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算法
第10卷
第2版
10.3390/a10020064
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第条

扩展一些高阶Houshölder类方法的适用性

通过
塞尔吉奥·阿马特
1,*，
Ioannis K.Argyros公司
2，
米盖尔·埃尔南德斯·维隆
三和
娜塔莉亚·罗梅罗
三
1
西班牙卡塔赫纳政治大学马特马提卡学院，邮编：30203
2
美国堪萨斯州劳顿市卡梅伦大学数学科学系73505
三
西班牙洛格罗尼奥市拉里奥哈大学计算机系，邮编：26004
*
信件应寄给的作者。
算法 2017，10(2), 64;https://doi.org/10.3390/a10020064
收到的提交文件：2017年4月3日/修订日期：2017年5月26日/接受日期：2017年5月26日/发布日期：2017年5月31日
（本文属于特刊2017年求解非线性方程和系统的数值算法)
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版本注释

摘要

:
本文致力于非线性方程类Househölder方法的半局部收敛性。该方法包括许多已研究的三阶迭代方法。在当前的研究中，我们使用了我们的新思想，即限制收敛域导致更小的 γ -参数，与早期的工作相比（并且在相同的计算成本下），这反过来带来了以下优点：更大的收敛域；所涉及的距离误差范围更小，至少解的位置信息也更精确。

1.简介

让 B类 1 和 B类 2 是Banach空间和D类是的非空开凸子集 B类 1 。让我们也 我 ( B类 1 ， B类 2 ) 表示有界线性算子的空间 B类 1 进入之内 B类 2 在本研究中，我们关注的是逼近局部唯一解的问题 x个 * 非线性方程的：
F类 ( x个 ) = 0 ，
哪里 F类 : D类 ⊂ B类 1 → B类 2 是一个非线性Fréchet可微算子。
从开始 吨 0 ，我们可以考虑不同的三阶迭代方法来求解标量方程 F类 吨 = 0 ，使用 F类 : X（X） → Y（Y） 和 X（X） = Y（Y） = 对 , [1，2].
根据Traub的分类[三]，这些三阶方法被分为两大类。一方面，一点法需要评估F类， F类 ' 和 F类 ” 仅在当前点。例如，
  • 哈雷方法
    吨 n个 + 1 = 吨 n个 − 1 1 + 1 2 我 F类 ( 吨 n个 ) F类 ( 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) ，
    哪里 我 F类 ( 吨 ) = F类 ( 吨 ) F类 ” ( 吨 ) F类 ' ( 吨 ) 2 。
  • 切比雪夫方法：
    吨 n个 + 1 = 吨 n个 − 1 + 1 2 我 F类 ( 吨 n个 ) F类 ( 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) ，
  • 类牛顿方法家族：
    吨 n个 + 1 = G公司 ( 吨 n个 ) = 吨 n个 − H（H） ( 我 F类 ( 吨 n个 ) ) F类 ( 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) ， n个 ≥ 0 ， H（H） ( 年 ) = ∑ j个 ≥ 0 A类 ˜ j个 年 j个 ; A类 ˜ 0 = 1 ， A类 ˜ 1 = 1 / 2 ， A类 ˜ j个 ∈ 对 + ∪ { 0 } ， ∀ j个 ≥ 2 ，
其中包括著名的三阶Chebyshev、Halley、Super-Halley、Ostrowski和Euler迭代方法。
请注意(2)仅对某些方程达到大于三阶的不便。例如，众所周知(2)二次方程具有四阶收敛性，如果 A类 ˜ 2 = 1 / 2 。
另一方面，第二类是多点方法，它不需要 F类 ” 例如：
两步法
秒 n个 = 吨 n个 − F类 ( 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) ， 吨 n个 + 1 = T型 S公司 ( 吨 n个 ) = 秒 n个 − F类 ( 秒 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) 。
请注意，此迭代方法不能包含在族中(2). 这样，对于任何函数都可以获得高于三阶的迭代方法F类并能够表示一些多点方法，如(三)，我们可以考虑修改家庭(2)这样就可以得到这样的概括[4]. 因此，我们考虑以下家族，其中包括所有这些方法：
秒 n个 = 吨 n个 − F类 ( 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) ， 吨 n个 + 1 = H（H） ( 吨 n个 ) = 秒 n个 − A类 0 ( F类 ; 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) − ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( F类 ; 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) F类 ( 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) k个 − 1 F类 ( 吨 n个 ) F类 ' ( 吨 n个 ) 。
