年_{n个}, {x个}_{n个}, {x个}_{n个}; F类] = \frac{[{x个}_{n个}, 年_{n个}; F类] - {F类}^{'} ({x个}_{n个})}{年_{n个} - {x个}_{n个}} . \end{matrix}

方法（3）的八阶收敛于[1]，何时

β \in S公司

，使用泰勒展开式和高达八阶导数的假设F类，尽管在这些方法中只出现了一阶导数和除法差。该方法也是具有效率指数的Traub意义下的最优方法

8^{\frac{1}{4}}

[4]. 方法（3）相对于其他竞争方法的优势也显示在[1]. 然而，高阶导数的假设限制了这些方法的适用性。作为激励示例，定义功能F类在

X（X） = Y（Y） = 对

,

D类 = [- \frac{5}{2}, \frac{1}{2}]

签署人：

F类 (x个) = \{\begin{matrix} {x个}^{三} 我 n个 {x个}^{2} + {x个}^{5} - {x个}^{4}, & x个 \neq 0 \\ 0, & x个 = 0 \end{matrix} .

然后，我们有：

{F类}^{'} (x个) = 三 {x个}^{2} 我 n个 {x个}^{2} + 5 {x个}^{4} - 4 {x个}^{三} + 2 {x个}^{2},

{F类}^{''} (x个) = 12 x个 我 n个 {x个}^{2} + 20 {x个}^{三} - 12 {x个}^{2} + 10 x个

和：

{F类}^{'''} (x个) = 12 我 n个 {x个}^{2} + 60 {x个}^{2} - 12 x个 + 22 .

然后，很明显，功能

{F类}^{'''} (x个)

在上无边界

D类

。因此，结果如下[1]，不适用于显示方法（3）的收敛性或其需要对函数三阶导数进行假设的特殊情况F类或更高。特别要注意，有很多迭代方法可以用来近似非线性方程的解[1,2,三,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41]. 这些结果表明，如果初始点

{x个}_{0}

与解决方案非常接近

{x个}^{*}

，然后是序列

{{x个}_{n个}}

收敛到

{x个}^{*} .

然而，与解决方案的接近程度

{x个}^{*}

应该是最初的猜测

{x个}_{0}

是吗？这些局部结果没有给出相应方法收敛球半径的信息。同样的技术也可以用于其他方法。

在本研究中，我们仅使用函数一阶导数的假设来研究方法（3）的局部收敛性

F类 .

我们还提供了收敛球的半径、所涉及距离的可计算误差界以及使用Lipschitz常数求解结果的唯一性。这些结果没有在[1]或早期的相关研究[8,9,10,11,12]. 这样，我们扩展了方法（3）的适用性。

本文的其余部分组织如下：我们给出了中方法（3）的局部收敛性分析第2节结论中给出了数值示例第3节.

2.局部收敛

在本节中，我们将介绍方法（3）的局部收敛性分析。让

{L（左）}_{0} > 0

,

L（左） > 0

,

M（M） \geq 1

,

{L（左）}_{1} > 0

,

β \in S公司

和

{L（左）}_{2} > 0

.引入一些函数和参数，便于后面的局部收敛分析。定义函数

克_{1}

,第页和

{小时}_{第页}

关于区间

[0, \frac{1}{{L（左）}_{0}})

签署人：

\begin{matrix} 克_{1} (t吨) & = \frac{L（左） t吨}{2 (1 - {L（左）}_{0} t吨)}, \\ 第页 (t吨) & = \frac{1}{2} ({L（左）}_{0} t吨 + 2 M（M） | β - 2 | 克_{1} (t吨)), \\ {小时}_{第页} (t吨) & = 第页 (t吨) - 1, \end{matrix}

和参数

{第页}_{1}

签署人：

{第页}_{1} = \frac{2}{2 {L（左）}_{0} + L（左）} .

我们有这个

{小时}_{第页} (0) = - 1 < 0

和

{小时}_{第页} (t吨) \to \infty

作为

t吨 \to \frac{1^{-}}{{L（左）}_{0}}

根据中值定理

{小时}_{第页}

间隔中有零

(0, \frac{1}{{L（左）}_{0}})

。表示方式

{第页}_{第页}

最小的零。此外，定义函数

克_{2}

和

{小时}_{2}

关于区间

[0, {第页}_{第页})

签署人：

克_{2} (t吨) = (1 + \frac{{M（M）}^{2} (1 + | β | 克_{1} (t吨))}{(1 - 第页 (t吨)) (1 - {L（左）}_{0} t吨)}) 克_{1} (t吨)

和：

{小时}_{2} (t吨) = 克_{2} (t吨) - 1 .

