1.简介
科学和工程中的许多问题都需要解非线性方程（f）(z（z）) = 0. 有不同的技术可以解决这个问题，其中最常用的是用迭代方法进行数值求解。牛顿方法是估计非线性方程解的一种众所周知的迭代方法 然而，在许多情况下，不可能计算导数。在第2节中，引入了几种收敛阶数不断增加的最优无导数方法，以避免对导数进行评估。
Ostrowski介绍的效率指数（参见[1])，反馈了不同方法在效率方面的比较。其定义为我=第页1/d日，其中第页是收敛的顺序d日是每个步骤的功能评估数。一种方法是最优的，如果第页= 2d−1正如孔和特劳布推测的那样[2]. 迭代方法的质量可以通过不同的参数来衡量，如效率指数、收敛阶……，但稳定性是需要分析的重要因素。迭代方案的动力平面以图形方式提供了这一信息，并在第3节中进行了阐述。几位作者首先在Varona的工作中，通过动力学平面研究和比较了不同已知迭代方法的稳定性[三]后来由Amat开发等。[4]、内塔等。[5,6]等等。 牛顿方法在多项式上的动力学行为，如[7,8]其中，表明其在整个动力平面上的稳定性是不保证的。求迭代方法的分形维数是测量此Julia集的一种技术，因此也是表征方法稳定性的一种有用工具。在第4节中，评估了所介绍方法的分形维数。 本文分析了四个收敛阶分别为2、4、8和16的无导数格式在不同的二次多项式和三次多项式上的动力学行为。从这一分析中，可以推测出一些结果。例如，随着收敛阶的增加，相应有理函数的Julia集的复杂性降低，不同方案获得的吸引域更宽，与牛顿方法的吸引域更加相似。从数值的角度来看，这些事实都是通过每个过程的分形维数来检验的，这与牛顿的分形维数越来越接近。
2.最优无导数方法
著名的Steffensen方法（参见[9])替换的导数方程式（1）通过前向差分，其迭代表达式为哪里v（v）n个=z（z）n个+（f）(z（z）n个). 合成技术（例如，在[10])允许实现高阶方法。从两种具有收敛阶的方法第页1和第页2可以执行以下方法第页1·第页2订单。在[11]作者描述了一种基于合成和类Padé-like逼近的技术，以获得最佳无导数方法。 我们首先用牛顿格式构造Steffensen方法，得到四阶格式哪里v（v）n个=z（z）n个+（f）(z（z）n个). 现在，为了避免评估（f）′(年n个)，我们用导数近似它米′(年n个)以下一阶Padé-like近似哪里一1,一2和一三是满足以下条件的待确定的实际参数：和 条件(4)和(6)，分别给出，和哪里（f）[z（z）n个，年n个]表示已划分的差异.经过一些代数运算，获得了参数的以下值：和哪里是二阶除法差。 替换（f）′(年n个)来自方程式（3）通过其近似值米′(年n个)，科德罗等。英寸[11]得到了一个最优的四阶迭代方法，用M4表示，其表达式为： 通过用牛顿法重新组合所得格式，并用二阶Padélike逼近估计最后一阶导数，得到的最优八阶方法（用M8表示）具有迭代格式 同样，我们可以通过用牛顿法构造M8格式，并用三次Padélike逼近估计最后一阶导数，从而获得一种新的16阶优化方法，用M16表示获得迭代表达式哪里,c（c）4=（f）[z（z）n个;年n个;v（v）n个;w个n个] +c（c）5（f）[z（z）n个;年n个;v（v）n个]，c（c）三=（f）[z（z）n个;年n个;w个n个] −c（c）4(z（z）n个+年n个− 2w个n个) +c（c）5（f）[z（z）n个;年n个]和（f）[·, ·, ·, ·]和（f）[·, ·, ·, ·, ·]分别是三阶和四阶的差分。 为了获得收敛阶为2的最优无导数迭代格式，可以对该过程进行扩展k−1,k个= 2, 3, 4, 5, …. 所有以这种方式设计的方法在公特罗猜想意义上都是最优的，因为二阶方法k−1需要k个每次迭代的功能评估，k个= 2, 3, …
3.迭代方法的复杂动力学
动力平面提供了方法收敛性和稳定性的一目了然的状态。在本节中，将显示所介绍方法的动力学平面。为了更好地理解，回顾了一些动力学概念。有关这些概念的更广泛和全面的审查，请参见示例[7,8]. 让R（右）: Ĉ→是一个有理函数，其中Ĉ是黎曼球。点的轨道z（z）0∈Ĉ定义为{z（z）0,R（右）(z（z）0),…，Rn个(z（z）0)，…}。
复杂平面上点轨道的动力学行为可以根据其渐近行为进行分类。通过这种方式z（z）0∈C是R（右）如果R（右）(z（z）0) =z（z）0.固定点是吸引点、排斥点或中性点，如果|R（右）′(z（z）0)|分别小于、大于或等于1。此外，如果|R（右）′(z（z）0)|=0，不动点是超吸引的。
让是有理函数的吸引不动点R（右）.它的吸引力定义为任意顺序的预图像集在我们的计算中，我们通常考虑区域[负极5, 5]×[负极复合平面的5,5]，具有600×600点，我们从每个z（z）0在这个地区。如果迭代法生成的序列达到零z（z）*具有公差的多项式|z（z）k个–z*| < 10负极三最多40次迭代，我们决定z（z）0是在这些零的吸引盆中，我们用之前为这个根选择的颜色绘制这个点。在相同的吸引力范围内，实现解决方案所需的迭代次数以较深或较亮的颜色显示（迭代次数越少，颜色越亮）。黑色表示没有收敛到任何根（建立了最大迭代次数）或收敛到无穷大。
轨道趋向于吸引固定点（或吸引周期轨道）的点集定义为Fatou集合，互补集，Julia集是由其排斥不动点组成的集合的闭包，并在吸引域之间建立边界。
如果有理函数R（右）与第2节中应用于多项式的已开发方法的不动点算子相关（f）(z（z）)，一般表示为O（运行）（f）(z（z）)，可以找到它的固定点和临界点。固定点z（z）（f）验证O（运行）（f）(z（z）) =z（z）和关键点z（z）c（c）验证.