请注意(4)定义明确，如果 | A类 k个 ( F类 ， 吨 ) F类 ' ( 吨 ) | ≤ k个 第页 ， 为所有人第页和 k个 ≥ 2 和 | F类 ( 吨 ) F类 ' ( 吨 ) | < 1 。
因此，例如 A类 0 ( F类 ; 吨 ) = 0 和 A类 k个 ( F类 ; 吨 ) = A类 ˜ k个 − 1 F类 ' ' ( 吨 ) k个 − 1 F类 ' ( 吨 ) k个 − 2 ，我们获得了前一个家族(2). 另一方面，如果我们 A类 k个 ( F类 ; 吨 n个 ) = 0 ，对于所有人 k个 ≥ 1 、和：
A类 0 ( F类 ; 吨 n个 ) = F类 ( 秒 n个 ) ，
然后我们得到了两步方法(三).
一般来说，方法(2)比这些方法的操作成本更高(三)求解非线性系统时。另一项考虑到需要迭代过程的运营成本的措施 Φ 是以下公式给出的计算效率 C类 E类 ( ϕ ， F类 ) = o个 1 θ ( F类 ) 这里，再一次，o个是收敛的顺序 Φ 和 θ ( F类 ) 是在迭代过程中应用一个步骤的操作成本 Φ ，即每次迭代所需的产品数量以及出现在相应操作符评估中的产品数量。
因此，为了比较新族中一些迭代方法的效率，我们考虑了计算效率 C类 E类 ( Φ ， F类 ) 请注意，在系列中选择的方法(4)由于级数中的项越多，效率最高的项的计算效率越低。
注意，对于二次方程，切比雪夫方法和两步法（(7)带有 A类 0 ( F类 ; x个 n个 ) = F类 ( 年 n个 ) )具有相同的算法：
年 n个 = x个 n个 − F类 ' ( x个 n个 ) − 1 F类 ( x个 n个 ) ， x个 n个 + 1 = 年 n个 − F类 ' ( x个 n个 ) − 1 F类 ( 年 n个 ) 。
另一方面，我们注意到迭代过程家族(7)，使用 A类 2 = 1 / 2 ，在考虑二次方程时具有四阶收敛性。因此，对于二次方程组，在这个族中效率更高的迭代过程是已知的Chebyshev-like方法( A类 2 = 1 / 2 和 A类 k个 = 0 对于 k个 ≥ 三 在(7)). 然后，我们将此迭代过程与切比雪夫方法进行了比较。
二次方程的四阶方法可以写成：
年 n个 = x个 n个 − F类 ' ( x个 n个 ) − 1 F类 ( x个 n个 ) ， z（z） n个 = 年 n个 − F类 ' ( x个 n个 ) − 1 F类 ( 年 n个 ) ， x个 n个 + 1 = z（z） n个 − F类 ' ( x个 n个 ) − 1 ( 2 F类 ( z（z） n个 ) − C类 ( z（z） n个 − 年 n个 ) ( z（z） n个 − x个 n个 ) ) ，
对于二次方程，计算效率， C类 E类 对于切比雪夫方法(5)和(6)家庭中的方法(7)是 C类 E类 = 三 三 / ( 米 三 + 9 米 2 + 17 米 ) ， C类 E类 = 4 三 / ( 米 三 + 12 米 2 + 24 米 ) 分别是。正如我们在图1，最佳计算效率为中给出的切比雪夫类方法(6)当系统至少有六个方程时。
最近，在Amat等人的工作中[4]，在Banach空间中给出了半局部收敛性分析：
年 n个 = x个 n个 − Γ n个 F类 ( x个 n个 ) ， x个 n个 + 1 = 年 n个 − Γ n个 A类 0 ( F类 ; x个 n个 ) − ∑ k个 = 2 ∞ Γ n个 A类 k个 ( F类 ; x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) k个 − 1 Γ n个 F类 ( x个 n个 ) ，
哪里 Γ n个 = [ F类 ' ( x个 n个 ) ] − 1 和操作员 A类 k个 ( F类 ; − ) : D类 → 我 ( D类 × … × D类 ︷ ( k个 ， B类 2 ) 有些特别的吗k个-线性运算符。
还介绍了与图像去噪相关的一个有趣的应用[4]. 通过我们的家庭，近似值是用于数字图像去噪的一种新的非线性数学模型。对于这个特定的问题，我们能够找到家族中最好的方法（不同于两步）。事实上，所建立的方法有四级。我们在本文中提出的去噪模型可以很好地重建图像中最重要的视觉部分的边缘。另请参见[5，6]用于更多应用程序。
另一方面，方法的半局部收敛性分析(7)基于 γ -类型条件[7]构成了经典Kantorovich型条件的替代方案[8]. 方法的收敛域(7)一般来说都很小。在当前的研究中，我们使用了我们的新思想，即限制收敛域导致更小的 γ -参数，与[4]（并且在相同的计算成本下）：更大的收敛域；所涉及的距离误差范围更为严格，而且解的位置信息至少也同样精确。
本文的其余部分组织如下：该方法的半局部收敛性分析(7)在中给出第2节，而在结论中给出了数值示例第3节。