然后，我们得到

{小时}_{2} (0) = - 1 < 0

和

{小时}_{2} (t吨) \to \infty

作为

t吨 \to {第页}_{第页}^{-}

。表示方式

{第页}_{2}

函数的最小零点

{小时}_{2}

关于区间

(0, {第页}_{第页})

此外，定义功能q个和

{小时}_{q个}

关于区间

[0, {第页}_{第页}]

签署人：

q个 (t吨) = [4 {L（左）}_{1} + (三 {L（左）}_{1} + {L（左）}_{2}) (克_{1} (t吨) + 克_{2} (t吨))] t吨,

和：

{小时}_{q个} (t吨) = q个 (t吨) - 1 .

我们有这个

{小时}_{q个} (0) = - 1 < 0

和

{小时}_{q个} (t吨) \to \infty

作为

t吨 \to {第页}_{第页}^{-}

。表示方式

{第页}_{q个}

函数的最小零点

{小时}_{q个}

关于区间

(0, {第页}_{q个})

最后，定义函数

克_{三}

和

{小时}_{三}

关于区间

[0, {第页}_{q个})

签署人：

克_{三} (t吨) = (1 + \frac{M（M）}{1 - q个 (t吨)}) 克_{2} (t吨),

和：

{小时}_{三} (t吨) = 克_{三} (t吨) - 1 .

我们明白了

{小时}_{三} (0) = - 1 < 0

和

{小时}_{三} (t吨) \to \infty

作为

t吨 \to {第页}_{q个}^{-}

。表示方式

{第页}_{三}

函数的最小零点

{小时}_{三}

关于区间

(0, {第页}_{q个})

。设置：

第页 = 最小值 {{第页}_{1}, {第页}_{三}} .

(4)

然后，我们有：

0 < 第页 \leq {第页}_{1},

(5)

以及每个

t吨 \in [0, 第页)

:

0 \leq 克_{1} (t吨) < 1,

（6）

0 \leq 第页 (t吨) < 1,

(7)

0 \leq 克_{2} (t吨) < 1,

(8)

0 \leq q个 (t吨) < 1

(9)

和：

0 \leq 克_{三} (t吨) < 1 .

(10)

让

U型 (γ, ρ)

,

\bar{U型} (γ, ρ)

分别代表开球和闭球

S公司

，带中心

γ \in S公司

和半径

ρ > 0

接下来，我们使用前面的符号给出了方法（3）的局部收敛性分析。

定理1。

让

F类 : D类 \subset S公司 \to S公司

是一个可微函数。让

[., .; F类] : D类 \times D类 \to L（左） (S公司)

是一阶差分。假设存在

{x个}^{*} \in D类

,

{L（左）}_{0} > 0

,

L（左） > 0

,

M（M） \geq 1

,

{L（左）}_{1} \geq 0, {L（左）}_{2} \geq 0

,

β \in S公司

，这样对所有人来说

x个, 年 \in D类

:

F类 ({x个}^{*}) = 0, {F类}^{'} ({x个}^{*}) \neq 0

（11）

| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} (x个) - {F类}^{'} ({x个}^{*}) | \leq {L（左）}_{0} | x个 - {x个}^{*} |,

(12)

| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} (x个) - {F类}^{'} (年) | \leq L（左） | x个 - 年 |,

(13)

| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} {F类}^{'} (x个) | \leq M（M）,

(14)

| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([x个, 年; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*})) | \leq {L（左）}_{1} (| x个 - {x个}^{*} | + | 年 - {x个}^{*} |),

(15)

| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ([x个, 年; F类] - {F类}^{'} (x个)) | \leq {L（左）}_{2} | x个 - 年 |

(16)

和：

\bar{U型} ({x个}^{*}, 第页) \subseteq D类,

(17)

其中半径r由方程式定义(4).然后，顺序

{{x个}_{n个}}

为生成

{x个}_{0} \in U型 ({x个}^{*}, 第页) - {{x个}^{*}}

按方法(3)定义明确，保持在

U型 ({x个}^{*}, 第页)

对于每个

n个 = 0, 1, 2, \dots

并收敛到

{x个}^{*}

此外，以下估计值成立：

| 年_{n个} - {x个}^{*} | \leq 克_{1} (| {x个}_{n个} - {x个}^{*} |) | {x个}_{n个} - {x个}^{*} | \leq | {x个}_{n个} - {x个}^{*} | < 第页,