表达式哪里v（v）=z（z）+（f）(z（z）),年=S公司（f）(z（z）),u个=F类（f）(z（z）)和w个=电子（f）(z（z）)、分别是Steffensen、M4、M8和M16方法的不动点算子。 从动力学的观点来看，共轭类在以下意义上理解映射类的行为中起着重要作用。让我们考虑一下地图z→M（f）(z（z）)谁的M（M）（f）是任何迭代寻根映射。由于共轭保持了固定点和周期点以及它们的吸引域（f）由不动点的特征携带M（M）（f）因此，对于多项式第页程度大于或等于k个，建立多项式的参数化族很有趣第页µ尽可能简单，以便在M（M）pµ和M（M）第页.
为了研究迭代方法的仿射共轭类M（M）（f），我们需要建立一个结果，称为缩放定理。正如作者在[12]，Steffensen的方法不满足标度定理，这一说法可以用类似的方法证明M4、M8和M16。然后，这些方案没有共轭类，我们必须研究它们在特定多项式上的动力学。在四个不同的多项式上分析每种方法的行为：第页c（c）(z（z）) =z（z）2+c（c）和q个c（c）(z（z）) =z（z）三+c（c），其中c（c）∈ {1,我}. 引入的不动点算子满足对称性, ∀c、 z∈ C类因此，对于多项式c（c）∈R（右），动力平面相对于横坐标轴对称。对于多项式c（c）∈C类，的动力平面是垂直反射因此，研究第页c（c）(z（z）)和q个c（c）(z（z）)，使用c（c）∈ {1,我}，直接涉及以下知识c（c）∈ {负极1,−i}. 的动力学平面S公司（f）(z（z）),F类（f）(z（z）),电子（f）(z（z）)和X（X）（f）(z（z）)，当它们应用于第页{1，我}(z（z）)和q个{1，我}(z（z）)，显示在图1–4吸引力的盆地用橙色和蓝色表示二次多项式，也用绿色表示三次多项式。黑点是那些不收敛到任何吸引固定点的点。我们观察到，当收敛阶数增加时，吸引域变得更宽，在原始方案发散的初始猜测区域获得快速收敛。这种行为的原因可以在[12]，其中作者证明了无穷大是Steffensen方法的吸引不动点，并且在M4的情况下是排斥的（以类似的方式，可以检查它对M8和M16也是排斥的）。 作为图1–4结果表明，除了Steffensen方法外，动力学平面的复杂性随着收敛阶数的增加而变得更平滑。 与牛顿方法相关联的不动点算子的动力学平面，N个（f）(z（z）)，当它应用于第页c（c）(z（z）) =z（z）2+c（c）和q个c（c）(z（z）) =z（z）三+c（c），使用c（c）∈ {1,我}，如所示图5. 如果我们关注M4到M16的演化，通过M8，可以观察到对于每个多项式，它们更接近牛顿的动力学平面。
4.迭代方法的分形维数
Julia集的分形维数是分析动力学平面与另一个动力学平面之间距离的有用工具。通常，分形维数是通过基于Hausdorff维数的盒计数算法获得的。该算法的基础（例如，请参见[13])用越来越小的盒子盖住朱莉娅，以便找到哪里ϵ是盒子的长度，N个(ϵ)是朱莉娅场景中的盒子数，以及天是分形维数。从计算上看天作为对数回归线的斜率ϵ与。日志N个(ϵ). 表1收集操作符的分形维数(12), (13), (14)和N个（f）(z（z）)当它们应用于前面行中提交的多项式时。每种方法与牛顿方法的比较是通过其分形维数的百分比进行的，如底部行所示。 从图形上看，我们观察到，不同方法在特定多项式上的动力学平面“趋向”于牛顿的相应动力学平面。例如，我们可以看到图4不同的图片看起来越来越像图5d此外，随着收敛顺序的增加，Julia集的复杂性降低。在数值意义上，考虑到每种方法的分形维数，它与牛顿方法越来越接近。 关于牛顿动力平面的分形维数已有一些研究。例如，在[14]分形维数N个质量控制(z（z）)，使用c（c）=负极1，是天=1.44692平方[负极2.5, 2.5]×[负极2.5，2.5]，而我们在这个区域的演算得到天= 1.4055. 此外，在[15]，在广场上[负极1, 1]×[负极1，1]中，D≈1.42，而在我们的研究中，这个正方形中的分形维数的值为天=1.4242。精确值取决于算法的细节，例如Julia集的厚度或选择的序列ϵ然而，我们的目的是比较这些方法，因此用相同的算法求出分形维数就足够了。