2.半局部收敛

我们考虑方程式(1)，其中F类是定义在非空开凸子集中的非线性算子D类巴拿赫空间 B类 1 在另一个Banach空间中包含值 B类 2 。
我们需要定义 γ -中给出的条件[7].
定义 1
假设 F类 : D类 → B类 2 是Fréchet-可微的五倍。让 β > 0 和 x个 0 ∈ D类 我们说F满足γ条件，如果 Γ 0 = F类 ' ( x个 0 ) − 1 ∈ 我 ( B类 2 ， B类 1 ) 以及每个 x个 ∈ D类 :
∥ Γ 0 F类 ( x个 0 ) ∥ ≤ β ， ∥ Γ 0 F类 ” ( x个 0 ) ∥ ≤ 2 γ ( 1 − γ ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 2 ， ∥ Γ 0 F类 ” ' ( x个 ) | | ≤ 6 γ 2 ( 1 − γ ∥ x个 − x个 0 | | ) 4 = （f） ” ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ， ∥ Γ 0 F类 ( 我 v（v） ) ( x个 0 ) ∥ ≤ 24 γ 三 ， ∥ Γ 0 F类 ( v（v） ) ( x个 ) ∥ ≤ 120 γ 4 ( 1 − γ ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 6 = （f） ( v（v） ) ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ，
哪里：
（f） ( 吨 ) = β − 吨 + γ 吨 2 1 − γ 吨 。
然后，对于定义在(7)在γ型条件下[4]，定理1：
定理 1
假设算子F满足每个 x个 ∈ D类 :
∥ [ F类 ' ( x个 ) ] − 1 A类 k个 ( F类 ; x个 ) ∥ ≤ k个 第页 ， ∀ k个 ≥ 2 ， … ， 第页 > 0 一 n个 d日 ∥ [ F类 ' ( x个 ) ] − 1 F类 ( x个 ) ∥ < 1 ，
γ条件和假设：
α ≤ β γ ≤ 三 − 2 2 ， A类 0 ( （f） ， 吨 ) ≥ 0 ， ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( （f） ; 吨 ) （f） ' ( 吨 ) （f） ( 吨 ) （f） ' ( 吨 ) n个 − 1 ≥ 0 ，
f在中给出(30)和 U型 ¯ ( x个 0 ， 对 ) ⊆ D类 ，其中 对 = ( 1 − 1 2 ) 1 γ 然后，序列 { x个 n个 } ， { 年 n个 } 由方法生成(7)定义明确 U型 ( x个 0 ， 对 ) ，留在 U型 ( x个 0 ， 吨 * ) 对于每个 n个 = 0 ， 1 ， 2 … 并收敛到一个解 x个 * ∈ U型 ( x个 0 ， 吨 * ) 方程式的 F类 ( x个 ) = 0 ，在 U型 ( x个 0 ， 对 ) 此外，以下估计对每种情况都适用 n个 = 0 ， 1 ， 2 … :
∥ 年 n个 − x个 n个 ∥ ≤ 秒 n个 − 吨 n个 ， ∥ x个 n个 + 1 − 年 n个 ∥ ≤ 吨 n个 + 1 − 秒 n个 ， ∥ 年 n个 − x个 * ∥ ≤ 吨 * − 秒 n个 ， ∥ x个 n个 − x个 * ∥ ≤ 吨 * − 吨 n个 ，
哪里 吨 0 = 0 ， 秒 0 = β ，
秒 n个 = 吨 n个 − （f） ( 吨 n个 ) （f） ' ( 吨 n个 ) ， n个 ≥ 0 ， 吨 n个 + 1 = 秒 n个 − A类 0 ( （f） ; 吨 n个 ) （f） ' ( 吨 n个 ) − ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( （f） ; 吨 n个 ) （f） ' ( 吨 n个 ) （f） ( 吨 n个 ) （f） ' ( 吨 n个 ) k个 − 1 （f） ( 吨 n个 ) （f） ' ( 吨 n个 ) 。
和：
吨 * = 1 + α − ( 1 + α ) 2 − 8 α 4 γ 。
接下来，我们将展示如何实现本研究导言中所述的我们方法的优势。
定义 2
让 F类 : D类 → B类 2 是一个Fréchet-可微算子。算子F满足中心 γ 0 -Lipschitz条件 x个 0 ，如果每个 x个 ∈ D类 :
∥ Γ 0 ( F类 ' ( x个 ) − F类 ' ( x个 0 ) ) ∥ ≤ 1 ( 1 − γ 0 ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 2 − 1 。
备注 1
让 D类 0 : = U型 ( x个 0 ， ( 1 − 1 2 ) 1 γ 0 ) ∩ D类 。然后，我们有：
∥ Γ 0 ( F类 ' ( x个 ) − F类 ' ( x个 0 ) ) ∥ ≤ 1 ( 1 − γ 0 ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 2 − 1 < 1 。
关于可逆算子的Banach引理[8], Γ 0 = F类 ' ( x个 0 ) − 1 ∈ 我 ( B类 2 ， B类 1 ) 和：
∥ [ F类 ' ( x个 ) ] − 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ 2 − 1 ( 1 − γ 0 ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 2 − 1 。
使用中给出的γ条件的相应结果[7]是：
∥ [ F类 ' ( x个 ) ] − 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ 2 − 1 ( 1 − γ ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 2 − 1 。