(18)

| {z（z）}_{n个} - {x个}^{*} | \leq 克_{2} (| {x个}_{n个} - {x个}^{*} |) | {x个}_{n个} - {x个}^{*} | < | {x个}_{n个} - {x个}^{*} |

(19)

和：

| {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} | \leq 克_{三} (| {x个}_{n个} - {x个}^{*} |) | {x个}_{n个} - {x个}^{*} | < | {x个}_{n个} - {x个}^{*} |,

(20)

其中，“g”函数是先前定义的。此外，对于

吨 \in [第页, \frac{2}{{L（左）}_{0}})

，极限点

{x个}^{*}

是方程的唯一解

F类 (x个) = 0

在里面

\bar{U型} ({x个}^{*}, 吨) \cap D类 .

证明。

我们将使用数学归纳法展示估算方程（18）–（20）。通过假设

{x个}_{0} \in U型 ({x个}^{*}, 第页) - {{x个}^{*}}

，方程式（4）和（12），我们得到：

| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} ({x个}_{0}) - {F类}^{'} ({x个}^{*})) | \leq {L（左）}_{0} | {x个}_{0} - {x个}^{*} | < {L（左）}_{0} 第页 < 1 .

(21)

它由方程（21）和可逆算子的Banach引理导出[2,三,14]那个

{F类}^{'} ({x个}_{0}) \neq 0

和：

| {F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*}) | \leq \frac{1}{1 - {L（左）}_{0} | {x个}_{0} - {x个}^{*} |} .

(22)

因此，

年_{0}

方法（3）的第一个子步骤对

n个 = 0

然后，我们通过方程（4）、（5）、（11）、（13）和（22）得出：

\begin{matrix} | 年_{0} - {x个}^{*} | & = & | {x个}_{0} - {x个}^{*} - {F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} F类 ({x个}_{0}) | \\ \leq & | {F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*}) | | {¦Β}_{0}^{1} {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} [{F类}^{'} ({x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*})) - {F类}^{'} ({x个}_{0})] ({x个}_{0} - {x个}^{*}) d日 θ | \\ \leq & \frac{L（左） | {x个}_{0} - {x个}^{*} |^{2}}{2 (1 - {L（左）}_{0} | {x个}_{0} - {x个}^{*} |)} = 克_{1} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) | {x个}_{0} - {x个}^{*} | < | {x个}_{0} - {x个}^{*} | < 第页, \end{matrix}

(23)

其中显示了方程式（18）

n个 = 0

和

年_{0} \in U型 ({x个}^{*}, 第页) .

我们可以通过方程式（11）得出：

F类 ({x个}_{0}) = F类 ({x个}_{0}) - F类 ({x个}^{*}) = {¦Β}_{0}^{1} {F类}^{'} ({x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*})) ({x个}_{0} - {x个}^{*}) d日 θ .

(24)

请注意

| {x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*}) - {x个}_{0}^{*} | = θ | {x个}_{0} - {x个}^{*} | < 第页

; 因此，

{x个}^{*} + θ ({x个}_{o个} - {x个}^{*}) \in U型 ({x个}^{*}, 第页) .

然后，通过方程（14）和（24），我们得出：

| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 ({x个}_{0}) | = |{¦Β}_{0}^{1} {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*} + θ ({x个}_{0} - {x个}^{*})) ({x个}_{0} - {x个}^{*}) d日 θ| \leq M（M） | {x个}_{0} - {x个}^{*} | .

(25)

我们还了解到：

\begin{matrix} | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 (年_{0}) | \leq & M（M） | 年_{0} - {x个}^{*} | \\ \leq & M（M） 克_{1} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) | {x个}_{0} - {x个}^{*} | . \end{matrix}

(26)

接下来，我们将展示

F类 ({x个}_{0}) + (β - 2) F类 (年_{0}) \neq 0

根据方程式（4）、（6）、（11）、（12）、（22）和（26），我们得出：

\begin{matrix} | {({F类}^{'} ({x个}^{*}) ({x个}_{0} - {x个}^{*}))}^{- 1} (F类 ({x个}_{0}) - F类 ({x个}^{*}) - {F类}^{'} ({x个}^{*}) ({x个}_{0} - {x个}^{*}) + (β - 2) F类 (年_{0})) | \\ \leq | {x个}_{0} - {x个}^{*} |^{- 1} [| {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} (F类 ({x个}_{0}) - F类 ({x个}^{*}) - {F类}^{'} ({x个}^{*}) ({x个}_{0} - {x个}^{*})) | + | β - 2 | | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 (年_{0}) |] \\ \leq | {x个}_{0} - {x个}^{*} |^{- 1} [\frac{{L（左）}_{0}}{2} | {x个}_{0} - {x个}^{*} |^{2} + M（M） | β - 2 | | 年_{0} - {x个}^{*} |] \\ \leq \frac{1}{2} ({L（左）}_{0} | {x个}_{0} - {x个}^{*} | + 2 M（M） | β - 2 | 克_{1} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)) \\ = 第页 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) < 第页 (第页) < 1 . \end{matrix}

（27）

因此，我们有：

| {(F类 ({x个}_{0}) + (β - 2) F类 (年_{0}))}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*}) | \leq \frac{1}{| {x个}_{0} - {x个}^{*} | (1 - 第页 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |))} .

(28)

因此，

{z（z）}_{0}

方法（3）的第二个子步骤对

n个 = 0 .

然后，使用方程（4）、（7）、（17）、（23）–（26）和（28），我们依次得到：

\begin{matrix} | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} | & \leq | 年_{0} - {x个}^{*} | + | {(F类 ({x个}_{0}) + (β - 2) F类 (年_{0}))}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*}) | | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 ({x个}_{0}) + β {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 (年_{0}) | \\ \times | {F类}^{'} {({x个}_{0})}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*}) | | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 (年_{0}) | \\ \leq | 年_{0} - {x个}^{*} | + \frac{{M（M）}^{2} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} | + | β | | 年_{0} - {x个}^{*} |) | 年_{0} - {x个}^{*} |}{| {x个}_{0} - {x个}^{*} | (1 - 第页 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)) (1 - {L（左）}_{0} | {x个}_{0} - {x个}^{*} |)} \\ \leq (1 + \frac{{M（M）}^{2} (1 + | β | 克_{1} (| {x个}_{0} - {x个}^{*}))}{(1 - 第页 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)) (1 - {L（左）}_{0} | {x个}_{0} - {x个}^{*} |)}) | 年_{0} - {x个}^{*} | \\ \leq 克_{2} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) | {x个}_{0} - {x个}^{*} | < | {x个}_{0} - {x个}^{*} | < 第页, \end{matrix}

(29)

其中显示了方程式（19）

n个 = 0

和

{z（z）}_{0} \in U型 ({x个}^{*}, 第页)

。我们必须证明

{A类}_{0} \neq 0

注意，我们可以写：

\begin{matrix} {A类}_{0} = & 2 ([{x个}_{0}, {z（z）}_{0}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*})) - 2 ({F类}^{'} ({x个}^{*}) - [{x个}_{0}, 年_{0}; F类]) + ([{z（z）}_{0}, 年_{0}; F类] - {F类}^{'} ({x个}^{*})) \\ + ((年_{0} - {x个}^{*}) + ({x个}^{*} - {z（z）}_{0})) \frac{[{x个}_{0}, 年_{0}; F类] - {F类}^{'} ({x个}_{0})}{年_{0} - {x个}_{0}} . \end{matrix}

(30)

使用等式，即等式（4）、（9）、（15）、（16）、（23）、（29）和（30），我们得到：

\begin{matrix} | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({A类}_{0} - {F类}^{'} ({x个}^{*})) | & \leq 2 {L（左）}_{1} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} | + | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} |) + 2 {L（左）}_{1} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} | + | 年_{0} - {x个}^{*} |) \\ + {L（左）}_{1} (| {z（z）}_{0} - {x个}^{*} | + | 年_{0} - {x个}^{*} |) + {L（左）}_{2} (| 年_{0} - {x个}^{*} | + | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} |) \\ \leq 4 {L（左）}_{1} | {x个}_{0} - {x个}^{*} | + (三 {L（左）}_{1} + {L（左）}_{2}) | 年_{0} - {x个}^{*} | + (三 {L（左）}_{1} + {L（左）}_{2}) | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} | \\ \leq [(4 {L（左）}_{1} + (三 {L（左）}_{1} + {L（左）}_{2})) 克_{1} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) + (三 {L（左）}_{1} + {L（左）}_{2}) 克_{2} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)] | {x个}_{0} - {x个}^{*} | \\ \leq q个 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) < q个 (第页) < 1 . \end{matrix}

(31)

因此，我们得到：

| {A类}_{0}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*}) | \leq \frac{1}{1 - q个 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)} .