对于每个 x个 ∈ D类 然而，如果 D类 0 ⊆ D类 ，然后 γ 0 ≤ γ ，所以如果 γ 0 < γ ，估计值(12)比(13)从而产生更精确的优化序列，这反过来又带来了前面所述的优势。实际上，我们需要以下定义。
定义 三。
让 F类 : D类 → B类 2 是五倍Fréchet-可微的，满足中心 γ 0 -条件。我们说算符F满足δ-γ-条件 x个 0 ，如果每个 x个 ∈ D类 0 :
∥ Γ 0 F类 ( x个 0 ) ∥ ≤ β ， ∥ Γ 0 F类 ” ( x个 0 ) ∥ ≤ 2 δ ( 1 − δ ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 2 ， ∥ Γ 0 F类 ” ' ( x个 ) | | ≤ 6 δ 2 ( 1 − δ ∥ x个 − x个 0 | | ) 4 = （f） 1 ” ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ， ∥ Γ 0 F类 ( 我 v（v） ) ( x个 0 ) ∥ ≤ 24 δ 三 ， ∥ Γ 0 F类 ( v（v） ) ( x个 ) ∥ ≤ 120 δ 4 ( 1 − δ ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 6 = （f） 1 ( v（v） ) ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 。
很明显，我们有 δ ≤ γ 。
现在，我们定义标量序列 { 秒 ¯ n个 } ， { 吨 ¯ n个 } 签署人：
吨 ¯ 0 = 0 ， 秒 ¯ 0 = β ， 秒 ¯ n个 = 吨 ¯ n个 − （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) n个 ≥ 0 ， 吨 ¯ n个 + 1 = 秒 ¯ n个 − A类 0 ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 0 ' ( 吨 ¯ n个 ) − ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) k个 − 1 （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) 。
where函数 （f） 1 在间隔上定义 [ 0 ， 1 / δ ) 签署人：
（f） 1 ( 吨 ) = β − 吨 + δ 吨 2 1 − δ 吨 ，
对一些人来说 吨 ∈ ( 0 ， 1 δ ) 。
此外，定义常量 α 0 ， 吨 ¯ * ， 吨 ¯ * * 和 对 0 通过 α 0 = δ β ， 吨 ¯ * = 1 + α 0 − ( 1 + α 0 ) 2 − 8 α 0 4 δ ， 吨 ¯ * * = 1 + α 0 + ( 1 + α 0 ) 2 − 8 α 0 4 δ 和 对 0 = ( 1 − 1 2 ) 1 γ 0 。
如果条件：
α 0 ≤ 三 − 2 2
保持，然后运行 （f） 1 有两个真正的根 吨 ¯ * 和 吨 ¯ * * 这样：
β ≤ 吨 ¯ * ≤ 1 + 1 2 β ≤ 1 − 1 2 1 δ ≤ 吨 ¯ * * ≤ 1 2 δ 。
此外，我们每个人都有 吨 ∈ [ 0 ， 吨 ¯ * ) : （f） 1 ( 吨 ) > 0 ， （f） 1 ' ( 吨 ) = 1 − 2 ( 1 − δ 吨 ) 2 ( 1 − δ 吨 ) 2 < 0 和：
（f） 1 ( 我 ) ( 吨 ) = 我 ! δ 我 − 1 ( 1 − δ 吨 ) ( 2 + 我 ) ， 我 = 2 ， 三 ， … 。
请注意：
α ≤ 三 − 2 2 ⇒ α 0 ≤ 三 − 2 2
但不一定反过来，除非 γ = δ 。
我们需要一系列辅助结果。
引理 1
假设 α 0 ≤ 三 − 2 2 ， A类 0 ( （f） 1 ; 吨 ) ≥ 0 和 ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( （f） 1 ; 吨 ) （f） 1 ' ( 吨 ) （f） 1 ( 吨 ) （f） 1 ' ( 吨 ) k个 − 1 ≥ 0 。 然后，序列 { 秒 ¯ n个 } ， { 吨 ¯ n个 } 由生成(14)每个都有很好的定义 n个 = 0 ， 1 ， 2 ， … 并单调收敛到 吨 ¯ * 以便：
0 ≤ 吨 ¯ n个 ≤ 秒 ¯ n个 ≤ 吨 ¯ n个 + 1 < 吨 ¯ * 。
证明。 
只需替换f，α， 吨 * ， 秒 n个 ， 吨 n个 在引理2的证明中[4]由 （f） 1 ， α 0 ， 吨 ¯ * ， 秒 ¯ n个 ， 吨 ¯ n个 分别是。 ☐
引理 2
（a） 
让 （f） 1 是中给定的实际函数(15). 那么，以下断言成立：
（f） 1 ( 吨 ¯ n个 + 1 ) = 1 2 （f） 1 ” ( 吨 ¯ n个 ) A类 0 ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) 2 − 1 A类 0 ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) + （f） 1 ” ( 吨 ¯ n个 ) A类 0 ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) 1 + 小时 ˜ ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) + 1 2 （f） 1 ” ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) 2 + 1 2 （f） 1 ” ( 吨 ¯ n个 ) 小时 ˜ ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) 2 + （f） 1 ' ' ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) 2 − 1 小时 ˜ ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) + ∫ 吨 ¯ n个 吨 ¯ n个 + 1 （f） 1 ‴ ( 吨 ) ( 吨 ¯ n个 + 1 − 吨 ) d日 吨 ，
哪里：
小时 ˜ ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) = ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( （f） 1 ; 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 n个 ) （f） 1 ( 吨 ¯ n个 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ n个 ) k个 − 1
和 A类 k个 ( （f） 1 ; − ) : 对 → 对 是实可微函数。
（b） 
如果F在D上具有连续的三阶Fréchet导数，则以下断言成立：
F类 ( x个 n个 + 1 ) = 1 2 F类 ” ( x个 n个 ) Γ n个 A类 0 ( F类 ; x个 n个 ) Γ n个 − 我 A类 0 ( F类 ; x个 n个 ) + F类 ” ( x个 n个 ) Γ n个 A类 0 ( F类 ; x个 n个 ) 我 + Γ n个 H（H） ˜ ( F类 ; x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) + 1 2 F类 ” ( x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) + 1 2 F类 ” ( x个 n个 ) Γ n个 H（H） ˜ ( F类 ; x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) 2 + F类 ” ( x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) Γ n个 − 我 H（H） ˜ ( F类 ; x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) + ∫ x个 n个 x个 n个 + 1 F类 ‴ ( x个 ) ( x个 n个 + 1 − x个 ) d日 x个 ，
哪里：
H（H） ˜ ( F类 ; x个 n个 ) = ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( F类 ; x个 n个 ) Γ n个 F类 ( x个 n个 ) k个 − 1
和 A类 k个 ( F类 ; − ) : D类 → 我 ( D类 × … × D类 ︷ ( k个 ， Y（Y） ) 是一些特殊的k-线性算子。
（c） 
∥ Γ 0 F类 ( x个 n个 + 1 ) ∥ ≤ （f） 1 ( 吨 ) ( 吨 ¯ n个 + 1 ) 。
证明。 
（a）
简单使用功能 （f） 1 而不是f在引理3的证明中[4].
（b）
与中的引理5相同[4].
（c）
使用 （f） 1 而不是引理5中的f[4].
 ☐
引理 三。
假设F满足 γ 0 -D上的中心条件和 D类 0 然后，以下项目保持不变：
（a） 
F类 ' ( x个 ) − 1 ∈ 我 ( Y（Y） ， X（X） ) 和：
∥ F类 ' ( x个 ) − 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ − 1 （f） 0 ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ， （f） o个 对   e（电子） 一 c（c） 小时 x个 ∈ D类
哪里：
（f） 0 ( 吨 ) = b条 − 吨 + γ 0 吨 2 1 − γ 0 吨
（b） 
∥ Γ 0 F类 ( 米 − 1 ) ( x个 ) ∥ ≤ （f） 1 ( 米 − 1 ) ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ， 米 = 三 o个 对 米 = 5 。
证明。 
（a）
见备注1。
（b）
只需将函数f替换为 （f） 1 在引理4中[4].
 ☐
引理 4
假设F满足D上的γ条件，则以下各项成立：
（a） 
F满足 γ 0 -D条件和δ-γ-条件 D类 0 ;
（b） 
γ 0 ≤ γ ;
（c） 
δ ≤ γ ;
此外，如果 α ≤ 三 − 2 2 ，然后 α ¯ 0 = b条 0 γ ≤ 三 − 2 2 ， α 0 ≤ 三 − 2 2 ，
∥ F类 ' ( x个 ) − 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ − 1 （f） 0 ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ≤ − 1 （f） ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ，
和：
∥ Γ 0 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ − 1 （f） 1 ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ≤ − 1 （f） ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 。
此外(15)假设 γ 0 ≤ δ 和来自(18); 我们有：
∥ F类 ' ( x个 ) − 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ − 1 （f） 0 ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ≤ − 1 （f） 1 ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 。