(32)

由此可见

{x个}_{1}

方法（2）的第三个子步骤对

n个 = 0

然后，由方程式（4）、（10）、（22）、（25）得出

(（f） o个 第页 {x个}_{0} = {z（z）}_{0})

（29）和（32），其中：

\begin{matrix} | {x个}_{1} - {x个}^{*} | & \leq | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} | + | {A类}_{0}^{- 1} {F类}^{'} ({x个}^{*}) | | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} F类 ({z（z）}_{0}) | \\ \leq | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} | + \frac{M（M） | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} |}{1 - q个 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)} \\ \leq (1 + \frac{M（M）}{1 - q个 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)}) | {z（z）}_{0} - {x个}^{*} | \\ \leq (1 + \frac{M（M）}{1 - q个 (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |)}) 克_{2} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) | {x个}_{0} - {x个}^{*} | \\ \leq 克_{三} (| {x个}_{0} - {x个}^{*} |) | {x个}_{0} - {x个}^{*} | \\ < | {x个}_{0} - {x个}^{*} | < 第页, \end{matrix}

（33）

其示出了方程（20）

n个 = 0

和

{x个}_{1} \in U型 ({x个}^{*}, 第页)

。只需更换

{x个}_{0}

,

年_{0}, {z（z）}_{0}

,

{x个}_{1}

通过

{x个}_{k个}

,

年_{k个}, {z（z）}_{k个}

,

{x个}_{k个 + 1}

在前面的估计中，我们得出方程（18）–（20）。使用估算值

∥ {x个}_{k个 + 1} - {x个}^{*} ∥ < ∥ {x个}_{k个} - {x个}^{*} ∥ < 第页

，我们推断

\underset{k个 \to \infty}{林} {x个}_{k个} = {x个}^{*}

和

{x个}_{k个 + 1} \in U型 ({x个}^{*}, 第页)

最后，为了显示唯一性部分，让

问 = {¦Β}_{0}^{1} {F类}^{'} (年^{*} + θ ({x个}^{*} - 年^{*})) d日 θ

对一些人来说

年^{*} \in \bar{U型} ({x个}^{*}, 吨)

具有

F类 (年^{*}) = 0

.

通过方程（12），我们得出：

\begin{matrix} ∥ {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} (问 - {F类}^{'} ({x个}^{*})) ∥ \leq ∥ {¦Β}_{0}^{1} {L（左）}_{0} | 年^{*} + θ ({x个}^{*} - 年^{*}) - {x个}^{*} ∥ d日 θ \\ \leq {¦Β}_{0}^{1} (1 - t吨) ∥ 年^{*} - {x个}^{*} ∥ d日 θ \leq \frac{{L（左）}_{0}}{2} 吨 < 1 . \end{matrix}

(34)

由方程式（34）可知问是可逆的。那么，鉴于身份

0 = F类 ({x个}^{*}) - F类 (年^{*}) = 问 ({x个}^{*} - 年^{*})

，我们得出的结论是

{x个}^{*} = 年^{*}

.

备注1。

（a）: 根据方程式(12)以及估算：

$\begin{matrix} | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} {F类}^{'} (x个) | & = & | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} (x个) - {F类}^{'} ({x个}^{*})) + 我 | \\ \leq & 1 + | {F类}^{'} {({x个}^{*})}^{- 1} ({F类}^{'} (x个) - {F类}^{'} ({x个}^{*})) | \\ \leq & 1 + {L（左）}_{0} | {x个}_{0} - {x个}^{*} | \end{matrix}$

条件方程式(14)可以去掉，M可以替换为：

$M（M） (t吨) = 1 + {L（左）}_{0} t吨$

或通过 $M（M） (t吨) = M（M） = 2$ ，自 $t吨 \in [0, \frac{1}{{L（左）}_{0}}) .$

（b）: 这里得到的结果可用于满足自治微分方程的算子F[2,三]形式：

${F类}^{'} (x个) = P（P） (F类 (x个)),$

其中P是已知的连续算子。自 ${F类}^{'} ({x个}^{*}) = P（P） (F类 ({x个}^{*})) = P（P） (0)$ ，我们可以应用结果而无需实际知道解决方案 ${x个}^{*} .$ 举个例子， $F类 (x个) = {e（电子）}^{x个} - 1 .$ 然后，我们可以选择 $P（P） (x个) = x个 + 1$ .
（c）: 半径 ${第页}_{1}$ 显示在中[2,三]为牛顿法方程的收敛半径(2)在方程式（11）和（13）的条件下。它由方程式得出(4)以及 ${第页}_{1}$ 方法的收敛半径r(3)不能大于收敛半径 ${第页}_{1}$ 二阶牛顿法(2).如前所述 ${第页}_{1}$ 至少是Rheinboldt给出的收敛球[15]:

$\begin{matrix} {第页}_{对} = \frac{2}{三 L（左）} . \end{matrix}$

特别是，对于 ${L（左）}_{0} < L（左）$ ，我们有：

${第页}_{对} < {第页}_{1}$

和：

$\frac{{第页}_{对}}{{第页}_{1}} \to \frac{1}{三} 作为 \frac{{L（左）}_{0}}{L（左）} \to 0 .$

这是我们的收敛球 ${第页}_{1}$ 这最多是莱茵堡的三倍。的相同值 ${第页}_{对}$ 是特劳布给的[4]。
（d）: 值得注意的是，该方法(3)如果我们使用定理2.1的条件而不是[1]. 此外，对于误差界，在实践中，我们可以使用计算收敛阶（COC）[16]:

$ξ = \frac{我 n个 \frac{| {x个}_{n个 + 2} - {x个}^{*} |}{| {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} |}}{我 n个 \frac{| {x个}_{n个 + 1} - {x个}^{*} |}{| {x个}_{n个} - {x个}^{*} |}}, （f） o个第页 e（电子）一 c（c）小时 n个 = 0, 1, 2, \dots$

或近似计算收敛阶（ACOC）[16]:

$ξ^{*} = \frac{我 n个 \frac{| {x个}_{n个 + 2} - {x个}_{n个 + 1} |}{| {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} |}}{我 n个 \frac{| {x个}_{n个 + 1} - {x个}_{n个} |}{| {x个}_{n个} - {x个}_{n个 - 1} |}}, （f） o个第页 e（电子）一 c（c）小时 n个 = 1, 2, \dots$

通过这种方法，我们在实践中获得了收敛阶，避免了估计值高于第一个Fréchet导数的界。

3.数值示例和应用

我们在本节中提供了数值示例。

示例1。

让

S公司 = 对, D类 = [- 1, 1], {x个}^{*} = 0

，并通过以下方式定义D上的函数F：

F类 (x个) = 罪 x个 .

(35)

然后，我们得到

{L（左）}_{0} = L（左） = M（M） = 1

和

{L（左）}_{1} = {L（左）}_{2} = \frac{1}{2}

然后，根据

{第页}_{1}

和

{第页}_{三}

，我们获得：

{第页}_{1} = 0.666667, {第页}_{三} = 0.186589,

因此：

第页 = 0.186589 .

示例2。

让

S公司 = 对, D类 = [- 1, 1], {x个}^{*} = 0

，并通过以下方式定义D上的函数F：

F类 (x个) = {e（电子）}^{x个} - 1 .

(36)

然后，我们得到

{L（左）}_{0} = e（电子） - 1, L（左） = e（电子）, {L（左）}_{1} = \frac{e（电子） - 1}{2}, {L（左）}_{2} = \frac{e（电子）}{2}

和

M（M） = 2 .

然后，我们得到

{L（左）}_{0} = L（左） = M（M） = 1

和

{L（左）}_{1} = {L（左）}_{2} = \frac{1}{2}

然后，根据

{第页}_{1}

和

{第页}_{三}

，我们得到：

{第页}_{1} = 0.324947, {第页}_{三} = 0.032978,

因此：

第页 = 0.032978 .

示例3。

回到引言中的动机示例，我们有

L（左） = {L（左）}_{0} = 146.6629073

,

{L（左）}_{1} = {L（左）}_{2} = \frac{{L（左）}_{0}}{2}

和

M（M） = 2 .

{第页}_{1} = 0.0045456, {第页}_{三} = 0.000553,

因此：

第页 = 0.000553 .

作者贡献

所有作者的贡献都是相似的。他们所有人都共同努力开发了这份手稿。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

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Argyros IK、Behl R、Motsa SS。弱条件下最优八阶方法的局部收敛性。算法. 2015; 8(3):645-655.https://doi.org/10.3390/a8030645

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Argyros、Ioannis K.、Ramandeep Behl和S.S.Motsa。2015.“弱条件下最优八阶方法的局部收敛性”算法第8页，第3页：645-655。https://doi.org/10.3390/a8030645

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