证明。 
这些断言来自引理3(18)，函数的定义 （f） 0 ， （f） 1 ，f和的定义 γ 0 γ和δ条件。 ☐
定理 2
假设算子F满足引理1、2、3、4的条件(9), (18)、和 A类 0 ( （f） 1 ; 吨 ) > = 0 保持。然后，序列 { x个 n个 } ， { 年 n个 } ，由方法生成(7)定义明确 U型 ( x个 0 ， 吨 ¯ * ) ，留在 U型 ¯ ( x个 0 ， 吨 ¯ * ) 对于每个 n个 = 0 ， 1 ， 2 ， … ， 并收敛到一个解 x个 ¯ * ∈ U型 ¯ ( x个 0 ， 吨 ¯ * ) 方程式的 F类 ( x个 ) = 0 .极限点 x个 ¯ * 是方程的唯一解 F类 ( x个 ) = 0 在里面 U型 ( x个 0 ， 对 0 ) 此外，以下估计对每种情况都是正确的 n个 = 0 ， 1 ， 2 ， … :
∥ 年 n个 − x个 n个 ∥ ≤ 秒 ¯ n个 − 吨 ¯ n个 ， ∥ x个 n个 + 1 − 年 n个 ∥ ≤ 吨 ¯ n个 + 1 − 秒 ¯ n个 ， ∥ 年 n个 − x个 * ∥ ≤ 吨 ¯ * − 秒 ¯ n个 ， ∥ x个 n个 − x个 * ∥ ≤ 吨 ¯ * − 吨 n个 ，
哪里 吨 ¯ * = 林 n个 吨 ¯ n个 。
证明。 
我们将显示估计值(19). 使用数学归纳法作为以下递归关系的结果：
( M（M） k个 1 )
x个 k个 ∈ U型 ¯ ( x个 0 ， 吨 ¯ k个 ) ;
( M（M） k个 2 )
∥ F类 ' ( x个 k个 ) − 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ − 1 （f） 0 ' ( 吨 ¯ k个 ) ≤ − 1 （f） 1 ' ( 吨 ¯ k个 ) ;
( M（M） k个 三 )
∥ 年 k个 − x个 k个 ∥ ≤ 秒 ¯ k个 − 吨 ¯ k个 ;
( M（M） k个 4 )
年 k个 ∈ U型 ¯ ( x个 0 ， 秒 ¯ k个 ) ;
( M（M） k个 5 )
∥ x个 k个 + 1 − x个 k个 ∥ ≤ 吨 ¯ k个 + 1 − 秒 ¯ k个 。
项目( M（M） 0 我 ), 我 = 1 ， 2 ， 三 ， 4 ， 5 在初始条件下是正确的。假设( M（M） k个 我 )适用于 k个 = 0 ， 1 ， … ， n个 然后，我们将证明他们坚持 n个 + 1 。反过来，我们有：
∥ x个 k个 + 1 − x个 0 ∥ ≤ ∥ x个 k个 + 1 − 年 k个 ∥ + ∥ 年 k个 − x个 k个 ∥ + ∥ x个 k个 − x个 0 ∥ ≤ ( 吨 ¯ k个 + 1 − 秒 ¯ k个 ) + ( 秒 ¯ k个 − 吨 ¯ k个 + 1 ) + ( 吨 ¯ k个 + 1 − 吨 ¯ 0 ) = 吨 ¯ k个 + 1 ，
所以( M（M） k个 + 1 1 )是真的。根据引理4和条件 γ 0 ≤ δ ，我们明白了 Γ k个 + 1 ∈ 我 ( Y（Y） ， X（X） ) 和：
∥ Γ k个 + 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ − 1 （f） 0 ' ( ∥ x个 k个 + 1 − x个 0 ∥ ≤ − 1 （f） 0 ' ( 吨 ¯ k个 + 1 ) ≤ − 1 （f） 1 ' ( 吨 ¯ k个 + 1 ) ，
所以( M（M） k个 + 1 2 )是真的。通过引理2，我们依次得到 Γ k个 + 1 ∈ 我 ( Y（Y） ， X（X） ) 和：
∥ Γ 0 F类 ' ( x个 k个 + 1 ) ∥ ≤ （f） 1 ' ( 吨 ¯ k个 + 1 ) ，
因此：
∥ 年 k个 + 1 − x个 k个 + 1 ∥ = ∥ − Γ k个 + 1 F类 ( x个 k个 + 1 ) ∥ ≤ ∥ Γ k个 + 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ∥ Γ 0 F类 ( x个 k个 + 1 ) ∥ ≤ − （f） 1 ' ( 吨 ¯ k个 + 1 ) （f） 1 ' ( 吨 ¯ k个 + 1 ) = 秒 ¯ k个 + 1 − 吨 ¯ k个 + 1 ，
∥ 年 k个 + 1 − x个 0 ∥ ≤ ∥ 年 k个 + 1 − x个 k个 ∥ + ∥ x个 k个 − 年 k个 − 1 ∥ + ∥ 年 k个 − 1 − x个 k个 − 1 ∥ + ∥ x个 k个 − 1 − x个 0 ∥ ≤ ( 秒 ¯ k个 + 1 − 吨 ¯ k个 ) + ( 吨 ¯ k个 − 秒 ¯ k个 − 1 ) + ( 秒 ¯ k个 − 1 − 吨 ¯ k个 − 1 ) + ( 吨 ¯ k个 − 1 − 吨 ¯ 0 ) = 秒 ¯ k个 + 1 ，
和：
∥ x个 k个 + 1 − 年 k个 ∥ ≤ ∥ 1 2 我 F类 ( x个 k个 ) ∑ k个 = 三 ∞ Γ k个 A类 k个 ( F类 ; x个 k个 ) ( Γ k个 F类 ( x个 k个 ) ) k个 − 1 ∥ ∥ 年 k个 − x个 k个 ∥ ≤ 吨 ¯ k个 + 1 − 吨 ¯ k个 ，
所以( M（M） k个 + 1 4 )和( M（M） k个 + 1 5 )也是真的，这就完成了归纳。 ☐
备注 2
到目前为止，我们已经削弱了该方法的充分半局部收敛条件(7)（请参见(17))并从中扩展了解球的唯一性 U型 ( x个 0 ， 对 ) 到 U型 ( x个 0 ， 对 0 ) ，因为 γ 0 < γ ，我们有 对 < 对 0 值得注意的是，这些优点是在相同的计算成本下获得的，因为在实际中，计算常数γ需要计算常数 γ 0 δ作为特殊情况。
接下来，通过一个简单的归纳论点和支配序列的定义，误差在距离上有界 ∥ x个 n个 + 1 − x个 n个 ∥ ， ∥ x个 n个 + 1 − 年 n个 ∥ ， ∥ x个 n个 − 年 n个 ∥ ， ∥ 年 n个 + 1 − 年 n个 ∥ ， ∥ x个 n个 − x个 * ∥ 和 ∥ 年 n个 − x个 * ∥ 可以改进。特别是，我们有：
提议 1
在定理2和引理4的假设下，进一步假设 u个 ， u个 1 ， u个 2 ， v（v） ， v（v） 1 ， v（v） 2 ∈ [ 0 ， 对 ] ，以下保持：
u个 − （f） 1 ( u个 ) （f） 1 ' ( u个 ) ≤ v（v） − （f） ( v（v） ) （f） ' ( v（v） ) ， （f） o个 对 u个 ≤ v（v） ， − （f） 1 ( u个 ) （f） 1 ' ( u个 ) ≤ − （f） ( v（v） ) （f） ' ( v（v） ) ， （f） o个 对 u个 ≤ v（v） ， u个 1 − 克 1 ( u个 2 ) ≤ v（v） 1 − 克 ( u个 2 ) ， （f） o个 对 u个 1 ≤ v（v） 1 ， u个 2 ≤ v（v） 2 ， u个 1 ≤ u个 2 ， v（v） 1 ≤ v（v） 2 ， 克 1 ( u个 ) ≤ 克 ( v（v） ) ， （f） o个 对 u个 ≤ v（v） ，
其中函数g和 克 1 定义如下：
克 ( 吨 ) = A类 0 ( （f） ， 吨 ) （f） ' ( 吨 ) + ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( （f） ; 吨 ) （f） ' ( 吨 ) （f） ( 吨 ) （f） ' ( 吨 ) k个 − 1 （f） ( 吨 ) （f） ' ( 吨 )
和：
克 1 ( 吨 ) = A类 0 ( （f） 1 ， 吨 ) （f） 1 ' ( 吨 ) + ∑ k个 = 2 ∞ A类 k个 ( （f） 1 ; 吨 ) （f） 1 ' ( 吨 ) （f） 1 ( 吨 ) （f） 1 ' ( 吨 ) k个 − 1 （f） 1 ( 吨 ) （f） 1 ' ( 吨 )
那么，以下估计成立：
秒 ¯ n个 ≤ 秒 n个 ，
秒 ¯ n个 − 吨 ¯ n个 ≤ 秒 n个 − 吨 n个 ，
吨 ¯ n个 + 1 ≤ 吨 n个 + 1 ，
吨 ¯ n个 + 1 − 秒 ¯ n个 ≤ 吨 n个 + 1 − 秒 n个 ，
吨 ¯ * ≤ 吨 * 。
证明。 
估算(21), (22)和(23)根据中给出的条件使用一个简单的归纳参数(20)此外，估计(25)通过出租 n个 → ∞ 在估算中(21). ☐
备注 三。
显然，在命题1的假设下，距离的误差界至少同样紧密，并且关于解的位置的信息 x个 * 这项新技术至少也同样精确。
如果我们使用另一种方法计算范数的上界，定理和命题1的结果可以进一步改进 ∥ Γ k个 F类 ' ( x个 0 ) ∥ 。
定义 4
假设存在 我 0 > 0 这样，center-Lipschitz条件满足：
∥ Γ 0 ( F类 ' ( x个 ) − F类 ' ( x个 0 ) ) ∥ ≤ 我 0 ∥ x个 − x个 0 ∥
对于每个 x个 ∈ D类 持有。定义 D类 0 * = D类 ∪ U型 ( x个 0 ， 1 我 0 ) 。
然后，我们有：
∥ Γ 0 ( F类 ' ( x个 ) − F类 ' ( x个 0 ) ) ∥ ≤ 我 0 ∥ x个 − x个 0 ∥ < 1 ，
所以 F类 ' ( x个 ) − 1 ∈ 我 ( Y（Y） ， X（X） ) 和：
∥ F类 ' ( x个 ) − 1 F类 ' ( x个 0 ) ∥ ≤ 1 1 − 我 0 ∥ x个 − x个 0 ∥ = − （f） ¯ 0 ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) − 1 ，
哪里 （f） ¯ 0 ( 吨 ) = 我 0 2 吨 2 − 吨 + β 。 估算(27)比(12)如果：
（f） ¯ 0 ' ( 吨 ) ≤ （f） 0 ' ( 吨 ) ， 对于   每个 吨 ∈ [ 0 ， ρ ] ，
哪里 ρ = 最小值 { 1 我 0 ， 对 0 } .如果
1 我 0 < 对 0 ，
然后 D类 0 * 是D的一个严格子集。这导致构造了一个至少同样紧密的函数 （f） 2 作为 （f） 1 。
定义 5
让 F类 : D类 → B类 2 是五倍Fréchet-可微的，满足中心Lipschitz条件(26). 我们说算符F满足λ-γ-条件 x个 0 ，如果每个 x个 ∈ D类 0 * :
∥ Γ 0 F类 ( x个 0 ) ∥ ≤ β ， ∥ Γ 0 F类 ” ( x个 0 ) ∥ ≤ 2 λ ( 1 − λ ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 2 ， ∥ Γ 0 F类 ” ' ( x个 ) | | ≤ 6 λ 2 ( 1 − λ ∥ x个 − x个 0 | | ) 4 = （f） 2 ” ' ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ， ∥ Γ 0 F类 ( 我 v（v） ) ( x个 0 ) ∥ ≤ 24 λ 三 ， ∥ Γ 0 F类 ( v（v） ) ( x个 ) ∥ ≤ 120 λ 4 ( 1 − λ ∥ x个 − x个 0 ∥ ) 6 = （f） 2 ( v（v） ) ( ∥ x个 − x个 0 ∥ ) ，
where函数 （f） 2 在间隔上定义 [ 0 ， 1 λ ) 签署人：
（f） 2 ( 吨 ) = β − 吨 + λ 吨 2 1 − λ 吨 。
定义标量序列 { 吨 ¯ ¯ n个 } ， { 秒 ¯ ¯ n个 } ，个点 吨 ¯ ¯ * ， 吨 ¯ ¯ * * 作为， { 吨 ¯ n个 } ， { 秒 ¯ n个 } ，个点 吨 ¯ * ， 吨 ¯ * * 分别通过替换函数 （f） 1 通过 （f） 2 ，并假设：
α 0 * : = λ β ≤ 三 − 2 2 。
我们已经过了(29)即：
λ ≤ δ
因此：
α 0 ≤ 三 − 2 2 ⇒ α 0 * ≤ 三 − 2 2 。
然后，随着上述变化(28)也替换引理3中的条件 ( 一 ) 和center-Lipschitz条件(26)更换 γ 0 -中心伽马条件下，我们可以恢复定义4后的结果，直到备注3在此设置中。

3.结束语

本文得到的结果是基于限制收敛域的思想，其中伽马常数（或李普希茨常数）以及相应的充分半局部收敛条件、优化函数和序列是通过考虑集合来确定的 D类 0 （或 D类 0 * )，可以是集合的严格子集D类操作员在其上F类已定义。通过这种方式，人们预计（另请参阅数值示例）新常数将至少与[4]带来前面已经说过的优势。的子集越小D类包含迭代 { x个 n个 } 方法的(7)，常数越紧。构造此类集合时（参见，例如。， D类 0 或 D类 0 * )如果可能的话，不添加假设，而是保持相同的信息是可取的。否则，新旧结果之间的比较将不公平。从这个方向看，如果我们简单地重新定义集合，我们也可以改进结果 D类 0 和 D类 0 * 分别如下：
D类 ˜ 0 = D类 ∪ U型 ( 年 0 ， 对 ˜ 0 )
和：
D类 ˜ 0 * = D类 ∪ U型 ( 年 0 ， 1 我 0 − β ) ，
哪里：
对 ˜ 0 = 对 ¯ 0 − β
请注意 D类 ˜ 0 ⊆ D类 0 ⊆ D类 和 D类 ˜ 0 * ⊂ D类 0 * ⊆ D类 显然，前面的结果可以用 D类 ˜ 0 （或 D类 ˜ 0 * )更换 D类 0 （或 D类 0 * ). 这些结果将至少与使用 D类 0 （或 D类 0 * )，因为常数至少也会一样紧。注意：
（a）
我们仍在使用相同的信息，因为 年 0 由方法的第二个子步骤定义(7)的 n个 = 0 也就是说，它取决于初始数据 ( x个 0 ， F类 )
（b）
迭代 { x个 n个 } 躺在里面 D类 ˜ 0 （或 D类 ˜ 0 * )，这是一个至少与 D类 0 （或 D类 0 * ). 此外，解决方案 x个 * ∈ U型 ( 年 0 ， 对 ˜ 0 ) （或 x个 * ∈ U型 ( 年 0 ， 1 我 0 − β ) )，这是一个比 U型 ( x个 0 ， 对 0 ) （或 U型 ( x个 0 ， 1 我 0 ) ).
最后，可以进一步改进结果，如下所示：
  • 与中心相关的案例 γ 0 -条件（见定义2）：假设存在 β 1 ≥ 0 这样：
    ∥ x个 1 − 年 0 ∥ ≤ β 1
    和：
    β + β 1 < 对 0 。
    然后，存在 吨 1 这样：
    β + β 1 < 吨 1 < 对 0 。
    定义集合 D类 ˜ ˜ 0 签署人：
    D类 ˜ ˜ 0 : = D类 ∪ U型 ( x个 1 ， 吨 1 ) 。
    那么，我们清楚地知道：
    D类 ˜ ˜ 0 ⊆ D类 ˜ 0 ⊆ D类 0 。
    假设定义4的条件成立，但在集合上 D类 ˜ ˜ 0 然后，这些条件将适用于某些参数 δ ¯ 和功能 （f） 1 ¯ ，应至少与δ一样紧密， （f） 1 分别是。特别是，充分的收敛条件应为：
    α ¯ 0 = δ ¯ β ≤ 三 − 2 2
    和：
    α 0 ≤ 三 − 2 2 ⇒ α 0 * ≤ 三 − 2 2 ⇒ α ¯ 0 ≤ 三 − 2 2 。
    主要序列 { κ n个 } ， { μ n个 } 应定义为：
    κ 0 = 0 ， μ 0 = β ， κ 1 = β + β 1 ， μ 1 = β ，
    和 { κ n个 } ， { μ 米 } ， 米 = 1 ， 2 … ， n个 = 2 ， … 作为序列 { 秒 ¯ ¯ n个 } ， { 吨 ¯ ¯ n个 } ，但有 （f） ¯ 1 替换函数 （f） 1 那么，定理2的结论将在这种情况下成立。请注意，估计值 ∥ x个 1 − 年 0 ∥ ≤ β 1 仍然使用初始数据作为 ∥ 年 0 − x个 0 ∥ ≤ β 1 。
  • 与center-Lipschitz条件相关的案例(26)：与前面的情况类似，但是：
    D类 ˜ ˜ 0 * : = D类 ∪ U型 ( x个 1 ， 吨 1 ) 。
    然后，我们再次得到：
    D类 ˜ ˜ 0 ⊆ D类 ˜ 0 * ⊆ D类 0 * 。
  • 例如：
    让我们考虑一下 X（X） = Y（Y） = 对 三 ， D类 = U型 ( 0 ， 1 ) ， x个 * = ( 0 ， 0 ， 0 ) 和非线性算子 F类 ( x个 ， 年 ， z（z） ) = ( e（电子） x个 − 1 ， e（电子） − 1 2 年 2 + 年 ， z（z） ) 。
    在这种情况下，我们可以考虑 γ 0 = ( e（电子） − 1 ) 2 < γ = e（电子） 2 , [9].

致谢

这项研究部分得到了Apoyo计划和Séneca Agencia de Ciencia and Tecnología de la Región de Murcia 19374/PI/14和MTM2015-64382-P（MINECO/FED）基金会的调查支持。第二和第三作者部分得到了西班牙经济和竞争力部项目MTM2014-52016-C2-1-P的支持。

作者贡献

这四位作者在论文中以相似的方式和所有方面进行了工作。然而，塞尔吉奥·阿马特（Sergio Amat）和娜塔莉亚·罗梅罗（Natalia Romero）更多地致力于方法的构建、动机和效率，而伊奥尼斯·阿吉罗斯（Ioannis K.Argyros）和米格尔·埃尔南德斯·维隆（Miguel A.Hernández-Veron）更多地从事方法的理论分析。

利益冲突

作者声明没有利益冲突。

工具书类

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  2. Ezquerro，J.A。；古铁雷斯，J.M。；Hernández，文学硕士。；Salanova，M.A.Chebyshev类方法和二次方程。修订分析。数字。理论。大约。 1999，28, 23–35. [谷歌学者]
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算法10 00064 g001 550
图1。Chebyshev方法的计算效率(6)和(5)家庭中的方法(7).
图1。切比雪夫方法的计算效率(6)和(5)家庭中的方法(7).
算法10 00064 g001

分享和引用

MDPI和ACS样式

阿马特，S。；阿吉罗斯，I.K。；Hernández-Verón，文学硕士。；北卡罗来纳州罗梅罗。扩展了一些高阶类Houshölder方法的适用性。算法 2017，10, 64.https://doi.org/10.3390/a10020064

AMA风格

Amat S、Argyros IK、Hernández-Verón MA、Romero n。扩展了一些高阶类Houshölder方法的适用性。算法. 2017; 10（2）:64。https://doi.org/10.3390/a10020064

芝加哥/图拉宾风格

阿马特（Amat）、塞尔吉奥（Sergio）、伊奥尼斯·阿吉罗斯（Ioannis K.Argyros）、米盖尔·埃尔南德斯·维隆（Miguel A.Hernández-Veron）和娜塔莉亚·罗梅罗（Natalia Romero）。2017.“扩大一些高阶Houshölder-Like方法的适用性”算法10，编号2:64。https://doi.org/10.3390/a10020064

请注意，从2016年第一期开始，该杂志使用文章编号而不是页码。请参阅更多详细信息在这里。

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